2018届高考数学(理)大一轮复习顶层设计作业 6函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

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2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标6 函数的奇偶性与周期性理

2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标6函数的奇偶性与周期性理[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数是奇函数的是( A ) A ．f (x )＝x |x | B ．f (x )＝lg x C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝x 3－1解析：选项B ，f (x )＝lg x 的定义域是x >0，所以不是奇函数，所以B 错；选项C ，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )是偶函数，所以C 错；选项D ，f (x )＝x 3－1不过原点，所以f (x )是非奇非偶函数，所以D 错．只有A ，满足定义域关于原点对称，并且f (－x )＝－f (x )，是奇函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( A ) A ．17 B ．－1 C ．1D ．7解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，得b ＝0，所以a ＋b ＝17，故选A ．3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)＝( A )A ．－2B ．2C ．－98D ．98解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 015)＝－2.4．(2016·重庆模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝( D )A ．1lg 2B ．－1lg 2C ．lg 2D ．－lg 2解析：因为当x >0时，f (x )＝lg x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝f (－2)，因为函数y ＝f (x )是奇函数，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝－f (2)＝－lg 2. 5．(2016·河北石家庄调研)已知偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋5)＝f (x －5)，且0≤x ≤5时，f (x )＝x 2－4x ，则f (2 016)＝( B )A ．－1B ．0C ．1D ．12解析：∵f (x ＋5)＝f (x －5)，∴f (x ＋10)＝f (x )，∴f (x )为周期函数，且周期为10，∴f (2 016)＝f (201×10＋6)＝f (6)＝ f (－4)＝f (4)＝42－4×4＝0，故选B ．6．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]解析：因为f (x )是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则ax ＋1≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，x －2≤ax ＋1时，a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝0.解析：因为函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，所以|－x ＋a |＝|x ＋a |，所以a ＝0.8．(2016·湖南长沙模拟)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.解析：因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )，等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2)时，f (x )是减函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m <12.9．(2016·陕西西安模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，所以f (－x )＝－f (x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ⇒f (x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (1＋x )＝－f (x )，f (2＋x )＝－f (1＋x )＝f (x )，所以f (0)＝f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，f (0)＝f (2)＝f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0. 三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解析：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．解析：(1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，得f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4＋1＝－2x4＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解析：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，所以f (x －1)<2，等价于f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1，所以x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。

2018高考数学第一轮复习函数的奇偶性与周期性精品优选公开课件

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例：设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结
论恒成立的是
( )．
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
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3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)
(D)2 012
(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
ax1,1 x＜0,
在区间［-1，1］上，
f
x

bx

2
其中a,b∈R,若
f ( 1 ) f ( 3 ), 则a+3b的值为_____x_.1 ,0 x 1,
22
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【规范解答】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6.
解得2<x< 6 ,即不等式的解集为(2, 6 ). 答案:(2, 6 )
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(2)当a=1时，f
x

2x
1, 1
此时
fx2 2 x x 1 11 1 2 2x x2 2x x 1 1
=-f(x), ∴f(x)是其定义域上的奇函数.
当f 即
2 2 xx x a a22 xx aa2 2x x是 a a 其, 定1 1 a义域2 2x x上a 的a 奇2 2x x函, 数1 a时a，, fa( -x)1=.-f(x),
=…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1× 2 0 1 0 =335.

2018届高三理科数学普通班一轮复习课件：第二篇第3节函数的奇偶性与周期性精品

0, 0,
得 x=±3.
所以 f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=±f(-x).
所以 f(x)既是奇函数,又是偶函数.
(2)f(x)= 4 x2 ; x3 3
(3)f(x)=
x 2
x2
x, x,
x x
0, 0.
解析：(2)由
4
x2
0,
得-2≤x≤2 且 x≠0.
x 3 3 0,
所以 f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 所以 f(x)= 4 x2 = 4 x2 .
x 3 3 x
所以 f(x)=-f(-x),所以 f(x)是奇函数.
(3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-x=f(x); 当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.
所以 f(- 5 )=f(- 1 )=-f( 1 )=-2× 1 (1- 1 )=- 1 .故选 A.
2
2
2
222
答案: (1)A
(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- 1 ,当 2≤x≤3 时,
f x
f(x)=x,则 f(105.5)=
.
解析：(2)由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2]
=- 1 =- 1 =f(x).
f x 2
f
1
x
故函数的周期为 4. 所以 f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). 因为 2≤2.5≤3, 由题意,得 f(2.5)=2.5. 所以 f(105.5)=2.5. 答案: (2)2.5

2018届高考数学一轮复习：第2章第4节函数的奇偶性与周期性

＝0时， f(x)＋cosx才是偶函数；对于C，g(x)sinx是奇函数；对于D，g(x)＋cosx是偶函数．故选项D中的结论正确．
[答案] D
4．设函数f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f(x)＋g(x)＝x3－x2＋1，则f(1)＝( A．－1 C．－2 B．1 D．2 )
(2)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x －2，则f(2014)＋f(2015)＝________．
[解析]
3 (1)∵f(x)＝－fx＋2，
3 3 3 ∴f(x＋3)＝f x＋2＋2＝－fx＋2＝f(x)．
∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.
(3)x>0时，－x<0， ∴f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)； x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
2 4－x ≥0， (4)∵ ⇒－2≤x≤2且x≠0， |x＋3|≠3
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
考点二
函数的周期性——互动型
(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－
3 fx＋2，且f(0)＝3，则f(2016)＝________．
数；
偶函数 ②两个偶函数的和、积是________ ；奇函数 ③一个奇函数，一个偶函数的积是________ ．
3．周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数
f ( x) T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝_____ ，

