九年级数学上册 22.2.4 一元二次方程的根与系数关系教案 新人教版
一元二次方程根与系数的关系
2、总结规律
四、巩固提升
1、巩固练习：完成教材P42练习题。
2、拓展提升：1、已知x1，x2是方程 的两实数根，根据一元二次方程的根与系数的关系，写出方程两根的和与积：并求 的值.
五、自主生成
目标达成根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积：
1、
2、激励评价
（1）本节课的收获：先由学生总结，教师补充：关于本节课的知识还有不明白的地方吗？
布置作业：必做教材P437、11题。
葛沽一中整体建构教学模式导学案初中年级学科设计人：电子文件名
第周第课课题：22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：1．探寻并会运用一元二次方程的根与系数的关系解决有关问题.
教学过程
一、导学明标
1、导入新课：问题1：从因式分解法可知，方程 的两个根为x1和x2，将方程化为 的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
2、明确目标：用知识树展示及文字描述
二、合作探究
自学指导、引导探究：阅读教材P40-41内容，完成探究活动，并回答下列问题：
1、上述问题反应方程两个和、积与系数有怎样关系？
2、你对一般的一元二次方程的根与系数的关系是怎样理解的？可以举例说明。
三、点拨归纳：
1、精讲点拨
例1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积：
22.2.4根与系数关系
教学过程设计分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. ○4两个根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x 2+21x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=0 ○5.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） A.4x 2-3=0 B.-3x 2+5x-4=0 C.0.5x 2-4x-3=0 D.2x 2+53x-6=0○6.若关于x 的一元二次方程2x 2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，○6中还需考虑m 的值还得受根的判别式的限制. 三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：x 1 ，x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：○12111x x +； ○2221212x x x x + ○32221x x +； ○4()221x x -；○52112x x x x + 四、小结归纳本节课应掌握：1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；3.韦达定理的应用常见题型：○1不解方程，判断两个数数否是某一个一元二次方程的两根； ○2已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ○3由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○4判断两个根的符号； ○5不解方程求含有方程的两根的式子的值. 五、作业设 计复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做；学有余力的学生，要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复练习. 补充作业：已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两个根是βα、， 求αββα+的值. 学生尝试归纳，师生总结学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 进一步加强对所学知识的理解和掌握通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系. 板 书 设 计课题二次项系数是1的方程根与系数的关系二次项系数不是1的方程根与系数的关系练习 归纳教 学 反 思。
人教版九年级数学上册教案-22.2 二次函数与一元二次方程4带教学反思
22.2 二次函数与一元二次方程（2）教学目标：1．知识与能力：复习巩固用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解.2．方法与过程：让学生体验函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的交点的横坐标是方程x 2＝bx ＋c 的解的探索过程，掌握用函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象交点的方法求方程ax 2＝bx ＋c 的解.3．情感、态度与价值观：提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想.教学重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点. 教学难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.教学方法：学生学法教学过程：一、复习巩固1．如何运用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c 的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y ＝x 2＋x －1的图象，求方程x 2＋x －1＝0的解.(精确到0.1)(2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解.二、探索问题已知抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8和直线y 2＝mx ＋1相交于点P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式； (2)当x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点P(3，4m)在直线y 2＝mx ＋1上，所以有4m ＝3m ＋1，解得m ＝1 所以y 1＝x ＋1，P(3，4). 因为点P(3，4)在抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8上，所以有 4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10(2)依题意，得⎩⎨⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎨⎧x 2＝1.5y2＝2.5 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).五、小结： 如何用画函数图象的方法求方程的解?六、作业：~。
22.2.4一元二次方程根与系数的关系
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
归纳小结：
通过本节课的学习你学到了那些知识？ 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
两根的和等于一次项系数与二次 项系数的比的相反数，两根的积等于 常数项于二次项系数的比。
作业：
课本P43
习题22.2 第7题。
k 1 2 k 3 2 ∴( ) 4 1 2 2
, k 1x2= x 3
2
解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得 即-8k+4≥0 4(k 1) 2 4k 2 0
22.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1、复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求 根公式。
ax2+bx+c=0 (a≠0)
b b 4ac X= 2a
2
(a≠0,b2-4ac≥0)
(2)求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为 ①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 x2-5x+6=0 ①(x-2)(x-3)=0 x2-3x-28=0 ②(x+4)(x-7)=0
2
b 求证： x1 x2 a
c x1 x2 a
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
解：(1)∵x1 ，x2 是方程 x2－6x＋k＝0 的两个根， ∴x1＋x2＝6，x1x2＝k. ∵ x2x2－x1－x2＝115， 1 2 ∴k2－6＝115 ， 解得 k1＝11，k2＝－11.
