例析递推数列的通项公式求法

例析递推数列的通项公式求法
广东省陆丰市启恩中学(516500)林敏燕
数列是高中数学的重点内容,它在新教材中是一块只有调整而未作删减的内容.近几年来,递推数列往往与解析几何,函数,不等式等内容交汇,在解题过程中, 递推数列的通项公式求法是关键的一步,许多参考资料对这部分内容大都讲得很少,没有系统化.本文对递推数列的通项公式求法的各种类型进行系统地讨论,希望对同学们的复习有所帮助.
类型1 递推关系式形如11()()n n n n a a f n a a f n ++=+=或(其中()f n 不是常数函数) 此类问题要利用累加法或累乘法,利用公式121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-或
3
21
121
n n n a a a a a a a a -=⋅⋅⋅来求解. 例1 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 解：依题意,∵121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+- ∴222135(23)2(1)23n a n n n n =++++⋅⋅⋅+-=+-=-+ 点评:在运用累加法时,要注意项数,计算时项数容易出错. 例2在数列{}n a 中, n a >0,221112,(1)n n n n a na n a a a ++==++,求n a .
解:依题意可得:11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+=.而n a >0,所以1(1)0n n n a na ++-= 即:11n n n a a n +=
+,由321121
n n n a
a a a a a a a -=⋅⋅⋅可得:2n a n =. 点评:本题考查了因式分解及累乘法的运用.
类型2 递推关系式形如1(,,1,0)n n a pa q q p p q +=+≠≠为常数且 此类问题可化为1()11n n q q a p a p p ++=+--,即数列{}1
n q a p +-是一个以p 为公比的等比数列.
例3已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式. 解：*121(),n n a a n N +=+∈
112(1),n n a a +∴+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=
即 *21().n n a n N =-∈
点评:根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.
这种递推关系式还可演变为两种难度稍大的递推关系式:11()(,,1,0)n n n n n a pa q a pa f n q p p q ++=+=+≠≠及为常数且,它的解法是恰当地构造辅助数
列,转化为类型2的解法.下面各举一例说明:
例4已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a . 解:将已知递推式两边同除以12n +得:
1131222n n n n a a ++=⨯+,设2n
n
n
a b =,故有: 132(2)2n n b b ++=⨯+⇒15322
n n n
b -⨯=-,从而11
532n n n a -+=⨯-. 点评:通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的
常用方法.
若()f n 为n 的一次函数,则n a 加上关于n 的一次函数构成一个等比数列; 若()f n 为n 的二次函数, 则n a 加上关于n 的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.
例5已知数列{}n a 满足111
1,2,21,.2
n n n a n a a n a -=≥=
+-当时求 解:作n n b a An B =++,则n n a b An B =--,11(1)n n a b A n B --=---代入已知递推式中
得:11111
(2)(1)2222
n n b b A n A B -=++++-.
令1
202111022
A A
B ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩46A B =-⎧⇒⎨
=⎩ 这时11
2n n b b -=且46n n b a n =-+
显然,132n n b -=,所以13
462
n n a n -=+-.
点评:通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.
类型3递推关系式形如(,,)n
n n Aa a A B C Ba C
=
+为非零的常数
这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为类型2的解法.
例6已知数列{}n a 满足1122,2
n
n n a a a a +==
+,求n a . 解:两边取倒数得:1111
2
n n a a +=+,所以1111(1)22n n n a a =+-⨯=
故有2
n a n
=
点评:当A=C 时,数列的倒数构成一个等差数列.
类型4递推关系式形如21(,)n n n a pa qa p q ++=+为非零的常数
这种类型可以变形为211()n n n n a a a a αβα+++-=-,其中,p q αβαβ+==-,于是
1{}n n a a α+-是公比为β的等比数列.其中，,αβ的位置可以互换。

利用这一点，可以联立方程解出数列的通项公式。

例7已知数列{}n a 满足12212,3,32n n n a a a a a ++===-,求n a .
解法一:由递推关系式可得2112()n n n n a a a a +++-=-,所以数列{1n n a a +-} 是一个等比数列 ∴1n n a a +-=1121()22n n a a ---=(这是类型1) ∴21212221n n n a --=+++⋅⋅⋅+=+
解法二：由递推关系式可得2112()n n n n a a a a +++-=-,所以数列{1n n a a +-} 是一个等比数列 ∴1n n a a +-=1121()22n n a a ---=， ⑴
同理，由21122n n n n a a a a +++-=-知数列列{12n n a a +-}是一个常数列。

故有：
12122341n n a a a a +-=-=-=- ⑵ 由⑴⑵可得：121n n a -=+
点评:这种类型的求解关键是,αβ的确定,巧妙地构造新数列仍然是解题的关键.尤其注意解法二，解方程的计算量往往比常规方法简单。

等差、等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的重点.因此,当我们遇到陌生的递推关系式时,通过不断的等价变形,先化为熟悉的递推关系式,再化为等差或等比数列,从而达到解决问题的目的.
强化练习：
1、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的
等比数列． （I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式．
2、已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，
1()
'()
n n n n f a a a f a +=-
（n=1,2,……） （1）求,αβ的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ；
（3）记ln
n n n a b a a
β-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。

3、设n S 是数列{}n a （n ∈N *）的前n 项和，1a a =，且222
13n n n S n a S -=+，0n a ≠，
234n =，，，． （I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；
（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N *）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项． 4、在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12||,3,4,5,
n n n a a a n --=-=，则称{}n a 为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”{}n a 中，20213,0a a ==，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，1,2,3,
n =，
分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.。