高中数学 必修四 1.1.1任意角练习手册 新人教A版必修4
人教a版必修4学案：1.1.1任意角(含答案)
第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1.1.1任意角自主学习知识梳理1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按______________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．4．终边落在坐标轴上角的集合终边所在的位置角的集合x轴正半轴x轴负半轴x轴y轴正半轴y轴负半轴y轴自主探究终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合第一象限第二象限第三象限第四象限对点讲练知识点一终边相同的角与象限角例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角． 变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.知识点二 终边相同的角的应用例2 已知，如图所示，(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．回顾归纳 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．知识点三 角的象限的判断例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．回顾归纳 若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论．考查角的终边的位置．变式训练3 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k ∈Z 这一条件不能少.课时作业一、选择题 1．与405°角终边相同的角是( ) A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z C ．k ·360°＋45°，k ∈Z D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z }二、填空题6．经过10分钟，分针转了________度．7．下列命题：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1．1.1任意角知识梳理1．(1)一条射线端点旋转(2)类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3．α＋k·360°，k∈Z整数个周角4.终边所在的位置角的集合x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}x轴{α|α＝k·180°，k∈Z}y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}y轴{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}自主探究α终边所在的象角α的集合限第一{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}象限第二{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}象限第三{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}象限第四{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}象限对点讲练例1解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．变式训练1解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同．∴－2 010°是第二象限角．例2解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．变式训练2解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．(1){α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．(2){α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }． 例3 解 因为α是第二象限角， 所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上． 因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限．所以α2的终边在第一或第三象限．变式训练3 D [由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．]课时作业 1．C 2.A3．A [∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z .]4．C [可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．]5．C [与边界终边相同的角为k ·360°＋120°或k ·360°－45°.故阴影部分的角为k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .] 6．－607．①③④⑤⑥解析 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确． ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确．④120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以④不正确． ⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确．⑥0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确． 8．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0. ∴θ＝－110°或250°.9．解(1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)，∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°.(3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同．由－720°≤k·360°＋150°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋150°依次得：－570°，－210°，150°，510°.10．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．。
人教版高中数学必修四教材用书第一章 三角函数 1.1.1 任意角 Word版含答案
．任意角和弧度制．任意角[提出问题]问题：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了°或逆时针方向旋转了°，顺时针方向旋转了°.[导入新知]角的分类．按旋转方向.()角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；()角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．()用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．()对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合”下，研究下列角：°，°，－°.问题：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题：如何用含°的式子表示°和－°？提示：°＝×°＋°，－°＝－×°＋°.问题：确定一条射线，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子·°＋α，∈表示，在运用时需注意以下几点．()是整数，这个条件不能漏掉．()α是任意角．()·°，∈与α之间用“＋”连接，如·°－°，∈应看成·°＋(－°)，∈.()终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．()－°；()°；()－°.。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.1.1 任意角
第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角课后篇巩固探究1.200°角是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角180°<200°<270°,第三象限角α的取值范围为k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,所以200°角是第三象限角.2.在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为( )A.-300°B.-300°,60°C.60°D.420°60°角终边相同的角α可表示为α=60°+k·360°,当k=-1时,α=-300°,故在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为-300°.3.若角θ是第四象限角,则90°+θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.4.角α=45°+k×180°(k∈Z)的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限k是偶数时,角α是第一象限角,当k是奇数时,角α是第三象限角.5.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z},终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.±45°,k∈Z},P=,P之间的关系为( ) 6.已知集合M={x|x=k·180°2A.M=PB.M⊆PC.M⊇PD.M∩P=⌀±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z, M,x=k·180°2对于集合P,x=k·180°±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴4M⊆P.7.