2021年芜湖一中高一自主招生考试数学试卷
芜湖一中自主招生数学试卷
芜湖一中自主招生数学试卷芜湖一中自主招生数学试卷芜湖一中2021年高一自主招生考试数学试卷(150)一、选择题（每题6分，共36分） 1．若x2 6x 1 0，则x xA．144的值的个位数字是（）C．3D．4B．22．已知二次函数y 2x2的图象不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新的坐标系下抛物线的解析式是（） A．y 2(x 2)2 2B．y 2x2 8x 6C．y 2x2 8x 6 D．y 2x2 8x 103．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3.则直角三角形的面积为（） A．5 B．6 C．7 D．8 4．若y A．0y的最小值是（）B．1 C．2 D．3点，且5．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC与D，E两 cosA=3，则S△ADE∶S四边形DBCE的值为（）A．12B．13C．2D．3AF6．如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M，BD于N；若AF平分 BAC，DE AF；交记mBEOM,nBNON,pCFBFE,则有（）B．m n p D．m n pA．m n p C．m n p二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）7．已知x xy 3,xy y 2,则2x xy 3y 。
8. 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形区域ABCD表示黑色物体甲，其中，A (1，1)，B (2，1)，C (2，2)，D (1，2)，用信号枪沿直线y = 2x + b发射信号，当信号遇到区域甲时，甲由黑变白．则 b 的取值范围为时，甲能由黑变白。
9．已知关于x的方程x p x有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是2222感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2021年高一探究部自主招生考试数学试题含答案
2021年高一探究部自主招生考试数学试题含答案本试卷分两部分，第一部分为选择题和填空题，第二部分为解答题，共6页.满分100分，考试用时100分钟.考试结束后，只将答题卡交回.第一部分（选择题和填空题，共42分）一、选择题：（本大题共8个小题,在每小题的四个选项中只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分,满分24分.）1.下列运算正确的是（）2.在算式的中填上运算符号,使结果最大,这个运算符号是( )A. 加号B. 减号C. 乘号D. 除号3.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为（）A. B.C. D.4.如图，一次函数y=kx+b的图像经过A、B两点，则kx+b＞2的解集是（）A.x<-3B.x>-3C.x<0D.x>04题图 5题图5.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，ABDEF某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.58，为尽可能达到美的效果，她应穿 的高跟鞋的高度大约为（ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm6.如图，菱形ABCD 中，∠B＝60°，AB ＝4cm ， E 、F 分别是 BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ．43cm B ．63cm C ．83cm D ．6cm（6题图） 7.一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次，朝上 的数字分别是m ，n ．若把m ，n 作为点A 的横、纵坐标，那么点A （m ，n ）在函数 的图象上的概率是（ ） A. B.C. D.8.()()()0210.ab ba ab bb ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值. 小明是这样想的： 由新定义可知a=1，b=-2，又b ＜0，所以1※（-2）= 12 .请你根据小明的思路解答下列小题：函数y=2※x （x ≠0）的图象大致是（ ）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）9.现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，刚刚过去的xx 年的“双11”网上促销 活动中，天猫和淘宝的支付交易额突破91217 000 000元，将91217 000 000元用科学记y x Oyx Oy xOyxOA B C D数法表示为元。
芜湖一中数学试卷
芜湖一中数学试卷一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)=x^33x+1在x=1处取得极小值，则f'(1)=_______。
A.-2B.0C.1D.32.已知向量a=(2,3)，向量b=(-1,2)，则2a3b=_______。
A.(7,5)B.(1,7)C.(-1,5)D.(-7,5)3.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,3,4}，集合B={1,3,5}，则A∩B=_______。
A.{1,2,3,4,5}B.{2,3,4}C.{1,3,5}D.{3}4.若等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，则a3=_______。
A.2B.3C.4D.55.若复数z满足|z1|=1，则z在复平面内对应的点位于_______。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、判断题（每题1分，共5分）6.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f'(x)在区间(a,b)上恒大于0。
（）7.若向量a与向量b垂直，则它们的点积为0。
（）8.若集合A是集合B的子集，则集合A的元素个数一定小于等于集合B的元素个数。
（）9.若等差数列的公差为0，则该数列是一个常数数列。
（）10.若复数z的模为1，则z在复平面内对应的点位于单位圆上。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11.若函数f(x)=2x^33x^2+4x1，则f'(x)=_______。
12.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，则a·b=_______。
13.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,3,4}，集合B={1,3,5}，则A∪B=_______。
