第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(八)几何--类比与猜想
学而思秘籍小学数学思维培养教程八级答案
学而思秘籍小学数学思维培养教程八级答案注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2=--<=-，则A x x x B{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
丘成桐考试题及答案讲解
丘成桐考试题及答案讲解一、选择题1. 以下哪项是丘成桐的数学成就？A. 证明了费马大定理B. 证明了哥德巴赫猜想C. 证明了卡拉比猜想D. 发现了黎曼猜想的证明方法答案：C2. 丘成桐教授在哪所大学获得了博士学位？A. 哈佛大学B. 麻省理工学院C. 斯坦福大学D. 牛津大学答案：A二、填空题3. 丘成桐教授是_________国籍的数学家。
答案：中国4. 丘成桐教授的主要研究领域是_________。
答案：微分几何三、简答题5. 简述丘成桐教授的主要贡献。
答案：丘成桐教授的主要贡献包括证明了卡拉比猜想，为微分几何领域做出了重大贡献。
他还提出了丘成桐空间的概念，对数学和物理学的交叉领域有着深远的影响。
四、计算题6. 假设有一个曲面S，其高斯曲率为K。
如果曲面S上任意一点P的切平面在P点的法向量为n，证明曲面S在点P处的曲率是K。
答案：根据高斯曲率的定义，曲面S在点P处的曲率K是曲面S在P 点的两个主曲率k1和k2的乘积，即K = k1 * k2。
在微分几何中，曲面S的高斯曲率可以通过第二基本形式来计算。
设曲面S的参数表示为r(u, v)，则曲面S在点P处的法向量n可以通过r_u × r_v来计算，其中r_u和r_v分别是r对u和v的偏导数。
根据第二基本形式的公式，可以推导出K的表达式，并证明其与k1和k2的关系。
五、论述题7. 论述丘成桐教授在数学教育和数学普及方面所做的工作。
答案：丘成桐教授不仅在数学研究领域取得了卓越成就，还在数学教育和普及方面做出了巨大贡献。
他积极参与数学竞赛的组织和评审工作，推动了数学竞赛的发展，激发了青少年对数学的兴趣。
此外，丘成桐教授还通过撰写科普文章、举办公开讲座等方式，向公众普及数学知识，提高公众的数学素养。
他的工作不仅提升了数学在社会中的地位，也为数学的未来发展培养了大量人才。
陈省身数学探索与应用能力等级测试
陈省身数学探索与应用能力等级测试活动是为促进青少年爱数学、学数学、用数学而设，它以九年义务教育大纲为考核准则，以国家课程标准为命题依据，充分体现“数学好玩”、“数学之美”、“数学有用”的命题理念。
陈省身数学探索与应用能力等级测试由等级测试委员会统一命题、统一报名、统一测试、网上统一评审，对测试合格的学生颁发相应级别的考级合格证书。
一、测试时间每年进行两次测试，第一次为每年6月份报名，暑假期间测试；第二次为每年12月份报名，寒假期间测试；具体测试时间根据每年放假时间确定。
二、等级设置智力数学：根据不同级别书面考试的成绩来确定成绩，小学级别设为一至六级，分别对应小学一、二、三、四、五、六年级，初中设为七至八级，分别对应初中一、二年级，高中设为九至十级，分别对应高中一、二年级。
每个级别的等级按照成绩来评定，测试卷满分150分，80分（含80分）以上者为合格，80分（不含80分）以下为不合格。
合格以上等级分为：优秀、良好、合格三个等级，优秀不超过总人数的10%，良好不超过总人数的20%，可以跨级别参加测试。
趣味益智游戏：将根据书面考试正确率和时间；动手操作的准确率和速度来确定等级，参加对象可以是大中小学生和成人，共分9个等级。
三、测试内容设置智力数学和趣味益智游戏的测试分别设有10个级别，高级别的测试内容涵盖低级别的内容，以考核个人能力为主，并适当拓宽知识面，测试形式为书面测试。
智力数学题目分填空、选择和解答三种类型。
趣味益智游戏有书面考试和操作两种类型。
四、等级测试大纲智力数学一级（小学一年级）大纲摆水杯和圆片；找规律（找简单的数字和图形规律）；捉迷藏分馒头；摆扣子变图形；火柴棍拼图形；组数字比大小；分苹果比多少；摸球游戏；认识十进制；填写识字框；趣味数字；有趣的图形；数常见的图形的个数（包括点、线段、角、三角形、长方形）；10以内加法和减法简单计算；简单智巧问题，了解简单代换；简单推理；简单应用；简单操作。
第1~6届启智杯真题+答案
6．已知 a 1 1 1 23
1 ，b 1 2 4 5 7 8
672
369
2014 2015 ．求 a b 的值，写出计算过程． 2016
7．下图左边是一个 4 4 的正方形去掉六个1 1的小正方形后剩下的“十字”形图形，右边的六个图形也是有 1 1的小正方形拼成的图形，这些图形中，选择两块可以在平面上移动（可转动，但不翻动）拼成左边“十 字”形图形，请把所有可能选出两块的拼法画在“十字”形图形上，并标出拼图组件所对应的字母．
7．在一个孤岛上生活着三种怪物：奇虎、奇狮、奇豹，数量分别为 2010、2015、2020 个．这些怪物有一种 古怪的习性：它们任何两种怪物一旦见面，就双方都变成第三种怪物（比如，一个奇虎和一个奇狮见面，就 都变成奇豹），见一种怪物见面则不会产生变化．问，如此下去，它们是否有可能到某种时刻全部变成同一 种怪物？请说明理由．
10．右边乘法算式中，只有四个位置源自的数已知，它们分别是 2，0，1，5，请你在空白位置填上数字，使 得算式能够成立，写出所有可能成立的算式．
3
11．如下图，在正方形 ABCD 的四个顶点 A 、 B 、 C 、 D 上按照顺时针方向依次进行如下标注：首先在顶 点 A 、 B 上分别标注数 1、2，之后将 AB 两点的标注数之和（1+2=3）标注在下一个顶点 C 处，再将 BC 两 点的标注数之和（2+3=5）标注在下一个顶点 D 处．接下来再把 A 点的标注数 1 擦去，将 CD 两点的标注数 之和（3+5=8）标注在 A 点，如此下去，请问：对 A 点进行第 2015 次标注的数被 3 除的余数是多少？说明 你的依据．
2015 深圳市第 6 届“启智杯”数学思维竞赛题（A1 中年级组）
浙江省2023-2024学年第一学期北斗星盟阶段性联考数学答案
2023学年第一学期浙江北斗星盟阶段性联考高二年级数学参考答案选择题题号123456789101112答案BCDCDBABABBCDCDACD填空题13.214.515.143416.⎥⎦⎤ ⎝⎛210，8.点M 在线段1BC 上运动，即动线段DM 在D BC 1∆内运动，动线段DN 在1DCC ∆内运动，动线段MN 在1BCC ∆内运动，以1BCC ∆为基准，将D BC 1∆和1DCC ∆翻折使其与1BCC ∆共面，如图所示：其中D BC 1∆翻折至21D BC ∆，1DCC ∆翻折至31D CC ∆，在四边形23121==D C D C ，312D C D ∠，由余弦定理可求得1332+=D D 11.()0，a H -，()b M λ，0，abk HM λ=；()0，a H ，()b ua a N --，，a b k NF μ=；对于AB 选项，1-==u k k NFHMλ，此时P 的轨迹既不是双曲线，也不是椭圆，AB 均错；对于C 选项，22a b k k NF HM =⋅，此时P 的轨迹既是双曲线（顶点除外），C 对；对于D 选项，22ab k k NFHM -=⋅，此时P 的轨迹既是双曲线（顶点除外），D 对；12.nn a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=413，116136433-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n S ，故A 对，B 错；对于C 选项，{}n S 的前2023项和为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-11613143n ，小于43，C 对；对于D 选项，记阴影三角形的最小角为θ，即存在正整数k n ，，使得πθk n 2=（转动k 圈），其中1327cos =θ，∴26232cos =θ，……，发现（猜测）θn cos 中的13无法约去，0cos ≠θn ，D 错；14.取AB ，AD ，1AA 为一组基底，0=⋅AD AB ，211=⋅AA AB ，211=⋅AA AD ，5===15.记2015年初牛的存栏数为12001=a ，则2024年初牛的存栏数为10a ，100009.12001+⋅=-n n a ，∴1434100009.1200910≈+⋅=a 16.经分析，椭圆上只有右顶点()0，a 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛02，cP 的距离最小，设)(y x Q ，是椭圆上的点，[]a a x ，-∈，2222222242b c cx x a c y c x PQ ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，对称轴是c a x 22=，定义域是[]a a x ，-∈，∴ca a 22≤，解得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈210，e 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(一)代数--观察与归纳(含答案)
第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（一）代数---观察与归纳【备注】一、考察的思维品质考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。
二、考察的思维能力1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。
2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。
3、从个别事例开始，先观察、研究这类问题的几个简单的、特殊的情况的共同特征，通过逆推、比较、分析，从中发现一般规律，找到解决问题的途径和方法，叫做归纳思维同步练习1．找规律填数（1）30、36、31、40、32、44、（）、（）（2）2, 6, 4, 12, 10, 30, 28，（），（）【参考答案】（1）30、36、31、40、32、44、（33 ）、（48 ）（2）2, 6, 4, 12, 10, 30, 28，（84 ），（82 ）乘3减22．根据规律填数。
