【优化方案】2012高中数学 第3章3.2知能优化训练 新人教A版选修1-1
高中数学 第3章3.2.1知能优化训练 新人教A版选修12
1．已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( )A ．0B ．6iC ．6D ．6－6i解析：选D.z ＝(3－3i)－(3i －3)＝6－6i.2．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i解析：选C.OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是5－4i ＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i ＝0.3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由z ＝z 2－z 1＝1＋2i －(2＋i)＝(1－2)＋(2－1)i ＝－1＋i ，因此，复数z ＝z 2－z 1对应的点为(－1,1)，在第二象限．4．若OA →、OB →对应的复数分别为7＋i 、3－2i ，则|AB →|＝______.解析：AB →对应的复数为3－2i －(7＋i)＝－4－3i ，∴|AB →|＝ －42＋－32＝5.答案：5一、选择题1．已知复数z 1＝1＋7i ，z 2＝－2－4i ，则z 1＋z 2等于( )A ．－1＋3iB ．－1＋11iC ．3＋3iD ．3＋11i解析：选A.原式＝(1－2)＋(7－4)i ＝－1＋3i.2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数，∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，z ＝3i.3．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，若z 1＋z 2为纯虚数，则有( )A ．a －c ＝0且b －d ≠0B ．a －c ＝0且b ＋d ≠0C ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0D ．a ＋c ≠0且b ＋d ＝0解析：选C.∵z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 为纯虚数，∴a ＋c ＝0，b ＋d ≠0.4．|(3＋2i)－(1＋i)|表示( )A ．点(3,2)与点(1,1)之间的距离B ．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离C ．点(3,2)到原点的距离D ．以上都不对解析：选A.由减法的几何意义可知．5．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )A ．－1B ．3C.12 D ．－1或3 解析：选C.z ＝(2m 2＋m －1)＋(－m 2＋2m ＋3)i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －1＝0，－m 2＋2m ＋3≠0，解得m ＝12(m ＝－1不合题意，舍去)． 6．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝x －22＋y －22表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.二、填空题7．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________．解析：AB →表示OB →－OA →对应的复数，由－2－5i －(4＋3i)＝－6－8i ，知AB →对应的复数是－6－8i.答案：－6－8i8．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则z 1＝________.解析：两式相加得2z 1＝8＋2i ，∴z 1＝4＋i.答案：4＋i9．计算(－1＋2i)＋(i ＋i 2)－|1＋2i|＝________.解析：原式＝－1＋2i ＋i －1－5＝－2－5＋3i.答案：－2－5＋3i三、解答题10．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2008＋2009i)＋(2009－2010i)．解：原式＝(1－2＋3－4＋…－2008＋2009)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2009－2010)i ＝(2009－1004)＋(1004－2010)i＝1005－1006i.11．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i.(1)求z 1－z 2；(2)在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．解：(1)由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i ；(2)在复平面内作复数z 1－z 2所对应的向量，如图中所示OZ →.12．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i.∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，于是|z |＝2－|z |2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2.∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i.。
高中数学人教A版选修1-1第3章3-2立体几何中的向量方法教案
即 a2 = 3x2 + 2(3x2 cos )
x=
1a
3 + 6 cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求
两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离 点面距离 向量的模 回归图形
解： 过 A1点作 A1H ⊥ 平面 AC 于点 H.
解：
设平面 AEF 的法向量为
则有
6，如图所示建立坐标系，有
为平面 AEF 的单位法向量。
分别求平面 SAB 与平面 SDC 的法向量，并求出它们夹角的余弦。 解：因为 y 轴 平面 SAB，所以平面 SAB 的法向量为 设平面 SDC 的法向量为， 由
§3.2.2 空间角与距离的计算举例
【学情分析】：
空间中的几何元素
如图，在空间中，我们取一点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 点、直线、平面的
的位置就可以用向量 OP 来表示．称向量 OP 为点的位置向量。
位置的向量表示方 法。
●P
基点 O●
2. 思考：在空间中给定一个定点 A 和一个定方向（向量），能确定一条直
线在空间的位置吗？ l
a
P
A
AP = a( R)
∴ sin BAD = 1− 9 = 32 ， 105 35
五、小结 六、作业
∴ S ABCD =| AB | | AD | sin BAD = 8 6 ．
1． 点、直线、平面的位置的向量表示。 2． 线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。 A，预习课本 105～110 的例题。 B，书面作业:
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量； （2）求平行四边形 ABCD 的面积．
【优化方案】2012高中数学 第3章本章优化总结课件 新人教A版选修2-1