当 k1＝11 时， Δ＝36－4k＝36－44＜0， ∴k1＝11 不合题意． 当 k2＝－11 时， Δ＝36－4k＝36＋44＞0， ∴k2＝－11 符合题意． ∴k 的值为－11.
b c － a a 和系数 a， c 的关系是 x1＋x2＝________， 1·2＝________. b， x x
4．仿照课本 P41 例 4，根据一元二次方程的根与系数的 关系，求下列方程两根的和与积： (1)3x2＋2x―3＝0；
2 解：x1＋x2＝－ ，x1x2＝－1. 3
(2)x2＋8x＝20.
探究点二 一元二次方程根与系数的关系的应用 例 2 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋k＝ 0 的两个实数根，且 x2x2 －x1－x2＝115. 1 2 (1)求 k 的值； (2)求 x2＋x2 ＋8 的值． 1 2
分析： 根据根与系数的关系和已知的 x2x2 －x1－x2＝115， 1 2 列出关于 k 方程，解方程可求 k 的值，根据根与系数的关系 也可求出 x2＋x2 ＋8 的值． 1 2
x1＋x2＝2， 解：(1)由题意，得 x1＋2x2＝3－ 2， x ＝1＋ 2， 1 解得 x2＝1－ 2. ∴a＝x1·2＝(1＋ 2)(1－ 2)＝－1. x (2)方法 1：由题意，得 x2－2x1－1＝0， 1 ∴x3－3x2＋2x1＋x2 1 1 ＝x3－2x2－x1－x2＋3x1＋x2 1 1 1 ＝－x2＋2x1＋1＋x1＋x2－1＝2－1＝1. 1
根与系数关系教案
22.2.4 根与系数的关系（课案：教师用）一、教学目标:1.知识与技能:掌握一元二次方程的根与系数之间的关系以及根的判别式的综合运用。
2.过程与方法:经历由公式法推导一元二次方程根与系数的过程，理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用此关系解题。
3.情感、态度与价值观：在由公式法推导一元二次方程根与系数的关系的过程中，发展观察、分析、发现问题的能力。
二、学情分析：三、教学重点：根与系数的关系的应用难点：根与系数的关系和根的判别式的综合应用突破难点的关键：鼓励学生动手操作，主动探索和讨论交流。
突破方法：通过活动一中的复习引入得出一元二次方程的根与系数的关系，通过例1运用根与系数的关系解题突出本课的重点。
通过例2运用根据系数的关系求待定系数的值，突破本课的难点，通过跟踪训练加强根与系数的应用的理解。
四、教学方法：采用“探究──发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。
学习方法：合作交流性学习，探究性学习，概括性学习等方法 五、教师的准备：制作活动一、活动二、活动三中问题的幻灯片学生的准备：复习一元二次方程的求根公式，及一元二次方程的解法。
六、教学过程【课前预习】课本P40~P41【课内探究】复习引入：方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式aacb b x 242-±-=。
问题：解方程求出两个解1x 、2x ，并计算两个解的和与积，填入下表（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.分析：这是一道探究一元二次方程根与系数关系的问题，探究性问题为学生提供了广阔的思维空间，有利于调动学生的创新意识和探究兴趣，成为近几年中考的热点题型之一。
首先要根据题意求出已知方程的解，再根据得出的规律，【解】（1）3， 0， 29-；32， 0， 32， 0； 2， 1， 3， 2； b a -， ca. （2）已知：1x 和2x 是方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根，那么，12b x x a +=-， 12cx x a⋅=. 【点评】探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，探究性问题一般分为三类：1、条件探究型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。
_22.2.4(修改)一元二次方程根与系数的关系课件
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
2
b 求证： x1 x2 a
c x1 x2 a
推导:
b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 ,
又x1 1=
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16
x1+x2= - 2 , x1 · 2= 3 x
2 5 2 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
由根与系数的关系，得 解：
题4. 2 点p(m,n)既在反比例函数y ( x 0) x
图象上, 又在一次函数y
2 解:由已知得, n m
的
x 2
即
2
的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
{n m 2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为:
x 2x 2 0
k 1 2 k 3 ∴( ) 4 1 2 2
解得k1=9,k2= -3
k 3 , 2x1x2=
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
九年级上册数学：22.2.4《一元二次方程根与系数关系》课件(新人教版)
达标检测题： 1、已知X1、X2是方程X2－2X=1的两个根， . -1 则X1+X2=________ X 2 1 X2=_______ 2 2、设X1、X2是方程X －4X+3=0的两个根， 则( X1+1)(X2+1)=8 _____ 2 3、以4和-7为根的一元一次方程是_____ _____ X +3X-28=0 4、已知两个数的和为3，积是-10，则这两个数 5和 -2 ___ 是___ ___
又X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 - 2 X1X2=4 K2- 2（k+2）=4
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
K2-2k-8=0
解得：k=4 或k=-2
提 高 练 1、已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。 习
解.设方程的另一个根是，则 3+=2 解之得=－1。 ∵3=c ∴3×（－1）=c ∴c=－3 故：方程的另一个根是－1，c=－3。
提 高 2 2 、方程 2 X -mX+m-1=0有一个正根，一个负根， 练 求m的取值范围。 习
一正根，一负根
△＞0
两个正根
△≥0
两个负根
△≥0
X1X2＜0
X1X2＞0 X1+X2＞0
X1X2＞0 X1+X2＜0
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
一元二次方程根与系数的关 系
