关于退化中立型微分方程的周期解

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线性中立型积分-微分方程的解析与数值稳定性

华中科技大学硕士学位论文摘要随着对中立型积分-微分方程的不断深入研究,我们发现只有少量的中立型积分-微分方程可以获得其解析解的表达式,由于方程的复杂形式,获得方程的解析解变得不现实,所以获得中立型积分-微分方程的数值解就变得尤为重要.因此本文针对中立型积分-微分方程给出了解析解与数值解稳定的充要条件.在第一章,我们介绍了中立型积分-微分方程的研究背景、研究现状及预备知识.在第二章,针对含有五个参数的中立型积分-微分方程,分析解析解渐近稳定时,我们可以将其转化为只含有四个参数的中立型积分-微分方程.根据[33]中的引理,相应地我们就得到了其解析解渐近稳定的充要条件.分析数值稳定性时,我们应用梯形方法,将积分项利用复合求积公式处理,得到了数值解渐近稳定的充要条件.在第三章,针对含有五个参数的中立型偏微分方程,我们分析了解析稳定性,给出了渐近稳定的充要条件，分析数值稳定性时,我们应用梯形方法,积分项利用复合求积公式处理,得到了数值解渐近稳定的充要条件.在第四章,我们通过数值实验验证了理论结果及梯形方法求解中立型积分-微分方程的有效性.在第五章,我们总结了前面的结果并对相关研究进行了展望.关键词：中立型积分-微分方程,梯形方法,复合求积,解析稳定性,数值稳定性.华中科技大学硕士学位论文AbstractWith the further research on neutral integro-differential equations,weﬁnd that few neutral integro-differential equations can obtain the expression of their analytical solutions. The numerical solutions of neutral integro-differential equation becomes particularly impor-tant as the complexity of the equation makes it impractical to obtain the analytical solution. Thus,this paper focuses on the numerical solution of neutral integro-differential equation. The necessary and sufﬁcient condition under which the analytical solution and numerical solution are stable is proposed.In theﬁrst chapter,the research background,research status and basic knowledge of neutral integro-differential equation are introduced.In the second chapter,when we analyze the analytic stability of the neutral integro-differential equation withﬁve parameters,we can turn it into a neutral integro-differential equation with only four parameters.According to the lemma in[33],we obtain the nec-essary and sufﬁcient conditions for the asymptotic stability of its analytic solution.When analyzing the numerical stability,we apply the trapezoid method and treat the integral term with the compound quadrature formula,and obtain the necessary and sufﬁcient conditions for the asymptotic stability of the numerical solution.In the third chapter,for the neutral partial differential equation withﬁve parameters, we analyze the analytic stability and give the necessary and sufﬁcient conditions for asymp-totic stability.When analyzing the numerical stability,we apply the trapezoid method and treat the integral term with the compound quadrature formula,and obtain the necessary and sufﬁcient conditions for the asymptotic stability of the numerical solution.In the fourth chapter,numerical experiments are carried out to verify the theoretical results and the validity of trapezoidal method for solving neutral integro-differential equa-tions.In theﬁfth chapter,we summarize the previous results and look forward to the future.Key words:Neutral integro-differential equations,Trapezoidal method,Composite quadra-ture,Analytic stability,Numerical stability.华中科技大学硕士学位论文目录摘要 (I)Abstract (II)1绪论1.1研究背景及意义 (1)1.2研究现状与研究趋势 (1)1.3本文的主要研究工作 (4)2中立型延迟常微分方程的稳定性2.1方程的解析稳定性 (6)2.2带复合求积的梯形方法的数值稳定性 (9)2.3解析解稳定域与数值解稳定域关系 (15)3中立型延迟偏微分方程的稳定性3.1方程的解析稳定性 (19)3.2方法的数值稳定性 (20)4数值算例5总结与展望致谢 (30)参考文献 (31)附录1科研项目 (34)华中科技大学硕士学位论文1绪论1.1研究背景及意义中立型积分-微分方程广泛出现于自然科学与社会科学中,如:种群生态学、流行病动力学、化学、经济学、控制系统等领域[1–6].在实际中的应用极大地推进了中立型积分-微分方程的研究进程[7,8].中立型积分-微分方程的解的性态不仅与当前的时间状态有关,而且与过去某些时刻或过去某些时间段的状态密切相关.该方程更能准确地反映实际情况,因此对于中立型系统的研究的重要性毋庸置疑.在对中立型积分-微分方程进行求解时,只有非常少量的延迟微分方程可以获得解析解的表达式,因为方程的复杂形式,使得求解解析解变得不现实,所以求解中立型积分-微分方程的数值解就变得尤为重要.不稳定的数值算法尽管可能是高阶的,但是可能产生很大的误差,稳定性分析是数值处理中的一个重要内容,所以研究中立型积分-微分方程的数值方法,并讨论其解析解与数值解的稳定性具有极大的理论意义与实际价值.1.2研究现状与研究趋势延迟方程的理论及数值稳定性在上世纪50年代就开始有人研究,也受到越来越多的重视.1959年,Chin [9]首先研究了延迟微分方程y ′(t )=ay (t )+by (t −τ),t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.1)其中a,b 为实常数,τ>0,g (t )为连续函数.作者在文章中证明了当a +b <0时,存在∆=∆(a,b ),使得0<τ<∆时,方程(1.1)的零解稳定,当a +b >0时,对任意τ≥0,方程(1.1)的零解不稳定.1975年,Barwell [10]研究了以下复系数线性延迟方程y ′(t )=py (t )+qy (t −τ),t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.2)其中p ,q 为复数,τ>0,g (t )为连续函数,作者在文章中证明了当Re (p )<−|q |时,方程(1.2)是渐近稳定的.华中科技大学硕士学位论文1989年,Torelli [13]研究了如下非线性延迟微分方程 y ′(t )=f (t,y (t ),y (t −τ)),t ≥t 0,y (t )=g (t ),t ≤t 0,(1.3)其中τ>0,g (t )为连续函数,作者在文中提出了RN-、GRN-稳定的概念,并证明了隐式Euler 方法是GRN-稳定的.1999年,Huang 在[14]中研究了求解(1.3)的Runge-Kutta 方法的稳定性,在[15]中研究了单支方法的稳定性,在[16]中研究了线性θ-方法的稳定性.2001年,Guglielmi [17]考虑了如下中立型方程 y ′(t )=ay (t )+by (t −1)+cy ′(t −1),t >0,y (t )=g (t ),−1≤t ≤0,(1.4)其中a ,b ,c ∈R ,g (t )为实值连续函数.该文中用Runge-Kutta 方法求解了问题(1.4),并分析了其数值稳定性.1988年,Bellen [18]讨论了以下复系数中立型延迟微分方程 y ′(t )=λy (t )+µy (t −τ)+νy ′(t −τ),t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.5)其中λ,µ,ν为复数.文中指出当|λ¯ν−¯µ|+|λν+µ|<−2Re (λ)时,方程(1.5)的解是渐近稳定的,并且研究了应用Runge-Kutta 方法的数值稳定性.1994年,Kuang ,Qiu 等人[19,20]研究了以下复系数向量型的中立型方程 y ′(t )=Ly (t )+My (t −τ)+Ny ′(t −τ),t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.6)其中L ,M ,N 为复数矩阵.作者在文章中证明了其NP 稳定等价于NGP 稳定.1999年,Zhang 和Zhou [21]研究了以下线性多延迟中立型延迟微分方程 y ′(t )=Ly (t )+d ∑i =1[M i y (t −τi )+N i y ′(t −τi )],t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.7)其中L ,M i ,N i 为复数矩阵.文章中指出线性多步法应用于常微分方程是A (α)稳定的等价于线性多步法应用于(1.7)是NGP k (α)稳定的.2004年,Huang 和Vandewalle [27]研究了以下积分-微分方程 y ′(t )=αy (t )+βy (t −τ)+γ∫t t −τy (v )dv,t >0,y (t )=g (t ),−τ≤t ≤0,(1.8)华中科技大学硕士学位论文其中α,β,γ∈R,τ∈R+,g(t)为实值连续函数.文章中证明了当满足以下条件时:α<β+2τ,τ(α+β)<−γτ2<θ(θ+βτsinθ)1−cosθ,问题(1.8)的解析解是稳定的,其中θ是α=β+θsinθτ(1−cosθ)的根且θ∈[0,2π],随后作者在文章中利用梯形方法对上述积分-微分方程进行了数值求解,并证明了当m=1且满足以下条件时:α<β+2τ,α+β+γτ<0,问题(1.8)的数值解是稳定的.当m>1且满足以下条件时:α<β+2τ,τ(α+β)<−γτ2<−2m sinθm(2m sinθm+βτsinθ(1+cosθm))(1+cosθm)2(1−cosθ),问题(1.8)的数值解是稳定的,其中θ是α=β+2m sinθmsinθτ(1+cosθm)(1−cosθ)的根且θ∈[0,2π].2009年,Huang和Vandewalle[28]针对方程(1.8),利用Runge-Kutta-Pouzet方法又进行了数值计算,同样地,证明了其数值稳定性.同年,Xu和Zhao[29]对于(1.8)这种积分-微分方程进行了研究,用线性θ-方法对其进行了数值计算,证明了其数值解是渐近稳定的.2006年,Zhang和Vandewalle[31]研究了如下延迟积分-微分方程y′(t)=f(t,y(t),y(t−τ),∫tt−τy(s)ds),t>t0,y(t)=g(t),t0−τ≤t≤t0,(1.9)其中τ>0,g(t)为给定的充分光滑的函数,文中得到了一般线性方法全局稳定需满足条件:h(α+β+σγ2ν2)≤l.2010年,Hu和Huang[32]针对该方程研究了线性多步法的渐近稳定性,证明了如果线性多步法是A-稳定的,且常数满足条件α+β+γϱτ<0时,那么带有复合求积公式的线性多步法是渐近稳定的.2008年,Wu和Gan[33]研究了以下这种带有四个参数的中立型积分-微分方程y′(t)=αy(t)+βy(t−τ)+γ∫tt−τy(s)ds+ηy′(t−τ),t>0,y(t)=g(t),−τ≤t≤0,(1.10)其中α,β,γ,η∈R,τ∈R+,g(t)为实值连续函数.作者在文章中证明了当|η|<1且下列条件成立时:α<β+2(1−η)τ,τ(α+β)<−γτ2<θ(θ+βτsinθ−ηθcosθ)1−cosθ,华中科技大学硕士学位论文方程(1.10)的解析解是渐近稳定的,其中θ是α=β+(1−η)θsinθτ(1−cosθ)的根且θ∈[0,2π].随后作者将梯形方法应用到上述中立型积分-微分方程,进行数值求解,证明了当|η|<1,m=1且下列条件成立时:α<β+2(1−η)τ,α+β+γτ<0,方程(1.10)的数值解是稳定的.当|η|<1,m>1且下列条件成立时:α<β+2(1−η)τ,τ(α+β)<−γτ2<2m sinθm[2m sinθm(1−ηcosθ)+βτsinθ(1+cosθm)](1+cosθm)2(1−cosθ),方程(1.10)的数值解是稳定的,其中θ是α=β+2m(1−η)sinθmsinθτ(1−cosθ)(1+cosθm)的根且θ∈[0,2π].2015年,Zhao,Fan和Xu[34]针对方程(1.10),将边值方法应用到上述中立型积分-微分方程,进行数值求解.2017年,Zhao,Fan和Xu[35]又将Runge-Kutta方法应用到方程(1.10)进行数值求解,证明了Gauss方法(2≤s≤6),LobattoIIIS(2≤s≤6)且满足条件u s−1σ2=1,LobattoIIIA(3≤s≤7)和LobattoIIIB(3≤s≤7)可以保持数值方法的稳定.1.3本文的主要研究工作从上一节的讨论中,我们可以看到许多国内外学者都在研究延迟方程,但是带有五个参数的中立型积分-微分方程目前极少有人进行分析,该方程更能准确地反映实际情况,因此对于这种中立型系统的研究的重要是毋庸置疑的.本文的主要工作就是研究具有五个参数的中立型积分-微分方程解析解与数值解的稳定性.在第二章中我们主要讨论如下形式的含有五个参数的中立型积分-微分方程：ddt[y(t)−ay(t−τ)−b∫tt−τy(v)dv]=αy(t)+βy(t−τ)+γ∫tt−τy(v)dv,t>0, y(t)=φ(t),−τ≤t≤0,其中a,b,α,β,γ∈R,τ∈R+,φ(t)为实值连续函数.分析解析解渐近稳定时,我们可以将其转化为只含有四个参数的中立型积分-微分方程.根据[33]中的定理,相应地我们就可以得到其解析解渐近稳定的充要条件,分析数值稳定性时,我们把积分项用复合求积公式处理,分析梯形方法数值解的稳定性,作图给出了数值解的渐近稳定域.华中科技大学硕士学位论文在第三章我们主要分析如下形式的中立型偏微分方程：∂u∂t=˜α(∂2u∂2x+∂2u∂2y)+˜βu(t−τ,x,y)+˜γ∫tt−τu(s,x,y)ds+˜a∂u(t−τ,x,y)∂t+˜b∂∂t(∫tt−τu(s,x,y)ds),t>0,u(t,x,y)=g(t,x,y),t∈[−τ,0],(x,y)∈Ω,u(t,x,y)=0,t>0,(x,y)∈∂Ω,其中(x,y)∈Ω=[0,L]×[0,L],˜α,˜β,˜γ,˜a,˜b∈R,L,τ∈R+.我们相应地给出了解析解与数值解渐近稳定的充要条件.在第四章我们用数值实验来验证梯形方法求解中立型积分-微分方程方程的有效性及稳定性结果.华中科技大学硕士学位论文2中立型延迟常微分方程的稳定性稳定性是衡量一个算法好坏的重要指标,在本章中,我们针对含有五个参数的中立型积分-微分方程,讨论其解析稳定性与数值稳定性.2.1方程的解析稳定性在本章中我们主要讨论如下形式的中立型积分-微分方程:ddt[y(t)−ay(t−τ)−b∫tt−τy(v)dv]=αy(t)+βy(t−τ)+γ∫tt−τy(v)dv,t>0,y(t)=φ(t),−τ≤t≤0,(2.1)其中a,b,α,β,γ∈R,τ∈R+,φ(t)为实值连续函数.定义2.1如果问题(2.1)的解析解y(t)满足limt→∞y(t)=0,则称解析解y(t)是渐近稳定的.Wu和Gan在文献[33]中研究了如下含有四个参数的中立型积分-微分方程:y′(t)=¯αy(t)+¯βy(t−τ)+γ∫tt−τy(s)ds+ηy′(t−τ),t>0,y(t)=φ(t),−τ≤t≤0,(2.2)其中¯α,¯β,γ,η∈R,τ∈R+,φ(t)为实值连续函数,其特征方程为λ−¯α−¯βexp(−λτ)−γ∫0−τexp(λs)ds−ηλexp(−λτ)=0.作者在文章中得到了解析解渐近稳定的结论,如下：引理2.1（参见文[33]）当|η|<1时,方程(2.2)的解析解是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)¯α<¯β+2(1−η)τ,(2)τ(¯α+¯β)<−¯γτ2<ϕ(ϕ+¯βτsinϕ−ηϕcosϕ)1−cosϕ,其中ϕ为¯α=¯β+(1−η)ϕsinϕτ(1−cosϕ)的根且ϕ∈[0,2π].