【解】 ∵PO⊥平面 ABCD， ⊥ ， ∴PO⊥BD. ⊥ 又 PB⊥PD， ⊥ ， ∴△PBD 为直角三角形，PO 是斜边 BD 上的高． 为直角三角形， 上的高． ∴△ 由直角三角形的射影定理， 由直角三角形的射影定理， 可得 PO2＝BO·OD， ， 其中 PO＝ 2，BO＝2，∴DO＝1. ＝ ， ＝ ， ＝ 为等腰梯形， 由四边形 ABCD 为等腰梯形， 易知 DO＝OC＝1，BO＝AO＝2. ＝ ＝ ， ＝ ＝ 点为原点， ， ， 以 O 点为原点，OA，OB，OP 所在直线分别为 x，y， ，， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标 建立如图所示的空间直角坐标系， B(0,2,0)， －1,0,0)， ， C(－ D(0， －1,0)， P(0,0， 为 O(0,0,0)， ， ， ， － ， ， 2)． ．
证明： 为坐标原点， 【解】 (1)证明：以 A 为坐标原点，建立如图所示的 证明 空间直角坐标系 A-xyz. 1 设 B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则 B1(1,0,2c)，E( ， ， ， ， ， ， ， 2 b ，c)．(b>0，c>0) ． ， 2 1 b → 于是DE 于是 ＝( ， ，0)， ， 2 2 → BC＝(－1，b,0)． － ， ．
例3
如 图 ， 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 ，
的中点， ⊥ AB⊥AC，D、E分别为 1、B1C的中点，DE⊥ ⊥ ， 、 分别为 分别为AA 的中点 平面BCC1B1. 平面 (1)证明：AB＝AC； 证明： ＝ ； 证明 (2)设二面角 设二面角A-BD-C为 60° ， 求 B1C与平面 与平面BCD 设二面角 为 ° 与平面 所成的角的大小． 所成的角的大小．
【优化方案】2012高中数学 第3章4.1知能优化训练 北师大版选修1-1
1．(2011年高考江西卷)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)解析：选C.由题意知x ＞0，且f ′(x )＝2x －2－4x，即f ′(x )＝2x 2－2x －4x＞0，∴x 2－x －2＞0，解得x ＜－1或x ＞2.又∵x ＞0，∴x ＞2.2．函数y ＝x (x 2＋1)的导数为( )A ．x 2＋1B ．3x 2C ．3x 2＋1D ．3x 2＋x解析：选C.∵y ＝x 3＋x ，∴y ′＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋x ′＝3x 2＋1.3．对任意实数x ，有f ′(x )＝4x 3，且f (1)＝－1，则f (x )＝( )A ．x 4B ．x 4－2C ．x 4＋1D ．x 4＋2解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3，∴f (x )＝x 4＋α. 又∵f (1)＝－1，∴1＋α＝－1，∴α＝－2，∴f (x )＝x 4－2.4．已知f (x )＝sin x ＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝(sin x ＋ln x )′＝(sin x )′＋(ln x )′＝cos x ＋1x，∴f ′(1)＝cos1＋1.答案：cos1＋1一、选择题1．函数f (x )＝x 3＋3x ＋cos x ，则f ′(x )等于( )A ．3x 2＋x －23－sin x B ．x 2＋13x －23－sin xC ．3x 2＋13x －23＋sin xD ．3x 2＋13x －23－sin x解析：选D.∵f (x )＝x 3＋3x ＋cos x ＝x 3＋x 13＋cos x ， ∴f ′(x )＝(x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′ ＝3x 2＋13x －23－sin x .2．若y ＝x 4＋sin x ，则y ′＝( )A ．4x 3B ．cos xC ．4x 3＋sin xD ．4x 3＋cos x解析：选D.y ′＝(x 4＋sin x )′＝(x 4)′＋(sin x )′＝4x 3＋cos x .3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是下图中的( )解析：选A.因为f ′(x )＝2x ＋b ，又f (x )的图像顶点在第四象限，∴b ＜0. 4．已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x ＋1的切线，则k 的值等于( ) A ．e B ．－e C ．1 D ．－1解析：选C.∵y ′＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0.由ln x 0＝0得x 0＝1，∴k ＝1x 0＝1.5．函数f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )是常数函数D ．f (x )＋g (x )是常数函数解析：选C.f ′(x )＝g ′(x )可知f ′(x )－g ′(x )＝0， ∴f (x )－g (x )＝c .6．(2011年哈师大附中检测)曲线y ＝－x 3＋2x 在x ＝1处的切线的倾斜角是( ) A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π 解析：选C.∵y ′＝－3x 2＋2， ∴y ′|x ＝1＝－3＋2＝－1，即k ＝tan α＝－1，∴α＝34π.二、填空题7．曲线y ＝x 3－x 与直线y ＝2x ＋b 相切，则实数b ＝________.解析：由k ＝y ′＝3x 2－1＝2得x ＝±1， ∴切点坐标为(1,0)，(－1,0)．将(1,0)，(－1,0)代入y ＝2x ＋b 得b ＝－2或2. 答案：－2或28．设f (x )＝1x －13x2，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x －23′＝－1x 2＋23x －53， ∴f ′(1)＝－1＋23＝－13.答案：－139．设f (x )＝ax 2－b sin x 且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， ∴f ′(0)＝－b ＝1，∴b ＝－1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3a －12b ＝12，解得a ＝0.答案：0 －1 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝e x＋log 3x ；(2)y ＝x m ＋n x x(n ≠0)．解：(1)y ′＝(e x ＋log 3x )′＝e x＋1x ln3. (2)∵y ＝x m －1＋x 1n －1，∴y ′＝(xm －1＋x 1n －1)′＝(m －1)xm －2＋1－n n·x 1n －2.11．设函数y ＝f (x )满足以下条件：①f ′(x )＝－2x3；②f (1)＝2.求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵f ′(x )＝－2x3＝－2·x －2－1， ∴f (x )＝x －2＋c ＝1x2＋c (c 为常数)，又∵f (1)＝2，∴1＋c ＝2，∴c ＝1，∴f (x )＝1x2＋1.12．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．解：(1)∵y ′＝2x ＋1，∴直线l 1的斜率为3，其方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.∵l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.∴直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)，∴所求三角形的面积S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。
【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2空间向量的数乘运算课件 新人教A版选修2-1
的中心， 的中点，求下列各式中， ， 的中心，Q 是 CD 的中点，求下列各式中，x，y 的值． 的值． → → → → (1)OQ＝PQ＋xPC＋yPA； → → → → (2)PA＝xPO＋yPQ＋PD.