2018届高三数学(理)大一轮复习课时达标检测函数的奇偶性及周期性

y y y课时达标检测（七）函数的奇偶性及周期性[练基础小题——强化运算能力]1．(2016·肇庆三模)在函数 y ＝xcos x ，＝e x ＋x 2，＝lg x 2－2，＝xsin x 中，偶函数的个数是()A ．3C ．1B ．2D ．0解析：选 B y ＝xcos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和 y ＝xsin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2 是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是 2，故选 B.2．下列函数为奇函数的是()A ．f(x)＝ xC ．f(x)＝cos xB ．f(x)＝e xD ．f(x)＝e x －e －x解析：选 D 对于 A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于 C ，满足 f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于 D ，∵f(－x)＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f(x)，∴f(x)＝e x －e －x 为奇函数，故选 D.3．(2017·江南十校联考)设 f(x)＝x ＋sin x(x ∈R)，则下列说法错误的是()A ．f(x)是奇函数C ．f(x)的值域为 RB ．f(x)在 R 上单调递增D ．f(x)是周期函数解析：选 D 因为 f(－x)＝－x ＋sin(－x)＝－(x ＋sin x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数，故 A 正确；因为 f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数 f(x)在 R 上单调递增，故 B 正确；f(x)的值域为 R ，故 C 正确；f(x)不是周期函数，D 错误，故选 D.4．奇函数 f(x)的周期为 4，且 x ∈[0,2]，f(x)＝2x －x 2，则 f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)的值为________．解析：函数 f(x)是奇函数，则 f(0)＝0，由 f(x)＝2x －x 2，x ∈[0,2]知 f(1)＝1，f(2)＝0，又 f(x)的周期为 4，所以 f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.答案：－15．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝ x ＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝ x ＋1，∴当 x<0 时，即－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－( －x＋1)，即 x<0 时，f(x)＝－( －x ＋1)＝－－x －1.答案：－－x －1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·石家庄质量检测)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )x ⎛1⎫⎝2⎭⎛23π ⎫ ⎝ 6 ⎭＝(B. 322π ，又∵当 0≤x＜π 时，f(x)＝0，∴f ⎛5π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫⎝ 6 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎪＝0，∴f －＋π ⎪＝f － ⎪＋sin － ⎪＝0，∴f － ⎪＝1 ⎛23π ⎫ ⎛π ⎫ ⎛ π ⎫ 1 2⎝ 6 ⎭ ⎝ 6 ⎭ ⎝ 6 ⎭ 2 ⎛1⎫ A. －∞， ⎪⎛ ⎫ B. －∞， ⎪∪ ，＋∞⎪⎛1 3⎫ ⎝2 2⎭ ⎛3 ⎫⎝2 ⎭2⎭ ⎝2 22 2 1⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫ 2 ⎝ 2⎭ ⎝ 2⎭1A ．y ＝C ．y ＝lg xB ．y ＝|x|－1D ．y ＝ ⎪ln |x|解析：选 B A 项，“是偶函数”与“在(0，＋∞)上单调递增”均不满足，故A 错误；B 项，均满足，B 正确；C 项，不满足“是偶函数”，故 C 错误；D 项，不满足“在(0，＋∞)上单调递增”．故选 B.2．(2017·泰安模拟)奇函数 f(x)的定义域为 R ，若 f(x ＋1)为偶函数，且 f(1)＝2，则 f(4)＋f(5)的值为()A ．2C ．－1B ．1D ．－2解析：选 A 设 g(x)＝f(x ＋1)，∵f(x ＋1)为偶函数，则 g(－x)＝g(x)，即 f(－x ＋1)＝f(x ＋1)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x ＋1)＝f(x ＋1)＝－f(x －1)，即 f(x ＋2)＝－f(x)，f(x ＋4)＝f(x ＋2＋2)＝－f(x ＋2)＝f(x)，则 f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2，故选 A.3．设函数 f(x)(x ∈R)满足 f(x ＋π )＝f(x)＋sin x ．当 0≤x＜π 时，f(x)＝0，则 f ⎪)A.1 22C ．01D ．－解析：选 A ∵f(x ＋2π )＝f(x ＋π )＋sin(x ＋π )＝f(x)＋sin x －sin x ＝f(x)，∴f(x)的周期 T ＝6 6 ⎭⎝ 6 ⎭ ⎝ 6 ⎭，∴f ⎪＝f 4π － ⎪＝f － ⎪＝ .故选 A.4．(2016·天津高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a －1|)＞f(－ 2)，则 a 的取值范围是()C.，⎪⎝ 2⎭ ⎝ ⎭D. ，＋∞⎪解析：选 C 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以 f(－x)＝f(x)，且 f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由 f(2|a －1|)＞f(－ 2)，f(－ 2)＝f( 2)，可得 2|a －1|＜ 2，即|a －1|1 1 3＜，所以＜a ＜ .5．(2016·山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x ＜0 时，f(x)＝x 3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f x＋⎪＝f x－⎪，则f(6)＝()1 ⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫解析：选 D由题意知当 x ＞时，f x ＋ ⎪＝f x － ⎪，则 f(x ＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1 时，f(－x)y ⎛2 016⎫⎝ 5 ⎭ ⎛2 016⎫ ⎛6⎫ ⎛ 4⎫ ⎛4⎫⎝ 5 ⎭ ⎝5⎭ ⎝ 5⎭ ⎝5⎭ ⎛2 016⎫ ⎛4⎫9 5 ⎝ 5 ⎭ ⎝5⎭所以 f ⎪＝－f ⎪＝－lg ＝lg ，⎛2 016⎫5 ⎝ 5 ⎭故 f ⎪＋lg 18＝lg ＋lg 18＝lg 10＝1.2 所以 g(0)＝＝1.A ．－2C ．0B ．－1D ．22 ⎝ 2⎭ ⎝ 2⎭＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当 x ＜0 时，f(x)＝x 3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选 D.6．已知函数 f(x)对任意 x ∈R ，都有 f(x ＋6)＋f(x)＝0，＝f(x －1)的图象关于点(1,0)对称，且 f(2)＝4，则 f(2 014)＝()A ．0C ．－8B ．－4D ．－16解析：选 B 由题可知，函数 f(x)对任意 x ∈R ，都有 f(x ＋6)＝－f(x)，∴f(x ＋12)＝f[(x ＋6)＋6]＝－f(x ＋6)＝f(x)，∴函数 f(x)的周期 T ＝12.把 y ＝f(x －1)的图象向左平移 1 个单位得 y ＝f(x －1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数 f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选 B.二、填空题7．(2017·揭阳模拟)已知函数 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 x ∈[0,1)时，f(x)＝lg(x ＋1)，则 f ⎪＋lg 18＝________.解析：由函数 f(x)是周期为 2 的奇函数得 f ⎪＝f ⎪＝f － ⎪＝－f ⎪，又当 x ∈[0,1)时，f(x)＝lg(x ＋1)，5 99答案：18．函数 f(x)＝e x ＋x(x ∈R)可表示为奇函数 h(x)与偶函数 g(x)的和，则 g(0)＝________.解析：由题意可知 h(x)＋g(x)＝e x ＋x ①，用－x 代替 x 得 h(－x)＋g(－x)＝e －x －x ，因为 h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以－h(x)＋g(x)＝e －x －x ②.e x ＋e －x由(①＋②)÷2 得 g(x)＝，e 0＋e 02答案：19．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x 2＋2x ，若 f(2－a 2)＞f(a)，则实数 a 的取⎛1⎫ ⎛3⎫ ⎛5⎫⎝2⎭ ⎝2⎭ ⎝2⎭ ⎛1⎫ ⎛3⎫ ⎛5⎫ ⎛1⎫⎝2⎭ ⎝2⎭ ⎝2⎭ ⎝2⎭ ⎛ 1⎫⎛1⎫ ⎛1⎫ 1 f － ⎪＋f(0)＋f ⎪＝f ⎪＋f(1)＋f(0)＝2 －1＋21－1＋20－1＝ 2. ⎪ 值范围是________．解析：∵f(x)是奇函数，∴当 x ＜0 时，f(x)＝－x 2＋2x.作出函数 f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知 f(x)是 R 上的增函数，由 f(2－a 2)＞f(a)，得 2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.答案：(－2,1)10．设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x ＋2)；③当 0≤x≤1时，f(x)＝2x－1.则 f ⎪＋f(1)＋f ⎪＋f(2)＋f ⎪＝________.解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，则 f ⎪＋f(1)＋f ⎪＋f(2)＋f ⎪＝f ⎪＋f(1)＋⎝ 2⎭ ⎝2⎭ ⎝2⎭ 2答案： 2三、解答题⎧⎪－x 2＋2x ，x>0，11．已知函数 f(x)＝⎨0，x ＝0，⎪⎩x 2＋mx ，x<0是奇函数．(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．解：(1)设 x<0，则－x>0，所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x 2－2x.又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，于是 x<0 时，f(x)＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以 m ＝2.(2)要使 f(x)在[－1，a －2]上单调递增，⎧a －2>－1，结合 f(x)的图象(如图所示)知⎨⎪⎩a －2≤1，所以 1＜a≤3，故实数 a 的取值范围是(1,3]．12．函数 f(x)的定义域为 D ＝{x|x≠0}，且满足对任意 x 1，x 2∈D ，有 f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)． (1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)＝1，f(x －1)<2, 且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．解：(1)∵对于任意 x 1，x 2∈D ，有 f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，2∴令 x 1＝x 2＝1，得 f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明：令 x 1＝x 2＝－1，有 f(1)＝f(－1)＋f(－1)，1∴f(－1)＝ f(1)＝0.令 x 1＝－1，x 2＝x ，有 f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有 f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x －1)<2 f(|x －1|)<f(16)．又 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解得－15<x<17 且 x≠1.∴x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．。