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.30°+k·360°,k∈Z8.若角α与角288°终边相同,则在0°~360°内终边与角α4终边相同的角是.,得α=288°+k·360°(k∈Z),α4=72°+k·90°(k∈Z).又α4在0°~360°内,所以k=0,1,2,3,相应地有α4=72°,162°,252°,342°.9.终边落在图中阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为.由图易知在0°~360°范围内,终边落在阴影区域内(包括边界)的角为45°≤α≤90°与225°≤α≤270°,故终边落在阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°,k ∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}.Z}10.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.设α=β+k·360°(k∈Z),则β=-1910°-k·360°(k∈Z).令-1910°-k·360°≥0,解得k≤-1910360=-51136.k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.12.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.-280°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.①α-β=670°+k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.②由①②,得α=15°,β=65°.。
人教A版高中数学必修四课后训练{1.1.1任意角}.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作课后训练1．下列说法中正确的是( )A ．120°角与420°角的终边相同B ．若α是锐角，则2α是第二象限的角C ．－240°角与480°角都是第三象限的角D ．60°角与－420°角的终边关于x 轴对称2．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对3．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角4．如果角α是第三象限角，则角2的终边所在的区域是如图所示的( )区域(不含边界)A ．③⑦B ．④⑧C ．②⑤⑧D ．①③⑤⑦5．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }6．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝__________．7．时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为__________．8．已知－990°＜α＜－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝__________．9．已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，写出角α的集合．10．若角θ的终边与168°角的终边相同，求0°～360°内与角3的终边相同的角．参考答案1答案：D 解析：对于A,420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以A 不正确；对于B ，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以B 不正确；对于C,480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以C 不正确；对于D ，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x 轴对称，所以D 正确． 2答案：D 解析：小于90°的角包括所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D ．3答案：C 解析：由条件知k ·360°＜2α＜k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴k ·180°＜α＜k ·180°＋90°(k ∈Z )，当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α是第三象限角．4答案：A 解析：∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°(k ∈Z )，∴k ·180°＋90°＜2α＜k ·180°＋135°(k ∈Z )． ∴当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°＜2α＜n ·360°＋135°，对应区域③； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°＜2α＜n ·360°＋315°，对应区域⑦； ∴角2α的终边所在区域为③⑦． 5答案：D 解析：因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A ，B ．又C 项中的角出现在第三象限，故选D ．6答案：270° 解析：由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，所以5α－α＝4α＝k ·360°(k ∈Z )．∴α＝k ·90°(k ∈Z )．又∵180°＜α＜360°，令k ＝3，得α＝270°．7答案：－480° 解析：时针走过了1小时20分钟，则分针转了43圈，又因为按顺时针方向旋转的角为负角，所以分针转过的角为43-×360°＝－480°． 8答案：－960° 解析：∵α与120°角终边相同，故有α＝k ·360°＋120°，k ∈Z ． 又－990°＜α＜－630°，∴－990°＜k ·360°＋120°＜－630°，即－1 110°＜k ·360°＜－750°．当k ＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°．9答案：解：在0°～360°范围内，终边落在阴影部分内的角为30°＜α＜150°与210°＜α＜330°，∴所有满足题意的角α的集合为{α|k ·360°＋30°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z }∪{α|k ·360°＋210°＜α＜k ·360°＋330°，k ∈Z }＝{α|n ·180°＋30°＜α＜n ·180°＋150°，n ∈Z }．10答案：解：因为θ＝k ·360°＋168°， 所以3θ＝k ·120°＋56°，k ∈Z ． 令0°≤k ·120°＋56°＜360°，得k ＝0,1,2，故0°～360°内与角3θ终边相同的角有56°，176°，296°．。
高中数学 1.1.1任意角 新人教A版必修4(2)
【解】 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角 的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k ∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为 {α|α＝30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一 个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边 相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角 的和．
5．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 答：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数 倍；相等的角，终边相同．
1．解读任意角的概念 (1)用运动的观点来定义角，就可以把角的概念推广到 任意角，包括任意大小的正角、负角和零角． (2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字． ①要明确旋转的方向； ②要明确旋转的大小； ③要明确射线未作任何旋转时的位置．
2．终边相同的角的关注点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子 k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成 k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数 个，它们相差周角的整数倍．相等的角终边一定相同．
课堂篇02
合作探究
终边相同的角及象限角
【例1】 将下列各角表示为k·360°＋α(k∈ Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
【解】 (1)420°＝360°＋60°， 而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角． (2)－510°＝－2×360°＋210°， 而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角． (3)用1 020°除以360°的商为2，余数为300°， 即1 020°＝2×360°＋300°， 而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．
新人教A版必修四第一章1.1.1任意角知识梳理及重难点题型(含解析版)
