排队论模型及实例

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排队论模型

（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互关系。 2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假设检验有关分布。 3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统的运行特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进系统的功能。（四）、生灭过程的差分微分方程组当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有 Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负指数分布，则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程，而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随机过程的生灭过程。
“M/M/c”即Poisson输入负指数服务时间分布C个服务台的等待制排队模型。 “M/G/1”即Poisson输入，一般服务时间分布，单个服务台的等待制排队模型。
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
顾客到达排队 00…00
服务台
顾客离去
(2)多服务台的平衡系统
顾客到达排队 00…00
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受服务时止的这段时间，其期望值记 Wq ；逗留时间则指从顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要的时间，即是顾客在系统中所花费的总时间，其期望值记 Ws 。逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙的时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止的这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相对应的是闲期，这是指服务台连续保持空闲的时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现的。排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台的利用率(即服务员忙碌的时间在总时间中所占比例) 在排队论的研究中也是很重要的指标。

排队论举例

经满员就离去？就离去？ Lq Wq = = 1.39 = 0.48h = 28.86 min 2.89 λe
(5) 在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？
1 ρ 1 0.75 N P7 = ρ = × 0.757 = 3.71% 1 ρ N +1 1 0.758
= 1 . 89 + 1/0.4 = 4.39 分钟
例题解析售票处的空闲的概率为0 售票处的空闲的概率为0.0748
平均等待时间平均逗留时间 95( 队长 L s=3.95(人)
89分钟分钟， W q=1.89分钟， 39分钟 W s=4.39分钟 70( L q=1.70(人)
例题解析
Ls = m
λ ( + λ )(1 P0 ) Lq = Ls (1 P0 ) = m λ 1 Ls m Ws = = (1 P0 ) m (1 P0 ) λ 1 = Lq Wq = Ws (1 P0 )
某车间有5台机器台机器，例3 某车间有台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布。平均连续运转时间15分钟有一个修理工，分钟，分布。平均连续运转时间分钟，有一个修理工，修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟分钟。服从负指数分布，平均每次分钟。求： (1) 修理工空闲时间
(1 P0 )
解:(1) ∵ m=5,λ=1/15,μ=1/12,ρ=4/5=0.8 m! i P0 = ∑ ρ i = 0 ( m i )!
m 1
5! 5! 5! 5! 5! 2 3 4 5 = 1 + × 0.8 + × 0.8 + × 0.8 + × 0.8 + × 0.8 3! 2! 1! 0! 4!

排队论第三部分-第四章排队模型,第五章 MG1, 第六章 G1 M 1

第四章排队模型两类排队模型：1. Markov 排队模型2. 非Markov 排队模型Markov 排队模型：4-0 Little 定理1961 年 J.D.Little 证明 1974 年 S.Slidhan 一般性证明定理 : 在极限平稳状态下,排队系统内顾客平均数L 系和顾客在系统内平均逗留时间W 系之间的关系,不管到达流的分布如何,也不管服务规则如何,均有以下关系:为到达流的强度系系λλ14.-=L W证明:设 X(t) ---- t 时刻前到达的瞬时顾客数, Y(t)--- t 时刻前离开的瞬时顾客数.Y(t)在稳定后,流入与流出的顾客数应相等, 则在t 时刻留在系统内的顾客数为:Z(t)=X(t)-Y(t)在足够长的时间T 来考虑有:队队系系系系同理可以证明所以有逗留时间系统内每个顾客的平均时间的总和所有顾客在系统内逗留时间个顾客在系统内的逗留第其中的小面积的总和高度为长度为阴影部分的面积W L W L W Tt t i t t Tt T t T T dtt Z T L iiii i iiii i T.:.:...,:.11]1*[1][1)(10λλλλλ==--=--=⨯====∑∑∑∑⎰4-1 M/M/1/0 (单通道损失制)服务员数：n=1 队长：m=0M -- 到达流为Poisson,流强λM -- 服务时间服从指数分布：)0()(>=⋅-t e t f t μμ 状态为系统内顾客数，I={0,1}"0"表示服务员闲，其概率为：P 0(t)；"1"表示服务员忙，其概率为：P 1(t)；状态转换图：Fokker-Plank k 方程：可得:)0(1)0(:341)()(24)()()(14)()()(1010011100==-=+-+-=-+-=∙∙P P t P t P t P t P t P t P t P t P 初始条件λμμλ联立求解4-1与4-3得：λμλλμλμμλλμλλλμλλμμμμλμλμλμλ+=∞+=∞∞→==+-+=-=+++=-++-=-+-=+----+-∙∙)(,)()0(,1)0(0)(1)()(44)()()()(1[)()(1010)(01)(000000P P t P P t e t P t P e t P t P t P t P t P t P tt定义：系统负载能力：μλρ=指标：(1) ρμλμ+=+===110P Q 请求服务的顾客数被服务顾客数 (2) 绝对通过能力：ρλμλλμλ+=+===1Q A 数单位时间被服务的顾客(3) 损失概率(即顾客来时，系统服务员忙，顾客离去)ρρμλλμλμ+=+=+-=-==1111Q P P 损例一：一条电话线，呼叫率为：0.8次/分(λ=0.8)，每次平均通话时间为：τ=1.5分。