口答练习：
下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴、X2－3X+1=0 ⑶、2 X +3X=0
2
⑵ 、3X2－2X=2 ⑷ 、3X =1
根与系数关系教案12
x2 5x 6 0
x 2 3x 4 0 x2 2 x 0
上 个 规 . ， 律
（ 2 ） 2 x 2 3x 5 0
x1 x 2 =
（2）观察表格中各个方程两个根的和、两个根的积与原方程的系数之间的关系有 可直观的反 什么规律？试写出你的结论。 映根与系数 二、 学习新知： 1、自学指导（一） 用 4 分钟时间自学教材 40 页“思考” ，探索二次项系数为 1 的一元二次方程 →要强调二
归纳：一元二次方程 x 2 px q 0 的两个根 X1，X2 之间有如下关系：
x1 x2 =
； x1.x2 =
.
反馈练习：不解方程，求下列方程两根之和，两根之积 （1） x2 15x 8 0 , （2） x 2 1 0，
x1 + x 2 = x1 + x 2 =
， x1 x 2 = ，
x 2 px q 0 的两个根 X1，X2 之间的关系，验证你的猜想是否正确。
. ， x1 x 2 = .
1 （3） x 2 2 x 0 ， x1 + x 2 = 3 3、自学指导（三）
用 3 分钟时间自学教材 41 页例 4，掌握解题过程。 反馈练习：教材 42 页练习。 课堂小结： 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴、不是一般式的要先化成一般式； ⑵、 在使用 X1+X2=－ 1、填空题： （每题 5 分） （1）如果方程 x 2 px q 0 的两根为 x1 ， x 2 ，那 时， 注意“－ ”不要漏写。 → 此 处 是 学 生 易 出 错 的地方， 要 提 醒 学 生 多 注意。 次项系数为 三、 1 →教师 巡
1 （2） 3X2—4x+1=0 ( ,1) 3 1 （3） 2X2+9X—5=0 (－ ,5) 2
人教版数学九年级上册22.2.4《一元二次方程解法》(公式法1)说课稿
人教版数学九年级上册22.2.4《一元二次方程解法》（公式法1）说课稿一. 教材分析《一元二次方程解法》是人教版数学九年级上册第22.2.4节的内容，属于初中数学的代数部分。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义和性质等知识的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是一元二次方程的公式法求解，是解决一元二次方程问题的重要方法之一。
教材通过具体的例子引导学生掌握公式法的步骤和应用，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，学生对于公式法的理解和运用可能还存在一些困难。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况进行教学设计和调整。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一元二次方程的公式法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的公式法及其应用。
2.教学难点：理解一元二次方程的公式法，能够灵活运用公式法解决实际问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，使教学内容更加直观和生动。
六.说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.讲解新课：介绍一元二次方程的公式法，通过具体的例子解释公式法的步骤和应用。
3.实践操作：学生分组进行练习，运用公式法求解一元二次方程，教师巡回指导。
4.总结提升：引导学生总结公式法的解题步骤和注意事项，归纳一元二次方程的解法。
一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。
一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。
本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。
二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。
（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。
（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。
达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。
达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。
22.2 .4一元二次方程的解法 集体备课稿
22.2 .4一元二次方程的解法 集体备课稿主备人：赖开晓教学目标：1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
重点难点：1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
教学过程：一、复习旧知，提出问题1、用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ (2)2131203x x -+=2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、探索同底数幂除法法则问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠转化为2224()4b b ac x a a -+=呢？教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：因为0a ≠，方程两边都除以a ，得20b c x x a a ++=移项，得2b c x x a a +=- 配方，得2222()()222b b b c x x a a a a ++=- 即2224()24b b ac x a a -+=问题2：当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b aca -大于等于零吗？让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以240a >，从而22404b ac a -≥。
问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？让学生讨论、交流，从中得出结论，当240b ac -≥时，一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为22b x a a +=±，即2b x a -=。
22.2.4一元二次方程根与系数的关系教案
例2．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两根的(1)平方和；(2)倒数和.
