5.4.2一元一次方程的应用
5.4.5用一元一次方程解决几何问题与分段计费问题(课件)-2024-2025学年初一上册数学冀教版
探究新知
学生活动二 【探究几何问题】
将一张长和宽分别为40 cm,30 cm的长方形薄纸板按 图1中的实线剪开,再按虚线折叠,恰好折叠成如图2所示 的长方体盒子,如果这个盒子的宽∶高=4∶1,那么这个 长方体盒子的体积是多少?
探究新知
解:设减去的正方形边长为x cm, 则30－2x=4x.解得x=5. 所以长方体盒子的体积为 (40－2x)(30－2x)x=(40－10)×(30－10)×5=3 000. 答:那么这个长方体盒子的体积是3 000cm2.
探究新知
思考:(1)当150<t<350时,t是否存在一个数值,使得方案一 和方案二的计费相同?如果存在,t为何值?根据上述分析, 你能得到什么结论? 解:当两个方案计费相同时,列方程为20.5+0.25t=88, 解得t=270. 所以当t=270时,方案一和方案二费用相等.
探究新知
(2)①你能写出当t>350时,方案一计费的另一种表达式吗?
的任务？ 3. 这节课你还有哪些疑惑？
当堂训练
1.我市为鼓励居民节约用水,对家庭用水按分段计费 方式收取水费:若每月用水量不超过10 m3,则按每立 方米1.5元收费;若每月用水量超过10 m3,则超过部分 按每立方米3元收费.如果某居民在某月缴纳了45元 水费,那么这户居民在这个月的用水量为多少?
当堂训练
解:设长方形纸片的宽为x cm,则长方形纸片的长为 2x cm. 根据题意,得2x×4－1=2x+2×2x+3.解得x=2. 所以直尺长度为2x×4－1=15. 答:直尺长度为15 cm.
课后作业
完成课后习题＋练习册.
当堂训练
解:设这户居民这个月用水量为x m3, 因为当x=10时,水费为1.5×10=15(元),所以x>10. 根据题意,得15+3(x－10)=45.解得x=20. 答:这户居民这个月用水量为20 m3.
5.4 一元一次方程与实际问题(二)(课件)青岛版(2024)数学七年级上册
感悟新知
知5－练
解题秘方：本题主要考查了一元一次方程的实际 应用，根据工作总量＝ 工作时间× 工作效率, 列 出方程求解即可.
感悟新知
知5－练
解：设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作.
依题意，得107×2016＋(30－1702)0(16＋x)＝1， 解得x＝12． 所以，还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作.
感悟新知
知4－练
(1)若两车相向而行， 慢车先开40 min， 快车开出几小时
后两车相遇？
解题秘方：等量关系：慢车行驶的路程＋ 快车行驶的
路程＝1 500 km. 解：设快车开出 x h后两车相遇 .
由题意，得120×(x＋4600)＋150x＝1 700 . 解得x＝6 . 所以，快车开出6 h后两车相遇.
感悟新知
知5－练
解：设甲工程队每天掘进 x m，则乙工程队每天掘进(x－2) m. 由题意，得 2x＋(x＋x－2)＝26，解得 x＝7， 所以乙工程队每天掘进 7－2＝5(m)． 所以1476＋－526＝10(天)． 所以，甲、乙两个工程队还需要联合工作 10 天．
感悟新知
解：设小明的速度为x
m/s，则他的哥哥的速度为32x
知4－练
m/s.
2 min 40 s＝160 s. 本例也可设他们两人的速度分别为2x m/s
和3x m/s.
由题意，得160×32x－160 x＝400，解得x＝5 .
则小明的哥哥的速度为5×32＝7.5(m/s). 设两人同时同地反向出发，经过y s他们第一次相遇.
知4－练
感悟新知
方法点拨：火车过桥问题的图形表示:
知4－练
(1)“火车完全通过桥”是指从火车车头上桥到火车车尾离
5.4.2 一元一次方程的应用
5.4.2 一元一次方程的应用
---等积变形问题
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变，
体积不变。 R
h
想一想：
请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪 些量保持不变？ 1、把一小杯水倒入另一只大杯中；
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和质量都保持不变
2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后 把它围成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变
3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改 变成球。
解：形状改变，体积不变
一纪念碑建筑的底面呈正方形，其四周 铺上花岗石，形成一个宽为3.2米的正方 形边框（如图中阴影部分），已知铺这个 边框恰好用了144块边长为0.8米的正方形 花岗石（接缝忽略不计）,问纪念碑建筑 底面的边长是多少米?
3.2
x
3.2
阴影部分的面积= 144块边长为0.8正方形花岗岩的面积 阴影部分的面积= 4个长为(x+3.2)米、宽为3.2米的长方形 解： 设纪念碑建筑底面的边长为x米，根据题意，得
4 3.2x 3.2 0.8 0.8 144
解这个方程，得x=4
答：纪念碑建筑底面的边长为4米.
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
20cm
30cm
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
3.2
2024秋七年级数学上册第5章一元一次方程5.4应用一元一次方程——打折销售教案(新版)北师大版
1. 拓展阅读材料：
- 《数学与生活》：介绍数学在日常生活中的应用，包括购物打折、银行利息等实际问题。
- 《趣味数学》：通过有趣的故事和实例，引导学生了解一元一次方程在其他方法》：讲解一元一次方程的起源、发展及其在数学体系中的地位，培养学生对数学学科的兴趣。
- 引导学生探索一元二次方程、多元一次方程组等更高级的数学问题。
（3）数学思维方法的拓展：
- 培养学生运用分类讨论、归纳总结等数学思维方法解决问题。
- 引导学生学会用数学建模的方法，将实际问题抽象为数学模型，并运用一元一次方程进行求解。
板书设计
①条理清楚、重点突出、简洁明了：
1. 重点知识点：一元一次方程的定义、性质、求解方法。
2. 自主设计问题批改：评估学生是否能将所学知识应用到实际问题中，问题设计是否合理，解答过程是否清晰。
3. 调查报告批改：检查学生是否能正确收集和分析数据，报告撰写是否规范，分析是否深入。
4. 针对作业中出现的问题，及时给予反馈，指出学生存在的问题，并提供改进建议。
5. 鼓励学生在作业中展现自己的思考和创造力，对优秀作业进行表扬和展示，激发学生的学习积极性。
（4）项目导向学习：设置与打折销售相关的项目任务，引导学生自主探究，培养学生的自主学习能力和实践能力。
2. 教学活动设计：
（1）角色扮演：让学生扮演商家和消费者，模拟真实的购物场景，运用一元一次方程解决打折销售问题。
（2）实验：设计数学实验，让学生通过实际操作，感受一元一次方程在解决实际问题中的应用。
2. 课后自主学习和探究：
- 让学生尝试寻找生活中的其他一元一次方程问题，如票价计算、电话费结算等，并运用所学知识进行求解。
- 鼓励学生利用网络资源、图书馆书籍等途径，了解一元一次方程在其他学科领域的应用，如物理、化学、经济学等。
浙教版2020学年七上数学5.4-一元一次方程的应用(2)-习题课件(含答案)
解得 x＝54a.综上，水深为54a cm.
杭州良品图书有限公司
一元一次方程的应用（2）
第 12 页
12．如图图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒， 图案②需15根火柴棒，……
一元一次方程的应用（2）
第5 页
5．如图，用8块完全相同的长方形地砖铺成一个长方形，则每个长方形地 砖的面积是( B )
A．200 cm2 C．600 cm2
第5题图
B．300 cm2 D．2 400 cm2
杭州良品图书有限公司
一元一次方程的应用（2）
第6 页
6．将长为20 cm的铁丝做成一个长比宽多2 cm的长方形，则此长方形的长 是___6__cm____． 7．电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60豪米．现有厚度为0.15豪米的 胶片，它紧绕在盘上共有600圈，那么这盘胶片的总长度约为___2_8_2_._6__m__ 米(π≈3.14)．
杭州良品图书有限公司
一元一次方程的应用（2）
第 11 页
11．现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30 cm，底面的长是25
cm，宽是20 cm.水箱里盛有深为a cm(0＜a≤8)的水，若往水箱里放入棱长为
10 cm的立方体铁块，则此时水深为多少cm?