14.若等差数列{an}的公差为2，首项为1，则a5=_______。
15.若复数z=3+4i，则|z|=_______。
四、简答题（每题2分，共10分）16.简述导数的定义及其物理意义。
17.简述向量的点积和叉积的定义及其应用。
安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷(含解析)
芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________依次类推,A.4 B.3C.2D.12．若正实数a ,b ,c 满足不等式组则a ,b ,c 的大小关系为( )A. B.C.D.3．若实数a ,b 满足等式( )4．在中,,,,连,则长的最大值是( )A.8B.9C.10D.115．已知三个实数,,它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7,则这样的三元数组共有_______组( )A.3B.4C.5D.66．如图,在中,,的中点,以为底边在其右侧作等要,使,连( )64,537,6112,4c a b c a b c a b c a b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩b ac <<b c a <<c b a <<c a b<<222a a -=-b =Rt ABC △90ABC ∠=︒2AB =BC =30ADB =︒CD CD 1x 2x 3x ()123,,x x x Rt ABC △90BAC ∠=︒sin B =AD ADE △ADE B ∠=∠=7．四边形中,,是其两对角线,是等边三角形,,,,则( )A. B. C. D.二、填空题8．已知19个连续整数的和为380,则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__________.9．已知__________.10．在实数范围内因式分解：__________.11．在平面直角坐标系中,点,,连,,若线段,分别交曲线于点D ,E （异于点B ）,若,则k 的值为__________.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上,使它们两两相外切,若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于__________.13．在菱形中,,点E ,F 分别在边,上,将沿着对折,使点A 恰好落在对角线上的点G ,若,,则的面积等于__________.14．对于任意不为0的实数a ,b ,c 定义一种新运算“#”：①;②,则关于x 的方程的根为__________.三、解答题15．回答下列问题（1）解方程：;（2）求所有的实数a ,使得关于x 的方程的两根均为整数.16．如图,点E 是正方形的边上一动点（异于C ,D ）,连,以为对角线作正方形,与交于点H ,连.ABCD AC BD ABC △6AD =10BD =8CD =ADC ∠=30︒45︒60︒75︒x =)()()()211232x x x x ++++=222234a b c ab bc ca -+-++=xOy ()4,0A (4,B OB AB OB AB (0,0)k y k x x=>>DE OB ⊥ABCD 60A ∠=︒AD AB AEF △EF BD 4DG =6BG =AEF △#1a a =()()###a b c a b c =()2#24x x =+()2224341615x x x x x =+-++-()221430x a x a --+-=ABCD CD BE BE BGEF EF BD AF（1）求证：A ,F ,C 三点共线;（2）若17．在平面直角坐标系中,抛物线经过点和,且在x 轴上截得的线段长为（1）求抛物线的解析式;（2）已知点A 在抛物线上,且在其对称轴右侧,点B 在抛物线的对称轴上,若是以为斜边的等腰直角三角形,求点A 的坐标;（3）将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线,直线与交于E ,F 两点,直线与交于G ,H 两点,若M ,N 分别为线段和线段的中点,连,求证：直线过定点.18．如图,等边内有一动点D ,是等边三角形（点B ,E 在直线两侧）,直线与直线交于点F .（1）判断的大小是否为定值？若是定值,求出其大小;若不是定值,请说明理由.（2）若,,求线段长的最小值.:1:CE DE =xOy 21:(0)C y ax bx c a =++>()0,3-()4,11-1C 1C 1C OAB △OB 1C 2C ()0y kx k =≠2C 2y x k=-2C EF GH MN MN ABC △CDE △AC BD AE AFC ∠5AB =3CD =AF参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。
安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一上学期中考试数学试题
芜湖一中20242025学年第一学期期中考试高一数学试卷命题人： 审校人：一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知,,R y R x ∈∈则”且“11>>y x 是”“2>+y x 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合{}210A x x =-≥，集合}021|{≤-=x x B ，则=B A C R )(（ ） A ．}121|{≥≤x x x 或 B ．}211|{≤<-x x C ．}121|{<≤x x D ．}1|{<x x3．已知函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则1)12(-+=x x f y 的定义域为（ ）A ．]4,1[-B ．]23,1(C ．3[1,]2D ．]9,1(4．设R b a ∈，，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b a 11<B ．22bc ac >C ．||||b a >D ．33b a > 5．不等式01>++b x ax 的解集为{1x x <-或}4x >，则0)1)((≥-+bx a x 的解集为（ ）A ．]141[，B ．),1[]41,(+∞-∞ C ．]41,1[-- D ．),41[]1,(+∞---∞6．已知3,0,0-=+>>ab b a b a ，若不等式1222-≥+m b a 恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．77．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点),(),,(2211y x B y x A 的曼哈顿距离||||),(2121y y x x B A d -+-=，若点)1,2(M ，点P 是直线3+=x y 上的动点，则),(P M d 的最小值为（ ） A. 2B. 3C.4D.58．已知)(),(x g x f 是定义域为R 的函数，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，满足2)()(2++=+x ax x g x f ，若对任意的2121<<<x x ，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,∞+B ．