43×101=4343 29×101=292951×101=（）86×（）=8686（）×101=7272 （）×（）=9494【参考答案】51×101=（5151 ）86×（101 ）=8686（72 ）×101=7272 （94 ）×（101 ）=94943．根据规律填数。
67×67=4489667×667=4448896667×6667=（）66......67× 66......67=44......488 (89)【参考答案】101个4，100个84．观察下面的几个算式,找出规律：1＋2＋1=4,1＋2＋3＋2＋1=9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16,1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25,……利用上面的规律,请你迅速算出：1＋2＋3＋……＋99＋100＋99＋……＋3＋2＋1=________.【参考答案】1002=100005. 一串分数按规律排列：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51……，那么，第100个分数是多少？ 2011是排列中的第 个分数。
第一届启智杯真题及答案详解
7. 解：不必问月球赤道的半径是多大，也用不着做计算，头顶只比脚底多走的路程还是只有 18.84 米。 因为在刚才解答环绕地球旅行的问题时，地球赤道的半径在计算过程中消去了，计算结果与脚底圆周 的半径无关。 8. 解：实验归纳：在 n 刀的基础上再增加一刀，就增加了 n 块。共 37 个
9. 解：如图，假定此人在 P 点遇到接他的汽车，也就 是说，与往常相比，汽车少车两个 PB（一个来回） ， 结果少用 10 分钟， 说明走一个 PB 需 5 分钟.汽车到单 位应是 5 点钟，那么到 P 点是 4 点 55 分，也就是，此 人 4 点开始从办公室出来， 4 点 55 分在 P 点遇到汽车， 共走了 55 分钟。
6．商店规定 4 个空汽水瓶可换一瓶汽水，某班 28 位同学春游，他们至少买多少瓶汽水才能确保每人 有一瓶汽水喝？
1
理科教研部
7．一位 3 米高的巨人，沿赤道环绕地球步行一周。那么他的脚底沿赤道圆周移动了一圈，他的头顶画 出了一个比赤道更大的圆。已知地球赤道的半径是 6371 千米。在这次环球旅行中，这位巨人的头顶比 他的脚底多走了多少千米？ 巨人的脚底走过的圆， 半径是 6371 千米。巨人的身高是 3 米，所以他的头顶走过的圆，半径增加 3 米。 都用千米做长度单位，半径增加的数量就是 0.003 千米。取圆周率的近似值为 3.14，那么两圆周长的 差=3.14×2×(6371＋0.003)-3.14×2×6371=3.14×2×0.003=0.01884(千米)=18.84(米)。 结论是：环绕地球一周，巨人的头顶只比脚底多走 18.84 米。 如果这位巨人打算再环绕月球表面步行一圈，那样一圈走下来，他的头顶比脚底多走了________ 千米呢？ 8.我们知道：1 刀可以把一个蛋糕切成两块，2 刀最多可以把一个蛋糕切成四块，那么 8 刀最多可以把 一个蛋糕切成________块。
2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高三上学期8 月联考数学试题及答案
数2025届高三年级八月智学联考学命题学校：黄石二中一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2,ln(1|0)2|A x B x x x y x -=-≤==-，则)(B C A R ⋂（）A ．[)1,1-B ．[]1,1-C ．(]1,2D ．()1,+∞2.若复数z 满足11i izz -=+-，i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量||3,|||2|a a b a b =-=+，则||a b += （）AB ．2CD ．34.若1nx -⎛⎫ ⎪⎝⎭的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中51x 的系数为（）A ．8B ．28C ．70D ．2525.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE AC ，所在圆台的底面半径分别是1r 和2r ，且15r =，210r =，圆台的侧面积为150π，则该圆台的体积为（A．3B．3C．3D．6.已知函数()()2x mf x m +=∈R 为偶函数，则()2log 0.8a f =，)3(2.0f b =，c f=的大小关系为（）A ．a b c <<C ．a c b<<7.已知函数22()2cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=-->的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A ．12B ．1C ．32D ．28.已知抛物线C ：212x y =和圆22:4440M x y x y +--+=，点F 是抛物线C 的焦点，圆M 上B ．c <a <b D ．b <c <a的两点,A B 满足2AO AF =，2BO BF =，其中O 是坐标原点，动点P 在圆M 上运动，则P 到直线AB 的最大距离为（）A．2BC ．24+D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（）A ．极差是4B ．众数小于平均数C ．方差是1.8D ．数据的80%分位数为410.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在矩形ABCD 内（包括边界）的动点E 始终满足1D E与平面ABCD 所成的角是4π，则下列结论正确的是（）A ．多面体111BCD ABCD -的体积为2030.9311.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()g x ，()2f x +和()1g x +都是奇函数B ．动点E 运动轨迹的长度为πC ．不存在点E ，使得平面AB 1D 1//平面DEC 1D ．在正四面体D 1-AB 1C 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体的棱长可以是，A ．()g x 关于点()1,0对称B ．()()0f x f x +-=C ．()20251g =D ．()202400k f k ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在∆ABC 中，1cos 7A =-，7AB =，8BC =，则ABC 的面积是______．13.数列{}n a 是等差数列，且满足142n n n n S S a +=+-+，则1a =________．14.已知双曲线()222210，x y a b a b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且4FB FA = ，2π3AFB ∠=，则双曲线的渐近线方程为_________．f (1)=1，则下列说法正确的是（）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，,//PB PD AD BC =，AB BC ⊥，四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）AB =，22BC AD ==，平面PBD ⊥平面ABCD ，点Q 在AB 上，PB CQ ⊥．(2)若四棱锥P ABCD -的体积是332，求二面角P CD A --的余弦值16.（本小题满分15分）已知函数()1ax y f x e +==，x R ∈．(1)若12a =，求过原点且与()y f x =相切的切线方程；(2)若关于x 的不等式()2f x x e >+对所有()0,x ∈+∞成立，求a 的取值范围．17.（本小题满分15分）某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X （单位：元）服从正态分布()2330,25N ．为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活动，(1)若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额X 在()305顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动．对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金（单位：元）．每类试题均有两次答题机会，在任意一类试题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题．若第一次回答错误，则进行第二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题．+∞，内的人数（结果保留附：若()2,X N μσ ，则()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈．(2)某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，A 类题中的两次答题机会答对的概率都是34，B 类题中的两次答题机会答对的概率都是23，且每次答题相互独立．若答题结束后可减免的现金数额为X 元，求X 的分布列和数学期望．18.（本小题满分17分）椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，椭圆上的点到焦点的最短距离是1，点A 为椭圆的左顶点，过点()4,0P 且斜率为()0k k ≠的直线交椭圆于B ，C 两点．