高中数学概率经典例题和巩固练习及答案

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高中数学第十章概率典型例题(带答案)

高中数学第十章概率典型例题单选题1、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（）A ．购买彩票中奖的可能性为1100 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．买100张彩票就一定能中奖答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误. 故选：A.2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（） A ．249B ．649C ．17D ．27 答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况，其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.3、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.4、若随机事件A，B互斥，且P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a的取值范围为（）A．(43,32]B．(1,32]C．(43,32)D．(12,43)答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<12a−2≤1，解得43<a≤32，所以实数a的取值范围为(43,32].故选：A.5、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”，则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件；故选：C.7、2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（） A ．18B ．38C ．12D ．58答案：C分析：利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13，所以香港女生数为总数的58×35=38，澳门女生数为总数的38×13=18，所以提问的学生恰好为女生的概率是38+18=12. 故选：C.8、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：60％ B ．该教职工具有研究生学历的概率超过50％ C ．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D ．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％答案：D分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率p=75120=58=62.5%>60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率p=45120=38=37.5%<50%，故错误；C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10120=112≈8.3%<10%，故错误；D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15120=18=12.5%>10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.多选题9、下列有关古典概型的说法中，正确的是（）A．试验的样本空间的样本点总数有限B．每个事件出现的可能性相等C．每个样本点出现的可能性相等D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)=kn答案：ACD分析：根据古典概型的定义逐项判断即可.由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选：ACD10、某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏答案：AC分析：先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为13，故理论上回答问题一的人数为150×13=50人.掷出点数为奇数的概率为12，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故C正确.对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故D错.故选：AC.11、不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色答案：ABD分析：列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.解：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.故选：ABD.12、设A，B分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是（）A．P(B|A)+P(B|A)=1B．P(B|A)+P(B|A)=0C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)=P(A)D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)=P(B)答案：AC分析：计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B 是互斥事件，得P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．解：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故A正确；当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故C正确；因为A，B是互斥事件，P(AB)=0，则根据条件概率公式P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．故选：AC．13、袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球答案：BD分析：根据互斥事件的定义和性质判断.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.小提示：本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 填空题14、甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．答案：0.3解析：甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率．甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：P =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6=0.3. 所以答案是：0.3．小提示：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (AB )=16，P(BC)=14，P(ABC)=112，则P (A )=______．答案：13分析：根据相互独立事件的概率公式，列出P (A ),P (B ),P(C),P(B)的等式，根据对立逐一求解，可求出P (A )的值.根据相互独立事件的概率公式，可得{ P (A )P (B )=16P(B)P (C )=14P (A )P (B )P(C)=112，所以P (A )=13．所以答案是：13.16、在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．答案：935分析：根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，第一种摸出“白白红红”的概率为47×36×35×12=335，第二种摸出“白红白红”的概率为47×36×35×12=335，第三种摸出“红白白红”的概率为37×46×35×12=335，所以连续摸4次停止的概率等于935．所以答案是：935解答题17、数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.答案：（1）条形统计图见解析，90∘；（2）不同，理由见解析；（3）13.分析：（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案. （1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了1100.55=200人，所以用银行卡支付的人有200×0.15=30人，用微信支付的人有200×0.3=60人，用现金支付所占比例为50200=0.25，所以0.25×360∘=90∘，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，补全统计图如图所示：（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝. （3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13.18、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：（Ⅰ）三人都合格的概率；34（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人. 分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13 设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110（Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=35×14×23=110.（Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−110−2360−110=2560=512.因为512>2360>110，所以出现1人合格的概率最大.。

高中概率练习题及讲解讲解

高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。

答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。

根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。

2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。

答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。

其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。

根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。

3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。

答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。

然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。

根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。

二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。

今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。

答案：首先确定次品数为10、11、...、20。

使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。

计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。

2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。

随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。

答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。

然后根据概率公式计算概率。

3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。

随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。

答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。

三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。

高中概率试题及答案

高中概率试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 12. 从52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/133. 一个袋子里有3个红球和2个蓝球，随机取出一个球，取到蓝球的概率是多少？A. 1/3B. 1/2C. 2/5D. 3/54. 一个事件的概率为0.3，那么它的对立事件的概率是多少？A. 0.7B. 0.3C. 0.5D. 0.65. 一个班级有30名学生，其中10名男生和20名女生，随机抽取一名学生，抽到女生的概率是多少？A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 3/4二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率是_________。

7. 如果一个事件的概率是0.4，那么它发生的概率是_________。

8. 从10个不同的球中随机抽取3个，不放回，抽到特定3个球的概率是_________。

9. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出2个球，两个球都是红球的概率是_________。

10. 一个事件的概率为0.2，那么它不发生的概率是_________。

三、解答题（每题5分，共10分）11. 一个袋子里有2个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求至少一个红球的概率。

12. 一个班级有50名学生，其中25名男生和25名女生。

随机抽取3名学生，求至少有1名男生的概率。

四、计算题（每题7分，共14分）13. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球和2个黄球。

随机取出3个球，求取出的球中至少有一个红球的概率。

14. 一个盒子里有10个球，其中3个是中奖球。

随机抽取2个球，求至少抽到一个中奖球的概率。

五、应用题（每题8分，共16分）15. 一个学校有500名学生，其中300名是高中生，200名是初中生。

随机抽取10名学生，求至少有8名高中生的概率。

概率加减法专项练习200题(有答案)