思路点拨】 【 思路点拨 】 解答本题需准确画图， 解答本题需准确画图 ， 先利用三 角形法则或平行四边形法则表示出指定向量， 角形法则或平行四边形法则表示出指定向量 ， 再 根据对应向量的系数相等，求出 、 的值即可 的值即可． 根据对应向量的系数相等，求出x、y的值即可．
(4)用上述结论证明 或判断 三点 A、B、C 共线时，只需证 用上述结论证明(或判断 用上述结论证明 或判断)三点 、 、 共线时， → → → → 即可．也可用“ 明存在实数 λ，使AB＝λBC或AB＝µAC即可．也可用“对 ， → → → 空间任意一点 O，有OB＝tOA＋(1－t)OC”来证明三点共 ， － 线． 2．对向量共面的充要条件的理解 ． (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有 空间一点 → → → 序实数对(x， 使 y)， 序实数对 ， ， MP＝xMA＋yMB.满足这个关系式的点 满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内； 反之， 反之， 平面 MAB 内的任一点 P 都满 足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
→ → → ∴EF＝A1F－A1E 4 2 2 2 2 ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－c)． － － ＝ － － ． 5 15 5 5 3 2 2 → → → → 又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－ b－c＋a＝a－ b－c， － ＋ ＝ － － ， 3 3 → 2→ 所以 ， ， 三点共线． ∴EF＝ EB.所以 E，F，B 三点共线． 5
【优化方案】2012高中数学 第3章3.2.2用向量方法求空间中的角课件 新人教A版选修2-1
→ n·AC1 λ → 〉＝ ∴cos〈AC1，n〉＝ 〈 ＝－ . 2|λ| → |n||AC1| 1 → ∴|cos〈AC1，n〉|＝ . 〈 〉＝ 2 ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.
求平面与平面所成的角 利用向量法求二面角的步骤： 利用向量法求二面角的步骤： (1)建立适当的空间直角坐标系； 建立适当的空间直角坐标系； 建立适当的空间直角坐标系 (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向 量； (3)求出两个法向量的夹角； 求出两个法向量的夹角； 求出两个法向量的夹角 (4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角； 判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角； 判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角 (5)确定出二面角的平面角的大小． 确定出二面角的平面角的大小． 确定出二面角的平面角的大小
3．二面角的求法 ． (1)设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，平面 α、β 的法 设二面角 ， 、 n1·n2 |n1·n2| |＝ . 向量分别为 n1、n2，则|cosθ|＝| ＝ ＝ |n1|·|n2| |n1|·|n2| (2)二面角的平面角也可转化为两直线的方向向 二面角的平面角也可转化为两直线的方向向 量的夹角：在两个半平面内， 量的夹角：在两个半平面内，各取一直线与棱垂 当直线的方向向量的起点在棱上时， 直．当直线的方向向量的起点在棱上时，两方向 向量的夹角即为二面角的平面角． 向量的夹角即为二面角的平面角．
→ 1 → ，A1D＝(0,2，－ ，于是 cos ， (1)易得 ＝0， ，1 易得EF ，－4)， 易得 ，－ 2 → → EF·A1D 3 → → 〈EF，A1D〉＝ ＝－ . 5 → → |EF||A1D| 3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5 3 → → → ，ED ，－ (2)证明：易知 ＝(1,2,1)，EA1＝－1，－ ，4 证明： 证明 易知AF ， 2 → → → －1，1，0，于是 → ·EA1＝ 0，AF·ED＝0.因此， 因此， ＝ ，2 于是AF ， 因此 AF⊥EA1，AF⊥ED. ⊥ ⊥ 又 EA1∩ED＝E，所以 AF⊥平面 A1ED. ＝ ， ⊥
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线 方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
【优化方案】2012高中数学 第3章3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题课件 新人教A版选修2-1
取 y＝1，则 x＝2. ＝ ， ＝ 故平面 ABC 的一个法向量为 n＝(2,1,0)． ＝ ．
利用空间向量证明平行问题 用向量方法证明空间中的平行关系 设直线l1、l2的方向向量分别是a、b， 设直线 的方向向量分别是 、 ， 只需证明a 则要证明l ， 线线平行 则要证明 1 ∥ l2 ， 只需证明 ∥b， 即 a ＝kb(k∈R)． ∈ ．
A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求出平面 ， ， ， ， ， ABC的一个法向量． 的一个法向量． 的一个法向量
【思路点拨】 思路点拨】
【解】 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)， ＝ ， ， ， ，－1)， ，－ ，－2,0)， ∵A(1,2,3)，B(2,0，－ ，C(3，－ ， ，－ ， → → ，－2，－ ，－4，－ ∴AB＝(1，－ ，－ ，AC＝(2，－ ，－ ， ，－ ，－4)， ，－ ，－3)， 由题设得： 由题设得： → n·AB＝0 x－2y－4z＝0 － － ＝ 即 ， － － ＝ 2x－4y－3z＝0 n·AC＝0 →
3．2 立体几何中的向量方法 ． 3．2.1 用向量方法解决平行与垂直问题 ．
学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 理解直线的方向向量与平面的法向量． 理解直线的方向向量与平面的法向量 2． 能用向量语言表述线线 、 线面 、 面面垂直 、 平 ． 能用向量语言表述线线、 线面、 面面垂直、 行关系． 行关系．
(3)根据法向量定义建立关于 x，， 的方程组： 根据法向量定义建立关于 ， z 的方程组： y，
n·a＝xa1＋yb1＋zc1＝0， ＝ ， ＝ ； n·b＝xa2＋yb2＋zc2＝0；
【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.5空间向量运算的坐标表示课件 新人教A版选修2-1
学习目标 1.理解空间向量坐标的概念， 会确定一些简单几何 理解空间向量坐标的概念， 理解空间向量坐标的概念 体的顶点坐标． 体的顶点坐标． 2． 掌握空间向量的坐标运算规律 ， 会判断两个向 ． 掌握空间向量的坐标运算规律， 量的共线或垂直． 量的共线或垂直． 3． 掌握空间向量的模 、 夹角公式和两点间距离公 ． 掌握空间向量的模、 式，并能运用这些知识解决一些相关问题． 并能运用这些知识解决一些相关问题．
1 1 1 → → 1 1 ∴EF·CF＝ × ＋(－ )× ＋－2×0＝0. － × ＝ 2 2 2 2 → → ∴EF⊥CF，即 EF⊥CF. ⊥ 1 → (2)由(1)知CE＝(0，－ ， )， ，－1， ， 由 知CE＝ ，－ 2 → ∴|CE|＝ ＝
12＝ 5. 0 ＋(－1) ＋ ) 2 2
→ → (2)∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)， ∵ ＝ ， ＝ － ， ，－4)． ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－ ． ＋ ＝ － ， ， － ＝ ＋ ， ，－ ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)， ＋ ⊥ － ， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. ＋ － ＝ ，－4) 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－ － ， ＋ ， ，－ ＝2k2＋k－10＝0. － ＝ 5 解得 k＝2 或 k＝－ . ＝ ＝－ 2
的坐标为(11,4，－ ． ，－2)． ∴点 P 的坐标为 ，－
，
坐标形式下平行与垂直条件的应用 利用空间向量的坐标运算来解题， 利用空间向量的坐标运算来解题，要熟练掌握以 下两个常用的充要条件，若a＝(x1，y1，z1)，b＝ 下两个常用的充要条件， ＝ ， ＝ (x2 ， y2 ， z2)， 则 a∥ b⇔ x1 ＝ λx2 ， y1 ＝ λy2 ， z1 ＝ ， ∥ ⇔ λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. ∈ ； ⊥ ⇔
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第1课时 空间向量与平行、垂直关系学案 新人教A版选修