(1)求E的方程；(1)求AQ :QB 的值；整数）；(2)直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点，且MN =k ．19.（本小题满分17分）若项数为()3m m ≥的数列{}n a 满足两个性质：①()*11,N 2,3,,i a a i m =∈= ；②存在{}2,3,,1n m ∈- ，使得{}11,2,1111,,12k k k n a a n k m +⎧≤≤-⎪∈⎨⎧⎫≤≤-⎨⎬⎪⎩⎭⎩，并记{}{}max 是的最大项,1=≤≤i k M i a a k n ．则称数列{}n a 具有性质Ω．(1)若44,2m a ==，写出所有具有性质Ω的数列{}n a ；(2)若2025m =，202516a =，求{}n a 的最大项的最大值；(3)若20252M a =，1m a =，且{}n a 满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足1s t M ≤<≤的项s a 和t a ，在{}n a 的余下的项中，总存在满足1p q M ≤<≤的项p a 和q a ，使得s t p q a a a a ⋅=⋅；（ⅱ）对于满足M s t m ≤<≤的项s a 和t a ，在{}n a 的余下的项中，总存在满足M p q m ≤<≤的项p a 和q a ，使得s t p q a a a a ⋅=⋅．求满足上述性质的m 的最小值．一、选择2025届高三年级八月智学联考数学答案题12345678B A D DCACA二、多选题91011ACABDABD三、填空题：12、13、214、23y x=±15.【详解】（1）证明：过点P 作直线PO BD ⊥于点O ，因为平面PBD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD，CQ ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CQ ，PB CQ ⊥，所以CQ BD ⊥．由四边形ABCD 是直角梯形，且22,AB BC AD AB BC ===⊥．在直角ABD △中，2BD ==，可得π2,3DC BCD ∠==，从而BCD △是等边三角形，CQ BD ⊥，3CBD π∠=，所以6BCQ π∠=．从而tan 2tan6BQ BC BCQ π=⋅∠==AQ AB BQ =-=:1:2AQ QB =（2）解：因为PB PD =，所以O 是BD 的中点，连接OC ．因为平面PBD⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，所以PO ⊥平面ABCD ，113322P ABCD ABCD V S PO PO -=⋅=⋅=以O 为原点，以,,OB OC OP所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，在等边BCD △中，OC =，如图，()()()()1,0,0,0,,1,0,0,0,0,3B C D P -，可得,(1,0,3)3)PD PC =--=-，设平面PCD 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，则113030n PD x z PCz n ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得3,x z y =-=，法向量1(n z =- 令1z =得，()1n =- ，而()20,0,1n =是平面ABCD 的一个法向量，所以二面角P CD A --的余弦值1212cos 13n n n n θ⋅==⋅ 16.【详解】（1）若12a =，设切点横坐标是t ，则切线斜率()1212tk f t e +='=，切线方程是()112212tt y ee x t ++-=-，因为切线过原点，所以()11221002t t e e t ++-=-，解得，2t =，所以切线方程是2e y =四、解答题，所以PO =3．．x ；②若0a >，则()（2）首先注意到f (0)=e ，g (x )=eax +1-2x +e ，x >0，g '(x )=ae ax +1-2，①若a ≤0，则g '(x )<0在x >0时恒成立，故g (x )单调递减，则对所有x >0，g (x )<g (0)=0，不满足题意，故舍去；12ax g x a ea +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，令()<0g x '得，12ln 1x a a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭；令()>0g x '得，12ln 1x a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．所以，()g x 在12,ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，()g x 在12ln 1,a a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增．（ⅰ）若20a e <<，则2ln 1a ≥，即12ln 10a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()g x 在120,ln 1a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，12ln 1,a a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，则()()min12ln 100g x f f a a ⎛⎫⎛⎫=-<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不满足题意，故舍去；（ⅱ）若2a e ≥，则2ln 1a≤，即12ln 10a a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，则对所有0x >，综上所述，a 的取值范围是2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．17.【详解】（1）由题意()305P X >()()11110.68270.841352P X μσ=-≤-≈--≈，若某天该商场有200位顾客，估计该天消费额X 在()305+∞，内的人数为0.84135200168.27168⨯=≈；（2）设X 的取值为0，10，20，则331(0)114416P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31113115(10)433443348P X ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，(2)1(05(16))P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为：X 01020P11654856数学期望155425()010*********E X =⨯+⨯+⨯=．18.【详解】（1）由椭圆上的点到焦点的最近距离是1，故1a c -=，则2221a c a b c -=⎧==+⎪⎩解得2a =，b =，1c =，即椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）设()11B x y ，、()22,C x y ，由题可知，()20A -，，则1112y k x =+，g (x )>f (0)=0，符合题意．2222y k x =+，所以()1212121224y y k k x x x x ⋅=+++①.由题意，设BC 所在的直线方程为()4y k x =-，联立()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得，()2222343264120k x k x k +-+-=，且()()()22223244364120k k k ∆=--+->，解得102k <<依据韦达定理，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -⋅=+，设直线AB 的方程为()1122y y x x =++，直线AC 的方程为()2222y y x x =++，则依题设，11642y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，、22642y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，，()()112244y k x y k x =-=-，，则()()()121212121212121212121212126661261236363622242424y y y x y y x y kx k x x MN k x x x x x x x x x x x x x x +----=-===⨯+++++++++++，即3636MNk k ==36MN k ===MN ==13k =±，满足0k <<综上所述，直线的斜率13k =±．19.【详解】（1）{}n a 有三种结果：1，1，2，2或1，2，2，2或1，2，4，2；（1）当2025m =时，{}2,3,,2024n ∈ ．由1211211,12,,12,12n n n n a a a a a a a ---=≤≤≤≤≤≤ ，累乘得112n n a -≤≤①；又由202320242024112202512,12,,12,12,n n n n a a a aa a a a +++≤≤≤≤≤≤≤≤ ，202520251a a ≤≤，累乘得2022055212n n a a -≤≤②；将①②相乘得20222024512n a a ≤≤，又*n a ∈N ，202516a =，所以101412n a ≤≤.