华中科技大学硕士学位论文针对方程(2.2),我们引用[33]中的一个引理,在第三章证明偏微分方程渐近稳定性时我们需要用到.引理2.2（参见文[33]）若当|η|<1,¯α<0时,对于给定的¯β,γ值,方程(2.2)的所有根实部都小于0,那么对任意的x≤α,方程λ−x−¯βexp(−λτ)−γ∫0−τexp(λs)ds−ηλexp(−λτ)=0,的所有根的实部都小于0.针对含有五个参数的中立型积分-微分方程(2.1),我们可以将其变形为如下形式:y′(t)=(α+b)y(t)+(β−b)y(t−τ)+γ∫tt−τy(s)ds+ay′(t−τ),t>0, y(t)=φ(t),−τ≤t≤0.其特征方程为λ−(α+b)−(β−b)exp(−λτ)−γ∫0−τexp(λs)ds−aλexp(−λτ)=0.令α+b=¯α,β−b=¯β,a=η,通过引理2.1可得方程(2.1)解析解渐近稳定性的充要条件.定理2.1当|a|<1时,方程(2.1)是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)α+b<β−b+2(1−a)τ,(2)τ(α+β)<−γτ2<ψ[ψ+(β−b)τsinψ−aψcosψ]1−cosψ,其中ψ为α=β−2b+(1−a)ψsinψτ(1−cosψ)的根且ψ∈[0,2π].Wu和Gan在文[33]中研究带有四个参数的中立型积分-微分方程时,使用的研究方法为边界轨迹方法,画渐近稳定域时是以¯α,γ为坐标系,对应于我们研究的带有五个参数的中立型积分-微分方程就应该是以α+b,γ为坐标系,考虑到接下来我们需要研究数值解稳定域,进行离散时,并不能直接将其化为带有四个参数的中立型积分-微分方程形式,此时我们用边界轨迹方法研究数值解的稳定域时,应该以α,γ为坐标系,后续我们需要保证我们研究的数值方法是能保持方程的稳定性,那么需要分析解析解稳定域与数值解稳定域的关系,所以我们现在给出以α,γ为坐标系的解析解稳定域.方程(2.1)的解析解稳定域是以直线C∗和曲线C k为边界构成的区域,其表达式如下：C∗:{(α,γ)∈R2|α+β+γτ=0},(2.3)华中科技大学硕士学位论文C k:{(α(ψ),γ(ψ))|ψ∈(2kπ,(2k+2)π),k=0,1,2,···},(2.4)其中α(ψ)=β−2b+(1−a)ψsinψτ(1−cosψ),(2.5)γ(ψ)=−ψ[ψ+(β−b)τsinψ−aψcosψ]τ2(1−cosψ).(2.6)图2-1和图2-2给出了以α,γ为坐标系画出的方程(2.1)的解析解渐近稳定域.图2-1当τ=1,a=0.2,b=−0.2,β=1时,曲线C∗,C k的图像图2-2当τ=1,a=0.2,b=−1,β=2时,曲线C∗,C k图像华中科技大学硕士学位论文2.2带复合求积的梯形方法的数值稳定性针对方程(2.1),我们利用梯形方法进行数值求解,同时积分项∫tt −τy (s )ds 用复合梯形方法进行逼近.令步长h =τ/m ,t n =t 0+nh ,y n 和y n −m 分别为y (t )在t =t n ,t =t n −τ处的逼近值,则可得如下求解方程(2.1)的数值格式:[y n +1−ay n +1−m −bh 2(m −1∑j =0y n +1−j +m ∑j =1y n +1−j )]−[y n −ay n −m −b h 2(m −1∑j =0y n −j +m ∑j =1y n −j)]=h2[αy n +βy n −m +γh 2(m −1∑j =0y n −j +m ∑j =1y n −j)]+h2[αy n +1+βy n +1−m +γh 2(m −1∑j =0y n +1−j +m ∑j =1y n +1−j)].(2.7)定义2.2如果问题(2.1)的数值解y n 满足lim n →∞y n =0,则称数值解y n 是渐近稳定的.令y n =z n ,可得(2.7)的特征方程:(1−z −1)[1−az −m −bh 2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ]=h 2(1+z −1)[α+βz −m +hγ2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ].(2.8)将上式化简可得(1−z −1)(1+z −1)[1−az −m −bh 2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ]=h 2[α+βz −m +hγ2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ].(2.9)方程(2.7)的数值解是渐近稳定的,当且仅当特征方程(2.8)的根z 满足|z |<1,下面我们将用轨迹分析法来求解特征方程的根.对于连续问题中的α,γ,离散格式中我们用α∗,γ∗加以区别.令z −1=exp(iφ),其中i =√−1,φ∈[0,π],当φ=0即z =1时,那么式(2.8)等价于α∗+β+γ∗τ=0.令C ∗∗表示φ=0时的曲线,即C ∗∗:{(α∗,γ∗)∈R 2|α∗+β+γ∗τ=0}.当φ=0时,由华中科技大学硕士学位论文特征方程(2.8),可得(1−z−1) (1+z−1)[1−az−m−bh2(1+z−1)m−1∑j=0z−j]=h2[α∗+βz−m+hγ∗2(1+z−1)m−1∑j=0z−j].(2.10)将z−1=exp(iφ)代入上式,则有−i sinφ1+cosφ[1−a(cos mφ+i sin mφ)−bh2i(1+cosφ)sinφ(1−cos mφ−i sin mφ)]=h2[α∗+β(cos mφ+i sin mφ)+hγ∗2i(1+cosφ)sinφ(1−cos mφ−i sin mφ)].(2.11)比较(2.11)的实部与虚部有sinφ1+cosφ[a sin mφ+bh(1+cosφ)(1−cos mφ)2sinφ]=h2[α∗+βcos mφ+hγ∗2(1+cosφ)sin mφsinφ],(2.12)−sinφ1+cosφ[1−a cos mφ+bh(1+cosφ)sin mφ2sinφ]=h2[βsin mφ+hγ∗2(1+cosφ)[1−cos mφ]sinφ].(2.13)由式(2.12)和(2.13)可以写出α∗,γ∗的表达式:γ∗(φ)=−4sin2φ(1−a cos mφ)−2(β−b)h sinφsin mφ(1+cosφ)h2(1+cosφ)2(1−cos mφ),α∗(φ)=β−2b+2(1−a)sinφsin mφh(1−cos mφ)(1+cosφ).将h=τ/m代入上面两式化简有α∗(φ)=β−2b+2m(1−a)sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ),(2.14)γ∗(φ)=−4m2sin2φ(1−a cos mφ)−2mτ(β−b)sinφsin mφ(1+cosφ)τ2(1+cosφ)2(1−cos mφ).(2.15)记I∗k =(2kπm,2kπ+2πm),k=0,1,···⌊m2⌋−1,华中科技大学硕士学位论文其中⌊m2⌋表示m2的整数部分.当m为奇数时,则I∗k=((m−1)πm,π).C∗k表示φ=0时的曲线,其表达式为：C∗k :{(α∗(φ),γ∗(φ))|φ∈I∗k}.(2.16)由式(2.14)和(2.15),令φ→0时,则有(α∗(0),γ∗(0))=(β−2b+2(1−a)τ,−2[1+(β−b)τ−a]τ2).(2.17)根据C∗∗和C∗k 的表达式,我们将绘制图像C∗∗和C∗k.图2-3为当τ=1,a=0.2,b=−0.2,β=1,m=12时,C∗∗,C∗k的图像,图2-4为当τ=1,a=0.2,b=−0.2,β= 1,m=12时,C∗∗,C∗k的图像.图2-3当τ=1,a=0.2,b=−0.2,β=1,m=12时,C∗∗,C∗k的图像接下来我们将进一步研究曲线C∗∗和C∗k的一些性质.引理2.3当|a|<1时,曲线C∗k(β,a,b)是互不相交的.证明.我们首先假设φ1∈I∗k,φ2∈I∗l,k=l,可得α∗(φ1)=α∗(φ2),γ∗(φ1)=γ∗(φ2).由(2.14),(2.15)有如下等式β−2b+2m(1−a)sinφ1sin mφ1τ(1+cosφ1)(1−cos mφ1)=β−2b+2m(1−a)sinφ2sin mφ2τ(1+cosφ2)(1−cos mφ2),(2.18)华中科技大学硕士学位论文图2-4当τ=1,a=0.2,b=−1,β=5,m=12时,C∗∗,C∗k的图像−4m sin2φ1(1−a cos mφ1)−2m(β−b)τsinφ1sin mφ1(1+cosφ1)τ2(1+cosφ1)2(1−cos mφ1)=−4m sin2φ2(1−a cos mφ2)−2m(β−b)τsinφ2sin mφ2(1+cosφ2)τ2(1+cosφ2)2(1−cos mφ2).(2.19)等式(2.18)化简有sinφ1sin mφ1τ(1+cosφ1)(1−cos mφ1)=sinφ2sin mφ2τ(1+cosφ2)(1−cos mφ2),(2.20)将(2.20)代入到(2.19)得sin2φ1(1−a cos mφ1)τ2(1+cosφ1)2(1−cos mφ1)=sin2φ2(1−a cos mφ2)τ2(1+cosφ2)2(1−cos mφ2).(2.21)将(2.20)平方乘以(2.21)的倒数则有sin2(mφ1)(1−cos mφ1)(1−a cos(mφ1))=sin2(mφ2)(1−cos mφ2)(1−a cos(mφ2)).即为1−cos2(mφ1)(1−cos mφ1)(1−a cos(mφ1))=1−cos2(mφ2)(1−cos mφ2)(1−a cos(mφ2)).则有1+cos(mφ1) (1−a cos(mφ1))=1+cos(mφ2)(1−a cos(mφ2)).而1+cos(mφ)(1−a cos(mφ))关于cos(mφ)是单调递增的,所以cos(mφ1)=cos(mφ2),又由(2.21)则华中科技大学硕士学位论文有下列等式成立sin2φ1 (1+cosφ1)2=sin2φ2(1+cosφ2)2.当φ∈(0,π)时,函数sinφ1+cosφ关于φ是单调递增的,所以可以得到φ1=φ2.引理2.4当|a|<1,m>1时,曲线C∗k与直线α=β−2b只有一个交点,且交点的纵坐标值γk关于k是单调递减的.当m为奇数且a=b=0时,C∗⌊m/2⌋与直线α=β−2b不相交.证明.当|a|<1,m>1时,由(2.14)和(2.15)有α∗(φ)=β−2b+2m(1−a)sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ),γ∗(φ)=−4m2sin2φ(1−a cos mφ)−2mτ(β−b)sinφsin mφ(1+cosφ)τ2(1+cosφ)2(1−cos mφ).取φk=(2k+1)πm ,k=0,1,···⌊m2⌋−1,那么有α∗=β−2b,而γ∗(φk)=−2m2(1+a)sin2φkτ2(1+cosφk)2,从而可知γ∗k+1<γ∗k,即纵坐标γk关于k是单调递减的.而当m为奇数且a=b=0时,则有lim φ→πα∗(φ)=β−2b+2m2τ,limφ→πγ∗(φ)=−∞.因此引理获证.图2-3和图2-4给出了C∗∗,C∗k的图像,我们可以看到跟引理2.3和引理2.4研究的理论结果是一致的.根据引理2.3和引理2.4,我们知道当|a|<1时,曲线C∗k在平面(α,γ)上互不相交且按k大小顺序排列.根据文[45],当α=−|β|−1,γ=0,b=0,|a|<1时,方程(2.8)的特征根均满足|z|<1,所以(2.7)的稳定域在C∗∗和C∗0为边界的区域里.定理2.2当|a|<1,m=1时,格式(2.7)求解问题(2.1)得到的数值解是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)α<β−2b+2(1−a)τ,(2)α+β+γτ<0.华中科技大学硕士学位论文当|a|<1,m>1时,格式(2.7)求解问题(2.1)得到的数值解是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)α<β−2b+2(1−a)τ,(2)τ(α+β)<−γτ2<2m sinφm[2m sinφm(1−a cosφ)+(β−b)τsinφ(1+cosφm)](1+cosφm)2(1−cosφ),其中φ为α=β−2b+2m(1−a)φsinφmsinφτ(1−cosφ)(1+cosφm)的根且φ∈[0,2π].证明.根据上面的分析,我们可以知道格式(2.7)求解问题(2.1)的稳定域在C∗∗和C∗0为边界的区域里.当m=1时,由式(2.14)有α∗(φ)=β−2b+2m(1−a)sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ)=β−2b+2(1−a)τ.此时的边界轨迹曲线C∗是一条直线.当|a|<1,m=1时,格式(2.7)求解问题(2.1)得到的数值解是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)α<β−2b+2(1−a)τ,(2)α+β+γτ<0.当|a|<1,m>1时,格式(2.7)求解问题(2.1)的稳定域在C∗∗和C∗为边界的区域里,那么应该满足下列条件：(1)α<β−2b+2(1−a)τ,(2)α+β+γτ<0,(3)γ>−2m sinφm[2m sinφm(1−a cosφ)+(β−b)τsinφ(1+cosφm)]τ2(1+cosφm)2(1−cosφ),即(1)α<β−2b+2(1−a)τ,(2)τ(α+β)<−γτ2<2m sinφm[2m sinφm(1−a cosφ)+(β−b)τsinφ(1+cosφm)](1+cosφm)2(1−cosφ).因此定理获证.引理2.5若当|a|<1,m>1,I∗∈(0,2π/m)时,α∗(φ)和γ∗(φ)在(α+b,γ)左半平面都是单调递减的,则C∗在(α+b,γ)左半平面是严格单调递减的.华中科技大学硕士学位论文证明.当|a |<1,m >1,I ∗0∈(0,2π/m )时,α∗(φ)=β−2b +2m (1−a )sin φsin mφτ(1−cos mφ)(1+cos φ),此时α∗(φ)关于φ是单调递减的.对于γ(φ)来说dγ∗(φ)dφ=2m (β−b )τ(m sin φ−sin mφ)τ2(1+cos φ)(1−cos mφ)+−4m 2sin φ(2−2cos mφ−m sin φsin mφ)+4am 2sin φ[2cos mφ(1−cos mφ)−m sin φsin mφ]τ2(1+cos φ)2(1−cos mφ)2,由dγ∗(φ)dφ知道,当(β−b )τ≤g ∗(¯φ0)=minφ∈(0,2π/m ){g ∗(φ)=2m sin φ(2−2cos mφ−m sin φsin mφ)(1−cos mφ)(1+cos φ)(m sin φ−sin mφ)−2am sin φ[2cos mφ(1−cos mφ)−m sin φsin mφ](1−cos mφ)(1+cos φ)(m sin φ−sin mφ)}时,函数γ∗(φ)是单调递减的;当(β−b )τ>g ∗(¯φ0)时,存在有限个¯φk ∈(0,2π/m ),k =1,2,···N ,使得(γ∗(φ))′=0,其中¯φk 为方程g ∗(¯φk )=(β−b )τ的根.由(2.14)和(2.15)可知,这些¯φk 同时满足α∗(¯φk )+b =2m sin ¯φk [2−2cos m ¯φk −sin 2m ¯φk ]+2am sin ¯φk (1−cos m ¯φk )2τ(1−cos m ¯φk )(1+cos ¯φk )(m sin ¯φk −sin m ¯φk ),又当|a |<1,m >1时有α∗(¯φk )+b >2m sin ¯φk (2−2cos m ¯φk −sin 2m ¯φk )−2m sin ¯φk (1−cos m ¯φk )2τ(1−cos m ¯φk )(1+cos ¯φk )(m sin ¯φk −sin m ¯φk )=0,所以此时γ∗(φ)在(α+b,γ)左半平面是严格单调递减的.因此C ∗0在(α+b,γ)左半平面是严格单调的.因此引理获证.根据定理2.2和引理2.5,我们可以得到在后面章节中需要用到的一个定理.定理2.3若当|a |<1,α+b <0时,对于给定a,b,β,γ的值,(2.8)的所有根实部都小于0,则对任意的x ≤α+b ,方程(1−z −1)[1−az −m −bh 2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ]=h 2(1+z −1)[x +βz −m +hγ2(1+z −1)m −1∑j =0z −j ],的所有根实部都小于0.2.3解析解稳定域与数值解稳定域关系为了分析解析解与数值解稳定域的关系,我们来研究连续问题中的边界轨迹曲线C 0与离散格式中的边界轨迹曲线C ∗0之间的关系.华中科技大学硕士学位论文首先我们分析当m=1时的情况,对于离散格式中的边界轨迹曲线C∗,由等式(2.14)有α∗(φ)=β−2b+2m(1−a)sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ)=β−2b+2(1−a)τ,此时的离散格式中的边界轨迹曲线C∗是一条直线.对于连续问题中的边界轨迹曲线C0,由式(2.5)有α(φ)=β−2b+(1−a)ψsinψτ(1−cosψ),而ψ∈(0,2π)时,函数ψsinψ(1−cosψ)关于ψ是单调递减的,当ψ=0时,函数取到最大值,而此时lim ψ→0ψsinψ(1−cosψ)=limψ→0ψsinψ12sin2(ψ2)=2,所以有2>ψsinψ(1−cosψ),那么就有α(ψ)<α∗(φ).此时离散格式中的边界轨迹曲线C∗0位于连续问题中的边界轨迹曲线C0的右边,即离散问题中的稳定域包含连续问题中的稳定域.接下来我们研究m>1时的情况,为了得到连续问题中的边界轨迹曲线C0与离散格式中的边界轨迹曲线C∗之间的位置关系,我们先给出以下引理.引理2.6当|a|<1且m>1时,曲线C0与曲线C∗0在(α,γ)平面上仅在点(β−2b+2(1−a)τ,−2[1+(β−b)τ−a]τ2)处相交.证明.