2020高考浙江专用培优二轮：专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形

第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79C.－79D.－89解析 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.答案 B2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析 根据题意及三角形的面积公式知12absin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝cos C ，所以在△ABC中，C ＝π4.答案 C3.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析 因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝bsin A a ＝2×327＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A 可得c 2－2c －3＝0，所以c ＝3. 答案2173 4.(2017·浙江卷)已知△ABC，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________. 解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin∠ABC＝154，cos∠ABC＝14. 所以S △BDC ＝12BC·BD·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152.因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD·BC ＝8－CD28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos∠BDC＝4＋10－42×2×10＝104. 答案152104考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos βαsin β；tan(α±β)＝tan α±tan βαtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (5)辅助角公式：asin x ＋bcos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a .2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2Rsin A ，sin A ＝a2R ，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等. (2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a22bc.(3)三角形面积公式S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B.热点一 三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝23，则|a －b|＝( )A.15B.55C.255D.1(2)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.4(3)如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则3cos2α2－sin α2·cos α2－32的值为________. 解析 (1)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cosα＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b|＝55.故选B. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.(3)由题意得|OC|＝|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC 为等边三角形， 所以sin∠AOB＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，所以3cos2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.答案 (1)B (2)C (3)513探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示 (1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.(3)(2018·湖州质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.解析 (1)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，① cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，② ①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－12.(2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k∈Z， ∴β＝π－α＋2k π，k∈Z.∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π) ＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α) ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2×19＝－79. (3)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.答案 (1)－12 (2)－79 (3)π3热点二 正、余弦定理的应用 [考法1] 三角形基本量的求解【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC ＝22，求BC.解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin∠A ＝AB sin∠ADB ，即5sin 45°＝2sin∠ADB ，所以sin∠ADB＝25. 由题设知，∠ADB<90°， 所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD·DC·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. [考法2] 求解三角形中的最值问题【例2－2】 (2018·绍兴质检)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由acos C ＋3asin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin Acos C ＋3sin Asin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin Asin C －cos Asin C －sin C ＝0. 易知sin C≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3＝2π3－B ⎝⎛⎭⎪⎫0＜B ＜2π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sinπ3＝43，所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C.所以S △ABC ＝12bcsin A ＝12×43sin B×43sin C·sin π3＝433sin B·sin C＝433·sin B·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ 433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin Bcos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33. 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bccos π3，即b 2＋c 2－bc ＝＋4＝b 2＋c2，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立.所以S △ABC ＝12bcsin A ＝12×32bc≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值.[考法3] 解三角形与三角函数的综合问题【例2－3】 (2018·嘉兴、丽水高三测试)已知函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3(sin x ＋ cos x)2.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＝2，c ＝7，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 2＝3，求b 的值.解 (1)因为f(x)＝12cos 2x －32sin 2x ＋3(1＋sin 2x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3，所以f(x)的最大值为1＋3，最小正周期T ＝π. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋C ＋π6＋ 3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋3＝3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝＝π3. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcos C 可得b 2－2b －3＝0， 因为b>0，所以b ＝3.探究提高 解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.【训练2】 (2016·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b ＋c ＝2acos B. (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a24，求角A 的大小.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin Acos B ，故2sin Acos B ＝sin B ＋sin(A ＋B)＝sin B ＋sin Acos B ＋cos Asin B ，于是sin B ＝sin(A －B).又A ，B∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B)或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B. (2)解 由S ＝a 24得12absin C ＝a24，故有sin Bsin C ＝12sin 2B ＝sin Bcos B ，因sin B≠0，得sin C ＝cos B. 又B ，C∈(0，π)，所以C ＝π2±B.当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π41.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12absin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角一、选择题1.已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43B.34C.－34D.－43解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2 α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.答案 C2.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A.4 2B.30C.29D.2 5解析 因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A.答案 A3.(2018·北京西城区调研)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C.－1010D.－31010解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan∠BAC＝1＋21－1×2＝－3，所以cos∠BAC＝－1010.答案 C4.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.答案 B5.(2018·杭州调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为( ) A.－19B.19C.53D.－53解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝2－3cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝53. 答案 C6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2bB.b ＝2aC.A ＝2BD.B ＝2A解析 等式右边＝2sin Acos C ＋cos Asin C ＝sin Acos C ＋sin(A ＋C)＝sinAcos C ＋sin B. 等式左边＝2sin Bcos C ＋sin B ，2sin Bcos C ＋sin B ＝sin Acos C ＋sin B ， 因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b. 答案 A二、填空题7.(2018·金华模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13；又0<α<π2，∴π6<π6＋α<2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案2238.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsin C ＋csin B ＝4asin Bsin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.解析 由bsin C ＋csin B ＝4asin Bsin C 得sin Bsin C ＋sin Csin B ＝4sin Asin Bsin C ，因为sin Bsin C≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝32，所以bc ＝833，所以S △ABC＝12bcsin A ＝12×833×12＝233. 答案 2339.(2018·稽阳联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知csin A ＝3acos C ，则C ＝________；若c ＝31，△ABC 的面积为332，则a ＋b ＝________. 解析 由正弦定理可得sin Csin A ＝3sin A·cos C，∵在△ABC 中，sin A≠0，∴tan C＝3，C ＝π3，又12absin C ＝332，∴ab＝6，再由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，即31＝a 2＋b 2－ab ，31＝(a ＋b)2－3ab ，∴a＋b ＝7.答案 π37 10.(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B＝________；c a 的取值范围是________.解析 △ABC 的面积S ＝12acsin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2accos B，所以tan B ＝3，因为0°<∠B<90°，所以∠B＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A<30°，所以0<tan A<33，所以c a ＝sin C sin A ＝sin （120°－A ）sin A ＝sin 120°cos A－co s 120°sin A sin A ＝32tan A ＋12>2，故c a的取值范围为(2，＋∞). 答案 60° (2，＋∞)11.(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________.解析 因为∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得12acsin 120°＝12a×1×sin 60°＋12c×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a>0，c>0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9.答案 9三、解答题12.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45. (1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45得sin α＝－45， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝45. (2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665. 13.(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211. 14.(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求∠A；(2)求AC 边上的高.解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝32. 由题设知π2<∠B<π，所以0<∠A<π2. 所以∠A＝π3. (2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝3314， 所以AC 边上的高为asin C ＝7×3314＝332. 15.(2016·北京卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac.(1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以 C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4. 所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，∵0＜A ＜3π4，∴π4＜A ＋π4＜π， 故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1. 16.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsin A ＝acos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B)的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝acos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，得asin B ＝acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B∈(0，π)，可得B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝7，故b ＝7. 由bsin A ＝acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a<c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17， 所以，sin(2A －B)＝sin 2Acos B －cos 2Asin B ＝437×12－17×32＝3314.。