20种排列组合常见模型专题03 排队问题(解析版)

专题3 排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( ) A ．1440种 B ．960种 C ．720种 D ．480种【解析】可分3步．第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有2520A =种排法，第二步，2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有4424A =种排法第三步，2名老人之间的排列，有222A =种排法最后，三步方法数相乘，共有20242960⨯⨯=种排法故选：B ．例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，∴为26A 故选：C ．例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为( )A ．2575C AB ．2275C A C ．2273C A D ．2274C A 【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有27C 种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有25A ，∴不同的调整方法有2275C A ，故选：B ．例4．在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )A ．6B ．12C ．24D ．18【解析】在数字1，2，3与符号“+”，“ -”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“+”，“ -”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，故选：B ．例5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )A ．4545A AB ．343245A A A C ．145345C A A D ．245245A A A 【解析】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有22A 种放法，再考虑4幅油画本身排放有44A 种方法，5幅国画本身排放有55A 种方法，故不同的陈列法有245245A A A 种，故选：D ．例6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是( ) A ．360B ．288C ．216D ．96【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列共有22233243432C A A A =种，在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有222232322144C A A A ⨯=种，∴不同的排列方法共有432144288-=种故选：B ．例7．公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567ααααααα中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有( )种． A ．576B ．720C ．864D ．1152【解析】根据题意，先排1、5、7，有336A =种情况，排好后有4个空位，对于2、4、6和3这四个数，分两种情况讨论：①3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有3424A =种情况，3不能放在6的两边，有5种排法，则此时有245120⨯=种不同的排法，②3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6一起排在4个空位中，有2412A =种情况，则此时有21224⨯=种不同的排法，则2、4、6和3这四个数共有12024144+=种排法；则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6144864⨯=种；故选：C ．例8．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( ) A ．168B ．20160C ．840D ．560【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，65∴⨯则不同调整方法的种数是2286840C A =．故选：C ．例9．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有( ) A ．36种B ．108种C ．216种D ．720种【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有3363C C ，再将两组分别按要求排序，各有33A 种，因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有33336333720C C A A =种．故选：D ．例10．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有( ) A ．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B ．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C ．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D ．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法【解析】A 中4444576A A =， B 中3535720A A =， C 中43222234333223(3)1440A A C C A A A ++=，D 中43451440A A =．综上可得：CD 正确．故选：CD ．例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 576 个．（用数字作答）【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有33A 种结果，这三个元素形成四个空，把7和8 在这四个位置排列有24A 种结果，三对相邻的元素内部各还有一个排列22A ，根据分步计数原理得到这种数字的总数有3222234222576A A A A A =，故答案为：576．例12．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有 8！种，甲不站在正中间的排法有种．（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种．（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种．（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种．（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种．（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种．（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种．（8）甲乙之间有且只有4人的排法有种．【解析】（1）甲站正中间的排法有8！，甲不站在正中间的排法有88⨯！；（2）甲、乙相邻的排法有28⨯！，甲乙丙三人在一起的排法有67⨯！；（3）甲站在乙前的排法有192！，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有196！，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有193！；（4）甲乙不站两头的排法有2777A A ；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9！28-⨯！7+！；（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有25⨯！4⨯！；（6）女生互不相邻的排法有5！46A ⨯；男女相间的排法有5！4⨯！；（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法．4724A ⨯⨯！．故答案为：（1）8！，88⨯！（2）28⨯！，67⨯！（3）192！，196！，193！；（4）2777A A ；9！28-⨯！7+！