一元二次方程的解法及根的判别式
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程的根与判别式
一元二次方程的根与判别式一元二次方程是数学中的经典问题，它的解析式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
而求解一元二次方程的根则需要使用判别式，下面将详细介绍一元二次方程的根和判别式。
1. 一元二次方程根的定义一元二次方程的根是指满足方程成立的未知数值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，若存在实数x1和x2使得将x1和x2代入方程后方程成立，则称x1和x2是一元二次方程的根。
2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用因式分解法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其进行因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的两个根为x = -2和x = -3。
(2) 完全平方法当一元二次方程的系数a、b、c满足一定条件时，可以使用完全平方法来求解方程的根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，我们可以将其改写为(x - 2)^2 = 0，从而得到方程的根为x = 2。
(3) 公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，分别称为x1和x2。
3. 一元二次方程的判别式判别式是指用来判断一元二次方程的根的性质的一项数学公式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0而言，其判别式的计算公式为Δ =b^2 - 4ac，即Δ等于系数b的平方减去4ac。
判别式Δ的值有以下三种情况：(1) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解。
(2) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，方程的根可以通过求根公式求解，并且两个根是相等的。
(3) 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
一元二次方程定义,解法及根的判别式
一元二次方程定义，解法及根的判别式一． 一元二次方程定义：1．已知关于x 的方程（1）当a 时，方程是一元一次方程；（2）当a 时，方程是一元二次方程；（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时， a = ．2．若方程是关于的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A ．m ≠±l B ．m ≥一l 且m ≠1 C ．m ≥一l D ．m>一1且m ≠13．当m= 时，方程是一元二次方程。
4、若方程mx 2+3x －4=3x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 ．二．用适当方法解一元二次方程：1．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+-（3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （4）22)3(144)52(81-=-x x9．解关于x 的方程（含有字母系数的方程）：（1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x(3)n m nx x n m -=++2)(2（0≠+n m ） (4)x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+-(6)、定义新运算“”，规则：，如，。
若的两根为，求（7）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义。
若，求x（8）、设、、都是实数，且满足，；求代数式的值三．一元二次方程根的意义：1、已知是关于的方程的根，则常数的值为2、已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B.5 C.-9 D.93、设是方程的两个实数根，则的值为（）A．2006 B．2007 C．2008 D．20094．已知a,b是一元二次方程x2－x－1=0的两个根,求代数式3a2+2b2－3a－2b的值．5、设a是方程的一个根，求代数式的值．6．若实数m满足m2－m + 1 = 0，则m4 + m－4 = ．7．已知关于x 的方程01)1(2=++-mx x n ①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个相等的实数根。
九年级数学一元二次方程的解法根的判别式
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况： 不解方程，判断下列方程根的情况： x（1）-x2+ 2 6 x-6=0 （2）x2+4x=2 +1=（3）4x2+1=-3x 2mx+4 （4）x2-2mx+4（m-1）=0 解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0 ） × ） ） ∴该方程有两个相等的实数根
尝试：
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0 － ⑵ x2 = 4x－4 － ⑶ x2－3x =－3 －
答案：（ ）有两个不相等的实数根； 答案：（1）有两个不相等的实数根； ：（ （2）有两个相等的实数根； ）有两个相等的实数根；
当一元二次方程有两个不相等的实数根时， 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时， 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
概念巩固
1.方程 2+2=4x的判别式 2-4ac= -8 方程3x 的判别式b 方程 的判别式 . 所以方程的根的情况是 方程无实数根
典型例题
为任意实数， 例2 ：m为任意实数，试说明关于 的方程 为任意实数 试说明关于x的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等 （ ） （ ） 恒有两个不相等 的实数根。 的实数根。
解：b 2 − 4ac = [− (m − 1)]2 − 4[3(m + 3)]
= m 2 + 10m + 37
典型例题
2
一元二次方程的解法及判别
一元二次方程的解法及判别一、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、一元二次方程的解法1.因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，使其变为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。
2.公式法：利用一元二次方程的求根公式（也称二次公式）求解。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
三、一元二次方程的判别式判别式是用来判断一元二次方程的根的情况的数值。
判别式的公式为：Δ = b^2 - 4ac。
四、判别式的性质与解的情况1.当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
3.当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。
五、一元二次方程的解法比较1.因式分解法适用于方程的系数较小，且容易分解的情况。
2.公式法适用于任何形式的一元二次方程，无论系数的大小和是否容易分解。
六、一元二次方程的应用一元二次方程在实际生活中有广泛的应用，如物体的运动轨迹、投资收益、面积计算等方面。
总结：一元二次方程的解法及判别是中学数学中的重要知识点，掌握因式分解法和公式法求解一元二次方程，以及理解判别式的性质和解的情况，对于解决实际问题具有重要意义。
习题及方法：已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求解该方程。
这是一个一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解它。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于常数项6，而它们的和等于一次项的系数（-5）。
这两个数是-2和-3。
因此，我们可以将方程重写为：(x - 2)(x - 3) = 0。
根据零因子定律，我们得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x1 = 2，x2 = 3。
给定一元二次方程2x^2 + 5x - 3 = 0，求解该方程。
第五讲 公式法解一元二次方程和根的判别1
第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。
二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。
2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。
3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。
4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。
（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。
一元二次方程的解法(5)---根的判别式
方程化成一般形式后方可使用！
例题评讲：
例1：不解方程判别下列方程根的情况
（1）x2+3x+1=0 （2）x2 -6x+9=0 （3）2x2 -x+1=0
例2：关于x的方程2x2 +mx-2=2x-m，当m为何值 时方程有两个相等的根？并求出它的根.