解：水箱的容积为 30×25×20＝15 000(cm3)， 当水深为 a cm 时，水的体积为 a×25×20＝500a(cm3)， 棱长为 10 cm 的立方体铁块的体积为 10×10×10＝1 000(cm3)， 当铁块放入水箱时，若 a＝8，则 25×20×8＋10×10×10＝25×20×10，此时铁
一元一次方程的应用高频考题训练(3)---方案选择及配套问题(含解析)
5.4《一元一次方程的应用》高频考题训练（3）---方案选择及配套问题配套问题1．某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．为求x，可列方程（）A．1200x＝1800（28﹣x）B．2×1200x＝1800（28﹣x）C．2×1800＝1200（28﹣x）D．1800x＝1200（28﹣x）2．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，根据题意可列方程为（）A．800x＝2×1000（26﹣x）B．2×800x＝1000（26﹣x）C．2×800（26﹣x）＝1000x D．800（26﹣x）＝2×1000x3．现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．设用x立方米的木料做桌子，则依题意可列方程为（）A．4x＝5（90﹣x）B．5x＝4（90﹣x）C．x＝4（90﹣x）×5D．4x×5＝90﹣x4．某眼镜厂车间有28名工人，每个工人每天生产镜架60个或者镜片90片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套．设安排x名工人生产镜片，则可列方程（）A．60（28﹣x）＝90x B．60x＝90（28﹣x）C．2×60（28﹣x）＝90x D．60（28﹣x）＝2×90x5．20名学生在进行一次科学实践活动时，需要组装一种实验仪器，仪器是由三个A部件和两个B部件组成．在规定时间内，每人可以组装好10个A部件或20个B部件．那么，在规定时间内，最多可以组装出实验仪器的套数为（）A．50B．60C．100D．1506．某工厂有技术工20人，平均每天每人可加工甲种零件12个或乙种零件10个，已知2个甲种零件和5个乙种零件可以配成一套，若每天生产的甲乙零件刚好配套，则安排生产甲种零件的技术人员人数是（）A．4B．5C．6D．37．用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有100张铁皮，用张铁皮制作盒身，正好使得这100张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套．8．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子．设原有x只鸽子，则可列方程．9．为保障一线医护人员的健康安全，某防护服厂加班生产防护服和防护面罩．已知工厂共54人，每人每天可加工防护服80件或防护面罩100个，已知一套防护服配一个防护面罩，为了使每天生产的防护服与防护面罩正好配套，需要安排人生产防护服．10．某厂生产一批纸盒，2米硬纸板可以做3个盒盖或者4个盒身，现有硬纸板140米，为了使盒盖和盒身正好配套，制作盒盖需要米硬纸板．11．某车间有技术工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，4个甲种部件和6个乙种部件配一套，问加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？12．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒和金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），安排一个车间负责生产这款正方体教具，该车间共有34名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或金属球75个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？13．某车间共有36名工人生产桌子和椅子，每人每天平均可生产桌子20张或椅子50把，一张桌子要配两把椅子．已知车间每天安排x名工人生产桌子．（1）车间每天生产桌子张，生产椅子把．（用含x的代数式表示）（2）问如何安排可使每天生产的桌子和椅子刚好配套？14．有蓝色和黑色两种布料，其中蓝布料每米30元，黑布料每米50元．（1）若花了5400元买两种布料共136米，两种布料各买了多少米？（2）用蓝布料做上衣，每件上衣需要布料1.5米，用黑布料做裤子，每条裤子需要布料1.2米，一件上衣和一条裤子配成一套．购买这两种布料共162米做上衣和裤子，布料全部用完，且做的上衣和裤子刚好完全配套，购买这162米布料花了多少元？方案选择问题15．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款为（）A．204 元B．230元C．256元D．264元16．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（）A．60人B．61人C．62人D．63人17．七年级某班准备组织同学们观看电影，由班长负责买票，已知电影票价每张50元，对观影人数超过40人的团体票有两个优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若有5人免票，则其他人可以打9折．班长思考一会儿说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．若这个班级观影人数超过40人，则该班共有___________人观看电影．18．某新华书店暑假期间推出售书优惠方案：①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是．19．在操场上，小华遇到小冯，交谈中顺便问道：“你们班有多少学生？”小冯说：“如果我们班上的学生像孙悟空那样一个能变两个，然后再来这么多学生的，再加上班上学生的，最后连你也算过去，就该有100个了．”那么小冯班上有多少学生？20．某公园门票规定如下：若办金卡，需200元，则全年进入公园无需再付钱；若办银卡，需100元，进入公园每次还需付5元；若不办卡，则每次进入公园需购票12元．（1）若小东每年去公园15次，那么应选择哪一种购票方式较为优惠？请说明理由；（2）若小明进入公园的全年预算门票费用为150元，按公园门票规定，求小明全年进入公园次数n的最大值．21．2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（x≥30）．（1）若该户外俱乐部按方案A购买，需付款元（用含x的式子表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款元（用含x的式子表示）；（2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；（3）当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．22．某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过300元，不给与优惠；超过300元而不超过600元一律打九折；超过600元时，其中的600元优惠10%，超过的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．（1）当一次性购物总额是500元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？（2）当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？（3）某顾客购物总额相同，其在乙超市实付款584元，问其在甲超市需实付款多少元？23．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约年，收费标准见图（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）．TAXI起步价：14元超公里费：超过3公里2.4元/公里滴滴快车起步价：12元里程费：2.5元/公里时长费：0.4元/分钟神州专车起步价：10元里程安：2.8元/公里时长要：0.5元/分钟不足1公里按1公里计（1）如果里程为10公里，出租车的费用为元；（2）已知甲，乙两地的路程超过3公里，从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省17.8元，求甲、乙两地间的里程数；（3）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过10公里总费用立减9.1元．