福建省永春一中等2018届高三上学期第一次四校联考数学(理)试题 Word版含答案

永春一中 培元中学季延中学 石光中学组卷学校：永春一中考试时间：120分钟 试卷总分：150分本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1.设集合{}|2A x x =<,集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域,则A B =A. ()1,2B. []1,2C. [)1,2D. (]1,22.已知复数21iz i=+，则z z ⋅= A.2iB.2C.4iD.i3. ()()()()sin 65cos 20cos 65cos 110x x x x ︒--︒+︒-︒-的值为A.12 -4.设,R a b ∈，则“a b >”是“a a b b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5. 2017年金砖五国国家领导人第九次会晤于9月3日-5日在福建厦门举办。

会议采用右图作为会标。

若已知图中正方形的边长为a ，现欲估计图中五个色块的总面积，向正方形内随机撒豆子,若撒在五色块上和正方形内的豆子数分别为,m n ,则五色块总面积的估计值为A.ma nB.na mC.2ma nD.2na m6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ,第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的渐近线方程为2018届高三年毕业班第一次联合考试试卷（数学理科）A.y x =±B.2y x =±C.3y x =±D.4y x =±7. 现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在．．．．一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是A.①③B.①②C.②③D.①②③8.已知0.22a =，2log b =sin7c π=，则 A.a c b >>B.b a c >>C.c a b >>D.a b c >>9.已知函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，将()f x 的图象向右平移6π个单位所得图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，将()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位所得图象关于y 轴对称，则θ的值不可能．．．是 A.4πB.512πC.712π D. 1112π10.在()()6411x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0()2,1()1,2()0,3(f f f fA.45B.60C.120D.21011.已知,,a b e 是同一平面内的三个向量，且1e = ， a b ⊥ ， 2a e ⋅= ， 1b e ⋅= ，当a b -取得最小值时，a 与e夹角的正切值等于A.3 B.12 C.1 D.212.设函数()f x =ln 2xax a x--+,其中01a <<，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是 A.6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.6ln 34ln 2,126++⎛⎫⎪⎝⎭C.4ln 2,16+⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.4ln 20,10+⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。

13. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵．横相间．．．，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则算筹式“”表示的阿拉伯计数为 ．14. 已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为F,上顶点A ，右顶点B ，过A 、B 、F 三点的圆的一般方程 . 15. 设点()()22,{,|430}P x y x y x y y ∈+-+≤，，则2y x +的取值范围是 .16. 已知,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，2a =，且sin sin sin 2A B c bC b--=+，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．。

17. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，12,(0)n n S S n λλ+=+≠，存在实数λ，使得{1}n a +为等比数列.(1)求满足条件λ的值及数列{}n a 的通项公式；(2)设3132333log (1)log (1)log (1)log (1)n n b a a a a =++++++⋅⋅⋅++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18. （本题满分12分）为了研究学生的数学核心素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w x y z =++的值评定学生的数学核心素养；若7w ≥，则数学核心素养为一级；若56w ≤≤，则数学核心素养为二级；若34w ≤≤，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X a b =-，求随机变量X 的分布列及其数学期望.19. （本题满分12分）如图，已知四边形11AAC C 和11AA B B 都是菱形，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，且1160oACC BAA ∠=∠=，12AA =.（Ⅰ）求证：11AA BC ⊥；（Ⅱ）求二面角1C AB C --的余弦值. 20. （本题满分12分）已知定点)1,0(F ，动点)1,(-a M （R ∈a ），线段FM 的中垂线l 与a x =交于点P ． （Ⅰ）求动点P 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）当PFM ∆为正三角形时，过点P 作直线l 的垂线，交抛物线于P ，Q 两点，求证：点F 在以线段PQ 为直径的圆内．21.（本题满分12分）已知函数()()21,1.x xf xg x ax e+==- （1）若函数()f x 和()g x 的图象在1x =处的切线平行，求a 的值；（2）当[]0,1x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题号对应的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线221:(2)1C x y -+=，曲线2C 的参数方程为3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6πθρ=∈R .（Ⅰ）求1C 的极坐标方程及2C 的普通方程；（Ⅱ）l 与1C 相切于点A ，在第三象限内与2C 交于点Q ，求1C AQ ∆的面积.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲设函数a x a x x f ++-=2)(，0>a . （1）当1=a 时，求)(x f 的最小值； （2）若关于x 的不等式a xx f +<5)(在[]2,1∈x 上有解，求实数a 的取值范围. 2018届高三年毕业班第一次联合考试数学（理）科试卷 参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A2.B3.D4.C5.C6.A7.B8.D9.B 10.C 11.D 12.A 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.1798 14.2220x y x y +--=15.1⎤⎦三、解答题：（17-21题各12分，22（23）题10分，共70分）17. （本题满分12分）解法一：（1）当2n ≥时，112n n n n a S S a λ++=-=+， …………………………………2分由12a =，可知222a λ=+，23222a λλ=++，因为{1}n a +为等比数列，即2213(1)(1)(1)a a a +=+⋅+，求得0λ=或3λ=，………………4分因为0λ≠，则3λ=，故(1)n a +是以3首项，3为公比的等比数列， 因此13nn a +=，所以31nn a =-； …………………………6分 （2）3132333log (1)log (1)log (1)log (1)n n b a a a a =++++++⋅⋅⋅++12n =++⋅⋅⋅+(1)2n n+=， …………………………8分 故12112()(1)1n b n n n n ==-++ 所以nT =211111[(1)()()]2231n n -+-+⋅⋅⋅+-+=21nn + …………………………12分 解法二：（1）当2n ≥时，112n n n n a S S a λ++=-=+，因为{1}n a +为等比数列，设公比为q ，则11311n n n n a a q a a λ+++==++， 永春一中 培元中学季延中学 石光中学整理得3n n a qa q λ+=+，即3q λ==， 因此{1}n a +为首项为3，公比为3的等比数列， 故13nn a +=，所以31nn a =- （2）同解法一18. （本题满分12分）解：（I ）由题可知：建模能力一级的学生是9A ；建模能力二级的学生是245710,,,,A A A A A ；建模能力三级的学生是1368,,,A A A A .…………………………………2分 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ， 则…………………4分（II ）由题可知，数学核心素养一级：123568,,,,,A A A A A A ，数学核心素养不是一级的：47910,,,A A A A ；X 的可能取值为1,2,3,4,5. …………………………………5分…………………………………10分∴.…………………………………12分19. （本题满分12分）（Ⅰ）证明：取AA 1的中点为O ，连结OB 、OC 1 ，∵四边形AA 1C 1C 和AA 1B 1B 都是菱形，且∠ACC 1=∠BAA 1=60°，∴三角形AA 1B 和三角形AA 1C 1都是等边三角形， ∴OB ⊥AA 1 ，OC 1⊥AA 1 ， 又∵OB ∩OC 1=O ， ∴AA 1⊥平面OBC 1， 又∵BC 1⊂平面OBC 1，所以AA 1⊥BC 1； ……………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知OB ⊥AA 1，又∵1111AAC C AA B B ⊥平面平面且交于AA 1，OB ⊂11AA B B 平面 ∴OB ⊥平面AA 1C 1C ， ∴OB ⊥OC 1，∴OA 1，OC 1，OB ，三条直线两两垂直， ……………………………………6分以O 为坐标原点，以OA 1，OC 1，OB 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)A -,B (C -,10)C ，……………………………………7分∴(1AB =,(1AC =-,10)AC =设平面ABC ，ABC 1的法向量m ,n坐标分别为（a ，b ，c ），（a 1，b 1，c 1）， 由m AB ⊥ ,m AC ⊥，可得0,0a a +=-+=，所以可取,1)m =-， ……………………………………………9分同理可取1,1)n =--， ……………………………………………10分∴， ……………………………………………11分又二面角1C AB C --的平面角为锐角，所以二面角C-AB-C 1的余弦值为35． ……………………………………………12分 20. （本题满分12分）解法1：（Ⅰ）依题意，PM PF =，且F 不在直线1-=x 上．