；（5）25⨯！4⨯！；（6）5！46A ⨯，5！4⨯！2⨯（7）9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）4724A ⨯⨯！．例13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 10 种（结果用数值表示）．【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5211110⨯⨯⨯⨯=故答案为10例14．从集合{P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是5832．（用数字作答）、【解析】各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），共有2244104C C A；每排中字母Q和数字0都出现有114394C C A符合题意不同排法种数是224114 41043945832C C A C C A-=．故答案为：5832例15．从集合{O，P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是8424．（用数字作答）．【解析】由题意知每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解（1）这三个元素只选O，有1239433624C C A=⨯⨯（2）这三个元素只选Q同理有33624⨯⨯（3）这三个元素只选0 有2143943924C C A=⨯⨯（4）这三个元素O Q0都不选有22439433624C C A=⨯⨯根据分类计数原理将（1）（2）（3）（4）加起来33624336243924336248424⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=故答案为：8424例16．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是135（结果用分数表示）．【解析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是8本书全排列有88A种方法，而符合条件的事件数要分为二步完成：首先两套中任取一套，作全排列，有1424C A 种方法；剩下的一套全排列，有44A 种方法；∴概率为：14424488135C A A A =，故答案为：135．例17．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634A A = 320种不同的排法．（2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有535614A A = 400种不同的排法．（3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有25A 种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有25A 6614A = 400种不同的排法．（4）三个女生和五个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生的排法2636A A 种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636A A A -= 000种不同的排法．（5）甲必须在乙的右边即为所有排列的221A ，因此共有8822120A A = 160种不同的排法．例18．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有36364320A A=种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有535614400A A=种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有265614400A A=种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有38336A=种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，3535720A A=种例19．三个女生和四个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有33A种情况，再将其与4名男生进行全排列，有55A种情况，则共有5353720A A⨯=种排法；（2）用插空法，先将4名男生全排列，有44A种情况，排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有35A种情况，则共有43451440A A =种排法；（3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有242C 种情况，再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有55A 种情况，则共有254521440C A ⨯=种排法；（4）用排除法，7人进行全排列，有77A 种排法，两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有2535A A 种站法，则共有7257354320A A A -=种排法；（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有3620C =种排法；（6）先在7个位置中安排3名女生，有37A 种排法，剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有372420A =种排法．例20．现有8个人(5男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？ (10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，将这个整体与5名男生全排列，有66A 种情况，则女生必须排在一起的排法有3636A A 种；（2）根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，将剩下的7人全排列，有77A 种情况，则甲必须站在排头有772A 种排法；（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有26A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则甲、乙两人不能排在两端有2666A A 种排法；（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有66A 种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有27A 种情况，则甲、乙两人不相邻有2676A A 种排法；（5）根据题意，将8人全排列，有88A 种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有8812A 种不同的排法；（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有55A 种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有36A 种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有5356A A 种不同排法；（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有55A 种情况，将男生、女生整体全排列，有22A 种情况，则男生在一起，女生也在一起，有235235A A A 种不同排法；（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有222525C A A =种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则第3和第6个排男生，有2656A A 种不同排法；（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有25A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，甲乙不能排在前3位，有2656A A 种不同排法？(10)根据题意，将5名男生全排列，有55A 种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A 种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A 种不同排法．