高中数学第二章2.3.1圆的标准方程基础过关训练新人教B版必修

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2018版高中数学第二章平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程学业分层测评新人教B版必修2

2.3.1 圆的标准方程学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】 D2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0【解析】由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.【答案】 B3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )A．1 B．4C．5 D．6【解析】圆心(0,0)到M的距离|OM|＝32＋42＝5，所以所求最小值为5－1＝4.【答案】 B4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．【答案】 D5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【解析】直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.【答案】 C 二、填空题6．已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________．【解析】由题意知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，4－42，即(2,0)，半径为12－1－2＋＋2＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25.【答案】 (x －2)2＋y 2＝257．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________. 【解析】 ∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>1169，∴|a |>113，即a >113或a <－113.【答案】 a >113或a <－1138．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．【解析】圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|112|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.【答案】 1＋ 2 三、解答题9．已知圆C 过点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程．【解】法一设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， ∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2，－3－a 2＋－b 2＝r 2，2a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.法二设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵C ∈l ， ∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ， ∴圆心为C (a,5－2a )．由圆的定义得|AC |＝|BC |，即a －2＋－2a －2＝a ＋2＋－2a －2.解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝－2＋－2＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.10．求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．【解】圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，半径r ＝52.设所求圆的圆心为(m ，n )，∵它与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称，∵⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1m －12×1＝－1，m ＋122－n －12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝32.∴所求圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52.∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54.[能力提升]1．若直线x ＋y －3＝0始终平分圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的周长，则a ＋b 等于( ) A ．3 B ．2 C ．5D ．1【解析】由题可知，圆心(a ，b )在直线x ＋y －3＝0上，所以a ＋b －3＝0，即a ＋b ＝3，故选A.【答案】 A2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) 【解析】点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为|2－0＋2|22＋－2＝455，又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎪⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝12(4－5)，选B.【答案】 B3．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________．【解析】设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋1＝r 2，－a2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝104．设P (0,0)，Q (5,0)，R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方程. 【解】 |PQ |＝5，|PR |＝12，|QR |＝13， ∴|PQ |2＋|PR |2＝|QR |2，∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角， ∴内切圆的半径r 1＝5＋12－132＝2，圆心为C 1(2，－2)．∴内切圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4. ∵外接圆的半径r 2＝132，圆心为C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－6， ∴外接圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋6)2＝1694.。

新教材高中数学第2章圆的标准方程学案含解析新人教B版选择性必修第一册

新教材高中数学：2.3 圆及其方程2.3.1 圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)3．掌握点与圆的位置关系．(重点)4．圆的标准方程的求解．(难点) 1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养．我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径．2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r思考：若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？[提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．( )(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9．( )[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．2．(教材P101练习A①改编)圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4C[将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．]3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是．x2＋(y－2)2＝1[设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．]直接法求圆的标准方程【例1】(1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)；(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．[思路探究]只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程．[解](1)所求圆的半径r＝|CA|＝2＋22＋－2－12＝5．又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝25．(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b )，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a ＝4，b ＝－6，所以圆的半径r ＝4－22＋0＋32＝13，从而所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝13．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.[跟进训练]1．求圆心在x 轴上，半径为5且过点A (2，－3)的圆的标准方程．[解] 设圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝25，因为点A (2，－3)在圆上，所以有(2－a )2＋(－3)2＝25，解得a ＝－2或a ＝6，所以所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝25或(x －6)2＋y 2＝25．待定系数法求圆的标准方程【例2】求下列各圆的标准方程．(1)圆心在y ＝0上且过两点A (1,4)，B (3,2)；(2)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)．[思路探究] 由圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a ，b ，r 三个参数．[解] (1)设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，则所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． ∵圆心在y ＝0上，故b ＝0， ∴圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2．又∵该圆过A (1,4)，B (3,2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋16＝r 2，3－a2＋4＝r 2，解得a ＝－1，r 2＝20．∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20． (2)设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋－3－b 2＝r 2，－2－a 2＋－5－b 2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x －a )2＋(y －b )2＝r 2)→列方程组(由已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组)→解方程组(解方程组，求出a 、b 、r )→得方程(将a 、b 、r 代入所设方程，得所求圆的标准方程)．[跟进训练]2．求经过点A (10,5)，B (－4,7)，半径为10的圆的方程． [解] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝100，将A 、B 两点代入得⎩⎪⎨⎪⎧10－a 2＋5－b2＝100 ①－4－a2＋7－b 2＝100 ②①－②得7a －b －15＝0，即b ＝7a －15 ③ 将③代入得：a 2＋8－6a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100．圆的标准方程的实际应用【例3】1米后，水面宽多少米？[思路探究] 桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度．[解] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x 轴，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，则O (0,0)，A (6，－2)．设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)．将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10，∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100．当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)．将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，求得x0＝51，∴水面下降1米，水面宽为2x0＝251≈14．28(米)．解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面[跟进训练]3．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2．7 m，高为3 m的货车能不能驶入？[解] 以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2．7代入圆方程，得y＝16－2.72＝8.71＜3，即在离中心线2．7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．与圆有关的最值问题[探究问题1．若P (x ，y )为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12．2．若P (x ，y )是圆C ：(x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2．【例4】已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3．求y x的最大值和最小值．[思路探究] y x的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得． [解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3．故y x的最大值为3，最小值为－3．1．在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值． [解] 设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6．故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．2．在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－43．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型 1形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点x ，y 和a ，b 的动直线斜率的最值问题.2形如l ＝ax ＋by b ≠0形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b ＋l b截距的最值问题.3形如x －a2＋y －b2形式的最值问题，可转化为动点x ，y 到定点a ，b的距离的平方的最值问题.1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝m ．当m ＞0时，表示圆心为C (a ，b )，半径为m 的圆；当m ＝0时，表示一个点C (a ，b )；当m ＜0时，不表示任何图形． 2．确定圆的方程的方法及步骤(1)直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径．直接写出圆的标准方程．(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．第二步：根据条件列方程组求待定系数a ，b ，r ．第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程．3．在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)．4．重点掌握的方法 (1)求标准方程的方法． (2)求与圆相关的最值的方法．1．圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝3的圆心坐标( ) A ．(2,1) B ．(2，－1) C ．(－2,1)D ．(－2，－1)B [结合圆的标准形式可知，圆C 的圆心坐标为(2，－1)．] 2．以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为( ) A ．(x －2 020)2＋(y －2 020)2＝2 0212B ．(x ＋2 020)2＋(y ＋2 020)2＝2 0212C ．(x －2 020)2＋(y －2 020)2＝2 021 D ．(x ＋2 020)2＋(y ＋2 020)2＝2 021A [由圆的标准方程知(x －2 020)2＋(y －2 020)2＝2 0212．]3．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的外部，则a 的取值范围为．a ＞1或a ＜－15[因为(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的外部，所以4a 2＋(a －2)2＞5，解得a ＞1或a ＜－15．]4．点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，则圆的方程是．(x ＋2)2＋y 2＝10 [因为点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，故(1＋2)2＋1＝m ． ∴m ＝10，即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10．]5．已知圆M 的圆心坐标为(3,4)，且A (－1,1)，B (1,0)，C (－2，3)三点一个在圆M 内，一个在圆M 上，一个在圆M 外，求圆M 的方程．[解] ∵|MA |＝－1－32＋1－42＝5，|MB |＝1－32＋0－42＝25，|MC |＝－2－32＋3－42＝26，∴|MB |＜|MA |＜|MC |，∴点B 在圆M 内，点A 在圆M 上，点C 在圆M 外， ∴圆的半径r ＝|MA |＝5，∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25．。