第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．2.会求平面的法向量．3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u ＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(2)平面α的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√若A (1，0，－1)，B (2，1，2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2，2，6) B ．(－1，1，3) C ．(3，1，1) D.(－3，0，1)答案：A若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，14B ．(2，－1，0)C ．(1，2，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2答案：C若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝__________．答案：4探究点1 求直线的方向向量与平面的法向量[学生用书P64]如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．【解】因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，B (1，0，0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12， AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．[变问法]本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0，0，1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0，1，3)．待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．1.已知A (0，y ，3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2，1，3)与直线AB 的方向向量平行，则y ＋z 等于( )A ．－3B ．0C ．1D.3解析：选B.由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0，故选B. 2．在△ABC 中，A (1，－1，2)，B (3，3，1)，C (3，1，3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点．(1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )． 因为AB →＝(2，4，－1)，AC →＝(2，2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b a ＝－32b ，令b ＝2，则a ＝－3，c ＝2.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3，2，2)． (2)因为点M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，所以AM →⊥n ，所以－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0， 所以3x －2y －2z －1＝0.故x ，y ，z 满足的关系式为3x －2y －2z －1＝0. 探究点2 利用空间向量证明平行关系[学生用书P64]已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：FC 1∥平面ADE .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)．FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1. 所以n 1＝(0，－1，2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0. 所以FC 1→⊥n 1.因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .[变问法]在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)， 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥RS .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M (3，0，43)，N (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)．所以MN →＝(－3，2，23)，RS →＝(－3，2，23)，所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →，因为M ∉RS ，所以MN ∥RS . 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c .所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →. 又R ∉MN ，所以MN ∥RS .探究点3 利用空间向量证明垂直关系[学生用书P65]在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AS ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】 设AS ＝AB ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.法一：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.易知AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →，所以OE ∥AS .又AS ⊥底面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 法二：设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 易知BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)． 因为AS ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 边中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 在CD上，求证：AB ⊥PC .证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v .由条件知，v 是平面ABC 的法向量， 所以v ·a ＝0，v ·b ＝0， 因为D 为AB 中点，所以CD →＝12(a ＋b )，因为O 在CD 上，所以存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )．因为CA ＝CB ， 所以|a |＝|b |， 所以AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ2（a ＋b ）＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v＝λ2(|b |2－|a |2)＋b ·v －a ·v ＝0， 所以AB →⊥CP →， 所以AB ⊥PC .1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心，证明：OA 1⊥AM . 证明：设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以OA 1→＝(1，0，1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12－(1，0，0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，所以OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＋1×12＝0，即OA 1⊥AM .2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则C (0，1，0)，E (1，0，1)，C 1(0，1，2)，F (1，1，1)，E 1⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2.设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 因为C 1E 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ， 取n ＝(1，2，1)．因为CE →＝(1，－1，1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，所以CE →⊥n ，且CE ⊄平面C 1E 1F . 所以CE ∥平面C 1E 1F .[学生用书P66]知识结构深化拓展用空间向量解决立体几何的问题有三步(1)首先建立适当的空间坐标系，一般是用互相垂直的直线为x ，y ，z 轴，设出点的坐标．(2)通过向量的坐标运算，来研究点、直线、平面之间的关系，把几何问题转化为代数问题．(3)把向量的运算结果“翻译”为相应的几何意义，据几何意义求出结果.[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，52，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D.x ＝3，y ＝154解析：选D.因为l 1∥l 2，所以321＝x 2＝y 52，所以x ＝3，y ＝154，故选D.2．直线l 的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m ＝(－1，1，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，19，则直线l 与平面β的位置关系是( )A ．l ∥βB ．l ⊥βC ．l ∥β或l ⊂βD.无法判断解析：选C.因为m ·n ＝－13＋0＋13＝0，所以m ⊥n .所以l ∥β或l ⊂β.3．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D.－2解析：选B.因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.4．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.5．