5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭C ．5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对的得部分分) 9．下列说法正确的是（ ）A ．11-⋅+=x x y 与12-=x y 表示同一个函数B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件 C. 若命题32,0:=≥∃x x p ，则32,0:≠<∃⌝x x pD. 若命题q ：对于任意2R,20x x x a ∈+->为真命题，则1a <- 10．下列选项正确的有（ ）A ．当),1(+∞∈x 时，函数1222-+-=x x x y 的最小值为2B ．()1x ∈-∞，，函数31y x x =+-的最大值为-C．函数2y 的最小值为2D ．当0a >，0b >时，若2a b ab +=，则2+a b的最小值为3211. 已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=3,1430|,1|)(x x x x x f ，下列叙述正确的是（ ） A. 函数)(x f 的值域为]2,2[- B ．关于x 的方程21)(=x f 的所有实数根之和为11 C ．关于x 的方程0)(=x f 有且只有两个不等的实根 D. 当)0,3[-∈x 时，)(x f 的解析式为|1|)(+-=x x f三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12. 已知},2,1{},,3,1{,,2b a B a A R b a +==∈，若B A =，则._________=+b a 13. 已知x x x f 2)1(+=+，则)(x f 的解析式为__________.14. 已知方程2620x x a -+=的两根分别为,,,2121x x x x ≠若对于]3,2[∈∀t ，都有22211x x tt +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分13分）已知集合}121|{-≤≤+=a x a x A ，}61|{≤≤-=x x B . (1)当4=a 时，求B A ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.16. （本小题满分15分）已知幂函数()()222433mm f x m m x+-=-+为定义域上的偶函数.(1)求实数m 的值；(2)求使不等式)()12(t f t f <-成立的实数t 的取值范围.17. （本小题满分15分） 已知函数1)(2++=bx ax x f .(1) 若,12+=b a 且0<a ，求不等式()3f x >的解集（结果用a 表示）； (2)若3)1(=f ，且b a ，都是正实数，求111++b a 的最小值.18. （本小题满分17分）已知函数bax x x f ++=1)(2是其定义域上的奇函数，且2)1(=f .(1)求b a ,的值； (2)令函数)(21)(22x mf xx x h -+=)(R m ∈，当]3,1[∈x 时，)(x h 的最小值为8-，求m 的值.19. （本小题满分17分）一般地，若函数()f x 的定义域是[,]a b ，值域为[,]ka kb ，则称[,]ka kb 为()f x 的“k 倍跟随区间”，若函数的定义域为[,]a b ，值域也为[,]a b ，则称[,]a b 为()f x 的“跟随区间”. (1)写出二次函数221)(x x f =的一个“跟随区间”； (2)求证：函数()11g x x=-不存在“跟随区间”；(3)已知函数)0,(1)()(22≠∈-+=a R a xa x a a x h 有“4倍跟随区间”]4,4[n m ，当m n -取得最大值时，求a 的值.。
【新】2019-2020芜湖市第一中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年芜湖市第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线3y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
【2020-2021自招】芜湖市第一中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年芜湖市第一中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
安徽省芜湖市第一中学2020-2021学年高一自主招生考试数学试题
安徽省芜湖市第一中学2020-2021学年高一自主招生考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．E B．F3．已知圆O与直线l相切于点A，点沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点止运动，连接OQ，OP，则阴影部分的面积A ．23B ．22二、填空题8．关于x 的一元二次方程()2640x ax a -+-=的两个正实数根分别为12,x x ，且1228x x +=，则a 的值是__________.9．在分别标有号码2,3,4,,10 的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率为__________.10．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：对于点(),P x y ，若点Q 坐标为()2,2x y --，则称点Q 为点P 的“朋友点”.例如，点()3,2的“朋友点”为点()1,0.已知点M 的坐标为()1,2，点M 的“朋友点”为点1M ，点1M 的“朋友点”为点2M ，点2M 的“朋友点”为点3,M ，点2019M 的“朋友点”为点2020M ，则点2020M 的坐标是__________.11．因式分解：323832x x x -++=__________.12．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴交于不同的两点,A B C 为二次函数的图象的顶点，3AB =，若ABC 是边长为3的等边三角形，则=a __________.13．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系.三、解答题15．（1）已知103a =+，求函数5432767a a a a -+-+(1)请直接写出B C 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点(2)设抛物线的对称轴交线段垂线，交线段BC 于点F (3)Q 是第一象限内抛物线上一点，连接两点的圆的切线交于点P ，连接AP ，分别与BC 和O 相交于 D 、E 两点.(1)若O 半径为5，3OM =，求PC 长；(2)求证：A 、O 、M 、E 四点共圆；(3)求证：AT 为MAE ∠平分线.