22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--第二章 直线和圆的方程章末总结

第二章 直线和圆的方程章末总结体系构建题型整合题型1 直线的倾斜角与斜率例1已知直线l 过P(−2,−1) ，且与以A(−4,2) ，B(1,3) 为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围为 . 答案： (−∞,−32]∪[43,+∞)解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示，由已知得直线PA 的斜率k PA =−32 ，直线PB 的斜率k PB =43 ，由图可知，当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90∘ ，故斜率的取值范围是[43,+∞) ；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 时，它的倾斜角由90∘ 增大到PA 的倾斜角，故斜率的变化范围是(−∞,−32] .综上可知，直线l 的斜率的取值范围是(−∞,−32]∪[43,+∞) . 方法归纳求直线的倾斜角与斜率的注意点：（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断倾斜角的取值范围.（2）当直线的倾斜角α∈[0,π2) 时，随着α 的增大，直线的斜率k 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(π2,π) 时，随着α 的增大，直线的斜率k 为负值且逐渐变大. 迁移应用1.（2021四川绵阳南山中学高二期中）经过点P(0,−1) 作直线l ，若直线l 与以A(1,−2) ，B(2,1) 为端点的线段AB 相交，则l 的倾斜角的取值范围是( )A.[0,π4] B.[π4,3 π4]C.[3 π4,π)D.[0,π4]∪[3 π4,π) 答案：D解析：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α ， 由题意知k PA =−1−(−2)0−1=−1 ，k PB =−1−10−2=1 ，由图可知，−1≤k ≤1 ，所以0≤α≤π4或3 π4≤α＜π .题型2 直线的方程及其应用例2（2021重庆十八中高二期中）已知点A(−1,0) 和点B 关于直线l ：x +y −1=0 对称.（1）若直线l 1 过点B ，且使得点A 到直线l 1 的距离最大，求直线l 1 的方程； （2）若直线l 2 过点A ，且与直线l 交于点C ，△ABC 的面积为2，求直线l 2 的方程. 答案：（1） 设点B(m,n) ，则{−1+m 2+n2−1=0,n m+1=1, 解得{m =1,n =2,所以点A(−1,0) 关于直线l ：x +y −1=0 对称的点B 的坐标为(1,2).若直线l 1 过点B ，且使得点A 到直线l 1 的距离最大，则直线l 1 与过点A ，B 的直线垂直， 所以直线l 1 的斜率k =−1kAB=−1 ，故直线l 1 的方程为y −2=−(x −1) ，即x +y −3=0 .（2）|AB|=√(2−0)2+(1+1)2=2√2 ，因为△ABC 的面积为2， 所以△ABC 的AB 边上的高ℎ=2√2=√2 ，又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB 的距离为√2 . 易知直线AB 的方程为y =x +1 ， 设C(a,b) ，则√2=√2 ，即b =a −1 或b =a +3 ，又b =1−a ，解得{a =1,b =0或{a =−1,b =2,则直线l 2 的方程为y =0 或x =−1 . 方法归纳求直线方程的两种方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.（2）待定系数法：设出含有参数的直线方程，由已知条件求出参数的值，即可得到所求直线方程. 迁移应用2.（2021安徽宿州十三所重点中学高二期中）已知直线l ：2x +3y +6=0 . （1）求经过点P(2,−1) 且与直线l 平行的直线的方程；（2）求与直线l 垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3的直线方程. 答案： （1）由题意可设所求直线的方程为2x +3y +λ=0(λ≠6) .把点P(2,−1) 代入得4−3+λ=0 ，即λ=−1 ，故所求直线的方程为2x +3y −1=0 . （2）由题意可设所求直线的方程为3x −2y +m =0 . 令y =0 ，则x =−m3 ；令x =0 ，则y =m2 . 由题意知，12⋅|−m3|⋅|m2|=3 ， 解得m =±6 ，故所求直线的方程为3x −2y −6=0 或3x −2y +6=0 .题型3 与圆有关的最值问题例3已知M(m,n) 为圆C ：x 2+y 2−4x −14y +45=0 上任意一点. （1）求n−3m+2的最大值和最小值；（2）求m 2+n 2 的最大值和最小值.答案：（1）由题意知圆C 的圆心为C(2,7) ，半径r =2√2 .记点Q(−2,3) ， ∵n−3m+2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y −3=k(x +2) ，即kx −y +2k +3=0 ，∵ 直线MQ 与圆C 有公共点， ∴√k 2+1≤2√2 ，解得2−√3≤k ≤2+√3 ，∴n−3的最大值为2+√3，最小值为2−√3 .m+2（2）设μ=(m−0)2+(n−0)2，则该式等价于点M(m,n)与原点的距离的平方，∴μmax=(√(2−0)2+(7−0)2+r)2，=(√53+2√2)2=61+4√106μmin=(√(2−0)2+(7−0)2−r)2，=(√53−2√2)2=61−4√106∴m2+n2的最大值为61+4√106，最小值为61−4√106 .