插值型求积公式及其之间的比较
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式（原创版）目录1.数值积分的概念和背景2.插值求积公式的定义和原理3.插值求积公式的实际应用4.插值求积公式的优缺点分析正文一、数值积分的概念和背景数值积分是数值分析中的一种重要方法，它是求解连续函数在某一区间上的定积分的一种近似方法。
在实际应用中，有些函数的积分无法求出解析解，这时就需要借助数值积分方法来求解。
数值积分的方法有很多种，其中插值求积公式是一种常用的方法。
二、插值求积公式的定义和原理插值求积公式是一种基于插值原理的数值积分方法。
其基本思想是先对被积函数进行插值，然后在插值点上求和，最后得到积分结果。
插值求积公式的具体步骤如下：1.选择插值函数，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等；2.对被积函数进行插值，得到一系列插值点上的函数值；3.在插值点上求和，得到积分的近似值。
三、插值求积公式的实际应用插值求积公式在实际应用中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，可以用插值求积公式来计算曲线下的面积；在物理学中，可以用插值求积公式来计算物体的质心；在金融学中，可以用插值求积公式来计算投资组合的期望收益等。
四、插值求积公式的优缺点分析插值求积公式具有以下优点：1.适用范围广，可以应用于各种类型的函数；2.计算精度较高，随着插值点数的增加，计算结果的误差会逐渐减小；3.具有较好的稳定性，对于一些具有奇点的函数，插值求积公式仍能得到较好的结果。
然而，插值求积公式也存在一些缺点：1.插值求积公式的计算复杂度较高，需要进行多次插值和求和操作；2.对于一些非线性函数，插值求积公式的精度可能会受到影响。
综上所述，插值求积公式是一种实用的数值积分方法，具有一定的优点和缺点。
计算方法 数值积分 插值型积分
f( a 0 x a 1 x ) a 2 x 2 … a m x m
是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的， 则称该求积公式具有m次代数精度。
若求积公式（4.1）的代数精度为n，则其系数A k 应满足:
A 0 A 1 … A n b a A 0 x 0A 1 x 1 …A n x nb 22 a 2
三个求积分公式
构造出一些求积分值的近似公式。
例如分别取：
f(ξ)
f(a) f(b) 2
梯形公y式中的
f(ξ)
f(ξ) f(ab) 2
中矩形y公式中的 f(ξ)
则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。
① 梯形公式
bf(x )d 1(b x a)[ ff((ab ))
a
2
y=f(x)
aa
b bx
用梯形面积代表积分值
➢ 因而需要研究一种新的积分方法：数值解法来建立
积分的近似计算方法。
将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替 复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，
用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本
章讨论数值积分的主要内容。
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机械求积方法
4.1 数值积分概述
4.1.1 数值积分的基本思想
bf(x) d b x af(a f)(b)
a
2
取f(x)=1，显然上式两端相等。
取f(x)=x, 左 b x d 1 (2 x b a 2 ) b a ( a b 右 )
a
2
2
取f(x)=x2 , 左 b x 2 d 1 x (3 b a 3 ) b a (2 a b 2 ) 右
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。
在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。
插值法的最简单计算公式是线性插值法。
线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。
其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。
通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。
举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。
假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。
根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。
通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。
除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。
在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。
在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。
通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。
插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。
通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。
计算方法数值积分_插值型积分
计算方法数值积分_插值型积分
一．概述
插值型积分是数值积分的一项重要方法，它是将要计算的曲面上的积分点根据插值函数或其中一种样条函数，插值成一条直线之后再求解。
插值型积分主要有牛顿-拉夫逊插值内插法、Chebyshev插值内插法、余弦和正弦插值内插法和Hermite插值内插法等，主要用来解决二元函数、多项式、函数的积分。
同时，插值型积分可以用来求解非常复杂的不可积函数，也可以用于求解紧密的积分，可以节省一定的计算时间。
二、牛顿-拉夫逊插值内插法
牛顿-拉夫逊插值内插法是插值型积分中最常用的方法，它通过在给定的多项式基函数上拟合曲线，计算曲线上积分点的函数值，然后把它们拟合到牛顿-拉夫逊插值函数中，最后将插值函数作为定积分的函数，通过求解插值函数的积分来解决问题。
牛顿-拉夫逊插值内插法一般采用牛顿-拉夫逊插值函数，它是基于多项式的函数，由节点上的函数值和其导数值建立插值函数，其积分也可以由插值函数和它的导数求解。
牛顿-拉夫逊插值函数具有以下特点：
1.多项式阶数不受限；
2.插值函数结果是一条曲线；
3.可以非常精确地表示复杂的函数；。
插值型求积公式的求积系数
插值型求积公式的求积系数插值型求积公式是一种常用的数值积分方法，其核心在于通过已知的函数值构造出一个插值多项式，再将积分转化为该多项式的积分。
而求积系数，则是决定插值多项式精度和计算效率的关键因素。