高中数学第二章平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程练习新人教B版必修2

2.3.1 圆的标准方程1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是()A.πB.2πC.2πD.2π,故周长为2π·=2π.2圆(x-2)2+(y+3) 2=2上的点与点(0,-5)的最大距离为()A. B.2 C.4 D.3(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为=2,又圆的半径为,故所求最大距离为2=3.3从点P(3,b)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长的最小值为()A.5B.4C.5.5D.2d=,故当b=-2时,d 取最小值2.4三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为x2+y2=R2(R为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为()A.x2+y2=2R2B.x2+y2=4R2C.x2+y2=8R2D.x2+y2=9R2R,则方程为x2+y2=4R2.故选B.5方程y=-表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆y2=12-x2,于是x2+y2=12,但y≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆,即圆x2+y2=12位于x轴下方的部分.6圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.C(a,b),则即且|AC|=|BC|=r=.故(x-2)2+(y+3)2=5为所求.x-2)2+(y+3)2=57圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是.x+2y-3=0对称的两圆半径相等,圆心连线被直线x+2y-3=0垂直平分.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.由题意得解得故所求圆的方程为=1.=18已知线段AB的端点B的坐标为(4,0),端点A在圆x2+y2=1上运动,则线段AB的中点的轨迹方程为.x-2)2+y2=9若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x≥0)相切,试求这个圆的标准方程.(1,b)(b>0).根据该圆与直线y=x相切,得=1⇒⇒b=,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1.10已知点A(0,2)和圆C:(x-6)2+(y-4)2=,一条光线从点A出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从点A到切点所经过的路程.D,点A关于x轴的对称点的坐标为A1(0,-2),则光线从点A到切点所走的路程为|A1D|.在Rt△A1CD中,|A1D|2=|A1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)2-.所以|A1D|=,即光线从A点到切点所经过的路程是.11已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的任意一点,点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.,转化为求圆C上的点与原点距离的最值.P(x,y),则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2x2+2y2+2=2()2+2=2[]2+2=2|OP|2+2,由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4.所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.★12有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A,B两地距离10千米,顾客选A或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A,B两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.,以A,B所确定的直线为x轴,A,B中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元/千米,B 地的运费为a元/千米.价格+每单位距离运费×到A地的距离≤价格+每单位距离运费×到B地的距离,即3a≤a,∵a>0,∴3,即+y2≤.∴以点C为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线.圆C内的居民从A地购货便宜.圆C外的居民从B地购货便宜.圆C上的居民从A,B两地购货的总费用相等,因此,可随意从A,B两地之一购货.。

圆的一般方程(基础过关练习)-2023学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册

2.3.2圆的一般方程（基础过关）题型一：理解圆的一般方程1、圆(x+1)2+(y−3)2=2的一般方程是（）A.x2+y2=6B.x2+y2+8=0C.x2+y2−2x+8y+6=0D.x2+y2+2x−6y+8=02、圆x2+y2+4x−6y−3=0的标准方程是（）A.(x−2)2+(y−3)2=16B.(x−2)2+(y+3)2=16C.(x+2)2+(y−3)2=16D.(x+2)2+(y+3)2=163、已知点A(1，2)在圆C：x2+y2+2x+3y+m=0外，则实数m的取值范围是（）A.(−13，+∞)B.(−13，134)C.(−∞，134)D.(−∞，−13)∪(134，+∞)4、若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x−4y=0的圆心，则a的值为（）A.−1B.1C.3D.−35、圆的方程为(x−1)(x+2)+(y−2)(y+4)=0，则圆心坐标为（）A.(1，−1)B.(12，−1)C.(−1，2)D.(−12，−1)6、如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为7、圆的方程为x2+y2+2ax−2ay=0，给出下列叙述：①圆心在直线y=−x上；②圆心在x轴上；③过原点；④半径为√2a，其中叙述正确的是题型二：求圆的一般方程8、过点A(1，√5)和B(2，−2√2)，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（）A.x2+y2−6y=0B.x2+y2+6y=0C.x2+y2+6x=0D.x2+y2−6x=09、经过三点(0，0)、(1，1)、(2，0)的圆的一般方程为10、圆心在直线y=x上，且经过点A(−1，1)、B(3，−1)的圆的一般方程是11、求过点(−1，1)，且圆心与圆x2+y2−6x−8y+15=0的圆心相同的圆的方程12、已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y−1=0上，且圆心在第二象限，半径为√2，求圆的一般方程题型三：圆的一般方程的应用13、已知圆C：x2+y2+mx−4=0上存在两点关于直线x−y+3=0对称，则实数m的值为（）A.8B.−4C.6D.无法确定14、已知两定点A(−2，0)、B(1，0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（）A.πB.4πC.8πD.9π15、已知圆C：x2+y2−4x−14y+45=0及点Q(−2，3)（1）若点P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率（2）若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值。

高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程练习新人教B版必修2

2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是()
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
答案：C
解析：方程(x－a)2＋(y－b)2＝0，解得，因此它只表示一个点(a，b)，故选C.
3．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)圆上的点的距离的最大值为________．
答案：5＋
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋ .
2．点与圆的位置关系的判定方法
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为A(a，b)，半径为r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.反之也成立．
第23课时2.3.1圆的标准方程
课时目标
1.掌握圆的标准方程及其推导方法．
2．会判断点与圆的位置关系．
3．会用待定系数法求圆的标准方程．
识记强化
1．圆的标准方程：若圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；特别地，如果圆心在坐标原点，圆的标准方程就是x2＋y2＝r2.
课时作业
一、选择题(每个5分，共30分)

