人教版高中数学必修五3.4.2基本不等式公开课教学课件 (共18张PPT)
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人教版数学必修五：3.4《基本不等式二》ppt课件
a＋b 2 b>0)可变形为 ab≤( 2 ) 等，同时要从整体上把握基本不等 式，如 a4 ＋ b4≥2a2b2 ， a2b2 ＋ b2c2≥2(ab)(bc) ，都是对“a2 ＋ b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用．
第三章
3.4
第2课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
已知 a>2，求证：loga(a－1)· loga(a＋1)<1.
第三章
3.4
第2课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
1.由基本不等式导出的几个结论
(1) 反向不等式： a ＋ b≤ 2a2＋b2 (a 、 b ∈ R ) ，由 a2 ＋
＋
b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得． a＋b 2 a＋b ＋ (2)ab≤( 2 ) ，(a、b∈R )，由 2 ≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ 2ab 2 ≥ ab≥ ＝ ≥a . a＋b 1 1 a＋b
[ 证明] ∵a>2，所以 loga(a－1)>0，loga(a＋1)>0，
又 loga(a－1)≠loga(a＋1)， logaa－1＋logaa＋1 ∴ logaa－1· logaa＋1< 2 1 1 2 ＝2loga(a －1)<2logaa2＝1， ∴loga(a－1)· loga(a＋1)<1.
(2)由 1－x2≥0 知－1≤x≤1，当 0＜x≤1 时，x 1－x2＝
2 2 x ＋ 1 － x 1 2 2 x 1－x ≤ ＝2， 2
2 等号在 x ＝1－x 即 x＝ 2 时成立；当 x＝0 时，x 1－x2＝
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
高中数学必修五：3.4基本不等式 课件
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a, b R
ab
基本不等式2： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
由于x>0，所以
人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT
第三章 不等式
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
高中数学 3.4 基本不等式课件 新人教版必修5
(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 解法一：∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．由2xxy＝ ＝32y4， ， 解得xy＝ ＝64， .
故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
分析:设每间虎笼长x m，宽y m，则问题 (1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值； 而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的
最小值．因此，使用均值定理解决．
解析:设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.
2．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－ b)2________0，因此a2＋b2________2ab，当且仅 当________时，取等号． 答案： ≥ ≥ a＝b
引例： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 证明: a2 + b2 – 2ab = ( a – b )2
当 a≠ b时, (a – b)2 > 0 ; 当a=b时, (a – b)2 =0 所以( a – b )2≥0, 即 a2 + b2≥2ab
分别用 a , b 代替引例中的a,b, 即可得 ab2 ab
基本不等式的代数解释
∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab， ∴a＋2 b≥ ab.
第三章 不等式
3.4 基本不等式
人教版高中数学必修五第三章不等式3.4基本不等式第一课时教学课件共16张PPT含视频 (2份打包)
一 、 A层 ：1.下 列 结 论 正 确 的 是 （B ）
A.当 x 0且 x 1时 ，lg x 1 2； B.当 x 0时 ， x 1 2；
lg x
x
C.当 0<x 2时 ， x 1 无 最 大 值 ； D.当 x 2时 ， x+ 1 最 小 值 是 2.
x
x
2.设x 0,则y 3 3x 1 的最小值为（ C ）
x
A.3
B.3-2 3
C.3+2 3
D.-1
二 、 B层 1.设 x 0, y 0, 且 x 4 y 40， 则 lg x+ lg y的 最 大 值 为 （D ）
A.10
B.5
C.4
D.2
2.若 2 x 2 y 1, 则 x y的 取 值 范 围 是 （ D ）
A.0，2 B.-2， 0
（2）二定：两个正数积为定值,和有最小值. 两个正数和为定值,积有最大值.
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”, 否则会出现错误.
合作探究，成果展示
【课堂探究一】运用基本不等式求最值
1.若x0,求函数yx1的最大值. x
2.若x1,求函数yx 1 的最小值. x1
3 .若 0 x 1 ,求 函 数 y x (1 2 x )的 最 大 值 . 2
ab
a
2
b
(a
0,
b
0（) 当且仅当
a b
时取等号）
(1) a b 2 ab ;
ab (a b)2
(2)
2
.
