盖尔圆估计特征值所在范围

合集下载

2盖尔圆

定理4 设A是严格占优或弱占优可约的， C，不 t 0 t 1，则 a 11 ta12 ta1n ta 21 a 22 ta 2 n C ta ta n 2 a nn n1 也是严格占优或弱占不可约的，且 0. 优 C
为了得到有效的估计，往往希望每个圆盘只包含A的一个特征值，这就需要将每个圆盘的半径适当
缩小．
两种方法（1）对 A T应用圆盘定理；（2）对矩阵A施行相似变换后再应用圆盘定理．
一般为简便起见，可选择对角矩阵作相似变换矩阵．
A (aij )nn，令P diagd 1 , d 2 ,, d n ，其中d i 0 ( i 1,2,, n)，则B PAP
a12 a 22 a n2
a1n a 2n D B C, a nn
其中
D diag(a11 , a22 ,, ann ), aii 0, 0 a21 B a n1 0 0 an 2 0 0 a12 0 0 0 ，C 0 0 0 a1n a2 n , 0

n n ij
C
n n
，若对于任意有 i恒
a
j i0
a ii ( i 1,2, , n)，
且存在 0，使 a i0 j a i0 i0 ，则称是弱对角行占 i A 优矩阵 .
定义2 设A a ij
ji

C nn，若对于任意有 i恒 n n a jj ( j 1,2, , n)，

第5章特征值的估计

在例 5.2.1 中，圆盘 S1 与 S 2 相交，S1 S 2 构成一个连通区域，而 S 3 与
S 4 是孤立的．
一般地，由矩阵的 k 个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连通部分，并说它是由 k 个盖尔圆组成．一个孤立的盖尔圆组成一个连通部分．圆盘定理 5.2.1 只说明矩阵的特征值均在其全部盖尔圆的并集内，并没有明确指出哪个盖尔圆中有多少个特征值，圆盘定理 5.2.2 更准确地说明特征值的分布情况．
第5章特征值的估计
矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的，但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数
比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因
此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得尤为重要．本章将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以及谱半径的估计．
5.1 特征值界的估计
则有
U H BU U H U H CU U H
n
A AH T T H U ， 2 2 A AH T T H U ， 2 2
2
| Re k | | Re i | |
2 i 1 n
n
i i
2
i 1 n
t ii t ii 2 | | | ， 2 i 1
设 A, B, C 的特征值分别为
k , k ， i k （ i 1, k 1,2,n) ，且满足 | 1 || 2 | | n | ， 1 2 n ，
1 2 n ．
定理 5.1.2 设 A (aij ) C 则
值，于是
2 2 2 2 | | | t | | t | | t | i ii ii ij T i 1 n

西安邮电大学矩阵论期末真题试题2

西安邮电大学研究生课程考试试题
第1页共3页西安邮电大学研究生课程考试试题
（ — 学年第一学期）
一、填空题（每小题4分，共20分）
1.设T 是线性空间n V )1(>n 的线性变换，若数λ不是T 的特征值，则n V 的子空间{}
n V x x Tx x V ∈==,λλ的维数是 2.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5221001i i A ,其中1-=i ，则=1A ,=2A , =F A
3.已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=613
13461A ,矩阵A 是否是收敛矩阵，根据是 4.已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300211101A ,则A 的Jordan 标准形是 5.线性空间n V 中，设由基（Ⅰ）：n x x x ,,,21Λ到基（Ⅱ）：n y y y ,,,21Λ的过渡矩阵为C ，给定n 阶矩阵B ，线性变换T 满足B x x x Ty Ty Ty n n ),,,(),,,(2121ΛΛ=，则T 在基（Ⅱ）下的矩阵是
二、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=321043211111A ，求A 的满秩分解．(10分)
三、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4021588017190A ，应用n Gerschgori 的特征值估计理论分离A 的特征值，并在复平面上画图表示．(10分)
四、设n m R A ⨯∈，证明在列向量空间m R 中，)(T A N 与)(A R 互补． (10分)。