所以数列{}n a 的最大项的最大值为10142，满足条件的数列为()(1202921,2,,101521016,1017,,2n n nn a n --⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 因为数列{}n a 满足：当11n M ≤≤-时112n n a a +≤≤，11a =，所以202a ≤≤，又因为当11i M ≤≤-，都有i a N *∈，所以21a =或22a =，当22a =时，432a a ≥≥，此时12342a a a a ⋅=<⋅，这与在剩下的项中总存在满足1p q M ≤<≤的项p a 和q a ，使得s t p q a a a a ⋅=⋅矛盾，所以21a =，类似的，必有31a =，41a =，52a =，62a =，由s t p q a a a a ⋅=⋅得前6项任意两项之积小于等于4时，均符合，要使得m 值要尽量小，则需要每项尽可能12合题意．（3）①讨论项数满足1≤k ≤M 025)；的情况：大，且则a5⋅a6=4=a1⋅a7，a7=22，同理，a8=23，a9=24，⋯，a M-6=22023，由对称性得最后6项为a=a M-1=a M-2=a M-3=22025，a M-4=a M-5=22024，当{a n}中间各项为公比为2的等比数列时，可使得M值M最小，且M的最小值为M min=6+2022+6=2034，满足已知条件．②讨论项数满足M≤k≤m的情况：类比①可知a M=a M+1=a M+2=a M+3=22025，a M+4=a M+5=22024，a M+6=22023，a M+7=22022，⋯，a m-7=23，a=22，a m-5=2，a m-4=2，a m-3=a m-2=a m-1=a m=20=1．m-6综上所述，m的最小值m min=2034⨯2-1=4067．故答案为：4067．。
奥数培优超常思维竞赛 数学 初二年级试卷及答案
初二年级超常思维竞赛数学试卷考试时间：100分钟满分150分1.如图所示，左侧有一组排列好的方格，经过空间平面的顺时针或逆时针方向旋转之后，成为五个选项中的一组，那么正确的一组方格为( ).2.若一切非零实数x和y满足x=1y ，则(x−1x)(y+1y)=（）.A.2x2B.2y2C.x2+y2D.x2−y2E.y2−x23.正方形ABCD的边长为36，点E在AB边上且到B的距离为12，点F为BC边的中点，点G在CD边上且到C的距离为12. 则在△EFG之内且在△AFD之外区域的面积为( ).A.133B.144C.155D.166E.1774.如果4(√x+√y−1+√z−2)=x+y+z+9，那么xyz的值是().A.0B.2C.15D.120E.1505.在20182+2016×2017×2019×2020；20192+2017×2018×2020×2021；20202+2018×2019×2021×2022；20212+2019×2020×2022×2023这四个数中共有( )个是完全平方数.A.0B.1C.2D.3E.46.若√a+√b=1，又√a=m+a−b2，√b=n−a−b2，其中m，n均为有理数，则有( ).A.mn=12B.m2+n2=12C.m+n=12D.m−n=12E.m2−n2=147.把一个矩形剪去一个正方形，所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边之比为( ).A.(1+√5)：2B.3：2C.(1+√3)：2D.(1+√6)：2E.(1+√5)：(1−√3)8.设x>0，y>0，√x(√x+2√y)=√y(6√x+5√y)，则x+xy−y2x+√xy+3y的值为( ). A.14 B.13C.12D.1E.29.根式√810+41084+411的值等于（ ）. A.√2B.16C.32D.12E.512. 510.如图所示，已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为a ，b ，分别以每条边为直径向菱形内作半圆，则四条半圆弧围成的花瓣形面积(阴影部分的面积)为( ).A.π(a 2+b 2)B.18π(a 2+b 2)−ab 2C.12π(a 2+b 2)−ab 2D.18π(a 2+b 2)+ab 2E.12π(a 2+b 2)+ab11.两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的体积之比是p ：1，而在另一个瓶子中是q ：1.若把两瓶溶液混合在一起，则混合溶液中的酒精与水的体积之比是( ).A.p+q 2B.p 2+q 2p+qC.2pq p+qD.2(p 2+pq+q 2)3(p+q)E.p+q+2pq p+q+212.小明将一块正方形的钟面画成一块投镖的靶板，利用“钟点位置”作为边界线(如图). 如果t 是8个三角形之一(例如，12点与1点间的区域)的面积，q 是4个角上的四边形之一(例如，1点与2点间的区域)的面积，那么qt =( ).A.2√3−2B.32C.√5+12D.√3E.213.一矩形R 的边长为a 和b ，其中a <b ，要得到边长为x ，y (x <a ，y <a )的矩形，使其周长为R 的周长的13，面积为R 的面积的13，这样的不同矩形的个数为( ).A.0B.1C.2D.4E.无限多14.已知周长为28cm 的长方形ABCD ，如图所示，以A 为圆心，AD 为半径画弧交AB 于A 1，以B 为圆心，BA 1为半径画弧交BC 于A 2，依此类推，即依次以C ，D ，A ，B 为圆心，用同样方法画弧，分别得交点A 3，A 4，A 5，A 6，若点A 6与点C 重合，则长方形的长和宽分别为( ) cm .A.12，2B.11，3C.10，4D.9，5E.8，615.如图所示，两面墙间的距离为w ，它们之间的P 点处有一个梯子，梯子的长度为a ，梯子向一侧墙靠去，上端触墙于Q 点，Q 到地面的距离为k ，此时梯子与地面成45°角，梯子向另一侧墙靠去，上端触墙于R 点，R 到地面的距离为ℎ，此时梯子与地面成75°角，那么两墙间的距离w 为( ).A.aB.RQC.kD.ℎ+k 2E.ℎ16.P 是高为ℎ的等边三角形内部一点，设P 到各边的距离分别为x ，y ，z ，若以x ，y ，z 为长度的三条线段可以构成一个三角形，则x ，y ，z 各自所应满足的条件是( ). A.x <ℎ，y <ℎ，z <ℎ B.x <ℎ2，y <ℎ2，z <ℎ2C.x ≤ℎ2，y ≤ℎ2，z ≤ℎ2 D.x <ℎ3，y <ℎ3，z <ℎ3E.x ≤ℎ3，y ≤ℎ3，z ≤ℎ317.如图所示，把正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每一段为对角线作正方形，设这n个小正方形的周长为p，正方形ABCD的周长为l，则p与l的关系是( ).A.p>lB.p≥lC.p=lD.p≤lE.p<l18.若x+y+z=30，3x+y−z=50，其中x，y，z皆为非负数，则M=5x+4y+2z的取值范围是( ).A.100≤M≤110B.110≤M≤120C.120≤M≤130D.130≤M≤140E.M的范围无法确定19.如图所示，展示了12个排成一圈的30°−60°−90°三角形，并使每个三角形的斜边恰好为相邻下一个，其中m和n 大三角形的较长直角边. 图中第4个和最后一个三角形以阴影标记，其周长之比可以表示为mn为互素正整数. 则m+n的值为（）.A.333B.334C.335D.336E.33720.已知存在正整数m和n，使得x=m+√n是等式x2−10x+1=√x(x+1)的一个解，则m+n的值为（）.A.11B.22C.33D.44E.5521.如图所示，ABCD是正方形，BF//AC，AEFC是菱形，则∠ACF与∠F的度数之比是（）.A.7：1B.6：1C.5：1D.4：1E.3：122.已知a =√43+√23+1，那么，3a +3a 2+1a 3的值是（ ）.A.√23B.13C.14D.15E.123.正方形A 与正方形B 毗邻，正方形B 又与正方形C 毗邻. 如图所示，这3个正方形的底边都在同一条直线上，其左上角的顶点共线. 若A 的面积为24，B 的面积为36，则C 的面积为（ ）.A.48B.50C.52D.54E.以上都不对24.各边不相等的△ABC 的两条高的长度分别是4和12，若第三条高的长度也是整数，则它的最大值是（ ）.A.4 B.5 C.6 D.7 E.以上都不对25.如图中的(1)(2)(3)(4)是同样的小等边三角形，(5)(6)也是等边三角形且边长为(1)的2倍，(7)(8)(9)(10)是同样的等腰直角三角形，(11)是正方形. 那么，以(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)为平面展开图的立体图形的体积是以(1)(2)(3)(4)为平面展开图的立体图形体积的（ ）倍.A.2B.4C.8D.16E.以上都不对26.n 为正整数，若2n 有28个正因子，3n 有30个正因子，则6n 的正因子的个数为（ ）.A.32 B.33 C.34 D.35E.3627.矩形ABCD 的尺寸为70×40，对角线AC 上标记的18个点(包括A 和C )将对角线分成17等份，AB 边上标记的22个点(包括A 和B )将该边分成21等份. 我们进而构建如图所示的17个无交叠的三角形，每个三角形的2个顶点即为矩形边上相邻的2点，而另一顶点则是矩形对角线上的一点. 如此，在矩形边的21等份中，只有左侧17等份被用来作为这些三角形的底. 则这17个三角形的面积之和为（ ）.A.600B.700C.800D.900E.100028.小明的父亲在小明过生日时送给小明一个L形的生日蛋糕. 小明的父亲让小明只用一刀将蛋糕切为三块，以便将蛋糕分给小明的弟弟及妹妹. 因此，小明可以如图(a)(b)的方式切，但不可以如图(c)的方式切.但小明的父亲说切完后，必须让弟弟和妹妹先挑选，他们一定是挑比较大块的，而小明只能挑选最后剩下的那块. 所以小明要设法使切完后的三块蛋糕中，最小的那块要越大越好. 若小明达成了目标，则小明能分到的那块蛋糕的面积为（）cm2.A.60B.70C.80D.90E.400329.环形跑道周长为400米，甲、乙两人同时同地顺时针沿环形跑道跑，甲每分钟跑52米，乙每分钟跑46米，甲、乙两人每跑100米休息1分钟. 问：甲需（）分钟追上乙.A.14713B.145213C.142313D.139413E.以上都不对30.一间4m×4m房间的地板可以被8块1m×2m的地毯以不同形式覆盖，如图所示的三种不同的形式如下：则共有（）种不同的覆盖形式.A.28B.32C.36D.40E.以上都不对初二年级超常思维竞赛数学试卷答案考试时间：100分钟满分150分。