练习：
(注意：△≠
b
2
2-4ac) ， 应△ = b 4ac
定理揭示：
（1）关于一元二次方程ax2+bx+c=0(b≠0)根的判别式定理： 在一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac 若△＞0 则方程有两个不相等的实数根 若△=0 则方程有两个相等的实数根 若△≥0时， 则方程有（两个）实数根
1、当K为何值时方程（k-2）x2 +2kx-1=0有两个相等的
实数根.
2、当K为何值时，方程kx2 +（2k+1）x+k=0（k≠0） （1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根
（3）没有实数根
例3：求证：
1 2 关于x的方程X -(m-2)x4
m2=0，无论m为何值，方程总
有两个不相等的实数根.
例 4. 已 知 a 、 b 、 c 是 Δ ABC 的 三 条 边 ， 那 么 方 程
cx2+2(a+b)x+c=0,的根的情况是（
）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断
思考
（1）k为何值时，关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数 根？
一元二次方程的解法及其根的判别式
§2.2 一元二次方程的解法及其根的判别式一、温故互查知识要点一元二次方程的概念及解法，根的判别式，根与系数的关系（选学）．二、题组训练一1．(2011钦州)下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ）A ．x 2+1=0B ．x 2-2x +1=0C ．x 2+x +2=0D ．x 2+2x -1=02．用配方法解方程x 2-4x +2=0，下列配方正确的是（ ）A ．(x -2)2=2B ．(x +2)2=2C ．(x -2)2=-2D ．(x -2)2=63．已知关于x 的方程250x mx +-=的一个根是5，那么m = ，另一根是 .4．若关于x 的一元二次方程kx 2-3x +2=0有实数根，则k 的非负整数值是 .三、题组训练二1 解下列方程：(1) 3(x +1)2=13; (2) 3(x -5)2=2(x -5)；(3) x 2+6x -7=0； (4) x 2-4x +1=0（配方法）．例2 关于x 的一元二次方程2(4)210k x x ---= ． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)在（1）的条件下，自取一个整数k 的值，再求此时方程的根.四、中考连接1．下列方程中有实数根的是( )A ．x 2+2x +3＝0B ．x 2+1＝0C ．x 2+3x +1＝0D ．x x -1= 1x -12．若关于x 的方程(a -1)x 2-2x +1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ＜2且a ≠1D ．a ＜-23．若直角三角形的两条直角边a 、b 满足(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)=12，则此直角三角形的斜边长为 ．4．阅读材料：若一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)的两个实数根为x 1、x 2，则两根与方程系 数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 根据上述材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+4x +2=0的两个实数根，则1x 1 + 1x 2= ． 5．解下列方程：（1）(y +4)2=4y ； （2）2x 2+1=3x （配方法）；（3）2x (x -1)=x 2-1； （4）4x 2-(x -1)2=0．6．先阅读，然后回答问题：解方程x 2-|x |-2=0，可以按照这样的步骤进行：(1)当x ≥0时，原方程可化为x 2-x -2=0，解得x 1=2，x 2=-1（舍去）．(2)当x ≤0时，原方程可化为x 2+x -2=0，解得x 1=-2，x 2=1（舍去）．则原方程的根是_____________________．仿照上例解方程：x 2 -|x -1|-1=0．。
一元二次方程的解法、根的判别式
九年级数学复习六——一元二次方程的解法、根的判别式一、中考要求：1. 理解一元二次方程的概念，掌握它们的解法；2．掌握一元二次方程根的判别式,并能运用它解决相应问题；3．掌握一元二次方程根与系数的关系；二、知识要点：1．只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程。
2．一元二次方程的一般形式是 。
（1）从概念分析应具备三个条件：“一元”、“二次”、“整式”方程（2）从形式上看，应先将一个方程进行整理，看是否符合一般形式。
其中尤其注意0a ≠的条件，若不能确定0a ≠时，则需分类讨论：当0a ≠时，它是一元二次方程；当0a =，0b ≠时，它是一元一次方程。
3．一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法。
4．一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式△= 。
当△＞0时，方程 实数根；当△=0时，方程 实数根；当△＜0时，方程 实数根。
5．判别式性质的应用（1）不解方程判断方程根的情况；（2）求方程中字母系数的值、范围或者相互关系。
6. 一元二次方程根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .7.一元二次方程常与分式、根式、一元一次不等式(组)、函数等知识相联系，解决综合性问题。
基础练习：1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2．关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n xn x n +++-+=中，则一次项系数是 . 3．一元二次方程2230x x --=的根是 .4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为 .5. 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p =（ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．1- 6．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根7. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .8．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x 9．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数；当m ＝ 时，两根互为相反数.10．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2= .三、典例剖析：例1．解方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+； （3）31022=-x x .（4）22)21(16)3(9x x -=+； （5） 用配方法解方程2x 2+7x +3=0。