2018届高三(新课标)数学(理)大一轮复习课件：第二章第三节函数的奇偶性及周期性

x＋1x＋a 解析： ∵f(x)＝为奇函数， ∴f(1)＋f(－1)＝0， x 1＋11＋a －1＋1－1＋a 即＋＝0，∴a＝－1. 1 －1 答案：－1
5．[考点二]已知 f(x)是 R 上的偶函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2－x －1，则当 x<0 时，f(x)＝________.
解析：当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝ x2＋x－1，∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，∴f(x)＝f(－x) ＝x2＋x－1. 答案：x2＋x－1
突破点(二)
基础联通
1．周期函数
函数的周期性
抓主干知识的“源”与“流”
对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期
(2)f(x)＝(1－x)
[解]
1＋x ； 1－x
2 x>0，－x ＋2x＋1 (3)f(x)＝ 2 x<0； x ＋2x－1
1＋ x (2)当且仅当 ≥0 时函数有意义，∴－1≤x<1， 1－ x
由于定义域关于原点不对称，∴函数 f(x)是非奇非偶函数． (3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)，即函数 f(x)是奇函数．
解析：A选项定义域为R，由于f(－x)＝ 1＋－x2 ＝
)
1＋x2 ＝
f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－ 1 x－ x ＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x) 1 1 －x ＝2 ＋－x ＝ 2x ＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为 2 R，由于f(－x)＝－x＋e 答案：D

2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题06函数的奇偶性与周期性

(2) ∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，∴ f (0) ＝0.
又当 x<0 时，－ x>0，∴ f ( － x) ＝ x2＋ 4x.
又 f ( x) 为奇函数，∴ f ( － x) ＝－ f ( x) ，则 f ( x) ＝－ x2－ 4x( x<0) ，
x2－ 4x， x>0， ∴ f ( x) ＝ 0， x＝ 0，
例 2、(1) 定义在 R上的函数 f(x) 满足 f(x ＋ 6) ＝ f(x) ，当－ 3≤x<－ 1 时，f(x) ＝－ (x ＋ 2)2 ；当－ 1≤x<3
时， f(x) ＝x. 则 f(1) ＋ f(2) ＋ f(3) ＋… ＋ f(2017) 等于 ________． 1
(2) 已知 f(x) 是定义在 R上的偶函数，并且 f(x ＋ 2) ＝－ f x ，当 2≤x≤3 时， f(x) ＝ x，则 f(105.5) ＝ ______.
5
1
1
f ( ) f ( 2) f ( )
1 f( )
1
42
2 ，所以
f(
5 )
f (1)
2.
2
2
2
2
2
2.【 2016 高考山东理数】已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时， f ( x) x3 1 ；当 1 x 1 时，
f ( x)
f ( x) ；当 x 1 时， f ( x 1 ) f ( x 1 ) .则 f(6)= （）
－ x2－4x， x<0.
答案 (1)C
x2－ 4x， x>0，
(2) 0， x＝0，
－
x
2
－
4

高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案).docx

例2 (1)定在R上的函数f(x)足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1，f(x)＝－(x＋2)2；当－
1≤x<3，f(x)＝x. f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋f(2 015)等于
()
A．335
B．336 C．1 678 D．2 012
1，当2≤x≤3，f(x)＝x，f(105.5)
(2)已知f(x)是定在R上的偶函数，并且f( x＋2)＝－f x
答案(1)A(2)D
解析(1)偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
1
1
有f(2x－1)< f3? f(|2x－1|)<f3
，
1
进而转化为不等式
|2x－1|<3，
1
2
解这个不等式即得
x的取值范围是
3，3.
(2)由函数f( x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，
k＝________.
1＋k·2
x2＋1，x≥0，
(2)已知函数f(x)＝
则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
1，x<0，
易错分析
(1)解题中忽视函数
f(x)的定义域，直接通过计算
f(0)＝0
得k＝1.
(2)本题易出现以下错误
由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误．
－x
＝－
－x
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；

2018届高考数学一轮复习配餐作业6函数的奇偶性与周期性含解析理

配餐作业(六) 函数的奇偶性与周期性(时间：40分钟)一、选择题1．(2016·重庆适应性考试)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝ex ＋e －x 2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x解析依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数。

对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝ex ＋e －x2不是奇函数。

对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y ＝x sin x不是奇函数。

对于选项D ，由3－x 3＋x >0得－3<x <3，即函数y ＝log 23－x3＋x 的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－－3＋－＋log 23－x3＋x＝log 21＝0，即有log 23－－3＋－＝－log 23－x 3＋x ，因此函数y ＝log 23－x3＋x是奇函数，综上所述，故选D 。

答案 D2．(2016·沈阳检测)下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( ) A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析 A 虽为增函数却是非奇非偶函数，B ，D 是偶函数。

对于选项C ，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或由y ′＝2xln2＋2－xln2>0可知是增函数)，故选C 。

答案 C3．(2017·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x－1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152＝( ) A.3＋1 B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解析因为f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 006＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12。

2018年高考数学(理)一轮复习第二章第3讲

的值为( B )
A．3
B．0
C．－1
D．－2
[解析] 设 F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然 F(x)为奇函数，又
F(a)＝f(a)－1＝1，所以 F(－a)＝f(－a)－1＝－1，
从而 f(－a)＝0.故选 B．
2．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3； (2)f(x)＝|x＋4－3|－x23； (3)f(x)＝xx22＋－xx，，xx＞＜00，.
【解析】 (1)由题意可得 f－52＝f－12＝－12＋a，f92＝f12＝ 25－12＝110，则－12＋a＝110，a＝35，故 f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋35＝－25. (2)因为 f(x＋4)＝f(x)，所以周期 T＝4. 又 f(1)＝1，所以 f(2 017)＝f(1＋4×504)＝f(1)＝1.
(3)f(x)的定义域为 R，关于原点对称，当 x＞0 时， f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当 x＜0 时， f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当 x＝0 时，f(0)＝0，也满足 f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．
(1)判断函数奇偶性的常用方法及思路 ①定义法
[解] (1)因为函数 f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，所以函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)由4|x－＋x32|≥－03≠0，得－2≤x≤2 且 x≠0，所以 f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．
(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f(x)为偶函数 ⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在 x＝0 处有意义，则 f(0)＝0.