2.已知 x >0,y>0,
(1)若xy=p（p为定值），则当 x y 时，x+y有最 小 值 2 p .
高中数学必修五3.4.1 基本不等式的证明教学课件共18张PPT
C
S=ab
c=2(a+b)
积
和
物品放天平左边称砝码显示重量为a
物品放天平右边称砝码显示重量为b
2．主动引导 激发需求
物品放天平左边称砝码显示重量为a，放右边
称砝码显示重量为b，那么这个物品的实际重量是 多少？ M | l1 | l2 |
M
| l1 | l2 |
3．合作活动 提炼建模
活动 1 如图 5，请同学们先将一个正方形纸片沿它 们的对角线对折，然后用剪刀沿纸片对角线剪开，分成 两个全等的等腰直角三角形纸片． （课前请同学们预先 准备）
3．合作活动 提炼建模
活动 2 完成活动 1 后， 请同桌两位同学各取一个等
a b 腰直角三角形纸片（纸片的面积分别为 ， ） ，按如图 2 2 a +b 6 所示拼接成面积为 的多边形纸片． 2
3．合作活动 提炼建模
活动 3 完成活动 2 后，再请同桌两位同学合作，将
a +b 拼接成面积为 的多边形纸片按图 7 中虚线裁剪，去 2
普通高中课程标准实验教科书 数学（必修 5）
3.4 基本不等式的证明
1．自主阅读 提出问题
【阅读材料】五世纪，欧洲大地上贵族发起大规模 的圈地运动，其中有一种观点认为 “所圈矩形形状的地 的周长越长，则所圈地面积越大”． 你认同此观点吗？能从此观点中抽象出什么数学 问题吗？
A
a
D
b
b
B
a
ab ≥ ab ． a b ≥ 2 ab ， 2 ab 所以， 如果 a， b 是正数， 那么 ab ≤ （当 2
且仅当 a＝b 时取“＝”）． 当 a ≥ 0 ，b ≥ 0 时，这个不等式仍然成立．
高中数学必修五3.4.2基本不等式的应用课件人教A版
-7-
第2课时 基本不等式的应用
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
【变式训练1】 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
求证: + + ≥9.
1 ������ 1 ������ 1 ������
证明因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,
1 1 1 1 1 ������ ������ + + ( ������ + ������ + ������ ) = 3 + + + ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 1 + + + ≥3+2+2+ 2=9.当且仅当 a=b=c= 时,等号成 ������ ������ ������ ������ 3 1 1 1 立 .故 + + ≥9. ������ ������ ������
所以 + + =
1 ������
-8-
第2课时 基本不等式的应用
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
实际应用题 【例2】 某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造 一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了 使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
《基本不等式》
·人教版必修五数学PPT课件·
目 录
1
重要不等式
2
基本不等式
3
有关常用理论4Biblioteka 例题学习1 重要不等式
1. 重要不等式
当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
2 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差中项,几何平均 数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示为:a与b的正的等比中 项不大于它们的等差中项.
【做一做2】 已知ab=16,a>0,b>0,则a+b的最小值为
.
答案:8
2. 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
3 有关常用理论
3. 有关常用理论
3. 有关常用理论
4 例题学习
4. 例题学习
题型一
比较大小
4. 例题学习
4. 例题学习
题型二 利用基本不等式求最值
4. 例题学习
4. 例题学习
4. 例题学习
4. 例题学习
同学们！下课啦！
·人教版必修五数学PPT课件· 千图老师
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目 录
1
重要不等式
2
基本不等式
3
有关常用理论4Biblioteka 例题学习1 重要不等式
1. 重要不等式
当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
2 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
从数列的角度看,a,b的算术平均数是a,b的等差中项,几何平均 数是a,b的正的等比中项,则基本不等式可表示为:a与b的正的等比中 项不大于它们的等差中项.
【做一做2】 已知ab=16,a>0,b>0,则a+b的最小值为
.