例21．已知有7名同学排队照相：（1）若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？（2）若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？（6）若排成一圈，有多少种不同的排法？【解析】有7名同学排队照相：（1）若徘成两排照，前徘4人，后排3人，有43735040A A =种方法．（2）若徘成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到前排，其余的在后排，方法有143443576A A A =种，若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到后排，其余的人在前排，方法有134434576A A A =种，故共有5765761152+=种方法．（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好，5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有251254960A A A=种．（4）若徘成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，先排4名男生，4名男生中间有3个空，插入3名女生，有4343144A A=种的排法．（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，若两端都是男生，方法有25451440A A=种，而所有的方法有775040A=种，故两端不能都排男生的排法有504014403600-=种．（6）若排成一圈，即弯曲排成一排，有777207A=种不同的排法．例22．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照．（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？（2）丁不能排在中间，有多少种不同的排法？（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？【解析】（1）甲排中间，其他任意排列，有4424A=种；（2）丁不能排在中间，先排丁有144C=种排法，然后其他任意排有4424A=种，所以丁不能排在中间共有42496⨯=种；（3）丙、丁必须排在两端：先排丙丁有222A=，其他任意排列有336A=种，所以丙、丁必须排在两端共有2612⨯=种；（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置有，先排甲乙有236A=种，其他任意排列有336A=种，所以甲、乙两人都不能排在首末两个位置共有6636⨯=种；（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，分为两类，①甲在排尾，其他任意排列有4424A=种，②甲不在排尾，甲有133C=种，然后乙有133C=种，其他任意排列有336A=种，所以甲不能站排头，乙不能站排尾共有2433678+⨯⨯=种．例23．7位同学站一排．（1）站成两排（前3后4)，共有多少种不同的排法？（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？【解析】7位同学站一排，（1）站成两排（前3后4)，共有多少种不同的排法，此没有限制条件是全排列问题，故排法种数是77A种；（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法，此问题是甲定位置的排法，相当于六个元素全排，故排法种数是66A种；（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种，此问题分两步解决，先排甲乙两人，再排其余五人，故排法种数是2525A A种；（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种，可由乙在排头与不在排头两种情况解答，乙在排头时有66A种，乙不排头，先排乙，有5种排法，再排第一位，有5种排法，其他五人全排列，故总的排法种数是5555A ⨯⨯；（5）甲、乙两同学必须相邻的排法，可先将甲乙两人绑定，共22A 种，将其看作一个元素与另五个元素全排列，有66A 种，故共有2626A A 种；（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法计数，可先将甲乙两人绑定，共22A 种，将其看作一个元素与除丙外四个元素全排列，再将丙插入它们隔开的空档中，共有251254A A A 种；（7）甲、乙两同学不能相邻的排法可先将甲乙两人之外的五人全排列，再将两人插入隔开的六个空中，共有5256A A ⨯种；（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法计数，可先将甲乙丙外的四个人进行全排列，再将三人分别插入隔开的五个空档中，故共有4345A A 种；（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种，可通过排除法计数，从七人的全排列数中减去三人相邻的排法种数，共有735735A A A -种； (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种的计数，可先将甲乙绑定，然后看作一个元素将之与丙分别插入另外四个元素隔开的空档中，故共有242245A A A 种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种的计数，可这样考虑，甲在乙左与甲在乙右种数是一样的，所以共有7712A 种排法．例24．6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？ ①甲、乙必须站在排头或排尾 ②甲、乙．丙三人相邻 ③甲、乙、丙三人互不相邻 ④甲不在排头，乙不在排尾⑤若其中甲不站在左端，也不与乙相邻．【解析】①甲、乙必须站在排头或排尾，则有424248A A =种不同排法； ②甲、乙、丙三人相邻，则有4343144A A =种不同排法； ③甲、乙、丙三人互不相邻，则有3334144A A =种不同排法；④甲不在排头，乙不在排尾，则有6546542264A A A -+=种不同排法；⑤6个人站成一排，有66A 种，甲在左端的有55A 种，甲和乙相邻的有5252A A 种，甲既在左端也和乙相邻的有44A ，所以甲不在左端也不和乙相邻，则不同的排法共有6552465524384A A A A A --+=种．例25．（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？【解析】（1）先将3人（用⨯表示）与4张空椅子（用□表示）排列如图(⨯□□⨯□□)⨯，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，第一种情况是分别插入两个空位，如图中箭头所示(↓⨯□↓□⨯□↓□)⨯↓，即从4个空当中选2个插入，有24C 种插法；二是2张插入同一个空位，有14C 种插法，再考虑3人可交换有33A 种方法，所以，共有321344()60A C C +=（种)．（2）可先让4人坐在4个位置上，有44A 种排法，再让2个“元素”（一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位” )插入4个人形成的5个“空当”之间，有25A 种插法，所以所求的坐法数为4245480A A =．例26．6个人坐在一排10个座位上，问（1）空位不相邻的坐法有多少种？（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？【解析】6个人排有66A 种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有4735C =种插法，故空位不相邻的坐法有646725200A C =种．（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插有27A 种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有626730240A A =种．（3）4个空位至多有2个相邻的情况有三类： ①4个空位各不相邻有47C 种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有1276C C 种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有27C 种坐法．综合上述，应有6412267767()115920A C C C C ++=种坐法．。

