复变函数目标检测练习册

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复变函数单元测题集

第一章复数与复变函数测试题1一、单项选择：1、),1(22i z -=则150100++z z 的值（）。

A 、i - B 、i C 、1 D 、1- 2、设复数z 满足,3)2arg(π=+z ,65)2arg(π=-z 那么=z （） A 、i 31+- B 、i +-3 C 、i 2321+-D 、i 2123+- 3、集合},10{<<=z z D 则D 是（）A 、无界域B 、多连域C 、单连域D 、闭区域4、下列方程所表示的曲线中，（）是椭圆A 、522=++-z zB 、211=+-z z C 、1Re =+z z D 、2Re 2=z 5、=--→0Im Im limz z z z zz （）A 、iB 、i -C 、0D 、不存在二、填空题1、设2512)42()1)(23(i i i i z +++=，则=z 。

2、已知方程i y i x i 31)53()21(-=-++，则=x =y 。

3、已知iz 312+-=，则z 的辐角主值是。

4、满足不等式210<++<i z 的集合是。

5、映射zi+=1ω将圆周422=+y x 映成ω平面上。

三、求满足下列条件的点的存在范围1、1Im 2≤z 2、411<++-z z四、求复数)1(11≠-+=z zzω的实部、虚部和模。

五、若θcos 21=+-z z ，求证θn z z n n cos 2=+- 。

第一章复数与复变函数测试题2一、单项选择：1、当n 为3的倍数时，复数11[(1)][(122nnz =-+-的值（）。

A 、1-B 、1C 、2-D 、2 2、已知81()1i z i-=+则663322z z +-的值为（） A 、i - B 、1 C 、i D 、1-3、方程2Re 1z =所代表的曲线是（）A 、圆周B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线4、下列函数中，都有(0)0f =。