矩阵特征值问题的解法要点

1k [a1v1
a2
(
2 1
)k
v2
(
n 1
)k
vn
]
因为
i 1(i 2,3,, n) 1
故当k→∞时， xk→λ1ka1v1.
因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量
有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）
17
算法: 乘幂法
min R( x) x0
min( Ax,
x 2 1
x)
n
max x0
R( x)
max ( Ax, , x 2 1
x)
由于R(x) R( x) ，对于任意 x ，可以取，使
得：||x ||2 1 .
证明: 假设 u1, u2 ,, un 为 A 的规范正交特征向量
组，则对任何向量 x Rn ，有 n x iui i 1
||
Ak z0 Ak z0 ||
14
zk
1k | 1k
|
b1v1 || b1v1
b2
(
2 1
)
k
v2
b2
(
2 1
)
k
v2
bn
(
n 1
)k
vn
bn
( n 1
)k
vn
||
当1>0时
|
1k 1k
|
1
zk
b1v1 || b1v1 ||
当1<0时 1k 1 | 1k |
zk
b1v1 || b1v1 ||
8
于是

矩阵论小结

矩阵论线性空间定义：本质是个集合，满足一定条件下的集合。

首先定义了加法运算（满足加法的交换结合律），在这个集合中能找到零元素，与负元素；然后定义数乘运算（数域上的元素与集合当中的元素相乘），并且满足数乘的分配，结合律（集合中的元素能否进行乘法运算并没有定义）。

最后指出，这些运算都是封闭的，运算的结果与集合中的元素唯一对应。

称这样的一个集合为线性空间。

注意：运算结果与集合中的元素对应。

例如0*a=0（此零非彼零，不是数域里的零，而是线性空间当中的零，即集合当中的零元素<很可能不是零>）核空间：矩阵A对应于齐次线性方程组Ax=0的解空间。

子空间：线性空间对应集合的一个子集，并且也满足线性空间的定义的一个子集。

其中，零空间，与线性空间本身构成平凡子空间，还存在的其他子空间构成非平凡子空间。

矩阵A的核空间就是他的一个子空间，相当于对矩阵A构成的空间中的元素进行了限定。

矩阵A的列向量的线性组合构成了矩阵A的值域空间（其中的基为最大无关组的个数）。

注意：子空间交，与子空间的和任然为子空间，但子空间的并集不一定再是子空间。

属于两个子空间的线性无关的两个基的并基构成新的元素，但是这个元素不在属于原来的两个子空间的任意一个。

子空间中的几个等价定义：（1）直和定义为V1与V2的交空间只包含零元素（不一定是数字零），构成零子空间（2）直和空间中的元素表达式唯一。

（3）V1的基于V2的基直接构成直和空间的基。

（4）和空间的维度等于V1与V2维度的和。

线性映射性质：（1）V1的零元素经过线性映射变为V2的零元素（2）线性相关组经过线性映射之后任然为线性相关（3）线性无关组经过单射线性映射后任然为线性无关同构：两个线性空间之间存在一个一一对应的线性变换，则称这两个矩阵是同构的。

相应的线性变换称为同构映射。

任一线性空间都能够找到一个数域向量与其同构，这个向量就是坐标。

线性变换T的秩，线性映射的坐标表示：T表示线性空间到线性空间的映射，在具体的基底下（两个线性空间基都确定的情况），可以由一个矩阵A表示T，为V到V‘的线性映射。

第八章特征值问题

n
| x p | ¹ 0 ，因此
a p k xk
k 1, k p
k 1, k p

n
| a p k | | xk |
| xp |
从而

n
| a p k | | x p | Rp
| app | Rp
例 5
矩阵
骣 5 0.8 20 琪 A = 琪 10 1 4 琪琪琪 2 10i 1 桫
工程计算中，求解特征值问题的特征对 ( , x ) 时，由于数据往往带有误差，因此我们计算出的特征对 ( , x ) ，实际上是扰动后的特征值问题
Ax x
xx A
的解。这里 A A E, E ( i j )
我们希望知道矩阵元素的变化对特征对的影响。 | 或j | ||的某个上界， i E || 由于我们一般只知道因此有必要研究如何利用这样的上界，尽可能 x 准确地估计与、与 x之间的差距，从而可确定特征值问题的稳定性。由于矩阵的特征多项式的系数是矩阵元素的连续函数，而多项式的根都是其系数的连续函数，因此矩阵的特征值作为特征多项式的零点都连续地依赖于矩阵的元素。因此矩阵元素的连续变化时，必有对应特征值的连续变化。
骣 5 0.4 20 琪 B = D- 1 AD = 琪 10 0.5 4 琪琪琪 4 10i 2 桫
三个行Gerschgorin圆分别收缩为：
G1¢( A) = { z ? C | z 20 | G2¢( A) = { z ? C | z 10 | G3¢( A) = { z ? C | z 10i |
i , j 1 i j
n
三、特征值的界
首先，根据矩阵 A 的Cartesian分解，有