高中数学2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程优化训练新人教B版必修2

2.3.2 圆的一般方程5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.若方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆，则实数m 的取值范围是( )A.m<21 B.m<10 C.m>21 D.m≤21 解析：方程x 2+y 2-x+y+m=0，变形为(x-21)2+(y+21)2=21-m ，方程表示圆，∴21-m ＞0，即m ＜21. 答案：A2.方程x 2+y 2+2ax-2ay=0表示的圆( )A.关于x 轴对称B.关于原点对称C.关于直线x-y=0对称D.关于直线x+y=0对称解析：考查方程表示圆的判定、直觉思维能力.圆的方程化为(x+a)2+(y-a)2=2a 2,圆心(-a,a).由圆心坐标易知圆心在x+y=0上, ∴圆关于x+y=0对称. 答案：D3.已知圆x 2-4x-4+y 2=0的圆心是点P ，则点P 到直线x-y-1=0的距离是_____________. 解析：本题考查圆的一般方程向标准方程的转化和点到直线的距离公式.由x 2-4x-4＋y 2＝0得(x-2)2+y 2=8,即圆心为(2,0),根据点到直线的距离公式可得222|12|=-. 答案：22 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若方程a 2x 2+(a+2)y 2+2ax+a=0表示圆,则a 的值是( )A.-1B.2C.-1或2D.1解析：本题考查圆的一般方程,由⎪⎩⎪⎨⎧>⨯-+=,04)2(,22222a aaa a a 可得a=-1或a=2(舍). 答案：A2.方程x 2+y 2+kx+2y+k 2=0表示圆，当该圆面积最大时，圆心坐标为( )A.(0,-1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(-1,1)解析：由半径最大可求k 值为0，进而求圆心坐标. 答案：A3.若直线l 将圆x 2+y 2-4x-2y=0平分,并且l 不经过第二象限,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.［1,2］B.［21,+∞) C.［2,+∞) D.(-∞,21］解析：由已知,l 过圆的圆心C(2,1),又l 不过第二象限,画图分析,知直线l 的斜率k≥k OC =21. 答案：B4.试判断A(1,2),B(0,1),C(1,-6),D(4,3)四点是否在同一圆上.解：因为线段AB 、BC 的斜率分别为k AB =1，k BC =-7，k AB ≠k BC ，所以A 、B 、C 三点不共线.过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2+y 2-8x+4y-5=0.因为42+32-8×4+4×3-5=0，所以点D 在此圆上.故A 、B 、C 、D 四点共圆.5.已知方程x 2+y 2-2(t+3)x+2(1-4t 2)y+16t 4+9=0. (1)t 为何值时,方程表示圆?(2)t 为何值时,方程表示的圆半径最大?请求出半径最大时圆的方程.解：(1)方程表示圆的条件是［-2(t+3)］2+［2(1-4t 2)］2-4(16t 4+9)＞0，即7t 2-6t-1＜0.解得71-＜t ＜1. ∴当71-＜t ＜1时,方程表示圆. (2)当71-＜t ＜1时,方程表示圆,其半径为r=)916(4)]41(2[)]3(2[214222+--++-t t t =716)73(7167)167(421222+--=++-=---t t t t t . 当t=73时，半径有最大值,r max =774716=,此时圆心坐标为(t+3,4t 2-1),即(4913,724-).故半径最大时,圆的方程为(724-x )2+(4913-y )2=716. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆，则a 的取值范围是( ) A.a<-2 B.32-<a<0 C.-2<a<0 D.-2<a<32 解析：由D 2+E 2-4F ＞0可得. 答案：D2.曲线x 2+y 2+22x-22y=0关于( )A.直线x=2轴对称B.直线y=-x 轴对称C.点(-2,2)中心对称D.点(-2,0)中心对称解析：将圆方程化为标准方程得(x+2)2+(y-2)2=4.圆心(2,2-)在直线y=-x 上，故圆关于y=-x 轴对称.故选B. 答案：B3.设A 、B 是直线3x+4y+2=0与圆x 2+y 2+4y=0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A.4x-3y-2=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0D.3x+4y+8=0解析：即求过圆心(0，-2)且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程，即y+2=34x ，整理,得4x-3y-6=0. 答案：B4.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( ) A.36 B.18 C.26 D.25 解析：x 2+y 2-4x-4y-10=0⇒(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为23.由点到直线的距离公式得25210=,由数形结合思想可得:该圆上点到已知直线的距离的最小值为22,最大值为28,故所求距离之差为26.答案：C5.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( ) A.y=x 3 B.y=x 3-C.y=x 33 D.y=x 33- 解析：设直线方程为y=kx,由圆心(-2,0)到直线kx-y=0(k ＞0)的距离等于圆的半径1，得1|02|2+--k k =1，解得k=33,所以所求直线方程为y=x 33. 答案：C6.已知A(-2,0)、B(0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点,则△ABC 的面积的最大值为( ) A.23- B.24- C.226- D.23+ 解：要使△ABC 的面积最大,即要求点C 到AB 的距离最大,亦即求圆上点中到直线AB 距离的最大值,应为圆心到直线AB 距离d 与半径r 之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d 为2232|201|=+-,即C 到AB 的距离的最大值为223+1,故△AB C 面积的最大值为21×|AB|×(223+1)=23+. 答案:D7.直线x-y+4=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长为( )A.2B.22C.23D.24解析：利用圆半径r 、弦心距d 、弦的关系:弦长为222d r -.答案：B8.设圆x 2+y 2-4x-5=0的弦AB 的中点为P(3，1)，则直线AB 的方程是_______________. 解析：直线AB 的方程与点P 和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得. 答案：x+y-5=09.已知3x+4y-10=0与圆x 2+y 2-5y+F=0相交于A 、B 两点，且OA⊥OB(O 是原点)，则F=_______________.解析：易得圆x 2+y 2-5y+F=0的圆心坐标为(0,25),它在3x+4y-10=0上，再由OA⊥OB，可知圆x 2+y 2-5y+F=0过原点O ，将O(0,0)代入圆方程可求得F=0. 答案：010.已知P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x-2y+1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为___________.解析：将圆的一般方程配方化为标准方程(x-1)2+(y-1)2=1,圆心C(1,1)，r=1,如图所示. 方法一:从运动观点看问题：当动点P 沿直线3x+4y+8=0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt△PAC 的面积S Rt△PAC =21d(P,A)·d(A,C)=21d(P,A)越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当P 点从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小.显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线时，S 四边形PACB应有唯一的最小值，此时d(P,C)=2243|81413|++⨯+⨯=3，从而d(P,A)=2213),(),(2222=-=-C A d C P d .∴S 四边形PACB 的最小值=2·21·d(P,A)·d(A,C)=22. 方法二：利用等价转化的思想：设P 点坐标为(x,y),则d(P,C)=22)1()1(-+-y x ，由勾股定理及|AC|=1，得d(P,A)=1)1()1(),(),(2222--+-=-y x C A d C P d .从而S 四边形PACB =2S △PAC =2·21d(P,A)·d(A,C)=d(P,A)=1)1()1(22--+-y x , 从而欲求S 四边形PACB 的最小值，只需求|PA|的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x,y)的距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x+4y+8=0距离的平方，即d 2=(2243|8413|++⨯+⨯)2=9.∴S 四边形PACB 最小值=2219=-. 方法三：利用函数的思想.将方法二中S 四边形PACB =1)1()1(22--+-y x 中的y ，从3x+4y+8=0中解出，代入关于x 的一元函数，进而用配方法求最值，也可得S 四边形PACB 的最小值=22. 答案：2211.已知实数x 、y 满足关系式：x 2+y 2-6x-4y+12=0,点P(x,y),A(-1,0),B(1,0). (1)求xy的最大值与最小值； (2)求x 2+y 2的最大值与最小值； (3)求x-y 的最大值与最小值. 解：(1)设x y =k,则y=kx,当直线y=kx 与圆x 2+y 2-6x-4y+12=0，即(x-3)2+(y-2)2=1相切时，xy 取得最值.∴圆心(3，2)到y=kx 的距离等于1. ∴21|23|kk +-=1.∴k=433±. ∴x y 的最大值为433+,最小值为433-. (2)设x 2+y 2=r 2，当两圆相切时，x 2+y 2取得最值. ∴圆心距2223+=|r±1|. ∴r=13±1.∴r 2=14±213.∴x 2+y 2的最大值为14+213，最小值为14-32.(3)设x-y=m ，当直线x-y=m 与圆相切时，x-y 取得最值. ∴2|23|m --=1.∴m=1±2.∴x-y 的最大值为1+2，最小值为1-2.。