概率加减法专项练习200题(有答案)
以下是一系列概率加减法的练题，共计200道题目。

每道题都
附带了答案，供您核对。

希望这些题目能够帮助您提高对概率加减
法的理解和应用能力。

题目
1. 在一个筐中有8个红球和6个蓝球，从中随机抽出一个球。

求抽出的是红球的概率。

2. 一副扑克牌中有52张牌，包括4种花色的A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K。

从中抽出一张牌，求抽出的是红心的
概率。

3. 在一个班级中，有20个男生和15个女生。

随机抽取一个学生，求抽取的是女生的概率。

4. 一家餐馆中午提供三种菜品供选择：红烧鸡、糖醋鱼和番茄
炒蛋。

如果一个顾客随机选择一道菜品，求他选择红烧鸡的概率。

5. 一家超市中有300个苹果，其中有20个有瑕疵。

从中随机
抽取一个苹果，求抽取的是有瑕疵的概率。

（更多题目略）
答案
1. 红球的概率为 8/14 或 4/7。

2. 红心的概率为 13/52 或 1/4。

3. 女生的概率为 15/35 或 3/7。

4. 选择红烧鸡的概率为 1/3。

5. 有瑕疵的概率为 20/300 或 1/15。

（更多答案略）
希望以上练习题和答案对您有所帮助。

如果您对概率加减法还有其他问题，我将尽力为您解答。

高等数学(概率论)习题及解答

高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。

1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。

2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。

现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。

求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。

2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。

根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。

以上是高等数学（概率论）习题及解答的部分内容，如有更多问题或需要补充，请随时告知。

(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（）A ．110B ．310C ．12D ．353．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（）A ．518B ．718C ．716D ．5165．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（） A ．35B ．79C ．715D ．31456．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（） A ．310B ．25C ．825D ．357．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（） A ．23B ．14C ．38D ．348．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）A ．12B ．34C ．27D ．389．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．14B ．13C ．17D ．41310．已知三棱锥P ﹣ABC 的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（） A ．815B ．715C ．45D ．3511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+ D ．()23323ππ-+二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.15．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.17．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.18．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率为______．19．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．20．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________三、解答题21．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．22．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为5 12.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++23．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为10 11.（1）求m，n的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 24．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.25．为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（1）若该年级共有1000名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数；（2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）；（3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.26．2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0,40]，(40,80]，(80,120]，(120,160]，(160,200]得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 2．B解析：B 【解析】设3名女志愿者为,,A B C ，2名男志愿者为,a b ，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab ，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B. 3．C解析：C 【分析】设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意求得r ，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案．【详解】解：设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意可知，88r =，即1r =．∴图中黑色区域的面积为222884412648ππππ⨯-⨯+⨯⨯+⨯=-，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为6481648ππ-=-．故选：C ．【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率．【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除，所以所求概率为516P =．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．5．A解析：A【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：139 25P=⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237 59P=⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1329 515 2P=⨯=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：2377 5915P=⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C AAA A A⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C CC A C C AA A⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.7．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.8．C解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.9．C解析：C 【分析】由题意求出7AB BD =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即7AB BD =，所以7AB FD =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率．【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=， ∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==．故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．A解析：A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯，等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-，所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事解析：7 10【分析】基本事件总数2510n C==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者，所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010 P=-=.故答案为：7 10【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.15．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.16．【分析】基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：由此能求出五位德国游客互不相邻的概率【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的解析：799【分析】基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =，由此能求出五位德国游客互不相邻的概率．【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =， ∴五位德国游客互不相邻的概率为75781212799A A m p n A ===．故答案为：799．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为23，则有2263m =，解得2m =，故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.18．【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概率故答案 23【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体，则正方体的对角线的长是外接球的直径，即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==，故答案为239π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．19．【解析】【分析】由题意从中任取两个不同的数共有中不同的取法再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法利用对立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意从中任取两个不同的数共有中解析：5 6【解析】【分析】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为1,4时，只有一种取法，所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为15166 P=-=.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20．78【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种解析：【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．三、解答题21．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为17 18.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13 18.试题（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A,则()11117 133218P A=-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.根据题意,()11111033218P X=-=⨯⨯=, ()2112023329P X==⨯⨯⨯=,()2212103329P X==⨯⨯=,()11112033218P X==⨯⨯=,()21123023329P X==⨯⨯⨯=,()2212403329P X==⨯⨯=.随机变量X的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 22．（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13203. 【分析】（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论；（2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】（1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴2260(1052520)10815.42910.828352530307K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至多”等，属于中档题. 23．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率．【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程组得4m =，8n =，故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则。