1.1.1任意角重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点1 任意角的概念】1.任意角2.角的分类【知识点2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示3.非象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示【知识点3 终边相同的角】一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和. 举一反三【考点1 象限角与集合间的基本关系】【例1】（2019春•杜集区校级月考）设A ＝{小于90°的角}，B ＝{第一象限角}，则A ∩B 等于（ ）A ．{锐角}B ．{小于90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）} {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ【变式1-1】（2019秋•钦南区校级月考）已知A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．A ∩C ＝CB ．B ⊆C C ．B ∪A ＝CD ．A ＝B ＝C【变式1-2】（2019秋•黄陵县校级月考）设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（ ）A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D【变式1-3】（2019秋•宜昌月考）设M ＝{α|α＝k •90°，k ∈Z }∪{α|α＝k •180°+45°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k •45°，k ∈Z }，则（ ）A ．M ⊆NB ．M ⊇NC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅【考点2 求终边相同的角】【例2】（2019春•娄底期末）下列各角中与225°角终边相同的是（ ）A ．585°B ．315°C ．135°D ．45°【变式2-1】（2018春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．﹣398°，1042°B ．﹣398°，142°C ．﹣398°，38°D ．142°，1042°【变式2-2】（2018春•武邑县校级期末）与﹣457°角终边相同角的集合是（ ）A ．{α|α＝k •360°+457°，k ∈Z }B ．{α|α＝k •360°+97°，k ∈Z }C ．{α|α＝k •360°+263°，k ∈Z }D ．{α|α＝k •360°﹣263°，k ∈Z } 【变式2-3】（2018春•林州市校级月考）在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（ ）A ．136°18'B ．136°42'C ．226°18'D ．226°42'【考点3 已知α终边所在象限求2α，2α，3α】 【例3】（2018秋•宜昌期末）已知α为锐角，则2α为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．小于180°的角【变式3-1】（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置不可能是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．笫象限 【变式3-2】（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则2α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【变式3-3】（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则2α-是（ ）A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 【考点4 终边对称的角的表示法】 【例4】（2019春•南京期中）若角α＝m •360°+60°，β＝k •360°+120°，（m ，k ∈Z ），则角α与β的终边的位置关系是（ ）A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 【变式4-1】若角α的终边与45°角的终边关于原点对称，则α＝ ．【变式4-2】若角α和β的终边关于直线x +y ＝0对称，且α＝﹣60°，则角β的集合是 ．【变式4-3】已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x ﹣y ＝0对称，则β＝ ；若α与β的终边关于y 轴对称，则β＝ ；若α与β的终边关于x 轴对称，则β＝ ．【考点5 已知终边求角】【例5】（2019春•凉州区校级月考）已知α＝﹣1910°．（1）把角α写成β+k •360°（k ∈Z ，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出θ的值，使θ与α的终边相同，且﹣720°≤θ＜0°．【变式5-1】若角α的终边落在直线x +y ＝0上，求在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【变式5-2】已知α、β都是锐角，且α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，求∠α、∠β的大小．【变式5-3】（2018春•武功县期中）已知角α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合|18045,2k M x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，|18045,4k N x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭那么两集合的关系是什么？ 【考点6 已知角终边的区域确定角】【例6】写出角的终边在阴影中的角的集合．【变式6-1】如图所示；（1）分别写出终边落在0A ，0B 位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【变式6-2】用集合表示顶点在原点，始边重合于x轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角（不含边界）．【变式6-3】已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．1.1.1任意角重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点1 任意角的概念】1.任意角2.角的分类【知识点2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示3.非象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示【知识点3 终边相同的角】一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和. 举一反三【考点1 象限角与集合间的基本关系】【例1】（2019春•杜集区校级月考）设A ＝{小于90°的角}，B ＝{第一象限角}，则A ∩B 等于（ ）A ．{锐角}B ．{小于90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}【分析】先求出A ＝{锐角和负角}，B ＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°，k ∈Z }，由此利用交集的定义给求出A ∩B ．【答案】解：∵A ＝{小于90°的角}＝{锐角和负角}，B ＝{第一象限角}＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°，k ∈Z }，∴A ∩B ＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}． {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角的概念的合理运用．【变式1-1】（2019秋•钦南区校级月考）已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．A∩C＝C B．B⊆C C．B∪A＝C D．A＝B＝C【分析】分别判断，A，B，C的范围即可求出【答案】解解：∵A＝{第一象限角}＝（k•360°，90°+k•360°），k∈Z；B＝{锐角}＝（0，90°），C＝{小于90°的角}＝（﹣∞，90°）∴B⊆C，故选：B．【点睛】本题考查了任意角的概念和角的范围，属于基础题．【变式1-2】（2019秋•黄陵县校级月考）设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（）A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D【分析】根据A＝{θ|θ为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得结论．【答案】解：根据A＝{θ|θ为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得A＝D．故选：D．【点睛】本题考查象限角和任意角，考查学生对概念的理解，比较基础．【变式1-3】（2019秋•宜昌月考）设M＝{α|α＝k•90°，k∈Z}∪{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}，N＝{α|α＝k •45°，k∈Z}，则（）A．M⊆N B．M⊇N C．M＝N D．M∩N＝∅【分析】讨论k为偶数和k为奇数时，结合N的表示，从而确定N与M的关系．【答案】解：∵N＝{α|α＝k•45°，k∈Z}，∴当k为偶数，即k＝2n时，n∈Z，α＝k•45°＝2n•45°＝n•90°，∴当k为奇数，即k＝2n+1时，n∈Z，α＝k•45°＝（2n+1）•45°＝n•90°+45°，又M＝{α|α＝k•90°，k∈Z}∪{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}，∴M⊆N．故选：A．【点睛】本题主要考查了集合之间的关系与应用问题，是基础题．【考点2 求终边相同的角】【例2】（2019春•娄底期末）下列各角中与225°角终边相同的是（）A．585°B．315°C．135°D．45°【分析】写出与225°终边相同的角，取k值得答案．【答案】解：与225°终边相同的角为α＝225°+k•360°，k∈Z，取k＝1，得α＝585°，∴585°与225°终边相同．故选：A．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，是基础题．【变式2-1】（2018春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A．﹣398°，1042°B．﹣398°，142°C．﹣398°，38°D．142°，1042°【分析】根据终边相同的角的定义，化﹣398°和1042°为α+k•360°，k∈Z的形式，再判断即可．【答案】解：由题意，﹣398°＝322°﹣2×360°，1042°＝322°+2×360°，142°，38°；这四个角中，终边相同的角是﹣398°和1042°．故选：A．【点睛】本题考查了终边相同角的概念与应用问题，是基础题．