高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程课后训练新人教B版必修2

2.3.2 圆的一般方程课后训练1．曲线220x y ++-=关于( )．A ．直线x ＝2对称B ．直线y ＝－x 对称C ．点(－2,2)中心对称D ．点(－2,0)中心对称2．若方程x 2＋y 2＋ax ＋a ＋1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )． A ．a ＜－2或23a > B ．223a -<< C ．－2＜a ＜0 D ．a ＞2或23a <-3．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )．A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 4．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．36B ．18C ．．5．已知A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积的最大值为( )．A ．3B ．4C ．62- D ．3+ 6．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程是__________．7．已知直线3x ＋4y －10＝0与圆x 2＋y 2－5y ＋F ＝0相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 是原点)，则F ＝__________.8．已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________．9．已知过点M (－1,1)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －14＝0所截得的弦长为求直线l 的方程．10．已知实数x ，y 满足关系式：x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0.(1)求yx的最大值与最小值；(2)求x2＋y2的最大值与最小值；(3)求x－y的最大值与最小值．参考答案1. 答案：B 将圆方程化为标准方程得22(2)(2)4x y ++-=.圆心(2,2)-在直线y ＝－x 上，故圆关于直线y ＝－x 对称．故选B.2. 答案：D3. 答案：C 设直线方程为y ＝kx (k ＞0)，由圆心(－2,0)到直线kx －y ＝0的距离等于圆的半径1，得211k =+，解得3k =，所以所求直线的方程为33y x =. 4. 答案：C x 2＋y 2－4x －4y －10＝0(x －2)2＋(y －2)2＝18，即圆心为(2,2)，半径为32522=该圆上点到已知直线的距离的最小值为228262.5. 答案：D 要使△ABC 的面积最大，即要求点C 到AB 的距离最大，亦即求圆上点中到直线AB 距离的最大值，应为圆心到直线AB 的距离d 与半径r 之和．由于圆心C (1,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d 3222=，即C 到AB 3212，故△ABC 的面积的最大值为13||213222AB ⎫⨯⨯=+⎪⎭6. 答案：x ＋y －4＝0 直线AB 与点P 和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．7. 答案：0 易得圆x 2＋y 2－5y ＋F ＝0的圆心坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，，它在3x ＋4y －10＝0上，再由OA ⊥OB ，可知圆x 2＋y 2－5y ＋F ＝0过原点O ，将O (0,0)代入圆的方程可求得F ＝0.8. 答案：(x －2)2＋(y －2)2＝109. 答案：解：由圆的方程可求得圆心C 的坐标为(1，－1)，半径为4，∵直线l 被圆C 所截得的弦长为3∴圆心C 到直线l 的距离为2.(1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1，此时点C 到l 的距离为2，可求得弦长为3(2)若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离为2，221k =+，∴k 2＋2k ＋1＝k 2＋1，∴k ＝0，∴直线l 的方程为y ＝1.综上(1)(2)可得：直线l 的方程为x ＝－1或y ＝1.10. 答案：解：(1)设y k x=，则y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，即(x －3)2＋(y －2)2＝1相切时，yx 取得最值．∴圆心(3,2)到y ＝kx 的距离等于1，1=，∴k =∴y x 的最大值为34+，最小值为34-.(2)设x 2＋y 2＝r 2，当两圆相切时，x 2＋y 2|1|r =±.∴1r =.∴214r =±∴x 2＋y 2的最大值为14+14-(3)设x －y ＝m ，当直线x －y ＝m 与圆相切时，x －y 取得最值．1=.∴1m =∴x －y 的最大值为1+1.。

学年新教材高中数学第二章平面解析几何..圆的一般方程训练含解析新人教B版选择性必修第一册

第二章平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.2 圆的一般方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.若方程ax 2+ay 2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a 的取值范围是( )A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)a ≠0时,方程为(x -2a -2a )2+(y +2a )2=4(a 2-2a+2)a 2,由于a 2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,∴a ≠0时方程表示圆.当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.圆x 2+y 2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( )A.2B.√22C.1D.√2(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=√2=√2. 3.方程x 2+y 2+2ax+2by+a 2+b 2=0表示( )A.以(a ,b )为圆心的圆B.以(-a ,-b )为圆心的圆C.点(a ,b )D.点(-a ,-b )(x+a )2+(y+b )2=0,∴{x +a =0,y +b =0,即{x =-a ,y =-b .∴方程表示点(-a ,-b ). 4.方程x 2+y 2+ax-2ay+2a 2+3a=0表示的图形是半径为r (r>0)的圆,则该圆的圆心在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x 2+y 2+ax-2ay+2a 2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为(x +a 2)2+(y-a )2=-34a 2-3a ,故圆心坐标为(-a 2,a),r 2=-34a 2-3a.又r 2>0,即-34a 2-3a>0,解得-4<a<0, 故该圆的圆心在第四象限.5.已知圆C :x 2+y 2+4x=0的圆心和圆上两点A ,B 间的连线构成等边三角形,则AB 中点M 的轨迹方程是( )A.(x+2)2+(y+1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=3C.(x+1)2+y 2=2D.(x+2)2+y 2=3C :x 2+y 2+4x=0⇒(x+2)2+y 2=4,所以圆心C (-2,0),半径r=2,因为△ABC 为等边三角形,且AC=BC=2,所以AB=2,MC=√3,所以点M 的轨迹是以(-2,0)为圆心,半径为√3的圆.所以AB 中点M 的轨迹方程是(x+2)2+y 2=3.6.已知圆C 过定点(7,2),且和圆C':x 2+(y-3)2=2相切于点(1,2),则圆C 的一般方程是 .2+y 2-8x+2y-1=0(7,2)为点A ,切点(1,2)为点B ,圆C'的圆心C'坐标为(0,3),则直线BC'的方程为x+y-3=0,设圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则C 点坐标为(-D 2,-E2),则{-D 2-E 2-3=0,72+22+7D +2E +F =0,12+22+D +2E +F =0,解得{D =-8,E =2,F =-1.所以圆C 的一般方程是x 2+y 2-8x+2y-1=0.7.已知直线与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A ,B 两点,且弦AB 的中点Q 的坐标为(0,1),则直线AB 的方程为 .1=0P 的坐标为(-1,2). ∵AB 的中点Q 的坐标为(0,1),∴直线PQ 的斜率k PQ =2-1-1-0=-1,∴直线AB 的斜率k=1,故直线AB 的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.8.若圆x 2+y 2+2x-4y-4=0的圆心C 到直线l 的距离为2,且l 与直线3x+4y-1=0平行,则直线l 的方程为 .x+4y+5=0或3x+4y-15=0(-1,2).设所求的直线方程为3x+4y+D=0,由点到直线的距离公式,得22=2,即|5+D |5=2,解得D=5或-15.故所求的直线方程为3x+4y+5=0或3x+4y-15=0.9.求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A (5,2)和点B (3,-2)的圆的一般方程.。

高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程课后训练新人教B版必修2

圆标准方程课后训练1．在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大点坐标是( )．A．(5，1) B．(4，1)C．23) D．(3，－2)2．从点P(3，b)向圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1作切线，那么切线长最小值为( )．A．5 B．4 C．5.5 D．3．经过原点直线l与圆C：x2＋(y－4)2＝4有公共点，那么直线l斜率取值范围是( )．A．[ B．C．(－∞，∪，＋∞) D．∪4．三颗地球通讯卫星发射信号即可覆盖全球，假设设赤道大圆方程为x2＋y2＝R2(R为地球半径)，三颗卫星均可分布于赤道上空，那么三颗卫星所在位置确定圆方程为( )．A．x2＋y2＝2R2 B．x2＋y2＝4R2C．x2＋y2＝8R2 D．x2＋y2＝9R25．圆心在直线2x－y－7＝0上圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，那么圆C 方程为__________．6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称圆方程是__________．7．线段AB端点B坐标为(4,0)，端点A在圆x2＋y2＝1上运动，那么线段AB中点轨迹方程为__________．8．假设半径为1圆分别与y轴正半轴和射线(x≥0)相切，试求这个圆标准方程．9．点A(0,2)和圆C：(x－6)2＋(y－4)2＝365，一条光线从点A出发射到x轴上后沿圆切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过路程．参考答案1. 答案：D2. 答案：D 切线长22223221428224d b b b b =(+)+(+)-=++=(+)+，∴当b ＝－2时，d 取最小值26.3. 答案：C4. 答案：B 由题意知卫星距地面高度为R ，所以方程为x 2＋y 2＝4R 2.应选B.5. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 设圆心C (a ，b )，那么2222270,42.a b a b a b --=⎧⎪⎨+(+)=+(+)⎪⎩ ∴且|AC |＝|BC |＝r ＝5.∴(x －2)2＋(y ＋3)2＝5为所求． 6. 答案：22193155x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 关于直线对称两圆半径相等，圆心连线被直线x ＋2y －3＝0垂直平分．设所求圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1. 由题意得111,3231230.22b a a b ⎧+⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨+-⎪+⨯-=⎪⎩解得∴所求圆方程为22193155x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7. 答案：(x －2)2＋y 2＝148. 答案：解：由题意可设圆圆心为(1，b )(b ＞0)．根据该圆与直线相切，得＝13b =33-(舍去)，故所求圆方程为(x －1)2＋(y 32＝1. 9. 答案：解：设反射光线与圆相切于D 点，点A 关于x 轴对称点坐标为A 1(0，－2)，那么光线从A 点到切点所走路程为|A 1D |.在Rt △A 1CD 中，|A 1D |2＝|A 1C |2－|CD |2＝(－6)2＋(－2－4)2－365＝3245. ∴，即光线从A 点到切点所经过路程是.。

高中数学第二章 2.3.2圆的一般方程基础过关训练新人

2.3.2 圆的一般方程一、基础过关1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤122．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A ．1B. 2C. 3 D ．23． M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝04．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．二、能力提升9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝010．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝011．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程．三、探究与拓展13．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．答案1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－27．解设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3)． ∵CM ⊥AM ， ∴k CM ·k AM ＝－1，即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1，即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)． 8．解设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.①又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0. 9．D 10．A 11．20 612．解设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y . 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.13．解方法一设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48. ⑤解②③⑤联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二求得PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.①∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a －1)，又圆C 的半径r ＝|CP |＝a －42＋a ＋12.②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |.r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4322，代入②并将两端平方，得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5. ∴r 1＝13，r 2＝37.故所求的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.。