方法归纳（1）求x−a型的最大值和最小值可转化为求过点(x,y)和(a,b)的直线斜率的最大值y−b和最小值；（2）求(x−a)2+(y−b)2型的最大值和最小值可转化为求(x,y)与(a,b)的距离的最大值和最小值的平方.迁移应用3.（2021四川宜宾叙州二中高二月考）已知点(x,y)满足x2+y2=1，则x+y的取值范围是( )A.[−√2,√2]B.[−1,1]C.[1,√2]D.(1,√2]答案：A解析：设x+y=b，则圆心(0,0)到直线x+y=b的距离小于或等于半径，≤1，即√12+12解得−√2≤b≤√2，故−√2≤x+y≤√2.题型4 直线与圆的综合问题例4（2021浙江湖州高二期中）如图，已知圆O:x2+y2=1，点P(t,4)为直线y=4上一点，过点P作圆O的切线，切点分别为M，N.（1）已知t=1，求切线方程；（2）直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；（3）当t＞1时，两条切线分别交y轴于点A，B，连接OM，ON，记四边形PMON的面积为S1，三角形PAB的面积为S2，求S1⋅S2的最小值.答案：（1）当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1，符合题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=k(x−1)，即kx−y−k+4=0.由d =r 得√k 2+1=1 ，解得k =158，所以切线方程为y =158x +178.综上，切线方程为x =1 或y =158x +178.（2）由题意得M ，N 在以点P 为圆心，切线长PM 为半径的圆上， 则圆P ：(x −t)2+(y −4)2=t 2+15 ，联立得{(x −t)2+(y −4)2=t 2+15,x 2+y 2=1,化简得tx +4y −1=0 ，则{x =0,4y −1=0, 解得{x =0,y =14,所以直线MN 过定点(0,14) .（3）连接PO ，易知S 1=2S △PMO =2×12|PM|⋅|OM|=√t 2+15 ，设l PM :y −4=k 1(x −t) ，l PN :y −4=k 2(x −t) ，则A(0,4−k 1t) ，B(0,4−k 2t) ，∴|AB|=|k 1−k 2|t ，∴S △PAB =12|AB|⋅t =12|k 1−k 2|⋅t 2 . 过点P 作圆O 的切线方程记为y −4=k(x −t) ， 即kx −y −kt +4=0 ， 由d =r 得√k 2+1=1 ，整理得(t 2−1)k 2−8tk +15=0, 则该方程的两根为k 1 ，k 2 ，所以k 1+k 2=8tt 2−1 ，k 1⋅k 2=15t 2−1 ， 则|k 1−k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=2√t 2+15t 2−1，所以S 2=√t 2+15⋅t 2t 2−1，则S 1⋅S 2=t 2(t 2+15)t 2−1(t >1) ，令m =t 2−1 ，则S 1⋅S 2=(m+1)(m+16)m=m +16m+17≥2√m ⋅16m+17=25 ，当且仅当m =4 ，即t =√5 时，等号成立， 所以(S 1⋅S 2)min =25 . 方法归纳解决平面几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决；二是将曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、判别式法、函数单调性法以及基本不等式法求解. 迁移应用4.已知圆O:x 2+y 2=2 ，直线l:y =kx −2 .（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB =π2 ，求k 的值；（2）若k=12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试问：直线CD是否过定点？请说明理由.答案：（1）根据题意，圆O的圆心为O(0,0)，半径r=√2，若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且∠AOB=π2，则点O到l的距离d=√22r=1，所以√k2+1=1，解得k=±√3.（2）由题意可知O、P、C、D四点在以OP为直径的圆上，设P(t,12t−2)，则以OP为直径的圆的方程为x(x−t)+y(y−12t+2)=0，即x2+y2−tx−(12t−2)y=0，又C、D在圆O：x2+y2=2上，即直线CD为两个圆的公共弦所在的直线，则直线CD的方程为tx+(12t−2)y−2=0，即(x+y2)t−2(y+1)=0，令{x+y2=0,y+1=0,可得{x=12,y=−1,即直线CD过定点(12,−1).题型5 直线与圆的方程的应用例5 （2021江苏南京田家炳高级中学高二检测）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45∘方向且距O岛40√2千米处，B岛在O 岛的正东方向且距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点.（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30∘方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45∘方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由. 