复变函数1到5章测试题及答案

第一章复数与复变函数(答案)一、选择题1．当时，的值等于（B ）ii z -+=115075100z z z ++（A ）（B ）（C ）（D ）i i -11-2．设复数满足，，那么（A ）z arg(2)3z π+=5arg(2)6z π-==z （A ）（B ）（C ）（D ）i 31+-i +-3i 2321+-i 2123+-3．复数的三角表示式是（D ）)2(tan πθπθ<<-=i z （A ）（B ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）（D ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若为非零复数，则与的关系是（C ）z 22z z -z z 2（A ）（B ）z z z z 222≥-z z z z 222=-（C ）（D ）不能比较大小z z zz 222≤-５．设为实数，且有，则动点y x ,yi x z yi x z +-=++=11,11211221=+z z 的轨迹是（B ）),(y x （A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转，对应的复数为，则原向量对应的复数是（A ）3πi 31-（A ）（B ）（C ）（D ）2i 31+i -3i+3７．使得成立的复数是（D ）22z z =z（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设为复数，则方程的解是（B ）z i z z +=+2（A ）（B ）（C ）（D ）i +-43i +43i -43i --43９．满足不等式的所有点构成的集合是（D ）2≤+-iz iz z （A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域10．方程所代表的曲线是（C ）232=-+i z （A ）中心为，半径为的圆周（B ）中心为，半径为２的圆周i 32-2i 32+-（C ）中心为，半径为的圆周　（D ）中心为，半径为２的圆周i 32+-2i 32-11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）（A ）（B ）221=+-z z 433=--+z z （C ）（D ）)1(11<=--a azaz )0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设，则（C ）,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=12()f z z -=（A ）（B ）（C ）（D ）i 44--i 44+i 44-i 44+-13．（D ）000Im()Im()limz z z z z z →--（A ）等于（B ）等于（C ）等于（D ）不存在i i -014．函数在点处连续的充要条件是（C ）),(),()(y x iv y x u z f +=000iy x z +=（A ）在处连续（B ）在处连续),(y x u ),(00y x ),(y x v ),(00y x （C ）和在处连续（D ）在处连续),(y x u ),(y x v ),(00y x ),(),(y x v y x u +),(00y x15．设且，则函数的最小值为（A ）C z ∈1=z zz z z f 1)(2+-=（A ）（B ）（C ）（D ）3-2-1-1二、填空题1．设，则)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+==z 22．设，则)2)(32(i i z +--==z arg 8arctan -π3．设，则 43)arg(,5π=-=i z z =z i 21+-4．复数的指数表示式为 22)3sin 3(cos )5sin5(cos θθθθi i -+ie θ165．以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为 i z 1576-=６．不等式所表示的区域是曲线（或522<++-z z 522=++-z z ）的内部1)23()25(2222=+y x ７．方程所表示曲线的直角坐标方程为 1)1(212=----zi iz 122=+y x ８．方程所表示的曲线是连接点和的线段的垂i z i z +-=-+22112i -+2i -直平分线９．对于映射，圆周的像曲线为zi =ω1)1(22=-+y x ()2211u v -+=10． =+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数满足，试求的取值范围．z 03)21()21(=+++-+z i z i z z 2+z(（或）)]25,25[+-25225+≤+≤-z 四、设，在复数集中解方程.0≥a C a z z =+22(当时解为或10≤≤a i a )11(-±±)11(-+±a 当时解为)+∞≤≤a 1)11(-+±a 五、设复数，试证是实数的充要条件为或.i z ±≠21zz+1=z Im()0z =六、对于映射，求出圆周的像.)1(21zz +=ω4=z (像的参数方程为．表示平面上的椭圆)π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u w 1)215()217(2222=+v u 七、设，试讨论下列函数的连续性：iy x z +=1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f 2..⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f (1．在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；)(z f 2．在复平面处处连续))(z f 第二章解析函数（答案）一、选择题：1．函数在点处是( B )23)(z z f =0=z（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导2．函数在点可导是在点解析的( B ))(z f z )(z f z （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( D )（A ）设为实数，则y x ,1)cos(≤+iy x （B ）若是函数的奇点，则在点不可导0z )(z f )(z f 0z （C ）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析v u ,D iv u z f +=)(D （D ）若在区域内解析，则在内也解析)(z f D )(z if D 4．下列函数中，为解析函数的是( C )（A ）（B ）xyi y x 222--xyi x +2（C ）（D ）)2()1(222x x y i y x +-+-33iy x +5．函数在处的导数( A ))Im()(2z z z f =0z =（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于（D ）不存在1-6．若函数在复平面内处处解析，那么实常)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=数( C )=a （A ）（B ）（C ）（D ）0122-7．如果在单位圆内处处为零，且，那么在内( C ))(z f '1<z 1)0(-=f 1<z ≡)(z f （A ）（B ）（C ）（D ）任意常数011-8．设函数在区域内有定义，则下列命题中，正确的是( C ))(z f D （A ）若在内是一常数，则在内是一常数)(z f D )(z f D （B ）若在内是一常数，则在内是一常数))(Re(z f D )(z f D （C ）若与在内解析，则在内是一常数)(z f )(z f D )(z f D（D ）若在内是一常数，则在内是一常数)(arg z f D )(z f D 9．设，则( A )22)(iy x z f +==+')1(i f （A ）（B ）（C ）（D ）2i 2i +1i 22+10．的主值为( D )ii （A ）（B ）（C ）（D ）012πe 2eπ-11．在复平面上( A )ze （A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析12．设，则下列命题中，不正确的是( C )z z f sin )(=（A ）在复平面上处处解析（B ）以为周期)(z f )(z f π2（C ）（D ）是无界的2)(iziz e e z f --=)(z f 13．设为任意实数，则( D )αα1（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( B )（A ）（B ）（C ）（D ）3)1(i -i cos i ln e 23π-15．设是复数，则( C )α（A ）在复平面上处处解析（B ）的模为αz αz αz（C ）一般是多值函数（D ）的辐角为的辐角的倍αz αz z α二、填空题1．设，则i f f +='=1)0(,1)0(=-→zz f z 1)(limi +12．设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是常数iv u z f +=)(D v u +)(z f D3．导函数在区域内解析的充要条件为可微且满足x vix u z f ∂∂+∂∂=')(D xvx u ∂∂∂∂, 222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂4．设，则2233)(y ix y x z f ++==+-')2323(i f i 827427-5．若解析函数的实部，那么或iv u z f +=)(22y x u -==)(z f ic xyi y x ++-222为实常数ic z +2c 6．函数仅在点处可导)Re()Im()(z z z z f -==z i 7．设，则方程的所有根为 z i z z f )1(51)(5+-=0)(='z f 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k 8．复数的模为ii ),2,1,0(2L ±±=π-k ek 9．=-)}43Im{ln(i 34arctan -10．方程的全部解为01=--ze),2,1,0(2L ±±=πk i k 三、试证下列函数在平面上解析，并分别求出其导数z 1．（）;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=;sin )(z z f -='2．（）);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=.)1()(ze z zf +='四、已知，试确定解析函数.22y x v u -=-iv u z f +=)(（.为任意实常数）c i z i z f )1(21)(2++-=c 第三章复变函数的积分（答案）一、选择题：1．设为从原点沿至的弧段，则( D )c x y =2i +1=+⎰cdz iy x )(2（A ）（B ）（C ）（D ）i 6561-i 6561+-i 6561--i 6561+2．设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为( D)c 11-dz z z zc ⎰+-2)1)(1(（A ）（B ）（C ）（D ）(A)(B)(C)都有可能2iπ2iπ-03．设为负向，正向，则( B )1:1=z c 3:2=z c =⎰+=dz zzc c c 212sin （A ）（B ）（C ）（D ）i π2-0iπ2iπ44．设为正向圆周，则( C)c 2=z =-⎰dz z zc2)1(cos （A ）（B ）（C ）（D ）1sin -1sin 1sin 2i π-1sin 2i π5．设为正向圆周，则 ( B)c 21=z =--⎰dz z z z c23)1(21cos（A ）（B ）（C ）（D ）)1sin 1cos 3(2-i π01cos 6i π1sin 2i π-6．设，其中，则( A )ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(4≠z ='）i f π(（A ）（B ）（C ）（D ）i π2-1-i π217．设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分)(z f B c B( C )dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)(（A ）于（B ）等于（C ）等于（D ）不能确定i π2i π2-08．设是从到的直线段，则积分（ A ）c 0i 21π+=⎰cz dz ze （A ） (B) (C) (D) 21eπ-21eπ--i e21π+ie21π-9．设为正向圆周，则( A )c 0222=-+x y x =-⎰dz z z c1)4sin(2π（A ）（B ）（C ）（D ）i π22i π20i π22-10．设为正向圆周，则( C)c i a i z ≠=-,1=-⎰cdz i a zz 2)(cos （A ）（B ）（C ）（D ）ie π2eiπ20i i cos 11．设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于．如果)(z f D c D D 在上的值为2，那么对内任一点,( C ))(z f c c 0z )(0z f （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是( D )（A ）积分的值与半径的大小无关⎰=--ra z dz az 1)0(>r r （B ）,其中为连接到的线段2)(22≤+⎰cdz iy xc i -i （C ）若在区域内有，则在内存在且解析D )()(z g z f ='D )(z g '（D ）若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则)(z f 10<<z )10(:<<=r r z c 在处解析)(z f 0=z 13．设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是 ( D)c 22y x u -=iv u z f +=)((A) （B ）（C ）（D ）c iz +2ic iz +2c z +2ic z +214．