下面是插值型求积公式中常用的三种求积系数：1. 牛顿—柯茨公式的求积系数牛顿—柯茨公式通过插值多项式的递推方式来求解积分。
其求积系数可用牛顿插值多项式的差商来表示。
具体公式如下：$$\int_{x_{0}}^{x_{n}} f(x) d x \approx w_{0} f\left(x_{0}\right)+w_{1} f\left(x_{1}\right)+\cdots+w_{n} f\left(x_{n}\right)$$其中，$$w_{0}=h,\ \ w_{i}=\frac{h}{i !} \prod_{j=0}^{i-1}\left(n-j\right)$$2. 拉格朗日公式的求积系数拉格朗日公式的求积系数是通过对插值多项式的积分来求解的。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \sum_{i=0}^{n} f\left(x_{i}\right) \int_{a}^{b} L_{i}(x) d x$$其中，$$\int_{a}^{b} L_{i}(x) d x=\frac{b-a}{n+1} \prod_{j=0, j \neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$$3. 均值型求积公式的求积系数均值型求积公式的求积系数是通过对插值多项式在插值点上的值进行平均来求解的。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2 n} i\right)$$以上三种求积系数组合使用，在不同的数值积分问题中都能够提供较为准确和高效的计算结果。
插值型求积公式的代数精度
插值型求积公式的代数精度
1插值型求积
插值型求积是一种求解一元多项式和函数在一系列给定点上的积分值的数值积分方法，该方法对于函数积分及一元多项式的积分具有很高的代数精度。
此外，它也可以用来计算不同函数在一系列给定点上的积分值，从而得出其函数值或一元多项式的积分值，使得积分与数值分析之间可以很好地联系起来。
2代数精确估计
插值型求积法可以用于估计函数和一元多项式在一系列给定点上的积分值，并且具有很高的代数精度。
这是因为它利用数值拟合技术来计算一系列给定点上的积分值，精确估计因而得出的积分值，使积分精度不会被取样点间隔所影响。
此外，它还考虑了函数与拟合曲线之间可能存在的差异，从而进一步改善了积分精度。
所以综上所说，插值型求积法可以提供一种非常精确的求解一元多项式和函数在一系列给定点上的积分值的数值积分方法。
3有效方法
插值型求积是一种有效的积分计算方法，可以解决积分问题的复杂性和准确性，使积分计算精度更高。
同时，它还提供了一系列可选的拟合曲线，通过拟合这些曲线，精确估计积分值，从而使得积分精度得到了极大的改善。
另外，它还支持多种操作系统，如Windows、
Linux和Mac OS，因此，可以在不同的操作系统上运行，灵活的安装到各种不同的环境中。
4结论
插值型求积是一种有效的积分计算方法，用于计算一元多项式和函数在一系列给定点上的积分值的数值积分方法，它用数值拟合技术来计算积分值，具有很高的代数精度，可以克服积分中函数复杂性与准确性问题，使积分应用更加精准可靠，被广泛运用于求解科学经济学及其他学科领域的复杂数值计算中。
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式摘要：一、数值积分的概念与重要性1.数值积分的定义2.在科学计算中的应用二、插值求积公式介绍1.插值法的概念2.插值求积公式的推导三、插值求积公式的应用1.数值积分问题的解决2.实际问题的求解四、结论与展望1.插值求积公式的重要性2.未来发展方向正文：数值积分是一种通过离散点来近似计算连续函数积分的方法，它在科学计算中具有广泛的应用，例如在物理、工程、经济等领域。
通过数值积分，我们可以求解一些无法用解析方法求解的积分问题。
插值求积公式是一种基于插值法的数值积分方法。
首先，我们介绍插值法的概念。
插值法是一种通过已知离散点拟合连续函数的方法。
常见的插值法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值求积公式利用插值法，将原积分区间分割成若干子区间，通过对子区间上的函数值进行插值拟合，得到原函数在该点处的值。
插值求积公式的推导可以通过数值积分的基本思想进行。
首先，我们选取一个插值节点序列，将原积分区间分割成若干子区间。
然后，对每个子区间选取一个代表点，计算原函数在该点处的值。
接下来，利用插值法，根据已知离散点拟合连续函数，得到原函数在插值节点处的值。
最后，将插值节点处的函数值代入数值积分公式，计算原函数的积分值。
插值求积公式在数值积分问题的解决中具有重要作用。
例如，对于一些无法用解析方法求解的积分问题，我们可以利用插值求积公式进行数值积分，得到近似解。
此外，插值求积公式还可以应用于实际问题的求解，例如在经济学中，可以通过插值求积公式计算某种经济现象的概率分布。
综上所述，插值求积公式在数值积分中具有重要意义。
作为一种基于插值法的数值积分方法，它为我们解决一些无法用解析方法求解的积分问题提供了可能。
插值型求积公式
插值函数的应用
作业
2、4、5（1）、6、7、8
5.1 基于插值公式的数值积分
5.1.1 数值求积公式及其代数精度 5.1.2 复化求积公式
5.2 Gauss型求积公式
5.2.1 Gauss型求积公式
5.1.1 数值求积公式及其代数精度 由 Newton-Leibniz公式，连续函数 f ( x) 在 [a, b]上的定积分
故Simposon数值求积公式具有3次代数精度。
当然也可以通过求积余项估计, 得到代数精度．以下先推导 几个求积余项，进而指出n+1点Newton-Cotes公式的代数精度。 梯形公式的求积余项： 由于
f ( ) f ( x) p1 ( x) ( x a )( x b) 2
( x ) [ a, b]
由等距节点的Lagrange插值基函数对称，且满足单位分解性
li ( x) lni ( x)
l ( x) 1
i 0 i
n
因此N-C公式的求积系数是对称的，并且满足“单位分解性”
Ak lk ( x)dx
b
k 0
n
n
b n
k 0
a
a
l ( x)dx 1dx
数值求积公式
本节只讨论 ( x) 1 的情形。 所谓数值求积就是用 求积系数
I n ( f ) Ak ( xk )
k 0
近似计算 I ( f ) 的值。 其中 Ak (k 0, 1, , n) 是与 f ( x)无关的常数， 称为求积系数, [a, b] 上的点 xk (k 0, 1, , n) 称为求积节点。
k 0
k k
n
几种插值型求积公式的总结及应用的摘要 摘要
几种插值型求积公式的总结及应用的摘要
摘要
在实际应用中,常常会遇到积分制的计算,插值法是常见的求积分方法.牛顿-柯特斯与高斯型求积公式是两种不同的插值法.前者是等距节点下的求积公式,后者是非等距节点下的积分公式.牛顿-柯特斯求积公式是计算低阶积分的方法,而高斯型求积公式是计算高阶积分的方法.
梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式是最简单的牛顿-柯特斯求积公式.公式的导出及其分类,余项,代数精度,收敛性与稳定性,及其几何意义,这些都是本课题重点介绍的内容.而高斯型求积公式中主要介绍常用的高斯型求积公式,不同的区间,不同的权函数导致高斯点和高斯系数的不同,从而形成不同的公式,其中重点讲解了高斯-勒让德求积公式.
