2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优练习题(含答案)含详细答案

2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优练习题(含答案)含详细

答案

一、直角三角形的边角关系

1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．

【答案】553

【解析】

【分析】

如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．

【详解】

解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．

∵AM⊥CD，

∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，

∴四边形OQMP是矩形，

∴QM＝OP，

∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∵OP⊥CD，

∠COD＝30°，

∴∠COP＝1

2

∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3

∵∠AOC＝∠QOP＝90°，

∴∠AOQ＝∠COP＝30°，

∴AQ＝1

OA＝5（分米），

2

∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3

∵OB∥CD，

∴∠BOD ＝∠ODC ＝60°

在Rt △OFK 中，KO ＝OF•cos60°＝2（分米），FK ＝OF•sin60°＝23（分米）， 在Rt △PKE 中，EK ＝22EF FK -＝26（分米），

∴BE ＝10−2−26＝（8−26）（分米），

在Rt △OFJ 中，OJ ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ ＝23（分米），

在Rt △FJE′中，E′J ＝2263-（2）

＝26， ∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，

∴B′E′−BE ＝4．

故答案为：5＋53，4．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

2．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD .

（1）求证：直线OD 是E e 的切线；

（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ：

①当1an 7t ACF ∠=

时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求BG CF

的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫

⎪⎝⎭，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】

【分析】

（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；

（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得12

BG CF ≤，从而得解.

【详解】

（1）证明：连接DE ，则：

∵BC 为直径

∴90BDC ∠=︒

∴90BDA ∠=︒

∵OA OB =

∴OD OB OA ==

∴OBD ODB ∠=∠

∵EB ED =

∴EBD EDB ∠=∠

∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠

即：EBO EDO ∠=∠

∵CB x ⊥轴

∴90EBO ∠=︒

∴90EDO ∠=︒

∴直线OD 为E e 的切线.

（2）①如图1，当F 位于AB 上时：

∵1~ANF ABC ∆∆ ∴

11NF AF AN AB BC AC

== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠=

==-，解得：1031x = ∴150531

AF x == 1504333131

OF =-=

即143,031F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

如图2，当F 位于BA 的延长线上时：

∵2~AMF ABC ∆∆

∴设3AM x =，则224,5MF x AF x ==

∴103CM CA AM x =+=+

∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠=

==+ 解得：25

x = ∴252AF x ==

2325OF =+=

即2(5,0)F

②如图，作GM BC ⊥于点M ，

∵BC 是直径

∴90CGB CBF ∠=∠=︒

∴~CBF CGB ∆∆

∴8BG MG MG CF BC == ∵MG ≤半径4= ∴41882

BG MG CF =≤= ∴BG CF 的最大值为12.

【点睛】

本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

3．如图，在平行四边形ABCD 中，平分，交于点，平分，交于点

，与交于点，连接，.

（1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

试题分析：（1）根据AE 平分∠BAD 、BF 平分∠ABC 及平行四边形的性质可得AF=AB=BE ，从而可知ABEF 为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形

（2）由菱形的性质可知AP 的长及∠PAF=60°，过点P 作PH ⊥AD 于H ，即可得到PH 、DH 的长，从而可求tan ∠ADP

试题解析：(1)∵AE 平分∠BAD BF 平分∠ABC

∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF