黄冈中学高考数学典型例题4---三个“二次”及关系
高考数学二轮复习 第03课时 三个“二次”及关系
第03课时 三个“二次”及关系【考点点悟】传道解惑，高屋建瓴三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本课时主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.1.二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n .2.当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q ). 若－ab2<p ,则f (p )=m , f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0, 则f (－a b2)=m , f (q )=M ;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M , f (－a b2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .3.二次函数2()f x ax bx c =++,由(0)f c =,(1)f a b c =++,(1)f a b c -=-+可得,11(1)(1)(0)22a f f f =+--、11(1)(1)22b f f =--、(0)c f = .从而有21111()[(1)(1)(0)][(1)(1)](0)2222f x f f f x f f x f =+--+--+ .4.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+ab 2|,当a <0时，f (α)<f (β) ⇔|α+a b 2|>|β+ab2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p ab a b f q a b p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 【小题热身】明确考点，自省反思1. 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.2.已知32()f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上一点(1,(1))P f 的切线方程是31y x =+，如()y f x =在[]2,1-上为增函数，则实数b 的取值范围为 .3.二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.4.若函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上是减函数，则 m 的取值范围是 .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1. 已知32()f x x ax b =-++，若曲线()y f x =在[]0,1x ∈这一段上任一点处切线的斜率都在区间[]0,1上.求实数a 的取值范围.思路透析: 曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为2()32f x x ax '=-+，由题意可知，20321x ax ≤-+≤在区间[]0,1上恒成立.（1）0x =时，a 可取一切实数.（2）(]0,1x ∈时，由2320x ax -+≥恒成立，32a x ∴≥在(]0,1上恒成立. 而32x 在(]0,1上最大值为32 32a ∴≥. 由2321x ax -+≤在(]0,1上恒成立，11(3)2a x x∴≤+在(]0,1上恒成立.由11(3)2x x +≥x =时取“=”）(]0,1x ∴∈时11(3)2x x +的最小值a ∴≤综上所述，所求实数a 的取值范围为32a ≤≤. 点评: 三次函数的导数是二次函数，这样就出现了以三次函数的导数为载体考查二次函数、一元二次方程、及一元二次不等式的所谓“三个二次”问题 ,这些问题，灵活性大，综合性强.例 2.已知函数2()2,()1f x x a g x x =-=+，()()()H x f x g x =⋅． 设方程2310x ax -+=的两实根为,()αβαβ<，且函数()H x 在区间[,]αβ上的最大值比最小值大8，求a 的值．思路透析:由232()(2)(1)22H x x a x x ax x a=-+=-+-得2()2(31)H x x ax '=-+，即 ,αβ是方程()H x '0=的两实根，故当(,)x αβ∈时，有()0H x '<，从而()H x 在[,]αβ上是减函数， 故maxmin()(),()()H x H H x H αβ==，由题意，()()8H H αβ-=，由韦达定理得，1,33a αβαβ+==， 而()()H H αβ-=2()[2()2()2]a αβαβαβαβ-+--++2232[2()2]333a a =--+==8，解得a =±点评：本题的关键是利用二次方程的根与二次不等式的关系，得出函数()H x 为减函数，再利用韦达定理，从而使问题求解．例 3. 已知函数()32,[1,g x a x b x =+∈-单调递增，有最大值2，函数32()f x ax bx cx d =+++（[1,1]x ∈-）图象的任一切线都不会与双曲线221y x -=的两支都相交，且()f x ． （1）求证|()|2g x ≤； （2）求()f x ．思路透析: （1）函数()32,[1,1]g x ax b x =+∈-单调递增，有最大值2，故322(0)a b a +=> 又32()f x ax bx cx d =+++的任一切线都不会与双曲线221y x -=的两支都相交，|()|1f x '≤，|(1)||32|1,|(0)|||1f a b c f c ''-=-+≤=≤．故|(1)||32||32|g a b a b c c -=-+=-+-|32|||2a b c c ≤-++≤，故|()|2g x ≤．（2）|(1)||32||2|1f a b c c '=++=+≤，31c -≤≤-，又11c -≤≤，故1c =-，而()f x '为二次函数，故()f x '的最小值为1-，得0b =，从而23a =，由2()210f x x '=-=得，2x =-时取最大值3，即(03f -=，解得0d =，因此32()3f x x x =-． 点评:熟练利用二次函数、方程的有关知识来解决三次问题应是理所当然之事．例4. 若2()f x ax bx c =++,a 、b 、c 为实数,在区间[0,1]上恒有|()|f x ≤1 .(1)对所有这样的()f x ,求||||||a b c ++的最大值;(2)试给出一个这样的()f x ,使||||||a b c ++确实取到上述最大值.思路透析: (1)由题意得|(1)|||f a b c =++≤1,1|()|||242a bf c =++≤1, |(0)|||f c =≤1 .于是 |||(1)(0)|a b f f +=-≤|(1)||(0)|f f +≤2 ,1|||3()58()||3(1)5(0)8()|422a b a b a b c c c f f f -=+++-++=+-≤3+5+8=16 .∴当ab ≥0时, ||||||||||a b c a b c ++=++≤2+1=3 ; 当ab <0时,∴max (||||||)17a b c ++= .(2)当8,8,1a b c ==-=时, 221()8818()12f x x x x =-+=-- ,当[0,1]x ∈时,有221|()||881||8()1|2f x x x x =-+=--≤1成立 ,此时有|||||a b c ++=17 .点评:解决此类问题的关键是抓住(0)f 、(1)f 、(1)f -、1()2f 等这些特殊的函数值,找出它们与二次函数系数的关系,代入后并进行转化,最后利用不等式的放缩法求解.例 5.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.思路透析: (1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］ ∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－a b 2,x 1x 2=ac . |A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a acc a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a c .ac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3).点评:本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力,熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.例6.已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围. 思路透析: (1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)点评:用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点. 本题重点考查方程的根的分布问题,解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.【即时测评】学以致用，小试牛刀 1.函数321()2f x x x bx =-+的图象有与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围为( ) A.112b ≥ B. 112b < C.112b ≤ D. 112b >2. 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞,2] B.[－2,2] C.(－2,2] D.(－∞,－2)3. 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为()A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能4.已知函数()f x 32(6)1x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A ．12a -<< B ．36a -<< C ．3a <-或6a > D ．1a <-或2a >5.已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，则关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围为( ) A. 49≤x ≤425 B. 6≤x ≤12 C. 49≤x ≤6 D. 49≤x ≤12.【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．则实数a 的取值范围为 .2.函数32()(6)2f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围为 .3.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，则a 的取值范围 .4.已知三次函数()(1)()f x x x x a b =-++，若()f x 在(1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围为 .5.如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则m 的取值范围为 .6.已知a ∈R ，二次函数.22)(2a x ax x f --=设不等式()f x >0的解集为A ，又知集合B={x |1<x <3}.若A B ⋂≠∅,则a 的取值范围为 .7.设函数()f x =-cos 2x -4tsin 2x cos 2x +4t 3+t 2-3t+4,x ∈R,将()f x 的最小值记为g(t).则g(t)= .二、解答题: 8. 已知函数3211()(1)(,32f x x b x cx b c =+-+是常数). （1）()f x 在12(,),(,)x x -∞+∞内为增函数，在12(,)x x 内为减函数, 又211x x ->，求证：224b b c >+.（2）在（1）的条件下，如1t x <，比较2t bt c ++与1x 的大小.9.已知函数2()f x ax bx c =++,对任何[1,1x ∈-,都有|()|f x ≤1.设432222()|()()g x acx b a c x a b c x =+++++()|b a c x ac +++,[1,1]x ∈-,求函数()g x 的最大值.10.二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证： (1)pf (1+m m)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.第03课时 三个“二次”及关系参考答案【小题热身】1. (－3,23) 2. 0b ≥ 3. (－2,0) 4. 4[,0)9-【即时测评】1. C2. C3. A4. C5.D【课后作业】一、填空题:1.(03-， 2. 36a a <->或 3. 2731--≤≥a a 或 4. 1a ≥- 5. {m |m ≤1且m ≠0} 6. .276-<>a a 或 7. ⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-+-∈+---∞∈+-+=),1(,454]1,1[,334)1,(,44)(23323t t t t t t t t t t t t g二、解答题:8. 解析:（1）证明：2()(1)f x x b x c '=+-+ 由题意知，12,x x 为()0f x '=的两个不相等的实根，12121,x x b x x c ∴+=-⋅= 224b b c ∴--()()21212121214x x x x x x =-+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦221()1x x =-- 211x x ->221()1x x ∴-> 224b b c ∴-->0 ∴224b b c >+。