2018届高考数学(理)一轮复习人教版课件：第6讲函数的奇偶性与周期性

课堂考点探究
变式题 [2015· 福建卷] 下列函数为奇函数的是 ( ) B．y＝|sin x| D．y＝e －e
x
－x
[答案] D
[解析] 对于 A，函数 y＝ x的定义域为

A．y＝ x C．y＝cos x
0，＋∞ ，不关于原点对称，故既不是

奇函数也不是偶函数；B，C 选项为偶函数；对于 D，设 f(x)＝e －e ，则其定义域为 R，且 f(－x)＝e －e
x
－x －(－x)
x
－x
＝e
－
－e ＝－f(x)，所以 f(x)＝e －e
xx－x来自为奇函数．故选 D.
课堂考点探究
考点二函数的周期性
例 2 [2016· 江苏卷] 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 x＋a，－1≤x<0，的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝2 － x ， 0 ≤ x <1 ， 5 5 9 其中 a∈R.若 f－2＝f2，则 f(5a)的值是________．
函数的奇偶性与周期性
第6讲 PART 06
课前双基巩固│课堂考点探究│高考易失分练│教师备用例题
第 6讲
考试说明
1. 结合具体函数，了解函数奇偶性、周期性的含义．
2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．
课前双基巩固
知识聚焦
1．函数的奇偶性奇偶性定义图像特点
偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(________ －x)＝f(x) ，那么函数 f(x)是偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－ x)＝－f(x ) 那么函数 f(x)是奇 ________ ，函数

2018高考一轮江苏数学(文)(练习)第2章第6课函数的奇偶性与周期性Word版含答案

第6课函数的奇偶性与周期性[最新考纲]1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．13 [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.x (1－x ) [当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．]4．下列函数中，①y ＝x ；②y ＝|sin x |；③y ＝cos x ；④y ＝e x －e －x 为奇函数的是________．(填函数序号)④ [①中函数的定义域为[0，＋∞)，其不关于原点对称，故①不是奇函数，②③是偶函数，④是奇函数．]5．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．－25 [因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.](1)f (x )＝x 3－2x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )． ∴该函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1](1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是________．(填序号)①f(x)g(x)是偶函数；②|f(x)|g(x)是奇函数；③f(x)|g(x)|是奇函数；④|f(x)g(x)|是奇函数．(2)判断函数f(x)＝3－x2＋x2－3的奇偶性．(1)③[①：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，①错．②：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，②错．③：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，③正确．④：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，④错．](2)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(1)【导学号：62172030】(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1(2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] (2017·南通一模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x <0，(a >0，b >0)为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．－1 [∵f (x )为奇函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝－f (－2)，f (1)＝－f (－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧2(2－b )＝0，1－b ＝a (－1＋2)，解得a ＝－1，b ＝2. ∴f (a ＋b )＝f (1)＝1－b ＝－1.]时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________. 【导学号：62172031】1 009 [∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.][迁移探究1] 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)．故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.[迁移探究2]若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝1f(x)”，则结论如何？[解]∵f(x＋1)＝1f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝1f(x＋1)＝f(x)．故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．[变式训练3](2017·南通第一次学情检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(0,2)时f(x)＝x2＋1，则f(7)的值为________．－2[∵由f(x＋4)＝f(x)可知f(x)的周期T＝4，∴f(7)＝f(7－4×2)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，故f(－1)＝－f(1)．又f(x)＝x2＋1，x∈(0,2)，故f(1)＝2.∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．课时分层训练(六)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是________．2 [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数．]2．函数y ＝log 21＋x1－x的图象关于________对称．(填序号) ①原点；②y 轴；③y ＝－x ；④y ＝x . ① [由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x＝－f (x )，∴函数y＝log21＋x1－x为奇函数．]3．(2016·苏州期中)定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2x－x2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝________.－2[∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0.又x>0时，f(x)＝2x－x2，∴f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－f(1)＋0＋f(3)＝－2＋1＋0＋8－9＝－2.]4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝________.－2[∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.]5．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【导学号：62172032】－－x－1[∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]6．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝(x＋2)(x＋a)x是奇函数，则实数a＝________. 【导学号：62172033】－2[由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a ＝－2.]7．(2016·山东高考改编)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝________.2 [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则当x >0时，f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.]8．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.]9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：62172034】(－2,1) [∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为R 上的奇函数，故f (x )在(－∞，0)上单调递增．∴f (x )在R 上是单调递增函数．又f (2－a 2)>f (a )可知2－a 2>a ，解得－2<a <1.] 10．(2017·泰州中学高三摸底考试)函数y ＝1－sin xx 4＋x 2＋1(x ∈R )的最大值与最小值之和为________．2 [因为y ＝sin xx 4＋x 2＋1为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数y＝1－sin xx 4＋x 2＋1(x ∈R )的最大值与最小值之和为2.]二、解答题11．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式．[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1(－x )2－(－x )＋1，又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，联立方程⎩⎨⎧f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1. 12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式. 【导学号：62172035】 [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，并且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5>f (－m 2＋2m －2)，则m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，12 [因为函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，所以2－a ＋3＝0，所以a ＝5.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5>f ()－m 2＋2m －2，即f (－m 2－1)>f (－m 2＋2m －2)，所以偶函数f (x )在[－3,0]上单调递增，而－m 2－1<0，－m 2＋2m －2＝－(m －1)2－1<0，所以由f (－m 2－1)>f (－m 2＋2m －2)得，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－m 2－1≤0－3≤－m 2＋2m －2≤0，－m 2－1>－m 2＋2m －2解得1－2≤m ≤12.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象(略)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．4．(2017·南京模拟)已知f (x )是偶函数，定义x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧x (3－x )，0≤x ≤3，(x －3)(a －x )，x >3.(1)求f (－2)；(2)当x <－3时，求f (x )的解析式；(3)设函数f (x )在区间[－5,5]上的最大值为g (a )，试求g (a )的表达式． [解] (1)由题意，得f (－2)＝f (2)＝2×(3－2)＝2.(2)当x <－3时，－x >3，所以f (x )＝f (－x )＝(－x －3)(a ＋x )＝－(x ＋3)(a ＋x )，所以当x <－3时，f (x )的解析式为f (x )＝－(x ＋3)(a ＋x )．(3)因为f (x )是偶函数，所以它在区间[－5,5]上的最大值即为它在区间[0,5]上的最大值．当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，0≤x ≤3，－x 2＋(a ＋3)x －3a ，x >3.①当a ≤3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，5上单调递减，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94. ②当3<a <7时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，3＋a 2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋a 2，5上单调递减，所以此时只需比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2＝(a －3)24的大小．(ⅰ)当3<a ≤6时，94≥(a －3)24，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94；(ⅱ)当6<a <7时，94<(a －3)24，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2＝(a －3)24.③当a ≥7时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，[3,5]上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94<f (5)＝2(a －5)，所以g (a )＝f (5)＝2(a －5)．综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧94，a ≤6，(a －3)24，6<a <7，2(a －5)，a ≥7.。