假设存在mφ,ψ∈(0,2π),使得α(ψ)=α∗(φ),γ(ψ)=γ∗(φ),那么由式(2.5)、(2.6)、(2.14)和(2.15)有β−2b+(1−a)ψsinψτ(1−cosψ)=β−2b+2m(1−a)sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ),(2.22)−ψ2−(β−b)τψsinψ+aψ2cosψτ2(1−cosψ)=−4m2sin2φ(1−a cos mφ)−2mτ(β−b)sinφsin mφ(1+cosφ)τ2(1+cosφ)2(1−cos mφ).(2.23)等式(2.22)化简则有ψsinψτ(1−cosψ)=2m sinφsin mφτ(1−cos mφ)(1+cosφ).(2.24)将(2.24)代入(2.23),可以得到ψ2(1−a cosψ)τ2(1−cosψ)=4m2sin2φ(1−a cos mφ)τ2(1+cosφ)2(1−cos mφ).(2.25)华中科技大学硕士学位论文将(2.24)平方乘以(2.25)的倒数有sin 2ψ(1−cos ψ)(1−a cos ψ)=sin 2mφ(1−cos mφ)(1−a cos mφ).(2.26)即为1−cos 2ψ(1−cos ψ)(1−a cos ψ)=1−cos 2mφ(1−cos mφ)(1−a cos mφ).(2.27)则可以得到cos ψ=cos mφ.又由(2.25),那么有ψ2=4m 2sin 2φ(1+cos φ)2>(mφ)2,(2.28)又因cos mφ=cos ψ,所以我们可以得到mφ+ψ=2π,ψ∈(π,2π),mφ∈(0,π).可等式(2.24)的左边为负,右边为正,故得到矛盾,所以曲线C 0与C ∗0在(α,γ)平面上仅在点(β−2b +2(1−a )τ,−2[1+(β−b )τ−a ]τ2)处相交,引理获证.引理2.7当|a |<1且m >1时,在平面(α,γ)中,曲线C ∗0在曲线C 0下方.证明.对于连续问题中的曲线C 0有下列等式成立:α(ψ)=β−2b +(1−a )ψsin ψτ(1−cos ψ),γ(ψ)=−ψ[ψ+(β−b )τsin ψ−aψcos ψ]τ2(1−cos ψ).对于离散格式中的曲线C ∗0有下列等式成立:α∗(φ)=β−2b +2m (1−a )sin φsin mφτ(1−cos mφ)(1+cos φ),γ∗(φ)=−4m 2sin 2φ(1−a cos mφ)−2mτ(β−b )sin φsin mφ(1+cos φ)τ2(1+cos φ)2(1−cos mφ).取ψ=π,φ=πm ,有α(π)=α∗(πm ),γ(π)>γ∗(πm ).根据引理2.5,我们知道曲线C 0与曲线C ∗0在(α,γ)平面上仅在点(β−2b +2(1−a )τ,−2[1+(β−b )τ−a ]τ2)处相交,故可知此时曲线C ∗在曲线C 0下方.因此引理获证. 综上分析,我们知道当|a |<1时,离散问题中的边界轨迹曲线C ∗在连续问题中的边界轨迹曲线C 0下方.定理2.4若当|a |<1时,a,b,α,β,γ满足定理2.1中的条件,则格式(2.8)关于方程(2.1)是稳定的.华中科技大学硕士学位论文证明.连续问题中的边界轨迹曲线为C∗:{(α,γ)∈R2|α+β+γτ=0}和C0,而离散问题中的轨迹曲线为C∗∗:{(α∗,γ∗)∈R2|α∗+β+γ∗τ=0}和C∗0,而由上面的分析,是位于C0的下方,所以我们可以知道离散问题中的稳定域包含连续问题中的稳定C∗域，即则格式(2.8)关于方程(2.1)是稳定的.因此定理获证.华中科技大学硕士学位论文3中立型延迟偏微分方程的稳定性在前面章节中,我们研究了中立型常微分方程的渐近稳定性,在本章,我们将研究中立型延迟偏微分方程的稳定性.3.1方程的解析稳定性我们在本章中主要研究以下类型的中立型偏微分方程:∂u ∂t =˜α(∂2u ∂2x +∂2u ∂2y )+˜βu (t −τ,x,y )+˜γ∫t t −τu (s,x,y )ds +˜a ∂u (t −τ,x,y )∂t+˜b ∂∂t (∫t t −τu (s,x,y )ds ),t >0,u (t,x,y )=g (t,x,y ),t ∈[−τ,0],(x,y )∈Ω,u (t,x,y )=0,t >0,(x,y )∈∂Ω,(3.1)其中(x,y )∈Ω=[0,L ]×[0,L ],˜α,˜β,˜γ,˜a ,˜b ∈R ,L,τ∈R +.那么上式的特征方程为（参见文[38]）：λ=˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]+(˜β−˜b )exp(−λτ)+˜γ∫0−τexp(λs )ds +˜a λexp(−λτ),k,l =1,2,···.(3.2)当|˜a |<1时,(3.1)是渐近稳定的等价于(3.2)的根实部都小于零.根据2.1节中对方程(2.1)的特征方程的研究,令α+b =˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2],β−b =˜β−˜b,γ=˜γ,a =˜a .要使得(3.1)是渐近稳定的,有下列条件成立(1)˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]<˜β−˜b +2(1−˜a )τ,(2)˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]+˜β−˜b <−˜γτ,(3)−˜γτ2<ψ[ψ+(˜β−˜b )τsin ψ−˜a ψcos ψ]1−cos ψ,其中ψ为˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]=˜β−˜b +(1−˜a )ψsin ψτ(1−cos ψ)的根且ψ∈[0,2π].华中科技大学硕士学位论文定理3.1当|˜a |<1时,方程(3.1)是渐近稳定的当且仅当下列三个条件成立:(1)˜α≥0,(2)˜b −2˜απ2/L 2<˜β−˜b +2(1−˜a )τ,(3)τ(−2˜απ2/L 2+˜β)<−˜γτ2<ψ[ψ+(˜β−˜b )τsin ψ−˜a ψcos ψ]1−cos ψ,其中ψ为−2˜απ2/L 2=˜β−2˜b +(1−˜a )ψsin ψτ(1−cos ψ)的根且ψ∈[0,2π].证明.要使得˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]<˜β−˜b +2(1−˜a )τ,k,l =1,2,···,成立,那么˜α≥0.根据引理2.2我们要使得˜b −˜α[(kπL )2+(lπL )2]取得最大值,那么此时k =l =1.所以根据定理2.1,当|˜a |<1时,方程(3.1)是渐近稳定的当且仅当下列条件成立:(1)˜α≥0,(2)˜b −2˜απ2/L 2<˜β−˜b +2(1−˜a )τ,(3)τ(−2˜απ2/L 2+˜β)<−˜γτ2<ψ[ψ+(˜β−˜b )τsin ψ−˜a ψcos ψ]1−cos ψ,其中ψ为−2˜απ2/L 2=˜β−2˜b +(1−˜a )ψsin ψτ(1−cos ψ)的根且ψ∈[0,2π].3.2方法的数值稳定性我们将空间(x,y )离散为(N +2)×(N +2),步长则为∆x =∆y =L/(N +1),那么有x i =i ∆x,y j =j ∆y,i,j =0,1,···,N +1.拉普拉斯算子我们用中心差分进行逼近,那么有u ′i,j (t )=˜α(u i +1,j (t )+u i −1,j (t )+u i,j +1(t )+u i,j −1(t )−4u i,j (t )∆x2)+˜βu i,j (t −τ)+˜γ∫tt −τu i,j (s )ds +˜a u ′i,j (t −τ)+˜b (∫t t −τu i,j (s )ds )′.(3.3)其中u i,j (t )表示u (t,x i ,y j )的逼近值.根据文献[27]中3.2节,我们可以将(3.3)的特征方程写成如下形式:λ−(˜b +˜a λij )−(˜β−˜b )−˜γ∫0−τexp(λs )ds −˜a λexp(−λτ)=0,其中λij =−4(N +1)2L 2(sin 2iπ2(N +1)+sin 2jπ2(N +1)),i,j =1,2,···,N.华中科技大学硕士学位论文定理3.2当˜α≥0,|˜a|<1,λ11=−8(N+1)2L2sin2π2(N+1)时,方程(3.3)是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)˜b+˜αλ11<˜β−˜b+2(1−˜a)τ,(2)τ(˜αλ11+˜β)<−˜γτ2<ψ[ψ+(˜β−˜b)τsinψ−˜aψcosψ]1−cosψ,其中ψ为˜αλ11=˜β−2˜b+(1−˜a)ψsinψτ(1−cosψ)的根且ψ∈[0,2π].证明.根据引理2.2我们要使得˜b+˜αλij取得最大值,那么此时i=j=1.所以根据定理2.1,当˜α≥0,|˜a|<1,λ11=−8(N+1)2L2sin2π2(N+1)时,方程(3.3)是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)˜b+˜αλ11<˜β−˜b+2(1−˜a)τ,(2)τ(˜αλ11+˜β)<−˜γτ2<ψ[ψ+(˜β−˜b)τsinψ−˜aψcosψ]1−cosψ,其中ψ为˜αλ11=˜β−2˜b+(1−˜a)ψsinψτ(1−cosψ)的根且ψ∈[0,2π]. 将方程(3.3)用梯形方法离散,积分项用复合梯形公式逼近,那么全离散格式为u n+1i,j−u n i,j∆t −˜au n+1−mi,j−u n−mi,j∆t−˜b2[(m−1∑k=0u n+1−ki,j+m∑k=1u n+1−ki,j)−(m−1∑k=0u n−ki,j+m∑k=1u n−ki,j)]=˜α2(u n+1i+1,j+u n+1i−1,j+u n+1i,j+1+u n+1i,j−1−4u n+1i,j∆x2)+˜α2(u ni+1,j+u ni−1,j+u ni,j+1+u ni,j−1−4u n i,j∆x2) +˜β2u n+1−mi,j+˜γ∆t4(m−1∑k=0u n+1−ki,j+m∑k=1u n+1−ki,j)+˜β2u n−mi,j+˜γ∆t4(m−1∑k=0u n−ki,j+m∑k=1u n−ki,j),(3.4)其中i,j=1,2,···,N,时间步长为∆t=τ/m,u ni,j表示u(n∆t,i∆x,j∆y)的逼近值.类似于定理3.2的证明,根据定理2.2和定理2.3,则可以得到数值解渐近稳定的的充要条件：定理3.3当˜α≥0,|˜a|<1,λ11=−8(N+1)2L2sin2π2(N+1),m=1时,(3.4)是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)˜b+˜αλ11<˜β−˜b+2(1−˜a)τ,华中科技大学硕士学位论文(2)˜αλ11+˜β+˜γτ<0.当˜α≥0,|˜a|<1,λ11=−8(N+1)2L2sin2π2(N+1),m>1时,(3.4)是渐近稳定的当且仅当下列两个条件成立:(1)˜b+˜αλ11<˜β−˜b+2(1−˜a)τ,(2)τ(˜αλ11+˜β)<−˜γτ2<2m sinφm[2m sinφm(1−˜a cosφ)+(˜β−˜b)τsinφ(1+cosφm)](1+cosφm)2(1−cosφ),其中φ为˜αλ11=˜β−2˜b+2m(1−˜a)φsinφmsinφτ(1−cosφ)(1+cosφm)的根且φ∈[0,2π].根据文献[27]中的定理3.9,我们令˜a=˜b=0,则可以得到梯形方法并不能保持对应偏微分方程的渐近稳定性,但是我们可以得到以下结论：定理3.4当|˜a|<1时,(3.4)的渐近稳定域的边界线以o(m−2)+o((N+1)−2)或者o((∆t)2)+o((∆x)2)逼近(3.1)在平面(˜α,˜γ)右半部分渐近稳定区域的局部边界.证明.当|¯d|<1时,则有limN→∞(λ11(N)−(−2π2/L2))=o((N+1)−2),limm→∞(α∗(φ/m)−α(φ))=o(m−2),其中λ11(N)=−8(N+1)2L2sin2π2(N+1),α(ψ)=˜β−2˜b+(1−˜a)ψsinψτ(1−cosψ),α∗(φ)=˜β−2˜b+2m(1−˜a)φsinφmsinφτ(1−cosφ)(1+cosφm).又因为o((N+1)−2)=o((∆x)2)和o(m−2)=o((∆t)2),那么可以推出以下等式:limm,N→(∞,∞)(˜α∗(φ/m)−˜α(φ))=limm,N→(∞,∞)(α∗(φ/m)λ11(N)−α(φ)−2π2/L2)华中科技大学硕士学位论文=limm,N→(∞,∞)(α∗(φ/m)−α(φ)λ11(N)−α(φ)(λ11(N)+2π2/L2)λ11(N)(−2π2/L2))=o((∆t)2)+o((∆x)2),limm,N→(∞,∞)(˜γ∗(φ/m)−˜γ(φ))=o(m−2)=o((∆t)2),其中˜α∗(φ/m)=α∗(φ/m)λ11(N),˜α(φ)=α(φ)−2π2/L2,˜γ(φ)=−φ[φ+(˜β−˜b)τsinφ−˜aφcosφ]τ2(1−cosφ),˜γ∗(φ)=−4m2sin2φ(1−˜a cos mφ)−2mτ(˜β−˜b)sinφsin mφ(1+cosφ)τ2(1+cosφ)2(1−cos mφ).(˜α∗(φ/m),˜γ∗(φ/m))表示(3.4)的渐近稳定域的局部边界线,(˜α(φ),˜γ(φ))表示平面(˜α,˜γ)右半部分(3.1)渐近稳定区域的局部边界.图3-1当˜a=0.8,˜b=−0.2,˜β=3时,解析稳定域与数值稳定域局部边界图图3-1给出了解析稳定域与数值稳定域局部边界图,其中曲线C(1)表示解析解渐近稳定域的局部边界,曲线C(3,9)表示格式(3.4)中m=3,N=9时数值解渐近稳定域的局部边界,曲线C(4,16)表示格式(3.4)中m=4,N=16时数值解渐近稳定域的局部边界,曲线C(5,25)表示格式(3.4)中m=5,N=25时数值解渐近稳定域的局部边界.华中科技大学硕士学位论文4数值算例在本章中,我们将通过数值算例验证得到的理论结果.此外,方法的全局误差和收敛阶分别定义如下:err(h)=max1≤n≤N ∥y n−y(t n)∥∞,p≈log2[err(h)err(h/2)].例4.1考虑如下的中立型积分-微分方程初值问题ddt[y(t)−0.5y(t−1)+2.5∫tt−1y(v)dv]=0.5y(t)−2.5y(t−1)−∫tt−1y(v)dv,0≤t≤20,y(t)=e t,−1≤t≤0.(4.1)对于该问题,可知α=0.5,β=−2.5,γ=−1,a=0.5,b=−2.5,直接计算可知定理2.1中的条件(1)(2)满足,那么问题(4.1)的解析解是渐近稳定的.我们取步长h=1/1024时的数值解作为方程的参考解,图4-1给出了参考解的图像.图4-1问题(4.1)的参考解我们取步长h=1/2i(i=4,5,6,7),利用格式(2.7)求解问题(4.1),由定理2.2可知数值解是渐近稳定的,图4-2给出了数值解的图像.为了进一步验证算法的有效性,我们取步长h=1/2i(i=4,5,6,7),利用格式(2.7)求解问题(4.1),表4.1是梯形方法求解问题(4.1)的全局误差和收敛阶.算例结果表明,梯形方法是二阶收敛的.华中科技大学硕士学位论文(a)m=16(b)m=32(c)m=64(d)m=128图4-2格式(2.7)求解问题(4.1)的数值解图像表4.1梯形方法求解问题(4.1)的全局误差和收敛阶h err(h)p1/16 1.2000E-03-1/32 3.1041E-04 1.9508 1/647.7348E-05 2.0048 1/128 1.9108E-05 2.0172华中科技大学硕士学位论文例4.2考虑如下的中立型积分-微分方程初值问题ddt[y(t)−0.1y(t−1)+5∫tt−1y(v)dv]=y(t)−5y(t−1)−5∫tt−1y(v)dv,0≤t≤20,y(t)=sin2t,−1≤t≤0.(4.2)对于该问题,可知α=1,β=−5,γ=−1,a=0.1,b=−5,直接计算可知定理2.1中的条件(1)(2)满足,那么问题(4.2)的解析解是渐近稳定的.我们取步长h=1/1024时的数值解作为方程的参考解,图4-3给出了参考解的图像.图4-3问题(4.2)的参考解我们取步长h=1/2i(i=4,5,6,7),利用格式(2.7)求解问题(4.2),由定理2.2可知数值解是渐近稳定的,图4-4给出了数值解的图像.为了进一步验证算法的有效性,我们取步长h=1/2i(i=4,5,6,7),利用格式(2.7)求解问题(4.2),表4.2是梯形方法求解问题(4.2)的全局误差和收敛阶.算例结果表明,梯形方法是二阶收敛的.表4.2梯形方法求解问题(4.2)的全局误差和收敛阶h err(h)p1/16 3.4753E-04-1/328.6506E-05 2.00631/64 2.1560E-05 2.00441/128 5.3255E-06 2.0174华中科技大学硕士学位论文(a)m=16(b)m=32(c)m=64(d)m=128图4-4格式(2.7)求解问题(4.2)的数值解图像例4.3考虑如下的中立型积分-微分方程初边值问题∂u(t,x)∂t=0.8∂2∂2xu(t,x)+3.3u(t−1,x)−5∫tt−1u(s,x)ds+0.8∂u(t−1,x)∂t−0.1∂∂t(∫tt−1u(s,x)ds),t>0,u(t,x)=sin(πx),t≤0,0<x<1,u(t,0)=u(t,1)=0,t>0.(4.3)对于该问题,可知˜α=0.8,˜β=3.3,˜γ=−5,˜a=0.8,˜b=−0.1,直接计算可知定理3.1中的条件(1)(2)(3)满足,那么问题(4.3)的解析解是渐近稳定的.我们取时间步长∆t=1/1024,空间步长∆x=1/100时的数值解作为方程的参考解,图4-5给出了参考解的图像.我们取时间步长∆t=1/2i(i=5,6,7,8),空间步长∆x=1/100,利用格式(3.4)求解问题(4.3),由定理3.3可知数值解是渐近稳定的,图4-6给出了数值解的图像.为了进一步验证算法的有效性,我们取时间步长∆t=1/2i(i=5,6,7,8),空间步长∆x=1/100,利用格式(3.4)求解问题(4.3),表4.3是梯形方法求解问题(4.3)的全局误差和收敛阶.算例结果表明,梯形方法是二阶收敛的.。