黄冈中学高考数学知识点与典型例题
黄冈中学高考知识点与典型例题集合敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好第一部分高考数学知识点重点难点解集合题首先想到Φ=方程无解一，数学思想应用1、数形结合思想在解集合题中的具体应用:数轴法, 文氏图法, 几何图形法数几文2、函数与方程思想在解集合题中具体应用:函数法方程法判别式法构造法3、分类讨论思想 在解集合题中具体应用:列举法 补集法 空集的运用 数学结合4、化归与转化思想 在解集合题中具体应用:列方程 补集法 文氏图法二,集合的含义与表示方法1、一般地，我们把研究对象统称为元素把一些元素组成的总体叫做集合2、集合元素三特性1.确定性；2.互异性；3.无序性3、 a 是集合A 的元素，a ∈A a 不属于集合A 记作 a ∉A 立体几何中体现为 点与直线/ 点与面 的关系元素与集合之间的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.4、非负整数集（自然数集）记作：N 含0正整数集N*或 N+ 不含0整数集Z 有理数集Q 实数集R3、集合表示方法： 列举法 描述法 韦恩图4、列举法：把集合中的元素一一列举出来，用大括号括上。
描述法：将集合中元素的共同特征描述出来，写在大括号内表用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2} {x| x-3>2}集合的分类： 有限集 无限集 空集三、集合间的基本关系“包含”关系—子集B A ⊆有两种可能立体几何中体现为 直线与面关系（a ）A 是B 的一部分（b ）A 与B 是同一集合。
反之: A ⊆/B B ⊇/A （c ）A ∩B=A ⇔B A ⊆⇔C U B ⊆C U A（d ）A ∪B=B ⇔B A ⊆⇔ C U B ⊆C U A（e ）A B ⊆⇔C U A ⊆C U B2．“相等”关系(5≥5，且5≤5⇒5=5)① 任何一个集合是它本身的子集。
黄冈中学最新高考数学题型分析{含黄冈密卷}
黄冈中学内部资料复习目标:1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.重点题型分析: 例1．解关于x 的不等式:)()(232R a x a a a x ∈+<+(黄冈，二模 理科）解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0 （下面按两个根的大小关系分类）（1）当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).（2）当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)（3）当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x 2<0或(x-1)2<0 不等式的解为 x ∈∅.综上，当 0<a<1时，x ∈(a 2, a)当a<0或a>1时，x ∈(a,a 2) 当a=0或a=1时，x ∈∅.评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.例2．解关于x 的不等式 ax 2+2ax+1>0(a ∈R) 解:此题应按a 是否为0来分类.（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a ≠0时分为a>0 与a<0两类①10)1(00440002>⇒⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->⇒⎩⎨⎧>>a a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根aa a a aa a a a a a x )1(12442222,1-±-=-±-=-±-=.则原不等式的解为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . ②101000440002<<⇒⎩⎨⎧<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<>a a a a a a a ∆时， 方程ax 2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-∞，+∞）.③ 11000440002=⇒⎩⎨⎧==>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->⇒⎩⎨⎧=>a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-∞,-1)∪(-1,+∞).④01000440002<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根，aa a a a a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:))1(1,)1(1(aa a a a a ----+-. ⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1000440002∆综上:当0≤a<1时，解集为（-∞，+∞）.当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞aa a a a a . 当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞). 当a<0时，解集为))1(1,)1(1(aa a a a a ----+-.例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(黄冈，二模 理科）解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1]. (2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a .当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在.② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x ax ，当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120a a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上:a=0时，x ∈(-∞,-1).a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a.-2<a<0时，x ∈]1,2[-a .a<-2时，x ∈]2,1[a-.a=-2时，x ∈{x|x=-1}.评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 10:能不分则不分； 20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.例4．已知函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，求实数a 的取值. 解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.6243)2(sin 22++---=a a a x 令sinx=t, t ∈[-1,1]. 则6243)2()(22++---=a a a t t f (t ∈[-1,1]). (1)当12>a即a>2时，t=1，2533max =++-=a a y 解方程得:22132213-=+=a a 或（舍）. (2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,262432max =++-=a a y ,解方程为:34-=a 或a=4（舍）.(3)当12-<a 即a<-2时， t=-1时，y max =-a 2+a+5=2即 a 2-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴ 2131±-=a 全都舍去.综上，当342213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2.例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明:15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .证明:（1）当q=1时，S n =na 1从而0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n（2）当q ≠1时，qq a S n n --=1)1(1， 从而.0)1()1()1)(1(2122121221212<-=-----=-⋅++++nn n n n n n q a q q a q q a S S S由（1）（2）得:212++<⋅n n n S S S .∵ 函数xy 5.0log =为单调递减函数.∴15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S .例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---b y a x ，一条渐近线的斜率为2=ab， ∴ b=2.∴ 555222==+==a a a b a c e . （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=ba，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或. 评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.例7．解关于x 的不等式 1512)1(<+--x x a .(黄冈2010，二模 理科）解:原不等式 012)1(55<⇔+--x x a0)]2()1)[(2(022)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a⎪⎩⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a ax x a a a x x a x a 或或 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞). 由(2)a<1时，012>--aa，下面分为三种情况. ①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a aa a 即a<1时，解为)12,2(a a --. ②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a a a a 时，解为∅. ③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121aa a ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(a a --. 由（3）a>1时，aa--12的符号不确定，也分为3种情况.①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->012121a a a a a ⇒ a 不存在. ② ⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a aa a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ a a . 综上:a=1时，x ∈(2,+∞). a<1时，x ∈)12,2(aa-- a=0时，x ∈∅.0<a<1时，x ∈)2,12(a a-- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ aa.评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 10:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 30:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记.课后练习:1．解不等式2)385(log 2>+-x x x2．解不等式1|)3(log ||log |3121≤-+x x3．已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M.（1）当a=4时，求集合M:（2）若3∈M ，求实数a 的取值范围.4．在x0y 平面上给定曲线y 2=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.参考答案:1. ），（），（∞+2353212.]4943[，3. (1) M 为），（），（2452 ∞- (2)),9()35,(+∞-∞∈ a4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1||112)(a a a a a f d .2高三数学函数重点题型分析复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。
高考数学(文)二轮复习专题三 不等式 第2讲 三个二次关系与恒成立问题、存在性问题 Word版含答案