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D.2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ， 所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以F 为AD 的中点， 所以AF ∶FD ＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a ＝(x ，1，－2)，平面β的一个法向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，若α⊥β，则x －y ＝________．解析：因为α⊥β，所以a ⊥b ，所以－x ＋y －1＝0，得x －y ＝－1. 答案：－17．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．答案：①②③8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 所以3＋5－2z ＝0， 所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157， 故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－39．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明：设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎪⎫12，0，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，所以MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.所以MN →⊥AB 1→，所以AB 1⊥MN .10．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：设正方体的棱长为2a ，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2a ，0，0)，C (0，2a ，0)，B 1(2a ，2a ，2a )，E (2a ，2a ，a )，F (a ，a ，2a )． 所以EF →＝(a ，a ，2a )－(2a ，2a ，a )＝(－a ，－a ，a )，AB 1→＝(2a ，2a ，2a )－(2a ，0，0)＝(0，2a ，2a )，AC →＝(0，2a ，0)－(2a ，0，0)＝(－2a ，2a ，0)．因为EF →·AB 1→＝(－a ，－a ，a )·(0，2a ，2a )＝(－a )×0＋(－a )×2a ＋a ×2a ＝0，EF →·AC →＝(－a ，－a ，a )·(－2a ，2a ，0)＝2a 2－2a 2＋0＝0，所以EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ，所以EF ⊥平面B 1AC .[B 能力提升]11．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD 和B 1C 的中点，利用向量法证明：(1)MN ∥平面CC 1D 1D ； (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D .证明：(1)以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1)．由正方体的性质知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA →＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量．由于MN →＝(0，1，－1)，则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN →⊥DA →. 又MN ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MN ∥平面CC 1D 1D .(2)由于MP →＝(0，2，0)，DC →＝(0，2，0)， 所以MP →∥DC →，即MP ∥DC . 由于MP ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MP ∥平面CC 1D 1D .又由(1)，知MN ∥平面CC 1D 1D ，MN ∩MP ＝M ，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP ∥平面CC 1D 1D .12．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BC 的中点．(1)在B 1B 上是否存在一点P ，使D 1P ⊥平面B 1AE? (2)在平面AA 1B 1B 上是否存在一点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE? 解：(1)如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，B 1A →＝(0，－1，－1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1.假设存在点P (1，1，z )满足题意，于是D 1P →＝(1，1，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧D 1P →·B 1A →＝0，D 1P →·B 1E →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－1－z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，z ＝12，矛盾．故在B 1B 上不存在点P 使D 1P ⊥平面B 1AE .(2)假设在平面AA 1B 1B 上存在点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE . 设N (1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧D 1N →·B 1A →＝0，D 1N →·B 1E →＝0.因为D 1N →＝(1，y ，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－y －z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，故平面AA 1B 1B 上存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12，使D 1N ⊥平面B 1AE .13．(选做题)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .证明：以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.所以DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．因为PB ＝AB ， 所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0. 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ， 又因为PA ∩DA ＝A ， 所以BE ⊥平面PAD ， 又因为BE ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD .。
【优化方案】2012高中数学 第3章3知能优化训练 北师大版选修1-1
1．曲线y ＝x n (n ∈N ＋)在x ＝2处的导数为12，则n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.∵y ′＝nx n －1，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1＝12，∴n ＝3.2．下列结论：①若y ＝1x ，则y ′|x ＝2＝－22；②若y ＝cos x ，则y ′|x ＝π2＝－1；③若y ＝e x ，则y ′＝e x .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.正确的是②③，共有2个，故选C.3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则这样的切线有( )A ．1条B ．2条C ．多于2条D ．不确定解析：选B.f ′(x )＝3x 2，令f ′(x )＝3，即3x 2＝3，∴x ＝±1，故应有2条．4．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________.解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2，于是有2x －3x 2＝－2，解得x ＝1±73.答案：1±73一、选择题1．(2011年福州检测)若f (x )＝cos x ，则f ′(α)等于( )A ．sin αB ．cos αC ．2α＋sin αD ．－sin α解析：选D.∵f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，∴f ′(α)＝－sin α.2．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的切点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14解析：选D.设切点为(x 0，x 20)，∵倾斜角为π4，∴y ′＝2x 0＝1，∴x 0＝12，故切点为(12，14)．3．已知函数f (x )＝a x ，且f ′(e)＝4，则a ＝( )A ．4－1e B ．4－eC ．e －4D ．41e解析：选D.∵f ′(x )＝a x ln a ，∴f ′(e)＝a e ＝4，∴a ＝41e .4．曲线f (x )＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，则该切线方程为() A ．5x ＋5y ＋4＝0 B ．5x －5y －4＝0C ．5x ＋5y ±4＝0D ．5x －5y ±4＝0解析：选D.因为切线与直线y ＝－x ＋3垂直，所以切线的斜率为1.