下列命题中，正确的是(C)（A ）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有21,v v D u 21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若在区域内解析，则为内的调和函数iv u z f +=)(D xu∂∂D （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是( ),(y x v D ),(y x u D B )（A ）（B ）),(),(y x iu y x v +),(),(y x iu y x v -（C ）（D ）),(),(y x iv y x u -xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设为沿原点到点的直线段，则 2c 0=z i z +=1=⎰cdz z 22．设为正向圆周，则c 14=-z =-+-⎰c dz z z z 22)4(23i π103．设,其中，则 0 ⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f 2≠z =')3(f 4．设为正向圆周，则=+⎰cdz zzz c 3=z i π65．设为负向圆周，则 c 4=z =-⎰c z dz i z e 5)(π12iπ6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值7．设在单连通域内连续，且对于内任何一条简单闭曲线都有，)(z f B B c 0)(=⎰cdz z f 那么在内解析)(z f B 8．调和函数的共轭调和函数为xy y x =),(ϕC x y +-)(21229．若函数为某一解析函数的虚部，则常数 -323),(axy x y x u +==a 10．设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 ),(y x u ),(y x v ),(y x v ),(y x u -三、计算积分1.,其中且;⎰=+-R z dz z z z)2)(1(621,0≠>R R 2≠R （当时，；当时，；当时，）10<<R 021<<R i π8+∞<<R 202.．（0）⎰=++22422z z z dz四、求积分，从而证明.（）⎰=1z zdz z e πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e i π2五、若，试求解析函数.)(22y x u u +=iv u z f +=)(（（为任意实常数））321ln 2)(ic c z c z f ++=321,,c c c 第四章级数（答案）一、选择题：1．设，则( C )),2,1(4)1(L =++-=n n nia n n n n a ∞→lim （A ）等于（B ）等于（C ）等于（D ）不存在01i2．下列级数中，条件收敛的级数为( C )（A ）（B ）∑∞=+1)231(n n i ∑∞=+1!)43(n nn i （C ）（D ）∑∞=1n n n i ∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为(D )（B ）（B ）∑∞=+1)1(1n n i n ∑∞=+-1]2)1([n n n in (C) （D ）∑∞=2ln n n n i ∑∞=-12)1(n n nn i 4．若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为( A )∑∞=0n n nz ci z 21+=2=z （A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定5．设幂级数和的收敛半径分别为，则∑∑∞=-∞=01,n n n n nnznc z c∑∞=++011n n n z n c 321,,R R R 之间的关系是( D )321,,R R R （A ）（B ） 321R R R <<321R R R >>（C ）（D ）321R R R <=321R R R ==6．设，则幂级数的收敛半径( D )10<<q ∑∞=02n n n z q =R （A ）（B ）（C ）（D ）q q10∞+7．幂级数的收敛半径( B )∑∞=1)2(2sinn n z n n π=R（A ）（B ）（C ）（D ）122∞+8．幂级数在内的和函数为( A )∑∞=++-011)1(n n n z n 1<z （A ）（B ）)1ln(z +)1ln(z -（D ） (D) z +11lnz-11ln 9．设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径( C )z e z cos ∑∞=0n n n z c ∑∞=0n nn z c =R （A ）（B ）（C ）（D ）∞+12ππ10．级数的收敛域是( B )L +++++22111z z z z（A ）（B ）（C ）（D ）不存在的1<z 10<<z +∞<<z 111．函数在处的泰勒展开式为( D)21z1-=z （A ）（B ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n （C ）（D ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n )11()1(11<++∑∞=-z z n n n 12．函数，在处的泰勒展开式为( B )z sin 2π=z （A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn （C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n （D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn 13．设在圆环域内的洛朗展开式为，为内)(z f 201:R z z R H <-<∑∞-∞=-n n nz z c)(0c H 绕的任一条正向简单闭曲线，那么( B )0z =-⎰c dz z z z f 20)()((A) （B ）（C ）（D ）12-ic π12ic π22ic π)(20z f i 'π14．若，则双边幂级数的收敛域为( A )⎩⎨⎧--==-+=L L ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ∑∞-∞=n nn z c （A ）（B ） 3141<<z 43<<z （C ）（D ）+∞<<z 41+∞<<z 3115．设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么)4)(1(1)(++=z z z z f m ( C )=m （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题1．若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为发散∑∞=+0)(n n ni z ci z =2=z 2．设幂级数与的收敛半径分别为和，那么与之间的关∑∞=0n nnz c∑∞=0)][Re(n n n z c 1R 2R 1R 2R系是．12R R ≥3．幂级数的收敛半径∑∞=+012)2(n n nz i =R 224．设在区域内解析，为内的一点，为到的边界上各点的最短距离，那么)(z f D 0z d 0z D 当时，成立，其中d z z <-0∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 或=n c ),2,1,0()(!10)(L =n z f n n （）．)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f irz z n <<=-π⎰=-+L 5．函数在处的泰勒展开式为．z arctan 0=z )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n 6．设幂级数的收敛半径为，那么幂级数的收敛半径为∑∞=0n nn z c R ∑∞=-0)12(n n n n z c 2R ．7．双边幂级数的收敛域为．∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 211<-<z 8．函数在内洛朗展开式为．zze e 1++∞<<z 0nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!19．设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为，那么该洛朗级数z cot R z <<0∑∞-∞=n n nz c收敛域的外半径．=R π10．函数在内的洛朗展开式为)(1i z z -+∞<-<i z 1∑∞=+--02)()1(n n n n i z i三、若函数在处的泰勒展开式为，则称为菲波那契(Fibonacci)211z z --0=z ∑∞=0n nn z a {}n a 数列，试确定满足的递推关系式，并明确给出的表达式．n a n a （，)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n ）),2,1,0(}251()251{(5111L =--+=++n a n n n 四、求幂级数的和函数，并计算之值.∑∞=12n nz n ∑∞=122n n n （，）3)1()1()(z z z z f -+=6五、将函数在内展开成洛朗级数.)1()2ln(--z z z 110<-<z （）n n nk k z k n z z z z z z )1(1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+第五章留数(答案)一、选择题：1．函数在内的奇点个数为 ( D )32cot -πz z2=-i z （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数与分别以为本性奇点与级极点，则为函数)(z f )(z g a z =m a z =)()(z g z f 的( B )（A ）可去奇点（B ）本性奇点（C ）级极点（D ）小于级的极点m m 3．设为函数的级极点，那么( C )0=z zz e xsin 142-m =m（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）24．是函数的( D )1=z 11sin)1(--z z (A)可去奇点（B ）一级极点（C ）一级零点（D ）本性奇点5．是函数的( B )∞=z 2323z z z ++(A)可去奇点（B ）一级极点（C ）二级极点（D ）本性奇点6．设在内解析，为正整数，那么( C )∑∞==)(n n n z a z f R z <k =]0,)([Re kz z f s （A ）（B ）（C ）（D ）k a k a k !1-k a 1)!1(--k a k 7．设为解析函数的级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( A )a z =)(z f m (A) （B ）（C ）（D ）m m -1-m )1(--m 8．在下列函数中，的是（ D ）0]0),([Re =z f s （A ）（B ）21)(ze zf z -=z z z z f 1sin )(-=（C ） (D) z z z z f cos sin )(+=ze zf z 111)(--=9．下列命题中，正确的是( C )（A ）设，在点解析，为自然数，则为的)()()(0z z z z f mϕ--=)(z ϕ0z m 0z )(z f 级极点．m （B ）如果无穷远点是函数的可去奇点，那么∞)(z f 0]),([Re =∞z f s （C ）若为偶函数的一个孤立奇点，则0=z )(z f 0]0),([Re =z f s（D ）若，则在内无奇点0)(=⎰c dz z f )(z f c 10． ( A )=∞],2cos[Re 3ziz s （A ）（B ）（C ）（D ）32-32i 32i32-11． ( B)=-],[Re 12i e z s iz （A ）（B ）（C ）（D ）i +-61i +-65i +61i +6512．下列命题中，不正确的是( D)（A ）若是的可去奇点或解析点，则)(0∞≠z )(z f 0]),([Re 0=z z f s （B ）若与在解析，为的一级零点，则)(z P )(z Q 0z 0z )(z Q )()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '=（C ）若为的级极点，为自然数，则0z )(z f m m n ≥)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点为的一级极点，则为的一级极点，并且∞)(z f 0=z )1(zf )1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设为正整数，则( A )1>n =-⎰=211z ndz z (A) （B ）（C ）（D ）0i π2niπ2i n π214．积分( B )=-⎰=231091z dz z z （A ）（B ）（C ）（D ）0i π2105iπ15．积分( C )=⎰=121sin z dz z z （A ）（B ）（C ）（D ）061-3i π-iπ-二、填空题1．设为函数的级零点，那么 9 ．0=z 33sin z z -m =m 2．函数在其孤立奇点处的留数zz f 1cos1)(=),2,1,0(21L L ±±=+=k k z k ππ．=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k3．设函数，则 0 }1exp{)(22zz z f +==]0),([Re z f s 4．设为函数的级极点，那么．a z =)(z f m ='],)()([Re a z f z f s m -5．设，则 -2 ．212)(zzz f +==∞]),([Re z f s 6．设，则．5cos 1)(z z z f -==]0),([Re z f s 241-7．积分．=⎰=113z zdz e z 12iπ8．积分．=⎰=1sin 1z dz z i π2三、计算积分．()⎰=--412)1(sin z z dz z e z z i π-316四、设为的孤立奇点，为正整数，试证为的级极点的充要条件是a )(z f m a )(z f m ，其中为有限数．b z f a z m az =-→)()(lim 0≠b 五、设为的孤立奇点，试证：若是奇函数，则；a )(z f )(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=若是偶函数，则．)(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=。