吴莹莹矩阵论作业

本文首先给出Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理，两者都是通过矩阵元素及简单运算给出特征值的包含区域。

最后探讨了Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理在矩阵论中的一些简单应用。

本文重在论述Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski圆盘定理的应用方面，探讨了其在谱半径估计、矩阵可逆、二次型、扰动理论等典型问题中的应用。

关键词：特征值估计；Gerschgorin圆盘定理；Ostrowski圆盘定理众所周知在矩阵理论中，特征值概念是矩阵最重要、最本质的性质之一。

特征值不仅仅具有极其丰富的理论意义，在许多实际问题中也有着广泛的应用[1]。

因此，对矩阵特征值的研究是矩阵理论中一个比较重要的领域。

但是，高阶矩阵特征值的计算过于繁杂、极其费力。

一般来说，想要精确计算高阶矩阵特征值是不可能实现的。

况且，在自然科学的许多分支中，并不一定需要精确计算出矩阵的特征值，而只需要给出一个大体的分布范围即可。

所以，对矩阵特征值估计问题的研究-8]-[2显得格外重要与迫切，而且这也是矩阵分析中比较热门的领域，吸引着众多数学家及数学爱好者的目光。

复数域上n 阶矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示。

因此，对这些点的位置的估计也就是对特征值的估计。

在矩阵特征值估计问题的研究当中，Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理是最基本、最经典的两个结论。

两个定理均从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算便给出矩阵特征值的包含区域。

因此，这两个定理在数学理论部分与实际应用中都有着十分重要的意义。

圆盘定理的优势在于方便、实用、计算简洁以及方法容易掌握，而其弊病在于其精确性。

目前，许多数学家及数学爱好者都在致力于改进、完善圆盘定理，逐步缩小特征值的包含区域，力图提高矩阵特征值估计的准确性。

本文首先论述了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的内容；后半部分详细探讨了这两个圆盘定理在矩阵论中的应用，主要是在诸如矩阵对角化、二次型、谱半径估计、矩阵可逆等典型问题中的一些应用，最后还将其引入到微分方程稳定性理论中，讨论微分方程组满足初值条件的解的稳定性问题。