又f ′(x )＝x 4，∴x 4＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，15，切线方程为5x －5y －4＝0. 当x ＝－1时，切点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－15，切线方程为5x －5y ＋4＝0. 5．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角解析：选C.由导数的几何意义知函数f (x )在点(4，f (4))处的切线斜率为f ′(4)＝－sin 4＞0，∴此切线的倾斜角为锐角．6．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：选A.求导得y ′＝－12x －32(x >0)，所以曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线l 的斜率k ＝－12a －32，由点斜式得切线的方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )，易求得直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为(3a,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a －12，所以直线l 与两个坐标轴围成的三角形面积S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64. 二、填空题7．(1)已知函数f (x )＝15，则f ′(0)＝________； (2)已知函数f (x )＝x n ，且f ′(1)＝2，则n ＝________.解析：(1)因为f ′(x )＝0，所以f ′(0)＝0.(2)由公式得f ′(x )＝nx n －1，所以f ′(1)＝n ＝2，即n ＝2.答案：0 28．已知0<x <14，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，则f ′(x )与g ′(x )之间的大小关系是________． 解析：f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝12x ，因为0<x <14，所以f ′(x )＝2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g ′(x )＝12x ∈(1，＋∞)，所以f ′(x )＜g ′(x )．答案：f ′(x )＜g ′(x )9．若曲线y ＝x 2－1的一条切线平行于直线y ＝4x －3.则这条切线的方程为________．解析：f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx＝limΔx →0 x ＋Δx 2－1－x 2－Δx＝lim Δx →0 2x Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点坐标为(x 0，y 0)，则由题意知，f ′(x 0)＝4，即2x 0＝4，∴x 0＝2.代入曲线方程得y 0＝3.故该切线过点(2,3)且斜率为4.∴这条切线的方程为y －3＝4(x －2)，即4x －y －5＝0.答案：4x －y －5＝0三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝log 13x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 解：(1)∵y ′＝c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵y ′＝(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x 34－1 ＝34x －14＝344x. (3)∵y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln10.(4)∵y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a， ∴y ′＝(log 13x )′＝1x ·ln 13＝－1x ·ln3. (5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .11．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1xy ＝x 2，解得交点为(1,1)．而⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2；(x 2)′＝2x ，∴斜率分别为－1和2， ∴切线方程分别为y －1＝－(x －1)，及y －1＝2(x －1)；令y ＝0，得与x 轴交点为(2,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， ∴S △＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34. 12．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解：由已知设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与直线y ＝x 距离最近的点．∵y ＝e x ，∴y ′＝e x .又∵在点(x0，y0)处的切线斜率为1，∴e x0＝1，∴x0＝0，代入y＝e x，可得：y0＝1，∴切点为(0,1)，利用点到直线的距离公式可以求出d＝2 2.。
【优化方案】2012高中数学 第3章3.3.2简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5
学习目标 1.了解线性规划的意义． 了解线性规划的意义． 了解线性规划的意义 2．准确利用线性规划知识求解目标函数的最 ． 值． 3．掌握线性规划在解决实际问题中的两种类 ． 型．
3. 3.2 简 单 的 线 性 规 划 问 题
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
例3
【 思 路 点 拨 设未知数， 设未知数，确定线性约束条件和目标函数 → 画出可行域和目标函数对应的初始直线 → 平移直线确定最优解 → 求目标函数的最大值
【解】 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分
】
别为x个单位和 个单位 所花的费用为z元 别为 个单位和y个单位，所花的费用为 元， 个单位和 个单位， 则依题意， ＝ 则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足 ＋ ， ， 满足
变式训练2 变式训练
某公司计划2010年在甲、乙两个电 年在甲、 某公司计划 年在甲
视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费 分钟的广告， 视台做总时间不超过 分钟的广告 用不超过9万元， 用不超过 万元，甲、乙电视台的广告收费标准 万元 分别为500元/分钟和 分钟和200元/分钟 假定甲、 分钟． 分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告， 个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司 带来的收益分别为0.3万元和 万元 带来的收益分别为 万元和0.2万元．问该公司 万元和 万元． 如何分配甲、乙两个电视台的广告时间， 如何分配甲、乙两个电视台的广告时间，才能使 公司的收益最大．最大收益是多少万元？ 公司的收益最大．最大收益是多少万元？
例1
(2010 年高考山东卷 设变量 x、y 满足约 年高考山东卷)设变量 、 则目标函数 z＝3x－4y ＝ － ) B．－ ，－ ．－3，－ ．－ ，－11 D．11,3 ．
【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.1空间向量与立体几何课件 新人教A版选修2-1
例2
如图， 如图，已知长方体 ABCD-A′B′C′D′， ′ ′ ′ ′
化简下列向量表达式， 化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的 向量． 向量． → → (1)AA′－CB； － → → → (2)AA′＋AB＋B′C′. ＋
【思路点拨】 思路点拨】
(1) 分析题意 →
→ → → → 等价转化为DA → DA转化为－AD → 转化为－ 将CB等价转化为 平行四边形法则 → 得出结论 → → (2) 应用平行四边形法则先求 应用平行四边形法则先求AA′＋AB → → → 应用三角形法则求AB′＋B′C′ → 得出结论 应用三角形法则求
→ → → → 【 解】 (1)AA′ －CB＝ AA′－DA → → → ＝AA′＋ AD ＝AD′ . → → → (2)AA′＋AB＋ B′C′ → → → ＝ (AA′＋AB)＋B′C′ ＋ → → → ＝AB′＋ B′C′＝AC′. → → 向量AD′、AC′如图所示． 如图所示． 向量
2.空间向量的加法、减法 空间向量的加法、 空间向量的加法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算 如 图)： ： → → → a＋b ； ＋ OB＝OA＋OC＝______； → → → a－b － CA＝OA－OC＝______. 3．空间向量加法的运算律 ． ＋ (1)交换律 a＋b＝_______； 交换律 ＋ ＝ b＋a ； (2)结合律 结合律
2.空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位 空间向量的引入， 空间向量的引入 置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具， 置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具， 为处理立体几何问题提供了新的视角． 为处理立体几何问题提供了新的视角．特别是空 间的平行、垂直、距离、角度等问题，用空间向 间的平行、垂直、距离、角度等问题， 量处理十分简捷． 量处理十分简捷． 3.在高考中，空间向量作为基本工具多用于解决 在高考中， 在高考中 空间的平行、垂直和角度问题 空间的平行、垂直和角度问题.