如果两位顾容，都是第一次下单且乘车里程数相同，他们分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数．参考答案配套问题1．【解答】解：∵该车间有28名工人生产螺丝和螺母，且有x个工人生产螺丝，∴有（28﹣x）个工人生产螺母，又∵每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，且恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套，∴2×1200x＝1800（28﹣x）．故选：B．2．【解答】解：设安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由题意得2×800x＝1000（26﹣x）．故选：B．3．【解答】解：设用x立方米的木料做桌子，则用（90﹣x）立方米的木料做椅子，依题意，得：4x＝5（90﹣x）．故选：A．4．【解答】解：设安排x名工人生产镜片，由题意得，90x＝2×60（28﹣x）．故选：C．5．【解答】解：设x名学生组装A部件，则（20﹣x）名学生组装B部件，则＝．解得x＝15．在规定的时间内，最多可以组装出实验仪器的套数为＝50（套）．故选：A．6．【解答】解：设安排x名技术人员生产甲种零件，则安排（20﹣x）名技术人员生产乙种零件，依题意得：＝，解得：x＝5，即安排生产甲种零件的技术人员人数是5．故选：B．7．【解答】解：设用x张铁皮制作盒身，则用（100﹣x）铁皮制作盒底，依题意得：2×16x＝48（100﹣x），解得：x＝60，∴用60张铁皮制作盒身，正好使得这100张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套．故答案为：60．8．【解答】解：设原有x只鸽子，则可列方程：＝．故答案为：＝．9．【解答】解：设需要安排x人生产防护服，则安排（54﹣x）人生产防护面罩，依题意得：80x＝100（54﹣x），解得：x＝30．故答案为：30．10．【解答】解：设制作盒盖需要x米硬纸板，则制作盒身需要（140﹣x）米硬纸板，根据题意得：×3＝×4，解得：x＝80，故答案为：80．11．【解答】解：设安排x人加工甲种部件，则安排（85﹣x）人加工乙种部件，依题意得：＝，解得：x＝25，∴85﹣x＝85﹣25＝60．答：安排25人加工甲种部件，60人加工乙种部件，才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套．12．【解答】解：设分配x个工人生产塑料棒，则分配（34﹣x）个工人生产金属球，依题意得：＝，解得：x＝18，∴34﹣x＝34﹣18＝16．答：应分配18个工人生产塑料棒，16个工人生产金属球．13．【解答】解：（1）∵该车间共有36名工人生产桌子和椅子，且车间每天安排x名工人生产桌子，∴车间每天安排（36﹣x）名工人生产椅子．又∵每人每天平均可生产桌子20张或椅子50把，∴车间每天生产桌子20x张，椅子50（36﹣x）把．故答案为：20x；50（36﹣x）．（2）依题意得：2×20x＝50（36﹣x），解得：x＝20，∴36﹣x＝36﹣20＝16．答：车间每天安排20名工人生产桌子、16名工人生产椅子刚好配套．14．【解答】解：（1）设蓝布料买了x米，则黑布料买了（136﹣x）米．根据题意，得30x+50（136﹣x）＝5400．解这个方程，得x＝70．∴136﹣x＝66．答：蓝布料买了70米，黑布料买了66米；（2）设蓝布料买了y米，则黑布料买了（162﹣y）米．根据题意，得＝．解这个方程，得y＝90．∴30×90+50（162﹣90）＝6300．答：购买这162米布料花了6300元．方案选择问题15．【解答】解：∵第一次购书付款72元，享受了九折优惠，∴实际定价为72÷0.9＝80元，省去了8元钱．依题意，第二次节省了26元．设第二次所购书的定价为x元．由题意得（x﹣200）×0.8+200×0.9＝x﹣26，解得x＝230．故第二次购书实际付款为：230﹣26＝204（元）．故选：A．16．【解答】解：设七年级三个班级共有x人，根据题意得：20×0.8x＝20×0.9（x﹣7），解得：x＝63，∴七年级三个班级共有63人．故选：D．17．【解答】解：设该班共有x人观看电影，根据题意，得x×50×0.8＝（x﹣5）×0.9×50，解得x＝45，即该班共有45人观看电影．故答案是：45．18．【解答】解：设黄聪购书的原价是x元，当200＜x≤400元时，0.9x＝324，解得x＝360，当x＞400时，0.8x＝324，解得，x＝405，由上可得，小聪所购书的原价是360元或405元，故答案是：360元或405元．19．【解答】解：设小冯班人数为x人，根据题意列方程得：2x+2x×+x+1＝100，2x+x＝99，x＝99，x＝36，答：小冯班上有学生36人．20．【解答】解：（1）若办金卡则需200元；若办银卡则需100+15×5＝175（元）；若不办卡则需12×15＝180（元）；故办银卡较为优惠；（2）若办银卡：100+5n＝150，解得n＝10，若不办卡：12n＝150，解得n＝12.5，∵n为正整数，∴n取最大值为12．21．【解答】解：（1）按方案A购买，需付款：30×1600+20（x﹣30）＝20x+4200，即需要付款（20x+4200）元；按方案B购买，需付款：30×160×0.9+20×0.9x＝18x+4320，即需要付款（18x+4320）元．故答案是：（20x+4200），（18x+4320）；（2）当x＝40时，方案A：20×40+4200＝5000（元）．方案B：18×40+4320＝5040（元）．因为5000＜5040，所以按方案A购买较为合算；（3）根据题意，得20x+4200＝18x+4320．解得x＝60．答：当购买运动棉袜60双时，两种方案付款相同．22．【解答】解：（1）在甲超市实付款为：500×0.88＝440（元）；在乙超市实付款为：500×0.9＝450（元）．∴在甲超市购买实付款为440元，在乙超市购买实付款为450元；（2）设当购物总额为x元时，两家超市实付款相同，根据题意得：0.88x＝600×0.9+0.8（x﹣600），解之得，x＝750．∴当购物总额为750元时，两家超市实付款相同．（3）设该顾客购物总额为y元，根据题意得：600×0.9+0.8（y﹣600）＝584，解之得，y＝655；∴0.88y＝0.88×655＝576.4（元），∴其在甲超市需实付款576.4元．23．【解答】解：（1）14+2.4×（10﹣3）＝30.8（元），答：出租车的费用为30.8元．故答案为：30.8；（2）设甲、乙两地间的里程数是x公里，由题意得，14+2.4（x﹣3）+17.8＝12+2.5x+×60×0.4，解得x＝18．答：甲、乙两地间的里程数是18公里；（3）设这两位顾客乘车的里程数是y公里，当0＜y≤10时，12+2.5y+×60×0.4＝0.8（10+2.8y+×60×0.5）+5.3，解得y＝5，当＞10时，12+2.5y+×60×0.4﹣9.1＝0.8（10+2.8y+×60×0.5）+5.3，解得y＝40，答：这两位顾客乘车的里程数是5公里或40公里．。
第五章 一元一次方程 5.4 一元一次方程的应用 第1课时 列方程解和、差、倍、分问题应用题
吨粮食，从乙粮仓运出29吨粮食
6．(10分)某校七(1)班积极响应校团委的号召，每位同学都向“希望 工程”捐献图书，全班40名同学共捐图书320册．特别值得一提的是
李扬、王州两位同学在父母的支持下各捐献了50册图书．班长统计
了全班捐书情况如下表：(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分)
请你分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数． 解：设该班级捐献7册图书的同学有x人，则该班级捐献8册图书的同 学有(9－x)人，根据题意，得7x＋8(9－x)＝66，解得x＝6，所以9－x ＝3答：捐7册书的同学有6人，捐8册书的同学有3人
，则有10人无法安排；如果每4人住一间，则空出2张床，则该旅行团 共有____ 46 ．
三、解答题(共32分) 14．(8分)光明中学现有校舍面积20 000平方米，为改善办学条件，
计划拆除部舍面
积的3倍还多1 000平方米．这样，计划完成后的校舍总面积可比现有 校舍面积增加20%.已知拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平
书前我领了1 500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你
