高考数学复习点拨 理解三角函数的周期性

高考数学复习点拨理解三角函数的周期性高考数学复习点拨理解三角函数的周期性

高考数学复习点拨理解三角函数的周期性

认知三角函数的周期性

(+2kπ)=sin，x(k∈z及)cos(x+2kπ)=cosx(k∈z)成立，y=sinx，x∈r和等式sinx

y=cosx，x∈r的图象内要2π重复．

函数周期性定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+t)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期．

1．认知定义时，必须把握住定义域内任一个x都满足用户f(x+t)=f(x)设立才行及π5ππ⎛ππ⎛⎛5ππ⎛⎛ππ⎛例如：sin+⎛=sin，sin+⎛=sin，但sin+⎛≠sin，446⎛42⎛⎛42⎛⎛62⎛

π不是y=sinx的周期．2

周期并不惟一，若t就是y=f(x)的周期，那么2t也就是y=f(x)的周期．这是因为

f(2t+x)=f[t+(t+x)]=f(t+x)=f(x)；若t就是y=f(x)的周期，k∈z且k≠0，则kt也就是f(x)的周期．2π就是函数y=sinx和y=cosx的周期，那么2kπ(k∈z且k≠0)也就是

y=sinx和y=cosx∴的周期．

2．最小正周期的概念

如果在周期函数f(x)的所有周期中存有一个最轻的正数，那么这个最轻正数就叫作f(x)的最轻正周期．

-2π，4π，-4π，…中，存在最小正数2π，那么2π就是例如：函数y=sinx的周期2π，

y=sinx的最轻正周期．函数y=cosx的最轻正周期也就是2π．基准1谋以下函数的最轻正周期t．

（1）f(x)=3sinx；

（2）f(x)=sin2x；

π⎛⎛1（3）f(x)=2sinx+⎛．4⎛⎛2

求解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π)，最轻正周期t=2π．

（2）f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π)，最小正周期t=π；

π⎛π⎛1⎛1⎛⎛1（3）

f(x)=2sinx+⎛=2sinx++2π⎛=2sin⎛(x+4π)+4⎛4⎛2⎛2⎛⎛2最小正周期t=4π．π⎛=f(x+4π)，4⎛⎛

2π总结通常规律：y=asin(ωx+ϕ)，y=acos(ωx+ϕ)的最轻正周期就是

y=atan(ωx+ϕ)的最小正周期是ω；π．ω

π⎛⎛1基准2澄清：y=2sinx+⎛的周期为2π．3⎛⎛2

π⎛2π⎛1=4π，证明：y=2sinx+⎛的周期为123⎛⎛2

根据函数的图象特征，所述函数的周期增加一倍，故其周期为2π．

注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．