【变式2-2】（2018春•武邑县校级期末）与﹣457°角终边相同角的集合是（）A．{α|α＝k•360°+457°，k∈Z}B．{α|α＝k•360°+97°，k∈Z}C．{α|α＝k•360°+263°，k∈Z}D．{α|α＝k•360°﹣263°，k∈Z}【分析】终边相同的角相差了360°的整数倍，又263°与﹣457°终边相同．【答案】解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与﹣457°角的终边相同的角是α，则α＝﹣457°+k•360°，k∈Z，又263°与﹣457°终边相同，∴{α|α＝263°+k•360°，k∈Z}，故选：C．【点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．【变式2-3】（2018春•林州市校级月考）在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（）A．136°18'B．136°42'C．226°18'D．226°42'【分析】直接由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′得答案．【答案】解：由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′，可得，在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为226°42′，故选：D ．【点睛】本题考查终边相同的角的表示法，是基础题．【考点3 已知α终边所在象限求2α，2α，3α】【例3】（2018秋•宜昌期末）已知α为锐角，则2α为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．小于180°的角【分析】写出α的范围，直接求出2α的范围，即可得到选项．【答案】解：α为锐角，所以α∈（0°，90°），则2α∈（0°，180°），故选：D ．【点睛】本题考查象限角与轴线角，基本知识的考查，送分题．【变式3-1】（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则3α的终边所在位置不可能是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．笫象限【分析】写出第二象限的角的集合，得到的范围，分别取k 值得答案．【答案】解：∵α是第二象限角，∴90°+k •360°＜α＜180°+k •360°，k ∈Z ．则30°+k •120°＜＜60°+k •120°，k ∈Z ．当k ＝0时，30°＜＜60°，α为第一象限角；当k ＝1时，150°＜＜180°，α为第二象限角；当k ＝2时，270°＜＜300°，α为第四象限角．由上可知，的终边所在位置不可能是第三象限角．故选：C ．【点睛】本题考查象限角及轴线角，考查终边相同角的集合，是基础题．【变式3-2】（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则2α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【分析】用不等式表示第二象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．【答案】解：∵α是第二象限角，∴k •360°+90°＜α＜k •360°+180°，k ∈Z ，则k •180°+45°＜＜k •180°+90°，k ∈Z ，令k ＝2n ，n ∈Z有n •360°+45°＜＜n •360°+90°，n ∈Z ；在一象限；k ＝2n +1，n ∈z ，有n •360°+225°＜＜n •360°+270°，n ∈Z ；在三象限；故选：C ．【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限【变式3-3】（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则2α-是（ ）A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【分析】由α是第三象限角，得到180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，从而能求出﹣的取值范围，由此能求出﹣所在象限．【答案】解：∵α是第三象限角，∴180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，∴﹣135°﹣k•180°＜﹣＜﹣90°﹣k•180°，∴﹣是第一或第三象限角．故选：C．【点睛】本题考查角所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意第三象限角的取值范围的合理运用．【考点4 终边对称的角的表示法】【例4】（2019春•南京期中）若角α＝m•360°+60°，β＝k•360°+120°，（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（）A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【分析】结合角的终边相同的定义进行判断即可．【答案】解：α的终边和60°的终边相同，β的终边与120°终边相同，∵180°﹣120°＝60°，∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称，故选：D．【点睛】本题主要考查角的终边位置关系的判断，结合角的关系是解决本题的关键．【变式4-1】若角α的终边与45°角的终边关于原点对称，则α＝．【分析】角α的终边与45°角的终边关于原点对称，可得α＝k•360°+225°，（k∈Z）．【答案】解：∵角α的终边与45°角的终边关于原点对称，∴α＝k•360°+225°，（k∈Z）．故答案为：α＝k•360°+225°，（k∈Z）．【点睛】本题考查了终边相同的角，属于基础题．【变式4-2】若角α和β的终边关于直线x+y＝0对称，且α＝﹣60°，则角β的集合是．【分析】求出β∈[0°，360°）时角β的终边与角α的终边关于直线y＝﹣x对称的值，再根据终边相同的角写出角β的取值集合．【答案】解：若β∈[0°，360°），则由角α＝﹣60°，且角β的终边与角α的终边关于直线y＝﹣x对称，可得β＝330°，所以当β∈R时，角β的取值集合是{β|β＝330°+k•360°，k∈Z}．故答案为：{β|β＝330°+k•360°，k∈Z}．【点睛】本题主要考查了终边相同的角的定义和表示方法，是基础题．【变式4-3】已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x﹣y＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x轴对称，则β＝．【分析】由题意画出图形，然后利用终边相同角的表示法得答案．【答案】解：如图，设α＝﹣30°所在终边为OA，则关于直线x﹣y＝0对称的角β的终边为OB，终边在OB上的最小正角为120°，故β＝120°+k•360°，k∈Z；关于y轴对称的角β的终边为OC，终边在OC上的最小正角为210°，故β＝210°+k•360°，k∈Z；关于x轴对称的角β的终边为OD，终边在OD上的最小正角为30°，故β＝30°+k•360°，k∈Z．故答案为：120°+k•360°，k∈Z；210°+k•360°，k∈Z；30°+k•360°，k∈Z．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，数形结合使问题更加直观，是基础题．【考点5 已知终边求角】【例5】（2019春•凉州区校级月考）已知α＝﹣1910°．（1）把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出θ的值，使θ与α的终边相同，且﹣720°≤θ＜0°．【分析】（1）利用终边相同的假的表示方法，把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，然后指出它是第几象限的角；（2）利用终边相同的角的表示方法，通过k的取值，求出θ，且﹣720°≤θ＜0°．【答案】解：（1）∵﹣1910°＝﹣6×360°+250°，180°＜250°＜270°，∴把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式为：﹣1910°＝﹣6×360°+250°，它是第三象限的角．（2）∵θ与α的终边相同，∴令θ＝k•360°+250°，k∈Z，k＝﹣1，k＝﹣2满足题意，得到θ＝﹣110°，﹣470°．【点睛】本题考查终边相同角的表示方法，基本知识的考查．【变式5-1】若角α的终边落在直线x+y＝0上，求在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【分析】求出角α的终边相同的角，然后求解在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【答案】解：角α的终边落在直线x+y＝0上，则直线的倾斜角为：45°，角α的终边的集合为：{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}．当k＝﹣2时，α＝﹣315°，k＝﹣1时，α＝﹣135°，k＝0时，α＝45°，k＝1时，α＝225°，在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α：﹣315°，135°，45°，225°．【点睛】本题考查终边相同角的表示，考查计算能力．【变式5-2】已知α、β都是锐角，且α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，求∠α、∠β的大小．【分析】按照终边相同角的表示方法将α+β、α﹣β表示出来，然后解出α、β，由α、β都是锐角得到所求．【答案】解：因为α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，所以α+β＝﹣280°+360°k；α﹣β＝670°+360°k；k∈Z；两式相加，2α＝390°+720°k ＝360°+30°+720°k ＝30°+720°k ；α＝15°+360°k ；因为α，β是锐角，所以α＝15°；β＝65°．【点睛】本题考查了终边相同角的表示，利用方程组的思想求两角，属于基础题．【变式5-3】（2018春•武功县期中）已知角α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合|18045,2k M x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，|18045,4k N x x k Z ⎧⎫==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭那么两集合的关系是什么？ 