八少八素-思维训练-综测1(60道)-试题
8-02-2--思维训练-综测1-（60道）本讲内容综合复习之前所学习的内容，抽选其中的内容进行混合练习，提高辨别能力。
题1：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题2：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题3：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题4：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题5：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题6：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题7：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题8：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题9：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题10：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题11：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题12：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题13：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题14：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题15：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题16：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题17：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题18：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题19：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题20：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题21：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题22：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题23：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题24：观察图形中的规律，选择符合要求的图形题25：观察图形中的规律，选择符合要求的图形26、按照规律，下一个图形是哪个？27、问号处应该是什么图形？28、问号处是什么图形呢？29、观察规律，“？”号处应该是哪个？30、观察规律符合条件的选项是哪个？31、观察规律符合条件的选项是？32、观察规律符合条件的选项是33、观察规律符合条件的选项是34、观察规律符合条件的选项是35、观察规律符合条件的选项是36、观察规律符合条件的选项是37、观察规律符合条件的选项是哪个？38、观察规律符合条件的选项是39：观察规律，符合要求的图形是40、观察规律，符合要求的图形是41、观察规律，符合要求的图形是42、观察规律，符合要求的图形是44、观察规律，符合要求的图形是43、观察规律，符合要求的图形是46、观察规律选择符合要求的图形。
第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(六)几何
第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（六）【备注】一、考察的思维品质考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。
二、考察的思维能力1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。
2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。
3、从个别事例开始，先观察、研究这类问题的几个简单的、特殊的情况的共同特征，通过逆推、比较、分析，从中发现一般规律，找到解决问题的途径和方法，叫归纳思维。
1.观察下图中A、B两图的变化规律，并按照同样的在C图中画出所缺的图形。
【参考答案】2．图中第图形与众不同。
【参考答案】选(4)。
同步练习A图B图C图（1）（2）（3）（4）（5）几何---演绎与归纳、分析与综合姓名：日期：3.如图，问号处应该是（）。
【参考答案】选择D，每行中的前两个图形叠加起来，擦去它们共有的线条，得到第三个图形。
故选D.4. 图中？处应选（）。
【参考答案】选D，根据图形的对称轴的数量分别是0，1，2，3，4，5，来确定，故只D图形中有5条对称轴。
5. 要求你从四个图形选项中把与众不同的一个挑选出来。
【参考答案】选D，所有图形都是黑白两种颜色，而前三个都是黑色部分在图形中间，第四个图形则相反。
6. 请在标注ABCD的四个图中选出一个，使之放在？处后与题干图形适配。
说明理由。
【参考答案】选D，题干图形只涉及白色圆圈、黑色圆圈，所以有以下三种关系：黑白圆圈的数量关系、白圆圈的位置变化、黑白圆圈的叠加转化。
此题规律是：每行前两个图形叠加：白+白=黑、黑+黑=白、白+黑=空、白+空=白、黑+空=黑，由此得到第四个图形。
7. 请在标注ABCD的四个图中选出一个，使之放在？处后与题干图形适配。
说明理由。
【参考答案】选D，题干图形的共同特征是每个图形都可看作是几个小正方形组成的，进一步分析每个图形中小正方形的位置关系，发现它们都没有公共边，这就题干所有图形的共同特征，只有D符合这个特征。
数学中之类比
思考:你能验证吗？
赵爽弦图
a
B
c a
朱实
赵爽指出：按 弦图，又可以勾股 相乘为朱实二，倍 之为朱实四，以勾 股之差自相乘为中 黄实。加差实，亦 成弦实。
1 2 + C2= 2 × (2×2 ab） (a-b)
b c
朱实
C
A
b
朱实
朱实
a2+b2 =
C b
(1)
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
如果知道斜拉桥桥面以上 的索塔AB的高，怎么计算各条拉 索AC、AD、AE……的长？
A
G
BC
D
E
F
《九章算术》勾股章第6题 : 《九章算术》专设勾股章来研究勾股问题，共24个 引葭(jiā)赴岸 (葭:芦苇） 问题．按性质可分为三组，其中第一组的14个问题可 以直接利用勾股定理来解决．很多是具有历史地位的 世界著名算题．
1 1 ab 1 2 (a + b)(b + a) = c + 2( ) 2 2 2 1 a2 + ab + 1 b2 = 1 c2 + ab 2 2 2
∟
a2 + b2 = c2
b
∟
c
a
证 法 4：
a2
毕达哥拉斯证法
a2 c2 b2 a 2 + b 2 = c2
你还想知道勾股定理的其 它证法吗？请上网查询，你一 定会有精彩的发现。若你再能 写一点有关勾股定理的小文章， 那就更漂亮了。
两千多年来，人们对勾股定理的 证明颇感感兴趣。因为这个定理太贴 近人们的生活实际，以致于古往今来， 无论平民百姓还是帝王总统都愿意探 讨它的证明，因此不断涌现新的证法。 下面我们一起学习几种证明勾股定理 的方法。
2024八年级数学上册阶段拔尖专训第4招数学建模之“双平等腰”习题课件新版浙教版
∴∠ BCQ ＝∠ ACB ，
∴ CP 平分∠ ACQ ，
∴ PM ＝ PN ，∴△ CPM ≌△ CPN ，
1
2
3
4
5
6
∴∠ MPC ＝∠ NPC .
∵∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ ACB ＝180°－2∠ B ，
∠ MPN ＝2∠ MPC ＝2(90°－∠ ACB )＝180°－2∠ B ，
4
5
6
5. 如图，在△ ABC 中， AB ＞ AC ， AF 是∠ BAC 的平分
线， D 是 AB 上一点，且 AD ＝ AC ， DE ∥ BC 交 AC 于点
E ，连结 DF ， DC . 求证： CD 平分∠ EDF .
1
2
3
4
5
6
【证明】∵ AD ＝ AC ，
∴△ ACD 是等腰三角形.
∵ DE ∥ BC ，
∴∠ DFB ＝∠ FBC ，∠ EFC ＝∠ BCF ，
∴∠ DFB ＝∠ DBF ，∠ CFE ＝∠ ECF ，
∴ BD ＝ DF ＝5， FE ＝ CE ＝3，
∴ DE ＝ DF ＋ FE ＝5＋3＝8.
已知角平分线、平行线
1. 如图，在△ ABC 中， BD ， CD 分别是∠ ABC ，∠ ACB
∥ AB ， P 为 BC 上任意一点，连结 AP ， PQ ，使∠ APQ
＝∠ BAC ， PQ 交 CQ 于点 Q . 求证： PA ＝ PQ .
1
2
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【证明】如图，过点 P 分别作 PM ⊥ AC ，垂足为 M ， PN
⊥ CQ ，垂足为 N .
2017年第八届启智杯参考答案与评分标准(A2组)
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4. （10 分）有一个边长为两位数的正方形，其面积与边长之差是 10 的倍数； 边长是 3 的倍数但不是 6 的 倍数、也不是 5 的倍数，其十位数是奇数.问边长是多少？给出你的答பைடு நூலகம்，说明你的理由.