答案：（1）由题意得A(40,40)、B(20,0)，设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，则{F=0,402+402+40D+40E+F=0,202+20D+F=0,解得D=−20，E=−60，F=0，所以圆C的方程为x2+y2−20x−60y=0. （2）由题意得D(−20,−20√3)，且该船的航线所在的直线l的斜率为1，故该船的航线为直线l：x−y+20−20√3=0，由（1）知圆心为C(10,30) ，半径r =10√10 ， 因为圆心C 到直线l 的距离d =√3|√12+12=10√6<10√10 ，所以该船有触礁的危险.方法归纳直线与圆的方程的应用，一般先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示点，把直线和圆看成满足某种条件的点的集合或轨迹，再用直线和圆上的点的坐标(x,y) 满足的方程表示直线和圆，通过研究方程，解决实际问题. 迁移应用5.树林的边界是直线l （如图CD 所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l 的垂线AC 上的点A 和点B 处，|AB|=|BC|=a （a 为正常数），若兔子沿AD 方向以速度2μ 向树林逃跑，同时狼沿BM(M ∈AD) 方向以速度μ 进行追击（μ 为正常数），如果狼到达M 处的时间不多于兔子到达M 处的时间，那么狼就会吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积S(a) ； （2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC) 的取值范围. 答案：（1）如图，建立平面直角坐标系，则A(0,2a) ，B(0,a) ，设M(x,y) ， 由|BM|μ≤|AM|2μ得x 2+(y −2a 3)2≤4a 29，∴M 在以(0,2a3) 为圆心，2a3 为半径的圆上及其内部， ∴S(a)=4a 29π .（2）设l AD :y =kx +2a(k ≠0) ， 由兔子要想不被狼吃掉得|2a−2a3|√1+k 22a3 ，解得k ∈(−√3,0)∪(0,√3) ， ∴0<∠ADC <π3 ，∴θ∈(π6,π2) .高考链接1.（2020课标Ⅰ文，6，5分）已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解析：根据题意，将圆的方程化为(x−3)2+y2=9，所以圆心为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，弦长最短，此时|CP|=√(3−1)2+(0−2)2=2√2，所以弦长的最小值为2√9−|CP|2=2.2.（2020北京，5，4分）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )A.4B.5C.6D.7答案：A解析：设圆心为C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|≥|OM|−1=√32+42−1=4，所以|OC|≥4，当且仅当C是线段OM与圆M的交点时取等号，故选A.3.（2020课标Ⅱ理，5，5分）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为( )A.√55B.2√55C.3√55D.4√55答案：B解析：由题意可知该圆的圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，所以圆的标准方程为(x−a)2+(y−a)2=a2. 由题意可得(2−a)2+(1−a)2=a2，整理得a2−6a+5=0，解得a=1或a=5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，则圆心(1,1)到直线2x−y−3=0的距离d1=√5=2√55，圆心(5,5)到直线2x−y−3=0的距离d2=√5=2√55，所以圆心到直线2x −y −3=0 的距离为2√55.4.（2020天津，12，5分）已知直线x −√3y +8=0 和圆x 2+y 2=r 2(r ＞0) 相交于A ，B 两点.若|AB|=6 ，则r 的值为 . 答案： 5解析：圆心(0,0)到直线x −√3y +8=0 的距离d =√1+3=4 ，由|AB|=2√r 2−d 2 可得6=2√r 2−42 ，解得r =5 .5.（2018江苏，12，5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y =2x 上在第一象限内的点，B(5,0) ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则点A 的横坐标为 . 答案：3解析：设A(a,2a)(a ＞0) ，则由圆心C 为AB 的中点得C(a+52,a) ，易得圆C ：(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0 ， 与y =2x 联立解得点D 的横坐标为x D =1 ，所以D(1,2) .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−a,−2a) ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a+52,2−a) ， 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 得(5−a)(1−a+52)+(−2a)⋅(2−a)=0 ，整理得a 2−2a −3=0 ，解得a =3 或a =−1 （舍去）.6.（2019浙江，12，6分）已知圆C 的圆心坐标是(0,m) ，半径长是r .若直线2x −y +3=0 与圆C 相切于点A(−2,−1) ，则m = ，r = . 答案：-2; √5解析：由题意可知k AC =−12⇒ 直线AC 的方程为y +1=−12(x +2) ， 把(0,m) 代入得m =−2 .此时r =|AC|=√4+1=√5 .。