2016-2017年辽宁省大连市瓦房店高中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)

2016-2017学年辽宁省大连市瓦房店高中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，定义A﹣B={x|x ∈A，且x∉B}，则A﹣B=（）A．（﹣1，2）B．[2，3） C．（2，3） D．（﹣1，2]2．（5分）已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若⊥（﹣），m=（）A．B．7 C．﹣7 D．﹣3．（5分）某高级中学有高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从高三年级学生中抽取的人数是（）A．40 B．30 C．20 D．104．（5分）北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为1cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）A．B． C．D．5．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．6．（5分）某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为（）A．45 B．50 C．55 D．607．（5分）若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．98．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，则“∠BAD+∠C=90°”是“AB=AC”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，•的值为（）A．2 B．C．D．310．（5分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y 轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣111．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2） D．（1，2]12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1、x2、x3、x4满足，x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•（x3﹣2）•（x4﹣2）的取值范围是（）A．（4，16）B．（0，12）C．（9，21）D．（15，25）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若sin（﹣α）=，则cos（+2α）的值为．14．（5分）函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P 在直线mx+ny﹣1=0（m＞0且n＞0）上，则的最小值是．15．（5分）已知实数1，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为．16．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递减区间．18．（12分）设a，b，c是△ABC内角A，B，C所对的边，且．（1）求B；（2）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．19．（12分）某家电专卖店试销A，B，C三种新型空调，销售情况记录如下：（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店前三周售出的所有空调中随机抽取一台，求抽到的空调“是B型空调或是第一周售出空调”的概率；（3）根据C型空调连续3周销售情况，预估C型空调连续5周的平均周销量为10台．当C型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差是：，其中为样本平均数．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E是线段BC的中点．（1）证明：ED⊥PE；（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）垂直于x轴的直线l与椭圆C：相交于M、N两点，A是C 的左顶点．（1）求的最小值；（2）设点P是C上异于M、N的任意一点，且直线MP、NP分别与x轴交于R、S两点，O是坐标原点，求△OPR和△OPS的面积之积的最大值．2016-2017学年辽宁省大连市瓦房店高中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，定义A﹣B={x|x ∈A，且x∉B}，则A﹣B=（）A．（﹣1，2）B．[2，3） C．（2，3） D．（﹣1，2]【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，则A﹣B={x|x∈A，且x∉B}=[2，3），故选：B．2．（5分）已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若⊥（﹣），m=（）A．B．7 C．﹣7 D．﹣【解答】解：∵若⊥（﹣），∴若•（﹣）=0，即=．∴25=﹣3+4m，解得m=7．故选：B．3．（5分）某高级中学有高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从高三年级学生中抽取的人数是（）A．40 B．30 C．20 D．10【解答】解：设应当从高三年级的学生中抽取的人数是x，则由分层抽样的定义可得，解得x=20，故选：C．4．（5分）北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是半径为1cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）A．B． C．D．【解答】解：由题意可得半径为1cm的圆的面积为π×12=π，而边长为0.5cm的正方形面积为0.5×0.5=0.25，故所求概率P==，故选：B．5．（5分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选：D．6．（5分）某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为（）A．45 B．50 C．55 D．60【解答】解：==5，∴=6.5×5+17.5=50，∴=50，解得p=60．故选：D．7．（5分）若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．9【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，S=0+[]=0，0＞4，否；n=1，S=0+[]=1，1＞4，否；n=2，S=1+[]=2，2＞4，否；n=3，S=2+[]=3，3＞4，否；n=4，S=3+[]=5，4＞4，否；n=5，S=5+[]=7，5＞4，是；输出S=7．故选：C．8．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，则“∠BAD+∠C=90°”是“AB=AC”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：延长AD到E，使得DE=AD，则四边形ABEC是平行四边形，如图示：，则由∠BAD+∠C=90°，显然推不出AB=AC，不是充分条件，若AB=AC，推出∠BAD+∠C=90°，是必要条件，故选：B．9．（5分）已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，•的值为（）A．2 B．C．D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，•==．故选：B．10．（5分）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和y 轴的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．