关键词余项;梯形求积公式;辛普森求积公式;流程图;代数精度。
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
的误差） 定理 2（柯特斯公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的 （柯特斯公式的误差 在 上具有连续的 六阶导数， 柯特斯求积公式的误差为 六阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 8 b a 7 (6) R4 ( f ) = ( ) f (η ) , η ∈ (a, b) 945 4
1 b 证 R1 ( f ) = ∫ f ′′ (ξ )( x a )( x b ) dx 2 a 中连续， 中连续 由于(x-a)(x-b)在[a, b] 中不变号， f ′′(ξ ( x )) 在[a, b ]中连续， 中不变号， 由于 在
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
由复化梯形公式的余项知变化不大时由此得到近似关系式收敛速度慢对于复化simpson公式cotes公式可以类似得到对于复化梯形公式加速收敛应用步长逐次减半得到的复化梯形值复化simpson值复化cotes值与精确值的比较虽然可以用复合求积公式的余项来估计近似值的误差也可以根据精度要求用余项公式来确定积分区间的等分数即步长
数值求积公式及代数精度
yn+1= yn+ h[c1k1+ c2k2]
k1=f (xn, yn) k2=f(xn+λ2h, yn+μ21hk1)
( n=0,1,······ )
四阶龙格-库塔公式(称为经典公式)
yn+1= yn+ h[k1+2k2+2k3+k4]/6
k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+0.5h, yn+0.5hk2), k4=f(xn+h, yn+hk3)
14/18
Ex3. 定积分
b
f (x)dx
的计算问题可化为初值问题
a
y’= f (t) , y(a)=0
N1
试证明用Euler公式计算结果为 y(b) f(tn)h
其中, h = (b – a )/N,
tn= a + n h
n0
( n = 0,1,2,···, N)
Ex4. 试证明4阶Range-Kutta公式解[a, b]内初值问题
《数值分析》习题课 IV
数值求积公式及代数精度 数值求导方法与截断误差 一阶常微分方程数值法 局部截断误差与精度
插值型求积公式:
b
n
f(x)d x
a
A j f(xj)
n
j0
拉格朗日插值 f(x) lj(x)f(xj)
令 求积余项
j0
A ja b lj(x )d,x (j 0 ,1 ,2 , ,n )
y’= f (x) , y(a)=0
结果有: y (b ) h 6 N n 0 1 [f(x n ) 4 f(x n 1 /2 ) f(x n 1 )]
具有6个互异节点的插值型求积公式,代数精度
具有6个互异节点的插值型求积公式,代数精度一、概述插值型求积公式是数值积分中的重要内容，在实际工程和科学计算中有着广泛的应用。
插值型求积公式的代数精度是评判其优劣的重要标准之一。
本文将讨论具有6个互异节点的插值型求积公式及其代数精度。
我们将介绍插值型求积公式及其基本概念，然后详细分析具有6个互异节点的插值型求积公式的构造方法和性质，最后给出其代数精度的理论分析和数值实例。
二、插值型求积公式的基本概念插值型求积公式是利用已知函数在一些离散节点上的函数值，对函数的积分进行数值近似的方法。
对于区间[a,b]上的函数f(x)，我们希望求取其积分∫f(x)dx的近似值。
插值型求积公式通过构造插值多项式Pn(x)来逼近f(x)，再对插值多项式Pn(x)进行积分得到近似值。
插值型求积公式通常由节点和权值两部分构成，节点是离散的取点，权值是节点处的函数值在积分中的系数。
三、具有6个互异节点的插值型求积公式的构造方法对于具有6个互异节点的插值型求积公式，我们可以采用拉格朗日插值法来构造插值多项式。
设节点为x0,x1,x2,x3,x4,x5，相应的函数值为f0,f1,f2,f3,f4,f5。
拉格朗日插值多项式Pn(x)的表达式为：Pn(x)=ΣfiLi(x)，i=0,1,2,3,4,5其中Li(x)是拉格朗日基函数，表达式为：Li(x)=Π(x-xj)/(xi-xj)，i≠j，j=0,1,2,3,4,5根据拉格朗日插值法可以得到具有6个互异节点的插值型求积公式的构造方法。
四、具有6个互异节点的插值型求积公式的性质分析具有6个互异节点的插值型求积公式的性质与节点的选取和插值多项式的构造方法有关。
一般来说，节点选取越均匀，插值型求积公式的代数精度越高。
插值型求积公式的误差估计和收敛性也是其重要性质之一。
通过分析插值型求积公式的性质，我们可以更好地理解其在数值计算中的应用。
五、具有6个互异节点的插值型求积公式的代数精度分析具有6个互异节点的插值型求积公式的代数精度是指其能够准确计算多高阶多项式的积分。
插值型求积公式的充要条件
插值型求积公式的充要条件插值型求积公式的充要条件插值型求积公式是一个非常重要的计算数值积分的方法，可以用来求解无法用解析式计算的积分，特别是在数值计算领域具有非常广泛的应用。
在本文中，我们将详细讨论插值型求积公式的充要条件。
一、插值型求积公式的概念插值型求积公式是利用已知数据点上的函数值，构造一个插值多项式，再将插值多项式在区间[a,a]上进行积分而得到的数值积分公式。
这种数值积分方法的优点是求积精度高，对于不可积函数也能进行数值积分。
二、插值型求积公式的基本形式在区间[a,a]上，插值型求积公式的基本形式为：∫aa a(a)aa≈∑a=0aaaa(aa)其中，aa为积分权重，a(aa)为插值多项式在节点aa上的函数值。
三、插值型求积公式的误差1.误差的表达式插值型求积公式的误差可以用以下公式来表示：∫aa a(a)aa−∑a=0aaaa(aa)=a(a)(a−a)a+1(a!)2∏a=0a(a−aa) 其中，a∈[a,a]，表示插值多项式的余项。
2.误差的最大值插值型求积公式的误差最大值可以用以下公式计算：|a(a)(a−a)a+1(a!)2∏a=0a(a−aa)|≤a(a−a)a+2(a!)3其中，a为函数a(a) 在区间[a,a]上的最大值。
四、插值型求积公式的充要条件判断一个插值型求积公式的充要条件，需要满足以下两个条件：1.插值节点严格单调插值的节点aa必须是在区间[a,a]上严格单调的。
如果节点不是严格单调的，可能会导致积分方法的误差增大，从而影响计算结果的准确性。
2.积分权重严格正定插值型求积公式的积分权重aa必须满足严格正定的条件，也就是aa＞0。
如果积分权重不是正定的，可能会导致积分方法的精度下降，从而影响计算结果的准确性。
综上所述，插值型求积公式在应用时需要考虑节点和权重的选择，必须满足严格单调和严格正定的条件。
只有在满足这些条件的情况下，插值型求积公式才能够得到准确的数值积分结果，具有非常广泛的应用价值。
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式是通过在指定区间上将被积函数进行插值，并利用插值多项式的性质进行数值积分的方法。
常见的数值积分的插值求积公式有以下几种：
1. 矩形公式：取被积函数在每个小区间上的某个点的函数值作为近似值，将小区间的长度乘以相应的函数值进行累加，即可得到近似的积分值。
常见的矩形公式有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
2. 梯形公式：将每个小区间上的函数值进行线性插值，形成一系列的梯形，再将所有梯形的面积进行累加，即可得到近似的积分值。
3. 辛普森公式：利用三次插值多项式，将被积函数在每个小区间上近似地表示为一个二次多项式，并用该多项式的积分值代替对应小区间的积分值，再将所有小区间的积分值进行累加，即可得到近似的积分值。
这些插值求积公式的具体计算方法可以参考数值积分的相关课程教材或者算法手册。
插值型数值求积公式
常用Gauss型求积公式有Gauss-Laguerre求积公式和Gauss-Laguerre求积公式等。
Gauss-Laguerre求积公式：
[-1，1]上关于权 的Gauss型求积公式对应的Gauss点和求积系数列在表4-3中
表4-3
1
0
2
5
±
±
2
1
3
6
4
对于一般区间 上带权 的Gauss权型求积公式，可通过变量变换，由Gauss-Legendre求积公式得到：
0.9453087205
2
0.707167812
0.8862269255
3
1.2247448714
0