复变函数练习册(全套)

第一章复数与复变函数一、选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．一个向量顺时针旋转3π，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 4．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 5．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周6．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点和的线段的垂直平分线5．=+++→)21(lim 421z z iz三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+四、求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3）1i +五、解方程：5()1z i +=六、设复数1≠z ，且满足,1||=z ，试证21]11Re[=-z .七、证明复平面上的直线方程可写成:0,(0a z a z c a ++=≠其中为复常数，c 为实常数）八、证明复平面上的圆周方程可写成:0,(z z a z az c a +++=其中为复常数，c 为实常数）九、函数1w z=把下列z 平面上的曲线映成w 平面中的什么曲线？ (1) yx = (2) 224x y +=十、)0(),(21)(≠-=z zzz z i z f 试证当0→z 时)(z f 的极限不存在。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数测试题与答案

复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1．当z 11ii时，100 z z75 50z 的值等于（）（A）i（B）i （C）1 （D）12．设复数z满足arc(z 2) ，35arc(z 2) ，那么z （）61 3（A） 1 3i （B） 3 i （C）i2 23 1（D）i2 23．复数z tan i ( ) 的三角表示式是（）23 3（A）)]sec [cos( ) i sin( （B）sec [cos( ) i sin( )]2 2 2 23 3（C）)]sec [cos( ) i sin( （D）sec [cos( ) i sin( )]2 2 2 2 4．若z为非零复数，则 2 z2z 与2zz 的关系是（）2 2（A）z z 2zz2 2（B）z z 2zz2 2（C）z z 2zz（D）不能比较大小５．设x, y 为实数，z1 x 11 yi, z x 11 yi 且有z1 z 12，则动点(x, y)2 2的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线６．一个向量顺时针旋转，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为31 3i ，则原向量对应的复数是（）（A）2（B）1 3i （C） 3 i （D） 3 i1复变函数测验题７．使得22 zz 成立的复数z是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数８．设z为复数，则方程z z 2 i 的解是（）3（A）i43（B）i43（C）i43（D）i4z i９．满足不等式2z i的所有点z构成的集合是（）（A）有界区域（B）无界区域（C）有界闭区域（D）无界闭区域10．方程z 2 3i 2 所代表的曲线是（）（A）中心为2 3i ，半径为 2 的圆周（B）中心为 2 3i ，半径为２的圆周（C）中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周（D）中心为2 3i ，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）z 1（A）2z 2（B）z 3 z 3 4z a（C） 1 ( a 1)1 az（D）z z az a z aa c 0 (c 0)12．设( ) 1 , 1 2 3i ,z 5 i,f ，则f (z ) （）z z z 1 z2 2（A） 4 4i （B）4 4i （C）4 4i （D） 4 4i13．Im( z) Im(limx xz zz0 )（）（A）等于i （B）等于i （C）等于0 （D）不存在14．函数f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点z0 x iy 处连续的充要条件是（）0 0（A）u( x, y)在(x0 , y ) 处连续（B）v(x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续（C）u( x, y)和v( x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续（D）u( x, y) v( x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续2复变函数测验题15．设z C 且z 1 ，则函数 f (z)2zzz1的最小值为（）（A） 3 （B） 2 （C） 1 （D） 1二、填空题1．设(1 i)( 2i )(3 i)z ，则z (3i)(2 i )2．设z (2 3i)( 2 i) ，则a rg z3．设3z 5,a rg( z i ) ，则z44．复数(cos5(cos3iis in5sin32)2)的指数表示式为65．以方程z 7 15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z 2 z 2 5 所表示的区域是曲线的内部2z 1 i７．方程1所表示曲线的直角坐标方程为2 (1 i)z８．方程z 1 2i z 2 i 所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射iz2 y 2，圆周x ( 1) 1的像曲线为2 410．lim (1 z 2z )z 1 i三、若复数z满足zz (1 2i)z (1 2i )z 3 0 ，试求z 2 的取值范围．3复变函数测验题2四、设a0 ，在复数集C 中解方程z 2 z a.五、设复数z i ，试证z21 z是实数的充要条件为z 1 或I M (z) 0 .1 1六、对于映射z ) ，求出圆周z 4的像.(2 zz1 z七、试证１. 0 ( 0)2z2的充要条件为z1 z z z ；2 1 2z1 z k j k j n ２.0 ( 0, , , 1, 2, , ))j 的充要条件为z2z1 z2 z n z1 z2 z .n八、若lim ( ) 0f z Ax x ，则存在0 ，使得当10 z z 时有 f ( z) A .2 x y九、设z x iy，试证z x y2.十、设z x iy，试讨论下列函数的连续性：1.f2xy( z) 2 2x y, z 00, z 02.f3xy( z) 2 2x y, z 00, z 04复变函数测验题第二章解析函数一、选择题：1．函数2f 在点 z 0处是 ( )(z) 3 z（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导2．函数 f (z)在点 z可导是 f ( z) 在点z 解析的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是 ( )（A ）设 x, y 为实数，则 cos(xiy) 1（B ）若 z是函数 f (z) 的奇点，则f (z) 在点 z 0 不可导（C ）若 u, v 在区域 D 内满足柯西 - 黎曼方程，则 f (z) u iv 在 D 内解析（D ）若 f (z) 在区域 D 内解析，则 if ( z) 在 D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是 ( )22（A ） x y 2 x yi2（B ） xxyi2xx2（C ） 2( x 1) y i( y2 )（D ） x 3iy 32z5．函数 f (z)z Im( ) 在z 0 处的导数 ()（A ）等于 0（B ）等于 1（C ）等于 1（D ）不存在2xy yi yaxy x2226．若函数 f (z) x 2() 在复平面内处处解析，那么实常数a ( ) （A ） 0（B ）1（C ） 2（D ） 27．如果 f (z) 在单位圆 z1 内处处为零，且 f (0)1，那么在 z1内 f (z)( )（A ） 0（B ）1（C ） 1（D ）任意常数8．设函数 f (z) 在区域 D 内有定义，则下列命题中，正确的是5复变函数测验题（A）若f ( z) 在D内是一常数，则 f (z) 在D内是一常数（B）若Re( f (z)) 在D内是一常数，则 f (z) 在D内是一常数（C）若f (z) 与f ( z) 在D内解析，则 f ( z) 在D内是一常数（D）若arg f (z) 在D内是一常数，则 f (z)在D 内是一常数9．设 2 2f ( z) x iy ，则f (1 i) ( )（A）2 （B）2i （C）1 i （D）2 2i10．ii 的主值为 ( )（A）0 （B）1 （C）e2 （D）e 211．ze 在复平面上( )（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析12．设f (z) sin z ，则下列命题中，不正确的是( )（A）f (z)在复平面上处处解析（B）f ( z) 以2为周期（C）iz e izef (z) （D）f (z) 是无界的213．设为任意实数，则 1 ( )（A）无定义（B）等于1（C）是复数，其实部等于 1 （D）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A）3(1 i) （B）cosi （C）l n i （D）3e2i15．设是复数，则( )（A）z 在复平面上处处解析（B）z的模为z（C）z 一般是多值函数（D）z的辐角为z的辐角的倍6复变函数测验题二、填空题1．设f (0) 1, f (0) 1 i ，则limz 0f(z)z12．设f (z) u iv 在区域D 内是解析的，如果u v是实常数，那么 f (z) 在D内是3．导函数u vf (z) i 在区域D 内解析的充要条件为x x4．设3 33 3 2 2f (z) x y ix y ，则f ( i )2 25．若解析函数 f (z) u iv 的实部 2 y2u x ，那么f (z)6．函数f (z) z Im( z) Re( z) 仅在点z处可导157．设f (z) z (1 i)z5，则方程 f (z) 0 的所有根为8．复数ii 的模为9．I m{ln( 3 4i )}z10．方程1 e 0的全部解为三、设 f (z) u(x, y) iv( x, y) 为z x iy 的解析函数，若记z z z z z z z z ww(z, z) u( , ) iv( , ) ，则02 2i 2 2i z．四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数1．f ( z) cosx cosh y i sin x sinh y;x x2．f ( z) e (x c osy y s in y) ie ( y c osy ix sin y);7五、设w3 2zw e z 0 ，求dwdz,2dw2dz.六、设2xy (x iy), z 0f (z) 2 4 试证f (z) 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.x y0, z 0七、已知 2 y2u v x ，试确定解析函数 f (z) u iv .八、设s 和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转即得n .如果f (z) u iv 为解析函数，2则有usvnu v, （n s与s n分别表示沿s , n 的方向导数）.九、若函数 f (z) 在上半平面内解析，试证函数 f (z) 在下半平面内解析.十、解方程sin z i cosz 4i .8第三章复变函数的积分一、选择题：2 至1 i 的弧段，则1．设c为从原点沿y x(c2 ( ) x iy )dz1 5（A）i6 61 5（B）i6 61 5（C）i6 61 5（D）i6 6z2．设c为不经过点1 与1的正向简单闭曲线，则dz为( )2(z 1)(z 1) c（A）i2（B）i2（C）0 （D）(A)(B)(C) 都有可能sinz3．设c1 : z 1 为负向，c2 : z 3 正向，则dz2zc c1 c2()（A） 2 i （B）0（C）2i （D）4 icosz4．设c为正向圆周z 2 ，则dz2(1 z)c()（A）sin1 （B）sin1（C） 2 i sin1 （D）2 i sin15．设c为正向圆周13z cos1z 2z ，则dz22 (1 z)c( )（A）2i(3cos1 sin1) （B）0（C）6 i cos1 （D） 2 i sin1e6．设f ( z) d ，其中z 4 ，则f ( i）( )z 4（A） 2 i （B） 1 （C）2 i （D）17．设f (z) 在单连通域 B 内处处解析且不为零， c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分f (z) 2 f(z) c f (z)f(z)dz( )（A）于2 i （B）等于 2 i （C）等于0 （D）不能确定9复变函数测验题8．设c是从0到i1 的直线段，则积分2ze （）z dzz dzc（A）1e2(B)1e2e e(C) 1 i (D) 1 i2 2sin( z)42 y2 x9．设c为正向圆周 2 0x ，则dz2c z 1()2（A）i22（B） 2 i （C）0 （D）i210．设c为正向圆周z i 1, a i ，则cz c osz2(a i)dz( )（A）2 ie （B）2ei（C）0 （D）i cosi11．设f (z) 在区域D 内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于 D ．如果f 在c上的值为2，那么对c内任一点z0 , f (z0 ) ( )(z)（A）等于0 （B）等于1 （C）等于 2 （D）不能确定12．下列命题中，不正确的是( )（A）积分z a r1z adz的值与半径r(r 0) 的大小无关（B）( 2 2 ) 2x iy dz , 其中c为连接i 到i 的线段c（C）若在区域 D 内有f (z) g(z) ，则在D 内g (z)存在且解析（D）若f (z) 在0 z 1 内解析，且沿任何圆周 c : z r(0 r 1)的积分等于零，则f (z)在z 0处解析10复变函数测验题13 ．设c为任意实常数，那么由调和函数 2 y2u x 确定的解析函数 f ( z) u iv 是( )2 (A) iz c2（B）iz ic2（C）z c2（D）z ic14．下列命题中，正确的是( )（A）设v1 ,v2 在区域D 内均为u的共轭调和函数，则必有v1 v2（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若f (z) u iv 在区域D 内解析，则ux为D 内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设v(x, y) 在区域D 内为u( x, y)的共轭调和函数，则下列函数中为 D 内解析函数的是( )（A）v( x, y) iu(x, y) （B）v(x, y) iu( x, y)（C）u( x, y) iv(x, y) （D）uxivx二、填空题1．设c为沿原点z 0到点z 1 i 的直线段，则2zdzc2．设c为正向圆周z 4 1，则c2z(z3z24)2dz3．设sin( )2f (z) d , 其中z 2 ，则f (3)z24．设c为正向圆周z 3 ，则c z zz dz5．设c为负向圆周z 4 ，则cze(z i)5d z11复变函数测验题6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设f ( z) 在单连通域B 内连续，且对于 B 内任何一条简单闭曲线c都有( ) 0f z dz ，那c么f (z) 在B内8．调和函数( x, y) xy 的共轭调和函数为9．若函数 3 2u( x, y) x axy 为某一解析函数的虚部，则常数a10．设u( x, y) 的共轭调和函数为v( x, y)，那么v( x, y) 的共轭调和函数为三、计算积分3.z R6z2 ,其中R 0, R 1 且R 2 ;dz(z 1)( z2)4.dz4 2 2 2z z z2．四、设 f (z)在单连通域 B 内解析，且满足 1 f (z) 1 ( x B).试证１．在B 内处处有 f (z) 0；f (z)２．对于B 内任意一条闭曲线c，都有dz 0f ( z) c五、设 f (z)在圆域z a R 内解析，若max f (z) M (r )(0 r R)z a r，n! M (r )( n n)则( 1,2, )f (a)nr.12复变函数测验题六、求积分z 1zezdz，从而证明0e .cos cos(sin )dcos cos(sin )d七、设f ( z) 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b ，试求极限f ( z)lim dz并由此推证 f (a) f (b)（刘维尔Liouville 定理）.R (z a)( z b)z R八、设f (z) 在z R ( R 1)内解析，且f (0) 1, f (0) 2 ，试计算积分z 1(z 1) 2f (z)2zdz并由此得出22 ( i )cos f e d2之值.九、设 f (z) u iv 是z的解析函数，证明2 2 22 2ln(1 f (z) ) ln( 1 f ( z) ) 4 f (z)222 xy(1 f (z) )2 .2 y2十、若u u(x ) ，试求解析函数 f (z) u iv .13复变函数测验题第四章级数一、选择题：n( 1) ni1．设( 1,2, ) lim a ( )a n n ，则nn 4n（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A）13i(n 12n)（B）nn(34i)1 n!（C）n 1nin（D）nn(1)1 n 1i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B）1 i(1n n n1)（B）n 1([1)nn in2](C)nni2 ln n（D）n(1)n in1 2n4．若幂级数nc n z在z 1 2i 处收敛，那么该级数在z 2处的敛散性为( )n 0（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不能确定5 ．设幂级数n 0n n 1c n z , nc z 和nn 0n0cn znn 11的收敛半径分别为R1 , R2 , R3 ，则R1 , R ,R 之间的关系是( )2 3（A）R1 R R （B）R1 R2 R32 3（C）R1 R2 R3 （D）R1 R2 R36．设0q 1 ，则幂级数q 的收敛半径R ( )n zn znn 014复变函数测验题（A）q（B）1q（C）0（D）7．幂级数nsin2n 1n(z2n)的收敛半径R ( )（A） 1 （B）2 （C） 2 （D）8．幂级数n 0n( 1)n 1nz1在z 1 内的和函数为（A）ln(1z) （B）ln(1 z)（D）1ln (D)1 zln11 zze9．设函数的泰勒展开式为cosznc n z，那么幂级数n 0 n 0nc n z 的收敛半径R ( )（A）（B）1 （C）（D）210．级数1 12 1z zz2z的收敛域是 ( )（A）z 1 （B）0z 1 （C）1 z （D）不存在的11．函数12z在z 1 处的泰勒展开式为( )n n1 z（A）( 1) ( 1) ( 1 1)n zn1 n z n 1 z（B）( 1) ( 1) ( 1 1)n 1 n 1n （D）( 1)n ( 1 1)（C）( 1) ( 1 1)1 z 1 z n zn zn 1 n 115复变函数测验题12．函数sinz，在z 处的泰勒展开式为( )2n( 1)2 zn 1（A）(z ) ( )(2n 1)! 2 2 n 0n( 1)2 zn（B）(z ) ( )(2n)! 2 2 n 0n 1 ( 1)2n 1（C）(z ) ( z )(2n 1)! 2 2 n 0n 1( 1)2n（D）( z ) ( z )(2n)! 2 2 n 013．设f (z) 在圆环域H : R z z R 内的洛朗展开式为1 0 2nc ( 0)，c为H内n z zc ( 0)，c为H内n绕z0 的任一条正向简单闭曲线，那么c(z f(z)2z0 )dz( )(A)2 ic （B）2ic1 （C）2ic2 （D）2 if (z0 )114．若n n3 ( 1) , n 0,1,2,cn ，则双边幂级数n4 , n 1, 2,nnc n z 的收敛域为( )（A）141z （B）3 z 4 31（C）z41（D）z315．设函数1f (z) 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么z(z 1)( z 4)m ( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）416复变函数测验题二、填空题1 ．若幂级数nc n z i)在z i 处发散，那么该级数在z 2 处的收敛性(n 0为．2．设幂级数nc n z 与n[Re(c n )]z 的收敛半径分别为R1 和R2 ，那么R1 与R2 之间的关n 0 n 0系是．3．幂级数(2i ) 的收敛半径Rn z2nn z2n1n 04．设f (z) 在区域D 内解析，z0 为内的一点， d 为z0 到D的边界上各点的最短距离，那么当z z d0 时，nf (z) c n (z z0 )成立，其中c n ．n 05．函数arctan z 在z 0处的泰勒展开式为．6 ．设幂级数nc n z的收敛半径为R ，那么幂级数n c z n 的收敛半径(2 1)nn 0 n 0为．7．双边幂级数n 1 znn 1z( 1) 2 ( 1) (1 )n 1 n 1(z 2) 2n的收敛域为．18．函数z eez在0z 内洛朗展开式为．9．设函数cot z在原点的去心邻域0 z R内的洛朗展开式为nc n z ，那么该洛朗级数n收敛域的外半径R ．10．函数1z(z i )在1z i 内的洛朗展开式为．17复变函数测验题三、若函数11z2z在z 0处的泰勒展开式为n 0na n z ，则称a n 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定a满足的递推关系式，并明确给出a n 的表达式．n四、试证明z z z1．e 1 e 1 z e( z );z2．(3e) z e 1 (e 1) z ( z 1);五、设函数 f (z) 在圆域z R内解析，n ( k)f (0)kS n zk!k 0试证n 1 n 11 z d1．S (z) f ( ) ( z r R) n .n 12 i zrn 1z f ( )2．f ( z S ( )）(z) d z r R 。