【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2知能优化训练 新人教A版选修1-1
1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 答案：A2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选C.Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2(1＋Δx )2－4＋2Δx ＝2(Δx )2＋4Δx Δx＝2Δx ＋4.3．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt＝7Δt ＋14t 0，当li mΔt →0(7Δt ＋14t 0)＝1时，t 0＝114. 答案：1144．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．解：(导数定义法)Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx1＋Δx，Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li mΔx →0 (1＋11＋Δx )＝2，从而y ′|x ＝1＝2.一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析：选B.Δy ＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.2．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x解析：选B.因为Δy ＝[2(1＋Δx )2－1]－(2×12－1)＝4Δx ＋2(Δx )2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx ，故选B.3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18C ．54D ．81解析：选B.Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt ，s ′＝li m Δt →0 Δs＝li mΔt →0(18＋3Δt )＝18，故选B.4．某质点沿曲线运动的方程y ＝－2x 2＋1(x 表示时间，y 表示位移)，则该点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 解析：选D.令f (x )＝y ＝－2x 2＋1，则质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度v －＝Δy Δx ＝f (2)－f (1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.5．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－0.88 m/s B ．0.88 m/s C ．－4.8 m/s D ．4.8 m/s解析：选C.s ′(1.2)＝li mΔt →02[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.22)Δt ＝－4.8.6．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B.∵ΔfΔx ＝f (32＋Δx )－f (32)Δx＝－Δx －3，∴li mΔx →0 ΔfΔx ＝－3.二、填空题7．已知f ′(1)＝1，则li mΔx →0f (1＋x )－f (1)x ＝________.解析：li mΔx →0f (1＋x )－f (1)x ＝f ′(1)＝1.答案：18．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________.解析：li mΔx →0 ΔyΔx＝a (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－ax 2－2x Δx＝li mΔx →02ax ·Δx ＋2·Δx ＋a (Δx )2＝2ax ＋2.∴f ′(1)＝2a ＋2＝4，∴a ＝1. 答案：19．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则li mΔx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx ＝________.解析：li mΔx →0f (x 0－2Δx )－f (x 0)Δx＝－2li m－2Δx →0 f (x 0－2Δx )－f (x 0)－2Δx＝－2f ′(x 0)＝－2×11＝－22. 答案：－22 三、解答题10．若函数在y ＝2x 2＋4x 处的导数是8，求x 0的值． 解：根据导数的定义f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li mΔx →02(x ＋Δx )2＋4(x ＋Δx )－(2x 2＋4x )Δx＝li mΔx →04x ·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx＝li mΔx →(4x ＋2Δx ＋4) ＝4x ＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝8.解得x 0＝1.11．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ，时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解：(1)初速度v 0＝li mΔt →0s (Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0 3Δt －(Δt )2Δt ＝li mΔt →0(3－Δt )＝3.即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝li mΔt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝li mΔtx →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝li mΔt →0－Δt 2－ΔtΔt＝li mΔt →(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．(3)v －＝s (2)－s (0)(2－0)＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.12．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围． 解：∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．。
2012高中数学 3章整合 精品课件同步导学 新人教A版选修1-1
• 4．生活中的优化问题 • 会利用导数解决某些实际问题．
• 高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和 填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数
的应用为主(研究单调性、极值和最值等)；也更容易在解答题
• 即得出了过点P(x0，y0)的切线方程．
• ．
求曲线y＝3x4 －2x3 －9x2 ＋4在点(1，－4)处的切线方程
• 解析：
f′(x)＝12x3－6x2－18x，f′(1)＝－12，
• ∴曲线在点(1，－4)处的切线方程为y＋4＝－12(x－1)，
• 即12x＋y－8＝0.
•
已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与
．
a＋b＋c＝－4 ∴f′1＝3a＋2b＋c＝0 f′3＝27a＋6b＋c＝0
，
解得 a＝－1，b＝6，c＝－9， ∴f(x)＝－x3＋6x2－9x. 则 f(x)在 x＝3 处取得极大值 f(3)＝0.
(2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x ＝－3(x2－2mx＋3)， g′(x)＝－6x＋6m＝0，得 x＝m. ①当 2≤m≤3 时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9； ②当 m<2 时，g(x)在[2,3]上是递减的， g(x)max＝g(2)＝12m－21； ③当 m>3 时，g(x)在[2,3]上是递增的， g(x)max＝g(3)＝18m－36.
2 整理，得 2x0－3x0＝0.
3 3 1 ∵x0≠0，∴x0＝ ，此时 y0＝－ ，k＝－ . 2 8 4
3 3 1 ∴直线 l 的方程为 y＝－4x，切点坐标为2，－8.
【优化方案】2012高中数学第3章3.2知能优化训练苏教版选修1-2
解析： (1 ＋z) · z ＝ (2 ＋ i)(1 － i) ＝ 3－i.
答案： 3－ i
1＋ 2i 6．设 a， b 为实数，若复数 a＋ bi ＝ 1＋ i ，则 a＝ ________，b＝ ________.
1＋ 2i 解析：由 a＋ bi ＝ 1 ＋ i ，可得
1 ＋ 2i ＝ ( a － b) ＋ ( a＋ b)i ，由对应项相等可以得到
12．设 z∈ C，求满足 z2＝ z 的复数 z.
为虚数单位 ) ，复数 z2
解：设 z＝ x＋ yi( x，y∈ R) ， 则 z2＝( x＋ yi) 2＝ x2－ y2＋ 2xyi.
又 z ＝ x－ yi ，所以 x2－y2＋ 2xyi ＝x－ yi.
由复数相等的条件得
x2－ y2＝ x， 2xy ＝－ y，
答案： ( － 3,4)
3．(2011 年高考江苏卷 ) 设复数 z 满足 i( z＋ 1) ＝－ 3＋ 2i(i 是虚数单位 ) ，则 z 的实部是
________．
解析：设 z＝ a＋ bi( a， b∈ R) ，由 i( z＋1) ＝－ 3＋ 2i ，得－ b＋ ( a＋ 1)i ＝－ 3＋ 2i ，∴ a
＝3＋ (2 ＋ 3－ 2)i ＝3＋ 3i. (3)(6 － 3i) ＋ (3 ＋ 2i) － (3 － 4i) － ( － 2＋i) ＝[6 ＋ 3－ 3－ ( － 2)] ＋ [ － 3＋ 2－ ( － 4) －1]i ＝ 8＋2i. 11． (2011 年高考上海卷 ) 已知复数 z1 满足 ( z1－2)(1 ＋ i) ＝ 1－ i(i 的虚部为 2， z1· z2 是实数，求 z2. 解： ( z1－ 2)(1 ＋ i) ＝ 1－i ? z1＝ 2－ i ， 设 z2＝a＋ 2i ， a∈ R， 则 z1z2＝ (2 － i)( a＋ 2i) ＝(2 a＋ 2) ＋(4 － a)i ， ∵z1z2∈ R，∴ a＝4，∴ z2＝ 4＋ 2i.