第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题【课前热身】第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题(本讲对应学生用书第21~22页)1.(必修5 P69练习3改编)不等式x2+x-2<0的解集为.【答案】(-2，1)【解析】方程x2+x-2=0的根为x1=-2，x2=1，故不等式x2+x-2<0的解集为(-2，1).2.(必修5 P73习题6改编)已知不等式ax2+bx-1<0的解集为{x|x<3或x>4}，则a=，b=.【答案】-112712【解析】由题意知3和4是方程ax2+bx-1=0的两根，所以a(x-3)(x-4)=0，所以a=-1 12，b=7 12.3.(必修5 P94习题11改编)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a 的取值范围是.【答案】(0，8)【解析】因为x2-ax+2a>0在R上恒成立，所以Δ=a2-4×2a<0，所以0<a<8.4.(必修5 P71练习5改编)在R上定义运算：x*y=x(1-y)，若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】13 -22⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】依题意知x-a-x2+a2<1恒成立，即21-2x⎛⎫⎪⎝⎭+23-4a a⎛⎫+⎪⎝⎭>0恒成立，于是a2-a-34<0恒成立，解得-12<a<32.5.(必修1 P32习题7改编)若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0，2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是.【答案】{m|0≤m≤4}【解析】由函数的对称轴为x=2，且在[0，2]上为增函数，知a<0，根据函数图象可得实数m的取值范围是{m|0≤m≤4}.【课堂导学】含参一元二次不等式的解法例1解关于x的一元二次不等式(x-2)(ax-2)>0.【解答】当a=0时，原不等式可化为x-2<0，所以x<2.当a≠0时，原不等式化为a(x-2)x-2a>0，①当a>1时，2a<2，原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以x<2a或x>2.②当a=1时，2a=2，原不等式化为(x-2)2>0，所以x∈R且x≠2.③当0<a<1时，2a>2，原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭>0，则x<2或x>2a.④当a<0时，2a<2，原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭<0，所以2a<x<2.综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}；当a>1时，原不等式的解集为2|2x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a=1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}；当0<a<1时，原不等式的解集为22x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a<0时，原不等式的解集为22x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.变式解关于x的一元二次不等式ax2+(a-1)x-1>0. 【解答】由ax2+(a-1)x-1>0，得(ax-1)(x+1)>0.当a>0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)>0⇔x<-1或x>1a；当-1<a<0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)<0⇔1a<x<-1；当a=-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔-(x+1)2>0⇔(x+1)2<0⇔x∈∅；当a<-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)<0⇔-1<x<1a.综上所述，当a>0时，不等式的解集为1|-1x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当-1<a<0时，不等式的解集为1|-1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a=-1时，不等式的解集为∅；当a<-1时，不等式的解集为1|-1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.三个二次之间的关系例2 (2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|，a ∈R ，g (x )=x 2-1. (1)当a=1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式. 【解答】(1)由f (x )≥g (x )，当a=1时，即解不等式x|x-1|≥x 2-1. 当x ≥1时，不等式为x 2-x ≥x 2-1，解得x ≤1，所以x=1；当x<1时，不等式为x-x 2≥x 2-1，解得-12≤x ≤1， 所以-12≤x<1.综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为1-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. (2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )=x 2-ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )=f (2)=4-2a.当0<a<2时，f (x )=22-0-2x ax x a x ax a x ⎧+≤<⎨≤≤⎩，，，，则f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在区间2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )=max (2)2a f f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，，而f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ，f (2)=4-2a ，令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<f (2)，即24a <4-2a ，解得-4-42<a<-4+42，所以当0<a<2-4时，F (a )=4-2a ；令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥f (2)，即24a ≥4-2a ， 解得a ≤-4-42或a ≥-4+2，所以当42-4≤a<2时，F (a )=24a . 当a ≥2时，f (x )=-x 2+ax ，当1≤2a <2，即2≤a<4时，f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则F (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ；当2a≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，则F (a )=f (2)=2a-4；综上，F (a )=24-242-442-4442-4 4.a a aa a a ⎧<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，，，，，变式 (2016·苏锡常镇一调)已知函数f (x )=2x-1+a ，g (x )=bf (1-x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞，-2]∪1-4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 【解析】因为g (x )=b (2-x +a )，所以f (x )≥g (x )，即2x-1+a ≥2xb+ab ，即(2x )2-2a (b-1)2x -2b ≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x 的方程(2x )2-2a (b-1)2x -2b=0的2x 的值分别为4，-2b .因为2x 取正值，要想2x 最小为4，所以-2b≤0，即b ≥0.又因为4-2b =2a (b-1)，所以b=4(2)41a a ++≥0，解得a ≤-2或a>-14.恒成立问题与存在性问题例3已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若对于任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于任意的x∈[-1，1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，求实数x的取值范围. 【点拨】恒成立问题中注意变更主元法的运用.【解答】(1)若对于任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，需满足Δ=4a2-4(-a+2)≤0，解得-2≤a≤1.故实数a的取值范围是[-2，1].(2)由题知对称轴方程为x=-a，当-a<-1，即a>1时，f(x)min=f(-1)=3-3a≥0，解得a≤1，与已知矛盾，舍去；当-a>1，即a<-1时f(x)min=f(1)=3+a≥0，解得-3≤a<-1；当-1≤a≤1时，f(x)min=f(-a)=-a2-a+2≥0，解得-1≤a≤1.综上，实数a的取值范围是[-3，1].(3)对于任意的a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，等价于g(a)=(2x-1)a+x2+2>0，所以222-120-2120x xx x⎧++>⎨++>⎩，，解得x≠-1，所以x的取值范围是{x|x ≠-1}.变式(2016·盐城中学)已知函数f(x)=22x x ax++，x∈[1，+∞).(1)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意的a∈[-1，1]，f(x)>4恒成立，求实数x的取值范围.【解答】(1)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，即22 x xax++>0，x∈[1，+∞)恒成立，亦即x2+2x+a>0，x∈[1，+∞)恒成立，即a>-x2-2x，x∈[1，+∞)恒成立，即a>(-x2-2x)max，x∈[1，+∞)，而(-x2-2x)max=-3，x∈[1，+∞)，所以a>-3.所以实数a的取值范围为{a|a>-3}.(2)因为a∈[-1，1]时，f(x)>4恒成立，即22x x ax++>4，x∈[1，+∞)恒成立，所以x2-2x+a>0对a∈[-1，1]恒成立，把g(a)=a+x2-2x看成a的一次函数，则使g(a)>0对a∈[-1，1]恒成立的条件是(1)0(-1)0gg>⎧⎨>⎩，，即22-210-2-10x xx x⎧+>⎨>⎩，，解得x<1-2或x>2+1.又x≥1，所以x>2+1，故所求x的取值范围是(2+1，+∞).【课堂评价】1.(2016·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，则A∩B=. 【答案】332⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】因为集合A=(1，3)，B=32∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，所以A ∩B=332⎛⎫ ⎪⎝⎭，.2.(2016·启东调研测试)已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递增，且f (3)=0，则不等式f (x 2-2x )<0的解集为 . 【答案】(-1，3)【解析】根据偶函数的性质，可得-3<x 2-2x<3，解得-1<x<3，从而不等式的解集为(-1，3).3.(2016·扬州中学)已知函数f (x )=13x 3+2x ，对任意的t ∈[-3，3]，f (tx-2)+f (x )<0恒成立，则实数x 的取值范围是 .【答案】51--33⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】易知函数f (x )=13x 3+2x 是R 上的奇函数且单调递增，f (tx-2)+f (x )<0化为f (tx-2)<f (-x )，即tx-2<-x ，问题变为g (t )=(x+1)t-2<0在t ∈[-3，3]上恒成立，故有(-3)0(3)0g g <⎧⎨<⎩，，解得-53<x<-13.4.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知对满足x+y+4=2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2+2xy+y 2-ax-ay+1≥0，则实数a 的取值范围是 .【答案】17-4∞⎛⎤⎥⎝⎦， 【解析】对于正实数x ，y ，由x+y+4=2xy ，得x+y+4=2xy ≤2()2x y +，解得x+y ≥4.不等式x 2+2xy+y 2-ax-ay+1≥0可化为(x+y )2-a (x+y )+1≥0，令t=x+y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2-at+1≥0，即a ≤t+1t 对于任意的t ≥4恒成立，令u (t )=t+1t (t ≥4)，则u'(t )=1-21t =22-1t t >0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )=t+1t (t ≥4)为单调增函数，所以u (t )min =u (4)=4+14=174，于是a ≤174.5.(2015·宿迁一模)已知函数f (x )=x 2-2ax+a 2-1，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞，-2]【解析】因为f (x )=[x-(a+1)][x-(a-1)]，所以f (f (x ))<0等价于[f (x )-(a+1)][f (x )-(a-1)]<0，从而a-1<f (x )<a+1，要使f (f (x ))<0的解集为空集，根据函数的图象，则需y=a+1与y=f (x )至多有一个交点.又因为f (x )=(x-a )2-1≥-1，所以a+1≤-1，解得a ≤-2.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第11~12页.【检测与评估】第2讲 三个二次关系与恒成立问题、存在性问题一、 填空题1.