(精选试题附答案)高中数学第十章概率知识总结例题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率知识总结例题单选题1、从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为（）． A ．13B ．12C ．14D ．23答案：B分析：一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数n 和有利事件数m ，代入古典概型的概率计算公式P =mn ，即可得解.解：从集合{2,4,6,8}中任取两个不同元素的取法有(2,4)、(2,6)、(2,8)、(4,6)、(4,8)、(6,8)共6种，其中满足两个元素相差2的取法有(2,4)、(4,6)、(6,8)共3种.故这两个元素相差2的概率为12.故选：B.2、用1，2，3，4编号10个小球，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，则0.4是指1号球占总体的（）A ．频数B ．频数/组距C ．频率/组距D ．频率答案：D分析：根据频率定义可得答案.因为1号球的频数为4，所以1号球占总体的频率为410=0.4. 故选：D.3、我们通常所说的ABO 血型系统是由A ，B ，O 三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA ，AO 为A 型血，BB ，BO 为B 型血，AB 为AB 型血，OO 为O 型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO ，AB ，则孩子的基因型等可能的出现AA ，AB ，AO ，BO 四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB 型，不考虑基因突变，则小明是A 型血的概率为（）A ．116B ．18C ．14D ．12 答案：C分析：根据给定条件求出父亲所有可能血型的概率，再分情况求解小明是A 型血的概率作答.因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB 型，则小明父亲的血型可能是AA ，AB ，BB ，它们对应的概率分别为14,12,14，当小明父亲的血型是AA 时，因其母亲的血型为AB ，则小明的血型可能是AA ，AB ，它们的概率均为12，此时小明是A 型血的概率为14×12=18，当小明父亲的血型是AB 时，因其母亲的血型为AB ，则小明的血型是AA 的概率为14，此时小明是A 型血的概率为12×14=18，当小明父亲的血型是BB 时，因其母亲的血型为AB ，则小明的血型不可能是AA ，所以小明是A 型血的概率为18+18=14，即C 正确. 故选：C4、某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数： 812，832，569，683，271，989，730，537，925，907 由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5 答案：A分析：由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为210=0.2.故选：A.5、下列事件中不是确定事件的个数是（）①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；②水中捞月；③守株待兔；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量 A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据随机事件的定义分析判断即可三角形三条高线一定交于一点，则①是必然事件； ②水中捞月是不可能事件；③守株待兔是随机事件，不是确定事件；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是随机事件，不是确定事件. 故选：B.6、若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足m 2+n 2<25的概率是（） A ．12B ．1336C ．49D ．512答案：B分析：利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(m,n)表示，则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足m 2+n 2<25有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足m 2+n 2<25的概率P =1336．故选：B7、已知集合M ={−1,0,1,−2}，从集合M 中有放回地任取两元素作为点P 的坐标，则点P 落在坐标轴上的概率为（）A ．516B ．716C ．38D ．58 答案：B分析：利用古典概型的概率求解.由已知得，基本事件共有4×4= 16个，其中落在坐标轴上的点为：(−1,0)，(0,−1)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(−2,0)，(0,−2)，共7个， ∴所求的概率P =716，故选：B ．8、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球” 答案：A分析：根据互斥事件和对立事件的定义直接判断.对于A ：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故A 中的两事件互斥而不对立；对于B ：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” 能同时发生，故B 中的两事件不互斥；对于C ：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故C 中的两事件不是互斥事件；对于D ：“至少有一个黑球”与“都是红球” 互斥并且对立.故选：A9、高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a 、b 、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则ab =（） A ．320B ．110C ．115D ．15 答案：B分析：利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a ，b 的方程，联立求解即得.依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则ab ⋅(1−14)+14a(1−b)+14b(1−a)=15，整理得ab +a +b =45，又三个社团都进不了的概率为310，则(1−a)(1−b)(1−14)=310，整理得a +b −ab =35，联立ab +a +b =45与a +b −ab =35，解得ab =110，所以ab =110. 故选：B10、已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（） A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.75 答案：D分析：由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率.在20组随机数中含{2,3,4,5,6,7,8,9}中的数至少3个（含3个或4个），共有15组，即模拟结果中射击4次，至少击中3次的频率为1520=0.75.据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75.故选：D填空题11、某校为了庆祝六一儿童节，计划在学校花坛的左右两边布置红色､黄色､蓝色､绿色4种颜色的气球，要求每一边布置两种颜色的气球，则红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为___________.答案：13分析：列举出所有结果，然后由古典概型的概率公式可得.在学校花坛的左右两边布置气球的所有可能结果有（红黄，蓝绿），（红蓝，黄绿），（红绿，黄蓝），（黄蓝，红绿），（黄绿，红蓝），（蓝绿，红黄），共6种，其中红色气球和黄色气球恰好在同一边的所有可能结果有（红黄，蓝绿），（蓝绿，红黄），共2种，所以红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为26=13.所以答案是：1312、为了迎接春节，小王买了红､黄､紫三种颜色的花各一盆，准备并排摆放在自家阳台上，则红和紫两种颜色的花不相邻的概率为___________.答案：13分析：列出所有可能的基本事件和符合条件的基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解.红､黄､紫三种颜色的花依次摆放的方法有：（红､黄､紫），（红､紫､黄），（黄､红､紫），（黄､紫､红），（紫､红､黄），（紫､黄､红），共6种不同的情况，其中满足条件的是（红､黄､紫），（紫､黄､红），共2种情况，所以红和紫两种颜色的花不相邻的概率为26=13.所以答案是：13.13、设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8，0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为________ 答案：0.98分析：利用对立事件和独立事件的概率公式计算．由题意目标未被击中的概率是(1−0.8)×(1−0.9)=0.02，所以目标被击中的概率为1−0.02=0.98．所以答案是：0.98．14、从含有5件次品的100件产品中任取3件，写出取到的产品中没有次品这个事件所对应的子集为______．答案：{0}分析：根据题意直接求解即可.取到的产品中没有次品，说明次品的个数为零，所以答案是：{0}15、对两个相互独立的事件A 和B ，如P(A)=12，P(B)=14，则P(AB)=______．答案：18解析：根据独立事件概率乘法公式计算.根据概率的乘法公式，有：P(AB)=P(A)⋅P(B)=12×14=18．所以答案是：18解答题16、为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油菜籽发芽试验的相关数据如下表．(1)如何计算各批试验中油菜籽发芽的频率？(2)由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？(3)如何确定该油菜籽发芽的概率？答案：(1)答案见解析(2)答案见解析(3)0.900分析：（1）根据频率的定义说明；（2）计算频率，归纳出规律；（3）根据概率的意义确定．（1）利用公式：频率=频数试验次数，可求出各批试验中油菜籽发芽的频率．（2）4 5=0.8，910=0.9，116130≈0.892，637700≈0.91，13701500≈0.913，17862000=0.893，27093000≈0.903，44905000=0.898，当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数．（3）由（2）可知，当试验次数越来越多时，频率在0.900附近波动，由此可估计该油菜籽发芽的概率约为0.900. 17、某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格．（单位：人次）（1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐?（2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率；（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式?答案：（1）中年人更倾向于选择自助餐；（2）P=110；（3）建议其选择自助餐．解析：(1)分别求出三种年龄层次的人群中，选择自助餐的概率，进行比较从而得出结论.(2)点餐不满意的人群中，老年人1人（设为a），中年人2人（设为b，c），青年人2人（设为d，e），列出选2人的基本事件，得出基本事件数和两人都是中年人所包含的事件数，由古典概率公式可得答案.(3)分别求出自助餐和点餐满意的均值，建议选择满意度平均值大.（1）由题知，老年人选择自助餐的频率P1=1519，中年人选择自助餐的频率P2=3239，青年人选择自助餐的频率P3=2742，则P2>P1>P3，即中年人更倾向于选择自助餐．（2）点餐不满意的人群中，老年人1人（设为a），中年人2人（设为b，c），青年人2人（设为d，e）．从中选取2人，其基本事件有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10个基本事件，其中2人都是中年人仅有一个(b,c)符合题意；故两人都是中年人的概率为P=110．（3）由表可知，自助餐满意的均值为：x1=52×10+12×5+10×052+12+10=58074．点餐满意的均值为：x2=4×10+17×5+5×04+17+5=12526x1>x2，故建议其选择自助餐．18、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率..答案：（1）0.006；（2）0.4；（3）110分析：（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为1，可求a；（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为0.4，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为A1,A2,A3，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为B1,B2，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.（1）因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1，所以a=0.006（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为A1,A2,A3；受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为B1,B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2}{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1,B2}，故所求的概率为P=110小提示：本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况.19、从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：(1)求表中字母a的值；(2)求至多遇到5个红灯的概率．答案：(1)a=0.2(2)0.97分析：（1）根据概率之和为1，由题中数据，即可列出等式，求出a的值；（2）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.（1）由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1，解得a=0.2.（2）设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件D̅，则P(D̅)=1−P(D)=1−0.03=0.97.。