中立型时滞模型的周期正解

396Vol.39,No.6199611ACTA MATHEMATICA SINICANov.,1996(650091):N (t )=N (t )[a (t )−β(t )N (t )−b (t )N (t −τ(t ))−c (t )N (t −τ(t ))][1][2]1[3−5].(Hopf)Gopalsamy [2]LogisticN (t )=r (t )N (t ) 1−N (t −mω)+c (t )N(t −mω)K (t ) (1)ωr (t ),c (t ),K (t )ωmω(1)ωu(t )=r (t )u (t )1−u (t )+c (t )u (t )K (t )(2)ω(2)u (t )=r (t )u (t )K (t )−u (t )K (t )+c (t )r (t ).(3)[6](3)ω(2)ω(2)(3),(3)ω(2)ω(1)[1,2,7,8],(1)N (t )=N (t )[a (t )−β(t )N (t )−b (t )N (t −τ(t ))−c (t )N (t −τ(t ))](4)a (t ),β(t ),b (t )c (t )T(1)(4)(4)T[1]9.2.1(1)ω2,4[1]1[1](1)ω[2]199511979039X,Z BanachLx=λNx,λ∈(0,1),L:dom L∩X→ZλN:X→ZP:dom L∩X→X,Q:Z→Z/Im L,Im P=ker L,Im L=ker Q.MawhinX,Z Banach L0FredholmΩX N:Ω→ZΩLi)Lx=λNx,x∈∂Ω∩dom L,λ∈(0,1),ii)QNx=0,x∈∂Ω∩ker L,deg{QN,Ω∩ker L,0}=0,Lx=NxΩ21(1)ωx (t)=r(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)e,(5)r(t),c(t)K(t)(1)X=Z={x(t)∈C(R,R):x(t+ω)=x(t)}, |x|0=maxt∈[0,ω]|x(t)|.X|·|0BanachLx=x ,Nx=r(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)e,P x=Qx=1ωωx(t)dt,x∈X.L0Fredholm XΩ,NΩL Lx=λNx,λ∈(0,1)x (t)=λr(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)e x(t).(6)x(t)(6)ω(6)0ωω0r(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)e x(t)dt=0,(7)ω0r(t)dt=ωr(t)K(t)K(t)dt≥ωr(t)K(t)K(t)+c(t)r(t)e x(t)dt=ωr(t)e x(t)K(t)+c(t)r(t)e x(t)dt.ωr(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)edt≤2ωr(t)dt.6791(6)ω0|x |dt≤λωr(t)K(t)−e x(t)K(t)+c(t)r(t)edt<2ωr(t)dt,ω|x |dt≤2ωr(t)dt.(8)(7)t∗∈[0,ω]|x(t∗)|≤|ln|K|0|,(9)(8)(9)|x|0≤|x(t∗)|+ ω|x |dt<|ln|K|0|+2ωr(t)dt.|ln|K|0|+2 ωr(t)dt=M,Ω={x(t)∈X:|x|0<M}.∀x∈∂Ω,∀λ∈(0,1)Lx=λNx.x∈∂Ω∩ker L=∂Ω∩R x|x|=M,QNx=1ωωr(t)K(t)−e xK(t)+c(t)r(t)e xdt=0.Φ(x,µ)=µx−(1−µ)QNx.∀x∈∂Ω∩ker Lµ∈[0,1],xΦ(x,µ)=µx2−(1−µ)x·QNx>0,Φ(x,µ)=0,Φ(x,µ)deg{QN,Ω∩ker L,0}= deg{−x,Ω∩R,0}=0.Ω(5)ωu(t)=e x(t),u (t)=r(t)u(t)K(t)−u(t)K(t)+c(t)r(t)u(t)(10)ω(10)ω(2)ω(1)ω121c(t)≡01[7]2(4)a(t),β(t)∈C(R,(0,+∞)),c(t),τ(t)∈C1(R,R+),c (t)<b(t),|1−τ |0·|c|0·e R<1,R=ln aβm +|c|0a(b−c )m+2aT,a=1TTa(t)dt,βm=mint∈[0,T]β(t),(b−c )m=mint∈[0,T](b(t)−a(t)),|1−τ |0=maxt∈[0,T]|1−τ (t)|,|c|0=maxt∈[0,T]c(t).(4)Tx (t)=a(t)−β(t)e x(t)−b(t)e x(t−τ(t))−c(t)(1−τ (t))x (t−τ(t))e x(t−τ(t)).(11) X={x(t)∈C (R,R):x(t+T)=x(t)},Z={z(t)∈C(R,R):z(t+T)=z(t)},|x|0=maxt∈[0,T]|x(t)|,|x|1=|x|0+|x |0.X,Z|·|1|·|0Banach Lx=x ,Nx=a(t)−β(t)e x(t)−b(t)e x(t−τ(t))−c(t)(1−τ (t))x (t−τ(t))e x(t−τ(t)),79239P x=1TTx(t)dt,x∈X,Qz=1TTz(t)dt,z∈Z.L0Fredholm XΩ,NΩL Lx=λNx,λ∈(0,1)x (t)=λ[a(t)−β(t)e x(t)−b(t)e x(t−τ(t))−c(t)(1−τ (t))x (t−τ(t))e x(t−τ(t))],λ∈(0,1).(12) x(t)(12)T(12)0TT[a(t)−β(t)e x(t)−(b(t)−c (t))e x(t−τ(t))]dt=0,T0[β(t)e x(t)+(b(t)−c (t))e x(t−τ(t))]dt=Ta(t)dt.(13)(12)(13) T|[x(t)+λc(t)e x(t−τ(t))] |dt≤λTa(t)dt+T(b(t)−c (t))e x(t−τ(t))dt<2Ta(t)dt=2aT,T|[x(t)+λc(t)e x(t−τ(t))] |dt<2aT.(14) (13)ξ∈[0,T]β(ξ)e x(ξ)+(b(ξ)−c (ξ))e x(ξ−τ(ξ))=a,x(ξ)<lnaβ(ξ)≤ln aβm,e x(ξ−τ(ξ))<a(b(ξ)−c (ξ))≤a(b−c )m.(15) (14)(15)x(t)+λc(t)e x(t−τ(t))≤[x(ξ)+λc(ξ)e x(ξ−τ(ξ))]+T|[x(t)+λc(t)e x(t−τ(t))] |dt<lnaβm+|c|0a(b−c )m+2aT=R,x(t)+λc(t)e x(t−τ(t))<R.λc(t)e x(t−τ(t))>0,x(t)<R.(12)|x (t)|≤λ[a(t)+β(t)e x(t)+b(t)e x(t−τ(t))+c(t)|1−τ (t)|·|x (t−τ(t))|e x(t−τ(t))] <λ|a|0+|β|0e R+|b|0e R+|c|0|1−τ |0|x |0e R,|x |0<|a|0+|β|0e R+|b|0e R+|c|0|1−τ |0|x |0e R.|c|0|1−τ |0e R<1,|x |0<|a0|+|β0|e R+|b|0e R1−|c|0|1−τ |0e RM1.(16)(13)t1∈[0,T]M2>0,x(t1)>−M2.(17)6793 t2∈[0,T]M3>0,x(t2−τ(t2))>−M3.t2−τ(t2)=nT+t0, t0∈[0,T],nx(t0)>−M3.(18) M i(i=1,2)a−βe−M i−be−M i>0,i=1,2.(15),(17)(18)t∗∈[0,T]|x(t∗)|<maxln aβm,M2,M3M4.(16)|x|0≤|x(t∗)|+ T|x |0dt<M4+M1T M5.M i(i=1,2,3,4,5)λM=M1+M5,Ω={x(t)∈X:|x|1<M},∀x∈∂Ω,∀λ∈(0,1)Lx=λNx.x∈∂Ω∩ker L=∂Ω∩R x|x|=M,QNx=1TT[a(t)−β(t)e x−b(t)e x]dt=a−βe x−be x=0.deg{QN,Ω∩ker L,0}=0.Ω(11) T N(t)=e x(t)(4)T21N (t)=N(t)e−2−e−3sin t2π−e sin t+1N(t)−2−12cos tN(t−2+sin2t)−1−12sin tN (t−2+sin2t)12π31(4)T c(t)41[1]9.2.3(4)a(t)>0,c(t)≡0,(4)Tx (t)=a(t)−β(t)e x(t)−b(t)e x(t−τ(t)).1,2T N(t)=e x(t)(4)T53[7]4(4)β(t)≡0,b(t)≡b(>0),c(t)≡c,τ(t)≡τce S<1,S=ln aθ1b +acθ2b+2aT,θ1,θ2>0,θ1+θ2=1,a=1TTa(t)dt.(4)Tx (t)=a(t)−be x(t−τ)−cx (t−τ)e x(t−τ).(19) X,Z2Lx=x ,Nx=a(t)−be x(t−τ)−cx (t−τ)e x(t−τ),P x=1TTx(t)dt,x∈X,Qz=1TTz(t)dt,z∈Z.79439 Lx=λNx,λ∈(0,1)x (t)=λ[a(t)−be x(t−τ)−cx (t−τ)e x(t−τ)],λ∈(0,1).(20) x(t)(20)T(20)0TT[a(t)−be x(t−τ)]dt=0,(21) T0a(t)dt=Tbe x(t−τ)dt=Tθ1be x(t−τ)+θ2be x(t−τ)dt.(22)T T (22)ξ∈[0,T]T0a(t)dt=Tθ1be x(t)+θ2be x(t−τ)dt=Tθ1be x(ξ)+θ2be x(ξ−τ),θ1e x(ξ)+θ2e x(ξ−τ)=a b.x(ξ)<lnaθ1b,e x(ξ−τ)<aθ2b.(23)(20)(22)T0|[x(t)+λce x(t−τ)] |dt≤λTa(t)dt+bTe x(t−τ)dt<2Ta(t)dt=2aT.T[x(t)+λce x(t−τ)] |dt<2aT.(24)(23)(24)x(t)+λce x(t−τ)≤x(ξ)+λce x(ξ−τ)+ T|[x(t)+λce x(t−τ)] |dt<ln aθ1b+acθ2b+2aT=S,x(t)+λce x(t−τ)<S.λce x(t−τ)>0,x(t)<S.(25) (20)(24)|x (t)|≤λ[a(t)+be x(t−τ)+c|x (t−τ)|e x(t−τ)]<λ|a|0+be S+c|x |0e S,|x |0<|a|0+be S+c|x |0e S.ce S<1,|x |0<|a|0+be S1−ce SM1.(26)(21)t∗∈[0,T]x(t∗)=ln a b.(26)|x|0≤|x(t∗)|+T 0|x |dt<ln ab+M1T M2.M i(i=1,2)λM=M1+M2,6795Ω={x(t)∈X:|x|1<M}.Ω(19)TN(t)=e x(t)(4)T42N (t)=N(t)1−cos2tπe2−2N(t−τ)−7N (t−τ),τ≥044π64θi(i=1,2)2θ1=θ2=12.74[1]9.2.[1]Kuang Y.Delay Diﬀerential Equations with Applications in Population Dynamics.New York:AcademicPress,1993.[2]Gopalsamy K,He X,Wen L.On a periodic neutral logistic equation.Glasgow Math J,1991,33:281–286.[3]Gyori I,Wu J.A neutral equation arising from compartmental systems with pipes.J Dyn DiﬀEqns,1991,3:289-311.[4]Kuang Y,Feldstein A.Boundness of solutions of nonlinear nonautonomous neutral delay equations.J MathAnal Appl,1991,156:192–204.[5]Gopalsamy K.Stability and Oscillations in Delay Diﬀerential Equations of Population Dynamics.Boston:Kluwer Academic Publishers,1992.[6]Yoshizawa T.Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost Periodic Solutions.NewYork:Springer-Verlag,1975.[7]Zhang B G,Gopalsamy K.Global attractivity and oscillations in periodic delay logistic equations.J MathAnal Appl,1990,150:274–283.[8]Gopalsamy K,Zhang B G.On a neutral delay logistic equations.Dyn Stab Systems,1988,2:183–195.[9]Gaines R E,Mawhin J L.Concidence Degree and Nonlinear Diﬀerential Equations.Berlin:Springer,1977. Positive Periodic Solution for Neutral Delay ModelLi Yongkun(Department of Mathematics,Yunan University,Kunming650091,China)Abstract:In this paper,we employ some new technics to study the existence of a positive periodic solution of the neutral delay modelN (t)=N(t)[a(t)−β(t)N(t)−b(t)N(t−τ(t))−c(t)N (t−τ(t))].Our results in this paper answer an open question in[1]and correct the mistakes in[2]. Keywords:Neutral delay model,Positive periodic solution,Topological degree。