肯定搞错了．”王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解 释． 解：设单价为8元的课外书为x本，得：8x＋12(105－x)＝1 500－418. 解之得x＝44.5(不符合题意)．所以王老师说他肯定搞错了
第1课时 列方程解和、差、倍、分问题应用题
1．列方程解应用题的一般步骤： (1)弄清题意，分清题目中的________ 已知量 和________ 未知量 ，设出________ 未知数 ； (2)分析________ 已知量 和________ 未知量 之间的关系，或借助图表等方式，找出 题目中的____________ 等量关系 ； (3)根据等量关系，列出_______ 方程 ； (4)解方程，求出____________ 未知数的值 ； (5)检验结果是否符合题意，写出答案． 2．列方程解决实际生活中的问题，关键是能够找到问题中的有关数 量的相等关系．
一元一次方程的应用——和差倍分问题一元一次方程的应用课堂教学实录全篇
5.4一元一次方程的应用——和差倍分问题教学实录石家庄市第四十九中学薛晓丽一、教学目标：（一）知识目标：根据实际问题中数量关系列方程解决问题。
掌握列方程解决实际问题的一般步骤．（二）能力目标：培养学生数学建模能力，发现和提出问题、分析和解决问题的能力．（三）情感目标：增强数学的应用意识和学习数学的兴趣，积累数学活动经验.二、教学重点和难点重点：寻找实际问题中的等量关系，建立数学模型；培养学生发现、解决问题的能力。
难点：根据实际问题分析数量关系列出方程.三、教学方法：自主学习与小组合作相结合四、教学过程：教学环节教学设计设计意图创设情境提出问题师：前面学习了那些用代数式表示的实际问题？生：增长率、工作量、行程问题……师:展示图片，生活很多问题都可以用方程来解决，今天我们一起来学习一元一次方程的应用。
（板书课题）激发学生的学习兴趣。
教学过程自主探究活动1：学生植树的图片引出问题某校七年级同学参加这一次公益活动，其中15%的同学去作保护环境的宣传，剩下的170名同学去植树、种草。
七年级共有多少名同学参加这次公益活动？师：4、5、6组同学板演，分工如下：1．探究：8号：①七年级同学参加公益活动做了件事：分别是，15%的同学去作，170名同学作，7号：②设七年级共有名同学参加公益活动。
x6号：③请用文字叙述等量关系并列出方程：5号：④写出本题的规范过程：作环保宣传的同学/名植树种草的同学/名参加公益活动的同学/名x让学生充分发挥主体作用，自己去观察、探究，解决问题。
师：1、2号组长纠错后，5组5-8号同学讲解。
（边讲解边说明注意的问题）解得： 6x =2113x +=答：小拖拉机一天耕地6公顷，大拖拉机一天耕地13公顷。
解法二：设大拖拉机一天耕地公顷，x 解得： 2(19)1x x =-+13x =196x -=答：小拖拉机一天耕地6公顷，大拖拉机一天耕地13公顷。
解法三：设小拖拉机一天耕地公顷，大拖拉机一天耕地公顷，x x 1921x y y x +=⎧⎨=+⎩613x y =⎧⎨=⎩答：小拖拉机一天耕地6公顷，大拖拉机一天耕地13公顷。
学案 5.4 一元一次方程的应用(2)
学案 5.3一元一次方程的应用(2)班级姓名【我们要掌握的】1.在应用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量之间的关系，尤其是关系是建立方程的关键.2.解题中的对确保答案的正确和合理含有帮助，但具体过程可以不写.3.在解决实际问题时，一般可通过分析实际问题，抽象出数学问题，然后用数学思想方法解决问题.用分析数量关系是常用的方法.4.将一个细长的圆柱体铁块锻压成一个矮胖的圆柱体铁块，在这个过程中，圆柱体中的发生了变化，没有变化.5.一天，小聪去买铅笔，买3支还剩下3角钱，买4支还差2角钱，问铅笔每支的单价是多少?在这个问题中，不变的量是.6.甲乙两班共有学生92名，甲班的人数比乙班多2人，那么乙班有人.【我们要完成的】例1、甲乙两水桶内共有水48kg，如果从甲桶中取出一定量的水加入乙桶中，使乙桶中的水量增加一倍，然后又从乙桶中取出一些水加入甲桶中，使甲桶中的水量为第一次取水后所剩水的2倍，此时两桶内的水量相等.问原来甲乙两桶内各有多少千克水?强化训练1、某车间有22名工人生产螺母和螺钉，每人每天平均生产螺钉l200个或螺母2000个.已知一个螺钉要配2个螺母，为了使每天生产的螺母和螺钉刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母?例2、用内径为90毫米的圆柱体玻璃梦(已装满水)向一个内底面积为l31×131平方毫米，内高为81毫米的长方形铁盒中倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水下降的高度是多少?(结果保留π)强化训练2、一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长为14m，其他三边用竹篱笆围成.现有长为35m的竹篱笆，小王打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多5m；小赵也打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多2m，你认为谁的设计符合实际?按照他的设计，养鸡场的面积是多少?随堂自测一、选择题1.甲仓库原存有钢材100吨，每月用去l5吨；乙仓库原存有钢材82吨，每月用去9吨，经过( )个月后，甲仓库剩下的钢材与乙仓库剩下的钢材相等( )A.2B.3C.4D.52.内径为l20毫米的圆柱体玻璃杯和内径为300毫米，内高为32毫米的圆柱体玻璃盘，可以盛同样多的水，玻璃杯的内高为( )A.160毫米B.150毫米C.200毫米D.180毫米3.某一个长方形的周长为30cm，如果把这个长方形的长减少3cm，而宽增加2cm，就变成了一个正方形，那么这个长方形的长为( )A.10B.9C.8D.7.54.如图，用七个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，则图中的空白部分面积为( )A.121cm2B.128cm2C.134cm2D.169cm2二、填空题5.用一根长为l0米的铁丝围成一个长方形，使得该长方形的长比宽多l.4米，则此长方形的长为，宽为.6.有两桶水，甲桶中有水180升，乙桶中有水150升，要使甲桶水的体积是乙桶水的体积的2倍，则应从乙桶向甲桶倒升水.7.某市在端午节准备举行划龙舟大赛，预计15个队共330人参加，已知每个队一条船，每条船上人数相等，且每条船上有1人击鼓，l人掌舵，其余的人同时划浆.设每条船上划浆的有x人，那么可列出一元一次方程为三、解答题8.某中学参加社区义务劳动，第一大组有63人，第二大组有39人，现又调来30人，根据任务量要求第二大组的人数是第一大组人数的一半，问应该怎样分配这30人?9.如图所示，正方形ABCD的边长AD=2厘米，图中的长方形ABEF的面积比正方形的面积多3平方厘米，那么长方形ABEF的长比宽多多少?10.小王买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，房子结构如图所示(图中的数据单位：m).地面总面积是卫生间面积的15倍，如果铺lm2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元?。
浙教版七年级上册数学教案5.4 一元一次方程的应用
5.4 一元一次方程的应用（第1课时）一、教学目标：知识目标：会列一元一次方程解决实际问题．能力目标：会将实际问题转化成数学问题,学习分析实际问题的方法，提高分析能力。
情感目标：通过学习，增强用数学的意识，激发学习数学的热情．二、教学重难点：重点：掌握列方程解应用题的一般步骤难点：准确理解题意，找出相等关系，列出一元一次方程．三、教学过程：（一）导入新课：2010年广州亚运会上，我国获得奖牌416枚，其中银牌119枚，金牌数是铜牌数的2倍还多3枚。
请你算一算，其中金牌有多少枚？请讨论和解答下面的问题：（1） 能直接列出算式求2010年亚运会我国获得的金牌数吗？（2） 如果用列方程的方法求解，设哪个未知数为x ？（3） 根据怎样的相等来列方程？方程的解是多少？经过分析可知用算术方法解决此问题比较繁琐。
用列方程的方法：设获得x 枚金牌，根据题意，得31194162x x -++=. 解这个方程，得x =199.当数量关系比较复杂时，列方程解应用题要比直接列算式解容易.适当地运用一元一次方程的知识，可以解决许多现实生活中遇到的有关实际问题.（二）探究新知：1.知识讲解通过上面的讨论，可知用列方程方法解比较方便.列出综合算式直接求未知量.列方程的方法是通过用字母表示未知量，并把这个未知量当作已知量,找出与题中的其他已知量形成的相等关系列出方程求解。
师生共同总结出运用方程解决实际问题的一般过程：（1）审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。