高等工程数学智慧树知到答案章节测试2023年南京理工大学

第一章测试1.有限维线性空间上范数1,范数2之间的关系是A:等价B:1强于2C:无法比较D:2强于1答案:A2.赋范线性空间成为Banach空间，需要范数足？A:非负性B:不变性C:可加性D:完备性答案:D3.标准正交系是一个完全正交系的充要条件是满足Parseval等式A:对B:错答案:A4.在内积空间中，可以从一组线性无关向量得到一列标准正交系A:对B:错答案:A5.矩阵的F范数不满足酉不变性A:对B:错答案:B6.与任何向量范数相容的矩阵范数是？A:算子范数B:F范数C:极大行范数D:极大列范数答案:A7.正规矩阵的谱半径与矩阵何种范数一致A:矩阵2范数B:算子范数C:极大行范数D:极大列范数答案:A8.矩阵收敛，则该矩阵的谱半径A:小于1B:无从判断C:等于1D:大于1答案:A9.矩阵幂级数收敛，则该矩阵的谱半径A:等于1B:大于1C:无从判断D:小于1答案:D10.正规矩阵的条件数等于其最大特征值的模与最小特征值的模之商A:对B:错答案:A第二章测试1.l矩阵不变因子的个数等于( )A:矩阵的列数B:矩阵的行数C:矩阵的秩D:行数和列数的最小值答案:C2.Jordan标准形中Jordan块的个数等于( )A:矩阵的秩B:初等因子的个数C:不变因子的个数D:行列式因子的个数答案:B3.Jordan块的对角元等于其( )A:初等因子的零点B:行列式因子的个数C:不变因子的个数D:初等因子的次数答案:A4.n阶矩阵A的特征多项式等于( )A:A的n个不变因子的乘积B:A的n阶行列式因子C:A的行列式因子的乘积D:A的次数最高的初等因子答案:AB5.下述条件中，幂迭代法能够成功处理的有( )A:主特征值是实r重的B:主特征值有两个，是一对共轭的复特征值C:主特征值有两个，是一对相反的实数D:主特征值只有一个答案:ABCD6.n阶矩阵A的特征值在( )A:A的n个行盖尔圆构成的并集与n个列盖尔圆构成的并集的交集中B:A的n个列盖尔圆构成的并集中C:A的n个行盖尔圆构成的并集中D:都不对答案:ABC7.不变因子是首项系数为1的多项式A:错B:对答案:B8.任意具有互异特征值的矩阵，其盖尔圆均能分隔开A:错B:对答案:A9.特征值在两个或两个以上的盖尔圆构成的连通部分中分布是平均的A:对B:错答案:B10.规范化幂迭代法中，向量序列uk不收敛A:对B:错答案:B第三章测试1.二阶方阵可作Doolittle分解A:对B:错答案:B2.若矩阵A可作满秩分解A=FG,则F的列数为A的（）A:列数B:都不对C:行数D:秩答案:D3.矩阵的满秩分解不唯一.A:错B:对答案:B4.酉等价矩阵有相同的奇异值.A:错B:对答案:B5.求矩阵A的加号逆的方法有（）A:满秩分解B:Greville递推法C:奇异值分解D:矩阵迭代法答案:ABCD6.若A为可逆方阵，则A:对B:错答案:A7.用A的加号逆可以判断线性方程组Ax=b是否有解？A:错B:对答案:B8.A的加号逆的秩与A的秩相等A:错B:对答案:B9.若方阵A是Hermite正定矩阵，则A的Cholesky分解存在且唯一.A:错B:对答案:B10.是Hermite标准形.A:对B:错答案:B第四章测试1.（）是利用Gauss消去法求解线性方程组的条件.A:系数矩阵的顺序主子式均不为0B:都不对C:系数矩阵满秩D:所有主元均不为0答案:AD2.关于求解线性方程组的迭代解法, 下面说法正确的是（）.A:J法和GS法的敛散性无相关性B:都不对C:若系数矩阵A对称正定, 则GS迭代法收敛D:若迭代矩阵谱半径不大于1, 则迭代收敛答案:AC3.如果不考虑舍入误差, （）最多经n步可迭代得到线性方程组的解.A:共轭梯度法B:都是C:最速下降法D:SOR法答案:A4.关于共轭梯度法, 下面说法正确的是（）A:搜索方向满足A共轭条件B:相邻两步的残量正交C:B和C都对D:相邻两步的搜索方向正交答案:C5.下面哪些是求解线性方程组的迭代解法（）.A:ABC都对B:共轭梯度法C:最速下降法D:三角分解解法答案:BC6.若系数矩阵A对称正定, 则（）A:可用Cholesky法求解线性方程组B:都不对C:SOR法收敛D:J法和GS法均收敛答案:A7.任意线性方程组都可以通过三角分解法求解.A:错B:对答案:A8.最速下降法和共轭梯度法的区别在于选取的搜索方向不同.A:错B:对答案:B9.广义逆矩阵法可用于任意线性方程组的求解.A:错B:对答案:B10.Gauss消去法和列主元素法的数值稳定性相当.A:对B:错答案:B第五章测试1.对于凸规划，如果x为问题的KKT点，则其为原问题的全局极小点A:错B:对答案:B2.对于无约束规划问题，如果海塞阵非正定，我们可采用哪种改进牛顿法求解原问题？A:难以处理B:牛顿法C:构造一对称正定矩阵来取代当前海塞阵，并一该矩阵的逆乘以当前梯度的负值作为方向D:阻尼牛顿法答案:C3.共轭梯度法中，为A:DM公式B:DY公式C:FR公式D:PRP公式答案:C4.内点罚函数法中常用的障碍函数有A:二次函数B:倒数障碍函数C:对数障碍函数D:三种都可以答案:BC5.广义乘子罚函数的优点是在罚因子适当大的情形下，通过修正拉格朗日乘子就可逐步逼近原问题的最优解？A:对B:错答案:A6.分子停留在最低能量状态的概率随温度降低趋于( ).A:2C:0D:3答案:B7.模拟退火算法内循环终止准则可采用的方法.A:固定步数B:温度很低时C:接受概率很低时D:由接受和拒绝的比率控制迭代步答案:AD8.背包问题是组合优化问题吗？A:对B:错答案:A9.单纯形算法是求解线性规划问题的多项式时间算法.A:对B:错答案:B10.对于难以确定初始基本可行解的线性规划问题，我们引入人工变量后，可采用哪些方法求解原问题？A:两阶段法B:无法确定C:单纯形法D:大M法答案:AD第六章测试1.如果不限定插值多项式的次数，满足插值条件的插值多项式也是唯一的（）A:错B:对答案:A2.改变节点的排列顺序，差商的值不变（）A:错B:对答案:B3.Hermite插值只能用插值基函数的方法求解（）A:对B:错答案:B4.在最小二乘问题中，权系数越大表明相应的数据越重要（）A:错答案:B5.加窗傅里叶变换时频窗的长宽比是信号自适应的（）A:错B:对答案:A6.傅里叶变换域的点和时间域上的点是一一对应的（）A:对B:错答案:B7.若f(t)的傅里叶变换为，则 f(2t)的傅里叶变换为 ( )A:B:C:答案:C8.小波函数对应了（）A:低通滤波器B:高通滤波器答案:B第七章测试1.有界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。