排队论

P n (t t ) P n (t ) P n1 (t ) P n1 (t ) ( ) P n (t ) t
P 0 (t t ) P 1 (t ) t P 0 (t )(1 t )
P 0 (t t ) P 0 (t ) P 1 (t ) P 0 (t ) t
P X (t t ) X (t ) 0 1 t o t
顾客到达的时间间隔 T1 , T2 , T3 ,..., Tn ,... 独立同指数分布Exp( )，即
1 e , t 0; FT (t ) P(T t ) t 0. 0,

●顾客排队逗留时间顾客到达时间间隔 Z ~ E( ) ，服务时间 T ~ E( ) ，顾客排队逗留时间 Y ~ E( ) 顾客平均逗留时间
W EY 1 L
●顾客平均等待时间
Wq W ( )
1 L 1
例1. 某医院某科室有一位医生值班，每小时平均有 4个病人，医生每小时平均可诊治5个病人。如果要满足99％以上的病人有座位，至少应设多少个座位？如果每小时可诊治6个病人，可减少多少个座位？病人平均等待时间是多少？
排队论模型及应用
一、背景例子顾客在超市排队付款，汽车过收费站 a. 增加收银台，则增加投资，有可能发生空闲浪费； b. 减少收银台，顾客排队时间太长。选择最优收银台数二、随机服务系统顾客等待服务接受服务顾客离开
三、M/M/s模型假设
顾客到达规律(到达人数) M 组成部分服务时间(时间长短) M 排队规则(怎么排队)
1 Pn 1 P0 1 P0 1 P0 1 1 n 0 n 0

运筹学 100排队论

第10章排队论第一节排队服务系统的基本概念一、排队系统的特性排队问题的实例：超市付款，自动取款机取款，医院门诊，乘公交车，设备修理。

排队服务系统的要素：顾客源，等待队列，服务机构。

要素的特性：1. 顾客源顾客到达的间隔时间：确定、随机(分布类型)；一次到达人数：单个到达，成批到达；顾客源：数量无限，数量有限。

2. 等待队列等待规则：损失制，等待制，混合制；接受服务顺序：先到先服务，后到先服务，按优先权服务，随机服务。

3. 服务机构服务台数量：单个，多个；排列方式：串联、并联、混合排列。

服务时间：固定，随机(分布类型)；一次服务人数：单人，成批。

三、排队服务系统的分类按上面所讨论的排队系统各项的特性，可对排队系统作出分类。

通常按如下6方面的特性对排队系统进行分类：(a／b／c) : (d／e／f)每个字母代表一个特征，它们分别是：a：顾客到达间隔的分布，有：M──负指数分布；D──确定型；E k ──k 阶爱尔郎分布； GI ──一般相互独立的分布。

b ：服务时间的分布有：M 、D 、E k 、Gc ：系统中并联的服务台数，记为Sd ：系统中最多可容纳的顾客数，∞~1e ：顾客源总数，为∞~1f ：排队服务规则 FCFS ──先到先服务 LCFS ──后到先服务用这6个参数我们可以表示出某种类型的排队系统，如：M ／M ／1／10／∞／FCFS其中后三项可以省略，这时表示的是：a ／b ／c ／∞／∞／FCFS三、排队系统的状态及参数系统状态N (t )——排队系统中的顾客数，包括等待的和正在被服务的。

其与系统运行的时刻t 相关，且是一个随机变量。

稳定状态——当系统状态与时刻t 无关时，称系统处于稳定状态。

在系统开始运行的一段时间内，系统状态随时间而变化，在运行一段时间之后，系统的状态将不随时间变化，此时系统即进入稳定状态。

排队论主要研究系统处于稳定状态的工作情况，以下参数也都针对于稳定状态进行定义。

排队论详解及案例

9.2.3 负指数分布
负指数分布具有下列性质：
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.3 负指数分布
负指数分布具有下列性质：
cmLiu@shufe
Operations Research
当 N (t满) 足下列三个条件时，我们说顾客的到达符合泊松分布（1）平稳性：在时间区间 [t0,t0 + ∆t) 内到达的顾客数 N (t ) ，只与区间长度
有关而与时间起点 t0 无关。
（2）无后效性：在时间区间 [t0,t0 + ∆t) 内到达的顾客。数 N (t ) ，与 t0 以前
到达的顾客数独立。（3）普通性：在充分短的时间区间 ∆t 内，到达两个或两个以上顾客的概率
• 如略去后三项，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（1）排队系统工作状况的衡量一个排队系统运行状况的好坏不仅会影响顾客的利益，也会影响服务机构的利益，甚至会影响到社会效果的好坏。通过研究运行系统在平衡状态下的概率分布及其数字特征，了解排队系统运行的效率、服务质量等等，进而可以判断系统运行状况的优劣。
cmLiu@shufe
Operations Research
第九章
排队论
9.1 基本概念 9.2 几个常用的概率分布 9.3 单服务台负指数分布的排队系统 9.4 多服务台负指数分布排队系统模型 9.5 一般服务时间M/G/1模型 9.6 排队系统的建模与优化 9.7 电子表格建模和求解 9.8 案例分析办公室设施公司（OEI）服务能力分析
cmLiu@shufe