【考察方向】数字特征，分步推理 【参考答案】51 解析：其面积与边长之差是 10 的倍数，意味着面积的个位数与边长的个位数相同，说明边长个位数只能是 0、1、5、6； 边长不是 5 的倍数，说明个位数只能是 1 和 6；边长是 3 的倍数但不是 6 的倍数，说明边长 是奇数、个位数是 1，且两位之和是 3 的倍数，只有 21、51 或 81；十位数是奇数，只有 51。 【评分标准】给出正确答案给 4 分；说明理由给 6 分。
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张先生要快递 41.5 公斤货物，可以拆分. 请问他至少要支付多少快递费？说明你的理由. 【参考答案】95 元. （最佳方案是 30 公斤、9 公斤通过 A 公司快递，2.5 公斤通过 C 公司承运） （1）由于单价 C 公司最高，所以当货物较多时不适合用 C 公司，A 公司首付低，但后续单价高，超过 30 公
8. （10 分）在如下的方框内分布着从 1 到 81 的 81 个数，这些数有一定的排列规则.有人根据这些数的位
置情况用只含有 1、2、3 的四元有序数组 m, n；k,l 来记录这些数，他把 2 记作 1,1；1, 2 ，把 50 记作
2,3；2, 2 ，把 66 记作 3, 2；1,3 ，把 58 记作 3,1；2,1 .请问，按照这种记法，1, 2；3,3 代表哪个数？
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7. （10 分）上图中 ABCD 和 DEFG 是两个不等的正方形，连接 BE
交 DG 于 H，如果 CHG 的面积为 8，问 DHF 的面积为多少？ F
2023 年第四届超常(数学)思维与创新能力测评 初二年级试卷
2023年第四届超常（数学）思维与创新能力测评初二年级考试时间：100分钟满分：150分考试说明：（1）本试卷包括30道不定项选择题（可能有几个选项正确），每小题5分．（2）每道题的分值按正确选项的个数平均分配，但是如有错选，则该题不得分．1.如图，从所给五个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性．（）A. B. C. D. E.2.如果2x3+x2+kx−2能被2x+12整除，那么k等于（）．A.818B.−778C.778D.−818E.不能确定3.在吉玛部落，长距离步行和了解丛林道路都是极其重要的，所以当一个男子成年时，他必须在完成一个有趣的成年礼后才会被称为成人．该男子必须进行一系列的远足．第一次远足是在主干道上步行5km．第二次远足是在第二条路上步行514km．就这样每次在一条不同的路上比前一次多走14km．当该男子在所有远足中累积步行超过1000km时，这一成年礼就宣告完成．所以在吉玛部落，一名男子必须走过（）条路才可以称为成人．A.36B.47C.59D.72E.734.把a√−1a的根号外的a移入根号内，得（）．A.√aB.−√aC.−√−aD.√−aE.以上都不对5.方程|x|=ax+1有一负根而无正根，则a的取值范围是（）．A.a>−1B.a>1C.a≥1D.a≥−1E.以上都不对6.如图，AB//EF//CD，已知AB=20，DC=80，那么EF的值是（）．A.10B.12C.16D.18E.不能确定7.如图，小刚打算从点A 走到点B ，要求他不能走进阴影区域，但是可以在白色区域沿任意方向行走（可以在整个平面上移动，而不仅限于沿网格线）．则A 和B 之间的最短路径的长度为（ ）．A.15√2B.3+10√2C.7+5√2D.7+6√2E.108.已知a 2a 4−a 2+1=437，a 为正实数．那么，a 3a 6−a 3+1=mn ，其中m 和n 为互质的正整数．则m +n 的值为（）．A.251B.259C.270D.310E.3929.半径为8的圆形最多能容纳（）个互不重叠的2×2的正方形．A.35B.37C.39D.40E.4110.在平面直角坐标系中，点P 从P 1(−4，0)依次跳动到P 2(−4，1)，P 3(−3，1)，P 4(−3，0)，P 5(−2，0)，P 6(−2，3)，P 7(−1，3)，P 8(−1，0)，P 9(−1，−3)，P 10(0，−3)，P 11(0，0)，P 12(0，1)，P 13(1，1)，…，依此规律，则点P 2023的坐标为（ ）．A.（2023，0） B.（2023，1） C.（805，0） D.（804，1） E.（805，1）11.设x =18m+1n．对于（）个小于19的正整数n ，能够找到一个正整数m ，使得x 是正整数．A.1B.6C.7D.8E.912.点E 和点F 都在矩形ABCD 内，且AE =DE =BF =CF =EF ．若AB =11，BC =8，则四边形AEFB 的面积为（ ）． A.32 B.28 C.16 D.36 E.4413.如图，将9个面积为3的小正方形放入大正方形内．这些小正方形彼此相邻，且一个正方形一角的顶点恰好为另一正方形一边的中点．若大正方形之内、小正方形之外的阴影区域的面积为√n ，则整数n 的值为（ ）．A.144B.168C.234D.288E.31014.甲、乙两人同时解根式方程√x +a +√x +b =7．抄题时，甲错抄成√x −a +√x +b =7，结果解得其一根为12．乙错抄成√x +a +√x +d =7，结果解得其一根为13．已知甲、乙两人除抄错题之外，解题过程都是正确的，又a ，b ，d 都是整数，则（a ，b ）=（ ）． A.（3，4） B.（－4，－3） C.（－13，－8） D.（12，37） E.（5，0） 15.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（a ）就是一个幻方．图（b ）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）．A.9B.10C.11D.12E.2216.满足n 3+m 3−mn (n +m )=2023的所有整数对（m ，n ）（n ≥m ）共有（）组． A.0 B.1 C.2 D.3 E.无穷多17.当三位数6a3和2b5相加在一起时，其答案是一个被9除尽的数．则a +b 可能的最大值是（）．A.12B.9C.2D.20E.以上都不是18.已知x 2=y 3=z4，那么x 2−2y 2+3z 2xy+2yz+3zx 的值是（）．A.1727B.79C.1718D.729E.不能确定19.已知P 为等边△ABC 内一点，PA =6，PB =8，PC =10，则最接近△ABC 的面积的整数是（ ）．A.78 B.79 C.80 D.81 E.以上都不是20.在四边形ABCD 中，AB =AC ，AD =CD ，∠BAC =20°，且∠ADC =100°，则以下结论中正确的是（ ）． A.∠DAB =60° B.∠BCD =120° C.AB >BC +CDD.AB =BC +CDE.AB <BC +CD21.如图，矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，若将矩形折叠，使点B 与点D 重合，则折痕EF 的长为（ ）．A.154B.4C.174D.92E.以上都不是22.有四个边长分别为3cm ，4cm ，5cm 的木三角形，则用所有这些三角形能拼成（ ）种凸多边形．注：凸多边形的所有内角均小于180°，且它没有任何洞．图（a ）是凸的，图（b ）不是凸的．A.7B.9C.11D.16E.1823.有一座城堡的城墙围成四边形PQRS 的形状，如图所示，其中PQ =40m ，QR =45m ，RS =20m ，SP =20m ，且∠PSR =90°，有一名卫兵在城墙外，依顺时针方向沿着与城墙最近的距离保持为2m 的路径上巡逻，绕一圈后回到原出发点．那么他总共走了（ ）m ．A.（125+4π）B.（121+5π）C.（125+5π）D.（121+6π）E.（125+6π）24.△ABC 具有以下性质：它内部的点P 使∠PAB =10°，∠PBA =20°，∠PCA =30°，∠PAC =40°．则△ABC 是（ ）． A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 E.锐角三角形25.对于正数a ，b 我们把a+b 2叫做它们的算术平均数，而√ab 则叫做几何平均数．现在有两个小于1000的正整数，其算术平均数与几何平均数是两个连续的奇数，则这两个数之差的最大值为（）．A.120B.128C.140D.112E.5726.如果p 、q 、2p−1q、2q−1p都是整数，且p >1，q >1，则p +q =（）． A.8B.10C.12D.16E.以上都不是27.[x ]表示最大的不超过x 的整数．则[23×1101]+[23×2101]+[23×3101]+⋯+[23×100101]=（）．A.1000B.1050C.1080D.1090E.110028.令*为自然数的二元运算，其特点是对于所有的a ，b ，c 都有(a +b )∗c =(a ∗c )+(b ∗c )和a ∗(b +c )=(a ∗b )∗c ．若5∗5=160，则7∗7的值为（ ）．A.343 B.689 C.896 D.960 E.102929.如图所示，10个不同的点被排列成一个圈，将这10个点两两配对，并保证连结点对的线段互不相交，则共有（ ）种配对方法．A.15B.20C.35D.40E.4230.黑板上写着两个数：11和17．允许你做两种操作：（1）把某个数重写一遍；（2）把两数相加，写上和数．则最大的不能在黑板上出现的数是（）．A.136B.137C.139D.158E.以上都不是。
启智杯数学竞赛试题及答案
启智杯数学竞赛试题及答案试题一：基础计算题题目：计算下列表达式的值：(1) \( 3^2 + 5 \times 2 \)(2) \( (4 - 3) \times (6 + 2) \)试题二：几何题题目：在一个直角三角形中，如果直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