高中数学2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程自主训练新人教B版必修

2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程自主广场我夯基我达标1.下列方程中表示圆的是( )A.x 2+y 2-2x+2y+2=0B.x 2+y 2-2xy+y+1=0C.x 2+2y 2-2x+4y+3=0D.x 2+y 2+4x-6y+9=0思路解析:题中的4个选项都是二元二次方程，一个二元二次方程是否表示圆，要判断它是否同时满足以下这三个条件：(1)x 2、y 2项的系数相等且不为零，即A=C≠0;(2)没有xy 项，即B=0;(3)D 2+E 2-4F ＞0.根据这三个条件对每一个方程进行判断.因为选项A 中D 2+E 2-4F=4+4-8=0，所以选项A 不正确；因为选项B 中有-2xy 项，所以选项B 也不正确；因为选项C 中两个平方项的系数一个等于1，另一个等于2，不满足A=C 的条件，所以选项C 也不正确；选项D 同时满足这三个条件，所以选项D 是正确的.因此，选D.答案：D2.已知方程x 2+y 2-2kx+2k+3=0表示圆,则k 的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(3,+∞)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D. ∅思路解析:利用D 2+E 2-4F ＞0就可求得k∈(-∞,-1)∪(3,+∞).答案：C3.已知圆C 的方程为f(x ，y)=0，点A(x 0，y 0)是圆外的一点，那么方程f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0表示的曲线是( )A.与圆C 重合的圆B.过点A 与圆C 相交的圆C.过点A 且与圆C 同心的圆D.可能不是圆思路解析:此题所给出的圆的方程是一个抽象的方程，实际上，我们只学习了两种圆的方程，完全可以分别用两种方程来分析这道题.这里还基于一个结论：圆外的点的坐标代入圆的方程后，方程就变成了不等式.因为点A(x 0，y 0)是圆外的一点，所以f(x 0，y 0)＞0，由方程f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0,得f(x ，y)=f(x 0，y 0)，不妨设圆C 的方程f(x ，y)=0为方程(x-a)2+(y-b)2-r 2=0，则方程f(x ，y)=f(x 0，y 0)即为(x-a)2+(y-b)2=r 2+f(x 0，y 0)，此方程表示的正是过点A 且与圆C 同心的圆.因此，选C.答案：C4.圆(x+2)2+y 2=5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y 2=5B.x 2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x 2+(y+2)2=5思路解析:求圆关于某点或直线的对称图形的方程,主要是求圆心关于点或直线的对称点.求出圆心(-2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0).答案：A5.设P(x ，y)是曲线x 2+(y+4)2=4上任意一点，则22)1()1(-+-y x 的最大值为( ) A.26+2 B.26 C.5 D.6思路解析:此题的解题关键是要能从观察式子22)1()1(-+-y x 的特征中产生联想，即这个式子的几何意义是什么.因为式子22)1()1(-+-y x 的几何意义是点P(x ，y)与点(1，1)之间的距离，又因为P(x ，y)是曲线x 2+(y+4)2=4上任意一点，所以22)1()1(-+-y x 的最大值即为在圆x 2+(y+4)2=4上求一点，使这个点到点(1，1)的距离最大.如图2-3-(1,2)-4所示，|CB|即为所求，而|CB|=|CA|+|AB|，圆x 2+(y+4)2=4的圆心坐标为A(0，-4)，半径为2，即|AB|=2，而|AC|=26，所以|CB|=26+2，即22)1()1(-+-y x 的最大值为26+2.因此，选A.图2-3-(1,2)-4答案：A6.程x 2+y 2+x-2y+m=0表示圆时，m∈___________.思路解析:如果方程x 2+y 2+x-2y+m=0表示圆，则D 2+E 2-4F ＞0一定成立.根据这个条件可以把题意转化为不等式，从而求出m 的取值范围.因为方程x 2+y 2+x-2y+m=0表示圆，所以1+4-4m ＞0，解得m ＜45.所以m∈(-∞,45). 答案：(-∞, 45) 7.直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是_______________.思路解析:直线与两坐标轴的交点是A 、B ，AB 为圆的直径，即AB 的中点为圆心，AB 长的一半为圆的半径.答案：(x-2)2+(y-23)2=425 8.已知圆M ：(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1，直线l ：y=kx ，下面四个命题：A.对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切B.对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点C.对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切D.对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切其中真命题的代号是____________.(写出所有真命题的代号)思路解析:圆心坐标为(-cos θ，sin θ)，圆的半径为1，圆心到直线的距离为d=2221|)sin(|11|sin cos |k k k k +++=+--ϕθθθ=|sin(θ+φ)|≤1,故选B 、D.答案：BD我综合我发展9.求圆心在直线y=-4x 上,并且与直线l ：x+y-1=0相切于点(3,-2)的圆的方程.思路分析:已知圆心在y=-4x 上，所以可设圆心为(a,-4a)，利用圆心到直线l ：x+y-1=0的距离等于圆心到点(3，-2)的距离等于半径，就可以求出圆的方程.解：依题意,设圆心为(a,-4a),则其到直线x+y-1=0的距离及其到点(3，-2)的距离都等于半径的长度.应用两点间的距离公式及点到直线的距离公式,可得圆心到点(3，-2)的距离=22)42()3(a a -+-,圆心到直线l 的距离=2211|14|+--a a ，即得22)42()3(a a -+-=2211|14|+--a a ，对这个式子两边平方并化简得a=1.于是容易计算得到此圆的圆心为(1,-4),半径长为22,于是得到此圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.10.求过点A(-1,3),B(4,2),且在x 轴、y 轴上的四个截距之和是14的圆的方程.思路分析:本题所给的条件是过两个定点和截距三个条件，考虑到知道三点就可以求出圆的方程，所以考虑应用圆的一般式并结合根与系数的关系解决这个问题.解：设圆的一般式方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，①由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++-.02424,033)1(2222F E D F E D 令①中的y=0，可得x 2+Dx+F=0，圆在x 轴上的截距之和为-D ；令①中的x=0，可得y 2+Ey+F=0，圆在y 轴上的截距之和为-E.结合以上的方程组可以解得D=-4,E=-10,F=16.所以我们得到此圆的方程为x 2+y 2-4x-10y+16=0.11.设A 、B 两点是圆心都在直线3x-2y+5=0上的相交两圆的两个交点,且A 的坐标是(-4,5),求点B 的坐标.思路分析:解本题要充分利用平面几何的知识.注意到两圆相交，则意味着两交点关于连心线对称,即B 点应为点A 关于直线3x-2y+5=0的对称点.解：设B(x ，y),因AB 垂直于直线l ：3x-2y+5=0，且A(-4，5)，故直线AB 的方程为y-5=32-(x+4). 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=-,0523)4(325y x x y 得交点P(1331,131-). 又由中点坐标公式得251331,24131y x +=-=-. 解得x=133,1350-=y . ∴B(133,1350-).12.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x+1=0.(1)求yx 的最大值和最小值; (2)求x 2+y 2的最大值和最小值.思路分析:方程x 2+y 2-4x+1=0表示圆心(2,0),半径为3的圆;x y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,x 2+y 2表示圆上一点到原点距离的平方,故可借助于平面几何知识,利用数形结合来求解.解：(1)原方程化为(x-2)2+y 2=3,表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆. 设x y =k,即y=kx,当直线与圆相切时,斜率k 取最大值和最小值,此时有31|02|2=+-k k ,解得k=±3. 故xy 的最大值为3,最小值为-3. (2)x 2+y 2表示圆上一点到原点距离的平方,由平面几何知识知原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,故(x 2+y 2)max =(2+3)2=7+43,(x 2+y 2)min =(2-3)2=7-43.。