完整版)复变函数测试题及答案

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

复变函数与积分变换练习册

(z 1)(z 2)
(2) 圆环域： 2 z 的洛朗级数.（10 分）
七、判断函数
f
(z)
cos z z3
的奇点类型，求其在奇点处的留数，并计
算 f (z)dz ，其中 C : z 1 .（10 分） C
16
华北科技学院复变函数与积分变换练习册专业班级____________ 姓名_____________ 学号____________ 日期___________ 成绩______
sin z
六、计算闭路积分 C z2 (z 1) dz ，其中 C 为不经过 0 和 1 的简单
闭曲线.
第七章傅里叶变换
一、求矩形脉冲函数
f
(t)
2, 0 t 0, 其他
的傅里叶变换．
10
华北科技学院复变函数与积分变换练习册专业班级____________ 姓名_____________ 学号____________ 日期___________ 成绩______
12
华北科技学院复变函数与积分变换练习册专业班级____________ 姓名_____________ 学号____________ 日期___________ 成绩______
三、计算下列函数的拉式逆变换(使用留数法或部分分式分解法).
1. F (s) 2s 1 s(s 1)(s 2)
一、计算下列积分
1. I 3z2dz , C 为从 i 到1 i 的直线段. C
2. 设C 是由点 0 到 3 的直线段与点 3 到点 3 i 的直线段组成的折线，
求积分 I Re zdz . C
二、计算积分
(2z100 ez cos z)dz .
z 5

复变函数目标检测练习测验题册

练习一复数及其代数运算、复数地几何表示一、填空题 1．(ii +-11)4＝2．i +1＝ Arg )(i +1= arg )(i +13.已知z=())())((i i i i +--+131131，则z = argz=4.将z=－cos 5π + isin 5π表示成三角形式为表示成指数形式为 Argz= argz=b5E2R 。

5.3－i 地三角表示形式为，指数表示形式为二．分别就0＜α≤π与-π＜α＜-2π两种情形将复数z=1 - cos α + isin α化成三角形式与指数形式，并求它地辐角主值.p1Ean 。

三．利用复数表示圆地方程)(0≠a a (x 2+y2)+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d 是实常数.DXDiT 。

四．求下列方程所表示地曲线 ①)(i+1z + )(i —1z = 1②z z －)(i +2z －)(i -2z = 4五．证明⑴若z1 + z2 + z3 = 0且z1=z2=z3=1，则点z1 , z2 , z3为一内接单位圆地等边三角形地顶点.RTCrp。

⑵若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且z1=z2=z3=z4，则点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形地顶点，或者两两重合.5PCzV。

练习二复数地乘幂与方根、区域一、填空题1．（1＋i）3＋（1－i）3＝2．31-＝3．{z1<z<2}地内点是外点是边界点是4．0<Re(z)<1所确定地是（区域、闭区域）它是（有界、无界）二、求下列复数地值（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+ii313110（2）32221）＋（i三、已知正方形地两个相对顶点为z1(0，－1)于z3(2，5)，求另外两个顶点z2于z4地坐标.四、画出23--zz≥1所表示地图形，并指出所表示地图形是否是区域，是否有界？五、已知x2+x+1=0，求x11+x7+x3地值.六、求证：（1+cosθ+isinθ）n=2ncosn2θ(cos2θn+isin2θn)练习三复变函数、复变函数地极限和连续性一、选择题1．下列函数极限存在地是（）A．lim→z zz)Re(B.lim→z zzC.lim→z1222---+zzzz zD.lim→z i21(zz－zz)2．将Z平面上地曲线x2+y2=4映射成W平面上地曲线u2+v2=41地映射函数f(z)为（）A．W=Z B.W=Z2 C.W=Z1D.W=Z3．复变函数W=Z2确定地两个实元函数为（）A.u=x2+y2 v=2xyB.u=2xy v=x2-y2C.u=x2v=2xyD.u=x2+y2v=2xy jLBHr。

复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A)i (B)i - (C)1 (D)1- 2.设复数z 满足3)2(π=+z arc ,65)2(π=-z arc ,那么=z ( ) (A)i 31+- (B)i +-3 (C)i 2321+-(D)i 2123+- 3.复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式就是( ) (A))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i (B))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系就是( ) (A)z z z z 222≥- (B)z z z z 222=- (C)z z z z 222≤- (D)不能比较大小５.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹就是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线６.一个向量顺时针旋转3π,向右平移３个单位,再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数就是( )(A)2 (B)i 31+(C)i -3 (D)i +3７.使得22z z =成立的复数z 就是( )(A)不存在的 (B)唯一的 (C)纯虚数 (D)实数８.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解就是( )(A)i +-43 (B)i +43 (C)i -43 (D)i --43９.满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合就是( ) (A)有界区域 (B)无界区域 (C)有界闭区域 (D)无界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线就是( )(A)中心为i 32-,半径为2的圆周 (B)中心为i 32+-,半径为２的圆周 (C)中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D)中心为i 32-,半径为２的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不就是圆周的为( ) (A)221=+-z z (B)433=--+z z (C))1(11<=--a azaz (D))0(0>=-+++c c a a z a z a z z12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A)i 44-- (B)i 44+ (C)i 44- (D)i 44+- 13.00)Im()Im(lim0z z z z x x --→( )(A)等于i (B)等于i - (C)等于0 (D)不存在14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件就是( ) (A)),(y x u 在),(00y x 处连续 (B)),(y x v 在),(00y x 处连续(C)),(y x u 与),(y x v 在),(00y x 处连续(D)),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为( )(A)3- (B)2- (C)1- (D)1 二、填空题1.设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=,则=z2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg3.设43)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６.不等式522<++-z z 所表示的区域就是曲线的内部７.方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线就是连续点与的线段的垂直平分线９.对于映射zi =ω,圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10.=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围.四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22、五、设复数i z ±≠,试证21zz+就是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM 、六、对于映射)1(21zz +=ω,求出圆周4=z 的像、七、试证１、)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+; ２、)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j Λ=≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ΛΛ2121、八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>、九、设iy x z +=,试证y x z y x +≤≤+2、十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:1、⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2、⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章解析函数一、选择题:1.函数23)(z z f =在点0=z 处就是( )(A)解析的 (B)可导的(C)不可导的 (D)既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导就是)(z f 在点z 解析的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的就是( )(A)设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x(B)若0z 就是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C)若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析 (D)若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的就是( )(A)xyi y x 222-- (B)xyi x +2(C))2()1(222x x y i y x +-+- (D)33iy x +5.函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )(A)等于0 (B)等于1 (C)等于1- (D)不存在6.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常数=a ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)2-7.如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零,且1)0(-=f ,那么在1<z 内≡)(z f ( )(A)0 (B)1 (C)1- (D)任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的就是(A)若)(z f 在D 内就是一常数,则)(z f 在D 内就是一常数 (B)若))(Re(z f 在D 内就是一常数,则)(z f 在D 内就是一常数 (C)若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内就是一常数 (D)若)(arg z f 在D 内就是一常数,则)(z f 在D 内就是一常数 9.设22)(iy x z f +=,则=+')1(i f ( )(A)2 (B)i 2 (C)i +1 (D)i 22+10.ii 的主值为( )(A)0 (B)1 (C)2πe (D)2π-e11.ze 在复平面上( )(A)无可导点 (B)有可导点,但不解析 (C)有可导点,且在可导点集上解析 (D)处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的就是( )(A))(z f 在复平面上处处解析 (B))(z f 以π2为周期(C)2)(iziz e e z f --= (D))(z f 就是无界的13.设α为任意实数,则α1( )(A)无定义 (B)等于1(C)就是复数,其实部等于1 (D)就是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的就是( )(A)3)1(i - (B)i cos (C)i ln (D)i e 23π-15.设α就是复数,则( )(A)αz 在复平面上处处解析 (B)αz 的模为αz(C)αz 一般就是多值函数 (D)αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→zz f z 1)(lim2.设iv u z f +=)(在区域D 内就是解析的,如果v u +就是实常数,那么)(z f 在D 内就是3.导函数xv i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为4.设2233)(y ix y x z f ++=,则=+-')2323(i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7.设z i z z f )1(51)(5+-=,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数ii 的模为 9.=-)}43Im{ln(i 10.方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数,若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=∂∂z w . 四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数 1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ,求22,dz wd dz dw 、六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不可导、七、已知22y x v u -=-,试确定解析函数iv u z f +=)(、八、设s ρ与n ρ为平面向量,将s ρ按逆时针方向旋转2π即得n ρ、如果iv u z f +=)(为解析函数,则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,(s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ρ,n ρ的方向导数)、九、若函数)(z f 在上半平面内解析,试证函数)(z f 在下半平面内解析、十、解方程i z i z 4cos sin =+、第三章复变函数的积分一、选择题:1.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2( )(A)i 6561- (B)i 6561+- (C)i 6561-- (D)i 6561+ 2.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc ⎰+-2)1)(1(为( ) (A)2i π (B)2i π- (C)0 (D)(A)(B)(C)都有可能 3.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz zzc c c 212sin ( ) （A ） i π2- (B)0 (C)i π2 (D)i π4 4.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc2)1(cos ( ) (A)1sin - (B)1sin (C)1sin 2i π- (D)1sin 2i π5.设c 为正向圆周21=z ,则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )(A))1sin 1cos 3(2-i π (B)0 (C)1cos 6i π (D)1sin 2i π-6.设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(,其中4≠z ,则='）i f π(( ) (A)i π2- (B)1- (C)i π2 (D)17.设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零,c 为B 内任何一条简单闭曲线,则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )(A)于i π2 (B)等于i π2- (C)等于0 (D)不能确定 8.设c 就是从0到i 21π+的直线段,则积分=⎰cz dz ze ( )(A)21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9.设c 为正向圆周0222=-+x y x ,则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) (A)i π22(B)i π2 (C)0 (D)i π22- 10.设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1,则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) (A)ie π2 (B)eiπ2 (C)0 (D)i i cos 11.设)(z f 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果)(z f 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )(A)等于0 (B)等于1 (C)等于2 (D)不能确定 12.下列命题中,不正确的就是( ) (A)积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 (B)2)(22≤+⎰cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段(C)若在区域D 内有)()(z g z f =',则在D 内)(z g '存在且解析 (D)若)(z f 在10<<z 内解析,且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零,则)(z f 在0=z 处解析13.设c 为任意实常数,那么由调与函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(就是 ( )(A)c iz +2(B) ic iz +2(C)c z +2(D)ic z +214.下列命题中,正确的就是( )(A)设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调与函数,则必有21v v = (B)解析函数的实部就是虚部的共轭调与函数 (C)若iv u z f +=)(在区域D 内解析,则xu∂∂为D 内的调与函数 (D)以调与函数为实部与虚部的函数就是解析函数15.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调与函数,则下列函数中为D 内解析函数的就是( )(A)),(),(y x iu y x v + (B)),(),(y x iu y x v -(C)),(),(y x iv y x u - (D)xv i x u ∂∂-∂∂ 二、填空题1.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=⎰cdz z 22.设c 为正向圆周14=-z ,则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233.设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ,则=')3(f4.设c 为正向圆周3=z ,则=+⎰cdz zzz 5.设c 为负向圆周4=z ,则=-⎰c zdz i z e 5)(π 6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7.设)(z f 在单连通域B 内连续,且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ,那么)(z f 在B 内8.调与函数xy y x =),(ϕ的共轭调与函数为9.若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a10.设),(y x u 的共轭调与函数为),(y x v ,那么),(y x v 的共轭调与函数为三、计算积分 1、⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2、⎰=++22422z z z dz. 四、设)(z f 在单连通域B 内解析,且满足)(1)(1B x z f ∈<-、试证１.在B 内处处有0)(≠z f ; ２.对于B 内任意一条闭曲线c ,都有0)()(=''⎰cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析,若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-,则),2,1()(!)()(Λ=≤n r r M n a fnn 、六、求积分⎰=1z zdz z e ,从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e 、七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界,对于任意给定的两个复数b a ,,试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =(刘维尔Liouville 定理)、八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析,且2)0(,1)0(='=f f ,试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值、九、设iv u z f +=)(就是z 的解析函数,证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂、十、若)(22y x u u +=,试求解析函数iv u z f +=)(、第四章级数一、选择题:1.设),2,1(4)1(Λ=++-=n n nia n n ,则n n a ∞→lim ( ) (A)等于0 (B)等于1 (C)等于i (D)不存在2.下列级数中,条件收敛的级数为( )(A)∑∞=+1)231(n ni (B)∑∞=+1!)43(n n n i(C) ∑∞=1n nn i (D)∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in(B)∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nni (D)∑∞=-12)1(n nn n i 4.若幂级数∑∞=0n nnz c在i z 21+=处收敛,那么该级数在2=z 处的敛散性为( ) (A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)不能确定 5.设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 与∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ,则321,,R R R 之间的关系就是( )(A)321R R R << (B)321R R R >> (C)321R R R <= (D)321R R R == 6.设10<<q ,则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )(A)q (B)q1(C)0 (D)∞+ 7.幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 (B)2 (C)2 (D)∞+8.幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的与函数为 (A))1ln(z + (B))1ln(z -(D)z +11ln(D) z-11ln 9.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ,那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )(A)∞+ (B)1 (C)2π(D)π 10.级数Λ+++++22111z z z z的收敛域就是( ) (A)1<z (B)10<<z (C)+∞<<z 1 (D)不存在的11.函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) (A))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n(B))11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n(C))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n (D))11()1(11<++∑∞=-z z n n n12.函数z sin ,在2π=z 处的泰勒展开式为( )(A))2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n(B))2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n(C))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n(D))2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13.设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0,c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线,那么=-⎰c dz z z z f 2)()(( )(A)12-ic π (B)12ic π (C)22ic π (D))(20z f i 'π14.若⎩⎨⎧--==-+=ΛΛ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ,则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) (A)3141<<z (B)43<<z (C)+∞<<z 41 (D)+∞<<z 3115.设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么=m ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题 1.若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散,那么该级数在2=z 处的收敛性为 .2.设幂级数∑∞=0n nn z c与∑∞=0)][Re(n nnz c 的收敛半径分别为1R 与2R ,那么1R 与2R 之间的关系就是 . 3.幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4.设)(z f 在区域D 内解析,0z 为内的一点,d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离,那么当d z z <-0时,∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立,其中=n c .5.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 .6.设幂级数∑∞=0n nnzc的收敛半径为R ,那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 .7.双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 . 8.函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 . 9.设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c,那么该洛朗级数收敛域的外半径=R . 10.函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 .三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ,则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列,试确定n a 满足的递推关系式,并明确给出n a 的表达式. 四、试证明 1.);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2.);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析,∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1.)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ、2.)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