2018届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时作业6 函数的奇偶性与周期性(含解析)文

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．下列函数中，为奇函数的是( ) A ．y ＝2x＋12xB ．y ＝x ，x ∈{0,1}C ．y ＝x ·sin xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x <0，0，x ＝0，－1，x >0解析：因为y ＝2x＋12x ≥2，所以它的图象不关于原点对称，故A 不是奇函数；选项B 定义域不关于原点对称，故B 不是奇函数；设f (x )＝x sin x ，因为f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以y ＝x sin x 是偶函数，故选D.答案：D2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：因为f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x .所以f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.答案：A3．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：`f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，g (x )是偶函数，则g (－x )＝g (x )，则f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )，选项A 错； |f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，选项B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，选项C 正确；|f (－x )·g (－x )|＝|f (x )g (x )|，D 错．故选C. 答案：C4．已知f (x )是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝lg x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，则( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <b <a解析：因为a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝－lg 45＝lg 54， b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－lg 12＝lg2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝lg 12＝－lg2.所以b >a >c . 答案：A5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x且f (0)＝1，则f (2 016)等于( )B ．－1 D ．－21f x， 1fx ＋＝)．(252×8)＝f ＝1.故选A. x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.答案：C 二、填空题7．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 解析：因为f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1，所以当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1) ＝－－x －1. 答案：－－x －18．已知函数f (x )为奇函数，函数f (x ＋1)为偶函数，f (1)＝1，则f (3)＝________. 解析：根据条件可得f (3)＝f (2＋1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－19．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是________．解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)10．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2.答案： 2 三、解答题11．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．x 轴围成的图形面积为S ，x >0，是奇函数．上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．1．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)＋x，且当0≤x<2时，f(x)＝[x]([x]表示不超过x的最大整数)，则f(5.3)的值为( )A．19.9 B．13.9C．9.9 D．7.9解析：f(5.3)＝2f(3.3)＋3.3＝2[2f(1.3)＋1.3]＋3.3＝2(2＋1.3)＋3.3＝9.9，选C.答案：C2．(2017·广东惠州调研)如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(g(x))＝0，g(f(x))＝0的实根个数分别为m，n，则m＋n＝( )A．18 B．16C．14 D．12解析：由题中图象知，f(x)＝0有3个根0，a，b，a∈(－2，－1)，b∈(1,2)，g(x)＝0有3个根0，c，d，c∈(－1,0)，d∈(0,1)，由f(g(x))＝0，得g(x)＝0或a，b，由图象可知g(x)所对每一个值都能有3个根，因而m＝9；由g(f(x))＝0，知f(x)＝0或c，d，由图象可以看出0时对应有3个根，d时有4个，c时有2个，共有9个，即n＝9，m＋n＝9＋9＝18，故选A.答案：A3．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f x ＋f －xx>0的解集为________．解析：因为f (x )为偶函数，所以不等式f x ＋f －x x >0等价于f xx>0.①当x >0时，f xx>0，等价于f (x )>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0.所以f (x )>0的解集为{x |0<x <2}． ②当x <0时，f xx>0等价于f (x )<0，又f (x )在(－∞，0)上为增函数，且f (－2)＝f (2)＝0. 所以f (x )<0的解集为{x |x <－2}．综上可知，不等式f x ＋f －xx>0的解集为{x |x <－2或0<x <2}．答案：{x |x <－2或0<x <2}4．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确结论的序号是________．解析：对于①，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，故2是函数f (x )的一个周期，①正确．对于②，由于函数f (x )是偶函数，且函数f (x )是以2为周期的函数，则f (2－x )＝f (x －2)＝f (x )，即f (2－x )＝f (x )，故函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故②正确；对于③，由于函数f (x )是偶函数且在[－1，0]上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数f (x )在[0,1]上是减函数，故③错误；对于④，由于函数f (x )是以2为周期的函数且在[－1,0]上为增函数，由周期函数的性质知，函数f (x )在[1,2]上是增函数，故④错误；对于⑤，由于函数f (x )是以2为周期的函数，所以f (2)＝f (0)，⑤正确．综上所述，正确结论的序号是①②⑤.答案：①②⑤5．定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)． (1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0. 令a ＝b ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，所以k ＝0. 证明：由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，令a ＝x ，b ＝－x .则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(2)因为f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3. 所以f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，所以mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立，即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1.所以实数m 的取值范围是[0,1)．。

2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性实战演练理

2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性实战演练理1．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( D )A ．y ＝xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x解析：y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，所以y ＝x 为非奇非偶函数；y ＝|sin x |与y ＝cos x 为偶函数；令y ＝f (x )＝e x －e －x ，x ∈R ，则满足f (－x )＝－f (x )，所以y ＝e x －e －x为奇函数，故选D ．2．(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( D ) A ．－2B ．－1C ．0D ．2 解析：当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，又由题意知f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝2，故选D ．3．(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是－25. 解析：∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 4．(2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.2 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.。