【配套K12】高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程课后训练新人教B版必修2

2.3.1 圆的标准方程课后训练1．在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是( )．A ．(5，1)B ．(4，1)C ．23)D ．(3，－2)2．从点P (3，b )向圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1作切线，则切线长的最小值为( )．A ．5B ．4C ．5.5D ．3．经过原点的直线l 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝4有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )．A ．[B ．⎡⎢⎣⎦C ．(－∞，∪D ．⎛-∞ ⎝⎦，∪⎫+∞⎪⎪⎣⎭4．三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球，若设赤道大圆的方程为x 2＋y 2＝R 2(R为地球半径)，三颗卫星均可分布于赤道上空，则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为( )．A ．x 2＋y 2＝2R 2B ．x 2＋y 2＝4R 2C ．x 2＋y 2＝8R 2D ．x 2＋y 2＝9R2 5．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为__________．6．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是__________．7．已知线段AB 的端点B 的坐标为(4,0)，端点A 在圆x 2＋y 2＝1上运动，则线段AB 的中点的轨迹方程为__________．8．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线3y x =(x ≥0)相切，试求这个圆的标准方程．9．已知点A (0,2)和圆C ：(x －6)2＋(y －4)2＝365，一条光线从点A 出发射到x 轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A 点到切点所经过的路程．参考答案1. 答案：D2. 答案：D切线长d =，∴当b ＝－2时，d取最小值3. 答案：C4. 答案：B 由题意知卫星距地面高度为R ，所以方程为x 2＋y 2＝4R 2.故选B.5. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 设圆心C (a ，b )，则270,a b --=⎧= ∴2,3,a b =⎧⎨=-⎩且|AC |＝|BC |＝r∴(x －2)2＋(y ＋3)2＝5为所求．6. 答案：22193155x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 关于直线对称的两圆半径相等，圆心连线被直线x ＋2y －3＝0垂直平分．设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1. 由题意得111,3231230.22b a a b ⎧+⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨+-⎪+⨯-=⎪⎩解得19,53.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴所求圆的方程为22193155x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7. 答案：(x －2)2＋y 2＝148. 答案：解：由题意可设圆的圆心为(1，b )(b ＞0)．根据该圆与直线y x =相切，得＝1b -=b =3-(舍去)，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y2＝1.9. 答案：解：设反射光线与圆相切于D 点，点A 关于x 轴的对称点的坐标为A 1(0，－2)，则光线从A 点到切点所走的路程为|A 1D |.在Rt △A 1CD 中，|A 1D |2＝|A 1C |2－|CD |2＝(－6)2＋(－2－4)2－365＝3245.∴1||A D ，即光线从A .。

高中数学人教B版必修2练习：2.3.1 圆的标准方程课堂强化

1．以点(4,4)为圆心，4为半径的圆的方程是 ( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝16C ．x 2＋y 2＝2D ．(x －4)2＋(y －4)2＝16解析：由圆的标准方程易知选D.答案：D2．圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝25B ．x 2＋y 2＝5C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25解析：∵圆心为(3,4)，且圆过点(0,0)．∴圆的半径为r ＝32＋42＝5∴圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.答案：C3．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是 ( )A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．不确定解析：设圆心为O ，则|OP |＝m 4＋25≥5>24，故点P 在圆外．答案：B4．以原点为圆心，且过点(3，－4)的圆的标准方程为______，那么点(23，3)的位置在圆________(内，上，外)．解析：r ＝(3－0)2＋(－4－0)2＝5，∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25.又∵(23)2＋32＝21<25，∴点(23，3)在圆内．答案：x 2＋y 2＝25 内5．(2011·辽宁高考)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．解析：依题意设所求圆的方程为：(x －a )2＋y 2＝r 2，把所给两点坐标代入方程得，⎩⎪⎨⎪⎧ (5－a )2＋1＝r 2(1－a )2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2r 2＝10，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案：(x －2)2＋y 2＝106．在平面直角坐标系中，求与x 轴相交于A (1,0)和B (5,0)两点且半径为5的圆的标准方程．解：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5.因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(0－b )2＝5，(5－a )2＋(0－b )2＝5，解得a ＝3，b ＝±1. 所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.法二：由A 、B 两点在圆上，那么线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )，又|AC |＝5得(3－1)2＋b 2＝ 5.解得b ＝1或b ＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.。

高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程同步练习(含解析)新人教B版必修2

圆的标准方程1．已知动点M 到定点(8,0）的距离等于M 到点(2，0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是（ )．A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1）2＋y 2＝16D ．x 2＋（y －1）2＝162．点(221t t +，2211t t -+)与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是（）． A ．在圆内 B ．在圆外C ．在圆上D ．与t 有关3．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ）． A ．12 B ．3 C ．3 D ．3 4．若圆x 2＋y 2＝4和圆(x ＋2)2＋(y －2）2＝4关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ）．A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝05．与圆(x －2）2＋（y ＋3)2＝16同心且过点P （－1,1)的圆的方程为__________． 6．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a ）,则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆（x －2）2＋(y －3）2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________________________________________________________________________．7．已知两点P 1(3,8）和P 2（5，4），求以P 1P 2为直径的圆的方程，并判断M （3，6)、Q （8,1）是在圆上?圆外？圆内？8．已知圆C :(x －3）2＋(y －4)2＝1，点A （0，－1)，B (0，1)，设P 点是圆C 上的动点，d ＝｜PA |2＋｜PB ｜2,求d 的最大、最小值及对应的P 点坐标．9。