【分析】（1）所有与角α有相同终边的角可表示为45°+k ×360°（k ∈Z ），列出不等式解出整数k ，即得所求的角．（2）先化简两个集合，分整数k 是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系．【答案】解析：（1）由题意知：β＝45°+k ×360°（k ∈Z ），则令﹣720°≤45°+k ×360°≤0°，得﹣765°≤k ×360°≤﹣45°，解得，从而k ＝﹣2或k ＝﹣1，代回β＝﹣675°或 β＝﹣315°．（2）因为M ＝{x |x ＝（2k +1）×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝（k +1）×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M ⊊N ．【点睛】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k的不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解；（2）可对整数k的奇、偶数情况展开讨论．【考点6 已知角终边的区域确定角】【例6】写出角的终边在阴影中的角的集合．【分析】利用象限角的表示方法、终边相同的角的集合性质即可得出．【答案】解：图1：角的集合为{α|30°+k×360°≤α≤120°+k•360°，k∈Z}；图2：角的集合为{α|﹣210°+k•360°≤α≤30°+k•360°，k∈Z}；图3：角的集合为{α|﹣45°+k•360°≤α≤30°+k•360°，k∈Z}；图4：角的集合为{α|60°+k•360°≤α≤120°+k•360°，k∈Z}∪{α|240°+k•360°≤α≤300°+k•360°，k∈Z}．【点睛】本题考查了象限角的表示方法、终边相同的角的集合性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【变式6-1】如图所示；（1）分别写出终边落在0A，0B位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【分析】（1）直接由终边相同角的表示法写出终边落在0A，0B位置上的角的集合；（2）结合（1）中写出的终边落在0A，0B位置上的角的集合，利用不等式表示出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】解：（1）如图，终边落在OA上的角的集合为{α|α＝150°+k•360°，k∈Z}．终边落在OB上的角的集合为{α|α＝﹣45°+k•360°，k∈Z}；（2）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为{β|﹣45°+k•360°≤β≤150°+k•360°，k∈Z}．【点睛】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的概念，是基础题．【变式6-2】用集合表示顶点在原点，始边重合于x轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角（不含边界）．【分析】直接利用所给角，表示角的范围即可．【答案】解：图1所表示的角的集合：{α|k•360°﹣30°＜α＜k•360°+75°，k∈Z}．图2终边落在阴影部分的角的集合．{α|k•360°﹣135°＜α＜k•360°+135°，k∈Z}【点睛】本题考查角的表示方法，是基础题．【变式6-3】已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．【分析】直接利用所给角，表示角的范围即可．【答案】解：图（1）所表示的角的集合：{α|k•360°﹣135°≤α≤k•360°+135°，k∈Z}．图2终边落在阴影部分的角的集合{α|k•180°+30°≤α≤k•180°+60°，k∈Z【点睛】本题考查角的表示方法，是基础题．。
人教版高中数学高一A版必修4课后集训 1.1.1任意角
课后集训基础达标1.下列命题中正确的是（）A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k·360°（k∈Z）,则α与β终边相同解析：-270°的终边在y轴的非负半轴，但不是直角，故A项不正确.钝角一定是第二象限角,但第二象限角不一定是钝角，如-210°，所以B项不正确.330°是第四象限角，但不是负角，因此C项不正确.D项显然正确.答案：D2.若α是第四象限角，则180°-α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析：由于α是第四象限角，所以k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z,则-k·360°-180°＜180°-α＜-k·360°-90°为第三象限角.答案：C3.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A.{α|α=k·360°，k∈Z}B.{α|α=k·180°，k∈Z}C.{α|α=k·90°，k∈Z}D.{α|α=k·180°+90°，k∈Z}解析：终边为x轴的角的集合M={α|α=k·180°，k∈Z}，终边为y轴的角的集合P={α|α=k·180°+90°，k∈Z}设终边为坐标轴的角的集合为S，则S=M∪P={α|α=k·180°，k∈Z}∪{α|α=k·180°+90°，k∈Z}={α|α=2k·90°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·90°，k∈Z}={α|α=n·90°，n∈Z}答案：C4.集合M={x|x=k·90°±45°,k∈Z}与P={x|x=k·45°，k∈Z}之间的关系是（）A.M PB.P MC.M=PD.M∩P=解析：特殊值检验x=90°∈P，但x=90°M；x=45°∈M且x=45°∈P.故选A.答案：A5.若角α=-20°+k·180°在-720°—360°间，则整数k的取值是___________.解析：当k=-3，-2，-1，0，1，2时符合题目条件，此时对应的角为-560°,-380°,-200°,-20°,160°,340°.答案：-3,-2,-1,0,1,26.与-1 778°角的终边相同且绝对值最小的角是___________.解析：与-1 778°终边相同角为α，则α=-1 778°+k·360°，k∈Z，当k=5时，α=22°,此时α的绝对值最小.答案：22°综合运用7.若角α和β的终边关于y轴对称，则有（）A.α+β=90°B.α+β=90°+k·360°，k∈ZC.α+β=k·360°，k∈ZD.α+β=180°+k·360°，k∈Z解析：若β与α关于y轴对称，则β=180°-α,∴α+β=180°+k·360°，k∈Z.答案：D8.已知角2α的终边在x 轴的上方（不与x 轴重合），则α的终边在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第一象限或第三象限解析：360°·k ＜2α＜360°·k+180°,180°·k ＜α＜180°·k+90°.令k=0,1得0°＜α＜90°,180°＜α＜270°.答案：D9.如果角 α与35°角的终边相同，角β与-55°角的终边相同，那么α与β之间的关系是（ ）A.α+β=0°B.α-β=0°C.α+β=k·360°D.α-β=k·360°+90°（k ∈Z ）解析：由于α与35°角的终边相同，故α=35°+k 1·360°,k 1∈Z .由于β与-55°角的终边相同，所以，β=-55°+2k ·360°，2k ∈Z .则α-β=90°+(k 1-2k )·360°=90°+k·360°,k ∈Z . 答案：D拓展探究10.若今天是星期一,（1）7k(k ∈Z )天后的那一天是星期几？（2）7k(k ∈Z )天前的那一天是星期几？（3）158天后的那一天是星期几？解：每星期从星期一到星期日，有7天，呈现周期性变化，以7天为一个周期重复出现.(1)∵今天是星期一，∴7k(k ∈Z )天后的那一天仍是星期一；（2）∵今天是星期一，∴7k(k ∈Z )天前的那一天也是星期一；（3）∵158=7×22+4又∵今天是星期一，∴158天后的那一天是星期五.备选习题11.时钟走过1小时20分，则分针所转过的角的度数为______________,时针所转过的角的度数为______________.解析：由于时针都是顺时针旋转，故分针走1小时20分钟转过的角的度数为-480°，由于时针1小时转过-30°，20分钟转过31×(-30°).故时针走过1小时20分，转过的角的度数是-40°. 答案：-480° -40°12.把下列各角写成k·360°+α(0°≤α＜360°)的形式，并指出它们所在象限或终边的位置.(1)-135°,(2)-540°,(3)1 110°,(4)765°.答案：(1)-135°=-360°+225°,第三象限.(2)-540°=(-2)×360°+180°,终边在x 轴的非正半轴上.(3)1 110°=3×360°+30°,第一象限.(4)765°=2×360°+45°,第一象限.13.写出终边在直线y=x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式-360°≤β≤360°的元素β写出来.解：如右图，画出y=x 直线.终边在直线y=x 上的角有两个45°、225°，因此得终边在y=x 上的角的集合S={β|β=45°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=225°+k·360°，k ∈Z }={β|β=45°+k·180°,k ∈Z }S 中适合-360°≤β≤360°的元素有：45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°.14.如右图，写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为__________.解析：以x 正半轴为始边，两角分别是120°，-45°.答案：{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k ∈Z }15.若α角的终边与60°角的终边相同，在0°—360°间哪些角的终边与3α角的终边相同. 解析：{α|α=k·360°+60°，k ∈Z }，则{α|3α=120°·k+20°,k ∈Z } 当k=3m(m ∈Z )时， 3α=360°·m+20°, ∴3α终边在第一象限. 当k=3m+1(m ∈Z )时， 3α=360°·m+140°, ∴3α终边在第二象限. 当k=3m+2(m ∈Z )时， 3α=360°·m+260°, ∴3α终边在第三象限. 答案：在0°—360°间与3α角终边相同的角有20°,140°,260°.。
高中数学必修四1.1.1任意角课时作业新人教A版必修4
高中数学 1.1.1任意角课时作业基础巩固一、选择题1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )A．150°B．－150° C．390° D．－390°[答案] B[解析] 各角和的旋转量等于各角旋转量的和．∴120°＋(－270°)＝－150°，故选 B.2．下列说法正确的个数是( )①小于90°的角是锐角②钝角一定大于第一象限的角③第二象限的角一定大于第一象限的角④始边与终边重合的角为0°A．0 B．1 C．2 D．3[答案] A[解析] ①错，负角小于90°，但不是锐角，②错，390°是第一象限的角，大于任一钝角α(90°＜α<180°)，③错，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°，④错，始边与终边重合的角是k·360°（k∈Z)，故选 A .3．下列各角中，与60°角终边相同的角是( )A．－300° B．－60°C．600° D．1 380°[答案] A[解析] 与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选 A.4．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( )A．k·360°＋β(k∈Z)B．k·360°－β(k∈Z)C．k·180°＋β(k∈Z)D．k·180°－β(k∈Z)[答案] B[解析] 因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝k·360°（k∈Z)，所以α＝k·360°－β(k∈Z)．故选 B.5．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )A．45°－4×360° B．－45°－4×360°C．－45°－5×360° D．315°－5×360°[答案] D[解析] －1485°＝315°－5×360°．6．若α是第三象限角，则α2是( )A．第一或第三象限角B．第二或第三象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角[答案] D[解析] ∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°＜α<k·360°＋270°，k∈Z.∴k·180°＋90°＜α2<k·180°＋135°，k∈Z.当k为偶数时，α2是第二象限角；当k为奇数时，α2是第四象限角．二、填空题7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于________．[答案]60°8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝______________.[答案]k·360°＋60°，k∈Z[解析] 先求出β的一个角，β＝α＋180°＝60°．再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z.三、解答题9．在坐标系中画出下列各角：(1)－180°；(2)1 070°．[解析] 在坐标系中画出各角如图所示．10．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．[解析] (1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°（k∈Z)，由－360°＜k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°＜k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°．(2)由0°＜k·360°＋10 030°<360°，得－10 030°＜k·360°<－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°．(3)由360°＜k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°＜k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°．能力提升一、选择题1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C的关系是( ) A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C[答案] B[解析] A＝{第一象限角}＝{θ|k·360°＜θ<90°＋k·360°，k∈Z}，B＝{锐角}＝{θ|0<θ<90°}，C＝{小于90°的角}＝{θ|θ<90°}，故选 B.2．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( )A．第一象限角的集合B．第一或第二象限角的集合C．第一或第三象限角的集合D．第一或第四象限角的集合[答案] C[解析] 根据2α终边的位置确定2α的范围，再求出α的范围．3．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β与x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是( )A．α＋β＝0B．α－β＝0C．α＋β＝k·360°（k∈Z)D．α－β＝k·360°＋90°（k∈Z)[答案] D[解析] ∵α＝(x＋45°)＋k1·360°（k1∈Z)，β＝(x－45°)＋k2·360°（k2∈Z)，∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°（k∈Z)．4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β<180°}，则A∩B等于( )A．{－36°，54°｝B．{－126°，144°｝C．{－126°，－36°，54°，144°｝D．{－126°，54°｝[答案] C[解析] 当k＝－1时，α＝－126°∈B；当k＝0时，α＝－36°∈B；当k＝1时，α＝54°∈B；当k＝2时，α＝144°∈B.二、填空题5．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝________.[答案]72°，144°，216°，288°[解析] 依题意，可知角4θ与角－θ终边相同，故4θ＝－θ＋k·360°（k∈Z)，故θ＝k·72°（k∈Z)．又0°＜θ<360°，故令k＝1,2,3,4得θ＝72°，144°，216°，288°．6．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈________.[答案]{α|n·180°＋30°＜α<n·180°＋150°，n∈Z}[解析] 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°＜α<150°与210°＜α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°＜α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°＜α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α<n·180°＋150°，n∈Z}．三、解答题7．已知角α的终边与y轴的正半轴的夹角为30°，且终边落在第二象限，又－720°＜α<0°，试求角α.[解析] ∵α＝120°＋k·360°，k∈Z，－720°＜α<0°，∴α＝－240°，－600°．8．在角的集合{α|a＝k·90°＋45°，k∈Z}中．(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个落在－360°～360°之间的角？(3)写出其中是第二象限的一般表示方法．[解析] (1)当k＝4n(n∈Z)时，α＝n·360°＋45°与45°角终边相同；当k＝4n＋1(n∈Z)时，α＝n·360°＋135°与135°的终边相同；当k＝4n＋2(n∈Z)时，α＝n·360°＋225°与225°的终边相同；当k＝4n＋3(n∈Z)时，α＝n·360°＋315°与315°的终边相同。
高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角优化练习新人教A版必修4(2021年整理)
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1.1.1 任意角［课时作业]［A组基础巩固]1．在0°~360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是( )A．30°B．150°C．210° D．330°解析：因为－1 050°＝－1 080°＋30°＝－3×360°＋30°,所以在0°~360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是30°，故选A。
答案：A2．“喜羊羊”步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟.10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（）A．30° B．－30°C．60° D．－60°解析：利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有错误!×2＝60°，即分针走过的角度是－60°。
故选D.答案:D3．如果α＝－21°，那么与α终边相同的角可以表示为（）A．｛β|β＝k·360°＋21°，k∈Z｝B．{β｜β＝k·360°－21°，k∈Z}C．｛β|β＝k·180°＋21°，k∈Z}D．{β|β＝k·180°－21°,k∈Z}解析：根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与α＝－21°终边相同的角可表示为：｛β|β＝k·360°－21°,k∈Z}，故选B。
高中数学人教a版必修四第一章1.1.1任意角练习【教师版】.docx
高中数学学习材料唐玲出品1.1.1 任意角一、选择题：1. 已知集合A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A ．A ＝B ＝C B ．A ⊆CC ．A ∩C ＝BD ．B ∪C ⊆C【答案】D【解析】第一象限角可表示为k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°；由三者之间的关系可知，选D ．2. 若α是第一象限角，则－α2是( ) A ．第一象限角B ．第一、四象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角【答案】D【解析】 因为α是第一象限角，所以α2为第一、三象限角，所以－α2是第二、四象限角．故选D 。