0.2954089752
1.1816359006
6
2.3506049737
1.3358490740
0.4360774119
0.0045300099
0.1570673203
0.7246295952
4
1.6506801239
§2Gauss型求积公式
2．1最高代数精度求积公式
由推论1知，插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定。节点数目固定后，节点分布不同，所达到的确良代数精度也不同。
例4求节点 使插值型求积公式
（2.1）
具有尽可能高的代数精度。
解首先有
由于是插值型的，其代数精度 。令 ，有 ，及
故只要有 ，就有 。进一步取 ，有
当 时， 是数值稳定的。当 时， 有正有负，而且有
从而高阶Newton-Cotes公式是数值不稳定的。
我们可以证明，存在 上的连续函数 ，对Newton-Cotes公式来说，不成立 。即Newton-Cotes公式当时 ，对连续函数的数值积分不能保证收敛。
插值型求积公式的比较
插值型求积公式的比较信科1304 魏佳铭一、问题引入在计算过程中要求I(f)=∫f (x )dx ba根据Newton-Leibniz 公式∫f (x )dx b a =F(a)-F(b)可以计算得出但是在实际计算中存在原函数表达式复杂，求解困难；f(x)表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表等问题，使问题无法求解。
二、方法引进为得出数值积分的算法，我们对其做离散化处理来简化问题，方便计算。
若存在实数x 1,x 2…….x n ;A 1,A 2…..A n ,且任取f(x)∈C[a,b]都有∫f(x)dx b a≈∑A i f(x i )ni=1为一个数值求积公式。
A i 称为求积系数，x i 称为求积节点，而称 R(f)=∫f(x)dx ba −∑A i f(x i )n i=1为求积余项评价一个求积公式的优劣可以用求积余项说明，通常用与求积余项有关的所谓代数精度来评价求积余项。
三、插值型求积公式插值型求积公式借助多项式插值函数来构造求积公式。
常用的插值型求积公式有Newton-Cotes 求积公式及Gauss 求积公式。
1. Newton-Cotes 求积公式（1） n 点的Newton-Cotes 公式（等距节点求积公式）为了使插值型求积系数A i 计算更简单，将求积节点x i 取为[a,b]上的等距节点x i =a +(i −1)h, h =b−an−1,i =1,2,…..n令积分变量x=a+th 作变换，当x ∈[a,b]时，有t ∈[0,n-1],于是有插值型求积公式的求积系数为A i =∫∏(x −x k x i −x k)dx n k=1，k≠iba记C i (n)=1n−1∫∏(t−k+1i−k)dt n k=1，k≠in−1则有A i =(b −a )C i (n ),i =1,2,…..n ，易证∑C i(n)n i=1=1得∫f(x)ba dx ≈（b −a ）∑C i (n)f(x i )n i=1（2） 2点的Newton-Cotes 公式（梯形公式）∫f(x)badx ≈b −a2(f (a )+f(b)) 几何意义：用一条过两点的直线近似代替被积函数的曲线，从而用一个梯形 的面积来近似代替一个曲边梯形的面积。
（完整word版）几种插值法的应用和比较
（完整word版）⼏种插值法的应⽤和⽐较插值法的应⽤与⽐较信科1302 万贤浩 132710381格朗⽇插值法在数值分析中，拉格朗⽇插值法是以法国⼗⼋世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗⽇命名的⼀种多项式插值⽅法.许多实际问题中都⽤函数来表⽰某种内在联系或规律，⽽不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进⾏观测，在若⼲个不同的地⽅得到相应的观测值，拉格朗⽇插值法可以找到⼀个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗⽇（插值）多项式.数学上来说，拉格朗⽇插值法可以给出⼀个恰好穿过⼆维平⾯上若⼲个已知点的多项式函数.拉格朗⽇插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗⽇在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值⽅法，从此他的名字就和这个⽅法联系在⼀起.1.1拉格朗⽇插值多项式图1已知平⾯上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗⽇多项式：)(x L （⿊⾊）穿过所有点.⽽每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的⼀点，并在其它的三个点的x 值上取零.对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗⽇多项式L 只有⼀个.如果计⼊次数更⾼的多项式，则有⽆穷个，因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满⾜条件.对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点：),(00y x ,……,),(k k y x ,其中i x 对应着⾃变量的位置，⽽i y 对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的i x 都互不相同，那么应⽤拉格朗⽇插值公式所得到的拉格朗⽇插值多项式为：)()(0x l y x L j kj j ∑==，其中每个)(x l j 为拉格朗⽇基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：)()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j kj i i ij i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏ΛΛ，拉格朗⽇基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1，在其它的点i x ，j i ≠ 上取值为0. 例：设有某个多项式函数f ，已知它在三个点上的取值为：10)4(=f ， ? 25.5)5(=f ， ?1)6(=f ，要求)18(f 的值.⾸先写出每个拉格朗⽇基本多项式：())64)(54()6)(5(0----=x x x l ；())65)(45()6)(4(1----=x x x l ；())56)(46()5)(4(2----=x x x l ；然后应⽤拉格朗⽇插值法，就可以得到p 的表达式（p 为函数f 的插值函数）：)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=)56)(46()5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----?+----?+----?=x x x x x x)13628(412+-=x x ，此时数值18就可以求出所需之值：11)18()18(-==p f .1.2插值多项式的存在性与唯⼀性存在性对于给定的1+k 个点：),(),,(00k k y x y x K 拉格朗⽇插值法的思路是找到⼀个在⼀点j x 取值为1，⽽在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样，多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y ，⽽在其他点取值都是0.⽽多项式()∑==kj jj x ly x L 0)(就可以满⾜∑==++++==ki j j j i y y x l y x L 0000)()(ΛΛ，在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+-ΛΛ，它在点j x 取值为：)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ΛΛ.由于已经假定i x 两两互不相同，因此上⾯的取值不等于0.于是，将多项式除以这个取值，就得到⼀个满⾜“在j x 取值为1，⽽在其他点取值都是0的多项式”：)()()()()()()()(111100k j k j j j j j j j i j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx l --------=--=++--∏ΛΛ，这就是拉格朗⽇基本多项式. 