第六章排队论模型

4
排队模型及类型
根据顾客到达和服务台数，排队过程可用下列模型表示：
模型1 单服务台排队模型
模型2
单队列多服务台并联的排队模型
5
模型3
多队列多服务台的并联排队模型
模型4
单队多个服务台的串联排队模型
6
模型5
多队列多服务台混联网络模型
纵观上述排队模型，实际上都可由下面模型加以统一描述：
称该统一模型为随机聚散服务系统。由于顾客到来的时刻和服务台提供服务的时间长短都是随机的，因此任一排队系统都是一个随机聚散 7 服务系统。 “聚”表示顾客的到达,“散”表示顾客的离去。
1修理店空闲的概率2店内恰有3个顾客的概率3店内至少有1个顾客的概率4在店内的平均顾客数5每位顾客在店内的平均逗留时间6等待服务的平均顾客数7每位顾客平均等待服务时间8顾客在店内等待时间超过10min的概率581001594在店内的平均顾客数5每位顾客在店内的平均逗留时间067607每位顾客平均等待服务的时间02678顾客在店内逗留时间超过10min的概率由于逗留时间服从参数的负指数分布即分布函数为1003679注
20
例如：某排队问题为M／M／S／∞／∞／FCFS，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；服务时间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的前3个、4个、5个符号。如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等待制系统。
11
(2) 等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则：

( 数学建模)排队论模型

(1)流具有平衡性
对任何 a和0 0t1t,2 tn x ( a t i) x ( a ) ( 1 i n )
的分布只取决于 t1,t2, 而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
对互不交接的时间区间序列 a i,b i ( 1 i， n )
x(bi)是x(a一i)组相互独立的随机变量。
(3)流具有普通性 liP m xr (a t)x(a ) 1 0
(2)逗留时间
逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指一顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。显然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受服务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说是最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等待的时间愈短愈好。
P T t 1 r T t 0 P T t 1 r t 0
上式可改写为：对任何 t0 ，0都有
P T t 0 r x T t 0 P T x r
如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄大
排队论模型
排队论模型
一、排队论的基本概念二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理论。
到来顾客源
排队机构
常用的记号：M——负指数分布；D——确定型； Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互独立的随机分布，G——一般随机分布。这里主要讨论M／M／1，M／M／C。
2.排队模型的数量指标
(1)队长

排列组合排队问题大总结

排列组合中排队问题类型Ⅰ 分组问题例1有6本不同的书，计算以下情况的各种可能？①将其平均分给甲乙丙三人 ②将其平均分成三堆③将其分成三堆，一堆1本，一堆2本, 一堆3本 ④将其分成三堆，两堆1本，一堆4本⑤将其分给甲乙丙三人,甲得1本,乙得2本丙得3本 ⑥分给甲乙丙三人,一人得1本,一人得2本,一人得3本. ⑦分给甲乙丙三人每人至少一本答案：①90222426=C C C ②15/33222426=A C C C ③60332516=C C C ④4622441516C A C C C = ⑤60332516=C C C ⑥36033332516=A C C C ⑦该问题可以转化三种类型ⅰ: 222型 90222426=C C Cⅱ： 123型 36033332516=A C C C ⅲ： 114型 33463322441516A C A A C C C = 类型Ⅱ 排队问题例2七人排队① 共有多少种排法？② 7名同学站成2排（前3后4） ③ 甲在中间 ④ 甲不在中间 ⑤ 甲乙在两端 ⑥ 甲乙不相邻⑦ 甲乙不在排首排尾 ⑧ 甲乙中间夹一人 ⑨ 甲乙中间至少两人 ⑩ 甲乙丙顺序一定⑪ 甲乙两人之间恰有3人 ⑫ 甲乙不在两端且与丙不相邻答案：⑴504077=A ⑵504077=A ⑶ 72066=A⑷43206616=A C ⑸2405522=A A ⑹36002655=A A ⑺2400245566775525=+-=A A A A A ⑻1200552215=A A C ⑼552215226677A A C A A A -- ⑽3377A A⑾232235A A A ⑿1080332223222224442412=⎩⎨⎧⨯+A A A A A A A A C 甲乙不相邻甲乙相邻类型Ⅲ 隔板问题例3：12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有___________种。