【国家自然科学基金】_周期解的存在性_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730

科研热词推荐指数周期解 39 正周期解 11 概周期解 10 存在性 9 重合度 7 时滞 7 无穷时滞 6 泛函微分方程 5 差分方程 5 脉冲 4 渐近概周期解 4 全局吸引性 4 逐段常变量 3 稳定性 3 渐近概周期序列 3 扩散 3 偏差变元 3 临界点 3 中立型微分方程 3 不动点定理 3 liapunov函数 3 高阶liénard型方程 2 非线性 2 锥不动点定理 2 重合度理论 2 脉冲效应 2 脉冲微分方程 2 神经网络 2 环绕定理 2 持续生存 2 抛物型方程 2 微分方程 2 延拓定理 2 叠合度 2 变时滞 2 反问题 2 反周期解 2 全局渐近稳定 2 中立型 2 不动点 2 rayleigh方程 2 lyapunov函数 2 lotka-volterra系统 2 leray-schauder不动点定理 2 高阶差分方程 1 高阶中立型泛函微分方程 1 食物-种群系统 1 非自治捕食-被捕食系统 1 重合度拓展理论 1 重合度. 1 遥远概周期函数 1 退化时滞微分方程 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
科研热词周期解重合度时滞正周期解稳定性存在性微分方程脉冲概周期解时滞微分方程拓扑度周期边值问题反馈控制不动点定理 hopf分支重合度理论时间周期解差分方程多解性临界点 lyapunov函数 duffing方程零航速阶段结构捕食系统逐段常变量神经网络特征方程特征值渐近概周期解正解无扭周期解收获率捕食者-食饵系统捕食与被捕食扩散平衡点局部渐近稳定吕卡提方程反周期解分歧分布时滞全局指数稳定性先验估计中立型微分方程中立型不动点理论不动点 lotka-volterra系统 logistic模型 kdv方程 hopf分岔 aubry-mather集

中立型随机微分方程概周期解分析

中立型随机微分方程概周期解分析1 引言H.Bohr[9] 率先介绍了概周期数值函数的概念，S.Bochner[8]将其扩展到波兰空间。

关于概周期函数的其他文献，我们可以参考[10,11,12]等。

Slutsky[14]首次将概周期概念引入到多维随机过程。

最近，Bezandry和Diagana在[2]-[7]中系统地讨论了各类随机微分方程概周期温和解的存在唯一性。

设是通常的完备概率空间；和是两个实Hilbert空间；表示所有从J到H的Hilbert-Schmidt算子组成的空间，并赋以Hilbert-Schmidt范数；是具有有限迹的非负对称算子；是定义在上取值为J的可测的Q-Wiener过程，其中表示所有可测且平方可积H-值随机变量组成的集合，显然当其赋以范数时是一个Banach空间；和，规定范数，此处表示的转置。

2 问题描述以[2]-[7]为基础，我们考虑下列非自治中立型随机微分方程的均方概周期温和解的存在唯一性：（1）其中，是值随机过程，表示定义在上的H值函数组成的空间，若规定范数为：，那么它是一个Banach空间。

是满足一些假设的连续函数。

A(t)是满足(AT)条件的紧闭线性算子。

3 定义和假设我们定义如下实插值空间(参考[15]1.7节)：，当赋以范数时，它是一个Banach空间。

于是对任意的和，我们有；特别地，。

本文假设：是满足以下条件的紧闭线性算子(参考[3])：(1) (AT)条件(参考[1])且对于(AT)条件中的有，，其中表示有界线性算子；(2) ，且存在，使得对任意的，成为的实插值空间；(3) 与可交换，且U(t,s)指数稳定，即：存在常数使得；(H2) 连续函数在子紧空间是一致均方概周期的，而且满足Lipschitz条件，即：存在常数使得对任意的随机过程和下列不等式成立；(H3) 对连续函数g和h类似(H2)，将分别改为和即可。

4 主要结论定理：对任意的0，在(H1)—(H3)的假设下，只要，那么方程(1)有唯一的均方概周期温和解，且有如下表达式：(2)注：对算子关于t是周期的情形已由Da Prato-Tudor[13]给出了相应的结论。

一类中立型退化时滞微分方程的周期解

＝０而丁为一个任意的实常数。特别地，Ｅ。当＝０时，方程（）则２变为
国家自然科学基金（９３００、６９４３）湖南省自科基金资助（７Ｊ１２和湖南省教育厅课题（９２６资助０Ｊ１）６０ｃ５）罗毅平教授推荐
收稿日期：００年６月８日２１
第３０卷第４期２１００年ｌ２月
数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬ１ＥＯＲＹＨＡＮＤＰＬＣＩＡＰＩＡＴＯＮＳ
Ｖ０．ＯＮｏ４１３．
Ｄｅ．２０ｃ０１
一
类中立型退化时滞微分方程的周期解
（ｅａｔｅｔｆｃｅｃ，ｈｕａｓｔｔｏｎｉｅｒｇＸａｔｎ４０）ＤｐｒｎｏｉｎｅＴｅＨｎｎＩｔｕｅｆｇｎｅｎ，ｉａ，１１ｍＳｎｉＥｉｎ１１
ＡｂｔａｔＴｅｅｉｔｎｉｌｃｎｉｏｓｏｅｏｉｏｕｏｆｉｇｌｒｎｕｒｉｅｅｔｌｅｕｔｎｗｔｅａｒｎｅ・ｓｒｃｈｘｓｅｔｏｄｔｎｆｐｒｄｃｓｌｔｎｏｎｕａｅｔａｄｆｒｎｉｑａｉｉｄｌｙａｅｉｖｓａｉｉｉｓｌａｏｈｔａｅ．Ｐｒｃｌｒｉｔｄｇａｔｕａｌｈｒｂｅｏｘｓｎｅｏｒｄｃｓｌｔｎｏｏ—ｄｍｅｓｎｉｇｌｒｄｆｒｎｉｕｔｎｉｙ，ｔｅｐｏｌｍｆｉｔｃｆｐｉｉｏｕｉｆｗｅｅｅｏｏｔｉｎｉａｓｎｕａｉｅｅｔｅａｉｓｏｌｌａｑｏ

一类中立型无穷时滞脉冲微分方程的周期解

大部分只是讨论了不含脉冲效应方程的周期解，而关于具有脉冲效应的中立型微分方程周期解的研究
并不多．文献［１］考虑中立型脉冲时滞方程『［Ｙ（ｔ）＋Ｐ（ｔ）ｙ（ｔ一下）一ｒ（）ｙ（ｔ — Ｐ）］＝Ｐ（），ｔ ≤０，ｔ ≠ｔ，
［摘要】利用线性系统的指数型二分性和Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理，研究一类中立型无穷时滞脉冲微分方程的周期解存在性问题，给出了保证系统存在周期解的一组充分条件，推广并改进了现有文献中的相关
结论．
［关键词］脉冲方程；中立型；周期解；无穷时滞［中图分类号］０１７５．１［文献标志码］Ａ
Ｊｕ１．２０１３
［文章编号］１００７—７４０５（２０１３）０４— ０３０２一ｏ６
一
类中立型无穷时滞脉冲微分方程的周期解
赵琨，蒋芳芳，冯春华
（广西师范大学数学科学学院，广西桂林５４１００４）
ｔｙ（ｔ）一Ｙ（ｔ）＝ｂｋＹ（ｔ），ｔ＝ｔ，
…
正解的存在性．文献［２］利用拓扑度理论研究了一类具有脉冲的中立型单种群生态模型，得到该系统存在正周期解的充分条件．文献［３］利用严格集压缩不动点定理研究了方程
ｎｔ）［０（￡）一卢（￡） Ⅳ （￡）一∑ｂｉ（ｆ） Ⅳ （￡一Ｔｉ（￡））一∑ ｃｊ（ｔ）ｍ（ｔ — （））］，ｔ ≠ｔｋ，，

一类二阶中立型泛函微分方程周鞋解的存在性

（￡ｔ）＋（，ｔ）Ｐ￡（）＋ｃ（ —ｒ）ｇｔ（一）＝（）（）１
的周期解的存在性，中＞０，ｃ ≠１ ∈Ｃ（其１ｌ，ｌＲ×
，
Ｒ）ｇ∈ＣＲ× Ｒ）ｒ∈Ｃ（Ｒ）Ｐ∈ＣＲ，且，（Ｒ，，Ｒ，，（Ｒ）
／ｔ，／ｔ，ｔ，＋Ｔ）＝，ｇ（＋Ｔ）＝ｇｔ，（＋））（，ｒｔ）
的周期解，中ｒ其 ≥０， ≥０，ｃ＜１ｇ∈Ｃ（ ×Ｒ，ｌｌ，Ｒ
Ｒ，）Ｐ∈Ｃ（Ｒ）ｇｔ，Ｒ，且（＋Ｔ）＝（，，（＋ｇｔ）Ｐｔ）＝ｐ
（ｔ（一）＋（，ｔ））＝（）（）（）一ｔ）ｇｔ（ — ）ｐｔ２
— ｙ是指标为零的Ｆｅｈｌ算子，ｃ为有界开ｒｄｏｍ集， — ｙ在上是一紧的，果下列条件成 Ⅳ：如
立，
２０ＳｉＴｃ．ｎｎ．０７ｃ．ｅｈＥｇｇ
一
类二阶中立型泛函微分方程周期解的存在性
秦发金
（四川大学数学学院，成都６０６；１４广西柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系，０柳州５５０）４０４
摘
要
利用重合度理论和更精确的先验估计，讨论了一类二阶中立型泛函微分方程周期解的存在性问题；在更弱的条件下二阶中立型泛函微分方程周期解存在性重合度理论
在不满足【（ｄ＝及ｇｔ）Ｐｔｔ０（，满足Ｌｓｉ的）ｉｃｔ条ｐｈｚ
Ｊｕ

一类中立型泛函微分方程的周期解

’ ｝口’，
收稿１期：０６—１３２０２—１９
基金项目：国家自然科学基金项目（０４０５、１２１０）教育部重点项目（００８和安徽大学创新团队项目资助．２５６）
作者简介：张志信（９６）男，１７一，安徽枞阳人，徽大学数学与计算科学学院助教．安
＝Ａ（），ｔ，ｔ＋（）
其中Ａ（）＝（ｔ）… 是Ｒ上的凡×ｎ ‘ ｎ（）连续函数矩阵，（）Ｒ上的ｎ维连续函数向量且Ａ（）ｔ，ｔ是ｔ，）关于ｔ是一周期的．ｘ（，）记ｔ。是方程（，）ｔ１１满足ｘ（，）＝Ｉｔｔ。。的基本解矩阵．ＩＩ表示Ｒ中任一向量
（）＝Ａ（，ｔ）ｔｔｔ）（）＋６ｔｔ），（（， —ｒ）（
（）＝Ａｔ（）＋ｊＣｔ）（）ｓ（，（）ｔ（）ｔ（，ｓｄ＋ｇｔｔ）＋ｂｔｓ（）
的周期解存在性问题，中ｔ）ｇｔ）∈ ＣＲ ×Ｒ，，（，）Ｃｔｓ其，，（，（Ｒ）Ａｔ，（，）为连续的函数矩阵，且ｔ，

果．如文献［４１］１，中讨论了周期系统５
（）＝Ａｔ（）（）＋ｔ，ｔ（，ｔ）ｔ，）
（＝（（）ｔ＋（ｓ（ｄ＋ｉ，ｔ．ｆ）６）ｔＡｔｔ）ｆｃｔ）ｓｓ ∑ｇｔ（一ｉ）＋（），）（，）（ｒ）ｆ（
维普资讯
２
合肥学院学报（自然科学版）
第ｌ７卷
（＝［ＡＡ）…