一元二次方程解和根的判别式
直接开平方法解一元二次方程若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。
配方法解一元二次方程1．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2） 把原方程变为()n m x =+2的形式。
（3） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。
2. 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为()n m x =+2的形式；（3）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
因式分解法解一元二次方程1.如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
3.关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）.因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。
一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：a ac b b x 242-±-= 注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。
9年级上册数学一元二次方程
九年级上册数学一元二次方程一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一个只含有一个未知数（通常表示为x），且未知数的最高次数为2的方程。
其标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二、一元二次方程的解法配方法：通过配方将方程转化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。
公式法：根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，方程有2个实根。
根为x=(-b±√Δ)/2a。
因式分解法：将方程左边化为两个因式的乘积，右边化为0，然后分别令每个因式等于0求解。
三、一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac。
根据判别式的不同取值，一元二次方程的根的情况分为以下三种：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
当Δ<0时，方程没有实根（称为虚根），但有共轭复数根。
四、一元二次方程的根与系数的关根的和：x1+x2=-b/a。
根的积：x1*x2=c/a。
根的平方和：x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(b^2-2ac)/a^2。
的立方：x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1*x2)=-b^3/a^3+c^3/a^3=(c^3-b^3)/a^3。
五、一元二次方程的应用一元二次方程在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，如计算几何图形的面积、解决商品利润问题等。
解决这类问题时，需要将实际问题转化为数学模型，即建立一元二次方程，然后求解得到实际问题的答案六、配方法解一元二次方程将一元二次方程化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。
这种方法适用于所有形式的一元二次方程，但在使用时需要注意运算的准确性。
七、公式法解一元二次方程根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，使用公式法可以直接求解出方程的实根。
此方法简洁明了，但需要注意判别式的计算以及实根的存在性。
专题2 一元二次方程的解法及根的判别式应用题型(学生版)
专题2一元二次方程的解法及根的判别式应用题型知识归纳理解一元二次方程的定义及一般形式，掌握一元二次方程的解法，熟练解各类一元二次方程；掌握一元二次方程根的判别式的相关知识点并熟练应用，这些是本节的重要知识点。
本专题主要对一元二次方程的解法及根的判别式应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
知识点梳理一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．知识点梳理二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．知识点梳理三．一元二次方程的解（1）解一元二次方程-直接开平方法（2）解一元二次方程-配方法（3）解一元二次方程-公式法把x ＝（b 2﹣4ac ≥0）叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式．（4）解一元二次方程-因式分解法（5）换元法解一元二次方程知识点梳理四．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b 2﹣4ac ）判断方程的根的情况．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．常考题型专练一、选择题1.若关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根，则m 的取值范围为()A.m ≤1B.m 1≥ C.1m > D.1m <2.若双曲线my x=在第二、四象限，那么关于x 的方程2x 2x m 0-+=的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.条件不足，无法判断3.当4a b +=时，关于x 的一元二次方程220ax bx -++=的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定4.