唯⼀性次数不超过k 的拉格朗⽇多项式⾄多只有⼀个，因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗⽇多项式：1p 和2p ，它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式)())((10k x x x x x x ---Λ的倍数.因此，如果这个差21p p -不等于0，次数就⼀定不⼩于1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差，它的次数也不超过k ，所以021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯⼀性.1.3性质拉格朗⽇插值法中⽤到的拉格朗⽇基本多项式n l l l ,,,10Λ（由某⼀组n x x x <<<Λ10 确定）可以看做是由次数不超过n 的多项式所组成的线性空间：[]X n K 的⼀组基底.⾸先，如果存在⼀组系数：n λλλ,,,10Λ使得，01100=+++=n n l l l P λλλΛ，那么，⼀⽅⾯多项式p 是满⾜n n x P x P x P λλλ===)(,,)(,)(1100Λ的拉格朗⽇插值多项式，另⼀⽅⾯p 是零多项式，所以取值永远是0.所以010====n λλλΛ，这证明了n l l l ,,,10Λ是线性⽆关的.同时它⼀共包含1+n 个多项式，恰好等于[]X n K 的维数.所以n l l l ,,,10Λ构成了[]X n K 的⼀组基底.拉格朗⽇基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n 次多项式）.1.4优点与缺点拉格朗⽇插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中⼗分⽅便，然⽽在计算中，当插值点增加或减少⼀个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，⾮常繁琐.这时可以⽤重⼼拉格朗⽇插值法或⽜顿插值法来代替.此外，当插值点⽐较多的时候，拉格朗⽇插值多项式的次数可能会很⾼，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的⼏个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很⼤的偏差.这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段⽤较低次数的插值多项式.2 重⼼拉格朗⽇插值法重⼼拉格朗⽇插值法是拉格朗⽇插值法的⼀种改进.在拉格朗⽇插值法中，运⽤多项式)())(()(10k x x x x x x x l ---=Λ，图（2）拉格朗⽇插值法的数值稳定性：如图(2)，⽤于模拟⼀个⼗分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现⼀个⼤的偏差（图中的14⾄15中间）可以将拉格朗⽇基本多项式重新写为：∏≠=--=kji i i j jj x x x x x l x l ,0)(1)()(，定义重⼼权∏≠=-=k ji i i j j x x ,0)(1ω，上⾯的表达式可以简化为：jjj x x x l x l -=ω)()(，于是拉格朗⽇插值多项式变为：j kj jjy xx x l x L ∑=-=0)()(ω，（1）即所谓的重⼼拉格朗⽇插值公式（第⼀型）或改进拉格朗⽇插值公式.它的优点是当插值点的个数增加⼀个时，将每个j ω都除以)(1+-k j x x ，就可以得到新的重⼼权1+k ω，计算复杂度为)(n O ，⽐重新计算每个基本多项式所需要的复杂度)(2n O 降了⼀个量级.将以上的拉格朗⽇插值多项式⽤来对函数1)(≡x g 插值，可以得到：∑=-=?kj jjx x x l x g x 0)()(,ω，因为1)(≡x g 是⼀个多项式. 因此，将)(x L 除以)(x g 后可得到：∑∑==--=k j jjk j jjx x x x x L 00)(ωω，（2）这个公式被称为重⼼拉格朗⽇插值公式（第⼆型）或真正的重⼼拉格朗⽇插值公式.它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代⼊x 值计算)(x L 的时候不必计算多项式)(x l 它的另⼀个优点是，结合切⽐雪夫节点进⾏插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于⽆穷时，最⼤偏差趋于零.同时，重⼼拉格朗⽇插值结合切⽐雪夫节点进⾏插值可以达到极佳的数值稳定性.第⼀型拉格朗⽇插值是向后稳定的，⽽第⼆型拉格朗⽇插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很⼩.3.分段线性插值对于分段线性插值，我们看⼀下下⾯的情况.3.1问题的重诉已知211)(xx g +=,66≤≤-x ⽤分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差.1.在[-6，6]中平均选取5个点作插值；2.在[-6，6]中平均选取11个点作插值；3.在[-6，6]中平均选取21个点作插值；4.在[-6，6]中平均选取41个点作插值.3.2问题的分析在数值计算中，已知数据通常是离散的，如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值，就需要根据这些已知数据进⾏插值.⽽本题只提供了取样点和原函数)(x g .分析问题求解⽅法如下：（1）利⽤已知函数式211)(xx g +=计算取样点X 对应的函数值Y ；将Y X ,作为两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是⼀个单变量函数，可利⽤⼀维插值处理该数据插值问题.⼀维插值采⽤的⽅法通常有拉格朗⽇多项式插值（本题采⽤3次多项式插值），3次样条插值法和分段线性插值.（2）分别利⽤以上插值⽅法求插值.以0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，并将每⼀点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利⽤所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数)(x g 的图象进⾏对⽐.3.3问题的假设为了解决上述分析所提到的问题，本题可以作出如下假设：（1）假设原函数)(x g 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.⽽其他各点的函数值都是未知量，叙⽤插值函数计算.（2）为了得到理想的对⽐函数图象，假设)(x g 为已知的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，分别计算插值函数和标准函数)(x g 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进⾏对⽐.3.4分段线性插值原理给定区间[]b a ,, 将其分割成b x x x a n =<<<=Λ10，已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为),1,0)((n k x f y k k Λ==；求⼀个分段函数)(x I k ,使其满⾜：(1) k k h y x I =)(，),1,0(n k Λ=；(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个⼀次函数.易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k Λ=1111)(++++--+--=k kk kk k k k k h y x x x x y x x x x x I ,于是, )(x I h 在[]b a ,上是连续的，但其⼀阶导数是不连续的. 