一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性

第42卷第2期东北师大学报(自然科学版)Vol.42No.22010年6月Journal of Northeast Normal University (Natural Science Edition )J une 2010[收稿日期]　2009208226[基金项目]　国家自然科学基金资助项目(60775047);湖南省教育科学基金资助项目(060D74).[作者简介]　陈志彬(1965—),男,硕士,副教授,主要从事泛函微分方程研究.[文章编号]100021832(2010)022*******一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性陈志彬1,2,黄立宏2(1.湖南工业大学理学院,湖南株洲412000;2.湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙410082)[摘　要]　运用分析方法,利用Krasnoselskii 不动点理论,对一类中立型泛函微分方程存在周期解进行了定性与定量的研究,获得了这一类泛函微分方程周期解存在性与唯一性的充分条件,推广了相关研究的主要结论.[关键词]　中立型;微分方程;周期解;存在性;唯一性;不动点理论[中图分类号]　O 19 [学科代码]　110・51 [文献标志码]　A0　引言中立型泛函微分方程在信号传输网络中具有广泛的应用背景,近年来,其周期解的存在性受到数学工作者的高度重视,取得了一系列的成果[128].文献[2]用锥不动点理论,研究了泛函微分方程x ′(t )=-a (t ,x (t ))x (t )+f (t ,x t )(1)周期解的存在性;文献[3]用重合度理论研究了泛函微分方程x ′(t )+ax ′(t -τ)=f (t ,x (t )),(2)在|a |≤1的条件下,存在周期解的问题.研究中立型泛函微分方程周期解的存在性方法,概括起来有:不动点理论、重合度理论和L yap unov 泛函的方法.然而,研究周期解唯一性的工作却较少.本文利用Krasnoselskii 不动点理论及分析的方法,讨论更一般形式的中立型泛函微分方程ddtx (t )+∑n i =1c ix (t -τi)=-a (t )g (x (t ))x (t )+f (t ,x (t -σ(t )))(3)周期解的存在性与唯一性.其中:σ∈C (R ,R );f ∈C ′(R ×R ,R );a ,g ∈C (R ,R +);a ,f ,σ关于t 是T 周期函数,τi >0(i =1,2,…,n )为常量.设函数g ,f 总满足下列条件:(A 1)存在正常数l 1,l 2和L ,使得l 1≤g (x )≤l 2及|f (t ,x 1)-f (t ,x 2)|≤L |x 1-x 2|成立.(A 2)存在非负有界函数ρ(x )∈C (R ,R +)及常数b ∈(0,1),对于任给u i ,v i ∈R (i =1,2),有不等式|u 1g (v 1)-u 2g (v 2)|≤|u 1-u 2|ρ(‖v 1-v 2‖)成立,其中a =1T∫Ta (t )d t ,ω=e Ta,b =∑ni =1|c i |<1.东北师大学报(自然科学版)第42卷(A 3)任意x 1,x 2∈C (R ,R ),有9f (t ,x )9x<0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))>0;或者是9f (t ,x )9x>0,且a (t )(x 1-x 2)(x 1g (x 1)-x 2g (x 2))<0.1　预备知识为了方便,引入如下记号:‖x ‖2=∫T0|x (t )|2d t12,‖x ‖∞=max t ∈[0,T]|x (t )|,‖x ‖0=sup t ∈R|x (t )|,x =x (t )∈C ′(R ,R )|x (t +T )=x (t ),X T (M )=x (t )∈C ′(R ,R )|x (t )∈X ,‖x ‖0≤M .于是,集合X 是以‖x ‖0为范数的Bananch 空间.在函数集X T (M )上,显然有‖x ‖∞=‖x ‖0.引理1[9]　设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),∫T0x (t )d t =0,则如下不等式成立:(1)∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t 12;(2)max t ∈[0,T]|x (t )|≤T 12∫T|x ′(t )|2d t 12.引理2　设x (t )∈C (R ,R ),且满足x (0)=x (T ),如果存在正常数d ,对于任意t ∈[0,T ]使得|x (t )|≤d ,则不等式∫T0|x (t )|2d t12≤T2π∫T|x ′(t )|2d t12+T d成立.证明　令X (t )=x (t )-1T∫T0x (t )d t ,由引理1得∫T0|X (t )|2d t12≤T2π∫T|X ′(t )|2d t12,(4)不等式(4)化为∫T0|x (t )|2d t12≤T24π2∫T0|x ′(t )|2d t +1T ∫T 0x (t )d t212≤T 2π∫T0|x ′(t )|2d t 12+1T∫T|x (t )|d t ≤T2π∫T|x ′d t |212+T d.引理3(Krasno selskii 不动点定理)　设K 是Banach 空间X 的有界凸闭集,映射F :K →K 和U :K→K 满足条件:(ⅰ)任意的u ,v ∈K ,有Fu +Uv ∈K;(ⅱ)F 在K 上是全连续的,U 在K 上是压缩的,则F +U 在K 上至少有一个不动点.引理4　设a (t ),p (t )为T 周期函数,对于微分方程x ′(t )=-a (t )x (t )+p (t ),如果∫T0a (τ)d τ>0,则有唯一的T 周期解x (t )=∫t+T texp∫s ta (τ)d τexp ∫Ta (τ)d τ-1p (s )d s.22第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性结论是显然的,略去证明.2　主要结论及证明设u (t )∈X T (M ),对于微分方程dd tx (t )+∑n i =1c iu (t -τi)=-a (t )g (u (t ))x (t )+f (t ,u (t -σ(t ))),(5)如果令y (t )=x (t )+∑ni =1c iu (t -τ1),则方程(5)化为d y (t )d t=-a (t )g (u (t ))y (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -σ(t ))),(6)由引理4知exp∫Ta (τ)g (u (t ))d τ≠1时,方程(6)有唯一的T 周期解y u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.其中W u (s ,t )=exp∫s ta (τ)g (u (τ))d τexp ∫Ta (τ)g (u (τ))d τ-1,　1ωl2-1≤W u (s ,t )≤ωl 2ωl 1-1.于是,方程(5)有唯一的T 周期解x (t )=y u (t )-∑ni =1c iu (t -τi).在X T (M )上定义两个映射U u (t )=-∑ni =1c iu (t -τi),F u (t )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s.(7)如果映射U +F 在X T (M )上有不动点x (t ),则x (t )为系统(3)的T 周期解.定理1　对于微分方程(3),在条件(A 2)被满足时,如果条件(A 4)1M‖f ‖0≤1-∑ni =1|c i |ωl 1-1Tωl2-l 2a∑ni =1|c i |成立,则微分方程存在T 周期解.证明　(ⅰ)X T (M )为有界凸闭集.任给x (t ),y (t )∈X T (M )及λ∈(0,1),我们得λx (t +T )+(1-λ)y (t +T )=λx (t )+(1-λ)y (t ),(8)‖λx (t +T )+(1+λ)y (t +T )‖0=‖λx (t )+(1+λ)y (t )‖0≤M ,(9)即X T (M )是凸的.如果函数列{x n (t )}ΑX T (M ),且lim n →0‖x n -x 0‖0=0,根据下列不等式‖x 0‖0≤‖x 0-x n ‖0+‖x n ‖0≤‖x 0-x n ‖0+M ,(10)|x 0(t +T )-x 0(t )|≤|x 0(t +T )-x n (t +T )|+|x n (t )-x 0(t )|+|x n (t +T )-x n (t )|≤2‖x n -x 0‖0,(11)我们可以得到‖x 0‖0≤M ,x 0(t +T )=x 0(t ),即x 0(t )∈X T (M ),于是X T (M )为闭集.其有界性是显然的.所以,综合以上的证明,X T (M )为有界凸闭集.(ⅱ)任意u ,v ∈X T (M ),我们可以证明32东北师大学报(自然科学版)第42卷F u +U v ∈X T (M ).(F u +U v )(t +T )=∫t+T+Tt+TW u (s ,t +T )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t +T -τi )=∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)=(F u +U v )(t ),(12)对于任意t ∈R ,存在整数n ,使得t =nT +t 1,且t 1∈[0,T ],由于a ,σ和f 都为T 周期函数,结合条件(A 4)可以得到不等式‖F u +U v ‖0M=1Msupt ∈R∫t+TtWu(s ,t )(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s -∑ni =1c iv (t -τi)≤ωl 2M (ωl2-1)sup t ∈[0,T]∫t+T t(f (s ,u (s -σ(s )))+a (s )g (u (s ))∑ni =1c iu (s -τi))d s+1Msupt ∈[0,T]∑ni =1c iv (t -τi)≤Tωl2M (ωl1-1)‖f ‖0+l 2Ma∑n i =1|c i |+∑ni =1|c i |≤1,(13)于是,由(12),(13)两式得F u +U v ∈X T (M ).(ⅲ)U u 是压缩的.因为对于任给u 1,u 2∈X T (M ),有下式成立:|U u 2-U u 1|=∑ni =1c iu 2(t -τi )-∑ni =1c iu 1(t -τ1)≤∑ni =1|c i |‖u 1-u 2‖=b ‖u 1-u 2‖.(14)(ⅳ)映射F u 是全连续的.下面分三步来证明,这里对于任意u ∈X T (M ).首先,F u 是连续的,令m =‖f ‖0+‖a ‖0M ‖ρ‖0∑ni =1|c i |,对于任给的u 1,u 2∈X T (M ),根据条件(A 2)可以得到|F u 1(t )-F u 2(t )|=∫t+T tWu 1(s ,t )(f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c i(g (u 1(s ))u 1(s -τi )-g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s+∫t+Tt(Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t ))(f (s ,u 2(s -σ(s )))+a (s )∑ni =1c 1g (u 2(s ))u 2(s -τi ))d s≤ωl 2ωl 1-1∫T|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|d s +T aρ(‖u 1-u 2‖∑n i =1|c i |‖u 1-u 2‖+m ∫t+Tt|Wu 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|d s.(15)由于函数W u 和f 连续,于是当‖u 1-u 2‖→0时,一致的有|f (s ,u 1(s -σ(s )))-f (s ,u 2(s -σ(s )))|→0,|W u 1(s ,t )-W u 2(s ,t )|→0.所以,当‖u 1-u 2‖0→0时,有‖F u 1(t )-F u 2(t )‖0→0,即F u 是连续的.其次,易证F X T (M )是一致有界的.最后,我们只要证明F u 是等度连续的即可.对于任意u ∈X T (M ),t ∈[0,T ],得到d F u (t )d t=-a (t )g (u (t ))F u (t )+a (t )g (u (t ))∑ni =1c iu (t -τi)+f (t ,u (t -δ(t )))≤‖a ‖0l 2‖F u (t )‖0+M∑ni =1|c i |i+‖f ‖0(16)42第2期陈志彬,等:一类中立型泛函微分方程周期解的存在性与唯一性一致有界,于是,当|t 1-t 2|→0时,‖F u (t 1)-F u (t 2)‖0→0,即F u (t )是等度连续的.因此,F X T (M )在X 中是列紧集且F 为紧算子,结合F X T (M )在X 中是列紧集且F 为连续紧算子的结论,推得映射F 是全连续的.综合(ⅰ)—(ⅳ),并由引理3知:F +U 在X T (M )上存在不动点,即方程存在T 周期解.定理2　对于微分方程(3),在条件(A 1),(A 3)被满足时,如果条件(A 5)1T1-∑ni =1|c i |>L +1+12π‖ρ‖0‖a ‖0成立,则微分方程至多存在一个T 周期解.证明　设x 1(t ),x 2(t )是微分系统(3)的两个T 周期解,于是有d d t(x i (t )+∑n i =1c ix i(t -τi ))=-a (t )(g (x 1(t ))x i (t )+f (t ,x i (t -σ(t ))),i =1,2.(17)令y (t )=x 1(t )-x 2(t ),由(17)式得d d t(y (t )+∑n i =1c iy (t -τi))=-a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))+f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))).(18)对(18)式两边在[0,T ]上积分,可得∫T[a (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))-f (t ,x 1(t -σ(t )))+f (t ,x 2(t -σ(t )))]d t =0.(19)根据(19)式可知,至少存在一点ξ∈[0,T ],使得a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))=0(20)成立.下面分两种情形讨论:(1)当y (ξ)y (ξ-σ(ξ))≠0时,将(18)式乘以y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))得[a (ξ)(g (x 1(ξ))x 1(ξ)-g (x 2(ξ))x 2(ξ))-f (ξ,x 1(ξ-σ(ξ)))+f (ξ,x 2(ξ-σ(ξ)))]y 2(ξ)y (ξ-σ(ξ))=0.(21)由(21)式并结合条件(A 3)有y (ξ)y (ξ-σ(ξ))<0;又因为y (t )在R 上连续,则由介值定理可知,必存在一点η0∈[0,T ]且y (η0)=0.于是,对于任意t ∈[0,T ],则有下式成立:|y (t )|=|∫tη0y ′(s )d s |≤∫T|y ′(s )|d s ≤T ∫T|y ′(s )|2d s12=T ‖y ′‖2,(22)于是有‖y ‖∞=max t ∈[0,T]|y (t )|≤T ‖y ′‖2.根据引理2,并结合(22)式有‖y ‖2≤T2π∫T|y ′(t )|2d t 12+T ‖y ′‖2=1+12πT ‖y ′‖2.(23)由(18)式,并结合(22),(23)式得到‖y ′‖22=∫T|y ′(t )|2d t =-∫Ta (t )(g (x 1(t ))x 1(t )-g (x 2(t ))x 2(t ))y ′(t )d t +∫Ty ′(t )(f (t ,x 1(t -σ(t )))-f (t ,x 2(t -σ(t ))))d t -∑ni =1c i∫Ty ′(t )y ′(t -τi)d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0∫T0|y (t )|2d t12∫T0|y ′(t )|2d t 12+L ∫T|y ′(t )y (t -σ(t ))|d t +∑ni =1|c i|∫T|y ′(t )y ′(t -τi)|d t ≤‖ρ‖0‖a ‖0‖y ‖2‖y ′‖2+LT ‖y ′‖2‖y ‖∞+∑ni =1|c i |‖y ′‖22≤1+12π‖ρ‖0‖a ‖0T +L T +∑ni =1|c i |‖y ′‖22.在满足条件(A 5)时,由上不等式可以推得5262东北师大学报(自然科学版)第42卷‖y′‖2=‖y‖2=0.(2)当y(ξ)y(ξ-σ(ξ))=0时,可类似情形(1)的证明,故略去.综合以上的证明,得到x1(t)=x2(t),即方程至多存在一个T周期解.定理证毕.结合定理1和定理2,我们可以得到关于方程(3)存在唯一周期解的结论.推论1　对于微分方程(3),如果条件(A1)—(A5)被满足,则微分方程(3)在X T(M)上存在唯一的T周期解.[参　考　文　献][1]　L U S,GE W.On t he existence of periodic solution of neutral functional differential equation[J].Nonlinear Anal,TMA,2003,54:128521360.[2]　彭世国,朱思铭.无穷时滞泛函微分方程的正周期解.[J].数学年刊,2004,25(A):2852292.[3]　SELLA E.Periodic solution for some nonlinear differential equations of neutral type[J].Nonlinear Anal,1991,17(2):1392151.[4]　CH EN F.Positive periodic solution of neutral Lot ke2Volterra system wit h feedback control[J].Appl Mat h 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solution for t his class equations,and p romotes t he literat ure of t he main conclusions.K eyw ords:neut ral;differential equations;periodic solutions;existence;uniqueness;fixed point t heory(责任编辑:陶　理)。

