08级数学物理方法习题

⎧ k1 ,−∞ < x < 0 ， G ( x; ξ ) 有界， k1 和 k 2 均为虚部大于零的常数。 ⎩k2 ,0 < x < +∞
其中， k ( x) = ⎨
2): 一维有限区间上 Helmholtz 方程在第一类齐次边界条件下的 Green 函数 试验证如下定解问题的解
∂2 + k 2 )G ( x;ξ ) = −δ ( x − ξ ), a < x, ξ < b; ∂2 G ( x; ξ ) x = a = 0,G ( x;ξ ) x = b = 0 (
3
（2） x
（3） xPm ( x )
2、将下列函数在 0 ≤ θ ≤ π ，0 ≤ ϕ ≤ 2π 上展开为 Ylm (θ ,ϕ ) 为基的广义傅里叶级数 （1） 3 sin （4）
2
θ sin 2 ϕ − 1
（2） sin
2
θ sin 2 ϕ
（3） (1 + 3 cos θ ) sin θ sin ϕ
G ( x, y; ξ ,η ; ) z = 0 = 0; G ( x, y;ξ ,η ; ) z = H = 0
其中： D = {( x, y ) − ∞ < x < +∞,0 < y < H }
6): 二维带状区域上 Helmholtz 方程的 Green 函数：
(∇ 2 + k 2 )G ( x, y; ξ ,η ) = −δ ( x − ξ , y − η ), ( x, y ) ∈ D, (ξ ,η ) ∈ D
分解成三个独立的常微分方程。 2、利用分离变量法将柱坐标系下拉普拉斯方程
1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u ∂ 2u + 2 =0 ⎜ρ ⎟ 2 ⎟+ 2 ∂z ρ ∂ρ ⎜ ⎝ ∂ρ ⎠ ρ ∂ϕ
分解成三个独立的常微分方程。 3、利用分离变量法将球坐标系下亥姆赫兹方程
1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞ 1 1 ∂ 2u ∂ ⎛ ∂u ⎞ θ + k 2u = 0 + + sin r ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝
2、 利用 1 题的结果计算如下积分： （1）
1 2π
α + 2π α
∫ cos φ
2
e −ix cos(φ −ϕ ) dφ
（2）
1 2π
α + 2π
∫ sin φ α ∫ sin α
2
e −ix cos(φ −ϕ ) dφ
1 （3） 2π
（5）
α + 2π
∫ cos α
φ e
− ix cos(φ −ϕ )
∂2 ( 2 + k 2 )G ( x;ξ ) = −δ ( x − ξ ), a < x, ξ < b; ∂ Gx ( x; ξ ) x = a = 0,Gx ( x; ξ ) x = b = 0
可以表示成： G ( x, ξ ) = −[e
ik x − ξ
+ Aeik (b −ξ ) eik (b − x ) + Beik (ξ − a ) eik ( x − a ) ] / 2ki ；并根据
V0 1 + 2 cos θ + 3 cos 2 θ 时（ V0 为常量） ，求球内各点电势。
6、半径为 R 的半球，其球面保持恒温 u 0 ，而底面温度为零度。求半球内的稳定温 度分布？ 7、在电场强度为 E 0 的均匀电场中放置一个接地导体球，球半径为 a ，求球外任意 一点电势？ 8、 真空中存在一电场强度为 E 0 的匀强电场， 将一个半径为 a 、 相对介电常数为 ε 的 介质球放置匀强电场中，求球内外电势分布？ 9、求解如下定解问题：
2
零阶贝塞尔函数 J 0
( u x)为基的傅里叶-贝塞尔级数。
0 n
（3）将函数 f ( x ) = x 在[0,a]上展开以 J 1 ⎜ ⎜
⎛ x1 ⎞ n x⎟ ⎟ 为基的 Fourier-Bessel 函数， ⎝ a ⎠
其中 x n 为 J1 的第 n 个零点。 (4) 已知 xn 积分
(1) (1) > 0 是一阶 Bessel 方程的第 n 个零点即 J 1 ( xn ) = 0 ，计算
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u ⎧ ⎪ r 2 ∂r ( r ∂r ) + r 2 sin θ ∂θ (sin θ ∂θ ) = 0,r <1,0≤θ ≤π 2 ⎨ （3） u r =1 =1+ 2 cos θ + cos θ ,0 ≤θ ≤π ⎪ ⎩