高中概率计算练习题及讲解

高中概率计算练习题及讲解### 高中概率计算练习题及讲解#### 练习题一：掷骰子问题1. 问题描述：一个均匀的六面骰子被掷一次，求掷出奇数点的概率。

2. 解题思路：首先确定总的可能结果数，然后计算满足条件的结果数，最后用满足条件的结果数除以总的可能结果数。

3. 答案：\( P(\text{奇数}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)#### 练习题二：抽签问题1. 问题描述：在一个箱子里有10张签，其中3张是中奖签。

如果随机抽取两张，求至少中一张的概率。

2. 解题思路：可以使用间接法，即先计算没有中奖的概率，然后用1减去这个概率得到至少中一张的概率。

3. 答案：\( P(\text{至少中一张}) = 1 - P(\text{都不中}) = 1 - \frac{C(7,2)}{C(10,2)} = 1 - \frac{21}{45} = \frac{24}{45} =\frac{8}{15} \)#### 练习题三：独立事件问题1. 问题描述：甲乙两人独立完成一项任务，甲成功的概率为0.7，乙成功的概率为0.6。

求两人都成功的概率。

2. 解题思路：独立事件同时发生的概率等于各自发生概率的乘积。

3. 答案：\( P(\text{甲乙都成功}) = 0.7 \times 0.6 = 0.42 \)#### 练习题四：条件概率问题1. 问题描述：已知某地区患某种疾病的概率为0.01，检测出患病的概率为0.95，求检测出患病的条件下，实际患病的概率。

2. 解题思路：使用贝叶斯定理计算条件概率。

3. 答案：设事件A为患病，事件B为检测出患病，则\( P(A|B) =\frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)} = \frac{0.95 \times0.01}{0.95 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99} \)#### 练习题五：几何概率问题1. 问题描述：一个圆形区域的半径为1，随机投掷一个点，求该点落在圆内某半径为0.5的同心圆内的概率。