关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A .k ≤94B.k ≥94C.94k <D.k ≤94且0k ≠5.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根6.关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（）A.8B.9C.10D.117.若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（）A.﹣1B.0C.1D.28．下列方程中，没有实数根的是（）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=9．新定义运算：a ※b ＝a 2﹣ab +b ，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x ※2＝5的根的情况为（）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根10．若关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-二、填空题1．方程22x x =的解是________．2．若实数a 、b 分别满足2430a a -+=，2430b b -+=，且a b ≠，则11a b+的值为．3．一元二次方程2430x x -+=配方为2(2)x k -=，则k 的值是．4．如果关于x 的方程22(21)0x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．5．在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点的横纵坐标是x 的方程20x bx c ++=的两根，则b c +=________．三、解答题1．解方程：22(23)(32)x x +=+．2．已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．3．关于x 的一元二次方程()2104kkx k x +++=．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．4．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝，b＝；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．5．学习了完全平方公式以后，小明有了下面的发现：因为x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不论x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1．因此，代数式x2﹣2x+2的值不小于1．这种把一个多项式或一个多项式中的某一部分化为一个完全平方式或几个完全平方式和的方法，称为配方法．请用配方法解决下列问题：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，则a＝，b＝．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比较代数式3x3+2x2﹣4x﹣3与3x3+x2+2x﹣12的大小．。
初三数学一元二次方程的根与判别式
初三数学一元二次方程的根与判别式一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，它的解法直接关系到方程的根以及判别式的理解与应用。
本文将详细介绍一元二次方程的根与判别式的概念、求解方法以及实际应用。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，a ≠ 0。
方程中的x为未知数，我们的目标是求出方程的根。
二、一元二次方程的根1. 实数根与复数根一元二次方程的根可以分为实数根和复数根两种。
当判别式D大于等于0时，方程有两个实根；当D小于0时，方程没有实数根，但有两个复数根，一般表示为a + bi和a - bi。
2. 根的性质与联结一元二次方程的根有以下性质：- 根与系数的关系：方程ax^2 + bx + c = 0的根之和等于-b/a，根之积等于c/a。
- 根的联结与系数的关系：设x1和x2为方程的两个根，则方程可以表示为x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0。
三、一元二次方程的判别式1. 判别式的定义与求解公式一元二次方程的判别式D定义为D = b^2 - 4ac。
通过判别式可以判断方程的根的情况。
根据判别式D的正负和大小，有如下结论：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当D = 0时，方程有两个相等的实数根；- 当D < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
2. 判别式与方程类型的关系判别式D还可以与方程的类型相联系：- 当D > 0时，方程为两个相异的实数根的情况，此时图像是一个开口向上的抛物线。
- 当D = 0时，方程有且仅有一个实数根，此时图像是一个与x轴相切的抛物线。
- 当D < 0时，方程没有实数根，此时图像是一个没有与x轴交点的抛物线。
四、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法若一元二次方程可以因式分解，则可以直接通过因式分解得到方程的根。
2. 公式法一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
一元二次方程的解法及根的判别式
一元二次方程的解法及根的判别式一．定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
标准式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
注：① 是整式方程；② 含有一个未知数；③ 未知数的最高次数是2，这三个条件缺一不可。
对于关于x 的方程02=++c bx ax ① 当0≠a 时，是二次方程② 当0=a 且0≠b 时，是一次方程例题讲解：1．说出方程3)12()3)(3(2-=-++-x x x x 的二次项系数、一次项系数及常数项。
2．已知关于x 的方程)0())((≠=-+ac m d cx b ax ，则一次项系数为 ，常数为 . ★3．已知方程0)3()1(22=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程，当 时，两个根中有一个为零.4．已知223+是关于x 的方程m x x =-62的一个根，求m 的值。
★5．方程01)3()1(12=--+++x m x m m⑴ m 取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解。