《复变函数》练习题册

第一章1. 设,43,5521i z i z +−=−=求21z z 与21z z . 参考答案：i 515721−−=z z ，i 515721+−=z z2.iii z −−−=131求()().,Im ,Re z z z z参考答案：()().25,21Im ,23Re =−==z z z z3. （1）证明：().Re 2212121z z z z z z =+ （2）证明：11Re()();Im()()22zz z z z z i=+=+4. 求下列复数的辐角主值、三角表示式、指数表示式123456781,1,1,1,2023,,1,z z z z z z i z z i=+==−+=−===−=−参考答案：1234567822arg ,arg ,arg ,arg ,3333arg 0,arg,arg ,arg 22z z z z z z z z πππππππ==−==−====−23i cossin221cos sin 12cos sin 233ii i i e i e i e πππππππππ=+=−=+= ++=，，，5 求i z 212−−=的三角表示式。

参考答案：−=−−=65sin 65cos4212ππi i z6. 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数，模与辐角()()821112432i i i i−++，参考答案：()()()()()()3arctan arg ,10z i 31,3Im ,1Re i,i 4i 4.32arctan arg ,131z i 132133,132Im ,133Re i 2311218−==+=−==+−−==+=−==+z z z z z z z z ，，，7.求下列各式的值(幂)()()()()361121i ++ ())53i − 参考答案：()()()())365511i 8i 21855(3)2(cos()sin())66i ππ+=−+=−−=−+−，8.求下列各式的值（方根）((12()()1331i −参考答案：((1601234522441cossin ,0,1,2,3.442221cos()sin(),0,1,2,3,4,5.661111,,,,,2222k k i k k k i k w i w i w i w i w i w i ππππππππ+++=+++=+=+−=−−()()130********cos sin ,0,1,2.337755cos sin ,cossin ,cos sin 1212121244k k i i kw i w i w i ππππππππππ−+−+ −=+=−++第二章1研究函数()()()22,2,z z h yi x z g z z f =+==和的解析性。

复变函数练习题

复变函数练习题一、选择题1. 复数 $ z = x + yi $ 中，$ x $ 和 $ y $ 分别代表什么？A. 模和幅角B. 实部和虚部C. 虚部和实部D. 幅角和模2. 以下哪个是复平面上的单位圆？A. $ |z| = 1 $B. $ |z| = 2 $C. $ |z| > 1 $D. $ |z| < 1 $3. 复数 $ z $ 的共轭 $ \bar{z} $ 表示什么？A. $ z $ 的实部B. $ z $ 的虚部C. $ z $ 的实部和虚部的相反数D. $ z $ 的虚部的相反数二、填空题4. 若 $ z = 3 - 4i $，则 $ z $ 的模是________。

5. 复数 $ z $ 的导数 $ \frac{d}{dz} $ 在 $ z $ 为纯虚数时，等于________。

三、简答题6. 描述复数的四则运算规则，并给出一个具体的例子。

7. 解释什么是解析函数，并给出一个解析函数的例子。

四、计算题8. 计算复数 $ z = 2 + 3i $ 的幅角 $ \arg(z) $。

9. 给定 $ f(z) = z^2 + 2z + 1 $，求 $ f(2 + i) $。

五、证明题10. 证明 $ |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $ 对所有复数$ z_1 $ 和 $ z_2 $ 成立。

11. 证明 $ \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} $ 对所有非零复数 $ z $ 成立。

六、综合题12. 考虑函数 $ f(z) = \frac{1}{z - 1} $，求其在 $ z = 2 $ 处的留数。

13. 利用柯西积分公式，计算 $ \oint_C \frac{e^z}{z^2} dz $，其中 $ C $ 是以原点为圆心，半径为 $ 1 $ 的圆周。

复变函数目标检测练习册_2011年

WORD 格式整理版专业学习参考资料练习一复数及其代数运算、复数的几何表示一、填空题 1．(ii +-11)4＝ 2．i +1＝ Arg )(i +1= arg )(i +13.已知z=())())((i i i i +--+131131，则z = argz= 4.将z=－cos 5π + isin 5π表示成三角形式为表示成指数形式为Argz= argz=5.3－i 的三角表示形式为，指数表示形式为二．分别就0＜α≤π与-π＜α＜-2π两种情形将复数z=1 - cos α + isin α化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。

三．利用复数表示圆的方程)(0≠a a (x 2+y2)+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d 是实常数。

