插值型求积公式及其之间的比较

摘要

在实际应用中,常常会遇到积分制的计算,插值法是常见的求积分方法.牛顿-柯特斯与高斯型求积公式是两种不同的插值法.前者是等距节点下的求积公式,后者是非等距节点下的积分公式.牛顿-柯特斯求积公式是计算低阶积分的方法,而高斯型求积公式是计算高阶积分的方法.

梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式是最简单的牛顿-柯特斯求积公式.公式的导出及其分类,余项,代数精度,收敛性与稳定性,及其几何意义,这些都是本课题重点介绍的内容.而高斯型求积公式中主要介绍常用的高斯型求积公式,不同的区间,不同的权函数导致高斯点和高斯系数的不同,从而形成不同的公式,其中重点讲解了高斯-勒让德求积公式.

关键词余项;梯形求积公式;辛普森求积公式;流程图;代数精度

目录

引言 (1)

第一章牛顿-柯特斯公式 (2)

§1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念 (2)

§1.2 N-C公式 (4)

§1.2.1 公式的导出 (4)

§1.2.2 梯形求积公式 (5)

§1.2.3 辛普森求积公式 (5)

§1.2.4 柯特斯求积公式 (7)

第二章高斯型求积公式 (10)

§2.1 高斯型求积公式的有关定义 (10)

§2.2 利用正交多项式构造高斯求积公式 (12)

§2.3 高斯-勒让德公式的详细总结 (13)

§2.4 插值型求积公式之间的比较 (11)

参考文献 (16)

附录A (17)

附录B (18)

附录C (19)

引言

在工程上的实际计算中想利用求原函数的方法来求定积分常会遇到困难.这是因为工程上的被积函数)

f有时比较复杂,求原函数十分困难或者根本找不到可用初

(x

等函数表示的原函数,有时我们甚至还无法知道被积函数)

f的解析表达式,而只知

(x

道一组对应的离散数据.因此就要利用计算机进行数值计算,以确定定积分的值,这就是数值积分.

数值积分最有效的算法是插值型求积公式.

插值型求积公式分为两类,一类是等距节点下的求积公式;另一类是非等距节点下的求积公式.前者包括梯形求积公式,普森求积公式,柯特斯求积公式;后者包括高斯型求积公式.

插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一.梯形求积公式对所有次数不超过1 的多项式是准确成立的;辛普森求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的;柯特斯求积公式对所有次数不超过 5 多项式是准确成立的.此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.由于龙格现象存在,不难得知,牛顿-柯特斯求积公式不一定具有收敛性.稳定性和收敛性可知,数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式.而高斯型求积公式是最高代数精度的插值型求积公式.使用高斯型求算例中积分,数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化.

本课题最要介绍插值型求积公式的区别,即等距节点下牛顿-柯特斯公式与非等距节点下的高斯型求积公式的比较,包括余项,代数精度的比较,收敛性与稳定性的对比.第一章介绍牛顿-柯特斯的相关知识,而第二章介绍高斯型求积公式的有关知识.第三章详细讲述等距节点下的公式与非等距公式的比较.

第一章 牛顿-柯特斯公式

借助插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式.一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式.本章主要介绍等距节点下的插值型求积公式,即低阶N C -公式.低阶N C -公式是很有代表性的插值型求积公式.公式的导出,余项的计算,代数精度的证明都将是本章要求掌握的知识.

§1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念

定义1.1 依据积分中值定理,()()()b

a f x dx

b a f ξ=-⎰,就是说,低为b a -而高为ξ

的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积.

取[,]a b 内若干个节点k x 处的高度()k f x ,通过加权平均的方法射年工程平均高

度()f ξ,这类求积公式称机械求积公式

()()n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰

式中k x 称为求积节点,k A 称为求积系数.

定义1.2 由插值理论可知,任意函数()f x 给定一组节点01n a x x x b =<<<= 后,可用一n 次多项式()n P x 对其插值,即()()()n n f x P x R x =+,因此

()()()b

b b

n n a

a

a

f x dx P x dx R x dx =+⎰

⎰⎰.

当()n P x 为拉格朗日插值多项式时,即0

()()()n

n k k k P x l x f x ==∑,则

(1)1

11

()

()()()()(1)!

(())()[]

()[]

n n

b

b b

k

k

a

a

a

k n

b k k n a

k n

k k n k f f x dx l x f x dx x dx

n l x dx f x R f A f x R f ξω+====++=+=+∑⎰

⎰

⎰

∑⎰∑

其中

011011()()()()

()()()()()b

b k k n k k a a

k k k k k k n x x x x x x x x A l x dx dx

x x x x x x x x -+-+----==----⎰⎰

(1)()

[]()(1)!

n b

n a

f R f x dx n ξω+=+⎰

通常称为插值型求积公式.

定义 1.3 如果求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确成立.但对于1m +的多项式不能准确成立,则称该公式具有m 次代数精度

说明：

)a 若机械求积公式的代数精度0,m ≥则有0n

i i A b a ==-∑.

)b 若机械求积公式的代数精度为m ,即当()1,,,m f x x x = 时有

()()n

b

i i a

i f x dx A f x ==∑⎰

则对任意次数不超过m 的k 次多项式(),k P x k m ≤有

()()n

b

k i k i a

i P x dx A P x ==∑⎰

)c 代数精度的高低,从一侧面反应求积公式的精度高低.

定义1.4 在求积公式0

()()n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰中,若0

0lim ()()n

b

k k a

n k h A f x f x dx →∞=→=∑⎰其中

11max()i i i n

h x x -≤≤=-,则称求积公式是收敛的.

定义1.5对任给0ξ>,若0,δ∃>只要|()|(0,1,,),k k f x f k n δ-≤=

就有

|()|n

n

k k k k k k A f x A f ξ==-≤∑∑

则称求积公式是稳定的.