（2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x ）.（3）列方程：根据相等关系列出方程。
（4）解方程：求出未知数的值。
（5）检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。
2.例题讲解例1 某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18元，学生享受半价。
某场演出共售出966张票，收入15480元，问这场演出共售出学生票多少张？分析:题中涉及的数量有票数、票价、总价等,它们之间的相等关系有:票数×票价=总票价;学生的票价=1/2×全价票的票价;全价票张数+学生票张数=966;全价票的总票价+学生票的总票价=15480.x=15480.解这个方程,得x=212.检验:x=212满足方程,且符合题意.答:这场演出共售出学生票212张.从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是：1.审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；3.列方程：根据相等关系列出方程；4.解方程：求出未知数的值；5.检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.（三）课内小结：教师指导学生共同归纳本节的知识。
思维可视化视角下的初中数学应用题教学——以浙教版七年级“５．４一元一次方程的应用”为例
思维可视化视角下的初中数学应用题教学 以浙教版七年级 ５．４一元一次方程的应用 为例◉杭州市钱塘区学正中学㊀王㊀艳㊀㊀摘要:数学解题教学中的一个重要内容是应用题教学．教师通过语言转化㊁列表画图等教学活动让学生的思维过程可视化,经历从多角度设未知数列方程,找到解应用题的一般途径,从而培养学生的思维习惯,提高学生的模型观念㊁应用意识．关键词:核心素养;思维过程;可视化;列表;画图㊀㊀１问题提出在多年教学中,笔者发现七年级学生在学习列方程解应用题时总存在困难,并导致了学生学习的分化．学生的主要困难是不会分析问题中的数量关系,还有少部分学生不能读懂题意;读题审题过程过于简单化,只停留在看题层面的比较多,没有具体有效的方式呈现自己的思考过程．总而言之,学生的阅读概括能力㊁分析表达能力㊁信息处理能力比较欠缺．针对如何破解学生解应用题的困难问题,笔者结合教材内容,实施了以下的教学策略．２教学策略针对学生的问题,笔者提出了思维可视化的策略,即通过一些具体可操作的活动,把学生读题过程㊁分析过程中抽象的思维活动具体化．如用数学符号写出来㊁列出来㊁画出来,让自己㊁同学和老师都能看得见,然后将表达出来的内容用于交流讨论㊁分析整理㊁计算推理等,最后达到解决问题的目的．简而言之,即用具体的表达方式让学生呈现抽象的思维过程．应用题解题是一个包括了阅读概括㊁收集信息㊁筛选数据到处理各种数量关系㊁逻辑表达等思维活动的建模过程,是培养学生认识世界㊁发展能力㊁提升数学核心素养的重要途径．苏联数学教育学家斯托里亚尔曾说 数学教学也就是数学语言的教学 ．教师要在教学过程中善于运用文字㊁符号和图形等数学语言,帮助并引导学生理解数学语言㊁运用数学语言,培养学生在数学抽象㊁符号意识等方面的数学素养,感受数学语言的简洁之美．２．１尝试信息转化,让读题过程可视化解应用题的第一步是会读题．怎样做到 会读题 ?首先,学生能从具体问题情境中抽象出数学问题;其次会找等量关系,把条件概括精炼,将文字语言 翻译 并用简单的文字㊁数与字母等代数符号㊁运算符号表示成符号语言,实现读题过程的可视化．例１㊀学校组织植树活动,已知在甲处植树的有２３人,在乙处植树的有１７人．现调２０人去支援,使在甲处植树的人数是乙处植树人数的２倍,应调往甲㊁乙两处各多少人?教师:请你认真读题,并尽可能的把问题中的文字语言用数学式子的形式表示出来．如:①甲处人数＋支援甲处的人数＝支援后甲处人数．试一试．生１:我写的是 乙处人数＋支援乙处的人数＝支援后乙处人数 ．(教师标记②)生２:我写的是 支援后甲处人数＝２ˑ支援后乙处人数 ．(教师标记③)师:还有可以转化的语句吗?生３:我还有一个式子是 支援甲处的人数＋支援乙处的人数＝２０ ．(教师标记④)师:读题时我们要尽可能的把题目中的文字信息翻译成数学符号,用简洁的语言表达出来,每个表达式就是一个等量关系式,它们分别刻画了各已知量㊁未知量之间的数量关系．设计意图:以往学生读题过程只是单一的看题目,看懂了什么㊁看不懂什么经常是含糊不清的．在读题可视化环节中,教师首先要改变学生原来的读题习惯,引导学生边读边进行数学语言的转化,尝试尽可能把读到的内容用数学符号的形式表示出来．本题题意较简单,但文字信息中包含的数量关系较多,这时就需要用更简洁的语言来表达,即数学化处理．通过这样的教学活动,可以 去情境化实现数学抽象 [１],培养学生数学语言符号的转化能力,文字概括抽象等数学思维能力．２．２尝试列表量化,让数据收集过程可视化解应用题的第二步是会表示㊁分析数量关系．这是学生感到困难的地方,表现为思维无序,不能用合适的方式表达出自己的思维过程．尝试列表,用代数式的形式表达出各关系式中的数量再进行分析,可以让学生的数据处理过程可视化㊁有序化,将问题中的隐性数量关系显性化,使抽象关系具体化,并选择合适的设元方式,列出方程,实现数量符号化的思维过程．师:刚才找到的等量关系式中包含了许多数量,是否可以用简洁的方式把它们都表达出来今天我们学习用列表的方法来处理这些数量间的关系．本题数量代表的意义是什么?生１:甲㊁乙两处变化前后的人数．师:有哪几个变化阶段?生２:原来人数㊁支援的人数㊁支援后的人数．教师随即在黑板上横向书写 原来人数㊁支援人数㊁支援后人数 ,纵向书写 甲㊁乙 ,搭好表格框架,请学生先把已知量填写好后提问(表１)．表１原来人数支援人数支援后人数甲２３乙１７㊀㊀师:未知量有几个?怎样去表示它们?生３:未知量有４个,可以设甲处支援人数为x ,即可表达其他量了(表２)．表２原来人数支援人数支援后人数甲２３x２３＋x 乙１７２０－x３７－x㊀㊀师:你是根据什么填写出其他３个空格的?生３:由上面的关系式①㊁②㊁④可表示其他３个量．师:那么关系式③怎么用?生３:根据关系式③列方程,可得２３＋x ＝２(３７－x )．追问:你还可以设其他量为未知数吗?试一试,再填表,并列出方程．你有什么发现?生４:我设支援后乙人数为y ,列出表３,根据关系式④列方程．表３原来人数支援人数支援后人数甲２３２y －２３２y乙１７y －１７y方程２y －２３＋y －１７＝２０㊀㊀生５:我设支援后乙处人数为y ,列出表４,根据关系式③列方程．表４原来人数支援人数支援后人数甲２３２０－(y －１７)４３－(y －１７)乙１７y －１７y方程４３－(y －１７)＝２y㊀㊀生６:我还有想法,列出表５,根据关系式①来列方程．表５原来人数支援人数支援后人数甲２３２０－(y －１７)２y乙１７y －１７y方程２３＋２０－(y －１７)＝２y㊀㊀师:根据大家的讨论交流,你有什么收获?生５:我发现每一个未知的量都可设未知数,并表示出其他未知量．生６:我发现表格中横向㊁纵向的数量之间都能找到关系．生７:我发现只要选定其中一个等量关系式列方程,其他是用来表示与未知数有关的数量的,比我原来想的思路要多多了．师:是的,我们可选一个等量关系式作为主线列方程,其余作为副线用来列代数式表示其他量．你知道一共会有多少种思路列方程吗?师生一起讨论,归纳出共有１６种,学生感叹表格的用处很强大,简洁有序,拓宽了大家的思路．设计意图:教材中例题第一次采用列表法分析,但只出现了表３．列表法对于学生来说是一种新方法,所以在例题的教学中,教师不能直接把表格呈现给学生,而是给出充足的时间让学生经历怎么列表,怎样用表格整理㊁分析数据,选择哪个量设元,如何表示其他未知量,选择哪个关系式列方程等一个完整的建模过程,逐步学会将每个未知量符号化,同时要尝试多角度思考,进一步挖掘表格的作用,体验列表法的普适性㊁有效性,培养学生发散性思维和符号观念．目标检测:课本作业题２,要求(１)写出问题中所有的等量关系式;(２)表格分析只列方程．分析:本题关系式较多,要通过 实际 与 计划 两个阶段的分析才能列出表格,表格中会有６处空格,可选任一个未知量设未知数．学生解答:(１)写出的等量关系式共６个．①原计划时间＝实际时间＋１;②前２３工作量＝原计划工作效率ˑ提效前时间;③后１３工作量＝提效后工作效率ˑ提效后时间;④提效后工作效率＝原计划工作效率ˑ５４;⑤前２３麦地面积＋后１３麦地面积＝麦地总面积;⑥提效前时间＋提效后时间＝实际时间; (２)部分学生列出的分析表格(表６㊁表７):表６效率时间工作量实际提效前１２１１８x２３x 提效后１２ˑ５４１４５x１３x 计划１２１１２x x 方程１１２x－１１８x＋１４５x()＝１表７效率时间工作量实际提效前１２８１２t８t 提效后１２ˑ５４４１５t４t 计划１２t１２t 方程t－８１２t＋４１５t()＝１㊀㊀设计意图:练习时,部分学生最先采用的是列算式,但是条件复杂很难列式,都以失败告终;而部分学生采用列表㊁设元㊁列方程的途径就顺利解决问题．