四．求下列方程所表示的曲线 ①)(i +1z + )(i —1z = 1②z z －)(i +2z －)(i -2z = 4五．证明⑴若z1 + z2 + z3 = 0且z1=z2=z3=1，则点z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点。

⑵若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且z1=z2=z3=z4，则点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两重合。

练习二复数的乘幂与方根、区域一、填空题1．（1＋i）3＋（1－i）3＝2．31-＝3．{z1<z<2}的内点是外点是边界点是4．0<Re(z)<1所确定的是（区域、闭区域）它是（有界、无界）二、求下列复数的值（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+ii313110（2）32221）＋（i三、已知正方形的两个相对顶点为z1(0，－1)于z3(2，5)，求另外两个顶点z2于z4的坐标。

四、画出23--zz≥1所表示的图形，并指出所表示的图形是否是区域，是否有界？五、已知x2+x+1=0，求x11+x7+x3的值。

六、求证：（1+cosθ+isinθ）n=2ncosn2θ(cos2θn+isin2θn)练习三复变函数、复变函数的极限和连续性一、选择题1．下列函数极限存在的是（）A．lim→z zz)Re(B.lim→z zzC.lim→z1222---+zzzz zD.lim→z i21(zz－zz)2．将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=41的映射函数f(z)为（）A．W=Z B.W=Z2 C.W=Z1D.W=Z3．复变函数W=Z2确定的两个实元函数为（）A.u=x2+y2 v=2xyB.u=2xy v=x2-y2C.u=x2v=2xyD.u=x2+y2v=2xy 4．两个实二元函数u=5．在映射W=Z2之下，Z平面的双曲线x2－y2=4映射成W平面上的图形为（）A．直线u=4 B.圆u2+v2=4 C.直线v=4 D.双曲线uv=4二、考虑f(z)=z z +zz在z=0的极限三、函数W=Z1把下列z 平面上的曲线映射成W 平面上怎样的曲线？（1）y=x (2) x=1 (3) (x －1)2+y 2=1 四、试讨论函数f(z)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+022y x xy00=≠z z 的连续性练习四解析函数的概念函数解析的充要条件一、选择题1．下列命题正确的是（）A ．如果)(z f 在z 0连续，那么)('0z f 存在B ．如果)('0z f 存在，那么)(z f 在z 0解析C ．如果)(z f 在z 0解析，那么)('0z f 存在D ．如果z 0是)(z f 的奇点，那么)(z f 在z 0不可导 2．下列函数仅在z=0处可导的是（）A. )(z f ＝z 2B. )(z f =x+2yiC. )(z f =z 2D. )(z f =z13．下列函数在复平面内处处解析的是（）A ．f(z)=z B.f(z)=e x(cosy+isiny) C.f(z)=z 1 D.f(z)=zz 4.下面各式是柯西—黎曼方程的极坐标形式的是（）A ．r u ∂∂=θ∂∂v θ∂∂u =-r v ∂∂ B.r u ∂∂=r 1θ∂∂v θ∂∂u =-r 1r v ∂∂ C.r u ∂∂=r 1θ∂∂v r v ∂∂=-r 1θ∂∂u D.r u ∂∂=r θ∂∂v θ∂∂u =-r rv ∂∂ 5．下列说法正确的是（）A ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)＋g(z)的一个奇点B ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)－g(z)的一个奇点C ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)g(z)的一个奇点D ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)/g(z)的一个奇点二．设ay 3+bx 2y+i(x 3+pxy 2)为解析函数，试求a,b,p 之值。

(完整版)复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）.九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ） ∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

复变函数目标检测练习册答案10页

复变函数目标检测练习册答案练习一一．1．12．2，)(24Z k k ∈+ππ，4π 3．1，6π 4．54sin 54cos ππi z +=，54πi e5．)611sin 611(cos 2ππi +，6112πi e二．（1）πϕ≤<0= 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+)22sin()22cos(2sin 2)2cos 2(sin 2sin ϕπϕπϕϕϕϕi i 为三角形式z=2sin 2ϕ)22(ϕπ-i e 为指数形式argz ＝22ϕπ-（2）2πϕπ-<<-三角形式为z=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--)223sin()223cos(2sin2ϕπϕπϕi 指数形式为z=)223(2sin 2ϕπϕ--i eargz=)22(ϕπ+-三．根据共轭复数的形式 2z z x +=, 2z z y -=, z z z y x ==+222 令i c b 22+=α 四．（1）1))(1())(1(=--+++iy x i iy x i21=-y x 直线（2）4222222=+++-+---+y ix iy x y ix iy x y x9)1()2(22=++-y x 以（2，－1）为圆心，3为半径的圆五．（1）21212221212121212212))((z z z z z z z z z z z z z z z z --=+--=--=- 同理 32322322z z z z z z --=- 同理 12121-=+z z z z ，13131-=+z z z z∴ 3231232221=-=-=-z z z z z z 即 3313221=-=-=-z z z z z z（2）24322143214321)(0z z z z z z z z z z z z +=+⇒+-=+⇒=+++ 同理 4132z z z z -=-若上式全不为0，则为一矩形若上式有一式为0，则两两重合练习二一．1．－4；2.32sin32cosππππk i k +++ （k ＝0，1，2）；3.{}{}{}21;21;21==><<<z z z z z z z z 或或；4.区域，无界二．（1）i 2321+- （2）324sin 324cos ππππk i k +++ （k ＝0，1，2）三．)3,2(2-z )1,4(4z 四．25123≤⇒≥--x z z 闭区域无界五． 012=++x x ∴ 10)1)(1(32=⇒=++-x x x x ∴ 29211x x x x ==x xx x ==67 13=x ∴ 0123711=++=++x x x x x练习三一．1．C 2.C 3.A 4.B 5.A二．22222222)(y x y x zz z z z z z z z f +-=+=+= 沿 kx y = 2222222201)1(222lim k k x k x x k x x +-=+-→ 与k 有关所以 )(z f 的极限不存在三．z1=ω (1) y=x (2) x=1(3) 1)1(22=+-y x 四．关键在于讨论分界点z=01)1(lim lim )(lim 222202200+=+=+=→=→→k kx k kx y x xy z f x kx y z z 与k 有关所以)(lim 0z f z →不存在则f(z)在z=0处不连续当0≠z 时，f(z)连续五．xyb t bt e y bt e x iy x bt i bt e e e z at at at ibt at t arctan 1sin ,cos )sin (cos =⇒==⇒+=+===+αxyatc b a ey x tan 222=+练习四一．1．C 2.A 3.B 4.C 5.C 二．b=p=-3,a=1三．1.f(z)在i z ±≠处可导，解析。

复变函数测试题及答案

复变函数测试题及答案第一章复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=-（C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+；２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.??=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.??=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<="" f="" p="" 内≡)(z="" 内处处为零，且1)0(-="f" ，那么在1（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数（C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析（B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数（D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xv i x u z f ??+??=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(i zz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=??zw ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dz wd dz dw .六、设??=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s vn u n v s u ??-==??,（s ??与n分别表示沿s ,n 的方向导数）.九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+?cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc ?+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=?+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ）i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-?dz z zc2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--?dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ?=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c+'+'')()()(2)( ( ) （A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=?cz dz ze （）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-?dz z z c1)4sin(2π( )（A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-?c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分=--ra z dz a z 1的值与半径)0(>r r 的大小无关（B ）2)(22≤+?cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析（D ）若)(z f 在10<<<="r" 的积分等于零，则<="">)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu为D 内的调和函数（D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ??-??二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=?c dz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-?c dz z z z 22)4(233．设?=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+?cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-?c zdz i z e 5)(π6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=?c dz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(?的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a 10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.?=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ；２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''?cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n r r M n a f nn .六、求积分?=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=?0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><="" p="" r="" z="" 内解析，且2)0(,1)0(="=f f ，试计算积分?=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出?πθθθ202)(2 cos d e f i 之值. 九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明22222222 2))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +">+?++?.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n n i （B ）∑∞=+1!)43(n nn i （C ）∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ）∑∞=+1)1(1n n i n （B ）∑∞=+-1]2)1([n n n in(C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nnznc z c和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<∑∞=0n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<="">（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++2111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<<<=""> 11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(01 2+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n （B ）)2()2()!2()1(02+∞<- --∑∞=ππz z n n nn（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n （D ）)2 ()2()!2()1(021+∞<- --∑∞=+ππz z n n nn13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-?c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若?--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<<="">+∞<<="" 41="" p="" （d="" ）+∞<115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为． 8．函数zze e 1+在+∞<<<0内的洛朗展开式为∑∞<="" cot="" p="" z="" 在原点的去心邻域r="" ．="">-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++?ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-?=++ξξξξπξ）。

数学复变函数理论单元测试

数学复变函数理论单元测试一、选择题1. 复变函数是指具有复变量的自变量和因变量之间的关系的函数。

以下哪个函数不是复变函数？A. f(z) = z + 1B. f(z) = e^zC. f(z) = |z|D. f(z) = 2z^2 - iz2. 设f(z) = x^2 + iy^2，其中z = x + iy为复数。

则f(z)的实部和虚部分别为：A. Re(f(z)) = x^2, Im(f(z)) = y^2B. Re(f(z)) = x^2 - y^2, Im(f(z)) = 2xyC. Re(f(z)) = x^2 + y^2, Im(f(z)) = 2xyD. Re(f(z)) = x^2 - y^2, Im(f(z)) = 2ixy3. 连续函数是数学中重要的概念。

对于复变函数而言，下列哪个条件能够保证函数在某点处连续？A. 函数的实部和虚部分别在该点处连续B. 函数的实部和虚部分别在该点处可导C. 函数的微分在该点处存在D. 函数的导数在该点处存在二、填空题1. 定义在D上的复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在点z = x + iy处的导数定义为_____________。