2018年高考数学(人教A版)一轮复习课时分层提升练六2-3函数的奇偶性与周期性Word版含解析

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课时分层提升练六函数的奇偶性与周期性(25分钟55分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017·广州模拟)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A.y=lnx3B.y=-x2C.y=D.y=x|x|【解析】选D.对选项A:y=lnx3的定义域为,不关于原点对称,不是奇函数,所以该选项错误;对选项B:y=-x2为偶函数,不是奇函数,所以该选项错误;对选项C:y=在定义域上没有单调性,所以该选项错误;对选项D:y=x|x|的定义域为R,且(-x)|-x|=-x|x|;所以该函数为奇函数;y=x|x|=所以该函数在,上都是增函数,且02=-02,所以该函数在R上为增函数,所以该选项正确. 【加固训练】(2017·衡阳模拟)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④D.②④【解析】选D.由奇函数的定义:f(-x)=-f(x)验证①f(|-x|)=f(|x|),故为偶函数;②f(-(-x))=f(x)=-f(-x),为奇函数;③-xf(-x)=-x·[-f(x)]=xf(x),为偶函数;④f(-x)+(-x)=-[f(x)+x],为奇函数.2.(2017·临沂模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则f(2019)= ( )A.-3B.0C.1D.3【解析】选B.因为f(-x)=-f(x),所以f(3-x)=-f(x-3),且f(0)=0,又f(3-x)=f(x),所以f(x)=-f(x-3),由此可得f(x-3)=-f(x-6),所以f(x)=f(x-6),所以f(x)是周期为6的函数,f(2019)=f(6×336+3),所以f(2019)=f(3)=f(0)=0.【加固训练】(2017·大连模拟)下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( )A.y=-B.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.3.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2017)+f(2018)的值为( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1【解析】选D.因为函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),又函数的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的周期为4.又函数的图象关于x=1对称,所以f(0)=f(2),所以f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=21-1+20-1=1.【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.4.已知定义在R上的偶函数f(x),在x≥0时,f(x)=e x+ln(x+1),若f(a)<f(a-1),则a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.C. D.(1,+∞)【解析】选B.根据题中所给的函数解析式,可知函数在[0,+∞)上是增函数,根据偶函数图象的对称性,可知函数在(-∞,0]上是减函数,所以f(a)<f(a-1)等价于|a|<|a-1|,解得a<.【加固训练】(2017·唐山模拟)f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+ln(1+x).则当x<0时,f(x)= ( )A.-x3-ln(1-x)B.x3+ln(1-x)C.x3-ln(1-x)D.-x3+ln(1-x)【解析】选C.当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),因为f(x)是R 上的奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)],所以f(x)=x3-ln(1-x).5.(2017·太原模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),在区间[-1,1)上,f(x)=若f-f=0,则f(4a)= ( )A.1B.-1C.D.-【解析】选A.由f(x+2)=f(x),知T=2.由f-f=0,得f=f,+a=-log2,解得a=,因此f(4a)=f(3)=f(-1)=4-1+=1.【加固训练】1.(2017·深圳模拟)若函数f(x)=为奇函数,则a= ( )A. B. C. D.-【解析】选A.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f(x)==,所以=,所以-(1-2a)=1-2a,所以1-2a=0,所以a=.【一题多解】本题还可以采用如下解法方法一:选A.由已知f(x)为奇函数得f(-1)=-f(1),即=,所以a+1=3(1-a),解得a=.方法二:选A.因为f(x)的分子是奇函数,所以要使f(x)为奇函数,则它的分母必为偶函数,所以1-2a=0,所以a=.方法三:选A.因为f(x)为奇函数,且-不在f(x)的定义域内,故也不在f(x)的定义域内,所以-a=0,所以a=.【方法技巧】利用函数的奇偶性求参数的思路利用函数的奇偶性的定义转化为f(-x)=±f(x),建立方程,使问题得到解决,但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦,为了使解题更快,可采用特值法.2.(2017·衡水模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(0)=-1,且对任意x∈R,有f(x)=-f(2-x)成立,则f(2015)的值为( ) A.1 B.-1C.0D.2【解析】选C.由函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=-f(2-x)可知函数f(x)是周期为4的周期函数,令x=1得,f(1)=-f(2-1)=-f(1),所以f(1)=0,所以f(2015)=f(4×504-1)=f(-1)=f(1)=0.3.(2017·天水模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2018)的值为( )A.2B.0C.-2D.±2【解析】选A.因为g(-x)=f(-x-1),所以-g(x)=f(x+1).又g(x)=f(x-1),所以f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2018)=f(2)=2.4.(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)>0的解集为( )A.{x|x>2或x<-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4}D.{x|0<x<4}【解析】选C.由题意可知f(-x)=f(x),即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)·(ax+b),(2a-b)·x=0恒成立,故2a-b=0,即b=2a.则f(x)=a(x-2)(x+2).又函数在(0,+∞)上单调递增,所以a>0.f(2-x)>0,即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4.5.若f=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .【解析】由偶函数的定义得f=f,即ln-ax=ln+ax,-3x=2ax,a=-.答案:-二、填空题(每小题5分,共10分)6.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lnx,则f的值为.【解析】由已知可得f=ln=-2,所以f=f(-2).又因为f(x)是奇函数,所以f=f(-2)=-f(2)=-ln2.答案:-ln2【加固训练】已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)= .【解析】根据题意,f(x)==1+,而h(x)=是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-=.答案:7.(2017·长沙模拟)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f+f(1)+ f+f(2)+f= .【解析】依题意知,函数f(x)为奇函数且周期为2,所以f+f(1)+f+f(2)+f=f+f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)-f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)8.(2017·南京模拟)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=,若存在x0∈,使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,求实数a的取值范围.【解析】由f(x)+g(x)=,得f(-x)+g(-x)=⇒-f(x)+g(x)=2x,所以f(x)=,g(x)=.所以a=-=,令t=-,则a==t+,t∈,所以t=时,a min=2;t=时,a max=;即实数a的取值范围是.9.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值.(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x).从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.设当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).(20分钟40分)1.(5分)(2017·济南模拟)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x 取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算. 【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知,f关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.【加固训练】定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=,则f(x)=是( )A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.因为2⊗x=,x⊕2=,所以f(x)===,该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.2.(5分)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f=( )A.-1B.0C.1D.2【解题提示】利用函数g(x)=ln(-3x)的奇偶性求解.【解析】选D.设g(x)=ln(-3x)=f(x)-1,g(-x)=ln(+3x) =ln=-g(x).所以g(x)是奇函数,所以f(lg2)-1+f-1=g(lg2)+g=0,因此f(lg2)+f=2.3.(5分)(2017·长沙模拟)设f(x)是定义在实数集R上的函数,若函数y=f(x+1)为偶函数,且当x≥1时,有f(x)=1-2x,则f,f,f的大小关系是.【解析】因为函数y=f(x+1)为偶函数,图象的对称轴为y轴,把y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(x)的图象,所以函数y=f(x)的图象的对称轴为x=1.又已知当x≥1时,有f(x)=1-2x,此时f(x)为减函数,所以当x<1时,f(x)为增函数,所以f>f>f.答案:f>f>f4.(12分)(2017·南通模拟)已知函数f(x)=3x+λ·3-x(λ∈R).(1)当λ=1时,试判断函数f(x)=3x+λ·3-x的奇偶性,并证明你的结论.(2)若不等式f(x)≤6在x∈[0,2]上恒成立,求实数λ的取值范围. 【解析】(1)当λ=1时,函数f(x)=3x+λ·3-x为偶函数.证明:函数f(x)=3x+λ·3-x的定义域为R,当λ=1时,f(x)=3x+3-x,f(-x)=f,所以当λ=1时函数f(x)=3x+λ·3-x为偶函数.(2)由f(x)≤6得3x+λ·3-x≤6,即3x+≤6,令t=3x,原不等式等价于t+≤6在t∈上恒成立,亦即λ≤-t2+6t在t∈上恒成立,令g=-t2+6t,t∈,当t=9时,g=g=-27,所以λ≤-27.5.(13分)已知函数y=f的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f=f+f.且当x>0时,f<0恒成立,f=-3.(1)证明:函数y=f是R上的减函数.(2)证明:函数y=f是奇函数.(3)试求函数y=f在上的值域.【解析】(1)设任意x1,x2∈R,且x1<x2,f=f=f(x 1)+f(x2-x1).因为x 2-x1>0,所以f<0,所以f=f+f<f,故f是R上的减函数.(2)因为f=f+f恒成立,所以可令a=-b=x,则有f+f=f,又令a=b=0,则有f=f+f,所以f=0.从而对任意的x∈R,f+f=0,所以f=-f,故y=f是奇函数.(3)由于y=f是R上的单调递减函数,所以y=f在上也是减函数,故f在上的最大值f=f,最小值f=f.由于f=f=f+f=…=nf,同理f=mf.又f=3f=-3,所以f=-1,所以f=-m,f=-n.因此函数y=f在(m,n∈N*)上的值域为.【加固训练】已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数.(1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0.(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.【解析】(1)若x1+x2=0,显然不等式成立.若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1,因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.若x1+x2>0,则1≥x1>-x2≥-1,同理可证f(x1)+f(x2)<0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.综上所述,对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立.(2)因为f(1-a)+f(1-a2)<0⇔f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,得即解得0≤a<1.故所求实数a的取值范围是[0,1).关闭Word文档返回原板块。