这样鲜明的对比引发了学生的思维冲突,感受到列方程解题的优越性．其次,在练习后师生需要做学习小结,得出常用思路是利用各部分的内部联系列代数式,再根据外部联系列方程．如关系式②是内部联系,关系式①是外部联系．２．３尝试画图优化,让深度思维过程可视化图示法是用图形大小表示问题中的总体与各部分的数量,即代数问题几何化,通过图形间的数量关系确立等量关系．本环节是从整体的角度思考问题,通过推理探究发现某一类问题的本质特征,实现深度思维过程的可视化．师:列表法能帮助我们多角度地分析数量关系,理解题意,你们是否还有更直观的方法体现数量间的关系呢?生８:老师,我发现例１还有等量关系式可以写:⑤甲处人数＋乙处人数＋支援人数＝支援后甲处人数＋支援后乙处人数＝总人数,那么总人数是已知量,而调整前后总人数是不变的,所以⑥总人数＝３ˑ支援后乙处人数＝１．５ˑ支援后甲处人数,这样列算式就可以解出来了．师:你是怎么发现的?生８:把之前的关系式①＋②后可得,甲处人数＋支援甲处的人数＋乙处人数＋支援乙处的人数＝支援后甲处人数＋支援后乙处人数,左边有一部分用关系式④代换后就得到关系式⑤,右边再用关系式③代换后就得到式⑥了．师:太棒了(此处有掌声),同学８是从整体角度来思考,在变化过程中发现保持不变的量是总人数,在变化前总人数可以分为３部分组成,变化后分为２部分组成．这样通过对条件的再加工,我们发现了更简洁的思路:总量＝各部分之和．这类题我们常常会用什么方法来分析呢?生:以前行程问题㊁工程问题画过线段图．师:试一试,如果用一条线段表示总人数,先把它分成几部分从左到右依次表示哪个量?生９:分成３部分,依次是甲处人数㊁乙处人数和支援人数２０人．师:那请你继续表示出变化后各部分的人数．生９:哎呀,甲变化后的人数表示不了,还有一条线段在后面了．(图１)图１师:那有什么办法可以同时表示出变化后甲㊁乙人数的线段生８:应该把支援部分人数放中间,然后它的左边部分给甲,右边部分给乙．(图２)图２根据总人数＝１．５倍支援后甲的人数,得１．５ˑ(２３＋x )＝６０;根据总人数＝３倍支援后乙的人数,得３ˑ(３７－x )＝６０;根据支援后甲乙人数比例,可列方程２３＋x ＝２(３７－x )．追问:目标检测问题,你能用线段图分析吗?分析:用线段表示工作天数(图３),设这片麦地有x 公顷,根据图示可列方程１１２x ＝１１８x ＋１４５x ＋１．图３师:接下来请大家独立完成例２．例２㊀某班有学生４５人,已知会下象棋的人数是会下围棋人数的３．５倍,两种棋都会或都不会的都是５人．求只会下围棋的有多少人?学生方法１:列表８,全班４５人由四部分组成,只会下象棋的人数＋只会下围棋的人数＋两种棋都会的人数＋两种棋都不会的人数＝４５,设只会下围棋有x 人,可列方程:３．５(x ＋５)－５＋x ＋５＋５＝４５．表８只会下象棋只会下围棋两种都会两种都不会合计人数３．５(x ＋５)－５x５５４５㊀㊀方法２:用线段的长短表示人数(图４),如线段A B 表示总人数４５,由A C ＋C E ＋E B ＝AB 或A D ＋D E ＋E B ＝A B 或A C ＋D E －D C ＋E B ＝A B 即可列出方程３．５x ＋x －５＋５＝４５,得x ＝１０,所以,C E ＝x －５＝５．图４设计意图:表格可以呈现问题中丰富的数量关系,学生有时会因为关系反而把问题复杂化．所以教师应继续启发学生寻找各关系式之间是否存在联系,归纳得出这一类问题的共性,优化思路,提升学生的思维深度．３教学感悟章建跃博士强调,数学活动的本质是数学思维活动,没有 过程 ＝没有 思想 [２]．教学中教师可以尝试通过以上途径 搭建脚手架 ,尝试让学生的思维过程可视化,培养数学素养．３．１用数学语言描述实际问题,实现读题过程的思维可视化,提升学生的抽象概括能力㊀㊀实际问题中语言比较生活化,读题时需要把生活语言数学化,并用数或式㊁运算符号㊁逻辑符号等常用的数学语言去表示出来．在教学或练习时,教师要引导学生尽可能多地进行这样的语言转化,并逐一写出来,这些表达式就是问题中各数量之间包含的等量(或不等量)关系式,也是解题中的第一次抽象概括的过程．如例题１中,表达式①~④都是题意中可以直接 翻译 出来的,是显性条件,表达式⑤~⑥就是隐性条件,是对条件的第二次高度概括的结果．所以读题过程的思维可视化教学,可以培养学生抽象概括的能力,培养学生 学会用数学的眼光看世界 ．３．２用表格形式描述数量,实现数据处理过程的思维可视化,培养学生的符号意识㊀㊀通过读题表达出来的关系式比较多,每个表达式中数量间的关系是单一化的,怎样把所有的数量关系都能更清楚地表示出来,借助于表格是比较合适的,如何列表㊁用表是本节课中学生重点学习的内容之一．首先,列表过程是循序渐进的,要让学生有充分的时间去体验;其次,整个过程体现了思维的顺序和层次,体验用字母表示数的代数思想㊁用方程建模的思想;再次通过不同的设元方法,让学生从不同角度思考,把原来狭窄的思路打开,提高分析问题的能力,培养学生 学会用数学语言描述世界 ．３．３用图形大小表示数量,实现深度思维过程的可视化,培养学生的推理与模型观念㊀㊀本环节的设想是初步培养学生的集合思想㊁推理㊁建模观念．列表主要是分析各个部分即各元素间的关系,而图形更直观地表示某一个量各部分间的关系,是部分与整体的关系,即集合的思想．教师要引导学生从整体的角度思考,探究各个集合间的交㊁并㊁补等关系．同时思考整个变化过程,通过推理说明是否存在不变的量,如果有,根据这个不变量也可以列方程．在分析问题时,我们尽可能从多角度㊁多种方法寻找解决问题的策略,让学生经历方法的积累过程,体验思维的宽度和深度,培养学生 学会用数学思维分析世界 ．总之,列表㊁画图等方式是让学生思维可视化的有效途径,也是今后不等式㊁函数等知识的学习中常用的工具．当然应用题的教学策略不止于此,定还会有其他方法可探索．参考文献:[１]崔永学．列方程解应用题数量关系的分析与思考[J ]．中学数学教学参考,２０１６(Z ２):１６Ｇ１８．[２]章建跃．章建跃数学教育随想录[M ]．杭州:浙江教育出版社,２０１７:２３．Z。
5.4 一元一次方程的应用(1)
5.4 一元一次方程的应用（1）第一部分1、根据数量关系列方程：(1)一个两位数的两个数字之和是7,且个位数字比十位数字少1.设十位数字为x .(2)甲乙两人在跑道上赛跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑5.5米.甲让乙先跑6米,设甲出发x 秒钟后可以追上乙.(3)三个连续自然数的和为15,若设中间的一个自然数为x .2、足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3:5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x ，则列出的方程正确的是……………………………………( )A .332x x =-B .()3532x x =-C .()5332x x =-D .632x x =-3、儿子今年12岁，父亲今年39岁，多少年后父亲的年龄是儿子的年龄的4倍.4、 据报道：近年来全国人才市场供求最大幅度增加，总体形势不断趋好.某年第一季度登记用人和登记求职的总人数是888万人，其中登记求职的人数比登记用人的人数多396万.问登记求职的人数是多少？5、甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．若甲比乙每小时多骑2.5千米，求乙的时速是多少?6、某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船4小时,已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每小时2.5千米.若A , C 两地的距离为10千米,求A , B 两地的距离.第二部分1. 已知甲、乙两数之和为5，甲数比乙数大2，求甲、乙两数.设乙数为x ，可列出方程是………………………………………………………………………………………( )A . x +2+x =5B . x －2+x =5C . 5+x =x －2D . x (x +2)=52.如图是2009年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是……………………( )A ．27B ．36C ．40D ．54 3. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）．已知加密规则为：明文a b c ，，对应的密文12439a b c +++，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为……………………( )Ａ．4，5，6 Ｂ．6，7，2 Ｃ．2，6，7 Ｄ．7，2，64. 