排队论及应用举例-

上述形式的选择，一方面依赖于被服务顾客数；另一方面，依赖于服务顺序的特殊要求。
单阶段
单通道
多阶段
单阶段队列结构多通道多阶段单阶段从多通道到单通道混合式交错通道多阶段
图6-6 5-6 队列结构
顾客离开
顾客接受服务后，离开的情况可能有两种
“经常发生事件（recurring-common-cold case）”：顾客回到顾客源，马上成为一名新的顾客要求服务。如：机器例行修理后重新使用，可能再次出现故障而需要修理。
“只发生一次事件（appendectomy-only once case）”：顾客重新要求服务的可能性极小，即不可能重新要求服务。如：机器进行彻底检查和修理后，在一段时间内不会重新维修。
顾客源有限时，对回头客服务的任何改变都会改变顾客到达率，引起排队问题的特征的改变。
三、排队模型
问题一：顾客等待。银行希望知道有多少顾客在等待其服务到车（drive-in）出纳员的服务？出纳员的效率是多少？如果要求在95%的时间内，任一时刻系统中不超过三辆车，则其服务率应达到什么水平？问题二：设备选择。公司有三中不同的设备可以提供同一种服务，设备功率越大，成本也越高，但服务速度越快。因此作决策时，成本与收入是紧密相联的。问题三：服务人数决策。经销公司的一个销售部门必须决定一个柜台雇佣多少职员。职员越多，成本也越高，但服务等待时间的减少能带来部分成本的节约。问题四：有限总体。前述都是无限总体，而对于有限顾客总体，如：车间有若干台设备，一名维修工负责4 台设备的运转，在充分考虑设备闲置成本和维修工的服务成本的基础上，决定应该雇佣多少名维修工？
（3）下一个顾客将在小于t 分钟内到达的概率 (3)=(1)-(2) 0 0.39 0.63 0.78 0.86

运筹学第8章排队论

第八章排队论排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。

在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。

由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。

对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。

若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。

因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。

排队论是优化理论的重要分支。

排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。

第一节排队论的基本概念及所研究的问题一、基本概念（一）排队系统的组成一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。

1．输入过程输入过程指顾客按什么样的规律到达。

包括如下三个方面的内容：（1）顾客总体（顾客源）指可能到达服务机构的顾客总数。

顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。

如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。

（2）顾客到达的类型指顾客的到达是单个的还是成批的；（3）顾客相继到达的时间间隔分布即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；2．排队规则排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。

（1）即时制（损失制）当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。

这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。

（2）等待制当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。

在等待制中，又可按顾客顾客达到排队系统图8—1服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。

(完整版)排队论模型

排队论模型排队论也称随机服务系统理论。

它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。

现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。

排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：➢有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。

➢有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。

由顾客和服务员就组成服务系统。

➢顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。

排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。

一、排队论的一些基本概念为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：➢输入过程即顾客来到服务台的概率分布。

排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。

我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。

所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。

➢排队规则即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。

所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。

等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。

➢服务机构服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。

和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。

若以ξn表示服务员为第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξn}，n=1，2，…所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ1，ξ2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{Tn}也是独立的。

排队论在实际当中的应用

第一章排队论问题的基本理论知识排队是日常生活中经常遇到的现象，本章将介绍排队论的一些基本知识和常见的排队论的模型，使我们对排队论有一个基本的认识。

1.1 预备知识下图是排队过程的一般模型：各个顾客由顾客源（总体）出发，到达服务机构（服务台、服务员）前排队等候接受服务，服务完成后离开。

我们说的排队系统就是图中虚线所包括的部分顾客到达顾客源排队规则排队系统示意图一般的排队系统都有三个基本组成部分：输入过程；排队规则；服务机构。

1•输入过程输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。

可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。

对于随机型的情形，要知道单位时间内的顾客到达数或到达的间隔时间的概率分布。

2.排队规则排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。

当顾客到达时，所有服务机构都被占用，贝U顾客排队等候，即为等待制。

在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务。

如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。

有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。

3.服务机构可以是一个或多个服务台。

服务时间一般也分成确定型和随机型两种。

但大多数情形服务时间是随机型的。

对于随机型的服务时间，需要知道它的概率分布。

1.2 模型理论分析1.2.1模型分类排队模型的表示：X/Y/Z/A/B/CX—顾客相继到达的间隔时间的分布；丫一服务时间的分布；M—负指数分布、D—确定型、Ek— k阶爱尔朗分布。