第三章特征值与矩阵的Jordan标准型

74
则
AU1 = U1
λ1 0 . . . 0
c12 c13 · · · c1n C1
.
由于 C1 为 n − 1 阶矩阵, 由归纳假设, 存在 n − 1 阶酉矩阵 U2 使 b22 b23 · · · b33 · · · ∗ U2 C1 U2 = B1 = .. . b2n b3n . . . bnn 为上三角矩阵. 令 U = U1 则 U ∗ AU = 1
证注意 P 是第三种初等矩阵, P −1 = I − αEpq . 故 P −1 A 仅将 A 的第 q 行的 −α 倍加到第 p 行, 因此所得矩阵仍是上三角矩阵且不改变 A 的对角线; AP 的意义类似. 因此知 B 是与 A 的主对角线相同 (包括顺序) 的上三角矩阵. 直接计算可得 bpq . 例 3.1.1 设 λ1 = λ2 , P = I −
0. 故由分块 Schur 三角化定理, 可设 A = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ As , 其中 Ai 是特征值均为 λi 的 ni 阶上三角矩阵. 则 f (A) = (A − λ1 I )n1 (A − λ2 I )n2 · · · (B − λs I )ns . 由例 3.1.2 可知, 对每个 i, 均有 (Ai − λi Ini )ni = 0, 故上式的第 i 个因子 (A − λi I )ni 的第 i 个块为 ni 阶 0 矩阵, 从而整个乘积等于 0 矩阵. 由于 n 阶矩阵 A 的特征多项式是 n 次多项式, Cayley-Hamilton 定理表明, A 的 n 次幂可由其较低次幂的线性组合给出, 因此, A 的高于 n 次的幂可由其低于 n 次的幂的线性组合给出, 故对任意自然数 m, 有 Am ∈ Span{I, A, A2 , · · · , An−1 }. 换句话说, n 阶矩阵 A 的任意次幂均属于由 I, A, A2 , · · · , An−1 生成的 Mn (C) 的子空间. 这就提供了一种计算高次幂的降幂算法. 例 3.1.3 设 A= 求 A2 , A3 , A4 . 解 A 的特征多项式为 f (λ) = λ2 − 4λ + 1, 所以 A2 − 4A + I = 0. 故知 A2 = 4A − I, A3 = 4A2 − A = 15A − 4I, A4 = 15A2 − 4A = 56A − 15I. 命题 3.1.1 (Sylvester 降幂公式) 设 A 与 B 分别是 m × n 与 n × m 矩阵, m ≥ n. 则 |λIm − AB | = λm−n |λIn − BA|. 证注意下述分块矩阵的恒等式: I B 0 I 因此, 矩阵 C1 = BA 0 A 0 与矩阵 C2 = 0 0 A AB 0 0 A AB = BA BAB A AB = BA 0 A 0 I B 0 I , 2 3 1 2 ,