若关于x 的不等式ax 2+2x+a>0的解集为R ，则实数a 的取值范围是 .2.(2016·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x+y=2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为.3.(2016·南师附中)若当x>-3时，不等式a≤x+23x 恒成立，则实数a的取值范围是.4.若对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，则实数a的取值范围是.5.(2016·常州中学)当x∈(-∞，-1]时，不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立，则实数m的取值范围是.6.(2016·启东中学)已知f(x)=x2+2x+a ln x，若f(x)在区间(0，1]上恒为单调函数，则实数a的取值范围为.7.(2016·江苏信息卷)若对任意实数x>1，y>12，不等式p≤22-1xy+24-1yx恒成立，则实数p的最大值为.8.(2016·苏大考前卷)已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意x∈(0，+∞)恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值集合为.二、解答题9.(2016·江苏怀仁中学)设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0).(1)若不等式f(x)>0的解集为(-1，3)，求a，b的值；(2)若f(1)=2，a>0，b>0，求1a+4b的最小值.10.(2016·泰州中学)已知函数f(x)=ax2+2x+c(a，c∈N*)满足①f(1)=5；②6<f(2)<11.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若对任意的x∈[1，2]，都有f(x)-2mx≥0恒成立，求实数m的取值范围.11.(2015·浙江卷)设函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R).(1)当b=24a+1时，求函数f(x)在区间[-1，1]上的最小值g(a)的表达式；(2)已知函数f(x)在区间[-1，1]上存在零点，且0≤b-2a≤1，求实数b的取值范围.【检测与评估答案】第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题一、填空题1. (1，+∞)【解析】当a=0时，易知条件不成立；当a≠0时，要使不等式ax2+2x+a>0的解集为R，必须满足24-40aa>⎧⎨∆=<⎩，，解得a>1.2.1【解析】因为正实数x，y满足x+y=2，所以xy≤2()4x y+=224=1，所以1xy≥1.又1xy≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.3. (-∞，-3]【解析】设f(x)=x+23x+=(x+3)+23x+-3，因为x>-3，所以x+3>0，故f(x)≥23=2-3，当且仅当-3时等号成立，所以a的取值范围是(-∞，-3].4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，所以(-1)1--30(1)1-30f a af a a=<⎧⎨=+<⎩，，解得a>12.5.(-1，2)【解析】原不等式变形为m2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭，因为函数y=12x⎛⎫⎪⎝⎭在(-∞，-1]上是减函数，所以12x⎛⎫⎪⎝⎭≥-112⎛⎫⎪⎝⎭=2.当x∈(-∞，-1]时，m2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭恒成立等价于m2-m<2，解得-1<m<2.6. (-∞，-4]∪[0，+∞)【解析】由题意知f'(x)=2x+2+ax=222x x ax++，因为f(x)在区间(0，1]上恒为单调函数，所以f'(x)在区间(0，1]上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在区间(0，1]上恒成立，即a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)，而函数y=-2x2-2x在区间(0，1]上的值域为[-4，0)，所以a≥0或a≤-4.7. 8【解析】令a=2y-1，b=x-1，则22-1xy+24-1yx=2(1)ba++2(1)ab+，问题转化为求2(1)ba++2(1)ab+的最小值.又2(1)b a ++2(1)a b +≥2×ab =2×ab =2ab ab ab ⎛++ ⎪⎭≥2×(2+2)=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时取等号.8. {8，-2} 【解析】当b ≤0时，由(ax+3)(x 2-b )≤0得ax+3≤0在x ∈(0，+∞)上恒成立，则a<0，且a ·0+3≤0，矛盾，故b>0.当b>0时，由(ax+3)(x 2-b )≤0可设f (x )=ax+3，g (x )=x 2-b ，又g (x )的大致图象如图所示，那么由题意可知03-a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩，，再由a ，b 是整数得到-19a b =⎧⎨=⎩，或-31a b =⎧⎨=⎩，，因此a+b=8或-2.(第8题)二、 解答题9. (1) 由题意得(-1)0(3)0f f =⎧⎨=⎩，，即-5093-30a b a b +=⎧⎨+=⎩，， 解得-14.a b =⎧⎨=⎩，(2) 因为f (1)=2，所以a+b=1，所以1a +4b =(a+b )14a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5+b a +4a b ≥9，当且仅当b=2a=12时取等号.10. (1) 由题知5=a+c+2，即c=3-a.又6<4a+c+4<11，所以-13<a<43.又a∈N*，所以a=1，c=2. 所以f(x)=x2+2x+2.(2) 由已知得2(m-1)≤x+2x在x∈[1，2]上恒成立.因为当x∈[1，2]时，x+2x∈3⎡⎤⎣⎦，所以2(m-1)≤2，即m+1，所以实数m的取值范围为(-∞+1].11. (1) 当b=24a+1时，函数f(x)=22ax⎛⎫+⎪⎝⎭+1，故其图象的对称轴为直线x=-2a.当a≤-2时，g(a)=f(1)=24a+a+2；当-2<a≤2时，g(a)=f-2a⎛⎫⎪⎝⎭=1；当a>2时，g(a)=f(-1)=24a-a+2.综上，g(a)=222-2 41-22-2 2.4aa aaaa a⎧++≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，，，，，(2) 设s，t为方程f(x)=0的解，且-1≤t≤1，则-.s t a st b+=⎧⎨=⎩，因为0≤b-2a≤1，所以-22tt+≤s≤1-22tt+(-1≤t≤1).当0≤t≤1时，2-22tt+≤st≤2-22t tt+，由于-23≤2-22tt+≤0和-13≤2-22t tt+≤9-4，所以-23≤b≤9-.当-1≤t<0时，2-22t tt+≤st≤2-22tt+，由于-2≤2-22tt+<0和-3≤2-22t tt+<0，所以-3≤b<0.故b的取值范围是-3⎡⎣，.。
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析集合与逻辑考点透析
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析5：集合与逻辑考点透析1．（北京卷）设集合A ={}213x x +＜，B ={}23＜＜x x -，则A ⋂B 等于（ ）(A){}13＜＜x x - (B) {}21＜＜x x (C)｛x|x ?－3｝(D) ｛x|x ?1｝解：集合A ={}312＜+x x ＝｛x|x ?1｝，借助数轴易得选A2．（福建卷）已知全集U =R,且A=｛x ︱︱x －1︱>2｝,B =｛x ︱x 2－6x +8<0｝，则(UA )∩B 等于（ ）A.[－1,4]B. (2,3)C. (2,3)D.(－1,4)解：全集,U R =且{}|12{|1或3},A x x x x x =->=<->{}2|680{|24},B x x x x x =-+<=<< ∴(UA )∩B =(2,3]，选C.3．（山东文1）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）1 4．（湖北卷）集合P ＝｛x 」x 2－16<0｝,Q ＝｛x 」x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P Q ＝A.｛-2,2｝B.｛－2，2，－4，4｝C.｛2，0，2｝D.｛－2，2，0，－4，4｝解：P ＝｛x |x 2－16<0｝＝｛x |－4?x ?4｝，故P Q ＝｛－2，0，2｝，故选C 5．（全国卷I ）设集合{}20Mx x x =-<，{}2N x x =<，则A ．M N =∅B ．M N M =C ．M N M =D ．M N R =解：{}20Mx x x =-<={|01}x x <<，{}2N x x =<={|22}x x -<<，∴M N M =，选B.6．（全国II ）已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（A ）∅ （B ）｛x |0＜x ＜3｝ （C ）｛x |1＜x ＜3｝ （D ）｛x |2＜x ＜3｝ 解析:{}{}2log 12Nx x x x =>=>,用数轴表示可得答案D【点评】考察知识点有对数函数的单调性,集合的交集7．（辽宁卷）设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是(A)1 (B)3 (C)4 (D)8【解析】{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。
高考数学二轮复习分层特训卷热点问题专练三个“二次”的关系文
热点(一) 三个“二次”的关系1．(二次函数单调区间)函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )A ．b ≥0 B．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0 答案：A解析：∵函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x ＝－b 2在区间(0，＋∞)的左边，即－b2≤0，解得b ≥0，故选A.2．(二次函数最值)设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为0，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1 答案：A解析：因为函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，所以函数图象的对称轴为直线x ＝1， 因为1不一定在区间[－2，a ]内， 所以应进行讨论．当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ，所以a 2－2a ＝0，所以a ＝0或a ＝2(舍去)；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在(1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1，不合题意．故选A.3．(二次函数图象切线)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则f (x )的图象在x ＝2处的切线的斜率等于( )A ．6B ．－2C ．－6D ．－8 答案：B解析：当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x 2－ax ＝－f (x )＝－(x 2＋2x )＝－x 2－2x ，故a ＝2.当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ，f ′(x )＝－2x ＋2，∴k ＝f ′(2)＝－2.故选B. 4．(单调性与一元二次不等式)函数y ＝lg(x 2＋x －2)的单调递增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(1，＋∞)答案：D解析：由x 2＋x －2>0可得x <－2或x >1.∵u ＝x 2＋x －2在(1，＋∞)上单调递增，y ＝lg u 是增函数，∴由复合函数同增异减的法则可得，函数y ＝lg(x 2＋x －2)的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D.5．(一元二次方程根与系数的关系)若a 、b 是方程x 2＋(m －5)x ＋7＝0的两个根，则(a 2＋ma ＋7)(b 2＋mb ＋7)＝( )A ．365B ．245C ．210D ．175 答案：D解析：因为a 、b 是方程x 2＋(m －5)x ＋7＝0的两个根，所以a ＋b ＝5－m ，ab ＝7， 所以(a 2＋ma ＋7)(b 2＋mb ＋7)＝(a 2＋ma ＋ab )(b 2＋mb ＋ab )＝ab (a ＋b ＋m )2＝7×52＝175，故选D.6．(二次函数单调性)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间[5,20]上是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[160，＋∞)B ．(－∞，40]C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．(－∞，40)∪(160，＋∞) 答案：C解析：二次函数f (x )图象的对称轴是直线x ＝k 8，故只需k 8≤5或k8≥20，即k ≤40或k ≥160.故实数k 的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞)，故选C.7．