试题三：应用题题目：小华有120元钱，他打算用这些钱买一些文具。
如果每支铅笔的价格是2元，每本笔记本的价格是5元，小华最多可以买多少支铅笔和多少本笔记本？试题四：逻辑推理题题目：有一个数字序列，序列的前两个数字是1和1，从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字的和。
求这个序列的第10个数字。
试题五：代数题题目：解方程 \( ax + b = 0 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是已知数。
答案：试题一：(1) \( 3^2 + 5 \times 2 = 9 + 10 = 19 \)(2) \( (4 - 3) \times (6 + 2) = 1 \times 8 = 8 \)试题二：根据勾股定理，斜边长度 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)试题三：设小华买 \( x \) 支铅笔和 \( y \) 本笔记本，根据题意有：\( 2x + 5y = 120 \)由于 \( x \) 和 \( y \) 都是整数，我们可以通过列举法找到最大值。
当 \( y = 0 \) 时，\( x \) 最大，此时 \( x = 60 \)。
试题四：序列是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55第10个数字是55。
试题五：解方程 \( ax + b = 0 \)，得到 \( x = -\frac{b}{a} \)。
结束语：以上是启智杯数学竞赛的部分试题及答案，希望参赛者能够通过这些题目锻炼自己的数学思维和解题能力。
预祝大家取得优异的成绩！。
百花思维8旋转推理答案
百花思维8旋转推理答案1.有四只猫，是个四足动物。
2.小狗是只狗，每天早上都有两只小狗来喂它。
3.一只小狗每天早上都来找小狗，而另一只小狗只来找小狗。
4.一只小狗白天看报纸时，发现有一只猫在睡觉。
于是他就给猫吃猫粮，但小猫却把猫吃得只剩下一小口气了。
5.有一天小狗发现几只小鸡在玩一个弹弓游戏，就很不高兴。
一、小狗认为，猫吃猫的食物比自己多得多，所以猫总是偷吃猫粮，这不是偷吃吗？②小狗知道猫吃了猫粮后，就跑到小狗面前向它讨说法。
3.一天下午小狗和几只小鸡一起玩弹弓游戏，不小心把弹弓射到了小鸡的头上。
于是小狗就让几只小鸡跳了起来。
把它撵走了。
小狗认为这也是被猫偷吃了食物。
1、小狗家养了一条猎犬，他经常打鸟，后来他觉得打鸟很好玩，就把它带到了他的家里。
他在院子里养了两条狗，每天都会带着它们出去玩。
小狗很喜欢这两条狗。
可是有一天，两条狗打架了，打的很凶。
小狗很生气，想把这两条狗都给打死。
可是他的猎犬不听他的话。
每次看见小狗打狗，它就跑过来对小狗说：“你这样打狗我会杀了你。
你打狗给我看看！”小狗生气的回了它一句：“打得好！”然后跑去拿猎犬的笼子关了起来。
2、它每天都去跳。
它认为，猫每天都在外面乱跳，所以猫才去吃猫粮。
那么小狗也是这样认为的？8.一天早上小狗看到有两只母鸡在偷吃小鱼，于是它跑到两只母鸡面前质问两个母鸡：“你们为什么要偷养这么多鱼？”母鸡就说：“这是我的天职。
因为小鱼吃多了会变胖，所以它们会偷吃我的鱼……”3、一天晚上小狗发现猫狗在吃猫粮后就跑了6.有一天晚上小狗的妈妈因为担心小狗的安全就去医院看了医生。
小狗妈妈发现小狗没有问题就回家去了。
4、后来他就去找猫要吃猫粮，并且向它讨要说法⑤他和猫商量以后，猫就把粮给了他。
⑥他去找猫要说法，并向猫讨要说法。
小狗认为，猫偷吃了猫粮就不是偷吃了吗？答案：并不是。
5、它没有跟小狗玩到天亮⑥它和小狗之间是什么关系？⑦这是一个被偷吃的故事。
11.有一天一个小女孩到了一个新的地方，它的妈妈给它取名叫：红石。
深圳启智杯简介
“启智杯”是由深圳市数学学会主办，深圳市数学学会秘书处协办。
是深圳特色数学邀请赛，已经在深圳成功举办两届，并在广大家长及学员中建立了极好的口碑，已经成为影响较广的学科课外活动之一。
"启智杯"数学思维能力竞赛打破常规竞赛模式，以考查发散性思维能力为主。
竞赛内容既涉及到代数、几何、三角等基本数学知识，也贴近实际、贴近生活；题目形式多样，集知识性、趣味性、科学性于一体；答案不一定唯一，着重考查思路、启发智慧。
数学思维能力竞赛问题的解答不需要深奥的数学知识做准备，不需要作突击复习与强化训练，具有广泛的社会参与性和教育普及性。
同学通过这种竞赛可以拓宽数学视野、发现数学价值、激发数学兴趣、展现思维潜质与缺陷，以便在今后的学习中明确努力方向，也为将来参加各种自主招生考试甚至职场应聘提供经验。
当今信息时代，知识更新速度加快，老化周期缩短，获取手段多样、渠道通畅、方法便捷，以思考力、判断力、创新力为基本特征的人才观逐渐形成。
于是在各级（初中、高中、大学、研究生）自主招生及职场招聘考试（公务员、跨国公司）中，也逐渐形成以考查这些能力为目的的思维测试题。
作为基础教育最重要的学科，数学教育最重要的目的与价值就在于培养人的思维能力，包括以合情推理（归纳、类比、关联、辐射、迁移、空间想象等）为主的发散性思维，以演绎推理（三段论、递归、反证等）为主的收敛性思维。
人类的发明创造开始于感性的发散性思维，终止于理性的收敛性思维，两种思维同样重要、不可或缺。
但受传统教育、应试教育的影响，我国数学教育内容强调了知识的系统与严谨，考查与选拔题目也过分强调结论确定、答案唯一，这在一定程度上制约着发散性思维的发展。
"启智杯"数学思维能力竞赛打破常规竞赛模式，以考查发散性思维能力为主。
竞赛内容既涉及到代数、几何、三角等基本数学知识，也贴近实际、贴近生活；题目形式多样，集知识性、趣味性、科学性于一体；答案不一定唯一，着重考查思路、启发智慧。
八少八素神测考试题
八少八素神测考试题
1.五个答案中哪一个是最好的类比？
2.找出与众不同的一个：
3.一个立方体的六面，分别写着A B C D E F六个字母，根据以下四张图，推测B的对
面是什么字母？
4.9、五个答案中哪一个是最好的类比？
5.找出与众不同的一个：
6.找出与众不同的一个：
7.五个答案中哪一个是最好的类比：
8.五个答案中哪个是最好类比？
9.下边哪一个盒子是用左边这张硬纸折成的？
10.找出与众不同的一个：
11.找出与众不同的一个：
12.五个答案中哪个是最好的类比
13.五个答案中哪一个是最好的类比？
14.如果把这个大立方体的六个面全部涂上黑色，然后按图中虚线把它切成36个小方块，
两面有黑色的小方块有多少个？
15.从①、②、③、④、中选出一个最合适的图案填在下边的问号处．
16.找出与众不同的一个：
17.图中阴影局部占面积百分之几？
①20%②25%③30%④35%⑤40%
18.找出异乎寻常的一个：
19.数数有多少个三角形
①5②7③9④11⑤13
20.五个谜底中哪个是最好的类比？
21.找出与众不同的一个：
22.找出与众不同的一个：
23.哪个图形与众不同？。
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第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(八)几何--类比与猜想第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（八）
【备注】一、考察的思维品质考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。
二、考察的思维能力 1．发散性思维能力：直觉思维――数学直觉和数学灵感；形象思维――数学表象和数学想象。
2．收敛性思维能力：逻辑思维――形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。
3、面临两个个体，其中一个性质清楚，另一个有待认识，于是对这两个对象进行比较，通过两个个体中若干相同或相似之处，类比猜想这两个人个体在其它方面的相同或相似，实现对另一个对象的合情判断
1.有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，全程350公里，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。
如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？【参考答案】小鸟飞行时间与两辆车的相遇时间相同，即：350÷（15＋20）=10（小时），则小鸟飞行了10×30=300（千米）。
2.如果2元钱一瓶汽水，喝完后五个空瓶换一瓶汽水，问：你有40元钱，最多可以喝到几瓶汽水？【参考答案】8元钱可以买4瓶却能喝5瓶，则40÷8=5，5×5=25（瓶）。
3. 在一块正方形纸上剪下一个宽为0.5分米的长方形纸条，剩下的面积为平方分米，剪下的长方形纸条的面积是__________平方分米。
【参考答案】此题用弦图来解：如图，设原正方形的边长为a,则剪下一个长方形纸条后剩下部分的长为a，宽为（a－0.5），那么，图中存在这样一个关系：（2a －0.5）2＝ 0.52，则a＝，那么剪下的长方形纸条的面积S＝×0.5＝＝1 （dm2）
4.一个纸箱里装有2013张小卡片，上面分别写着1～2013这2013个自然数，从纸箱中任意摸出若干张小卡片，然后算出这些卡片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入纸箱中，经过若干次这样的操作后，纸箱中还剩下一张卡片，这张卡片上的数是多少？【参考答案】每次操作都不改变纸箱中所有数之
和除以100的余数，所以最后一张卡片上的数等于1～2013的和除以100的余数。
（1＋2＋…+2012＋2013）÷100＝2027091÷100＝20270……91，所以这张卡片上的数是91.