高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 新人教A版选修1-1
1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．2．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝li m Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx＝li m Δx →0 11＋Δx ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________.解析：2＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2＋x 0＋Δx －x 20－4x 0Δx＝2x 0＋4，∴x 0＝－1.答案：－14．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的斜率小于1. 证明：∵y ′＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx＝li m Δx →0 x ＋Δx ＋1x ＋Δx －x ＋1x Δx＝x 2－1x ＝1－1x<1， ∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的斜率小于1.一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 解析：选C.k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：选C.曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－2x 2Δx＝li m Δx →0 4x ·Δx ＋Δx 2Δx＝4x .则f ′(2)＝8.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＞0D ．f ′(x 0)不确定解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14) 解析：选D.k ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝li mΔx →0(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4，∴斜率为1. ∴2x ＝1，得x ＝12，故选D. 5．设f (x )为可导函数，且满足li mx →0 f －f －x x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－1C.12D ．－2 解析：选B.∵li mx →0 f －f －x x ＝－1， ∴li m x →0 f －x －f －x＝－1， ∴f ′(1)＝－1.6．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A.y ′＝li m Δx →0 x ＋Δx 2＋a x ＋Δx ＋b －x 2＋ax ＋b Δx＝li m Δx →0 x ＋a Δx ＋Δx 2Δx＝2x ＋a ，因为曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线l 的方程是x －y ＋1＝0，所以切线l 的斜率k ＝1＝y ′|x ＝0，且点(0，b )在切线l 上，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＋a ＝10－b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1. 二、填空题7．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.解析：设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a ＝1，即a ＝3.答案：38．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________.解析：li m Δx →0 a ＋Δx 2－a Δx ＝li m Δx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a＝2.答案：29．已知曲线y ＝3x 2，则过点A (1,3)的曲线的切线方程为________．解析：∵Δy Δx ＝＋Δx 2－3×12Δx＝6＋3Δx ， ∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0(6＋3Δx )＝6. ∴曲线在点A (1,3)处的切线斜率为6.∴所求的切线方程为y －3＝6(x －1)，即6x －y －3＝0.答案：6x －y －3＝0三、解答题10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解：先求曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)的斜率，k ＝y ′|x ＝1＝li m Δx →0 ＋Δx 2－＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝li mΔx →0(3Δx ＋2)＝2. 设过点P (－1,2)且斜率为2的直线为l ，则由点斜式y －2＝2(x ＋1)，化为一般式2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ， 即x 2－x －6＝0，∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝limΔx →0 x ＋Δx 2＋4－x 2＋Δx＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.。
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1．已知f (x )＝x 2
，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 解析：选C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.
2．已知函数f (x )＝1
x
，则f ′(－3)＝( )
A ．4 B.19
C ．－14
D ．－19
解析：选D.∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－1
9
.
3．若y ＝10x
，则y ′|x ＝1＝________.
解析：∵y ′＝10x
ln10，∴y ′|x ＝1＝10ln10. 答案：10ln10
4．求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2
＋x cos x ；(2)y ＝
x
1＋x
；(3)y ＝lg x －e x
.
解：(1)y ′＝6x ＋cos x －x sin x .
(2)y ′＝1＋x －x 1＋x 2＝1
1＋x 2.
(3)y ′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln10－e x
.
一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x
2
B ．(log 2x )′＝
1x ln2
C ．(3x )′＝3x
·log 3e
D ．(x 2
cos x )′＝－2x sin x 解析：选B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x
2，(3x )′＝3x
ln3，
(x 2
cos x )′＝2x cos x －x 2
sin x .
2．曲线y ＝x 3－3x 2
＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5
解析：选B.由y ′＝3x 2
－6x 在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.
3．函数y ＝x 2
x ＋3
的导数是( )
A.x 2＋6x x ＋32
B.x 2＋6x x ＋3
C.－2x x ＋32
D.3x 2
＋6x x ＋32
解析：选A.y ′＝(
x 2
x ＋3
)′
＝x 2′x ＋3－x 2
·x ＋3′x ＋32
＝2x x ＋3－x 2
x ＋32＝x 2＋6x x ＋32.
4．函数y ＝x 3
cos x 的导数是( )
A ．3x 2cos x ＋x 3sin x
B ．3x 2cos x －x 3
sin x
C ．3x 2cos x
D ．－x 3
sin x
解析：选B.y ′＝(x 3
cos x )′
＝3x 2·cos x ＋x 3
(－sin x )
＝3x 2cos x －x 3
sin x ，故选B.
5．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2
＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．0
解析：选B.由题意知f ′(x )＝4ax 3
＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，
故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.
6．若函数f (x )＝12
f ′(－1)x 2
－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：选B.∵f (x )＝12
f ′(－1)x 2
－2x ＋3，
∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.
∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题
7．令f (x )＝x 2·e x
，则f ′(x )等于________．
解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x )′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2
)．
答案：e x (2x ＋x 2
)
8．一物体的运动方程是s (t )＝1
t
，当t ＝3时的瞬时速度为________．
解析：∵s ′(t )＝－1t 2，∴s ′(3)＝－132＝－1
9
.
答案：－1
9
9．设f (x )＝ax 2
－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12
，则a ＝________，b ＝________.
解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， f ′(0)＝－b ＝1得b ＝－1，
f ′(π3)＝23πa ＋12＝1
2，得a ＝0.
答案：0 －1 三、解答题
10．求下列函数的导数： (1)f (x )＝ln(8x )；
(2)f (x )＝(x ＋1)(1
x
－1)．
解：(1)因为f (x )＝ln(8x )＝ln8＋ln x ，
所以f ′(x )＝(ln8)′＋(ln x )′＝1
x
.
(2)因为f (x )＝(x ＋1)(1
x
－1) ＝1－x ＋
1
x
－1＝－x ＋1
x ＝1－x
x
，
所以f ′(x )＝－1·x －1－x ·
1
2x
x
＝－12x
(1＋1x )．
11．设f (x )＝a ·e x
＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e
，求a ，b 的值．
解：由f (x )＝a ·e x
＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ·e x
＋b x
，
根据题意应有⎩
⎪⎨⎪
⎧
f ′1＝a e ＋b ＝e f ′－1＝a e －b ＝1
e ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1
b ＝0
，所以a ，b 的值分别是1,0.
12．已知f ′(x )是一次函数，x 2
f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．
解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．
设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .
把f (x )，f ′(x )代入方程x 2
f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得： x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，
即(a －b )x 2
＋(b －2c )x ＋c －1＝0 要使方程对任意x 恒成立，
则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，
所以f (x )＝2x 2
＋2x ＋1.。