应用回归分析第四版答案

应用回归分析第四版答案【篇一：应用回归分析人大版前四章课后习题答案详解】应用回归分析（1-4章习题详解）（21世纪统计学系列教材，第二（三）版，何晓群，刘文卿编著中国人民大学出版社）目录1 回归分析概述 ....................................................................................................... (6)1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？ (6)1.2 回归分析与相关分析的区别与联系是什么？ (7)1.3回归模型中随机误差项?的意义是什么？ (7)1.4线性回归模型的基本假设是什么？ (7)1.5 回归模型的设置理论根据是什么？在回归变量设置中应该注意哪些问题？ (8)1.6收集,整理数据包括哪些内容？ (8)1.7构造回归理论模型的基本根据是什么？ (9)1.8为什么要对回归模型进行检验？ (9)1.9回归模型有哪几个方面的应用？ (10)1.10为什么强调运用回归分析研究经济问题要定性分析和定量分析相结合? (10)2 一元线性回归 ....................................................................................................... . (10)2.1一元线性回归模型有哪些基本假定？ (10)2.2考虑过原点的线性回归模型足基本假定，求ny??*x??i1ii,i?1,2,...n 误差?1,?2,...?n仍满?1的最小二乘估计。

.............................................................................. 11 n2.3证明?e?o,?xe?0. .................................................................................. . (11)i?1ii?1ii2.4回归方程e(y)????x的参数?,?o101的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价？给出理由？ (12)2.5证明??0是??0的无偏估计。

第五章特征值估计及对称矩阵的极性-1

三,广义特征值分解算法
3. GEVD的总体最小二乘算法: 步一,对阵A进行SVD: A=U∑VH≈U1∑1V1H , 其中∑1是的主奇异值阵; 步二 , 把 A-λB 左乘 U1H 并右乘 V1 , 得 ∑ 1λU1HBV1 , 从而转化成新的矩阵束 (∑1 , λU1HBV1)的GEVD问题. 该方法适合于有噪情况下的主特征对的计算. 参见张贤达的《矩阵分析与应用》的第8 参见张贤达的《矩阵分析与应用》的第8.8节.
Api=λipiR(pi)=λi.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
推论1:在S上p1和pn分别是R(x)的一个极小点和极大点,即R(p1)=λ1,R(pn)=λn 推论2 若λ1=…=λk (1≤k≤n).则在||x||2=l上R(x)的所有极小点为[p1,…,pk]β,||β||2=1. 定理:设x∈L(pr,…,ps) , 1≤r≤s≤n ,则有 ∈ ≤≤≤ minxR(x)=λr,maxxR(x)=λs Courant-Fischer定理:设实对称矩阵A的特征值按升序排列,则A的第k个特征值λk=minVkmax{xTAx |x∈Vk, || x||2=1},其中Vk是Rn的任意—个k维子空间 ,1<k<n.
2.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
性质 3 x∈L(x0)( x0≠0) 时 , R(x) 是一常数. 性质4 R(x)的最大值和最小值存在,且能够在单位球面S={x|x∈Rn,||x||2=1}上达到. 证: S 是闭集,在 S 上 R(x)=xTAx 连续,所以必有 x1 , x2∈S ,使得 minx∈SR(x)=R(x1) , n maxx∈SR(x)=R(x2) ; 任取 0≠y∈R , 令 y0=Ν(y) , 则 y0∈S , 根据性质 3 , 有 R(y)=R(y0),从而R(x1)≤R(y)≤R(x2).

第7章矩阵特征值的界非负矩阵-1

D1(A)={z | z-1|£0.8}
D2(A)={z | z-0| £0.5} 而A的特征多项式为 f (λ)=λ2-λ-0.4
矩阵分析简明教程
λ1
=
1 2
(1+
0.6i),
λ2
=
1 2
(1-
0.6i)
λ1 = λ2 =0.632
即：λ1，λ2 均落在D1(A)内，不在D2(A)内。
矩阵分析简明教程
注：若对角线上元素均相同时失效。
矩阵分析简明教程
若n阶实矩阵A的每个盖尔圆盘与其余圆盘分离，则A的特征是均为实数。
例5 用圆盘定理证明
0 0 1 0
A
1 1
4 0
0 6
1 2
0 1 1 8
至少有两个实特征值。
矩阵分析简明教程
解：A的四个行盖尔圆盘分别是：
D1(A)={z | z-0|£1} D2(A)={z | z-4| £2} D3(A)={z | z-6| £ 3} D4(A)={z | z-8| £2}
因为相似变换不改变特征值，为了得到特征值的更加准确的估计，盖尔发现可以将矩阵A 变换为其相似矩阵 B = DAD-1 ，以减少盖尔圆的半径，达到隔离盖尔圆的目的。为计算方便常常取 D为对角矩阵。
矩阵分析简明教程
例 4 求矩阵A的圆盘并隔离之，其中
0.9 0.01 0.12
A
0.01
0.8
矩阵分析简明教程
（1）的证明：
设
A
有特征对 n
(λ, x)
，这里
x=(x1,, xn)，T 则
aj k xk x j , j 1,, n
k 1
令
|