2018高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用课时跟踪检测(六)函数的奇偶性及周期性练习

一抓基础，多练小题做到眼疾手快1解析：选B A 中函数y =-不是偶函数且在(0 , +^)上单调递减，故 A 错误；B 中函数x满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故 C 错误；D 中函数不满足在(0,+^)上单调递增，故选B.2•已知f (x )为定义在 R 上的奇函数，当 x >0时，f (x ) = 2x + m 贝U f ( — 2)=()5A. — 3B.—- 4 5 C- D. 34解析：选A 因为f (x )为R 上的奇函数，所以 f (0) = 0，即f (0) = 20+ m= 0,解得m=2—1，则 f ( — 2) = — f (2) =— (2 — 1) = — 3.3. 1 函数 f (x ) = x + 一 + 1,x f (a ) = 3,则 f ( — a )的值为()A. —3 B. — 1C .1 D. 211解析：选 B 由题意得 f (a ) + f ( — a ) = a + ~+ 1 + ( — a ) + + 1 = 2.a — a••• f ( — a ) = 2 — f (a ) = — 1,故选 B.4. ________________________________________________________________________ 函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x ) =& + 1,则当x <0时，f (x ) = _________________________ .解析:V f (x )为奇函数，x >0时，f (x ) = x + 1, •••当 x <0 时，一x >0,f (X ) = — f ( — x) =— ( — x+ 1),即 x <0 时，f (x ) = — ( J — x + 1) = —— x — 1.课时跟踪检测(六)函数的奇偶性及周期性1.(2017 •石家庄质检)下列函数中, 既是偶函数又A.B . y =|x | -1 C. y =ig xD .答案：—.—x—15. 设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x€ [0,1]时，f(x) = x+ 1,则f 3解析：依题意得，f (2 + x ) = f (x ), f ( — x )= f (x ),-二保咼考，全练题型做到咼考达标(2016 •山西考前质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是解析：选B 对于A,偶函数与单调递减均不满足；对于 B,符合题意；对于 C,不满足单调递减；对于 D,不满足单调递减，故选B.2.设f (x )是周期为2的奇函数，当0W x wi 时，f (x )= 2x (1 — x )，则f — |等于()B.1 1 C.4 D. 2解析：选A •/f (x )是周期为2的奇函数,=—2X3 . (2017 •绵阳诊断)已知偶函数f (x )在区间［0 ,+^ )上单调递增，则满足 f (2x —A.f (x ) = xC. x— xf (x ) = 2 + 2D. f (x ) =— cos x••• f1)<f31的x 的取值范围是( )A. E ，3)c. 2, 2 D.解析：选A ••• f (x )是偶函数，• f (x ) = f (| x |),• f (|2 x — 1|)< f3，再根据f (x )的单调性，得|2x — 1|<3解得*x<2，故选A.4.已知函数f (x )是奇函数，在(0,+^)上是减函数，且在区间［a , b ］( a <b <0)上的值域为［—3,4］，则在区间［—b ,— a ］上()A.有最大值4B.有最小值—4一一 3-21 -21 -21C. 有最大值—3D. 有最小值—3解析：选B法一：根据题意作出y= f(x)的简图，由图知，选 B.解析：选C 由f (2 — x ) = f (x )可知函数f (x )的图象关于x = 1对称，所以 4 =斥， f 1 = f 5，又当 x >1 时，f (x ) = In x 单调递增，所以 f 3 <f 5 <f (2)，即 f 1<f 1 <f (2),3 3 2323故选C.2 + f x6.(2017 •贵州适应性考试)已知f (x )是奇函数，g ( x ) = f — .若g (2) = 3,则g (—T x2) = _________ .2+ f 2解析：由题意可得 g (2) = f= 3,贝U f (2) = 1，又f (x )是奇函数，则f ( — 2)= 2 + f — 22 — 1 —1，所以 g( —2) =~T—= — 1 =—「答案：—1 7.定义在R 上的奇函数y = f (x )在(0,+^)上递增，且的集合为 _________解析：由奇函数 y = f (x )在(0,+^)上递增，且 0)上递增，且f —1 = 0,1 1f (x )>0 时，x >2或一2<x <0.法二：当 x € ［ — b ,由题意得 f ( b ) w f ( — x ) w f (a )，即一3w — f (x ) w 4,•••— 4W f (x ) w 3,即在区间［—b ,— a ］上 f (x )min =— 4 , f (x )max = 3 ,故选 B.5.设f (x )是定义在实数集上的函数，且 f (2 — x ) = f (x )，若当x >1时，f (x ) = ln x ,则有()A f 3 <f (2)<f 1B .<f (2)< f2 =0,则满足f(x)>0的xa ］时,⑵<f1 一 31 一2y = f (x )在(—g,即满足f (x)>0的x的集合为-2<x <0或x >1解析：在f (x ) - g (x ) = 中，用—x 替换x ,得 f (- x ) - g ( - x ) = 2x ,由于f (x ), g (x )分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 所以 f ( -x ) =-f (x ), g ( -x ) = g (x ),. -x因此得一f (x ) -g (x ) = 2 .2-x _ 2x 2-x + 2x联立方程组解得 f (x ) = 2 ， g (x ) = - 2 ,3 5于是 f(1) =- 4, g (o )=-1, g ( —1) =- 4, 故 f (i)> g (0)> g ( -1).答案：f (1)>g (0)>g ( -1)(1) 求当x <0时，f (x )的解析式;x(2) 解不等式f (x )< - 8.解：(1)因为f (x )是奇函数，所以当 x <0时,f (x ) =-f ( - x ), - x >0,又因为当x >0时，f (x )= 所以当 x <0 时，f (x ) =- f ( - x )—x x— x-x .1-3 1 -3x r x x⑵ f(x)< - 8，当 x>o 时，即 1-<-8,&已知f (x ) ,g (x )分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f (x ) - g (x )=闘，则 f (1),答案:g (0) , g ( -1)之间的大小关系是 __________________x - 1<x <0或x >1 2 29.设f (x )的定义域为(一a, 0) U (0 , +s ),且f (x )是奇函数, 当 x >0时,f (x )= x1 - 3x .所以丄，所以，所以3x- 1<8,解得x<2,所以x€ (0,2)所以3—x >32，所以x < — 2,所以解集是(一汽一2) U (0,2)x 2 + 2x , x >0,10.已知函数f (x ) = 0, x = 0,是奇函数.2门x + mx x <0(1) 求实数m 的值；⑵ 若函数f (x )在区间［—1，a — 2］上单调递增，求实数 a 的取值范围. 解：(1)设 x <0,则—x >0,22所以 f ( — x ) =— ( — x ) + 2( — x ) = — x — 2x .又f (x )为奇函数，所以f ( — x ) = — f (x ), 于是 x <0 时，f (x ) = x 2+ 2x = x 2+ mx 所以 m= 2. (2) 要使f (x )在［ — 1, a — 2］上单调递增,|a — 2> — 1,结合f(x)的图象(如图所示)知a — 2< 1,41.已知 y = f (x )是偶函数，当 x >0 时，f (x ) = x + -,且当 x € ［ — 3, — 1］时，n w f (x ) < m x恒成立，则 m- n 的最小值是 _________ .解析：•••当 x € ［ — 3,— 1］时，n w f (x ) w m 恒成立，••• n w f (x ) min 且 m>f (x ) max ,• m-n 的最小值是f (x ) — f (x )min ，又由偶函数的图象关于y 轴对称知，当x € ［ — 3,4—1］时，函数的最值与x € ［1,3］时的最值相同，又当x >0时，f (x ) = x + -，在［1,2］上递减， —在［2,3］上递增，且 f (1)> f (3),• f (x ) max — f (x )min = f (1) — f (2) = 5 — 4= 1. 答案：1R \ (3 \2•设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数 x 有f 2 + x =— f 2— x 成立.(1)证明y = f (x )是周期函数，并指出其周期;当x <0时，即所以 1 1____ ____1 — 3 8，(2)若f(1) = 2,求f (2) + f(3)的值；⑶若g(x) = x2+ ax+ 3,且y=|f(x)| • g(x)是偶函数，求实数a的值.解：(1)由f ；3+ x =且f (—x) = - f(x)，知f(3 + x) = f |+ | +€-+x〕L-f ( - x) = f (x),所以y=f(x)是周期函数，且T= 3是其一个周期.(2) 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0) = 0,且f ( - 1) =- f(1) =- 2,又T= 3 是y= f(x)的一个周期，所以f(2) + f(3) = f ( - 1) + f (0) =- 2 + 0=- 2.(3) 因为y=|f(x)| • g(x)是偶函数，且|f ( - x)| = | - f (x)| = | f(x)|，所以| f(x)| 为偶函数.故g(x) = x2+ ax+ 3为偶函数，即g( - x) = g(x)恒成立，于是(—x)2+ a( —x) + 3=x2+ ax+ 3 恒成立.于是2ax= 0恒成立，所以a= 0.。