答案:8
2. 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
2. 基本不等式
3 有关常用理论
3. 有关常用理论
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4 例题学习
4. 例题学习
题型一
比较大小
4. 例题学习
4. 例题学习
题型二 利用基本不等式求最值
4. 例题学习
4. 例题学习
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人教版高中数学必修五3.4.2基本不等式公开课教学课件
2.凑项 ：使积成为定值
拓展延伸：
已知x 5 , 求函数y 4x 2 1 的最大值
4
4x 5
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究3：已知0 x 1, 求x(1 x)的最大值
解析： 0 x 11 x 0
(x 1 x)2 1
x(1 x)
ab （ a+b ）2 , 2
自主探究：
下列函数中，最小值是2的是 ( )
A．y＝x2＋2x
B．y＝
x2＋2＋
1 x2＋2
C．y＝7x＋7－x
D．y＝x＋8x(x>0)
解析：A中x可能为负值，B中等号不成 立，D中最小值不是2.
答案：C
总结归纳：
利用基本不等式求最值需要注意什么？
总结归纳：
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：
≤
1 2
∙[
2x+(1-2x) 2
]2 =
1 8
.
当且仅当
2x=(1-2x),
即
x=
1 4
时,
取“=”号.
∴当 x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
课堂小结：
1、本节课你学到了哪类题型？ 能够利用基本不等式求最值问题 2、求解过程中需要注意什么？ 一正、二定、三相等 3、如果条件不满足该如何处理？ 正不满足，提负号；积为定不满足， 凑系数；和为定不满足，凑项
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究2： 已知x
1, 求y
x
1 的最小值 x 1
解析：(1) x 1 x 1 0 思考：取到最值时x的值呢？
人教版高中数学必修五3.4基本不等式二 课件(共15张PPT)
解：当x 0时，y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 2时等号成立
当x 0时
y
x
4 x
x
4 x
2
x 4 4
x
当且仅当x 2时等号成立
综上所述函数的值域为 ，44，
基本不等式成立的条件：二定（积定和最小）
例2 已知x 1,求x 4 的最小值 x 1
解： x 1 x 1 0 4 0
2
2x 1
解： x 1 2x 1 0 8 0
2
2x 1
y x 8 1 2x 1 8 1
2x 1 2
2x 1 2
y x 8 2 1 2x 1 8 1 2 2 1 9
2x 1 2
2x 1 2
22
当且仅当1 2x 1 8 时，即x 5 时等号成立
2
2x 1
2
基本不等式成立的条件：二定（和定积最大）
2
当且仅当a b时等号成立
基本不等式成立的条件：二定（和定积最大）
变式4
若0
x
1 3
,
则x1
3x取最大值时x的值是B
A. 1
B. 1
C. 1 D. 1
4
6
8
10
基本不等式成立的条件：三相等
例4 求函数y x2 2 1 的最小值 x2 2
解： x2 2 0
1 0
x2 2
二定
y x2 2 1 2 x2 2 1 2
适用条件
复习回顾
已知x 0,求y x 4的最小值；
x
二定
解 x 0, y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时原式有最小值4 x
人教版高中数学必修五3.4基本不等式-引入为圆(第一课时)说课课件 (共18张PPT)
☆ 教法
根据本节课的内容和学生的实际水平，主要采用探究式、 计算机辅助教学、小组讨论汇报等教学方法.
2
教法分析
☆ 学法
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展， 着眼于学生的学习体验.设置问题，由浅入深，循序渐近，给 不同层次的学生提供思考，创造和成功的机会.
☆ 教学手段
计制作数学课件，直观形象地展示变换过程. 化抽象为具体，由静到动，使学生实体验“变”的过程.
4
教学过程
(一)创设情境，启发引导 (二)探究推理，形成概念
(三)初步运用，归纳提升
(四)反思总结，培养能力 (五)课后作业，自主学习
(一)、创设情境，启发引导
问题：如下图，设 AD 的长为 a ， BD 的长为 b ，试用 a ， b 表示 OC ；试用 a ， b 表示 CD . 并判断 CD 与 OC 的大小关系.
只要证： a b 2 ab . 只要证： a b 2 ab 0 . 只要证：
a b
2
0.
上式显然成立，当且仅当 a b 时，等号成立
(三)、初步运用，归纳提升
例 1、判断下列式子能否直接运用基本不等式求最值：
1 4 4 x y 2 （1） x ； （ 2） ； （ 3） sin x ； （4） sin x ； 2 x sin x sin x y x
（5） x
1 ( x 2) ； x
（6）
x 4
2
1 x2 4
.