高中数学概率试题及答案

高中数学概率试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取一个球，抽到红球的概率是：A. 1/2B. 2/5C. 3/5D. 4/52. 一个袋子里有3个白球和2个黑球，不放回地连续抽取两个球，抽到两个白球的概率是：A. 1/5B. 3/10C. 1/2D. 2/53. 一枚均匀的硬币连续抛掷两次，出现至少一次正面朝上的概率是：A. 1/2B. 3/4C. 1/4D. 14. 一个班级有20名学生，其中10名男生和10名女生。

随机选取3名学生，至少有一名女生的概率是：A. 1/2B. 3/5C. 1D. 2/3二、填空题（每题5分，共20分）5. 一个袋子里有5个红球和5个黑球，随机抽取3个球，抽到至少2个红球的概率是______。

6. 一个骰子有6个面，每个面上的点数从1到6。

连续投掷两次骰子，两次点数之和为7的概率是______。

7. 一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。

随机选取5名学生，恰好有2名男生和3名女生的概率是______。

8. 一个袋子里有10个球，其中3个红球，7个蓝球。

不放回地抽取3个球，抽到3个红球的概率是______。

三、解答题（每题10分，共20分）9. 一个袋子里有10个球，其中2个红球，8个蓝球。

随机抽取3个球，求抽到至少一个红球的概率。

10. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，不放回地抽取3个球，求抽到2个红球和1个蓝球的概率。

答案：一、选择题1. C2. B3. B4. C二、填空题5. 11/206. 1/67. 3/88. 1/10三、解答题9. 抽到至少一个红球的概率是1 - 抽到3个蓝球的概率 = 1 - (8/10 * 7/9 * 6/8) = 1 - 7/15 = 8/15。

10. 抽到2个红球和1个蓝球的概率是(2/10 * 1/9 * 5/8) + (1/10 * 2/9 * 5/8) = 1/18 + 1/36 = 5/36。

高三数学概率练习题及答案2023

高三数学概率练习题及答案2023概率是数学中一个重要的分支，它研究的是不确定事件的可能性。

在高三数学学习中，概率也是一个重要的内容。

为了帮助各位高三学生巩固概率知识，我整理了一些概率练习题及其答案。

练习题一：1.一个有12个红球和8个蓝球的袋子，从中随机抽取4个球，求抽到2个红球2个蓝球的概率。

2.在一批电脑中，有60%的电脑工作正常，40%的电脑存在故障。

如果从中随机抽取3台电脑，求至少有2台工作正常的概率。

3.一副扑克牌共有52张牌，其中黑桃、红桃、梅花和方片各有13张。

从中随机抽取5张牌，求其中至少有3张黑桃的概率。

练习题二：1.一个班级有40个学生，其中20个学生喜欢篮球，15个学生喜欢足球，10个学生既喜欢篮球又喜欢足球。

从中随机抽取一个学生，求该学生既喜欢篮球又喜欢足球的概率。

2.一家手机厂商共有1000部手机，其中100部属于次品。

从中抽取5部手机，求至少有1部次品的概率。

3.在一次模拟考试中，某班级参加考试的学生共有50人。

已知这些学生中80%能取得优异成绩，60%能取得及格成绩。

从中随机抽取3个学生，求至少有2个学生能取得优异成绩的概率。

练习题三：1.甲、乙、丙三个人相继投掷一颗骰子，求他们得到的点数之和为9的概率。

2.某商品的包装中有10个零件，其中4个是次品。

从中无放回地抽取3个零件，求其中至少2个是次品的概率。

3.在一场抽奖活动中，共有1000人参与，其中10人可以获奖。

从中随机抽取5人，求至少有1人获奖的概率。

答案解析：练习题一：1.计算红球的概率：P(红球) = 红球个数/总球数 = 12/20。

计算蓝球的概率：P(蓝球) = 蓝球个数/总球数 = 8/20。

计算抽到2个红球2个蓝球的概率：P(2个红球2个蓝球) = C(12,2) * C(8,2) / C(20,4)。

2.计算正常电脑的概率：P(正常) = 60% = 0.6。

计算故障电脑的概率：P(故障) = 40% = 0.4。

高2数学试题概率及答案

高2数学试题概率及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，下列哪个概率是正确的？A. 取出红球的概率是1/3B. 取出蓝球的概率是1/2C. 取出红球的概率是5/8D. 取出蓝球的概率是3/82. 抛一枚公正的硬币两次，下列哪个事件的概率是1/4？A. 两次都是正面B. 两次都是反面C. 至少一次是正面D. 至少一次是反面3. 一个班级有30个学生，其中10个是男生，20个是女生。

随机选择一个学生，下列哪个概率是正确的？A. 选择男生的概率是1/3B. 选择女生的概率是2/5C. 选择男生的概率是1/2D. 选择女生的概率是3/54. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率相等。