三、贝塞尔函数的性质及其应用
1、利用 Bessel 函数的生成函数 公式：
其中： Ω = {( x, y , z ) − ∞ < x, y < +∞,0 < z < H } 5): 二维带状区域上 Laplace 方程 Green 函数：
∇ 2G ( x, y;ξ ,η ) = −δ ( x − ξ , y − η ), ( x, y ) ∈ D, (ξ ,η ) ∈ D
G ( x, y; ξ ,η ; ) z = 0 = 0
其中： D = {( x, y ) − ∞ < x < +∞,0 < y < +∞}
3、 用适当方法确定如下方程的 Green 函数： 1): 一维无限区域上 Helmholtz 方程的 Green 函数：
(
∂2 + k 2 ( x))G ( x; ξ ) = −δ ( x − ξ ),−∞ < x, ξ < +∞ 2 ∂
分解成三个独立的常微分方程。 4、利用分离变量法将柱坐标系下亥姆赫兹方程
1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u ∂ 2u ρ ⎟ + 2 + 2 + k 2u = 0 ⎜ 2 ⎜ ⎟ ρ ∂ρ ⎝ ∂ρ ⎠ ρ ∂ϕ ∂z
分解成三个独立的常微分方程。 二、勒让德函数的性质及其应用 1、在 − 1 ≤ x ≤ 1 上，将下列函数展开为 Pl ( x )(l = 0,1,2, L) 的广义傅里叶级数 （1） x
+∞ −∞
f ( x)δ ( x 2 − 1)dx ； f ( x)
2） ：∫
+∞
−∞
f ( x) xδ ' ( x − 1)dx ；
3） ：∫
+∞
−∞
+∞ d d 2 [ xδ ' ( x − 1)]dx ，4） ： ∫ f ( x) [δ ( x − 1)]dx ； −∞ dx dx
其中， f ( x) 是足够光滑的函数。
其中： Ω = {( x, y , z ) − ∞ < x, y < +∞,0 < z < +∞}
2): 二维半无限空间 Laplace 方程 Green 函数：
∇ 2G ( x, y;ξ ,η ) = −δ ( x − ξ , y − η ), ( x, y ) ∈ D, (ξ ,η ) ∈ D
G ( x, y, z;ξ ,η , ζ ) z = 0 = 0
其中： Ω = {( x, y , z ) − ∞ < x, y < +∞,0 < z < +∞} 4): 二维半无限空间 Helmholtz 方程的 Green 函数：
(∇ 2 + k 2 )G ( x, y; ξ ,η ) = −δ ( x − ξ , y − η ), ( x, y ) ∈ D, (ξ ,η ) ∈ D
边界条件确定系数 A 和 B 。 4): 三维带状区域上 Laplace 方程 Green 函数：
∇ 2G ( x, y, z; ξ ,η , ζ ) = −δ ( x − ξ , y − η , z − ς ), ( x, y, z ) ∈ Ω, (ξ ,η , ζ ) ∈ Ω
G ( x, y, z;ξ ,η , ζ ) z = 0 = 0, G ( x, y, z; ξ ,η , ζ ) z = H = 0
数学物理方法 B 习题
一、利用分离变量法求解偏微分方程 1、利用分离变量法将球坐标系下拉普拉斯方程
1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞ 1 1 ∂ 2u ∂ ⎛ ∂u ⎞ θ =0 sin + r + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sinθ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
（3）
∫ J (x )dx ；
3
4、 傅里叶-贝塞尔级数展开 （ 1 ） 在 区 间 [0, ρ 0 ] 上 ， 以 J 0
( u ρ)为基（ u
0 n
0 n
是 J0
(
μ ρ0 的 根 ） ，把函数
)
f (ρ ) = μ 0 展开傅里叶-贝塞尔级数。
（2）在第一类边界条件下，把定义在区间[0，1]上的函数 f ( x ) = 1 − x 展成以