补充
教
学
设
计
︵
内
容
、
方法
、过
程
、
反
馈
、
反
思
︶
例3．求一个一元二次方程，使它的两根分别是 和 。
例4．已知两数的和等于8，积等于9，求：这两个数.
练习：
1.已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=_________.
22.2.2.2.4一元二次方程跟与系数的关系
时间
教学目标
1．通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立；
2．使学生会运用根与系数关系解题
教学重点
根与系数关系的推导
教学难点
根与系数关系的运用
教
学
设
计
︵
内
容
、
方法
、过
程
、
反
馈
、
反
思
︶
探究一：我们知道如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2，那么方程x2+px+q=0可以写成（x-x1）（x-x2）=0的形式，试比较两个方程探究x1,x2与p、q之间的关系。
2.已知关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k=___.
3.已知方程x2+3x+k=0的两根之差为5，k=__________.
补充提高：
1．设 ， ，且a≠b，求代数式 的值。
2．设x1，x2是一元二次方程 的两根，求代数式
的值。
3．已知 、 是方程 的两根，求 的值。
一元二次方程根和系数关系
练 习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = _4__ ,X1X2 = _1___，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - _2_X_ 1X2= __1_4
( X1-X2)2 = ( __X_1+)X2 -2 4X1X2 = ___12 3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ）
3、如果 12是方程2X2+mX+3=0的一 个根，求它的另一个根及m的值.
4、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的3倍少 10，求k的值.
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
基 础
3
一个根是___2，m =__-_3_。（还有其他解法吗？）
得y2－3y+2=0 ，即为所求方程。
……
作业：
1、课本P43第7题 2、极速P20
再见
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2 ,
则x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
推 特别地：
论 1
若方程x2 px q 0的两根为x1, x2，
则：x1 x2 p, x1 • x2 q
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 __2_和__-1。
5、以方程X2+3X+2=0的两个根的相反数为根的
基 础
方
B
程是（ ）
22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案年级： 九年级 学科： 数学 命题人： 王金涛 审核人： 叶书生东 辛 店 中 学 验 标 题（满分： 100分 时间： 10 分钟 成绩： ）必做题：（共9题，每题10分）1、如果关于x 的一元二次方程02=++q px x 的两根分别为1x =3，2x =1，那么p= ，q = 。
2、不解方程，求下列方程两根之和，两根之积。
（1）0372=+-x x ， =+21x x ，=21x x 。
（2）7142==x ，=+21x x ，=21x x 。
（3）0132=-x ，=+21x x ，=21x x 。
（4）062=-y y ，=+21y y ，=21y y 。
（5）0)1(22=-+-m x m x ，=+21x x ，=21x x 。
3、请写出以-1，3为根的一元二次方程 。
4、方程02352=++m x x 的一个根为-5，则另一根为 ，m 为 。
选做题：（共1题，每题20分）（2012·日照）已知1x 、2x 是方程0161422=-+x x 的两实数根，求2112x x x x +的值。
1、（2011〃荆州） 关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．22、（2010〃孝感）已知关于x 的方程0)1(222=+-k x k x ，有两个实数根1x ，2x ，（1）求k 的取值范围，（2）若12121-=+x x x x ，求k 的值。
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿一. 教材分析《根与系数关系》是人教版数学九年级上册第22章的一节内容。
本节课主要介绍了二次方程的根与系数之间的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解二次方程的根与系数之间的内在联系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。
教材中通过实例引导学生探究二次方程的根与系数之间的关系，并通过练习题巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次方程的基本概念和解法，对二次方程有一定的认识。
但是，学生可能对根与系数之间的关系理解不够深入，需要通过实例和练习来进一步巩固。
此外，学生可能对数学符号和表达式的理解还不够熟练，需要教师在教学中进行引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解和运用二次方程的根与系数之间的关系解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和练习题进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题引入二次方程的根与系数之间的关系，激发学生的兴趣和好奇心。
2.探究：引导学生通过观察和分析实例，发现二次方程的根与系数之间的关系，并总结出规律。
3.讲解：教师对二次方程的根与系数之间的关系进行解释和讲解，引导学生理解和掌握。
4.练习：学生进行练习题，巩固对二次方程的根与系数之间关系的理解和运用。
5.应用：学生分组讨论和解决实际问题，运用二次方程的根与系数之间的关系进行分析和解答。
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教 学 难 点 对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意 图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系， 教师出示问题， 创设问题情
引 出 课 题 学 生 境，激发学
早在 16 世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关 初 步 了 解 本 课 生好奇心，
系，你能发现吗？
用 加强教学 反思，帮助 学生养成 系统整理 知识的学 习习惯，加 深认识，深 化提高，形 成学生自 己的知识 体系.