[2019·辽宁庄河高中、沈阳二十中联考](一元二次不等式)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1} 答案：A解析：∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a，(－1)×2＝2a，解得a ＝－1，b ＝1，则不等式2x 2＋bx ＋a >0可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12.故选A.8．(二次函数＋二次不等式)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x >2或x <－2}C ．{x |0<x <4}D ．{x |x >4或x <0} 答案：D解析：因为函数f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数，所以b －2a ＝0，故f (x )＝ax 2－4a ＝a (x －2)(x ＋2)，因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.根据二次函数的性质可知，f (2－x )>0的解集为{x |2－x >2或2－x <－2}＝{x |x <0或x >4}，故选D.9．(二次函数)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝( ) A ．2 B ．0C ．0或－1D ．2或－1 答案：D解析：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2，故选D.10．(二次函数)已知函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,0] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0 C ．[2,4] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ 答案：A解析：因为函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，所以方程a －x 2＝－(x ＋2)，即a ＝x 2－x －2在区间[1,2]上有解．令h (x )＝x 2－x －2,1≤x ≤2，由于h (x )＝x 2－x －2的图象开口向上且以直线x ＝12为对称轴，故当x ＝1时，h (x )取得最小值，为－2，当x ＝2时，h (x )取得最大值，为0，故a ∈[－2,0]，故选A.11．[2019·河南平顶山调研](一元二次不等式恒成立问题)若不等式ax 2＋2ax －4<2x 2＋4x 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,2]D ．(－∞，2]答案：C解析：由题意，得不等式ax 2＋2ax －4<2x 2＋4x 可化为(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，当a －2＝0，即a ＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，4(a －2)2＋4×4(a －2)<0，解得－2<a <2.综上所述，实数a 的取值范围为(－2,2]．故选C.12．(二次函数＋存在性)若对任意x ∈R ，函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1与g (x )＝mx 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,4]B ．(0,8)C ．(2,5)D ．(－∞，0) 答案：B解析：当m ＝0时，g (x )＝0，f (x )＝－8x ＋1>0不恒成立，此时不符合条件；当m <0时，g (x )＝mx 在x >0时恒为负，而f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1的图象开口向下，所以对任意x >0显然不恒为正，此时不符合条件；当m >0时，g (x )＝mx 在x >0时恒为正，在x <0时恒为负，所以只需f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1在x ≤0时恒为正即可，若－b 2a ＝4－m 2m ≥0，即0<m ≤4，此时结论显然成立，若－b 2a ＝4－m 2m<0，即m >4，此时只要Δ＝4(4－m )2－8m <0即可，所以4<m <8.综上可知，m 的取值范围为0<m <8，故选B.13．[2019·河南豫北豫南联赛]不等式x 2－3|x |＋2>0的解集是________． 答案：(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)解析：原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2>0，解得|x |<1或|x |>2，所以x ∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．14．(二次函数)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )－c <0的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案：9解析：由题意知f (x )－c ＝(x －m )(x －m －6)， ∴f (x )＝x 2－(2m ＋6)x ＋m (m ＋6)＋c . ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴(2m ＋6)2－4[m (m ＋6)＋c ]＝0，解得c ＝9.15．(二次函数＋参变量范围)已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的值为________．答案：1或－3解析：f (x )＝k (x －1)2－k .(1)当k >0时，二次函数的图象开口向上，∴当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1；(2)当k <0时，二次函数的图象开口向下，∴当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3；(3)当k ＝0时显然不成立． 故k 的取值为1或－3.16．(二次函数)已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋3－a 的两零点均为正实数，则实数a 的取值范围是________．答案：(2,3)解析：设f (x )＝x 2－ax ＋3－a 的两零点为x 1，x 2，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(3－a )>0，x 1＋x 2＝a >0，x 1x 2＝3－a >0，解得2<a <3，即实数a 的取值范围是(2,3)．。
名师讲坛2020版高考数学二轮复习专题三不等式第1讲三个二次的关系练习
第1讲 三个二次的关系A 组 基础达标1.不等式2x ＋1<1的解集是________．2.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．3.若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．4.已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________.5.(2019·福建名校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是________．6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x －1x，x ＞0，那么满足f (a ＋2)<f (a )的实数a 的取值范围是________．7.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么不等式f (x ＋2)<5的解集是________．8.解下列关于x的不等式：ax2－2x＋a<0(a∈R).9.已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n.(1) 若m＝－1，n＝2，求b，c的值；(2) 若b＝c＋1，解不等式f(x)>0.B 组 能力提升1.(2019·常州中学)已知一元二次不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥3，那么f (e x)>0的解集为________．2.(2019·苏州三市、苏北四市二调)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，那么c 2＋5a ＋b的最小值为________．3.(2019·菏泽月考)若关于x 的不等式x ＋ax≤b (a ，b ∈R )的解集为{x |x <0或1≤x ≤2}，则a b的值为________．4.(2019·郑州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若关于x 的不等式(f (x ))2＋af (x )－b 2＜0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是________．5.某厂以x kg/h 的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是50⎝⎛⎭⎪⎫5x －3x＋1元．(1) 要使生产该产品2h 获得的利润不低于1500元，求x 的取值范围；(2) 要使生产480kg 该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．6.已知函数f (x )＝x 2－mx ＋m －1.(1) 当x ∈[2，4]时，f (x )≥－1恒成立，求实数m 的取值范围；(2) 是否存在整数a ，b (其中a ，b 是常数，且a ＜b )，使得关于x 的不等式a ≤f (x )≤b 的解集为{x |a ≤x ≤b }？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．。
专题三 第1讲 三个二次的关系
二轮提优导学案 ·数学
专题三
不等式
举题固法
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专题三
不等式
目标 1 含参不等式的解法 解关于 x 的一元二次不等式(x－2)(ax－2)>0.
【解答】当 a＝0 时，原不等式可化为 x－2<0，所以 x<2.
当 a≠0 时，原不等式化为
2 a(x－2)x－a>0，
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专题三
不等式
已知函数 f(x)＝x|x－a|，a∈R，g(x)＝x2－1. (1) 当 a＝1 时，解不等式 f(x)≥g(x)； 【解答】 由 f(x)≥g(x)，当 a＝1 时，
即解不等式 x|x－1|≥x2－1. 当 x≥1 时，不等式为 x2－x≥x2－1， 解得 x≤1，所以 x＝1；
2 2 2 ①当 a>1 时，a<2，原不等式化为(x－2) x－a >0，所以 x<a或 x>2. 2 ②当 a＝1 时，a＝2，原不等式化为(x－2)2>0，所以 x∈R 且 x≠2. 2 2 2 x－a >0，则 x<2 或 x> . ③当 0<a<1 时，a>2，原不等式化为(x－2)· a 2 2 2 ④当 a<0 时，a<2，原不等式化为(x－2) x－a <0，所以a<x<2.
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专题三
不等式
综上所述，当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x<2}；当 a>1 时，原不等式的解集
2017年9月27日 三个“二次”之间的关系-试题君之每日
9月27日三个“二次”之间的关系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线（1）已知关于x的不等式a(x－1)＞x2－x＋b的解集为{x|2＜x＜3}，则a b+=_______________；（2）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则关于x的不等式cx2＋bx ＋a＜0的解集为_________________．【参考答案】（1）；（2）(－∞，13)∪(12，＋∞)．【试题解析】（1）根据三个“二次”之间的关系可得：2和3是方程a(x－1)＝x2－x＋b的两根，故22(21)22(31)33a ba b⎧-=-+⎪⎨-=-+⎪⎩，即226a ba b-=⎧⎨-=⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故6a b+=．（2）方法1：由ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知ba-＝5，ca＝6，由a＜0易知c＜0，56bc-=，16ac=，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即x2＋bcx＋ac＞0，即x256-x＋16＞0，解得x＜13或x＞12，所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为(－∞，13)∪(12，＋∞)．【名师点睛】一元二次不等式与其相应的函数与方程之间存在着密切的联系，即：（1）一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解；（2）不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系；（3）二次函数的图象能直接反映一元二次不等式解集的情况．三个“二次”之间的关系如下：注：上述表格是解一元二次不等式的一个依据，其中x 1，x 2具有三重身份：（1）相应的一元二次方程的实数根；（2）相应的二次函数的零点；（3）相应的一元二次不等式解集的区间端点．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转化．已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”之间的关系，其解题的一般思路为：①根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号；②由根与系数的关系或直接代入方程，求出参数的值或参数之间的关系．学霸推荐1．设一元二次不等式210ax bx ++>ab 的值为 A ．6- B ．5- C ．D ．2．若关于的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，则A ．00a ∆>⎧⎨>⎩B ．00a ∆>⎧⎨<⎩C ．00a ∆<⎧⎨>⎩D ．00a ∆<⎧⎨<⎩3．关于的不等式220ax bx ++>的解集为(1,2)-，则关于的不等式220bx ax -->的解集为A ．(2,1)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(1,2)-1．【答案】C【解析】由一元二次不等式210ax bx ++>的解集可知方程210ax bx ++=的两根为11,3-32a b =-⎧⎨=-⎩，故6ab =．故选C ．3．【答案】B【解析】220ax bx ++>的解集为(1,2)-，即方程022=++bx ax 的两根为2,121=-=x x ，由根与系数的关系可求得1,1=-=b a ，则方程22=0bx ax --可化为220x x +-=， 解得122,1x x =-=，结合不等式可求得不等式220bx ax -->的解集为(,2)(1,-∞-+∞，故选B ．。