于是即可得到如下分段线性插值函数：)()(0x l y x I ni i i n ∑==,其中=≤≤--=≤≤--=+++---.,0;,;0,111111其他时舍去时，且当时舍去时，且当n i x x x x x x x i x x x xx x x l i i i i i i i i ii i3.5问题的求解在MATLAB 中实现分段线性插值，最近点插值，3次多项式插值，3次样条插值的命令为interp 1,其调⽤格式为: Y 1=interp 1(X ,Y ,X 1，’method ’)函数根据X ,Y 的值，计算函数在X 1处的值.X ,Y 是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X 1是⼀个向量或标量，描述欲插值点，Y 1是⼀个与X 1等长的插值结果.method 是插值⽅法，包括：linear ：分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点⽤直线连接，然后在直线让选取对应插值点的数.nearest ：近点插值法.根据已知两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点远时,取前点的值,否则取后点的值.cubic ：3次多项式插值.根据已知数据求出⼀个3次多项式，然后根据多项式进⾏插值. spline ：3次样条插值.在每个分段（⼦区间）内构造⼀个3次多项式，使其插值函数除满⾜插值条件外，还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运⽤Matlab ⼯具软件编写代码，并分别画出图形如下： (⼀)在[-6，6]中平均选取5个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值g(x)y1-10-50510-0.500.513次样条插值g(x)y2-10-5051000.20.40.60.81最近点插值g(x)y3-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值g(x)y4（⼆）在[-6，6]中平均选取11个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81最近点插值-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值g(x )y1g(x )y2g(x )y3g(x )y4（三）在[-6，6]中平均选取21个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-551000.20.40.60.813次样条插值-10-551000.20.40.60.81最近点插值-10-551000.20.40.60.813次多项式插值g(x )y1g(x )y2g(x )y3g(x )y4（四）在[-6，6]中平均选取41个点作插值-10-5051000.20.40.60.81g(x )y1-10-5051000.20.40.60.81g(x )y2-10-5051000.20.40.60.81最近点插值g(x )y3-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值g(x )y43.6 分段插值⽅法的优劣性分析从以上对⽐函数图象可以看出，分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上，光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k 阶光滑性.⼀般情况下，阶数越⾼光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性，也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式⽽达到较⾼阶光滑性的⽅法.总体上分段线性插值具有以下特点：优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁⽅便的特点.2.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个⼩区间上相对于原函数都有很强的收敛性，（舍⼊误差影响不⼤），数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续)，从⽽不能满⾜某些⼯程技术上的要求.⽽3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.。
差值型的求积公式
差值型的求积公式
差值型的求积公式是指通过差值的方式，利用已知函数值来估算函数的积分值的公式。
这种方法常用于无法直接求出函数原函数的情况下。
具体来说，对于一个区间[a,b]，将其等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
然后在每个小区间内选择一个点xi，通过这些点的函数值f(xi)来进行积分的估算。
其中最简单的差值型求积公式是矩形法，即将区间[a,b]等分为n个小区间，然后将每个小区间的函数值f(xi)看做是一个常数，用这些常数值来估算该区间的积分值。
其公式为：
∫a^bf(x)dx ≈ h[f(x0)+f(x1)+...+f(xn-1)]
另一种常用的差值型求积公式是梯形法。
它的基本思想是将每个小区间上的函数值看做是一个梯形的面积，然后将所有小梯形的面积加起来来估算积分值。
其公式为：
∫a^bf(x)dx ≈
h/2[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+...+2f(xn-1)+f(xn)]
更高阶的差值型求积公式还包括抛物线法和辛普森法等，它们在一定条件下能够提供更高精度的积分估算值。
这些公式在实际计算中广泛应用，尤其是在数值积分和数值微积分的研究中。
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高校理工类数学插值求积公式教学课堂讲解
四、求积方法
实际计算中常用的插值求积公式主要有以上三种。不过， 如果积分区间比较大，直接使用这些求积公式，精度就难 以保证。通常采取的办法是细分求积区间的方法。
细分求积区间：取步长h=(b–a)/n分(a,b)为n等分，分点为：
xk=a+kh k=0,1,2,…,n
然后对每个分段(xk-1, xk)，使用上述求积公式得到积分近似
这时求积公式含有三项： 为了计算求积系数λ0，λ1，λ2，我们作变换
三点公式
取t作为新的积分变量，则有
三点公式
于是，三点公式的实际形式是
此即辛卜生(Simpson)公式。
三、五点公式
除端点a，b及中点c外， 再增加结点d=a+(b– a)/4与e=a+3(b–a)/4 （如图），用类似于 前面的方法不难导出 下列柯特斯(Cotes)公 式：
n
2
( 2 ) S S f ( a jh ) j 1,2 ,... n ;
(3) S hS 3 .输出 S
2、复化Simpson求积公式
复化形式的辛卜生公式： 每个子区间(xk-1, xk)的中点记为xk-1/2，则复化的辛卜 生公式为：
复化Simpson求积公式的推导
复化Simpson公式类似于梯形公式：
值Ik，并取其和值
作为整个区间上的积分近似值，
这种求积方案称作复化求积法。
1、复化梯形求积公式
a ab b 2
复化形式的梯形公式是
T (h ) a b ( f (a ) f (b )) 2
ab
T ( h ) 2 ( f (a ) f ( a b ))
22
2
ab
2 ( f ( a b ) f (b ))