2. 设z = x + iy是复平面上的任意一点，其中x和y分别表示实轴和虚轴上的坐标，则z的共轭复数为_____________。

3. 当u(x, y) = x^2 - y^2，v(x, y) = 2xy时，函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)的导函数为________________。

三、计算题1. 设f(z) = z^2 - z + 1，求f(i)的值。

2. 设复变函数f(z) = e^z，则f'(z)的值为________________。

3. 设复变函数f(z) = e^z - 1，求f'(1 + i)的值。

四、解答题1. 请证明：若f(z)在区域D上解析，则它的虚部和实部分别在D上满足某个著名的偏微分方程。

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练习一复数及其代数运算、复数的几何表示一、填空题 1．(ii +-11)4＝2．i +1＝ Arg )(i +1= arg )(i +13.已知z=())())((i i i i +--+131131，则z = argz=4.将z=－cos 5π + isin 5π表示成三角形式为表示成指数形式为 Argz= argz=5.3－i 的三角表示形式为，指数表示形式为二．分别就0＜α≤π与-π＜α＜-2π两种情形将复数z=1 - cos α + isin α化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。

三．利用复数表示圆的方程)(0≠a a (x 2+y2)+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d 是实常数。

四．求下列方程所表示的曲线 ①)(i+1z + )(i —1z = 1②z z －)(i +2z －)(i -2z = 4五．证明⑴若z1 + z2 + z3 = 0且z1=z2=z3=1，则点z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点。

⑵若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且z1=z2=z3=z4，则点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两重合。

四、画出23--zz≥1所表示的图形，并指出所表示的图形是否是区域，是否有界？五、已知x2+x+1=0，求x11+x7+x3的值。

六、求证：（1+cosθ+isinθ）n=2ncosn2θ(cos2θn+isin2θn)练习三复变函数、复变函数的极限和连续性一、选择题1．下列函数极限存在的是（）A．lim→z zz)Re(B.lim→z zzC.lim→z1222---+zzzz zD.lim→z i21(zz－zz)2．将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=41的映射函数f(z)为（）A．W=Z B.W=Z2 C.W=Z1D.W=Z3．复变函数W=Z2确定的两个实元函数为（）A.u=x2+y2 v=2xyB.u=2xy v=x2-y2C.u=x2v=2xyD.u=x2+y2v=2xy 4．两个实二元函数u=5．在映射W=Z2之下，Z平面的双曲线x2－y2=4映射成W平面上的图形为（）A．直线u=4 B.圆u2+v2=4 C.直线v=4 D.双曲线uv=4二、考虑f(z)=z z +zz在z=0的极限三、函数W=Z1把下列z 平面上的曲线映射成W 平面上怎样的曲线？（1）y=x (2) x=1 (3) (x －1)2+y 2=1 四、试讨论函数f(z)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+022y x xy00=≠z z 的连续性练习四解析函数的概念函数解析的充要条件一、选择题1．下列命题正确的是（）A ．如果)(z f 在z 0连续，那么)('0z f 存在B ．如果)('0z f 存在，那么)(z f 在z 0解析C ．如果)(z f 在z 0解析，那么)('0z f 存在D ．如果z 0是)(z f 的奇点，那么)(z f 在z 0不可导 2．下列函数仅在z=0处可导的是（）A.)(z f ＝z 2B.)(z f =x+2yiC.)(z f =z 2D.)(z f =z13．下列函数在复平面内处处解析的是（）A ．f(z)=z B.f(z)=e x(cosy+isiny) C.f(z)=z 1 D.f(z)=zz 4.下面各式是柯西—黎曼方程的极坐标形式的是（）A ．r u ∂∂=θ∂∂v θ∂∂u =-rv ∂∂ B.r u ∂∂=r 1θ∂∂v θ∂∂u =-r 1r v ∂∂C.r u ∂∂=r 1θ∂∂v r v ∂∂=-r 1θ∂∂uD.r u ∂∂=r θ∂∂v θ∂∂u =-r rv ∂∂ 5．下列说法正确的是（）A ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)＋g(z)的一个奇点B ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)－g(z)的一个奇点C ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)g(z)的一个奇点D ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)/g(z)的一个奇点二．设ay 3+bx 2y+i(x 3+pxy 2)为解析函数，试求a,b,p 之值。

三．下列函数在何处可导，何处解析，并求可导处的导数 1．f(z)=112+z 2.f(z)=zIm(z) 3.f(z)=(y 3-3x 2y)+i(x 3-3xy 2+1) 四．设f(z)=u+iv=ρθi e 为解析函数，证明：若函数u,v,θρ,之一恒等于常数，则函数f(z)亦为常数。

练习五初等函数一．填空题1．i 2-i= (-1)2= 1i =2.e21πi -= eln(1-i)= 3.lni= Lni= 4.sin(i+2i)= 二．解方程1．sinz+1=0 z 为复数 2．e z=-1 z 为复数三．求22i的主值及主值的辐角主值四．当z=x+iy 时，试证下列不等式（1）zsin y ye e -≥-21 (2)yy y y ee e e z --+-≥tan练习六复变函数积分的概念柯西——古萨基本定理复合闭路定理一．填空题1．设C 为正向圆周：z =3 则⎰-c z dz2=⎰-cz dz 4=()⎰-c n z dz2=(n 为大于1的正整数) 2．⎰+cz z dz)1(=其中C 为正向圆周：z ＝2 3．⎰cdz zz＝其中C 为正向圆周：z ＝4 4．⎰++cz z dz422＝其中C 为正向圆周：z ＝1 5．⎰+cz z dz)1(2＝其中C 为正向圆周：21=z 二．求⎰Γ1Re zdz 和⎰Γ2Re zdz ，其中1Γ和2Γ的起点和终点相同，都是0和1＋i ，但路径不同，1Γ是连接这两点的直线段，2Γ是经过z=1的折线段。

三．试求下列积分的值dz z z z c⎰++212 （1）c={z 41=z } (2)c={z 4121=-z } (3)c={z 411=+z } (4)c={z 2=z }四．设0<r<R,求函数ZZ R ZR )(-+沿圆周r z =（正向）的积分，并由此推证1cos 221202222=+--⎰θθππd rRr R r R 练习七原函数与不定积分柯西积分公式一．填空题1．⎰-ciz z e 2πdz ＝其中C 为正向圆周：2=z2．⎰+iz dz ze 11＝ 3．若f n (z)=(z-z 1)(z-z 2)…(z-z n )(z i ≠z j ;i ≠j,i,j=1,…,n,n>1),又若封闭曲线C 不通过每一点z i ,则积分⎰c nz f dz )(能取个不同的值。

4．⎰=--21212z zz z dz ＝ 5．⎰=--3sin i z dz i z z＝ ⎰=+-22sin z i z zdz ＝二．求积分⎰-czi z z e )2(dz 其中C 为正向圆周：43=-i z三．求函数1122-+z z 沿正向圆周C ：10=-z z 的积分值，设圆周C 的圆心分别在：（1）z 0=1; (2) z 0=21; (3) z 0=-1; (4) z 0=-i四．设f(z)=⎰=-+-22123ξξξξξd z (1)试证f(1)=4πi(2)当2≠z 时，试求f(z)之值练习八解析函数的高阶导数解析函数与调和函数的关系一．填空题1．⎰=-22)1(z zdz z ze ＝ 2．⎰=12sin z n dz zz＝ 3．如果二元实变函数f(x,y)在区域D 内具有二阶连续偏导数，并且满足，那么称f(x,y)为区域D 内的调和函数。

4．区域D 内的解析函数的虚部（是，不是）实部的共轭调和函数，实部（是，不是）虚部的共轭调和函数。

二．设C 是不通过z 0的简单闭曲线，试求g(z 0)=⎰-+c z z z z 3024)(的值。

三．求积分dz z z zc ⎰-2)1(sin 的值，若C 为正向圆周：（1）21=z （2）211=-z （3）3121=-z 四．已知y x u )1(2-=为调和函数，求满足f(2)=-i 的解析函数f(z)=u+iv 练习九复数项级数幂级数一．选择题1．下列数列极限不存在的是（）A ．ni ni n -+=11α B.nn i -+=)21(α C.in n e 2πα-= D.i n n e n21πα-=2．下列结论正确的是（）A ．每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛B ．每一个幂级数收敛于一个解析函数C ．每一个在z 0连续的函数一定可以在z 0的领域内展开成幂级数D ．在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数 3．下列级数绝对收敛的是（）A ．∑∞=1n n n i B.∑∞=2ln n n n i C.∑∞=+08)56(n n ni D.∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-121)1(n nn i n 4.下列级数收敛半径为e1的是（） A ．∑∞=+0)1(n nnz i B.∑∞=1n nniz e πC.∑∞=0)(cos n nz in D.∑∞=-1)1(n nn z5．∞→n lim nα=（）A ．0 B.∞ C.1 D.1<α为0 1>α为∞1=α为1 1=α1≠α时不存在二．下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（1）∑∞=++1121n n n i （2）∑∞=+1)1(2n nn i n （3）∑∞=+12cos 2)1(n n n ini （4）∑∞=1n n ni三．设级数∑∞=0n nC收敛，而∑∞=0n nC发散，证明n n nz C∑∞=0的收敛半径为1练习十泰勒级数洛朗级数一．将函数f(z)=322--z z z展开成z 的幂级数，写出它的收敛圆周。

二．求函数21z 在点z 0＝-1处的泰勒展开式，并指出它的收敛半径。

三．（1）求函数f(z)=2122-++z z z 在以z ＝0为中心，由它的奇点互相隔开的各个不同圆环域内的洛朗展开式。

（2）求函数f(z)=212-+z z 在以z ＝1为中心的圆环域：①310<-<z ②+∞<-<13z 内的洛朗展开式。