Z—服务台个数；A—系统容量限制（默认为％）；B—顾客源数目（默认为％）；C—服务规则（默认为先到先服务FCFS）。

1.2.2模型求解一个实际问题作为排队问题求解时，只有顾客到达的间隔时间分布和服务时间的分布须要实测的数据来确定，其他的因素都是在问题提出时给定的。

并且必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，解排队问题就是首先求出这些数量指标的概率分布或特征值。

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一、问题的描述及基本概念
1.问题的描述
在一个排队服务系统中总是包含一个或若干个“服务设施”，有许多“顾客”进入该系统要得到服务，服务完毕后即自离去。
倘若顾客到达时，服务系统空闲着，则到达的顾客立即得到服务。否则顾客将排队等待服务或离去。怎样才能做到既保证一定的服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间及服务设施费用大小这对矛盾。这就是研究随机服务系统的理论——排队论所要研究解决的问题。
v1(t) 1 v0(t) (t) t ④若令 t 代表顾客到达流为泊松分布时
依次到达的两个顾客的间隔时间，则 t 的概率密度函数f(t)为负指数分布。
2．服务时间—负指数分布
虽然在真实的排队系统中，服务时间的概率分布可以有各种形式，但负指数分布的服务时间是最常用的，原因是它在数学上易于处理。
2．基本记号
根据排队系统的特征，肯达尔（Kendall）于1953年提出了排队服务系统的分类记号：
输入／输出／并联的服务站数
M ―― 泊松输入或负指数分布的服务时间 D ―― 定长输入或定长服务时间 Ek ―― 爱尔朗分布的输入与服务时间 GI ―― 一般独立输入 G ―― 一般服务时间分布 M / M / n ―― 顾客输入为泊松分布，服务时间为负指数分布，
则有Ψ(t)=o(t)(t→0)
二．输入与服务时间的分布
1．输入─最简单流
1) 最简单流 2) 特性
3) 最简单流的性质
①参数代表单位时间内到达顾客的平均数。
②在时间 [t, t+Δt]内没有顾客到达的概率为
v0(t) et (1 t) o(t) 1 t
③在时间[t, t+Δt] 内恰好有一个顾客到达的概率为

排队论中三种典型的分布

排队论顾客到达时间的间隔分布和服务时间的分布（1）泊松分布（顾客到达数满足泊松分布）随机变量x （单位时间内顾客到达数），满足泊松分布：x~P(λ)，概率分布为：()!kP x k e k λλ-==注意：泊松分布中的λ，既是数学期望又是方差，即E(x)=D(X)= λ(单位时间内平均到达的顾客数)（2）负指数分布随机变量T （顾客相继到达时间间隔），满足负指数分布，即：~()()t T f t e λλ-=密度函数注意：E(T)=1/λ(为相继到达平均间隔时间),21D(T)λ=。

说明：顾客到达数满足泊松分布等价于顾客相继到达时间间隔满足负指数分布。

随机变量v （顾客相继离开的间隔时间），满足负指数分布，即：~()()t v f t e μμ-=密度函数注意：E(v)=1/μ(为相继离开平均间隔时间),D(v)= 1/μ2 。

（3）爱尔朗分布设k 个顾客到达系统的时间间隔序列为：v1 ， v2 ,…, vk ，（为相互独立的随机变量），且都服从参数为kλ的负指数分布，即：k),...,2,1(i e k ~ vi k -=λλ 则随机变量Tk I=1iT v =∑服从k 阶爱尔朗分布()()()()()()()121~0,01!111,,k k t k i i i k k t T f t e t k E v E T v D T k k λλλλλλλ--==>>-====∑ 说明1：K=1时，就是负指数分布。

说明2：假设系统中有串联的K 个服务台，每个服务台对顾客的服务时间相互独立，且服从参数为kμ的负指数分布，则一个顾客接受完k 个服务台服务所需的总时间T 就服从k 阶爱尔朗分布。

排队论模型及实例