投掷一次骰子，下列哪个事件的概率是1/6？A. 得到1点B. 得到2点C. 得到3点D. 所有选项都是1/65. 一个盒子里有3个白球和2个黑球，随机取出两个球，下列哪个组合的概率是1/5？A. 两个都是白球B. 两个都是黑球C. 一个白球和一个黑球D. 没有可能的组合二、填空题（每题2分，共10分）6. 如果一个事件的概率是0.6，那么它的对立事件的概率是________。

7. 一个袋子里有7个球，其中2个是红球，5个是蓝球。

如果随机取出一个球，再放回去，然后再取出一个球，两次取出的都是红球的概率是________。

8. 抛一枚公正的硬币三次，至少出现一次正面的概率是________。

9. 一个袋子里有4个白球和6个黑球，随机取出3个球，取出的球都是同一种颜色的概率是________。

10. 如果一个事件的概率是p，那么它的必然事件的概率是________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个袋子里有10个球，其中4个是红球，6个是蓝球。

求以下事件的概率：- 随机取出一个球，是红球的概率。

- 随机取出两个球，两个都是红球的概率。

12. 一个班级有50个学生，其中25个是男生，25个是女生。

高考概率经典解答题及答案

高考概率经典解答题及答案下面是一些经典的高考概率题目及其答案：1. 问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？答案：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。

因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。

2. 问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？答案：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。

抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。

因此，抽到一黑一白的概率为(5/12) * (7/11) + (7/12) * (5/11) = 35/66。

3. 问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？答案：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。

共有36种不同的点数组合。

其中，和为7的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)这6种组合。

因此，两次投掷的点数之和为7的概率为6/36，即1/6。

以上是一些经典的高考概率题目及其答案，希望对您有帮助。

高中数学概率统计经典例题

高中数学概率统计经典例题高中数学概率统计经典例题可以涵盖各种不同的概率问题，包括随机事件、概率的定义、条件概率、贝叶斯公式、独立事件等。

以下是一些示例:1. 某公司发行了 200 张彩票，其中 100 张为一等奖，每张彩票的价格为 1 元，另有 100 张为二等奖，每张彩票的价格为 2 元。

假设彩民购买了一张彩票，请问中奖的概率是多少？答案：中奖的概率为 1/100 + 1/200 = 3/50。

2. 某次考试中，有 20 道选择题，每道选择题的难度相等，正确答案的概率为 1/4。

请问答对 4 道或 5 道选择题的概率是多少？答案：答对 4 道或 5 道选择题的概率为 (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) + (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) = 1/64。

3. 某只股票的售价为 10 元，预计在未来的 1 个月内会上涨10%,也就是说，股价将会上涨 1 元。

请问购买 100 股股票，总投资金额为多少元？答案：总投资金额为 100×(1+1)=1100 元。

4. 某次比赛共有 20 名参赛者，其中 15 名是男性，5 名是女性。

请问男性参赛者中获得第一名的概率是多少？答案：男性参赛者中获得第一名的概率为 15/20=3/4。

5. 某次考试中，有 20 道选择题，每道选择题的难度相等，正确答案的概率为 1/4。

请问答对 3 道或 4 道选择题的概率是多少？答案：答对 3 道或 4 道选择题的概率为 (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) + (1/4)×(1/4)×(1/4)×(1/4) = 1/64。

这些示例展示了概率统计在解决实际问题中的重要性。

在高中数学中，概率统计是一个重要的学科，可以帮助人们更好地理解世界，解决实际问题。

高中数学概率练习题含答案

高中数学概率练习题含答案练题一某班级有30名学生，其中15人是女生，15人是男生。

如果从班级中随机选择一个学生，求选择一个男生的概率。

解答选择一个男生的概率为 15/30，即 1/2。

练题二一副扑克牌共有52张牌，其中有4种花色（红桃、黑桃、梅花、方块），每种花色有13张牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K）。

从中随机选择一张牌，求选中一张红桃的概率。

解答选中一张红桃的概率为 13/52，即 1/4。

练题三某公司招聘的两个部门分别是市场部和研发部。

市场部共有8名员工，研发部共有12名员工。

如果从公司中随机选择一个员工，求选择一个市场部员工的概率。

解答选择一个市场部员工的概率为 8/20，即 2/5。

练题四一个骰子有6个面，分别标有1、2、3、4、5、6。

投掷这个骰子一次，求出现奇数的概率。

解答出现奇数的概率为 3/6，即 1/2。

练题五一只袋子中有红球5个，蓝球3个。

从袋子中随机选择一个球，求选择一个蓝球的概率。

解答选择一个蓝球的概率为 3/8。

练题六某商店的销售记录显示，星期一销售了100个产品，其中有20个是绿色的，星期二销售了120个产品，其中有25个是绿色的。

从这两天销售的产品中随机选择一个，求选择一个绿色产品的概率。

解答选择一个绿色产品的概率为 (20+25)/(100+120)，即 45/220。

练题七某学校的学生中，60%擅长数学，40%擅长英语。

一名学生同时擅长数学和英语的概率为20%。

如果从学校中随机选择一名学生，求选择一名既擅长数学又擅长英语的概率。

解答选择一名既擅长数学又擅长英语的概率为 (60%*40%*20%)，即 4%。

概率大题练习题及讲解高中

概率大题练习题及讲解高中概率论是高中数学中的一个重要分支，它涉及到随机事件及其发生的可能性。

以下是一些概率大题的练习题及简要讲解，供高中生参考和练习。

练习题1：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机从袋子中取出一个球，观察其颜色。

求取出红球的概率。

解答：总共有8个球，其中5个是红球。

取出红球的概率为红球数除以总球数，即：\[ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \]练习题2：一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。