2018届高考数学(理)一轮复习：微专题5 三个二次关系
微专题5 三个二次关系的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具．高考试卷中近一半的试题与三个“二次”问题有关．本微专题主要帮助学生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法．1．二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法：一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ；零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)；顶点式：y ＝a (x －x 0)2＋n . (2)当a ＞0时，f (x )在区间上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0＝12(p ＋q )．若－b2a ＜p ，则f (p )＝m ，f (q )＝M ；若p ≤－b 2a ＜x 0，则f (－b2a )＝m ，f (q )＝M ；若x 0≤－b 2a ＜q ，则f (p )＝M ，f (－b2a )＝m ；若－b2a≥q ，则f (p )＝M ，f (q )＝m .2．二次方程f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝0的实根分布及条件(1)方程f (x )＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )＜0. (2)二次方程f (x )＝0的两根都大于r ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ＞0，－b2a ＞r ，a ·f （r ）＞0.(3)二次方程f (x )＝0在区间(p ，q )内有两根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ＞0，p ＜－b 2a ＜q ，a ·f （q ）＞0，a ·f （p ）＞0.(4)二次方程f (x )＝0在区间(p ，q )内只有一根⇔f (p )·f (q )＜0或f (p )＝0(待检验)或f (q )＝0(待检验)．(5)方程f (x )＝0两根的一根大于p ，另一根小于q (p ＜q )⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ·f （p ）＜0a ·f （q ）＞0. 3．二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是 (－∞，α]∪)⇔a ＜0且f (α)＝f (β)＝0.(2)当a ＞0时，f (α)＜f (β)⇔⎪⎪⎪⎪α＋b 2a ＜⎪⎪⎪⎪β＋b 2a ，当a ＜0时，f (α)＜f (β)⇔⎪⎪⎪⎪α＋b2a ＞⎪⎪⎪⎪β＋b 2a .(3)当a ＞0时，二次不等式f (x )＞0在恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＜p ，f （p ）＞0，或⎩⎨⎧p ≤－b2a ＜q ，f （－b 2a ）＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ≥p ，f （q ）≥0.(4)f (x )＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＞0；f (x )＜0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c ＜0.求关于x 的方程xa ＋2＝||a －1＋2的根的取值范围．2a＞b＞c，a＋b＋c＝0，(a，b，c∈R)．(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围．2(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围．1.________．2．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则f(m－1)的值与0作比较，结果为________．3．已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，若在区间内至少存在一个实数c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．4．二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若f(1－2x2)＜f(1＋2x－x2)，则x的取值范围是________．5．已知实数t满足关系式log a ta3＝log t ya3(a＞0且a≠1)．(1)令t＝a x，求y＝f(x)的表达式；(2)若x∈(0，2]时，y有最小值8，求a和x的值．6.如果二次函数y＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围．7．二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r 中实数p 、q 、r 满足p m ＋2＋q m ＋1＋rm ＝0，其中m ＞0.求证：(1)pf (mm ＋1)＜0；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内恒有解．8．一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x 元．(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？。
【状元之路】2021高考数学二轮温习 疯狂时刻 不等式的解法与“三个二次关系”(1)
2021数学高考疯狂时刻引领状元之路：不等式的解法与“三个二次关系”一、 填空题1.不等式x2+x-2<0的解集为 .2.已知集合A={x|x2-2x≤0},B={}|x x a ≥,若A ∪B=B,那么实数a 的取值范围是 .3.不等式x<1x <x2的解集为 .4.假设关于x 的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a= .5.已知f(x)是概念在R 上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 .6. 已知函数f(x)=23-4x-10,x 2,log (x-1)-6,x 2,x ⎧+≤⎨>⎩若f(6-a2)>f(5a),那么实数a 的取值范围是 .7. 关于问题“已知关于x 的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),求解关于x 的不等式ax2-bx+c>0”,现给出如下一种方式:解:由ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-2,1),即关于x 的不等式ax2-bx+c>0的解集为(-2,1).参考上述方式,假设关于x 的不等式k x a ++x b x c ++<0的解集为1-1,-3⎛⎫ ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,那么关于x 的不等式1kx ax ++11bx cx ++<0的解集为 .8. 已知函数f(x)=2(1),x -1,2(1),-11,1-1,x 1,x x x x ⎧⎪+≤⎪+<<⎨⎪⎪≥⎩若f(a)>1,那么实数a 的取值范围是 .二、 解答题9. 假设不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x ∈R 恒成立,试确信实数a 的取值范围.10. 某校心理学研究小组在对学生上课注意力集中情形的调查研究中,发觉其注意力指数p 与听课时刻t 之间的关系知足如下图的曲线.当t ∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部份;当t ∈[14,40]时,曲线是函数y=loga(x-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部份.依照专家研究,当注意力指数p≥80时,听课成效最正确.(1) 试求p=f(t)的函数关系式;(2) 教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生听课成效最正确?请说明理由.(第10题)11.概念函数φ(x)=1,0,-1,0,xx≥⎧⎨<⎩f(x)=x2-2x(x2-a)φ(x2-a).(1) 解关于a的不等式f(1)≤f(0);(2) 已知函数f(x)在x∈[0,1]的最小值为f(1),求正实数a的取值范围.不等式的解法与“三个二次关系”1. (-2,1)2. (-∞,0]3. (-∞,-1)4. 525. (-5,0)∪(5,+∞)6. {a|-6<a<1}7. (-3,-1)∪(1,2)8. (-∞,-2)∪1-,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9. 当a=2时,原不等式变形为-4<0,恒成立,即a=2知足条件;当a ≠2时,要使不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x ∈R 恒成立,则2-20,4(-2)44(a-2)0,a a <⎧⎨∆=+⨯<⎩ 化简得2,(2)(-2)0,a a a <⎧⎨+<⎩解得-2<a<2.综上所述,实数a 的取值范围是{a|-2<a ≤2}.10. (1) 当t ∈(0,14]时,设p=f(t)=λ(t-12)2+82,将(14,81)代入,得λ=-14,现在,p=-14(t-12)2+82.当t ∈[14,40]时,将(14,81)代入y=loga(x-5)+83,得a=13.综上p=f(t)=2131-(t-12)82,0t 14,4log (t-5)83,14t 40.⎧+<≤⎪⎨+<≤⎪⎩(2) 当t ∈ (0,14]时,由-14(t-12)2+82≥80,解得≤t ≤,现在t ∈,14].当t ∈(14,40]时,由lo 13g (t-5)+83≥80,解得14<t ≤32,现在t ∈(14,32].综上所得,当p ≥80时,t ∈,32].即在t ∈,32]时段内安排核心内容能使得学生听课成效最正确.11. (1) f(1)≤f(0),即1-2(1-a)φ(1-a)≤0.当a>1时,φ(1-a)=-1,因此1+2(1-a)≤0,解得a ≥32.当a ≤1时,φ(1-a)=1,因此1-2(1-a)≤0,解得a ≤12.综上,a 的解集为{a|≤12或a ≥32}.(2) 由题意,∀x ∈[0,1],f(x)≥f(1)恒成立.1° 当a ≥1时,由f(x)≥f(1),得x2+2x(x2-a)≥3-2a,即2a(x-1)≤2x3+x2-3.①因为x ∈[0,1],①式即2a ≥322-3-1x x x ,即2a ≥2x2+3x+3,上式对一切x ∈[0,1]恒成立,因此2a ≥2+3+3,则a ≥4.2° 当0<a ≤1时,由f(x)≥f(1),得x2-2x(x2-a)φ(x2-a)≥2a-1.(ⅰ) x ≤1时,x2-2x(x2-a)≥2a-1,即2a(x-1)≥2x3-x2-1.②因为x ∈[0,1],②式即2a ≤322--1-1x x x , 即2a ≤2x2+x+1,上式对一切x∈[0,1]恒成立,因此2a≤此式恒成立.(ⅱ) 当0≤,x2+2x(x2-a)≥2a-1,即2a(x+1)≤2x3+x2+1.③因为x∈[0,1],③式即2a≤32211x xx+++,即2a≤2x2-x+1.1)14,即0<a≤116时,2a≤+1,因此a≤1.结合条件得0<a≤1 16.2)14,即116<a≤1时,2a≤1-18,因此a≤716.结合条件得116<a≤716,由1),2)得0<a≤7 16.由1°,2°,得0<a≤716或a≥4,即a的取值范围为7a416a a⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或.。
2020高考文科数学二轮分层特训卷：热点问题专练(一)三个“二次”的关系含解析
A．365 B．245
C．210 D．175
答案：D
解析：因为a、b是方程x2＋(m－5)x＋7＝0的两个根、所以a＋b＝5－m、ab＝7、
所以(a2＋ma＋7)(b2＋mb＋7)＝(a2＋ma＋ab)(b2＋mb＋ab)＝ab(a＋b＋m)2＝7×52＝175、故选D.
答案：A
解析：∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0、＋∞))是单调函数、
∴图象的对称轴x＝－ 在区间(0、＋∞)的左边、即－ ≤0、解得b≥0、故选A.
2．(二次函数最值)设函数y＝x2－2x、x∈[－2、a]、若函数的最小值为0、则a＝( )
A．0函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1、所以函数图象的对称轴为直线x＝1、
故k的取值为1或－3.