有一旅客携带了30公斤行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最可带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5％购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格就是……………………………………………………()A ．1000元B ．800元C ．600元D ．400元5.右图是2009年6月份的日历.象图中那样，用一个圈竖着圈住3个数.如果被圈住的三个数的和为42, 那么这三个数中最大的一个数为 .6. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，设十位上的数为x ，则这个两位数可表示为 .7.如图是华联超市中某种洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请帮忙算一算，该洗发水的原价是 元．8. 学校买了大小椅子20张，共花去275元，已知大椅子每张15元，小椅子每张10元，若设大椅子买了x 张，则小椅子买了_____张，列出方程___________________.9. 电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还多20千米/小时，半小时后两车相遇．两车的速度各是多少？ 解：设电气机车速度为x 千米/小时, 则磁悬浮列车的速度为(5x +20)千米/小时, 得10. 目前，包括长江、黄河等七大流域在内，全国水上流失面积达到367万平方千米，其中长江与黄河流域的水上流失总面积占全国的32.4％，而长江流域的水上流失问题更为严重，它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米.问长江流域的水上流失面积是多少？（结果保留整数）第7题图参考答案第一部分1、根据数量关系列方程：(1)一个两位数的两个数字之和是7,且个位数字比十位数字少1.设十位数字为x .(2)甲乙两人在跑道上赛跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑5.5米.甲让乙先跑6米,设甲出发x 秒钟后可以追上乙.(3)三个连续自然数的和为15,若设中间的一个自然数为x .解：(1) x +(x －1)=7；(2) (7－5.5)x =6×5.5；(3) x －1+x+x +1=15.2、足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3:5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x ，则列出的方程正确的是………………………………………………………………………( )A .332x x =-B .()3532x x =-C .()5332x x =-D .632x x =-答案：C3、儿子今年12岁，父亲今年39岁，多少年后父亲的年龄是儿子的年龄的4倍.解：设x 年后父亲的年龄是儿子的年龄的4倍, 则4(12+x )=39+x , 解得x =－3.答：3年前父亲的年龄是儿子的年龄的4倍.4、 据报道：近年来全国人才市场供求最大幅度增加，总体形势不断趋好.2003年第一季度登记用人和登记求职的总人数是888万人，其中登记求职的人数比登记用人的人数多396万.问登记求职的人数是多少？解：设登记求职的人数有x 人, 则x =(888－x )+396, 解得x =642.答：登记求职的人数有642人.5、甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．若甲比乙每小时多骑2.5千米，求乙的时速是多少?解：设乙的时速为x 千米/时, 则2(x +2.5+x )=65, 解得x =15答：乙的时速为15千米/时.6、某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船4小时,已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每小时2.5千米.若A , C 两地的距离为10千米,求A , B两地的距离.解：设A , B 两地的距离为x 千米, 则1047.5 2.57.5 2.5x +=+-, 解得x =20 答：A , B 两地的距离为20千米.第二部分1. 已知甲、乙两数之和为5，甲数比乙数大2，求甲、乙两数.设乙数为x ，可列出方程是………………………………………………………………………………………( )A . x +2+x =5B . x －2+x =5C . 5+x =x －2D . x (x +2)=5答案：A2.如图是2009年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是……………………( )A ．27B ．36C ．40D ．54 答案：C 3. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a b c ，，对应的密文12439a b c +++，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为……………………………………………………………………( )Ａ．4，5，6Ｂ．6，7，2 Ｃ．2，6，7 Ｄ．7，2，6答案：B 4. 有一旅客携带了30公斤行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津，按民航规定，旅客最可带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5％购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格就是……………………………………………………( )A ．1000元B ．800元C ．600元D ．400元答案：B5.右图是2009年6月份的日历.象图中那样，用一个圈竖着圈住3个数.如果被圈住的三个数的和为42, 那么这三个数中最大的一个数为 .答案：216. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，设十位上的数为第7题图x，则这个两位数可表示为.答案：11x+27.如图是华联超市中某种洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请帮忙算一算，该洗发水的原价是元．答案：208. 学校买了大小椅子20张，共花去275元，已知大椅子每张15元，小椅子每张10元，若设大椅子买了x张，则小椅子买了_____张，列出方程___________________.答案：20－x15x+10(20－x)=2759. 电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还多20千米/小时，半小时后两车相遇．两车的速度各是多少？解：设电气机车速度为x千米/小时, 则磁悬浮列车的速度为(5x+20)千米/小时, 得0.5(x+5x+20)=298, 解得x=96千米/小时.答：设电气机车速度为96千米/小时,磁悬浮列车的速度为202千米/小时.10. 目前，包括长江、黄河等七大流域在内，全国水上流失面积达到367万平方千米，其中长江与黄河流域的水上流失总面积占全国的32.4％，而长江流域的水上流失问题更为严重，它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米.问长江流域的水上流失面积是多少？（结果保留整数）解：设长江流域的水上流失面积是x万平方千米, 则x+x－29=367×32.4%, 解得x=74万平方千米.答：长江流域的水上流失面积是74万平方千米.。
浙教版数学七年级上册一元一次方程的应用课件
两车相距40公里？
解：（1）设x小时后两车相距800公里，依题意得
90x+480+110x=800
解得x=1.6，
∴1.6小时后两车相距800公里；
（2）设y小时后两车相距40公里，依题意得
若相遇之前两车相距40公里，则
90y+480-110y=40，
C．15x=2（x+6）
B．15+x=2（x+6）
D．2x+15=x+6
选做题
2. A，B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶70千米，一
列快车从B地开出，每小时行驶90千米，根据上述条件回答：
(1)两车同时开出，相向而行，x小时相遇，则由条件列出方程为
________________．
场演出共售出966张票，收入15480元，问这场演出共售出学生票多少张？
解：设这场演出售出学生票x张，则售出全价票(966-x)张.根据题意，得
(966-x)×18+
× × =
解这个方程，得
x=212
检验：x=212合适方程，且符合题意.