一类二阶非线性中立型泛函微分方程的周期解

ｘ［Ｄ，ｅ一Ｄ】
Ｉ（ｔ（）ｄｍｘＭ，ｓ（Ｉｇｘ一）ＩＴａ｛ｕｌ）Ｉ（－）ｔｐｇ）．
ｘ［Ｄ】ｅ一Ｄ，
（９）
由（）式（）ｉ和ｉ８，
Ｉｇｘ一ｌ＝Ｉ（ｔ）＝Ｉ（ｔａ）ｌ（ｔ）ｔ（）（ｔ）ｄｘ一ｄ一ｇｘ — ）ｔｇｘ一Ｉ．１ｌ（ｔｇ（ｒ（ｄｌ（０ｄ
．
（１）
其中，－Ｃ是常数，ｒＯ ≥０厂（，）ＣＲＲ，且对Ｒ中任一有界区间Ｅ，（）（和），， ∈ＣＲＲ，ｇ∈ （，）ｇ在
上满足Ｌｅｉ条件，Ｐ∈ （，）ｉｃｔｐｈｚＣＲＲ，
＋＝（且Ｉ（ｄ＝．）ｐｆ。ｔｔ０））ｐ
个周期解．
为证明定理，我们需要做一些准备工作．Ｘ＝缸 ∈Ｃ（Ｒ）（＋Ｔ＝ｆ，并在上定设Ｒ，ｌｆ）（））
［收稿日期】２１．２１０２０—０
［作者简介】陈新一（９７１５ —— ），男，江苏武进人，教授
一
１一・
（１１）
由于ｘＯ＋Ｃ（＝＋ｃ（（）Ｘ一）（）ｘＴ—ｆ，可知存在ｔ∈［，］使得Ｘ（＋（一＝０，）０ＯＴ，ｆ））０于是由方程（）６对任意ｔ０Ｔ，有 ∈［，］
一
２一
（＝Ｃｔ）ｏ）（一（ —）＋ｏｓ．）ｆ－ｖｑｓ（）ｇ（ｏｄｑｐ），（）Ｘ－一（）ｆ（ｚ出－ｓ（１）ａ２
Ｋ：一）（．＝ｘ代入式２（，～ ∑（１ｃｆ令Ｋ，）（和式３得））

中立型标量积分微分方程的周期解

中立型标量积分微分方程的周期解\[ \frac{{d^n y}}{{dt^n}} + a_{n-1} \frac{{d^{n-1}y}}{{dt^{n-1}}} + \ldots + a_1 \frac{{dy}}{{dt}} + a_0 y = b_m \frac{{d^m x}}{{dt^m}} + b_{m-1} \frac{{d^{m-1} x}}{{dt^{m-1}}} + \ldots + b_1 \frac{{dx}}{{dt}} + b_0 x \]其中n和m分别是y和x的最高阶导数，a和b分别是y和x导数的系数。

为了简化，我们假设m<n。

接下来，我们将探讨中立型标量积分微分方程的周期解。

1.周期解的定义假设y(t)是上述微分方程的一个解，并且存在常数T使得y(t+T)=y(t)对于所有t成立。

那么y(t)是周期解，并且T是它的周期。

2.周期解的存在性定理对于中立型标量积分微分方程而言，周期解的存在性定理是一个非常重要的结果。

它断言：如果微分方程的右侧函数是周期函数，即存在正常数P使得b(t+P)=b(t)成立对于所有t，且P不是微分方程解的周期，那么该微分方程必定存在一个周期解。

这个定理的证明比较复杂，超出了本文的范围。

但是我们可以简要讨论其思路：利用周期函数的性质，将中立型标量积分微分方程转化为对特定函数的积分方程，并利用积分方程的性质证明周期解的存在性。

3.周期解的稳定性在一般的非线性动力系统中，周期解的稳定性是一个很重要的性质。

稳定性是指对于微小的扰动，解是否会始终保持在原周期解的附近。

对于中立型标量积分微分方程，周期解的稳定性可以通过线性化的方法来分析。

通过线性化，我们将非线性的微分方程转化为线性的微分方程，并分析线性化方程的解的性质。

如果线性化的方程的解是稳定的，那么对应的周期解也是稳定的。

具体的线性化方法是通过将非线性部分在周期解的附近进行泰勒展开，留下导数的线性组合，得到一个线性微分方程。

微分方程解析实际问题的变化规律与解法

微分方程解析实际问题的变化规律与解法微分方程作为数学分析的重要内容之一，广泛应用于自然科学、工程技术等领域中实际问题的分析与解决。

本文将探讨微分方程解析实际问题的变化规律与解法，并以具体实例进行说明。

一、引言微分方程是描述变量之间关系的数学方程，通过对变量的导数进行求解，可以获得随时间或空间变化的规律。

在实际问题中，往往涉及到多个变量之间的相互关系，而微分方程为我们提供了一种有效的工具，能够以数学的方式解决这些复杂的问题。

二、微分方程的基本概念1. 常微分方程与偏微分方程微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程中的未知函数只涉及一个自变量，而偏微分方程中的未知函数涉及多个自变量。

2. 解析解与数值解解析解是指通过对微分方程进行求解，得到的用基本初等函数表示的解。

数值解则是通过数值计算的方式得到的近似解。

三、微分方程在实际问题中的应用1. 物理领域中的实际问题微分方程在物理学中的应用非常广泛。

例如，描述物体运动的牛顿第二定律可以用微分方程形式表示，解析求解可以得到运动的轨迹、速度与加速度等信息。

2. 生态学领域中的实际问题生态学研究中经常会出现各种人口数量、物种数量等的动态变化问题。

利用微分方程可以进行模型建立和演化分析，揭示生态系统中各个要素之间的相互作用规律。

3. 工程技术中的实际问题在工程技术领域中，微分方程的应用也非常广泛。

例如，在电路分析中，通过建立电路的动态方程，可以求解电流和电压随时间的变化规律，进而对电路的性能进行评估。

四、微分方程解法的选择1. 初等函数解法对于一些简单的微分方程，可以直接利用初等函数解法求解。

例如，线性一阶常微分方程、可分离变量的微分方程等，都可以通过初等函数解法得到解析解。

2. 变量分离法对于一些不能直接应用初等函数解法的微分方程，可以尝试利用变量分离法进行求解。

这种方法的基本思想是将微分方程中的变量分离并分别进行积分。

3. 特殊变换方法当一些特殊的微分方程难以通过常规方法进行求解时，可以尝试利用特殊变换方法进行转化。

微分方程特解的三种情况

微分方程特解的三种情况微分方程特解的三种情况，哎，这听起来好像有点学术，但别担心，今天我们来聊聊这个有趣的话题。

微分方程就像是一道美味的菜肴，有各种各样的配料。

它们可以描述很多现实生活中的现象，比如物体的运动、热的传播，甚至是人口的增长。

今天我们要重点谈的是特解，嗯，听上去复杂，其实就是这些微分方程在特定条件下的解。

想象一下，就像你在厨房里做饭，得根据不同的食材和口味来调整配方。

第一种情况是常数解，这个就好比是我们平常吃的米饭，简单又实在。

当微分方程的解是个常数时，系统就处于一种平衡状态。

这种状态让人感觉一切都在按部就班，没啥波动，生活的节奏就像是早上喝杯热茶，稳稳当当。

不过，这种情况也可能让人觉得无聊，像是一潭死水，没有变化。

不过，常数解确实是个好帮手，很多时候，我们需要这个基础来建造更复杂的东西，嗯，就像打地基一样。

第二种情况是周期解，这就有点意思了，像是生活中的旋律，总是起起伏伏。

你有没有注意到，某些现象总是以某种周期性的方式出现？比如一年四季的变化，春天花开，夏天炎热，秋天落叶，冬天寒冷。

微分方程的周期解也差不多，每当时间推移到某个特定点，系统就回到原来的状态。

这种规律就像是打个节拍，总能给人一种稳定的感觉。

不过，要是你不喜欢这样的重复，那可真是让人抓狂，像是听同一首歌听到耳朵起茧。

第三种情况是非周期解，这时候事情就开始变得复杂起来，像是电视剧里的剧情反转，完全出乎意料。

生活中总会遇到一些变化，像是天气预报突然变了，今天还好好的，明天却大风大雨。

这种非周期解让我们意识到，生活的不可预测性，有时候真是让人感到无奈。

这种情况常常和一些复杂的现象相关，比如金融市场的波动，气候变化等等。

我们总希望能够掌握一切，但现实总是让我们措手不及，嘿，真是个调皮的小家伙。

好啦，讲到这里，你可能会问，怎么理解这些特解呢？理解特解的关键在于我们生活中的观察。

就像我们通过不同的食材组合来创造美味佳肴一样，微分方程的特解也在为我们揭示自然界的奥秘。

高阶非线性中立型微分方程的周期解

高阶非线性中立型微分方程的周期解陈新一【摘要】The following nonlinear neutral delay equations [x（t）＋cx（t-τ）]（n）＋f（x（t））x＇（t）＇g（x（t-σ））=p（t） are discussed, by using the coincidence degree theory, a sufficient condition for the existence of periodic solution of the equation is given, and the known results are generalized.%利用重合度理论，研究高阶非线性中立型泛函微分方程[x（t）＋cx（t-τ）]（n）＋f（x（t））x’（t）’g（x（t-σ））=p（t）的周期解的存在性，给出了该方程存在周期解的充分性定理，推广了已有的结果．【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(013)002【总页数】6页(P135-140)【关键词】中立型微分方程;非线性;周期解【作者】陈新一【作者单位】西北民族大学中国民族信息技术研究院,甘肃兰州730030【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言考虑n阶非线性中立型泛函微分方程其中:τ，σ和c是常数，τ≥0，σ≥0;f∈C(ℝ，ℝ)，g∈C(ℝ，ℝ)，且对ℝ中任一有界区间E，g(x)在E上满足Lipschitz条件，p∈C(ℝ，ℝ)，p(t+T)=p(t)且由于泛函微分方程周期解的存在性在生态学和控制理论等领域都有重要的应用，已经引起了人们的极大关注，并出现了一些好的研究成果［1-9］．文献［2，5-6］研究了一阶中立型种群模型周期解的存在性;文献［7-8］利用Fourier级数理论研究了二阶常系数线性中立型方程周期解的存在性;文献［9］则利用重合度理论研究了一类二阶非线性中立型泛函微分方程x″(t)+g(x(t－σ))=p(t)周期解的存在性问题．但是对于高阶非线性中立型方程(1)的周期解的存在问题，还未见有文献报道研究结果．显然上述文献所述的这些研究方法已难于应用到方程(1)上去，实际上文献［9］所讨论的方程只是方程(1)的特例．本文采用类似文献［10］的方法，应用重合度理论，给出方程(1)存在T周期解的充分性定理．1 定理和引理本文的主要结果如下:定理1 如果存在正数D，H和M，使得ⅰ) f(x) ≤H，∀x∈ℝ;ⅱ)当t∈ℝ和x ≥D时，xg(x)＞0;ⅲ)当t∈ℝ且x≤－D时，g(x)≥－M．则当Tn－1H+ c ＜1时，方程(1)至少存在一个 T周期解．为了给出并证明本文的主要结果，我们需要做一些准备工作．设，并在X上定义范数，且在Z上定义范数，则(X，都为Banach空间．定义线性算子和非线性算子N:X→Z，x(t)，再定义投影算子则有ImP=KerL和ImL=KerQ．设S(τ):X→X，使得S(τ)x(t)=x(t－τ)，则易知方程(1)可写为引进参数由假设可以得到 c ＜1，因此可得K=I+cS(τ)是X的一个同胚，其逆算子为令y=Kx，代入式(2)和(3)得和引理1［10］设L是指数为零的 Fredholm算子，N在X中的有界开集Ω的闭包上L-紧，又假设a)对任意λ∈(0，1)和x∈∂Ω∩domL，L(I+cS(τ))x≠λNx;b)对任意x∈∂Ω∩KerL，QNx≠0且deg(QNx，Ω∩KerL，0)≠0．则方程L(I+cS(τ))x=Nx在domL∩中至少有一个解．设方程这里λ∈(0，1)．我们有:引理2 如果定理的条件成立，则存在与λ无关的正数Dj(j=0，1，2，…，n)，使得对方程(4)的任一T周期解x(t)有这里x(0)=x．证明设x(t)是方程(4)的任一T周期解．因为x(0)=x(T)，所以存在ξ∈［0，T］，使得x'(ξ)=0，从而有类似由 x(k)(0) =x(k)(T)，可得，由此得将方程(4)两边从0到T积分，得设．因g∈ C(ℝ，ℝ ) 及条件ⅱ)，容易知道，．由ii)和iii)有由(ii)和式(7)有由式(8)和(9)得可知存在正数N0，使得由于 x(n－1)(0)+cx(n－1)( －τ) =x(n－1)(T)+cx(n－1)(T －τ)，可知存在t0∈［0，T］，使得 x(n)(t0)+cx(n)(t0－τ)=0，于是由方程(4)，对任意t∈［0，T］有由式(10)、(11)和(6)式及i)且注意到x(n－1)(t)是T周期函数，对任意t∈［0，T］有记，则对任意t∈［0，T］有由此可得这里．由式(6) 得由式(7)用积分中值定理，存在t1∈［0，T］，使得g(x(t1－σ))=0，从而由ii)可知 x(t1－σ) ＜D．注意到x(t)是T周期的，因此，存在t2∈［0，T］，使得由式(12) 和(13)，对任意t∈［0，T］有记 D0=D+TD1，则对任意t∈［0，T］有注意到x(t)是T周期函数，所以对任意有由式(14)式和g的连续性可知，对任意t∈［0，T］有这里由方程(4)和式(12)及(15)，再注意到x(n)(t)是T周期函数，则对任意t∈［0，T］有推出这里2 定理证明与推论下面我们先给出定理的证明．定理1证明由引理2知存在与λ无关的正数Dj(j=0，1，2，…，n)，使得对方程(4)的任一T周期解x(t)有式(5)成立．取一正数因ImP=KerL，ImL=KerQ，KerL=ImQ= ℝ，且在Z中闭，故L是指数为零的Fredholm算子．容易验证是连续的一一映射，设其逆为KP．对任意注意到x(t)是T周期函数，于是有对任意t∈［0，T］成立，从而有记则有故有界，易知相对紧，从而相对紧．设实函数族又设 J1，J2，…，Jn分别是J0中函数的一阶导数，二阶导数，…，n阶导数所组成的函数族．下面证明这n+1个函数族在［0，T］上都分别有界．由于 y=KPNx，故有由此推出特别有注意到y(t)是T周期函数，则有y(i)(0)=y(i)(T)，i=0，1，2，…，n－2，于是由式(19)可得由KP的定义知y∈KerP，即有由式(18)和(21)推出由此得由式(16)，(20) 和(22) 得J0，J1，…，Jn－1都在［0，T］上有界，再由式(16) 和(17) 知Jn在［0，T］上有界．又因为g在上满足Lipschitz条件，所以存在M2＞0，使对任意有对任意y(n)∈ Jn，任意 t，t'∈［0，T］，由式(17) 和(23) 得应用微分中值定理，注意到的定义，有由式(24)和(25)可推出由p(t)在［0，T］上的一致连续性，再由式(26)可知Jn在［0，T］上是等度连续的，Jn－1在［0，T］上的等度连续性可由 Jn在［0，T］上的有界性和微分中值定理推出．类似可推知 Jn－2，Jn－3，…，J0也都在［0，T］上等度连续．于是应用Arzela-Ascoli定理即推出相对紧，且由于相对紧，推出相对紧，可知N在上L-紧．由引理2，对任意λ∈(0，1) 和x∈ ∂Ω∩domL，L(I+cS(τ))x≠λNx．又对任意∂Ω或注意到ⅱ)和有．特别有，可知deg(QNx，Ω∩KerL，0)≠0，故由引理1知方程L(I+cS(τ))x=Nx在中至少有一解，即方程(1)至少有一T周期解．推论1 如果存在正数D，H和M，使得则当时，方程至少存在一个T周期解．当f(x)≡0时，方程(1)变为如下方程推论2 如果存在正数D和M，使得则当时，方程(1)至少存在一个T周期解．推论3 如果存在正数D和M，使得则当方程至少存在一个T周期解．当c=0时，方程(1)变为如下方程我们有推论4 如果存在正数D，H和M，使得则当Tn－1H ＜1时，方程(1)至少存在一个T周期解．仿上还能给出相应的结论，我们不再赘述．作为应用，我们考虑下面方程我们取，可以验证定理的条件成立，从而由定理知方程(28)至少有一个2π周期解．事实上x(t)=sint就是方程(27)的一个2π周期解．【相关文献】［1］Gaines R E，Mawhin J L．Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations ［M］．New York:Springer-Verlag，1977．［2］Gopalsamy K，He X，Wen L．On a Periodic Neutral Logistic Equation ［J］．Glasgow Math J，1991，33:281-286．［3］葛渭高．多滞量时滞微分方程周期解的存在性［J］．应用数学学报，1994，17(2):173-181．［4］陈永劭．关于微分差分方程组周期解的存在性［J］．数学进展，1992，21(4):432-438．［5］LI Y．Periodic Solution of a Neutral Delay Equation［J］．J Math Anal Appl，1977，214:11-21．［6］李永昆．中立型时滞模型的周期正解［J］．数学学报，1996，39(6):789-795．［7］章毅，张毅．关于二阶常系数线性中立型方程的周期解［J］．数学学报，1990，33(4):517-520．［8］王根强．二阶中立型方程的周期解［J］．高校应用数学学报A辑，1993，8(3):251-254．［9］黄先开，向子贵．具有时滞的 Duffing方程x″+g(x(t－τ))=p(t)的2π 周期解［J］．科学通报，1994，39(3):201-203．［10］王根强，燕居让．二阶非线性中立型泛函微分方程周期解的存在性［J］．数学学报，2004，47(2):379-384．。