16．(二次函数)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋3－a的两零点均为正实数、则实数a的取值范围是________．
答案：(2,3)
解析：设f(x)＝x2－ax＋3－a的两零点为x1、x2、依题意可得
解得2<a<3、
即实数a的取值范围是(2,3)．
4．(单调性与一元二次不等式)函数y＝lg(x2＋x－2)的单调递增区间是( )
A. B.
C．(－∞、－2) D．(1、＋∞)
答案：D
解析：由x2＋x－2>0可得x<－2或x>1.
∵u＝x2＋x－2在(1、＋∞)上单调递增、y＝lgu是增函数、
∴由复合函数同增异减的法则可得、函数y＝lg(x2＋x－2)的单调递增区间是(1、＋∞)、故选D.
答案：9
2020高考文科数学二轮分层特训卷：热点问题专练(一) 三个“二次”的关系
四 热点问题专练热点(一) 三个“二次”的关系1．(二次函数单调区间)函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )A ．b ≥0B ．b ≤0C ．b >0D ．b <0答案：A解析：∵函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x ＝－在区间(0，＋∞)的左边，即b 2－≤0，解得b ≥0，故选A.b 22．(二次函数最值)设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－1答案：A解析：因为函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，所以函数图象的对称轴为直线x ＝1，因为1不一定在区间[－2，a ]内，所以应进行讨论．当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ，所以a 2－2a ＝0，所以a ＝0或a ＝2(舍去)；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在(1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1，不合题意．故选A.3．(二次函数图象切线)已知函数f (x )＝Error!为奇函数，则f (x )的图象在x ＝2处的切线的斜率等于( )A ．6B ．－2C ．－6D ．－8答案：B解析：当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x 2－ax ＝－f (x )＝－(x 2＋2x )＝－x 2－2x ，故a ＝2.当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ，f ′(x )＝－2x ＋2，∴k ＝f ′(2)＝－2.故选B.4．(单调性与一元二次不等式)函数y ＝lg(x 2＋x －2)的单调递增区间是( )A. B.(－∞，－12)(－12，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(1，＋∞)答案：D解析：由x 2＋x －2>0可得x <－2或x >1.∵u ＝x 2＋x －2在(1，＋∞)上单调递增，y ＝lg u 是增函数，∴由复合函数同增异减的法则可得，函数y ＝lg(x 2＋x －2)的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D.5．(一元二次方程根与系数的关系)若a 、b 是方程x 2＋(m －5)x ＋7＝0的两个根，则(a 2＋ma ＋7)(b 2＋mb ＋7)＝( )A ．365B ．245C ．210D ．175答案：D解析：因为a 、b 是方程x 2＋(m －5)x ＋7＝0的两个根，所以a ＋b ＝5－m ，ab ＝7，所以(a 2＋ma ＋7)(b 2＋mb ＋7)＝(a 2＋ma ＋ab )(b 2＋mb ＋ab )＝ab (a ＋b ＋m )2＝7×52＝175，故选D.6．(二次函数单调性)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间[5,20]上是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[160，＋∞)B ．(－∞，40]C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．(－∞，40)∪(160，＋∞)答案：C解析：二次函数f (x )图象的对称轴是直线x ＝，故只需k 8≤5或≥20，即k ≤40或k ≥160.故实数k 的取值范围是k 8k 8(－∞，40]∪[160，＋∞)，故选C.7．[2019·辽宁庄河高中、沈阳二十中联考](一元二次不等式)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.Error!B.Error!C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}答案：A解析：∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a ＝－1，b ＝1，则不等式b a 2a 2x 2＋bx ＋a >0可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >.故选A.128．(二次函数＋二次不等式)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x >2或x <－2}C ．{x |0<x <4}D ．{x |x >4或x <0}答案：D解析：因为函数f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数，所以b －2a ＝0，故f (x )＝ax 2－4a ＝a (x －2)(x ＋2)，因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.根据二次函数的性质可知，f (2－x )>0的解集为{x |2－x >2或2－x <－2}＝{x |x <0或x >4}，故选D.9．(二次函数)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝( )A ．2B ．0C ．0或－1D ．2或－1答案：D解析：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，1±52a ＝－1或a ＝2，故选D.10．(二次函数)已知函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,0] B.[－94，0]C ．[2,4] D.[－94，＋∞)答案：A解析：因为函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，所以方程a －x 2＝－(x ＋2)，即a ＝x 2－x －2在区间[1,2]上有解．令h (x )＝x 2－x －2,1≤x ≤2，由于h (x )＝x 2－x －2的图象开口向上且以直线x ＝为对称轴，故12当x ＝1时，h (x )取得最小值，为－2，当x ＝2时，h (x )取得最大值，为0，故a ∈[－2,0]，故选A.11．[2019·河南平顶山调研](一元二次不等式恒成立问题)若不等式ax 2＋2ax －4<2x 2＋4x 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,2]D ．(－∞，2]答案：C解析：由题意，得不等式ax 2＋2ax －4<2x 2＋4x 可化为(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，当a －2＝0，即a ＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需Error!解得－2<a <2.综上所述，实数a 的取值范围为(－2,2]．故选C.12．(二次函数＋存在性)若对任意x ∈R ，函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1与g (x )＝mx 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,4]B ．(0,8)C ．(2,5)D ．(－∞，0)答案：B解析：当m ＝0时，g (x )＝0，f (x )＝－8x ＋1>0不恒成立，此时不符合条件；当m <0时，g (x )＝mx 在x >0时恒为负，而f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1的图象开口向下，所以对任意x >0显然不恒为正，此时不符合条件；当m >0时，g (x )＝mx 在x >0时恒为正，在x <0时恒为负，所以只需f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1在x ≤0时恒为正即可，若－＝≥0，即0<m ≤4，此时结论b 2a 4－m2m 显然成立，若－＝<0，即m >4，此时只要Δ＝4(4－m )b 2a 4－m2m 2－8m <0即可，所以4<m <8.综上可知，m 的取值范围为0<m <8，故选B.13．[2019·河南豫北豫南联赛]不等式x 2－3|x |＋2>0的解集是________．答案：(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)解析：原不等式可转化为|x |2－3|x |＋2>0，解得|x |<1或|x |>2，所以x ∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．14．(二次函数)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )－c <0的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案：9解析：由题意知f (x )－c ＝(x －m )(x －m －6)，∴f (x )＝x 2－(2m ＋6)x ＋m (m ＋6)＋c .∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴(2m ＋6)2－4[m (m ＋6)＋c ]＝0，解得c ＝9.15．(二次函数＋参变量范围)已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的值为________．答案：1或－3解析：f (x )＝k (x －1)2－k .(1)当k >0时，二次函数的图象开口向上，∴当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1；(2)当k <0时，二次函数的图象开口向下，∴当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3；(3)当k ＝0时显然不成立．故k 的取值为1或－3.16．(二次函数)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋3－a的两零点均为正实数，则实数a的取值范围是________．答案：(2,3)解析：设f(x)＝x2－ax＋3－a的两零点为x1，x2，依题意可得Error!解得2<a<3，即实数a的取值范围是(2,3)．。
2020高考文科数学二轮分层特训卷：热点问题专练(一)三个“二次”的关系含解析
A．2 B．0
C．0或－1 D．2或－1
答案：D
解析：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，其图象的对称轴方程为x＝a.当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝ (舍去)；当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2，故选D.
7．[20xx·辽宁庄河高中、沈阳二十中联考](一元二次不等式)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a>0的解集为( )
A.
B.
C．{x|－2<x<1}
D．{x|x<－2或x>1}
答案：A
解析：∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，∴ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－ ，(－1)×2＝ ，解得a＝－1，b＝1，则不等式2x2＋bx＋a>0可化为2x2＋x－1>0，解得x<－1或x> .故选A.
因为1不一定在区间[－2，a]内，
所以应进行讨论．
当－2<a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a，所以a2－2a＝0，所以a＝0或a＝2(舍去)；
当a>1时，函数在[－2,1]上单调递减，在(1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1，不合题意．故选A.