3. 与－457°角终边相同的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z }【答案】 C【解析】 当选项C 的集合中k ＝－2时，α＝－457°.故选C.4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }D．{α|α＝k·90°，k∈Z}【答案】 D【解析】终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．故选D．.5. 在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有()A．α＝－βB．α＝k·180°＋β(k∈Z)C．α＝180°＋βD．α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)【答案】 D【解析】因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)．故选D。
高中数学人教A版必修4 1.1.1 任意角 作业 Word版含解析
[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．终边相同的角都相等B ．钝角比第三象限角小C ．第一象限角不都是锐角D ．锐角不都是第一象限角解析：选C.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A 错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B 错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故C 正确，D 错误．2．若角α的终边经过点M (0，－3)，则角α( )A ．是第三象限角B ．是第四象限角C ．既是第三象限角，又是第四象限角D ．不是任何象限的角解析：选D.因为点M (0，－3)在y 轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．3．若角α满足α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，则角α的终边落在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限解析：选A.当k 为奇数时，角α与225°角终边相同，在第三象限；当k 为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．4．已知α是第三象限角，则－α是第________象限角．( )A ．四B ．三C ．二D ．一解析：选C.∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，k ∈Z .则－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°，k ∈Z .∴－α是第二象限角．5．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )A ．在x 轴的非负半轴上B ．在x 轴的非正半轴上C ．在y 轴的非正半轴上D ．在y 轴的非负半轴上解析：选A.由已知可得α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°(k ∈Z )，∴α－β的终边在x 轴的非负半轴上．6．在－360°～720°之间，与－367°角终边相同的角是________．解析：与－367°角终边相同的角可表示为α＝k ·360°－367°，k ∈Z .当k ＝1,2,3时，α＝－7°，353°，713°，这三个角都是符合条件的角．答案：－7°，353°，713°7．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．解析：2小时40分＝83小时，－360°×83＝－960°，故分针走过的角为－960°. 答案：－960°8．有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x 轴的非负半轴重合，则这个角为________．解析：由题意知，6α＝k ·360°，k ∈Z ，所以α＝k ·60°，k ∈Z .又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.答案：60°，120°，180°，240°，300°9．求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角和最大负角．(1)－210°；(2)－1 484°37′.解：(1)因为－210°＝－360°＋150°，所以与－210°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．其中最小正角为150°，最大负角为－210°.(2)因为－1 484°37′＝－5×360°＋315°23′，所以与－1 484°37′终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋315°23′，k∈Z}，其中最小正角为315°23′，最大负角为－44°37′.10．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．[B.能力提升]1．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于() A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：选C.令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.故选C.2．如果角α与角γ＋45°的终边重合，角β与角γ－45°的终边重合，那么角α与角β的关系为()A．α＋β＝0°B．α－β＝90°C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)D．α－β＝2k·180°＋90°(k∈Z)解析：选D.由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)．将两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°，即α－β＝2k·180°＋90°(k∈Z)．3．设集合A＝{x|k·360°＋60°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°＜x＜k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.解析：因为A＝{x|k·360°＋60°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°＋150°＜x＜k·360°＋360°，k∈Z}，所以A∩B＝{x|k·360°＋150°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}．答案：{x|k·360°＋150°＜x＜k·360°＋300°，k∈Z}4．如图所示，终边落在直线y＝3x上的角的集合为________．解析：终边落在射线y＝3x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．答案：{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }5．已知角α＝2 015°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.解：(1)用2 015°除以360°商为5，余数为215°.∴k ＝5.∴α＝5×360°＋215°(β＝215°)．∴α为第三象限角．(2)与2 015°终边相同的角为k ·360°＋2 015°(k ∈Z )，令－360°≤k ·360°＋2 015°＜720°(k ∈Z )，解得－2 375360≤k ＜－1 295360(k ∈Z )， ∴k ＝－6，－5，－4.将k 的值代入k ·360°＋2 015°中，得角θ的值为－145°，215°，575°.6．(选做题)写出如图所示阴影部分的角α的范围．解：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k ·360°，k ∈Z 的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k ·360°，k ∈Z 的形式．所以图①阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k ·360°＜α≤45°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)同理可表示图②中角α的范围为{α|45°＋k ·360°≤α≤300°＋k ·360°，k ∈Z }．。
2020年高中数学 必修4 1.1.1 任意角 基础训练(人教A版)
01第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角基础训练1.-215°是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:因为-215°=-360°+145°,而145°是第二象限角,所以-215°也是第二象限角.答案:B2.在下列各个角中,与2 019°角终边相同的是()A.-219°B.-140°C.219°D.140°解析:∵2 019°=360°×5+219°,∴与2 019°角终边相同的是219°,故选C.答案:C3.与-457°角终边相同的角的集合是()A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}答案:C4.已知α是第二象限角,则2α的终边在()A.第一、二象限B.第二象限C.第三、四象限D.以上都不对解析:∵α是第二象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z,∴2k ·360°+180°<2α<2k ·360°+360°,k ∈Z ,∴2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上.答案:D5.若钟表的时针走过1小时50分钟,则分针转过的角度是 ( )A.-660°B.-600°C.600°D.660° 解析:∵50÷60=56,∴360°×56=300°.∵时针和分针都是顺时针旋转,∴时针走过1小时50分钟,分针转过的角度为-660°.答案:A6.在-360°~720°之间,与-367°角终边相同的角是 .解析:与-367°角终边相同的角可表示为α=k ·360°-367°,k ∈Z .当k=1,2,3时,α=-7°,353°,713°,这三个角都是符合条件的角.