矩阵论第7章

一个连通部分
一个连通部分
一个连通部分
定理 7.2.2 （圆盘定理 2）设矩阵 A 的 n 个盖尔圆中有 k 个互相连通且与其余 n k 个不相交，则这个连通区域中恰有 A 的 k 个特征值(当 A 的主对角线上有相同元素时，则按重复次数计算，有特征值相同时也按重复次数计算)．
从定理 7.2.2 可知，由一个盖尔圆组成的连通部分有且仅有一个特征值，由两个盖尔圆组成的连通部分有且仅有两个特征值，但可能这两个特征值都落在一个圆盘中，而另一个圆盘中没有特征值．
定理 7.2.1（圆盘定理 1）设 A (aij ) C nn ，则 A 的一切特征值都在它的 n 个盖尔圆的并集之内，即 A 的任一特征值满足
S S i {z | z a ii | Ri , z C} ．
i 1 i 1
n
n
证明设为 A 的特征值，其对应的特征向量为 x ( x 0) ，即 Ax x ，对于 i 1,2,, n ，写成分量形式为
i, j
i j
| t ij | t ii t ii 2 T T | | 2 2 i 1 i , j 1 2
n
n
2
H
2
C
F
2 F
n 2 max | cij | 2 ，
i, j
i j
所以
| Re k |2 n 2 max | bij |2 ，
i, j
| Imk |2 n 2 max | cij |2 ，
i，则 A 的任一特征值 (k 1,2,, n) 的虚部 Im k 满足
定理 7.1.3
| Imk |
证明
n
n(n 1) max | cij | ． i, j 2

gwr原理

GWR原理详解GWR（Geographically Weighted Regression）是一种基于地理位置加权的回归分析方法，用于解决空间非平稳问题。

传统的全局回归方法假设所有样本之间的关系是相同的，忽略了地理位置的影响。

而GWR通过考虑地理位置的权重，可以更准确地描述和预测空间数据。

1. GWR基本原理GWR是一种局部模型，即它为每个样本点构建一个回归模型。

在传统回归中，我们使用全局参数来拟合整个数据集，而在GWR中，我们为每个样本点计算一个局部参数。

这些局部参数随着空间位置的变化而变化，因此可以捕捉到空间上不同区域之间的差异。

具体来说，对于每个样本点i，GWR通过以下步骤计算出其对应的局部参数：1.定义一个核函数：GWR使用核函数来衡量样本之间的距离和权重。

常用的核函数有高斯核、均匀核等。

核函数通常具有衰减性质，即离样本点越远的点权重越小。

2.计算每个样本与其邻居样本之间距离，并根据定义的核函数计算出权重。

距离越近的样本权重越大，距离越远的样本权重越小。

3.以样本i为中心，利用加权最小二乘法（WLS）估计局部参数。

WLS考虑了每个样本点的权重，使得距离较近的样本对局部参数的估计具有更大的影响。

4.重复以上步骤，对每个样本点都计算出对应的局部参数。

通过上述步骤，我们可以得到每个样本点的局部参数集合，从而构建出整个空间上每个点的回归模型。

这些局部模型能够更好地反映空间数据之间的异质性和非平稳性。

2. GWR与全局回归方法的区别GWR与传统全局回归方法相比，有以下几个关键区别：1.数据关系假设：全局回归假设所有样本之间关系相同，忽略地理位置因素；而GWR通过考虑地理位置加权来捕捉空间数据之间的差异。

2.参数估计方式：全局回归使用最小二乘法（OLS）估计参数；而GWR使用加权最小二乘法（WLS）来估计每个样本点的局部参数。

3.模型拟合效果：全局回归模型适用于平稳数据，但对于空间非平稳数据效果较差；而GWR可以捕捉到空间上的异质性和非平稳性，提供更准确的预测结果。

矩阵盖尔圆1

H
A的特征值都是实数
A的特征值都有正数
返回
akj x j xk
j 1
j 1 n
xk ( akk )
akj x j
jk
| xk || akk | |
akj x j | | akj || x j || xk | | akj |
jk jk jk
| akk | Rk
返回
例 1 估计矩阵
5
S4
;
S3 :| z 5 | 1;
S1
S4 :| z 5i | 1
O

