数学建模试卷及参考答案

数学建模试卷及参考答案

一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）

1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分）

答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。

2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分)

答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。

3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)

答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。

二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）

1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达

山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店.

证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明:

记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s.

设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是

一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。

作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的，

则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成

记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，1，2,........，

k x ，k y =0，1，2，3。将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。安全

渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。

()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分）

记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ，

k v ）定义为决策。允许决策集合记作

D ，由小船的容量可知

(){2

,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u }

（3分）

状态

k

s 随

k

d 的变化规律是：

1

+k s =

k

s +()k k d *-1

（3分）

模型求解 用图解法解这个模型更为方便，如下：（6分）

三、计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）

1、⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=14/13/1411311

A 试用和法求出

A 的最大特征值，并做一致性检验

（3时， 0.58）。

答：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14/13/1411311A 中各列归一化 ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛8/19/17/18/49/47/38/39/47/3

各行求和 ⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛569.0373.1248.1=w 2

分 而⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=328.1897.4328.4Aw ，（1

分） 所

以最大特征根为

123.3)569

.0328

.1373.1897.4248.1328.4(31)(3131=++==∑

=i i i w Aw λ

2分

其一致性指标为：

061.02

3

123.31

33

=-=

--λ

2分

1.0106.058

.0061.0>==RI CI 所以A 不通过一致性检验。 2分

2、

一块土地，若从事农业生产可收100元，若将土地租给某乙

用于工业生产，可收200元。若租给某丙开发旅游业可收300元。当丙请乙参与经营时，收入达400元，为促成最高收入的实现，试用值方法分配各人的所得。(9分)

答：甲、乙、丙所得应为250元，50元，100元(步骤略) 3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C 1,每天每件产品贮存费用为C 2, 缺货损失费为C 3，试作一合理假设，建立允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。（9分） 解:模型假设:

1. 产品每天需求量为常数r

2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2

3. 生产能力无限大 ，缺货损失费为C 3 ，当1时产品已用完

4. 生

产

周

期

为

T

，

产

量

为

Q

(2分) 模型建立

一周期总费用如下: 2

)(2213121T T r C Q

T C C C -+

+=

(2分)

一周期平均费用为 rT

Q rT C rT Q C T C Q T f 2)(2),(2

3221-+

+=

(2分)

模型求解: 用微分法解得周期 3

2321)

(2C rC C C C T +=

(1分)

产

量

)

(23223

1C C C C rC Q +=

(1分)

4、人的状态分为三种：1（健康），2（患病），3（死亡）。

设对特定年龄段的人，今年健康，明年保持健康的概率为0.8，患病的概率为0.18，而今年患病的人明年健康的概率为0.65，健康的概率为0.25，构造马氏链模型，说明它是吸收链，并求健康，患病出发变成死亡的平均转移次数。