5.国庆期间，某酒店在大厦的外墙周围安装了2013个霓虹灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这2013个灯泡按1～2013编号，它们的明暗规则是：第一秒，全部灯泡变明；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由明变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的明暗状态，即暗的变明，明的变暗；……同样，第n秒凡是编号为n 的倍数的灯泡改变原来的明暗状态。
这样继续下去，到第2013秒时，还有多少个灯泡是明的？【参考答案】某个灯泡，如果它的明暗变化的次数为奇数，那么它是亮的。
根据题意可知，号码为N的灯泡，明暗变化的次数等于N的因数的个数，而如果N的因数的个数是奇数，则N一定是平方数。
所以第2013秒时，那些编号是平方数的灯泡是亮的。
因为12，22，32，…，442＝1936�2013�452＝2025，所以第2013秒时，还有44个灯泡是明的。
6.如图，梯形ABCD的对角线MC、BD相交于点O，已知AB＝10cm，CD ＝6cm，梯形ABCD的面积为24cm2，那么三角形BOC的面积是多少？【参考答案】∵A B�sCD＝OB�sOD＝10�s6＝5�s3，
∴S△ABD�sS△BDC＝S△BOC�sS△DOC＝5�s3，∴S△BDC＝24× ＝9（cm2）,S△BOC＝9× ＝（cm2）。
7.从一个长、宽、高恰好是三个连续自然数的长方体中截下一个最大的正方体，剩下部分的棱长之和为72厘米。
原来长方体的体积是多少立方厘米？【参考答案】如图，长方体截去一个最大的正方体后，棱长增加2个高，那么根据棱长和公式，4（a＋b＋h）＋2h=72，得2a＋2b＋3h=36，又由于长、宽、高是三个连续自然数的和，解得a=4，b=5，h=6，所以长方体的体积＝4×5×6＝120（立方厘米）。
7.将一块正方形的纸片裁成面积相等的四块，写出八种裁法（用图形表示）。
提示：题目的要求是“裁成面积相等的四块”，因此，所提供的解法必须具有可操作性。
【参考答案】
8.能否把一个正方形分割成个等腰直角三角形，其中任意两个三角
形都不相同？（经过平移、旋转、翻折后可以重叠的视为相同的三角形）【参考答案】
9.已知是等腰三角形, 过的一个顶点的一条直线, 把分成两个小三角形, 如果这两个小三角形也是等腰三角形, 试求出各内角的度数. 【参考答案】
（1）900,450,450；（2）1080，360，360；（3）360，720，720；（4）（25 ）0，（77 ）0，（77 ）0
10.如图所示的立体图形由9个棱长为1cm的立方块搭成，请问这个立体图形的表面积为多少？【参考答案】从上、下、左、右、前、后等到的这个立体图形有表面的面积分别为5cm2，5cm2，5cm2，5cm2，6m2，6m2，总和为32cm2. 11.剪刀沿图中小方格的边界把4×4正方形格纸剪开成形状、大小都相同的两部分，给出五种不同的剪法。
【参考答案】
12.左图给定的是纸盒外表面，右图中哪一项能由它折叠而成？【参考答案】答案：D，左边的纸盒外表折叠得到左边的图形，A项中右面的两条线相反，A错误；B项右侧错误，C项的斜线方向错误；D项可由上边图象折成。
13.左图盒子展开将得到右图选项中那个图形？【参考答案】答案：B，给定的图形上、下面的两个阴影三角形的三边是对应平行的。
A、B项的图形排列一致，只需将小阴影三角形的面上下翻转，看是否与大阴影三角形方向一致，分析可知，B项满足，是正确答案；C、D项的图形排列一致，只需将阴影三角形的面上下翻转，看是否与大阴影三角形方向一致即可。
分析可知，都不满足。
14.一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的。
P为上面ABCD的对角线的交点。
用一个平面分别通过P、E、F三点的平面、P、F、G三点的平面、P、H、G三点的平面、P、H、E三点的平面把正方体切开，求最后剩下的立体图形中，包括几个完整的棱长是1厘米的小正方体？【参考答案】在ABCD面中最后只剩下P点，底面EFGH是完好的。
连接点P与E、点P与F、点P与G、
点P与H的线都是直线，所以剩下的立体图形是底面为正方形的正四棱锥（如图）。
从正侧面看，从下数第一层3×3＝9（个），第二层是3×3＝9（个），第三层是1个，第四层是1个，合计是：9＋9＋1＋1＝20（个）。
15.如图，一个正方体是由125块体积相等的黑白相间的小正方体拼成的，那么露在表面上的黑色正方体的个数是多少？【参考答案】解法一：表面每个面有13个，由六个面有13×6=78（个），又由于棱上有12个都计算过两次，顶点上8个都计算过三次，所这个正方体的表面共有黑色小正方体78－12×1－8×2＝50（个）解法二：三个面：8个；两个面：1×12=12个；一个面：5×6=30个。
共：
8+12+30=50（个）。
16.马老师让全班49名同学每人手拿一张1～49的不同号码牌，让他们围坐成一个圆圈，使相邻两个同学的号码的乘积小于100，问：这个圆圈最多只能坐多少人？【参考答案】如图：最多只能坐18人。
（答案不唯一）
17.公园中一块草坪（如图），其中四个角上各有一棵大古树，现在园林处根据安排要求把这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，并使扩大后的草坪为平行四边形，试问这个想法能否实现？若能，请你设计出草图并说明画法。
否则说明理由。
【参考答案】能，分别过点A、C作BD的平行线，过点B、D作AC的平行线得到一个平行四边形且原草坪的面积扩大一倍。
18.一个圆形滚动（如图），它从A位置开始，滚过与它相同的其它六个圆的上部，到达B位置，则该圆滚动了几圈？【参考答案】
滚动的圆与从左右到右的圆分别接触的圆弧长为（设一圆的周长为1）：，，，，，，在相邻两个圆之间滚过的弧长为，，，，所以该圆共滚过的圈数为：2× ＋4× =1 （圈）。