﹣1【解答】解：由题意作图如右图，点P到直线l：2x﹣y+3=0为PA；点P到y轴的距离为PB﹣1；而由抛物线的定义知，PB=PF；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和为PF+PA﹣1；而点F（1，0）到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=；故点P到直线l：2x﹣y+3=0和y轴的距离之和的最小值为﹣1；故选：D．11．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（1，2） D．（1，2]【解答】解：已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=≥4，∴e≥2，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1、x2、x3、x4满足，x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•（x3﹣2）•（x4﹣2）的取值范围是（）A．（4，16）B．（0，12）C．（9，21）D．（15，25）【解答】解：当2≤x≤10，时，f（x）=sin x，则函数的图象如图，则0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜x4，且x3，x4，关于x=6对称，∵f（x1）=f（x2）∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴x1x2（x3﹣2）（x4﹣2）=（x3﹣2）（x4﹣2）=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10，x3+x4=12，∴x3=﹣x4+12，则x3x4=（12﹣x4）x4=﹣（x4）2+12x4=﹣（x4﹣6）2+36，∵8＜x4＜10，∴20＜x3x4＜32则0＜x3x4﹣20＜12，故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若sin（﹣α）=，则cos（+2α）的值为．【解答】解：∵=cos2（+α）=2﹣1=2﹣1=2×﹣1=，故答案为：．14．（5分）函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P 在直线mx+ny﹣1=0（m＞0且n＞0）上，则的最小值是25．【解答】解：当x=1时，f（1）=a0+3=4，函数f（x）恒过定点P（1，4）．∵点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0且n＞0）上，∴m+4n=1．∴==17+=25，当且仅当m=n=时取等号．∴的最小值是25．故答案为25．15．（5分）已知实数1，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为或2．【解答】解：∵1，m，9构成一个等比数列，∴m=±3．当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=﹣3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是2．故答案为：或2．16．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，V=V正方体﹣2V三棱锥=2×2×2=．故答案我：三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）因为．所以f（x）的最小正周期．依题意，，解得ω=1；（2）由（1）知．函数y=sinx的单调递减区间为．由，得．所以f（x）的单调递减区间为．18．（12分）设a，b，c是△ABC内角A，B，C所对的边，且．（1）求B；（2）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．【解答】解：（1）由已知及正弦定理，得，又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，所以；因为0＜B＜π，故；…（6分）（2）由（1）及已知，有，得ac=4；①由余弦定理22=a2+c2﹣2accosB，得a2+c2=8；②由①②解得a=2，c=2．…（12分）19．（12分）某家电专卖店试销A，B，C三种新型空调，销售情况记录如下：（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店前三周售出的所有空调中随机抽取一台，求抽到的空调“是B型空调或是第一周售出空调”的概率；（3）根据C型空调连续3周销售情况，预估C型空调连续5周的平均周销量为10台．当C型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差是：，其中为样本平均数．【解答】解：（1）A型空调前三周的平均销售量为（台）；…（2分）（2）方法1：从前三周售出的所有空调中随机抽取一台，有105种可能，其中“是B型或是第一周售出空调”有35+35﹣10=60；…（4分）因此抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的概率是；…（6分）方法2：设抽到的空调“不是B型也不是第一周售出空调”的事件是M，抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的事件是N，则，；…（4分）故抽到的空调“是B型或是第一周售出空调”的概率是；…（6分）（3）因为C型空调平均周销售量为10台，所以c4+c5=10×5﹣15﹣8﹣12=15；…（8分）又，化简得．…（10分）因为c4∈N，所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7…（12分）20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E是线段BC的中点．（1）证明：ED⊥PE；（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，∴DE⊥PA．连接AE，∵AD=2AB，∴由勾股定理可得DE⊥AE．∴DE⊥平面PAE，∵PE⊂平面PAE，∴PE⊥ED．…（6分）解：（2）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角．∵PB与平面ABCD所成的角为45°，∴∠PBA=45°，PA=1．如图建立所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，1），E（1，1，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（1，﹣1，0）．∴AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量．设平面PED的法向量为n=（x，y，z），由得．令z=1，得x=y=，所以n=．．…（10分）∵二面角A﹣PD﹣E是锐二面角，∴二面角A﹣PD﹣E的余弦值．…（12分）21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）n=1时，a1=1．∵2S n=3a n﹣1，∴2S n+1=3a n+1﹣1，=3a n，∴a n+1∴a n=3n﹣1．（2）∵b n=n⋅3n﹣1，∴T n=1⋅30+2⋅31+3⋅32+…+（n﹣1）⋅3n﹣2+n⋅3n﹣1，3 T n=1⋅31+2⋅32+3⋅33+…+（n﹣1）⋅3n﹣1+n⋅3n，两式相减可得﹣2T n=1+31+32+…+3n﹣1﹣n⋅3n，∴T n=⋅3n+．22．（12分）垂直于x轴的直线l与椭圆C：相交于M、N两点，A是C 的左顶点．（1）求的最小值；（2）设点P是C上异于M、N的任意一点，且直线MP、NP分别与x轴交于R、S两点，O是坐标原点，求△OPR和△OPS的面积之积的最大值．【解答】解：（1）点M、N关于x轴对称，设M（x1，y1）（y1＞0），则N（x1，﹣y1），∵A（﹣2，0），∴，，∵点M在C上，∴，∴，∵x1∈（﹣2，2），∴时，取最小值．（2）设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理，∵点M 、P 在C 上，∴，， ∴，，∵y 0∈[﹣1，1]，∴y 0=±1时，S △OPS •S △OPR 取最大值1．。