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摘要在实际应用中,常常会遇到积分制的计算,插值法是常见的求积分方法.牛顿-柯特斯与高斯型求积公式是两种不同的插值法.前者是等距节点下的求积公式,后者是非等距节点下的积分公式.牛顿-柯特斯求积公式是计算低阶积分的方法,而高斯型求积公式是计算高阶积分的方法.梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式是最简单的牛顿-柯特斯求积公式.公式的导出及其分类,余项,代数精度,收敛性与稳定性,及其几何意义,这些都是本课题重点介绍的内容.而高斯型求积公式中主要介绍常用的高斯型求积公式,不同的区间,不同的权函数导致高斯点和高斯系数的不同,从而形成不同的公式,其中重点讲解了高斯-勒让德求积公式.关键词余项;梯形求积公式;辛普森求积公式;流程图;代数精度目录引言 (1)第一章牛顿-柯特斯公式 (2)§1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念 (2)§1.2 N-C公式 (4)§1.2.1 公式的导出 (4)§1.2.2 梯形求积公式 (5)§1.2.3 辛普森求积公式 (5)§1.2.4 柯特斯求积公式 (7)第二章高斯型求积公式 (10)§2.1 高斯型求积公式的有关定义 (10)§2.2 利用正交多项式构造高斯求积公式 (12)§2.3 高斯-勒让德公式的详细总结 (13)§2.4 插值型求积公式之间的比较 (11)参考文献 (16)附录A (17)附录B (18)附录C (19)引言在工程上的实际计算中想利用求原函数的方法来求定积分常会遇到困难.这是因为工程上的被积函数)f有时比较复杂,求原函数十分困难或者根本找不到可用初(x等函数表示的原函数,有时我们甚至还无法知道被积函数)f的解析表达式,而只知(x道一组对应的离散数据.因此就要利用计算机进行数值计算,以确定定积分的值,这就是数值积分.数值积分最有效的算法是插值型求积公式.插值型求积公式分为两类,一类是等距节点下的求积公式;另一类是非等距节点下的求积公式.前者包括梯形求积公式,普森求积公式,柯特斯求积公式;后者包括高斯型求积公式.插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一.梯形求积公式对所有次数不超过1 的多项式是准确成立的;辛普森求积公式对所有次数不超过3 的多项式是准确成立的;柯特斯求积公式对所有次数不超过 5 多项式是准确成立的.此牛顿-柯特斯求积公式在求积系数不为负数时是数值稳定的.由于龙格现象存在,不难得知,牛顿-柯特斯求积公式不一定具有收敛性.稳定性和收敛性可知,数值计算中应主张使用低阶的牛顿-柯特斯求积公式.而高斯型求积公式是最高代数精度的插值型求积公式.使用高斯型求算例中积分,数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化.本课题最要介绍插值型求积公式的区别,即等距节点下牛顿-柯特斯公式与非等距节点下的高斯型求积公式的比较,包括余项,代数精度的比较,收敛性与稳定性的对比.第一章介绍牛顿-柯特斯的相关知识,而第二章介绍高斯型求积公式的有关知识.第三章详细讲述等距节点下的公式与非等距公式的比较.第一章 牛顿-柯特斯公式借助插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式.一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式.本章主要介绍等距节点下的插值型求积公式,即低阶N C -公式.低阶N C -公式是很有代表性的插值型求积公式.公式的导出,余项的计算,代数精度的证明都将是本章要求掌握的知识.§1.1 牛顿-柯特斯公式的相关概念定义1.1 依据积分中值定理,()()()ba f x dxb a f ξ=-⎰,就是说,低为b a -而高为ξ的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积.取[,]a b 内若干个节点k x 处的高度()k f x ,通过加权平均的方法射年工程平均高度()f ξ,这类求积公式称机械求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰式中k x 称为求积节点,k A 称为求积系数.定义1.2 由插值理论可知,任意函数()f x 给定一组节点01n a x x x b =<<<= 后,可用一n 次多项式()n P x 对其插值,即()()()n n f x P x R x =+,因此()()()bb bn n aaaf x dx P x dx R x dx =+⎰⎰⎰.当()n P x 为拉格朗日插值多项式时,即0()()()nn k k k P x l x f x ==∑,则(1)111()()()()()(1)!(())()[]()[]n nbb bkkaaak nb k k n ak nk k n k f f x dx l x f x dx x dxn l x dx f x R f A f x R f ξω+====++=+=+∑⎰⎰⎰∑⎰∑其中011011()()()()()()()()()bb k k n k k a ak k k k k k n x x x x x x x x A l x dx dxx x x x x x x x -+-+----==----⎰⎰(1)()[]()(1)!n bn af R f x dx n ξω+=+⎰通常称为插值型求积公式.定义 1.3 如果求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确成立.但对于1m +的多项式不能准确成立,则称该公式具有m 次代数精度说明：)a 若机械求积公式的代数精度0,m ≥则有0ni i A b a ==-∑.)b 若机械求积公式的代数精度为m ,即当()1,,,m f x x x = 时有()()nbi i ai f x dx A f x ==∑⎰则对任意次数不超过m 的k 次多项式(),k P x k m ≤有()()nbk i k i ai P x dx A P x ==∑⎰)c 代数精度的高低,从一侧面反应求积公式的精度高低.定义1.4 在求积公式0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰中,若00lim ()()nbk k an k h A f x f x dx →∞=→=∑⎰其中11max()i i i nh x x -≤≤=-,则称求积公式是收敛的.定义1.5对任给0ξ>,若0,δ∃>只要|()|(0,1,,),k k f x f k n δ-≤=就有|()|nnk k k k k k A f x A f ξ==-≤∑∑则称求积公式是稳定的.注：由于计算()k f x 可能有误差,实际得到k f ,即.()k k k f x f δ=+§1.2 N-C 公式§1.2.1 公式的导出设区间[,]a b n 等分,步长b ah n-=,取等分点k x 够造出的插值型求积公式（其中,0,1,,k x a kh k n =+= ）()0()()nn n k k k I b a C f x ==-∑称作n 阶牛顿-柯特斯公式. 其中()n k C 为柯特斯系数()00(1)()*!()!i kn kn n n ki Ct i dt n k n k ≠-=-=--∏⎰ ()011011000()()()()()()()()()()((1))((1))()((1))((1))()()(1)()*!()!i kbn k k abk k n ak k k k k k n x a thnn k nni b a C l x dxx x x x x x x x dxx x x x x x x x t t k t k t n b adt k k k k k k n nb a t i dtn k n k ≠-+-+=+-=-=----=-------+--=---+---=--⎰⎰⎰∏⎰表1-1 柯特斯公式的系数n ()n k C1 12 12 2 16 23 16 3183838 184 790 1645 215 1645 790 5 19288 2596 25144 25144 2596 19288 6 41840 945 9280 34105 9280 935 41840 7 75117280 357717280 132317280 298917280 298917280 132317280 357717280 75117280 898928350 588828350 92828350- 1049628350 454028350- 1049628350 92828350- 588828350 98928350§1.2.2 梯形求积公式当1n =时,由表1-1柯特斯系数表第一行知11(1)(1)010011(1),22C t dt C tdt =--===⎰⎰故得梯形公式()[()()]2b a b a T f x dx f a f b -==+⎰.梯形公式的余项3''()()()12b a R f f η-=-梯形公式的几何意义是用一条过两点的直线近似代替被积函数的曲线,从而用一个梯形的面积来近似代替一个曲边梯形的面积.xy0A B y=P(x)y=f(x)f 0f 1x 0=ax 1=b图1.1 梯形公式的几何意义梯形求积公式分类及其截断误差见表1-1 流程图如下所示：图1.2 梯形公式流程图表1-2 梯形求积公式分类及其截断误差名称公式 余项 代数精度左矩形 2()()()()()2b ab a f x dx b a f a f η-'=-+⎰ 2()()2f R b a η'=- 代数精度为 0 右矩形 2()()()()()2b a b a f x dx b a f b f η-'=-+⎰ 2()()2f R b a η'=-代数精度0 中矩形3()()()()()224b a b a b a f x dx b a f f η--''=-+⎰3()()24f R b a η''=- 代数精度 1 §1.2.3辛普森求积公式当2n =时,由表1-1柯特斯系数表第二行知(2)(2)(2)02114,.66C C C ===故得辛普森公式输入a 和b计算步长h=b-aT=（h/2）[f(a)+f(b)]输出T定义函数f(x)[()4()()]62b a a bS f a f f b -+=++. 