答：这场演出售出学生票212张.
例2
解这个方程，得x=4.
检验：x=4合适方程，且符合题意.
则4x =4×4=16.
3x=3×4=12.
答：客车的速度为16米/秒，货车的速度为12米/秒 .
课堂总结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？
实际问题
设未知数，列方程
一元一次方程
解
方
程
实际问题的答案
7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》5.4一元一次方程的应用(2)等积变形问题-分节好题挑选
浙教版-7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》5.4一元一次方程的应用（2）等积变形问题-每日好题挑选【例1】用一个棱长为20厘米的立方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是50厘米，10厘米和8厘米的长方体铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，立方体容器中水的高度下降了。
【例2】根据图中给出的信息，可得正确的方程是。
【例3】如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，它们内部的底面积分别为80cm2，100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲容器中的水全部倒入乙容器中，则乙容器中的水位比原先甲容器中的水位降低了8cm，则甲容器的容积为cm3。
【例4】一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500km后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500km后报废．已知自行车在行驶一定的路程后可以交换前后轮轮胎，如果通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共支撑自行车行驶了km。
【例5】如图，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节，圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm。
现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等．设每人向后挪动的距离为x(cm)，根据题意，可列方程。
【例6】拟有一玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为20cm，高为20cm，现装有蓝色溶液若干。
正放时的截面如图②，测得液面高10cm；倒放时的截面如图③，测得液面高16cm，则该玻璃密封器皿的总容量为cm3。
(结果保留π)【例7】一种圆筒状包装的保鲜膜如图所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm, 4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为cm。
(结果精确到0.0001cm)【例8】爷爷病了，需要挂一瓶100mL的药液(如图所示)，小明守在旁边，观察到输液流量是3mL/min，输液10min后，吊瓶的空出部分容积是50mL，利用这些数据，计算整个吊瓶的容积是mL。
7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》5.4一元一次方程的应用(4)利率等其他问题-分节好题挑选
浙教版-7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》5.4一元一次方程的应用（4）利率等其他问题-每日好题挑选【例1】某商店均以64元的价格卖出两个进价不同的计算器，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，则在这次买卖中，这家商店（）A．不赔不赚B．赚了8元C．赔了8元D．赚了32元【例2】商品涨价25%后，欲恢复原价，则应降价（）A．15%B．20%C．25%D．40%【例3】书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折；③一次性购书超过200元，一律按原价打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是元。
【例4】某超市在五一活动期间推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元(不含100元)以内，不享受优惠；②一次性购物在100元(含100元)以上，350元(不含350元)以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元(含350元)以上，一律享受八折优惠．小敏在该超市两次购物分别付款60元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则应付款元。
【例5】某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润用来偿还贷款，问几年后能一次性还清？（利润＝售价－成本－应纳税款）【例6】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？【例7】我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的23，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？【例8】某校七年级社会实践小组去商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【例9】已知甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本．【例10】商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的)，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当。
5.4.2一元一次方程的应用
如图，有A、B两个圆柱形容器，A 容器的底面积是B容器底面积的2倍， B容器的壁高为22cm.已知A容器内 装有高为10cm的水，若把这些水倒 入B容器，水会溢出吗？
A
B
如图，某月的日历
123456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
x mm,根据题意得
260150325 2.5130130x 解得x 300
我知道了………… 我感到困难是…………
(1)解应用题要学会借助线段图示法 来分析数量关系; (2)解决实际问题的一般过程：
审 设 列解 验
34
36
38
40
………………
第1列
第2列
第3列
第4列
第5 列
第一 排
2
4
6
8 10
第二 排
12 14
a
b 20
第三 排
22 24 26
c
d
第四 排
32
34
36
38
40
………………
ab Cd
规律为：a+d=b+c
例.长方体甲的长、宽、高分别为 260mm，150mm，325mm，长方体 乙的底面积为130×130mm2，又知甲 的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？ 设乙的高为
5.4.2 一元一次方程 的应用
课前检测：将一个底面直径为20
厘米，高为9厘米的“矮胖”形
圆柱锻造成底面直径为10厘米的
“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
锻造前 锻造后
底面半径
10
5
高 体积
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
苍南县树人学校七年级数学--第五章《一元一次方程》导学案
课题：5.4 一元一次方程的应用（2）
--行程问题
班级姓名第组第号评价：
课型：新授主备人：袁文平审核：数学备集组上课时间：2015年11月日学习目标：1.掌握列方程解应用题的一般步骤；
2.会利用一元一次方程解决简单的实际问题；
3.体验方程式刻画现实世界的有效的数学模型。
学习重点：利用一元一次方程解决实际问题
学习难点：找等量关系；
【学法指导】：先在上面的表格中，用笔勾画出学习目标，明确本节课的学习目标。
带着学习目标，结合课本，按照导学案的设计思路，按顺序完成导学案。
第一部分：课前预习导学
一、行程问题概述
（1）行程问题中的三个基本量及其关系：
路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
（2）基本类型
①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距
②追及问题：快行距－慢行距＝原距
③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速
顺水的路程 = 逆水的路程
注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。
常见的还有：相背而行；环形跑道问题。
二、经典问题：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
分析：此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
苍南县树人学校七年级数学--第五章《一元一次方程》导学案
（1）分析：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
（2）分析：相背而行，画图表示为： 等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。
（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
（4）分析：追及问题，画图表示为：
等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
（5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
甲 乙
600
甲 乙
甲 乙
例2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。
A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
分析：这属于行船问题，这类问题中要弄清：
（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；
（2）逆水速度=船在静水中的速度－水流速度。
相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。
【您课前预习部分就做到这里】
第二部分：专项训练
一、行程（相遇）问题
1.小李和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60米，小刚每
分走90米，几分钟后两人相遇？
2.小明和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，5分钟后两人相遇，小刚每
分走80米，小明每分走多少米？
3.建朋和建博两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，经过两小时相遇，已知建朋比建博每小时多走2.5千米，问建博每小时走多少千米？
二、行程（追击）问题
1. 姐姐步行速度是75米/分，妹妹步行速度是45米/分。
在妹妹出发20分钟后，姐姐
出发去追妹妹。
问：多少分钟后能追上？
2. 甲、乙两人从同地出发前往某地。
甲步行，每小时走4公里，甲走了16公里后，
乙骑自行车以每小时12公里的速度追赶甲，问乙出发后，几小时能追上甲？
三、行程（行船、飞行）问题
1. 一艘轮船航行于两地之间,顺水要用3小时,逆水要用4小时,已知船在静水中的速
度是50千米/小时,求水流的速度.
四、行程（跑道）问题
1. 乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而
行，甲的速度为100米/分，乙的速度是甲速度的2
3
倍，问（1）经过多少时间后两人首次相遇（2）第二次相遇呢？
2. 一条环形的跑道长800米，甲练习骑自行车平均每分钟行500米，乙练习赛跑，平
均每分钟跑200米，两人同时同地出发。
（1）若两人背向而行，则他们经过多少时间首次相遇？ （2）若两人同向而行，则他们经过多少时间首次相遇。