…………1分 故动点P 的轨迹Γ为以点)1,0(F 为焦点，直线1-=x 为准线的抛物线．…………2分 故其对应的方程为y x 4:2=Γ．…………4分（Ⅱ）当PFM ∆为正三角形时，不妨设0>a ，如右图 依题意可得：直线FM 的倾斜角︒=∠+︒=15090PMF θ， 故直线FM 的斜率：33tan -==θk . 则直线FM 的方程为：133+-=x y .…………6分 令1-=y ，可得点)1,32(-M ，故点)3,32(P . 因为直线PQ 与直线l 垂直,并且直线l 的倾斜角为︒60， 所以直线PQ 的倾斜角为︒150， 所以直线PQ 的方程为：)32(33-3-=-x y ，即0353=-+y x .…………8分 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+yx y x 403532，消去y ，整理可得：0320432=-+x x设),(11y x Q ，由韦达定理可得：-20321=x ，故3310-1=x .…………9分 所以点)325,3310-(Q ，又)1,0(F ，)3,32(P . 所以)2,32(=FP ，)322,3310-(=FQ …………11分所以0316-344-20)322,3310-()2,32(<=+=⋅=⋅. 所以PFQ ∠为钝角，故点F 在以线段PQ 为直径的圆内. …………12分 解法2：（Ⅰ）设动点),(y x P ．…………1分 依题意，M F ,中点坐标为)0,2(a ，a k FM 2-=，故中垂线l 的方程为)2(2ax a y -=．…………2分 ），（1-0T 联立)2(2a x a y -=与a x =，可得⎪⎩⎪⎨⎧==,4,2a y a x 消去a 可得点P 轨迹方程y x 4:2=Γ．……4分（Ⅱ）当PFM ∆为正三角形时，不妨设0>a ，如右图），（10F设），（1-0T ，依题意可得： ︒=︒-︒=∠306090FMT ，在FMT RT ∆中，已知2FT =， 故32=TM .可得点)1,32(-M ， 又Γ∈P ，并且TM PM ⊥，故点)3,32(P .因为直线PQ 与直线l 垂直,所以直线PQ 与直线FM 平行， 所以直线PQ 的方程为：)32(33-3-=-x y ，即0353=-+y x .…………8分联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+yx y x 403532，消去y ，整理可得：0320432=-+x x设),(11y x Q ，由韦达定理可得：-20321=x ，故3310-1=x .…………9分 所以点)325,3310-(Q ，又点)3,32(P ， 所以以线段PQ 为直径的圆的方程为：9364)317)33422=-++y x （（.…………10分 因为93649304)3171)334022<=-++（（, 故点F 在以线段PQ 为直径的圆内，若0<a ，由图象的对称性可知也成立. …………12分 21．（本小题满分12分） 解：（1）由题意. ……………2分由(1)(1)f g ''=得……………3分又，，(1)(1)f g ≠，所以满足条件……………4分（2）令()()()h x f x g x =-，即()0h x ≤对任意的恒成立，. ……………5分① 0a ≤时，()0h x '≤在上恒成立，所以()h x 在单调递减. max ()(0)0h x h ==，满足条件； ……………6分② 0a >时，，令()0h x '=，得 ……………7分(i)当，即时，()0h x '≥在恒成立，仅当时()0h x '=，所以()h x 在单调递增，又(0)0h =，所以()0h x ≥在恒成立，不满足条件； ……………8分 (ⅱ)当，即时，当时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当时，()0h x '>，()h x 单调递增，又(0)0h =，得，，于是有：……………10分(ⅲ)当，即时，[0,1]x ∈时，()0h x '≤，()h x 单调递减，又(0)0h =， 所以()0h x ≤在恒成立，满足条件； ……………11分综上可得，a 的取值范围为……………12分(22)解法1：（Ⅰ）把cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22(2)1x y -+=，得03cos 42=+-θρρ，所以曲线1C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ. 由曲线2C 的参数方程)(,sin ,cos 3为参数ααα⎩⎨⎧==y x ，消去α，得曲线2C 的普通方程为1922=+y x . …………5分 （Ⅱ）联立24cos 30,,6ρρθπθ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得点A 的极坐标为)6,3(π， 曲线2C 的极坐标方程为9sin 9cos 2222=+θρθρ，联立2222cos 9sin 9,,6ρθρθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩可得32=ρ， 可得3321-==ρρ，，点Q 的极坐标为)6,3(π-所以32=AQ ，而点1C 到直线AQ 的距离为1sin 16d OC π=⋅=，所以AQ C 2∆的面积为321=⋅=d AQ S . …………10分 解法2：（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程可得x y 33=， 联立⎪⎩⎪⎨⎧==++-x y y x x 333422得点A 的坐标为)23,23(， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy y x 331922，可得点Q 的坐标为）23,23(--， 所以32)2323()232322=+++=（AQ ， 点)0,2(2C 到直线33:=y l 的距离为1)3(3032322=+⨯-⨯=d ，.所以AQ C 2∆的面积为321=⋅=d AQ S . …………10分 (23)解：（1）当1=a 时，()23121012121112)(=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≥++-+-=++-=x x x x x x x x f 当且仅当21=x 时，取等号. …………5分 （2）当[]2,1∈x 时，a x x f +<5)(, 因为0>a ，a xa x a x +<++-52， 所以a xa x a x +<++-52，所以x xa x -<-52， 所以x xa x x +<<-553，因为时的最小值为2-，的最大值为6，所以26a -<<，又因为0a >，所以06a <<.…………10分。