1 ( x 0) 的最小值. 变式训练 1：求函数 y x 3x
1 1 例 2：已知 a 0 ， b 0 ， a b y 0 ，且 x 4 y 1 ，求 xy 的最大值.
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解：
1 求f ( x ) 4 x ( x 0)的最大值 x
1.提负号，化为正
探究利用基本不等式求最值问题的方法
1 探究2： 已知x 1, 求y x x 1的最小值
(1) x 1 x 1 0 解析： 1 1 y x ( x 1) 1 x 1 x 1
2．已知正数x，y满足x＋y＝10，则xy的最大 值为 ( ) A．15 B．10 C．25 D．不存在
1. 解析：a＋b≥2 ab＝2 25＝10. 当且仅当 a＝b＝5 时“＝”成立， 所以 a＋b 的最小 值为 10.
问题检测：
答案：C
问题检测：
1．若a，b为正数，且ab＝25，则a＋b的最 小值为 ( ) A．2 B．5 C．10 D．25
2．已知正数x，y满足x＋y＝10，则xy的最大 值为 ( ) A．15 B．10 C．25 D．不存在
2.
x＋y 2 解析：xy≤ ＝25，当且仅当 2
x＝y＝5
时“＝”成立，所以 xy 的最大值为 25.
答案：C
知识回顾：
1 、重要不等式：
a b 2ab
2 2
2.基本不等式： 3、常用不等式：当 a 0, b 0
思考：取到最值时x的值呢？
(1)x=2
1 2 ( x 1) 1 3 x 1
2.凑项 ：使积成为定值
拓展延伸：
5 1 已知x , 求函数y 4 x 2 的最大值 4 4x 5
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究3：已知0 x 1, 求x(1 x)的最大值
分析: 2 x+(1-2x) 不是 =1为 常数. 解: ∵0<x< 1 2 , ∴1-2x>0. ∴y=x(1-2x)= 1 2 ∙2x∙(1-2x) 1 2x+(1-2x) ]2 1 ≤ 2 ∙[ = 8. 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 1. ∴当 x = 1 时 , 函数 y = x (1 2 x ) 的最大值是 8 4
1 2
课堂小结：
1、本节课你学到了哪类题型？
能够利用基本不等式求最值问题
2、求解过程中需要注意什么？
一正、二定、三相等 3、如果条件不满足该如何处理？
正不满足，提负号；积为定不满足，
凑系数；和为定不满足，凑项
总结归纳：
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件： 一、正数条件，即a、b都是正数； 二、定值条件，即和是定值或积是定值； 三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”
忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若有 条件不满足时，应该怎样处理呢？
探究利用基本不等式求最值问题的方法 探究1：
第三章 不等式
3.4
基本不等式：
a＋ b ab≤ 2
（第 2 课时）
利用基本不等式求最值
课 程 标 准
会用基本不等式解决简单最大（小）值问题
学习目标：
1、进一步掌握基本不等式
a＋ b ab≤ 2
，
会应用此不等式及其变形求某些函数的 最值 2、通过自主探究，进一步认识利用基 本不等式求最值的三个条件，能够对式 子适当变形，配凑出“一正，b为正数，且ab＝25，则a＋b的最 小值为 ( ) A．2 B．5 C．10 D．25
2．已知正数x，y满足x＋y＝10，则xy的最大 值为 ( ) A．15 B．10 C．25 D．不存在
1．若a，b为正数，且ab＝25，则a＋b的最 小值为 ( ) A．2 B．5 C．10 D．25
0 x 1 1 x 0 解析： ( x 1 x) 2 1 x (1 x ) 4 4
思考：取到最值时x的值呢？ (2)x=1/2
变式：若 0<x< , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
1 2
3.凑系数 ：使和成为定值
变式：若 0<x< , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
a b 2 ab
时
a +b 2 ab （ ）, 2
自主探究：
x 2 A．y＝ ＋x 2
x
下列函数中，最小值是2的是
B．y＝
－x
(
x ＋2＋
2
1 x2＋2
)
C．y＝7 ＋7
8 D．y＝x＋x(x>0)
解析：A中x可能为负值，B中等号不成 立，D中最小值不是2. 答案：C
总结归纳：
利用基本不等式求最值需要注意什么？
1 求f ( x ) 4 x ( x 0)的最大值 x
1.提负号，化为正
探究利用基本不等式求最值问题的方法
1 探究2： 已知x 1, 求y x x 1的最小值
(1) x 1 x 1 0 解析： 1 1 y x ( x 1) 1 x 1 x 1
2．已知正数x，y满足x＋y＝10，则xy的最大 值为 ( ) A．15 B．10 C．25 D．不存在
1. 解析：a＋b≥2 ab＝2 25＝10. 当且仅当 a＝b＝5 时“＝”成立， 所以 a＋b 的最小 值为 10.