现在随机抽取3名学生，求至少有1名女生的概率。

解答：首先计算没有女生的概率，即抽取的3名学生都是男生的概率。

从30名男生中抽取3名，总共有\[ C_{30}^{3} \]种组合，而从50名学生中抽取3名，总共有\[ C_{50}^{3} \]种组合。

因此，没有女生的概率为：\[ P(\text{无女生}) = \frac{C_{30}^{3}}{C_{50}^{3}} \]至少有1名女生的概率为1减去没有女生的概率：\[ P(\text{至少1名女生}) = 1 - P(\text{无女生}) \]练习题3：一个工厂生产的零件中，有2%是次品。

现在随机抽取10个零件进行检查，求至少有1个次品的概率。

解答：这是一个二项分布问题。

次品的概率为0.02，非次品的概率为0.98。

使用二项分布公式计算至少有1个次品的概率：\[ P(\text{至少1个次品}) = 1 - P(\text{0个次品}) - P(\text{1个次品}) \]其中，\( P(\text{0个次品}) \)和\( P(\text{1个次品}) \)分别使用二项分布公式计算。

练习题4：一个骰子有6个面，每个面上的数字是1到6。

投掷骰子两次，求两次投掷结果之和为7的概率。

解答：两次投掷结果之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)六种。

每次投掷有6种可能，所以总共有\[ 6 \times 6 \]种可能的组合。

高中概率基础练习题及讲解

高中概率基础练习题及讲解1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有1个红球的概率。

解答：首先，我们可以计算出所有可能的抽取组合。

总共有8个球，抽取2个球的组合数为 C(8, 2) = 28。

接下来，我们找出没有红球的组合，即全部抽取蓝球的组合数，C(3, 2) = 3。

因此，至少有1个红球的概率为 1 - 抽取蓝球组合的概率，即 1 - 3/28 = 25/28。

2. 题目：一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。

随机选择4名学生，求至少有1名女生的概率。

解答：我们首先计算所有可能的组合数，即 C(40, 4)。

然后，我们找出没有女生的组合，即全部选择男生的组合数，C(20, 4)。

至少有1名女生的概率为 1 - 没有女生的组合数除以总组合数，即 1 - C(20, 4) / C(40, 4)。

3. 题目：抛掷一枚均匀的硬币3次，求至少出现1次正面的概率。

解答：抛掷硬币3次，每次出现正面或反面的概率都是1/2。

我们先计算出没有出现正面的情况，即3次都是反面的概率，为 (1/2)^3 = 1/8。

至少出现1次正面的概率为 1 - 没有正面的概率，即 1 -1/8 = 7/8。

4. 题目：一个班级有30名学生，随机选择5名学生参加比赛，求至少有1名来自数学小组的学生被选中的概率，假设数学小组有10名学生。

解答：我们首先计算所有可能的组合数，即 C(30, 5)。

然后，我们找出没有数学小组学生被选中的组合数，即从20名非数学小组学生中选择5名学生的组合数，C(20, 5)。

至少有1名数学小组学生被选中的概率为 1 - 没有数学小组学生的组合数除以总组合数，即 1 -C(20, 5) / C(30, 5)。

5. 题目：一个盒子里有10个灯泡，其中3个是坏的，7个是好的。

随机抽取2个灯泡，求至少有1个是好的灯泡的概率。

解答：我们首先计算所有可能的抽取组合，即 C(10, 2)。

高一数学必修三概率巩固练习

概率巩固练习一、选择题1.分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为x 和y ，则x y >的概率为A ．310B ．25C ．35D ．710. 2. 一个圆形游戏转盘上有四个扇形区域，其颜色分别为红、黄、蓝、黑（如图），并且它们的面积比为4:1:2:3．随机转动一下转盘，则指针停在红色或黑色区域的概率为（） A. 103 B.25 C ．12 D.710 5. 在如图边长为cm 4的正方形中随机扔一颗豆子，假设豆子不落在线上，那么豆子落在正方形内切圆内部的概率为A.41π- B.8π C.3π D.4π 6. 在面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积大于2S 的概率是 A.31 B.21 C.43 D.41 二、填空题7．随机地掷一颗骰子，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“大于4的点数出现”，则事件B A +发生的概率为____________.8．如图，阴影部分为圆O 的内接等腰直角三角形(斜边为圆O的直径),假设你在图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为9. 口袋中有大小相同、标号分别为1，2，3，4的四张卡片.从中任意取出两张卡片，记“两张卡片的标号之和不小于6”为事件A ，则事件A 发生的概率)(A P 等于 .10．如右图，一张正方形的桌面被划分为九个全等的小正方形．现将一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为___ _____ ．三、解答题11．同时掷两枚骰子，计算: (1)两枚骰子向上的点数相等的概率；(2) 两枚骰子点数之和是7的倍数的概率.红黄蓝黑（第2题图）（第8题图）（第10题图）。

