数学建模案例分析 6.选址问题

出版社销售代理点的选择模型
摘要：
本文主要是为了解决出版社准备在某市建立两个销售代理点，向七个区的大学生售书，
知道每个区的大学生人数（千人）和每个区的位置关系，如图一，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，建立模型确定销售代理点的位置，使得能供应的大学生的数量最大。

我们建立了一个整数线性规划模型，确定决策变量：12x ，13x ，23x ，24x ，34x ，25x ，45x ，46x ，47x ，56x ，67x ，ij x 1=表示
（i ，j ）区的大学生由一个销售代理点供应，否则0ij x =，写出目标函数，确定约束条件。

用lindo 软件求解，的到的最优解：max 177=， 251x =，
471x =。

对图一得各区进行标号，见图二，说明2和5区的大学生由一个销售代理点供应，
4和7区的大学生由一个销售代理点供应，该出版社能供应的大学生的最大数量为177千
人。

此整数线性规划模型在地区小的范围和销售代理点少的情况小无疑是一个很好的模型，但要在比较大的市场上来选在较多的代理点的话还得考虑其他更好的方案。

关键字：整数线性规划模型 lindo 软件
1 问题重述
随着现在社会的进步，人民生活水平的提高，市场的公司也是越做越大，销售代理点也是越来越多，而且是做到更小的区域了，以满足更多人的需要，这就要求我们在选择销售代理点的时候，需要考虑的情况也越来越多，在满足更多人方便的时候也得为公司赚取更多的资金。

本文需要解决的题目：一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向七个区的大学生售书，每个区的大学生（单位：千人）已经表示在图上，如图一。

每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大。

2 模型假设及符号说明
对七个区分别进行标号，如图二，图中的人数和标号是对应的。

（1）i ，j 表示区，i ，j 1,2,3,4,5,6,7=； （2）i y 表示第i 区大学生的人数；
（3）ij x 1=表示（i ，j ）区的大学生由一个销售代理点供应，i j <且它们在地图上相邻。

否者0ij x =；
3 问题分析
因为ij x 1=表示（i ，j ）区的大学生由一个销售代理点供应，i y 表示第i 区大学生的人数，所以建立一个销售代理点所能服务的人数为()
i j ij y y x +，所以目标函数很容易得到。

即为： max
()()()()()()121213122323242434342525x y y x y y x y y x y y x y y x y y +++++++++++()()()()()45454646474756566767x y y x y y x y y x y y x y y ++++++++++
约束条件则是根据服务人数最大化原则，排除相邻的两个区，排除互相相邻的三个区以及以某一区为中心的邻近区域。

如：4i =时，假如341x =，则24454647,,,x x x x 不能为1了，因为这时只能为三个区的大学生服务，满足不了最大化原则。

4 模型建立
4.1决策变量
12x ，13x ，23x ，24x ，34x ，25x ，45x ，46x ，47x ，56x ，67x
4.2目标函
max
z=12132324342545464756676376715063857739927489x x x x x x x x x x x ++++++++++
4.3约束条件
1213x x +≤1 （1）
图一
图二
12x +2324x x +251x +≤ （2） 1323x x +341x +≤ （3） 24344546471x x x x x ++++≤ （4）
25x 45x +561x +≤ （5） 46x 56671x x ++≤ （6） 47671x x +≤ （7）
0ij x =或1 （8）
5 模型求解
利用LINDO 软件实现整数的线性规划求得
12132324342545464756670,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0x x x x x x x x x x x ===========
6 结果及分析
IP 的最优解
12132324342545464756670,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0
x x x x x x x x x x x ===========，177z =，即问题要求的销售代理点一个供应第2,5区，另一个则供应第4,7区，所以在2区或者5区建一个销售代理点，在4区或者7区建立一个销售代理点。

7 模型的检验与推广
通过比较，所得结果是能服务更多人的最好选择。

在销售代理点只能向本区和一个相邻区服务的情况下，如果在增加区域的数量（n ）和销售代理点的数量（m ），则建立模型的决策变量为：
ij x （i ，j 表示区，i j <，i ，j 1,2,3,4,5,6,7=·
··n ） 目标函数为：
max
()i
j
ij
ij
y y x +∑ （,i j 在地图上相邻，i j <，i
y 表示第i 区的人数。

） 约束条件为：
ji ij
j i
i j
x x
<<+∑∑ 1≤ （1）
ij
i j
x
m <=∑ （2）
{}0,1ij x ∈ （3） 然后通过lindo 软件求解
通过对本文的推广，运用此模型可以解决以下我们常见的一些问题：超市和商场的地点选择，大型公司地方办公室的选择等等。

8 模型的评价
在销售代理点只能向本区和一个相邻区服务的情况下，这种整数线性规划模型无疑是一个不错的选择，而且在区数和销售代理点都变得很大的情况下也可以用这个模型区求解。

但是在一个代理点可以向相邻的三个或者三个以上服务的时候就不能在用此模型了，这个时候就需要建立新的模型了。

附表：
软件内容：
max 63x12+76x13+71x23+50x24+63x34+85x25+77x45+39x46+92x47+74x56+89x67
st
2)x12+x13+x23+x24+x34+x25+x45+x46+x47+x56+x67=2
3)x12+x13<1
4)x12+x23+x24+x25<1
5)x13+x23+x34<1
6)x34+x24+x45+x46+x47<1
7)x25+x45+x56<1
8)x46+x56+x67<1
9)x47+x67<1
end
gin 11
用lindo软件实现如下
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6
OBJECTIVE V ALUE = 177.000000
FIX ALL VARS.( 7) WITH RC > 0.000000E+00
NEW INTEGER SOLUTION OF 177.000000 AT BRANCH 0 PIVOT 6
BOUND ON OPTIMUM: 177.0000
ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 6
LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND
RE-INSTALLING BEST SOLUTION...
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 177.0000
VARIABLE V ALUE REDUCED COST X12 0.000000 -63.000000
X13 0.000000 -76.000000
X23 0.000000 -71.000000
X24 0.000000 -50.000000
X34 0.000000 -63.000000
X25 1.000000 -85.000000
X45 0.000000 -77.000000
X46 0.000000 -39.000000
X47 1.000000 -92.000000
X56 0.000000 -74.000000
X67 0.000000 -89.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.000000
3) 1.000000 0.000000
4) 0.000000 0.000000
5) 1.000000 0.000000
6) 0.000000 0.000000
7) 0.000000 0.000000
8) 1.000000 0.000000
9) 0.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 6
BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0
参考文献：
姜启源谢金星叶俊编《数学模型》（第三版）
W.L.Winston Operations Research Duxbury Press，1994。