线性变换初步线性变换的定义表示与性质

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线性变换初步线性变换的定义表示与性质

线性变换初步

线性变换是线性代数中的一个重要概念,它在数学、物理学、计算

机科学等领域中都有广泛的应用。本文将介绍线性变换的定义、表示

以及一些性质。

1. 定义

线性变换是指保持向量加法和数乘运算的变换。具体来说,对于两

个向量u和v以及一个数k,如果对于线性变换T有以下两个性质成立:

a) T(u + v) = T(u) + T(v)

b) T(ku) = kT(u)

则称T为一个线性变换。线性变换可以将一个向量空间中的向量映

射到另一个向量空间中的向量。

2. 表示

线性变换可以用矩阵表示。设V和W分别是两个向量空间,假设

它们的维度分别为n和m。如果存在一个n×m的矩阵A,使得对于任

意的向量u∈V,都有T(u) = Av,则称矩阵A表示线性变换T。

例如,对于一个二维平面上的旋转变换,可以通过一个2×2的矩阵

来表示。对于一个三维向量的缩放变换,可以通过一个3×3的矩阵来

表示。

3. 性质

线性变换具有一些重要的性质:

a) 线性变换保持向量加法。即,对于线性变换T和任意的向量u、v,有T(u + v) = T(u) + T(v)。

b) 线性变换保持数乘运算。即,对于线性变换T和任意的向量u以

及数k,有T(ku) = kT(u)。

c) 线性变换保持零向量。即,对于线性变换T,有T(0) = 0。

d) 线性变换保持线性组合。即,对于线性变换T和任意的向量组

u₁, u₂, ..., uₙ以及对应的系数k₁, k₂, ..., kₙ,有T(k₁u₁ + k₂u₂ + ... + kₙuₙ) = k₁T(u₁) + k₂T(u₂) + ... + kₙT(uₙ)。

e) 线性变换的复合仍然是线性变换。即,如果T₁表示线性变换S₁,T₂表示线性变换S₂,则T₁∘T₂表示线性变换S₁∘S₂。

这些性质使得线性变换在代数运算和几何变换中具有重要的应用。

总结

线性变换是保持向量加法和数乘运算的变换。它可以用矩阵来表示,具有保持向量加法、数乘运算、零向量、线性组合以及复合的性质。

线性变换在数学和其它领域中有广泛的应用,在代数运算和几何变换

中起着重要的作用。对于进一步的学习和应用,线性变换的初步理解

是非常重要的。

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