辛普森求积公式的几何意义是用一条过三点的抛物线近似代替被积函数的曲线,从而用一个二次抛物线所围成的容易计算的曲边梯形面积来近似代替原来的曲边梯形的面积.xyx 0x 2x 1y=P (x )y=f (x )图1.3 辛普森求积公式的几何意义辛普森求积公式余项及其代数精度见表1-2 流程图如下：图1.4 辛普森求积公式流程图表1-3 辛普森求积公式余项及其代数精度名称公式余项 代数精度输入a 和b计算步长h=b-aS=（h/6）[F(a)+4f(a+h/2)+f(b)]输出结果S定义函数f(x)辛普森求积公式[()4()()]62b a a b S f a f f b -+=++ 5(4)()()2880S b a R f η-=- 代数精度是3 §1.2.4柯特斯求积公式当3n =时,由表1-1柯特斯系数表第三行知(4)(4)(4)(4)(4)0413273212,,.909090C C C C C =====故得柯特斯求积公式33[7()32()12()32()7()]90424b a a b a b a b C f a f f f f b -+++=++++柯特斯求积公式余项及其代数精度见表1-3 流程图如下所示：图1.5 柯特斯求积公式的流程图表1-4 柯特斯求积公式余项及其代数精度名称 公式余项代数精度 柯特斯求积公式3[7()32()12()9042332()7()]4b a a b a b C f a f f a b f f b -++=+++++ 6(6)()()1935360C b a R f η-=- 代数精度是5 例1.1 分别用梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式计算积分12041dx x +⎰输入a 和b计算步长h=b-aC=（h/90）[7f(a)+32f(a+h/4)+12f(a+h/2)+32f(a+3h/4)+7f(b)]输出结果C定义函数f(x)由：1()[()()](42)322ba b a T f x dx f a f b -==+=+=⎰.1[()4()()](412.82) 3.13333626b a a b S f a f f b -+=++=++=.33[7()32()12()32()7()]904241(28120.47058938.481.9214)90282.790589903.1421176555b a a b a b a b C f a f f f f b -+++=++++=++++==在例1-1中,我们根据梯形求积公式,辛普森求积公式,柯特斯求积公式和它们的流程图编写出它的程序,见附录A,B,C.将程序输入到C++里进行测试,经过反复的修正和改错,得到了便于计算且实用的程序.上机实现的运行结果见附录A,B,C.程序运行结果：梯形求积公式结果是：3.000000 辛普森求积公式结果是：3.13333 柯特斯求积公式结果是：3.142118上机计算的结果为,与例题1-1中的算数结果是一致的.说明这个梯形求积公式的程序是正确无误的,可以应用到复杂的数值计算中.第二章 高斯型求积公式牛顿-柯特斯型求积公式是封闭的（区间[,]a b 的两端点,a b 均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制,牛顿-柯特斯求积公式的代数精度只能是n （n 为奇数）或1n +（n 为偶数）.而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅k A 而且k x 也加以选取,这就可以增加自由度,从而可提高求积公式的代数精度.§2.1 高斯型求积公式的有关定义定义2.1 求积公式0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰含有22n +待定参数,(0,1,),k k x A k n = 适当选择这些参数使其具有21n +次代数精度.这类求积公式称为高斯型求积公式.Guass 求积公式的节点(0,1)k x k n = 是高斯点,系数k A 称为Guass 系数.对于任意次数不超过21n +的多项式均能准确成立()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰（2-1）称其为带权的高斯公式.定义2.2 若求积公式0()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰对一切不高于m 次的多项式()p x 都等号成立,即()0R p =;而对于某个1m +次多项式等号不成立,则称次求积公式的代数精度为m .因为Guass 求积公式也是插值型求积公式,故有结论：1n +个节点的插值型求积公式的代数精度d 满足：21n d n ≤≤+.定理2.1 插值型求积公式0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰其节点(0,1,)k x k n = 是高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式0()()nk k x x x ω==-∏与任意次数不超过n 的多项式()P x 均正交：()()0baP x x dx ω=⎰定理2.2 设()[,],f x C a b ∈则高斯求积公式是收敛的.即lim ()()().nbk k an k A f x f x x dx ρ→∞==∑⎰定理2.3 高斯求积公式总是稳定的,即0,0,1,.k A k n >= 定理2.4 设节点01,,,[,],n x x x a b ∈ 则求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰的代数精度最高为21n +次.高斯公式的分类及其余项见表2-1表2-1常用的高斯求积公式名称高斯-勒让德 高斯-切比雪夫 高斯-拉盖尔高斯-埃尔米特积分区间 [1,1]-[1,1]-[0,]+∞[,]-∞+∞权函数 ()1x ρ=21()1x xρ=-()x x e ρ-=2()x x e ρ-=公式11()()nkk k f x dx Af x -=≈⎰∑121()1()nkkk f x dx x A f x -=≈-⎰∑00()()xnkk k e f x Af x +∞-=≈⎰∑2()()x nkk k ef x Af x +∞--∞=≈⎰∑余项 2343(22)2[(1)!]*(23)[(22)!]()n n n R n n f η+++=++2(2)2*2(2)!()n n R n f πη= 2(22)[(1)!]*[2(1)!]()n n R n f ξ++=+1(22)(1)!*2(22)!()n n n R n f πξ+++=+零点 01,,n x x x 21cos(),220,1,,k k x n k n π+=+= 01,,n x x x 01,,n x x x求积系数见表2-21k A n π=+221[(1)!][()]k k n k n x A L x ++=1212(1)!*[()]n k nk A n H x π++=+'图2.1 高斯型求积公式流程图§2.2利用正交多项式构造高斯求积公式设(),0,1,2,,n P x n = 为正交多项式序列,()n P x 具有如下性质： 1.对每一个,()n n P x 是n 次多项式.0,1,n =求解高斯型求积公式若求积公式代数精度为n ，则分别将21,,,n x x x 准确代入积分公式中，从而得到方程组.以1n +次正交多项式的零点01,,n x x x 作为高斯点构造高斯点解方程组求得高斯点k x及高斯系数k A求得高斯点k x利用正交多项式待定系数法求得高斯系数()()bk k aA x l x dx ρ=⎰2.（正交性）()()()0,()bi j ax P x P x dx i j ρ=≠⎰3.对任意一个次数1n ≤-的多项式()P x ,有()()()0,1bn ax P x P x dx n ρ=≥⎰4.()n P x 在(,)a b 内有n 个互异零点.利用正交多项式构造高斯求积公式的步骤：Step 1 以1n +次正交多项式的零点01,,,n x x x 作为积分点（高斯点）。