3
S3

1 2
5
推论 1 设A C nn ,则A的任一特征值
i Gi
j 1
返回
n
定理 2 (圆盘定理2) 设n阶方阵A的n个盖尔圆盘中
有k个圆盘的并形成一连通区域G，且它与余下的n - k个圆盘都不相交，则在该区域G中恰好有 A的k个特征值.
2 圆盘定理
定义 1
设A C
nn
行盖尔圆盘列盖尔圆盘
Si {z C :| z aii | Ri | aij |}
j i
Gi {z C :| z aii | Ci | a ji |}
j i
定理 1 (圆盘定理1) 设A C nn ,则A的任一特征值
则A相似于对角阵.
推论 4 设n阶实阵A的n个盖尔圆盘两两互不相交，
则A特征值全为实数.
返回
D diag( p1 , p2 , , pn ) pi 0
1 D AD p2 p1 a1n p1 pn a2 n p2 ann pn

特征值估计和表示

7. 定义5.2 设ACn×n，假如AT按行严格对角占优，则称A按列严格对角占优；假如AT按行(弱)对角占优、
则称A按列(弱)对角占优。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
二、特征值旳包括区域
1. 定义5.3 设A=(aij)Cn×n，称区域 Gi: |z-aii|Ri 为矩阵A旳第i个盖尔圆，其中 Ri=ji|aij| 称为盖尔圆Gi旳半径(i=l，…，n)。
向量系x1，…，xn称为按B原则正交化向量系。 2. 按B原则正交化向量系旳性质： • 性质1 xj0 (j=1, 2, …, n) (j=1，…，n)； • 性质2 x1，…， xn线性无关。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
§5.3 对称矩阵特征值旳极性
一、实对称矩阵旳Rayleigh商旳极性
Ax
|
x
Vk
,
||
x
||2
1}
k
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
二、广义特征值旳极小极大原理
1. 定义：设A，B为n阶实对称矩阵，且B正定， xRn．称R(x)=(xTAx)/(xTBx)， x0为矩阵A相对于矩阵B旳广义Rayleigh商．．
2. 广义Rayleigh商能够只在椭球面SB={x|xRn, xTBx =1}上讨论。
j 1
|2
2
|
j
|
max
1i, jn
|
aij
|
n
2
n
|| B ||m
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
4. 定理5.2：设ACn×n，则A旳任一特征值满足 (1) ||||A||m (2) |Re()|0.5||A+AH||m (3) |Im()| 0.5||A－AH||m。

Chapter5(2) 特征值的分布区域

nn
的任一特征值，x 1 , 2 ,
n
, n
T
为A的属于特征值的特征向量.
由Ax x得 aii i = aij j ,
j 1 j i
故
aii i = aij j aij j .
j 1 j i j 1 j i
设A aij 则
n i 1 nn
C
n i 1
nn
, 0 1, 是A的任一特征值，
Oi
n

z C z aii Ri Ri1 .
n

其中 Ri aij , Ri a ji .
j 1 j i j 1 j i
证
设为A 实轴对称.由于它们是孤立的，所以Gi中有且仅有A的一个特征值.
根据实矩阵的复特征值一定成对共轭出现知：关于实轴对称的盖尔圆Gi中的特征值必为实数，因此A有n个互不相同的实特征值.
3. 特征值的隔离
设A aij
D diag d1 , d 2 ,
n
n
设 aii , i 1, 2,
, n, 则当 i 0时, Ri aij 0.
j 1 j i
n
由Holder不等式有：
aii i aij j aij
j 1 j i j 1 j i
n
n

aij
1
j
n aij j 1 j i
Gj z C z a jj Rj 为A的第j个列盖尔圆.

j 1, 2,
, n
0.02 0.11 1 如A 0.01 i 0.14 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 z C z 1 0.13 , G2 G3