⑵ m 取何值时是一元一次方程。
二．一元二次方程的解法要点：碰到形如a(x+m)2+c=0用开平方法；然后优先考虑因式分解法，其次公式法，一般不用配方法。
★但如方程639162=-x x ，用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为6400)3(2=-x ，就易解。
例题讲解：1．用开平方法解下列关于x 的方程。
①25312=x ② 08)23(42=-+x ③22)1(49-=x x ④ 22)3(2)2(+=-x x 2．用配方法解下列关于x 的方程① 0342=-+x x ② 0222=-+x x ③ 05232=+-x x ④)4(022q p q px x ≥=+- 3．用公式法解下列方程 ①02322=++x x ②32)22(2=++-y y ③0)2(2=-+x x ④)23(2)2(3-=-x x x4．用因式分解法解下列方程①040132=+-x x ②1522+=x x ③)1)(2()2(3+-=-x x x x ④06223362=--+x x x5．解下列关于x 的方程① 04523222=+-m mx x ②22)23(b b a x a x =+-- ③m y y 21322+--=0 ④ )1(3222≠+=++m x mx mx x ⑤ 0810322=+-mx x m6．如果012)1)((2222=-+-+y x y x ，求22y x +的值。
15、一元二次方程根的判别式
一元二次方程知识点7、一元二次方程根的判别式1、一元二次方程有无解的判定：对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax a c x a b x c x a b x a c bx ax -=+⇒-=+⇒-=+⇒222)(2222244)2()2(a ac b a b a c a b x a b x -=+-=++⇒22244)2(a ac b a b x -=+⇒0402≥⇒≠a a (1)当042≥-ac b 时：2244a ac b -≥0，有意义根据平方根的定义，有x +a b 2=±2244a ac b -即x =a ac b b 242-±-；(2)当042<-ac b 时：负数没有平方根在实数范围内x 的值不存在，所以方程没有实数根。
2、判别式的定义：把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式，通常用符号“∆”来表示，即ac b 42-=∆。
3、判别式的作用：判定一元二次方程根有无情况和根的个数一般地，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ：①0>∆,方程有两个不相等的实数根；②0=∆，方程有两个相等的实数根；③0<∆,方程没有实数根。
例13、不解方程，直接判断方程根的情况例14、应用根的判别式确定系数中所含字母的取值范围例15、证明方程根的存在性问题例16、根的判别式在实际问题中的应用例17、一元二次方程判别式的综合探究题知识点8、一元二次方程根与系数关系1、韦达定理：若方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则ac x x a b x x =⋅-=+2121;。
推论1.若方程02=++q px x 的两根为21,x x ，则q x x p x x =⋅-=+2121;；推论2.以两个数21,x x 为根的一元二次方程是0)(21212=++-x x x x x x 。
一元二次方程根的判别条件
一元二次方程根的判别条件一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数且a≠0。
一元二次方程的根是指方程的两个解，即满足方程的x值。
根据判别式的值，可以将一元二次方程的根的情况分为以下三种：1.判别式大于0（b^2 - 4ac > 0）：方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式，方程的两个根分别为：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) 和 x2 = (-b -√(b^2 - 4ac)) / (2a)。
2.判别式等于0（b^2 - 4ac = 0）：方程有两个相等的实数根，即重根。
根据求根公式，方程的两个根相等，都为：x = -b / (2a)。
3.判别式小于0（b^2 - 4ac < 0）：方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。
根据求根公式，方程的两个根分别为：x1 = (-b + √(-Δ)i) / (2a) 和x2 = (-b - √(-Δ)i) / (2a)，其中i是虚数单位。
判别式Δ = b^2 - 4ac的值决定了方程根的情况。
通过判断Δ的值，我们可以确定一元二次方程的根是实数根还是复数根，以及是否有重根。
总结：一元二次方程根的判别条件是根据判别式Δ = b^2 - 4ac的值来判断方程的根的情况，包括有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根（重根）以及没有实数根（有两个共轭的复数根）。
这些判别条件可以帮助我们确定方程的根的性质。
习题及方法：1.习题：解方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
方法：根据求根公式，a = 1, b = -5, c = 6。
计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1。
因为Δ > 0，所以方程有两个不相等的实数根。
应用求根公式得到：x1 = (5 + 1) / 2 = 3x2 = (5 - 1) / 2 = 1答案：x1 = 3, x2 = 1。
一元二次方程式求根公式与因式分解法
⑶ x2 7x 15 =0 ⑸ x2 -2 3x 3 =0 一元二次方程式解法_ 2一元二次方程ax bx 0(a = 0)解法公式法：1.根的判别式为：/ = _________________________________ 求根公式x= ______________________________2.①/ =b2-4ac>0时方程ax2 - bx • c = O(a=O)有两个实数b _ . b2-4ac根为,2 ：2a2②0- ax bx 0(a = 0)没有实数根。
【例1】判断下列方程的跟的情况，如果有根请用求根公式求出方程的根。
⑴ 7x2—x —1=0 ⑵ 9x2=4(3x -1)⑷-2x2 - 3x 2=0⑹ x2 -(m 1)x m = 0(m 为常数)2判断下列方程的跟的情况，如果有根请用求根公式求出方程的根。