⎛
ρ2 ⎞
q0 ） ，垂直进入，下底则有同样的热流垂直流出，圆柱的侧面保持零度，求柱体内
稳定温度分布。 7、匀质圆柱，半径为 R ，高为 L ，柱侧面有均匀分布的热流进入，其强度为 q0 ， 圆柱上下两底面保持恒定温度 u0 ，求柱内温度分布？ 四、Green 函数法习题： 1、试计算如下的积分 1） ：∫
G ( x, y; ξ ,η ; ) z = 0 = 0; G ( x, y;ξ ,η ; ) z = H = 0
其中： D = {( x, y ) − ∞ < x < +∞,0 < y < H }
(1) xn ρ ) dρ ， （ a > 0 为常数） a
1
∫
a 0
ρ 3J0 (
5、半径为 R 的圆形膜，边缘固定，初始形状 u (ρ , t ) t =0 = H ⎜ ⎜1 − R 2 ⎟ ⎟ ，初始速度为 ⎝ ⎠ 0， 求膜振动情况。 6、一半径为 R 高为 H 的均匀圆柱体，上底有均匀分布的恒定热流（面积热流量为
2、用镜像法确定如下方程的 Green 函数： 1): 三维半无限空间的 Laplace 方程 Green 函数：
∇ 2G ( x, y, z; ξ ,η , ζ ) = −δ ( x − ξ , y − η , z − ς ), ( x, y, z ) ∈ Ω, (ξ ,η , ζ ) ∈ Ω G ( x, y, z;ξ ,η , ζ ) z = 0 = 0
2 ⎧ ⎪∇ u = 0, a < r < b （1） ⎨ ； 2 = = u u , u u cos θ 0 0 r =b ⎪ ⎩ r =a
(
)
（2）
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u ( r ) + (sin θ ) = 0 ,r <1,0 ≤θ ≤π ⎧ ⎪ r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ ⎨ u r =1 = cosθ ,0≤θ ≤π ⎪ ⎩
G ( x, y; ξ ,η ; ) z = 0 = 0
其中： D = {( x, y ) − ∞ < x < +∞,0 < y < +∞} 3): 三维半无限空间 Helmholtz 方程的 Green 函数：
(∇ 2 + k 2 )G ( x, y, z;ξ ,η , ζ ) = −δ ( x − ξ , y − η , z − ς ), ( x, y, z ) ∈ Ω, (ξ ,η , ζ ) ∈ Ω
dφ
1 Biblioteka Baidu4） 2π
α + 2π
φ e −ix cos(φ −ϕ ) dφ
1 2π
α + 2π
sin φ cos φ ∫ α
e −ix cos(φ −ϕ ) dφ
3、利用 Bessel 函数的递推公式计算如下积分： （1）
∫
x0
0
x 4 J1 ( x )dx
（2）
∫
x0
0
x 3 J 0 ( x )dx
e
x ( z − z −1 ) 2
=
m = −∞
∑J
+∞
m
( x )z m ,证明如下积分
im （1） J m ( x ) = 2π
（ 2） J m ( x ) =
α + 2π
∫ cos mφ α
α + 2π
e −ix cos φ dφ
(−i ) m 2π
cos mφ ∫ α
e ix cos φ dφ
可以表示成： G ( x, ξ ) = −[e
ik x − ξ
+ Aeik (b −ξ ) eik (b − x ) + Beik (ξ − a ) eik ( x − a ) ] / 2ki ；并根据
边界条件确定系数 A 和 B 。
3): 一维有限区间上 Helmholtz 方程在第二类齐次边界条件下的 Green 函数 试验证如下定解问题的解
1 2 x + 2 z 2 + 3xy + 4 xz ，其中 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 r2
(
)
3、利用勒让德多项式递推公式计算定积分：
∫
1
−1
xPk (x )Pl (x )dx
2
4、半径为 r0 的球形区域内部没有电荷，球面上电势为 u 0 sin
θ ， u 0 为常数， 求
球形区域内部的电势分布。 5、一半径为 1 的空心球，以球心为坐标原点，当表面充电至电势为