3-三个二次题型总结及归纳
题型一：不等关系1.设c >1，a =c +1-c ，b =c -c -1，则有()A.a >bB.a <bC.a =bD.a 、b 的关系与c 的值有关2.(多选)已知实数a ，b 满足0<b <a <1，且ab ≠0，则下列不等式一定成立的是()A.2a -2b >0B.a 3>b 3C.b a >a bD.a -b <1b-1a 3.设a >b >0，c ≠0，则()A.ac 2<bc 2B.b a <b +c 2a +c 2C.a 2-1a >b 2-1bD.a 2+1a >b 2+1b4.已知实数x ，y 满足-1≤x +y ≤3，4≤2x -y ≤9，则()A.1≤x ≤4B.-2≤y ≤1C.2≤4x +y ≤15D.13≤x -y ≤233题型二：二次函数综合问题5.已知关于x的一元二次不等式ax 2+bx +c <0的解集为-12，-13，则关于x 的不等式bx 2-cx -a <0的解集为.第三讲：三个二次题型总结及归纳6.(2022•杭州模拟)关于x 的不等式-x 2+6ax -3a 2≥0(a >0)的解集为[x 1，x 2]，则|x 1-x 2|+6a x 1x 2的最小值是()A.4B.26C.2D.2637.已知x 1，x 2是方程x 2-(k -2)x +(k 2+3k +5)=0(k ∈R )的两个实根，则x 21+x 22的最大值为()A.18B.19C.559D.不存在8.关于x 的不等式(ax -1)2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是()A.(-32,-43]∪(43,32] B.(-32,-43]∪[43,32)C.[-32,-43)∪(43,32]D.[-32,-43)∪[43,32)9.关于x 的方程5x 2-(a +9)x +a 2-a -2=0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A.(-3,-1)B.(1-7,-1)∪(3,1+7)C.(-2，-1)∪(2，3)D.(2,6)10.设不等式x 2-2ax -1≤0的解集为M ，若M ⊆[-2，2]，则实数a 的取值范围是()A.[-2，2]B.(-2，2)C.-34，34D.-34，3411.已知方程x 2-2ax +6a +7=0在[2，+∞)上有实数解，则实数a 的取值范围为()A.[7，+∞)B.(-∞，-1)∪[7，+∞)C.(-∞，-7]∪[1，+∞)D.-∞，-112∪[7，+∞)12.若函数f (x )=24ax 2+4x -1在区间(-1,1)内恰有一个零点，则实数a 的取值范围是()A.-18,524B.-18,524 ∪-16C.-18,0 ∪0,524D.-1613.若不等式x 2-3>ax -a 对满足3≤x ≤4的所有x 都成立，则a 的取值范围是.14.若对任意x ∈(0,1),恒有2x 2+(a +1)x -a (a -1)<0，则a 的取值范围是.15.已知函数f (x )=x 2+ax +3．(1)解关于x 的不等式f (x )≥0；(2)当x ∈[-2，2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若对一切a ∈[-3，3]，f (x )≥a 恒成立，求实数x 的取值范围．16.已知二次函数g (x )=ax 2+c (a ,c ∈R )，g (1)=1且不等式g (x )≤x 2-x +1对一切实数x 恒成立．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，设函数h (x )=2g (x )-2，关于x 的不等式h (x -1)+4h (m )≤h xm-4m 2h (x )，在x ∈32，+∞有解，求实数m 的取值范围．巩固强化1.已知函数f(x)=x2-3x+b，不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<t}，b，t∈R．(1)求b和t的值；(2)若x∈[1，4]时，函数y=f(x)的图象恒在y=kx2图象的上方，求实数k的取值范围．2.已知函数f(x)=ax2-2ax-3．(Ⅰ)若a=1，求不等式f(x)≥0的解集；(Ⅱ)已知a>0，且f(x)≥0在[3，+∞)上恒成立，求a的取值范围；。
2020高考数学复习“三个二次”的转化与应用
即 M(a，b)≥2.
当 a≤－2 时 ，由 f( － 1) －f(1) ＝－ 2a≥4， 得 max{ f( － 1) ，－ f(1)} ≥2， 即 M(a，b)≥2. 综上， 当 | a| ≥2 时 ，M( a，b) ≥2. (2) 解 由 M(a， b) ≤2 得|1 ＋ a＋ b| ＝ | f(1)| ≤2， |1 － a＋ b| ＝| f(－ 1)| ≤2， 故| a＋ b| ≤3， | a－b| ≤3.
由于函 数 y＝f(x)－ g(x)恰有 4 个 零点， 所以方程 f( x)－ g( x)＝ 0 恰有 4 个 根.
当 b ＝0 时， 当 x>2 时 ，方程 f(x)－ g(x)＝ 0
可化 为 x2－ 5x＋ 8＝ 0，无解； 当 0≤x≤2 时，方程 f(x)－ g(x)＝ 0 可化 为 2－ x－( － x)＝ 0，无解； 当 x<0 时 ，方程 f(x)－ g(x)＝ 0 可化 为 x2＋ x＋ 2＝ 0，无解 . 所以 b≠0，排除答案 B. 当 b ＝2 时， 当 x>2 时 ，方程 f(x)－ g(x)＝ 0 可化 为( x－ 2) 2＝ x－2，得 x＝ 2( 舍去 ) 或 x＝3，有 1 解； 当 0≤x≤2 时，方程 f(x)－ g(x)＝ 0 可化 为 2－ x＝2－ x，有无 数个 解； 当 x<0 时 ，方程 f(x)－ g(x)＝ 0 可化 为 2－ x2＝ x＋ 2，得 x＝ 0( 舍去 ) 或 x＝－ 1，有 1 解 . 所以 b≠2，排除答案 A. 当 b ＝1 时， 当 x>2 时 ，方程 f(x)－ g(x)＝ 0 可化 为 x2－ 5x＋ 7＝ 0，无解； 当 0≤x≤2 时，方程 f(x)－ g(x)＝ 0 可化 为 1－ x＝2－ x，无解； 当 x<0 时 ，方程 f(x)－ g(x)＝ 0 可化 为 x2＋ x＋ 1＝ 0，无解 . 所以 b≠1，排除答案 C. 因此答案 选 D. 方法二 记 h(x)＝－ f(2 － x)在同一坐 标系中作出 f(x)与 h(x)
高中数学同步导学---(102)三个二次及其关系
第一讲 一元二次方程（一）、一元二次方程的解法：【基础知识】1. 直接开平方法: 方程n m x =+2)(,(n>0)的解是________________.2．配方法：用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的基本思路是：∵a ≠0，方程两边同时除以a 得_______________________，移项得_________________, 配方得（x +___）2=________ 当___________时，原方程的解为 2,1x =_______________ 3．求根公式法：4．因式分解法：如ax 2+bx =0可化为_________________5．十字/交叉相乘法：依据 211221221)(c c x c a c a x a a +++=())(2211c x a c x a ++规律：左左相乘得到二次项；右右相乘得到常数项；交叉相乘之和得到中间项；口诀：斜着乘，横着加，放进括号乐开花。
【典型习题】1．用适当的的方法解下列方程：(1) x 2-2x+1=0 （2） x 2=3x （3）3（x －5）2=x （5－x ）；（4）3x 2－8x +2=0 （5）x 2 —（23+）x +6=02．用十字/交叉相乘法解下列方程（1）x 2 + 3x + 2 =0 （2）x 2 - 9x + 18=0（3）x 2 +7x - 18=0 （4） x 2 - 2x - 15=0（5） 3x 2 - 11x +6=0 （6） 6x 2 -5x -4=0（二）、一元二次方程根的判别式及其应用：【基础知识】△=________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，当_________时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；当_________时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；当_________时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。
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黄冈中学高考数学典型例题详解三个"二次"及关系每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释;积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁?敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围.●案例探究［例1］已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy c bx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+cc 2］ ∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－ab2,x 1x 2=a c .|A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a ac c a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0 ∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=ac ac acf 的对称轴方程是21-=a c .ac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3).［例2］已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m .(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m ff⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)●锦囊妙计1.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n .(2)当a >0, f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q ).若－ab2<p , 则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－a b2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－a b2)=m ;若－ab2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件.(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r abac b(3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立.(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+ab2|,当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+a b 2| > |β+ab 2|;●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞,2]B.[－2,2]C.(－2,2]D.(－∞,－2)2.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( ) A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能二、填空题3.(★★★★★)已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)已知实数t 满足关系式33log log a ya t a a= (a >0且a ≠1)(1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值.6.(★★★★)如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证：(1)pf (1+m m)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案 难点磁场解：由条件知Δ≤0,即(－4a ）2－4(2a +12)≤0,∴－23≤a ≤2(1)当－23≤a ＜1时，原方程化为：x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －21)2+425. ∴a =－23时，x mi n =49,a =21时，x max =425.∴49≤x ≤425. (2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +23)2－41∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12. 综上所述,49≤x ≤12.歼灭难点训练一、1.解析：当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2.答案：C2.解析：∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1),∴m －1＜0,∴f (m －1)>0. 答案：A二、3.解析：只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3, 23).答案：(－3，23）4.解析：由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0. 答案：－2＜x ＜0三、5.解：(1）由log a 33log ay at t =得log a t －3=log t y －3log t a由t =a x 知x =log a t ，代入上式得x －3=xx y a 3log -, ∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 332+-x x(x ≠0).(2)令u =x 2－3x +3=(x －23)2+43(x ≠0),则y =a u ①若0＜a ＜1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值. ②若a >1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16.∴所求a =16,x =23.6.解：∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2）当m >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m ≤1综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}. 7.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m)＜0.(2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1+m m)＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1+m m)内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2)+r =mrm p -+2>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1+m m ,1)内有解.②当p ＜0时同理可证.8.解：(1）设该厂的月获利为y ,依题意得 y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500 由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.65)2+1612.5 (2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－2∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.。