答案:-7°,353°,713°7.终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角的集合为 .解析:在0°~360°内,终边落在阴影部分的角的范围是120°<α<225°,所以终边落在阴影部分的角的集合为{β|k ·360°+120°<β<k ·360°+225°,k ∈Z }.答案:{β|k ·360°+120°<β<k ·360°+225°,k ∈Z }8.在平面直角坐标系中画出下列各角:(1)-180°; (2)1 070°.解:在平面直角坐标系中画出各角如图.9.在-720°~720°范围内,用列举法写出与60°角终边相同的角的集合S.解:与60°角终边相同的角的集合为{α|α=60°+k ·360°,k ∈Z },令-720°≤60°+k ·360°<720°(k ∈Z ),得k=-2,-1,0,1,相应的角为-660°,-300°,60°,420°,从而S={-660°,-300°,60°,420°}.10.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k ·360°(k ∈Z ,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解:(1)∵-1 910°=-6×360°+250°,∴β=250°,即α=250°-6×360°.又250°是第三象限角,∴α是第三象限角.(2)θ=250°+k ·360°(k ∈Z ).∵-720°≤θ<0°,∴-720°≤250°+k ·360°<0°,解得-9736≤k<-2536.又k ∈Z ,∴k=-1或k=-2. ∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°.。
高一数学人教A版必修4练习1.1.1 任 意 角 Word版含解析
第一章三角函数三角函数
．任意角和弧度制
．任意角
．理解任意角的概念，特别是象限角、区间角、终边相同的角的概念及其表示方法．
．了解正角、负角、零角的概念．
．注意数形结合思想的应用．
一、任意角
．任意角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．射线的起始位置是角的始边，射线的终止位置是角的终边，射线的端点是角的顶点．
练习：下列说法正确的是()
．最大角是°．最大角是°
．角不可以是负的．角可以任意大小
解析：由角的定义，角可以是任意大小的．故选.
．正角、零角、负角概念：按旋转方向，角可以分为以下三类：
()正角——按逆时针方向旋转所形成的角；
()零角—射线没有作任何旋转形成的角；
()负角——按顺时针方向旋转所形成的角．
练习：时钟的分针经过分钟旋转的角为()
．°．°．－°．－°
解析：时针的分针是按顺时针旋转形成的角，所以为负角．故选.。
人教A版高中数学必修四《1.1.1任意角》练习题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§1．1 任意角和弧度制§1．1．1 任意角【学习目标、细解考纲】理解任意角、象限角的概念，并会用集合来表示终边相同的角。
【知识梳理、双基再现】1、角可以看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
2、按逆时针方向旋转形成的角叫做，按顺时针方向旋转形成的角叫做。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个，它的和重合。
这样，我们就把角的概念推广到了，包括、和。
3、我们常在内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的与重合，角的与重合。
那么，角的落在第几象限，我们就说这个角是。
如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角。
4、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个，，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。
【小试身手、轻松过关】5、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°6、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°8、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．【基础训练、锋芒初显】9、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A．｛α∣90°<α<180°｝马鸣风萧萧马鸣风萧萧 B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C11、下列结论正确的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα12、若α是第四象限的角，则α- 180是 ．(89上海)A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角13、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．14、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．15、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．16、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） 210-； （2）731484'-．17、下列说法中，正确的是（ ）A ．第一象限的角是锐角B ．锐角是第一象限的角C ．小于90°的角是锐角D ．0°到90°的角是第一象限的角【举一反三、能力拓展】18、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）马鸣风萧萧 （1） （2） （3）19、已知角α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
高一数学人教A版必修4学案：111任意角含答案1.doc
THE FIRST CHAPTER第一章三角函数1. 1任意角和弧度制1. 1.1任意角［学习目标］1•了解角的概念2掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.尹预习导学全挑战自我•点点落实________________________________________________ ［知识链接］1.手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小吋，又如何校准？答可将分针顺时针方向旋转30。
；可将时针逆时针方向旋转45。
.2.在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的儿何图形叫做角.定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.3.初中所学角的范围是什么？答角的范围是［0。
，360°］.［预习导引］1.角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)角的表示方法：①常用大写字母儿3, C等表示:②也可以用希腊字母$、匸匕等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母丄表示.(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第儿象限，就说这个角是第儿象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=｛0|0=a+E36O。
，MZ｝, 即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.戸课堂讲义/ 重点难点，个个击破 ____________________________________________________________要点一任意角概念的辨析例1在下列说法中：①0。
〜90。
的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90。
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高中数学 1.1.1任意角练习手册
1．已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的角是( )
A ．120°
B ．－120°
C ．270°
D ．－270°
解析：分针旋转形成的角是负角，每60分钟转动一周，所以一节课45分钟分针旋转形
成的角是－360°×4560
＝－270°. 答案：D
2．下列叙述正确的是( )
A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角
B ．始边相同而终边不同的角一定不相等
C ．第四象限角一定是负角
D ．钝角比第三象限角小
解析：－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；280°角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．
答案：B
3．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．
解析：∵角α与角－α的终边关于x 轴对称，
又∵角α的终边在第四象限，
∴角－α终边在第一象限，又角－α与180°－α的终边关于原点对称，
∴角180°－α的终边在第三象限．
答案：三
4．在0°～360°范围内：与－1 000°角终边相同的最小正角是________，是第________象限角．
解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，
∴与－1 000°角终边相同的最小正角是80°，为第一象限角．
答案：80° 一
5．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中，
(1)有几种终边不相同的角？
(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？
解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、
－45°终边相同的角．
(2)令－360°<k ·90°＋45°<360°，得－92<k <72
. 又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3， ∴满足条件的角共有8个．。