1、-X22、6x -6 = 0 ; 2 、x24x =2；3、4x21 = _3x4、x2-2mx+4( m-1)=0一元二次方程式解法一元二次方程ax2 bx c=0(a =0)解法：因式分解法一课前预习：1、若a -b=0则a _________ 或b _________ ; 一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为_____________ 和 ____________ ，方程的根平方差公式a2-b2=( )( )一元二次方程式解法：因式分解方法(一)提公因式法：可利用公式ab+ac=a( )将二次方程分解成两个因式求解(3) 4X2=11X例：利用因式分解方法解下列方程(1) 2X2+X=0(2) 3X2+6X=02 2(5)(2X-1『-X2=0 (6)(X-3)-X(X-3) =0练习：利用因式分解方法解下列方程(1) 2X2 -=0 (2) X2=-2X(3) 5 X2+7X=0⑷(X+2)2=3X+6; (5) ( 3X+2)2-4X2=0;2一元二次方程ax • bx • c二0(a = 0)因式分解法: (二)十字相乘法：观察下面式子(X-1)(X+5)=x2+(-1+5)x+(-1 X 5)= X2+4X-5(X+1)(X+6)= X 2+(1+6)X+1 X3= X2+7X+65(9)6x 2 — 11x+3=0 ; (10)4m 2+8m+3=0 ;(8)3a 2 — 7a — 6=0 ;(X+2)(X+3)=x2+(2+3)x+2 X 3= x2+5x+6有什么规律？如果是由式子的右边出发有什么办法变为左边形式?这种方法在数学里面叫做十字相乘法！2当方程ax bx 0(a = 0)三项都存在/ >0,即有两根的时候可用十 字相乘法 方法步骤是： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式顺口溜：竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
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《一元二次方程的解法及根的判别式》
1．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( )
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
2．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是( )
A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝3
3．已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，②x2－2x－3＝0，下列说法正确的是( ) A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解
4．若关于x的一元二次方程（m－1）x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m的值等于( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
5．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a－1＝0有两个根，分别为x1，x2，且2
1
x－x1x2＝0，则a的值是( )
A．a＝1 B．a＝1或a＝－2 C．a＝2 D．a＝1或a＝2
6．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k<－2 B．k<2 C．k>2 D．k<2且k≠1
7．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”，若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )
A．a＝c B．a＝b
C．b＝c D．a＝b＝c
8．若将方程x2＋6x＝7化为(x＋m)2＝16，则m＝_______．
9．一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中较大的根是_______．
10．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是_______．
11．若a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是_______．12.如果关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，那么实数a的取值范围是_______．
13.对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝
2
2
,
,
a a
b a b
ab b a b
⎧-≥
⎪
⎨
-<
⎪⎩
例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝
42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根．则x1*x2＝_______．
14.若关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)（β＋3）＝_______．
15．选择适当的方法解下列方程：
(1)(x＋1)(x－3)＝2x－6；(2)3(x－3)2＝x2－9.
16．已知关于x 的方程x 2＋x ＋n ＝0有两个实数根－2，m ，求m ，n 的值．
17.已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.
(1)求出方程的根；
(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
18．阅读材料：为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看成一个整体，然后设x 2－1＝y ……①，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2＝2，∴x
y ＝4
时，x 2－1＝
4，∴x 2＝5，∴x 解为x 1x 2x 3x 4
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程x 4－x 2－6＝0.
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.B
5.D
6.D
7.A
8.3
9.6 10.－1或4
11．没有实数根
12．a ≥－1 13．－3或3 14．9
15.(1)x 1＝1，x 2＝3 (2)x 1＝3，x 2＝6
16．n ＝－2，m ＝1
17．(1)x 1＝11
m m +-，x 2＝1 (2)m ＝2或3 18．(1)换元 (2)x 1x 2。