学案4：5.4 统计与概率的应用

5.4 统计与概率的应用

【课标要求】

课程标准：了解统计与概率在实际生活中的应用，能应用统计与概率的知识解决实际问题.学习重点：运用统计与概率的知识解决实际问题.

学习难点：如何把实际问题转化为统计与概率的问题.

【知识导学】

知识点解答概率应用题的步骤

概率在实际生活中有着广泛的应用，要善于将实际问题转化为概率模型去解决，求复杂事件的概率一般可分三步进行：

(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的表示它们．

(2)理清各事件之间的关系，列出．

(3)根据事件之间的关系，准确地运用概率公式求解，若直接计算符合条件的事件个数较繁琐，可间接地计算事件的个数，求得事件的概率，然后求出符合条件的事件的概率．

【新知拓展】

极大似然法

在一次试验中概率大的事件比概率小的事件发生的可能性更大，并以此作为做出决策的理论依据．因此我们在分析、解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来科学地做出决策．

【基础自测】

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果一件事成功的概率是0.1%，那么它必然不会成功．()

(2)某校九年级共有学生400人，为了了解他们的视力情况，抽查了20名学生的视力并对所得数据进行整理，若视力在0.95～1.15范围内的频率为0.3，则可估计该校九年级学生的视力在0.95～1.15范围内的人数为120.()

(3)甲袋中有12个黑球，4个白球，乙袋中有20个黑球，20个白球，摸出1个球，要想摸出1个黑球，由于乙袋中黑球的个数多些，故选择乙袋成功的机会较大．()

2．做一做

(1)根据北京市教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为()

A ．460

B ．480

C ．不少于480

D ．不多于480 (2)玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.

(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，从中随机抽出一件产品，这件产品是一等品或二等品的概率为98%，这件产品是二等品或三等品的概率为5%，这件产品是一等品或三等品的概率为97%，那么这件产品是一等品的概率为________．

【题型探究】

题型一 统计与概率在整体估计中的应用

例1 为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1000只，其中作过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内有多少只该种动物．

【规律方法】

利用频率与概率的关系求未知量的步骤

(1)抽出m 个样本进行标记，设总体为未知量n .则标记概率为m n

. (2)随机抽取n 1个个体，出现其中m 1个被标记，则标记频率为m 1n 1

. (3)用频率近似等于概率，建立关系式m n ≈m 1n 1

. (4)求得n ≈mn 1m 1

.

【跟踪训练1】

为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数．

题型二统计与概率在游戏公平性中的应用

例2李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子．当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分．这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的游戏规则．

[变式探究]本例中规则改为“两枚骰子的点数之积为偶数时，李红得1分，否则张明得1分．”这样是否公平？

【规律方法】

游戏公平性的标准及判断方法

(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．

(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．

【跟踪训练2】

如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4份，分别标上3,4,5,6四个数字．现为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指向分界线，则重新转一次)，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改才能使游戏规则对双方公平？

题型三统计与概率在社会调查中的应用

例3某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了两个问题．

问题1：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？(一年以365天计算)

问题2：你是否经常吸烟？

调查者设计一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子．每个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的

答案．

请问：如果在200人中，共有58人回答“是”，你能估计出此地区中学生吸烟人数的百分比吗？

【规律方法】

在进行社会调查或心理咨询时，由于有些问题比较敏感，或是涉及到隐私等难于启齿的问题，可以通过概率解决，设计问题时要注意巧妙性，一是易于回答，二是只有被调查者知道答案．【跟踪训练3】

某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在“赞成调整”“反对调整”“对这次调整不发表看法”中任选一项，调查结果如下表：

随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？

题型四统计与概率在决策中的应用

例4设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球