一般退化中立型微分系统解的存在性及通解

一般退化中立型微分系统解的存在性及通解一般退化中立型微分系统解的存在性及通解第3O卷第5期2007年5月合肥工业大学(自然科学版)JOURNALOFHEFEIUNIVERSITYOFTECHNOLOGYVo1.30No.5May2007一般退化中立型微分系统解的存在性及通解张(1.安徽大学数学与计算科学学院,安徽合肥海,蒋威230039;2.安庆师范学院数学与计算科学学院,安徽安庆246011)摘要:讨论了对于退化矩阵E不是方阵情形的一般退化中立型微分系统的解,基于退化的常微分系统解的存在性条件,通过定义可解阵对和基础解以及利用拉普拉斯变换,给出了一般退化中立型微分系统解的存在性条件以及通解表达式.关键词:退化中立型微分方程;可解阵对;存在性;通解中图分类号:O175.15文献标识码:A文章编号:1003—5060(2007)05—0630—04ExistenceofthesolutionforthegeneraldegenerateneutraldifferentialsystemandthegeneralsolutionZHANGHal,JIANGWein,SchoolofMathematicsandComputationalScience,AnhuiUniversity,Hefei23 0039,China;2.SchoolofMathematicsandComputationalScience,AnqingTeachersCollege,Anqing246011,China)Abstract:Thispaperdealswiththesolutionofthegeneraldegenerateneutrald ifferentialsystemwhenthedegeneratematrixEisnotsquare.Basedontheexisfenceconditionofthesol utionforsingularor—dinarydifferentialsystems,theexistenceconditionofthesolutionofthedeg enerateneutraldifferenti—alsystemaswellasthegeneralsolutionareobtainedbydefiningthesolvablema trixpairandfianda—mentalsolutionandusingLaplacetransformation..Keywords:degenerateneutraldifferentialequation;solvablematrixpair;ex istence;generalsolutionr(,)一Ax(,)+Bx(,一1)+.{Q(,一1)+,(,)t?0(1)【z(,)一90)一1?tiE)Y,y?满足收稿日期:2006—04—17;修改日期:2006-06—30基金项目:国家自然科学基金资助项目(10241005);教育部科学技术研究重点基金资助项目(205068);安徽大学创新团队基金项目和安徽省教育厅自然科学研究基金资助项目(2006kj252b)作者简介:张海(1977--),男,安徽桐城人,安庆师范学院讲师,安徽大学硕士生; 蒋威(1959一),男,安徽五河人,安徽大学教授,博士生导师.第5期张海,等:一般退化中立型微分系统解的存在性及通解631(L—Ay)(E)—0,YA—L(2)则称矩阵对(EA,y)为(E,A)的可解阵对.引理1L?一EAEE;?(E)一;?AEAE—EEaA;?EAAY—EA;?aE—EAEEAA—A;?A一EAy—EEA;?EAEYE—IEEE;([(I一)?]一(L—EAE)()(h=ind(YE)).考虑退化的常微系统f(,)一Ax(,)+,(,)t?o…Iz(0)一z.其中,z(t)ER,E,AERmX,f(t)ER,rank(E)~n,假定A的列向量线性无关.引理2E.]对于系统(3),(,y)为(E,A)的2主要结果可解阵对,ind(YE)一,假定,(,)具有h阶导数,则系统(3)存在惟一解的充分必要条件是下列2式成立h(L—Ay)?()j-(,)一0(,?0)(4)=0(L—EAE)z.一1一(L—EAE)?()玎(0)(5)i=O并且在此充要条件成立时,系统(3)的解为z(,)一eE0+IeEAA(EA,(r)dr—JU1(L—EAE)?()玎?(,)(,?0)(6)先分析系统(1)的可解性.定理1对于系统(1),(EA,y)为(E,A)的可解阵对,ind(YE)一,假定,(,),(,)具有+1阶导数,并且(L—A(E一0,(L,A(C=0,(一0,1,2,…,),则系统(1)存在惟一解的充分必要条件是下列2式成立h(Jm—Ay)(耶)j-(,)一o(,?0)(7)一1(L一曰)(0)一一(I一E)?()y[却’.(一1)+’汁(一1)+(0)](8)i=0 证明(1)充分性.利用分步法分析.当tEFo,1]时,系统(1)变为f(,)一Ax(,)+却(,一1)+(,一1)+,(,)o?t?1I(0)一(0)此为退化的常微系统.由假定的条件及(7)式,可得h(L—Ay)?(肼)[却’o(,一1)+’斗?(,一1)+(,)]一0再由(8)式并根据引理2知,系统(1’在tEFo,1]上存在惟一解,且其解为,so(t)一eE(o)+l’eEAA’hEf-B~,(r一1)+(r-1)+,(z.)]出一1(—E)?()l,口’(—1)+’汁’(f一1)+D()](EFo,1])(9)类似分析,当tE[1,2]时,系统(1)的解也存在惟一,系统(1)在[0,+?)上存在惟一解.(2)必要性.如果系统(1)在[0,+..)上存在惟一解,则系统(1)在[0,1]上其解也存在惟一,故由引理2并结合假定条件知,(8)式成立,(7)式在[0,1]上成立.同样,在[1,2]上系统(1)式的解也存在惟一,从而(7)式在[1,2]上也成立.由归纳法知,(7)式在[0,+?)上均成立,证毕.定理2设系统(1)满足定理1的条件,则系统(1)同解于下述系统{二)一EA(,)+Bz(,,1)+CA:(,一1)+,(,)]一1L--~E)?()y[舭’?(,一1)+’(,一1)+(,)]t?o(10)i=O)一(,)一1?t?0证明在系统(1)的两边分别左乘及(L一口)l,,可得EAE士(,)一(,)+EaBx(,一1)+(,一1)+EA,(,)(11)632合肥工业大学(自然科学版)第30卷(L一E)?生(,)一(L—EAE)YEAx(f)+Bx(,一斗(,一1)+’(,一1)]一0一一.则称x(,)为系统(1O)的基础解.定理3若x(,)为系统(1o)的基础解,且YBYE=YEYB,YCYE=YEYC,则X(,)一L厂日一()]其中,H()一一A—e一B--Ae一AC+e一?斗(L一E)()Y(B+).证明在(15)式两边实行Laplace变换,可得H()L[x(,)]一x(O)一L,从而(15)(16)x(,)一L[旷)](17)定理4设系统(1)满足定理1的条件,且YBYE=YEYB,YCYE=YEYC,则系统(1)的通解为(,)一x(,)(o)+J.X(t—O)EABp(0—1)U(O)dO+J.X(t一)EA()(+IX(t一)(一1)dO—I(,一0—1)EAC_~()dO一?(L—EAE)()YI:x(,一)[‘斗(一1)+’(一1)+斗()]+?(L—EAE)()YBI:(,一0—1)w(O)dO-+-?(L--EAE)(YE)(,一一1)o~(O)dO一一0>1一.证明在(1O)式两边实行Laplace变换,并把代人,得儿[(,)]一(o)一EAAL[x(t)]+e-~EABL[x(t)]-~-EABI(一1)e-~dt-+-EAL[f(t)]+EcL[(,)]+E’CLEd(t一1)]一Ae-~EACL[叫()]一(L—)?()Y{BLEx’斗(,一1)]+[‘(,一1)]+LEf(斗(,)]}(18)第5期张海,等:一般退化中立型微分系统解的存在性及通解633由于L[x(e-(,一1)]一斗e-~L[x(t)7+L[斗(一1)]一斗e-~L[w(t)7(19) 将(19)式代入(18)式,经整理可得H(2)LEx(t)7一(0)+J5}j:(--1)e-~d+J5}L[厂()]+cL[(一1)]一Ae-aE’NUL[()]一(I一EAE)?(馏)Y{BL[w斗(一1)]+[(t一1)]+ ffif~(,)])+(L一)?(Y】5『)l,{瞰斗eL[?()]+Q~Ze-aLEoo(t)]}于是LEx(t)]一jr)(o)+旷()EJ.(一1)e-~’dt+H-)EAL[厂()]+H-(2)EACL[co(一1)]一EACL[-~[(t一1)]?L[-w(t)7一(L—EAE)?()记[x()]?(BL[-w斗(一1)]+[斗(一1)]+L[计()])+ (L—EAE)?(?)Y(BL[X斗(t--1)]?L[-w(t)-I+[x(一1)]?L[()])对上式两边取Laplace逆变换,即有z()一x()(0)+J.x(一O)EAB~o(0—1)u(0)da+jlx(一O)EAf(O)dO+rt rx(一O)EAC~,(0—1)一r(一0—1)EaCo~(0)d0一(—EAE)(YE)yJx(一[晟cJ”+”(一)+(一)+卅(]+(L—EAE)(YE)-Jx”(一一1)()+,rx(L—EAE)(YE)yCJ:_1(0)d00)这即为系统(1)的通解,证毕.参考文献[1]蒋威.退化中立型微分系统的常数变易公式和通解I-J].应用数学,1998,21(4):562—570.1,23蒋威.退化时滞微分系统的通解1,33.数学,1999,42(5):77O一78O.1,33蒋威.时变退化时滞微分系统的变易公式1,33.数学年刊(A辑),2003,24(2):162—166.[4]蒋威.退化时滞微分系统I-M].合肥:安徽大学出版社,1998:46—89.1,53周宗福.一般退化时滞微分系统解的存在性及通解EJ3.数学研究,1998,31(4):411—416.[6]BoyarinchevUESolutionofordinarydifferentialequations ofdegeneratesystemEM].[SL]:Science,1988:61,127.1,73JiangWei.Eigenvalueandstabilityofsingulardifferential delaysysternsl,J3.J.MatkAnaLandAppL,2004,297:305—316.1,83CampbellSLSingularsystemsofdifferentialequations (II)l-M].SanfranciscoLondonMelbournePitman,1982:90一l1l|[9]JiangWei,ZhengZuxiu.Thesolvabilityofthedegenerate differentialsystemswithdelayl-J~.ChineseQuarterlyJour—nalofMathematics,2000,15(3):1—7.1,lO]JiangWei,WenZhongSong.Controllabilityofsingular systemswithcontroldelayI-J].Automatica,2001,37(11):1873—1877.(责任编辑朱华新)。

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第２期
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利用引理１从而退化中立型微分方程（），３存在非常数的周期解的充分必要条件是特征方程
［稿日期］２０—３２收０６０ —４
［金项目］国家自然科学基金资助项目（０７０１；育部科学技术重点项目（００８；徽省教育厅研究项目基１７１０）教２５６）安
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第２４卷第２期
２００８年４月
大学数学
ＣＯＬＬＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
Ｖｏ．１２４。ｏ２Ｎ．
Ａｐ．０８ｒ２０
关于退化中立型微分方程的周期解
张海，蒋威
其中（）￡∈
为状态变量，Ａ，ＣＥ，Ｂ，Ｅ
均为常量矩阵且Ｉ一０我们可得结果：ＥＩ．
（）４
定理ｌ退化中立型微分方程（）３存在非常数的周期解的充分必要条件是特征方程
Ｉ一Ａ一口一ｅＩ膻ｅ一０有纯虚根．证令ｙ￡一（）方程（）为（）￡，３变
例说明了所得结果的有效性．
文献Ｅ］究了退化滞后微分方程１研
ＥＪ（）一Ａ（）口（一１）ｃｔ￡＋￡（１）
的周期解，中（） ” 其￡∈ 为状态变量，Ａ，Ｅ，ＢＥ引理１１
均为常量矩阵且Ｉ一０ＥＩ．
当前，微分方程的周期解问题已成为普遍关注的问题，对于同时具有退化和时滞的微分方程的周但
期解问题研究甚少，文献Ｅ］１已给出了退化滞后微分方程周期解的一些结果．文进一步讨论中立型退本化时滞微分方程的周期解存在性条件，建立了二维退化中立型微分方程周期解存在的代数判据，且实并
ｆ（）ｊ￡，Ｘ￡一，）（
【一Ａ￡－Ｅｙｔ＋Ｂｘ（一１＋Ｃｙ￡１．０（）（）ｔ）（一）
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，
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（）２
退化滞后微分方程（）１存在非常数的周期解的充分必要条件是特征方程
Ｉ一Ａ一口ｅＩ膻一０
有纯虚根．本文考虑退化中立型微分方程
Ｅｘ（）一Ａ（）口（一１）Ｃ（一１ｔ￡＋￡＋￡）（）３
（．１安庆师范学院数学与计算科学学院，徽安庆２６１；２安徽大学数学科学学院，徽合肥２０３）安４０１．安３０９
［摘要］讨论了退化中立型微分方程的周期解问题，出了周期解存在性的条件和二维退化中立型微给分方程周期解存在的代数判据，且举例说明了其应用．并［键词］退化时滞微分方程；关退化中立型微分方程；期解；维退化中立型微分方程周二［图分类号］Ｏ１５中７［献标识码］Ａ文［章编号］１７—４４２０）２０５—４文６２１５（０８０ —０４０
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有纯虚根．
下面我们来讨论二维退化中立型微分方程的周期解的存在性的代数判据问题．
一
当＝２时，我们可以通过代换将方程（）为３化
Ａ一．１０．
Ｅ（）￡＋（－１＋Ｃ（－１，ｋ￡一Ａ（）ｔ）ｔ）