如图所示，一座圆拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？参考答案1。

答案：B解析：设点M (x ，y ）,则2222(8)2(2)x y x y -+=-+，整理得x 2＋y 2＝16。

新教材2021-2022学年高中数学人教B版选择性第一册训练2.3.1 圆的标准方程含解析

第二章平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.1 圆的标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.圆心为(-3,4),半径是2的圆的标准方程为( )A.(x+3)2+(y-4)2=4B.(x-3)2+(y+4)2=4C.(x+3)2+(y-4)2=2D.(x-3)2+(y+4)2=22.方程y=√9-x 2表示的曲线是( ) A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆3.如图,圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C 经过点A (2,15),则圆C 的半径为( )A.7√2B.8C.8√2D.10圆C 经过点(2,1)和点(2,15),故圆心在直线y=8上.又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由{y =8,x -y -1=0可得圆心为(9,8), 故圆的半径为√(9-2)2+(8-1)2=7√2.4.已知一圆的圆心为点A (2,-3),一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上,则圆的标准方程为( ) A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=√(2-0)2+(-3-0)2=√13. 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.5.已知直线l 过圆x 2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l 的方程为( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0x 2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l 与直线x+y+1=0垂直,所以直线l 的斜率k=1.由点斜式得直线l 的方程是y-3=x-0, 化简得x-y+3=0.6.将圆x 2+y 2=2沿x 轴正方向平移2个单位后得到圆C ,则圆C 的标准方程为 .x-2)2+y 2=27.当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C ,则以点C 为圆心,√5为半径的圆的标准方程是 .x+1)2+(y-2)2=5(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.8.若圆的方程为(x +k 2)2+(y+1)2=1-34k 2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为、 .-1) 1圆的方程为(x+k 2)2+(y+1)2=1-34k 2,∴r 2=1-34k 2>0,r max =1,此时k=0. ∴圆心为(0,-1).9.求以A (2,2),B (5,3),C (3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.(x-a )2+(y-b )2=r 2,则有{(2-a )2+(2-b )2=r 2,(5-a )2+(3-b )2=r 2,(3-a )2+(-1-b )2=r 2,解得{a =4,b =1,r 2=5,即△ABC 的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5. 10.已知点A (-1,2)和B (3,4).求: (1)线段AB 的垂直平分线l 的方程; (2)以线段AB 为直径的圆的标准方程.AB 的中点C 的坐标为(1,3).(1)∵A (-1,2),B (3,4),∴直线AB 的斜率k AB =4-23-(-1)=12. ∵直线l 垂直于直线AB , ∴直线l 的斜率k l =-1k AB=-2,∴直线l 的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0. (2)∵A (-1,2),B (3,4),∴|AB|=√(3+1)2+(4-2)2=√20=2√5,∴以线段AB 为直径的圆的半径R=12|AB|=√5.又圆心为C (1,3), ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.关键能力提升练11.方程(x-1)√x 2+y 2-3=0所表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个点C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆x-1)√x 2+y 2-3=0可化为x-1=0或x 2+y 2=3,∴方程(x-1)√x 2+y 2-3=0表示一条直线和一个圆. 12.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P ,则与圆C :(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为( ) A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,则{2x +3y -1=0,3x -2y +5=0,解得{x =-1,y =1,即P (-1,1).∵圆C :(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3), ∴|PC|=√(-1-2)2+(1+3)2=5,∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B .13.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作△ABC ,在△ABC 中,AB=AC=4,点B (-1,3),点C (4,-2),且其“欧拉线”与圆(x-3)2+y 2=r 2相切,则该圆的半径r 为( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2△ABC 中,AB=AC=4,点B (-1,3),点C (4,-2),可得BC 边上的高线、垂直平分线和中线三线合一,则其“欧拉线”为△ABC 边BC 的垂直平分线,可得BC 的中点为(32,12),直线BC 的斜率为3+2-1-4=-1, 则BC 的垂直平分线的斜率为1,所以BC 的垂直平分线方程为y-12=x-32,即为x-y-1=0,其“欧拉线”与圆(x-3)2+y 2=r 2相切,所以圆心(3,0)到“欧拉线”的距离为d=√2=√2,即半径r=√2.14.已知点A (-a ,0),B (a ,0)(a>0),点C 在圆(x-2)2+(y-2)2=2上,且满足∠ACB=90°,则a 的最小值是 . √2C (2+√2cos α,2+√2sin α),∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cos α+a ,2+√2sin α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cos α-a ,2+√2sin α),∵∠ACB=90°,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cos α)2-a 2+(2+√2sin α)2=0,∴a 2=10+4√2(sin α+cos α)=10+8sin α+π4∈[2,18].∵a>0,∴a ∈[√2,3√2],∴a 的最小值是√2.15.已知圆C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线y=-x 对称,则圆C 的标准方程为 .2+(y+1)2=1(x-1)2+y 2=1,设其圆心为C 1,则圆C 1的圆心坐标为(1,0),半径长r 1=1.设圆心C 1(1,0)关于直线y=-x 对称的点的坐标为(a ,b ),即圆心C 的坐标为(a ,b ),则{ba -1·(-1)=-1,-a+12=b2,解得{a =0,b =-1.所以圆C 的标准方程为x 2+(y+1)2=1.16.已知三点A (3,2),B (5,-3),C (-1,3),以点P (2,-1)为圆心作一个圆,使A ,B ,C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.A ,B ,C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.因为|PA|=√10,|PB|=√13,|PC|=5, 所以|PA|<|PB|<|PC|, 所以圆的半径r=|PB|=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.17.已知圆C 与y 轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C 被直线y=x 截得的弦长为2√14,求圆C 的方程.C (2y 0,y 0),半径r=|2y 0|,圆心到直线x-y=0的距离为00√2=0√2, 由半径、弦心距、半弦长的关系得4y 02=14+y 022,∴y 0=±2.当y 0=2时,圆心C (4,2),半径r=4,此时圆C 为(x-4)2+(y-2)2=16, 当y 0=-2时,圆心C (-4,-2),半径r=4,此时圆C 为(x+4)2+(y+2)2=16.学科素养拔高练18.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M 与两定点A ,B 的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x 2+y 2=1和点A (-12,0),点B (1,1),M 为圆O 上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为 . √10,取点K (-2,0),连接OM ,MK.∵|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,∴|OK ||OM |=|OM ||OA |=2.又∵∠MOK=∠AOM,∴△MOK∽△AOM,∴|MK||MA|=|OM||OA|=2,∴|MK|=2|MA|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|,∵B(1,1),K(-2,0),∴|BK|=√(-2-1)2+(0-1)2=√10.19.已知圆C的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切于点(0,1).(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,分别连接圆心C与A,B两点,若CA⊥CB,求m的值.设圆心坐标为C(a,b),则a=3b,∵圆与y轴相切于点(0,1),则b=1,r=|a-0|,∴圆C的圆心坐标为(3,1),半径r=3.故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)∵CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,∴△ABC为等腰直角三角形,∵|CA|=|CB|=r=3,∴圆心C到直线l的距离d=3√22.则d=|3-1+m|√2=32√2,解得m=1或-5.。

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§2.3圆的方程
2．3.1 圆的标准方程
一、基础过关
1． (x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为
( )
A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4
2．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
( )
A．在圆内B．在圆外
C．在圆上D．不确定
3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝
3
3
x的距离为
( )
A.1
2
B.
3
2
C．1 D. 3
5．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．
7．求满足下列条件的圆的方程．
(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；
(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
8．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．二、能力提升
9．方程y＝9－x2表示的曲线是( ) A．一条射线B．一个圆
C．两条射线D．半个圆
10．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( ) A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
11．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是______．
12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
三、探究与拓展
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
答案
1．A 2．B 3．B 4.A
5．5＋ 2
6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1952
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
y －352
＝1
7．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝ 5－8 2＋ 1＋3 2＝5，
圆心为点C (8，－3)，
∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.
(2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2.
∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有
⎩⎨⎧ 16＋ 2－b 2＝r 2
，
36＋ 2＋b 2＝r 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧
r 2
＝1454，
b ＝－52.
∴所求圆的方程是x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522
＝1454.
8．解由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x ＋2y －15＝0，
∴由⎩⎨⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝7，
y ＝－3.
∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|AC |＝65.
∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.
9．D 10．D
11．[0,2]
12．解能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.
将A ，B ，C 三点的坐标分别代入有
⎩⎨⎧ a 2＋ 1－b 2＝r 2，
2－a 2＋ 1－b 2＝r 2，
3－a 2＋ 4－b 2＝r 2，
解得⎩⎨⎧ a ＝1，
b ＝3，
r ＝ 5.
∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.
将D (－1,2)代入上式圆的方程，得
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一圆上．
13．解设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，
最小值为72.。