高考数学总复习含答案：巩固练习_高考总复习：随机事件及其概率(提高)

【巩固练习】1．已知非空集合A、B满足AÜB，给出以下四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的个数是()A．1B．2C．3 D．42.（2015春邯郸期末）甲、乙两战士进行射击比赛，甲不输的概率为0.59，乙输的概率为0.44，则甲不赢的概率和甲、乙两人战平概率分别是（）A．0.41，0.03 B．0.56，0.03 C．0.41，0.15 D．0.56，0.153．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为()A.15B.25C.35D.454．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是( )A.116B.316C.14D.7165．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2`，3,4. 把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有数字之和能被5整除的概率为 ( )A.116B.14C.38D.126．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()A．0.20 B．0.60C．0.80 D．0.127．已知一组抛物线y＝12ax2＋bx＋1，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是 ( )A.112B.760C.625D.5168．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( )A．对立事件 B．不可能事件C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对9．12件瓷器中，有10件正品，2件次品，从中任意取出3件，有以下事件：①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品．其中随机事件是________；必然事件是________；不可能事件是________(填上相应的序号)．10．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为________．11. （2015春•淮安期末）投掷一枚均匀硬币，则正面或反面出现的概率都是，反复这样的投掷，数列{a n}定义如下：a n=，设S n=a1+a2+…a n，则S2≠0，且S6=0的概率为．12. （2015 陕西校级模拟）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.3，0.5，0.2．（Ⅰ）求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．13．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率．14．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．(1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；(2)求点P(x，y)满足y2＜4x的概率．15.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.16.由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n 的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.【参考答案】1．【答案】C【解析】①③④正确，②是随机事件．2.【答案】D【解析】∵甲不输的概率为0.59，乙输的概率为0.44，∴甲赢与甲乙平局的概率是0.59，又乙输的概率是甲赢的概率，∴甲赢的概率是0.44，∴甲不赢的概率是1﹣0.44=0.56；甲、乙两人战平的概率是0.59﹣0.44=0.15．故选D．3．【答案】C【解析】记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E 互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．∴P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝15＋15＋15＝35.4．【答案】B【解析】：据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为273 14416=5．【答案】B【解析】：把“两个玩具斜向上的面的数字之和能被5整除”记为事件A，每个玩具斜向上的面的数字之和有4种情况，两个玩具各抛掷一次，斜向上的面的数字之和共有4×4＝16(种)情况，其中能被5整除的有4种情况，举例如下：(1,2,3)，(2,3,4)；(1,2,4)，(1,3,4)；(1,3,4)，(1,2,4)；(2,3,4)，(1,2,3)．所以P(A)＝41 164=.6．【答案】C【解析】该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为0.20＋0.60＝0.80. 7．【答案】B【解析】：y′=ax+b，把x=1代入，得y′|x=1=a+b.a+b=5的有1种；a+b=7的有23C=3种；a+b=9的有24C=6种；a+b=11的有23C=3种；a+b=13的有22C=1种；共有216C=120种．∴P=13631712060 ++++=.8．【答案】C【解析】：由于甲和乙有可能一人得到的红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件．9．【答案】①②④③【解析】①②是随机事件，④是必然事件，③是不可能事件．10．【答案】0.92【解析】P＝1－5%－3%＝0.92.11.【答案】【解析】事件S2≠0，且S6=0表示反复抛掷6次硬币，其中前2次正面的次数是2次，后四次正面1次、反面3次；前2次反面的次数是2次，后四次正面3次、反面1次；其概率P=×2=．12.【解析】（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”所以P（A+B）=P（A）+P（B）=0.3+0.5=0.8（Ⅱ）设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内被投诉2次”所以P（A i）=0.3，P（B i）=0.5，P（C i）=0.2（i=1，2）所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P（A1C2+A2C1）一、二月份均被投诉1次的概率为P（B1B2）所以P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2）由事件的独立性的p（D）=0.3×0.2+0.2×0.3+0.5×0.5=0.37．13．【解析】法一：设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“进口汽车不超过4年的时间内关税达到要求”就是事件A＋B，显然A与B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.法二：设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M ，则M 为“进口汽车5年关税达到要求”，所以P (M )＝1－P (M )＝1－0.21＝0.79.14．【解析】 (1)每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36个．记“点P (x ，y )在直线y ＝x －1上”为事件A ，A 有5个基本事件：A ＝{(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)}，∴P (A )＝536(2)记“点P (x ，y )满足y 2＜4x ”为事件B ，则事件B 有17个基本事件：当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1,2；当x ＝3时，y ＝1,2,3；当x ＝4时，y ＝1,2,3；当x ＝5时，y ＝1,2,3,4；当x ＝6时，y ＝1,2,3,4. ∴P (B )＝1736. 15.【解析】（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以40M =. 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.40.1040m p M ===. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种，所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93） 16.【解析】（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n++++++=，所以100n =. （Ⅱ）设所选取的人中，有m 人20岁以下，则2002003005m=+，解得2m =.也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A 1，A 2；B 1，B 2，B 3，则从中任取2人的所有基本事件为 (A 1,B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)，(B 1 ,B 2)，(B 2 ,B 3)，(B 1 ,B 3)共10个.其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)，所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为710. （Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2，所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为81.。