问题检测：
答案：C
问题检测：
1．若a，b为正数，且ab＝25，则a＋b的最 小值为 ( ) A．2 B．5 C．10 D．25
2．已知正数x，y满足x＋y＝10，则xy的最大 值为 ( ) A．15 B．10 C．25 D．不存在
2.
x＋y 2 解析：xy≤ ＝25，当且仅当 2
x＝y＝5
时“＝”成立，所以 xy 的最大值为 25.
答案：C
知识回顾：
1 、重要不等式：
a b 2ab
2 2
2.基本不等式： 3、常用不等式：当 a 0, b 0
思考：取到最值时x的值呢？
(1)x=2
1 2 ( x 1) 1 3 x 1
2.凑项 ：使积成为定值
拓展延伸：
5 1 已知x , 求函数y 4 x 2 的最大值 4 4x 5
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究3：已知0 x 1, 求x(1 x)的最大值
分析: 2 x+(1-2x) 不是 =1为 常数. 解: ∵0<x< 1 2 , ∴1-2x>0. ∴y=x(1-2x)= 1 2 ∙2x∙(1-2x) 1 2x+(1-2x) ]2 1 ≤ 2 ∙[ = 8. 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 1. ∴当 x = 1 时 , 函数 y = x (1 2 x ) 的最大值是 8 4
1 2
课堂小结：
1、本节课你学到了哪类题型？
能够利用基本不等式求最值问题
2、求解过程中需要注意什么？
一正、二定、三相等 3、如果条件不满足该如何处理？
正不满足，提负号；积为定不满足，
凑系数；和为定不满足，凑项
总结归纳：
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件： 一、正数条件，即a、b都是正数； 二、定值条件，即和是定值或积是定值； 三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”
忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若有 条件不满足时，应该怎样处理呢？
探究利用基本不等式求最值问题的方法 探究1：
第三章 不等式
3.4
基本不等式：
a＋ b ab≤ 2
（第 2 课时）
利用基本不等式求最值
课 程 标 准
会用基本不等式解决简单最大（小）值问题
学习目标：
1、进一步掌握基本不等式
a＋ b ab≤ 2
，
会应用此不等式及其变形求某些函数的 最值 2、通过自主探究，进一步认识利用基 本不等式求最值的三个条件，能够对式 子适当变形，配凑出“一正，b为正数，且ab＝25，则a＋b的最 小值为 ( ) A．2 B．5 C．10 D．25
2．已知正数x，y满足x＋y＝10，则xy的最大 值为 ( ) A．15 B．10 C．25 D．不存在
1．若a，b为正数，且ab＝25，则a＋b的最 小值为 ( ) A．2 B．5 C．10 D．25
0 x 1 1 x 0 解析： ( x 1 x) 2 1 x (1 x ) 4 4
思考：取到最值时x的值呢？ (2)x=1/2
变式：若 0<x< , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
1 2
3.凑系数 ：使和成为定值
变式：若 0<x< , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
a b 2 ab
时
a +b 2 ab （ ）, 2
自主探究：
x 2 A．y＝ ＋x 2
x
下列函数中，最小值是2的是
B．y＝
－x
(
x ＋2＋
2
1 x2＋2
)
C．y＝7 ＋7
8 D．y＝x＋x(x>0)
解析：A中x可能为负值，B中等号不成 立，D中最小值不是2. 答案：C
总结归纳：
利用基本不等式求最值需要注意什么？