A.4x2-3=0
B.-3x2+5x-4=0
C.0.5x2-4x-3=0
D.2x2+ 3 5 x- 6 =0
○6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时
方程有两个正根；当 m 时方程有两个负根；当 m
号、合并得到 知道二次项 一般形式的一 系数为 1 的 元二次方程， 一元二次方 教 师 适 时 点 程的根与系
于两根之积.
拨，分析总结 数关系，为
2.跟踪练习
得到结论. 后面继续研
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积.
学生独自完成 究做铺垫
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 巩固上诉知识 让学生通
时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关 系，确定方程各项系数的符号，○6 中还需考虑 m 的 值还得受根的判别式的限制.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
x1 ，x2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的
关系求下列各式的值：○1
1 x1
1 x2
；○2 x2 x12
x1 x2 2
○3
x12 x22 ；
○4
x1 x2
2 ；○5 x2 x1
x1 x2
四、小结归纳
本节课应掌握： 1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关 系 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不 为 0，△≥0； 3.韦达定理的应用常见题型：
两根的和、积，得到方程的两个根 x1 、x2 和系数 a，并交流
生的应用意
b，c 的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二 先观察，尝试选 识和能力
次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项 用 合 适 方 法 解
系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常 题，之后交流， 通过学生亲
数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下 比较解法
3. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类 教 师 出 示 探 究 过探究问
似的关系吗？
问题，学生通过 题，体会从
分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有 特殊例子入手， 特殊到一
所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，再 通 过 一 般 形 般的认知
检验上面的结论是否பைடு நூலகம்立，若不成立，新的结论是 式推导证明，教 过程，体会
解韦达定
一个根是 ,k 的值是 .
理及其应
○3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为 相反数，则 p= ; 若两个根互为倒数，则 q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的 值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个 字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母 系数.二次项系数是 1 时，若方程的两根互为相反数 或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一 次项系数和常数项. ○4 两个根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0 ○5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）
什么？
师 引 导 学 生 根 数学结论
4.一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的 a 据 求 根 公 式 进 的确定性
不一定是 1，它的两根的和、积与系数之间有第 3 题 行探究、交流， 加深对韦达
中的关系吗？
尝试发现结论 定理的理
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算 学生独立解决， 解，培养学
22.2.4 一元二次方程的根与系数关系
课 教学时间
题
课新 型授
教学媒体
多媒体
知
识
技
教 能
过 学
程
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎
方 目
法
证明.
情 标
感
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积
态 极性，激励学生勇于探索的精神.
度
教 学 重 点 一元二次方程的根与系数关系
自解题的感
推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，学生尝试归纳， 受与经验，
任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之 师生总结
感受数学的
间都有这一关系.
严谨性和数
5.跟踪练习
学 生 独 立 完 学结论的确
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积.
成，教师巡回 定性.
○1 3x2+7x+2=0 ； 3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0 ； 检查，师生集 进一步加
3x2-7x-2=0；
体订正
强对所学
○2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
学生归纳，总 知识的理
6.拓展练习
结阐述，体会， 解和掌握
○1 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3， 反 思 . 并 做 出 通过归纳，
则 b=
,c= .
笔记.
进一步理
○2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1，则另
五、作业设 计 必做：P43：7 选做：补充作业：已知一元二次方程 x2+3x+1=0 的两 个根是、 ，求 的值.
教 学 反思
所 要 研 究 的 问 求知欲
二、探究新知
题
通过思考问
1.课本思考
学生通过去括 题，让学生
分析：将（x- x1）（x-x2）=0 化为一般形式 x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x2+px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是 1 的一元二次方程如果有实数 根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等