06 函数的奇偶性与周期性-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍含解析

专题06 函数的奇偶性与周期性1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性热点题型一函数奇偶性的判定例1、【2017课标1,理5】函数()f x在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若1()1-≤≤的x的取值范围是KS5UKS5U］f-xf=-,则满足2(11)A．[2,2]-C．[0,4]D．[1,3]-B．[1,1]【答案】D【提分秘籍】判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点的对称区域,再判断f（－x)是否等于±f（x)或判断f（x)±f（－x)是否等于零，或判断错误!（f（x)≠0)是否等于±1等。

（2)图象法：函数是奇（偶）函数的充要条件是它的图象关于原点（或y轴)对称。

（3)性质法:偶函数的和、差、积、商（分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。

（注：利用上述结论时要注意各函数的定义域）【举一反三】若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g(x）(x∈R）是偶函数，则（) A．函数f(g（x）)是奇函数B．函数g(f(x)）是奇函数C．函数f（x）g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g（x)是奇函数解析：根据函数奇偶性的定义可知,f(g(－x))＝f(g（x)),所以f(g(x)）是偶函数,同理可以判断g（f(x))是偶函数，函数f（x）＋g（x）的奇偶性不确定，而f(－x）g(－x)＝［－f（x)］g(x)＝－f(x）g(x),所以f（x）g（x)是奇函数。

答案：C热点题型二函数奇偶性的应用例2、(1)若函数f（x)＝sin xx＋2x＋a是奇函数，则实数a的值等于______。

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配餐作业(六) 函数的奇偶性与周期性
(时间：40分钟)
一、选择题
1．(2016·重庆适应性考试)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2 B ．y ＝e x ＋e －x
2 C ．y ＝x sin x
D ．y ＝log 23－x
3＋x
解析依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数。

对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e －x
2不是奇函数。

对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π
2，因此函数y ＝x sin x 不是奇函数。

对于选项D ，由3－x 3＋x >0得－3<x <3，即函数y ＝log 2
3－x
3＋x 的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－(－x )
3＋(－x )＋
log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即有log 23－(－x )3＋(－x )＝－log 23－x 3＋x ，因此函数y ＝
log 23－x 3＋x
是奇函数，综上所述，故选D 。

答案 D
2．(2016·沈阳检测)下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( )
A ．y ＝2x
B ．y ＝2|x |
C ．y ＝2x －2－x
D ．y ＝2x ＋2－x
解析 A 虽为增函数却是非奇非偶函数，B ，D 是偶函数。

对于
选项C ，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或由y ′＝2x ln2＋2－x ln2>0可知是增函数)，故选C 。

答案 C
3．(2017·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，
当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x
－1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2 0152＝( )
A.3＋1
B.3－1 C ．－3－1
D ．－3＋1
解析因为f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1 006＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12。

又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x
－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－1，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2 0152＝1－3。

答案 D
4．(2016·乌鲁木齐二诊)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递
增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13的x 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
13，23 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23 解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)，
∴f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，再根据f (x )在[0，＋∞)单调递增，得|2x －1|<1
3，解得13<x <2
3，故选A 。

答案 A。

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