双曲线及其标准方程(教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册

第二单元双曲线一、内容和内容解析（一）内容双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质本单元内容结构图如下：（二）内容解析1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。

所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用.4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质二、目标及其解析（一）单元目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．4．理解数形结合思想．（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．三、教学问题诊断分析1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。

正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。

而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。

破解方法：在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。

2.解析几何的学习对运算能力的要求颇高.对学生而言，代数运算是主要“拦路虎”之一。

解题过程中，许多学生都是因为不能顺利完成代数运算而导致失败.破解方法：把握双曲线这个单元运算的特点，本单元的运算是建立在几何背景下的代数运算，所以先用几何眼光观察，分析清楚几何图形的要素及其基本关系，再用代数语言表达，而且在运算过程中时刻注意利用图形的几何特征及图形间的关系来简化运算.在本单元教学中，提高运算能力不能仅从代数角度人手，还要努力提高学生的几何图形分析能力，即是要在落实数形结合思想上下功夫.本单元教学难点：双曲线的形成以及渐近线的发现.四、教学支持条件分析1.帮助学生深人理解双曲线的几何特征，熟练运用坐标法研究双曲线的几何性质，并能解决有一实际应用问题，通过解题感悟解析几何中蕴含的数学思想.教学中应注意教材例题的的教学功能，使学生认识到认真解答这些题目的重要性，必要时可以对有关题目进行适当的变式拓展，使利用坐标法研究几何问题具有程序性和普适性.2.硬件支持是导学案和信息技术作图软件，如果是pad智慧课堂更好.五、课时分配设计本单元共3课时，具体分配如下：第1课时，双曲线及其标准方程第2课时，双曲线的简单几何性质（1）第2课时，双曲线的简单几何性质（2）六、课时教学设计第一课时双曲线及其标准方程（一）教学内容：双曲线及其标准方程（二）教学目标1.掌握双曲线的标准方程及其求法2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分（三）教学重点及难点 1.重点用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 2.难点双曲线的标准方程及其求法. （四）教学过程情景导入：双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。

本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。

问题1：我们知道，平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹是椭圆，那么平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？师生活动：（1）教师利用信息技术作图展示，让学生观察交点的轨迹，抽象出双曲线的概念12121212如图，在直线上取两个定点,，是直线上的动点。

在平面内，取定点,，以点为圆心、线段为半径作圆，在以为圆心、线段为半径作圆。

我们知道，当点在线段上运动时，如果＜,那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆；如果＞，两圆不相交，不存在交点轨迹。

l A B P l F F F PA F PBPAB F F AB M F F AB12（2）教师追问：如图，在＞的条件下，让点在线段外运动，这时动点满足什么几何条件？两圆的交点的轨迹是什么形状？F F AB P AB M M（3）学生观察思考后回答，教师补充完善双曲线概念，学生填写到学案上（4）教师追问：在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<12|F F |,则点的轨迹是怎样的?让学生观察动态图形，得出结论，进而强调双曲线中a>c结论:①当2a 等于|12F F |时,动点的轨迹是以12F F 、为端点的两条方向相反的射线(包括端点). ②当2a 大于|12F F |时,动点的轨迹不存在.③当2a 等于零时,动点轨迹为线段12F F 的垂直平分线.设计意图：通过实际问题，引导学生类比思考，引出双曲线的定义。

发展学生数学抽象，直观想象的核心素养。

问题2：类比求椭圆标准方程的过程，你能建立适当的坐标系，得出双曲线的方程吗？师生活动：（1）学生在学案上作答，教师巡视查看情况；先做完的学生提交自己的过程展示，师生共同评价.以F1,F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，此时双曲线的焦点分别为F1（−c,0）,F2（c,0）设P(x,y)是双曲线上一点，则||PF1|−|PF2||=2a,因为|PF1|=√(x+c)2+y2,|PF2|=√(x−c)2+y2,所以√(x+c)2+y2−√(x−c)2+y2=±2a①由①得2222√(x+c)2+y2+√(x−c)2+y2=±2a整理得√(x+c)2+y2−√(x−c)2+y2=±2cax.②且②与①右边同时取正号或负号，①+ ②整理得√(x+c)2+y2=±(a+cax)③将③式平方再整理得c 2−a2a2x2−y2=c2−a2④因为c>a>0，所以c2−a2>0设c2−a2=b2且b>0,则④可化为x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)步骤程序化：建立直角坐标系→写出满足条件的点的集合→转化为代数方程→化简整理为与椭圆标椎方程相似的形式→出现b2→得双曲线的标椎方程（2）教师追问：你能在y轴上找到一点B，使|OB|=b吗？学生在图形中探讨后回答，教师点评（3）教师追问：若以F1,F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时；双曲线的标准方程是什么？学生回答后，教师强调与第一个方程的关系，使学生理解它们之间的内在联系.学生填写学案上的表格，总结双曲线的两种标椎方程：F(-c,0),F(c,0)F(0,-c),F(0,c)设计意图：类比椭圆的标准方程推导，运用双曲线定义推导其标准方程。

发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养.问题3：你能结合椭圆与双曲线的定义和标椎方程，找到它们有哪些相同和不同吗？师生活动：（1）学生填写导学案表格，教师强调①a,b,c三个字母的关系，椭圆中，a是“老大”，双曲线中，c是“老大”，②如何由方程判断焦点的位置（2）教师可以随机举例，由方程求焦点坐标的小问题，让学生快速回答，例如：求下列曲线的焦点坐标①x 220−y216=1.②y220−x216=1.③x220+y216=1.④y220+x216=1.设计意图：与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分,发展类比思维.问题4：你能根据所给条件，求出对应的双曲线的标准方程吗？师生活动：【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在x轴上,a=2√5,经过点A(-5,2);(2)经过两点A(-7,-6√2),B(2√7,3).（1）教师点拨：第一问设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0),代入点的坐标,解方程即可得到；第二问可设双曲线方程为mx 2-ny 2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到. 学生独立做到学案上，做完后展示答案.解:(1)设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0),则a=2√5,25a 2−4b 2=1,解得b 2=16,则双曲线的标准方程为x 220−y 216=1. (2)设双曲线方程为mx 2-ny 2=1,则有{49m -72n =1,28m -9n =1,解得{m =125,n =175,则双曲线的标准方程为x 225−y 275=1. （2）教师点评后，总结一般方法：求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a ,b 的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx 2+ny 2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m ,n ,避免了讨论,从而简化求解过程. （3）跟踪训练，学生在学案上迅速作答【跟踪训练1】 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)焦点在x 轴上,经过点P (4,-2)和点Q (2√6,2√2); (2)过点P (3,154),Q (-163,5)且焦点在坐标轴上.设计意图：通过典例解析，帮助学生形成求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法，跟踪训练使学生尽快掌握求双曲线的标准方程的方法，检测学生的计算能力. 问题5：对于下面的实际问题 ，你能利用今天学习的知识解决吗？【例2】已知,两地相距800，在地听到爆炸声比在地晚2，且声速为340m /,求炮弹爆炸点的轨迹方程。

A B m A B s s师生活动：（1）教师用ppt 展示例题，画图分析后，学生在学案上作答，教师点评，强调这里是双曲线的一支，方程后面必须加上x 的范围-=⨯=======-=-=≥-=≥22222解：建立平面直角坐标系，使,两点在上，并且原点与线段的中点重合。