参考答案：14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是D如图4，如图所示：设圆心为O ，GH 与AB 交点为P ，连接PG 垂直平分NF ，OA OB ON ==，O ∴在PG 上，AP PB =设OG x =，则10OP PG OG x =-=-，在Rt APO 中，222OA AP OP =+，在Rt NGO 中，2ON NG =因为2(510)(10>故选：C5．C【分析】根据题意得到8．5【分析】由题得到韦达定理，结合已知得再检验即得解.中，在PAH和PQM，所以HM=≅PQMPQN≅（3）过点Q 向x 轴作垂线，交线段设200033,3,84Q x x x R ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则20033||82QR x x =-+，则S （4）由（3）知：(2,3Q 2,MM MN M N ='='，以于是CM MN NB SM ++=【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟练利用方程和函数的思想、数形结合的数学思想研究数学问题.求值一般利用方程的思想，求最值一般利用函数和数形结合思想18．(1)20 3(2)证明见解析（2）证明：因为OB 由切割线定理可得PB 又OPA EPM ∠∠=，所以故A 、O 、M 、E 四点共圆（3）证明：过点C 作。
数学试卷-芜湖一中2021年高一自主招生考试
芜湖一中2021年高一自主招生考试数学试卷（满分：150分）一､选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中）1.若2020,2022a b ==，且a b +的绝对值与其相反数相等，则a b -的值为（）A.2-B.2或4042C.2-或4042- D.2或4042-2.一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是（）A.①②B.②④C.①②④D.②③④3.已知2222,11a b b c a b c -=-=++=，则ab bc ca ++=（）A.-22B.-1C.7D.114.两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为（）A.1136B.518C.13D.5125.函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则()()222222,,2,,,ab bc a b a c b a b c b a ++-+--代数式的值中，正数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个6.如图，已知直线()111:0l y k x k =>和()222:0l y k x k =>与x 轴相交所成的锐角分别为60,40 ，点A 坐标为(，点P 为直线1l 上的一个动点，,M N 为直线2l 上的两个动点，则AM MP PN ++长度的最小值为（）A.2B. C.4sin40D.()4sin201cos20sin20cos20++7.如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x=>在第一象限经过ABO 的顶点A ，且点B 在x 轴上，过点B 作x 轴的垂线交反比例函数图象于点C ，连结OC 交AB于点D ，已知32AO AD OC OB DB ===，则k 的值为（）A.6B. C. D.二､填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）8.已知()2311a a --=，则a 的取值可能是__________．9.分解因式32452x x x +++=__________．10.若关于整数x 的不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解为31x -≤≤，则a b -的最大值为______．11.设,,a b c 是正整数，且7080,8090,90100a b c ≤<≤<≤<，当数据,,a b c 的方差最小时，a b c ++的值为__________．12.若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于与它相邻的前后两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2025个，第五个数为3，且具有“波动性质”，则这2025个数的和是__________．13.如图，A 是圆B 上任意一点，点C 在圆B 外，已知2,4AB BC ACD == ，是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为__________．14.不超过6的最大整数为__________．三､解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤）15.（1）已知m 是方程2710x x --=的一根，求22127m m m -+的值；（2）解关于x 的方程723x x +=+-．16.某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能重新组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能重新组成一个正方形队列．原长方形队列有多少名学生？17.如图，ABC 中，90,,ACB CB CA CE AB ∠==⊥ 于E ，点F 是CE 上一点，连接AF并延长交BC 于点,D CG AD ⊥于点G ，连接EG ．（1）如图（1），若236CF EF ==，求线段BD 的长度；（2）如图（2），若2,GC GE ==，求tan CDA ∠的值．18.材料：对抛物线21(0)2y x p p=>，定义：点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭叫做该抛物线的焦点，直线2py =-叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图，已知抛物线2:4C y ax ax =-的图象与x 轴交于,O A 两点，且过点31,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭，（1）求抛物线C 的解析式和点A 的坐标；（2）若将抛物线C 的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得抛物线C '的图象．①设M 为抛物线C '位于第一象限内图象上的任意一点，MN x ⊥轴于点N ，求MN MA +的最小值；②若过抛物线C '的焦点F 作直线AB ，与抛物线C '交于,A B 两点，再过,A B 两点分别做抛物线的切线，两条切线交于点P ，求2PF FA FB -⋅的值．参考答案1.【答案】B【分析】由a b +的绝对值与其相反数相等可得0a b +≤，然后可得,a b 的值，然后可得答案.【详解】因为a b +的绝对值与其相反数相等，所以0a b +≤，因为2020,2022a b ==，所以20202022a b =⎧⎨=-⎩或20202022a b =-⎧⎨=-⎩，所以4042a b -=或2，故选：B 2.【答案】C【分析】结合一个几何体的正视图，利用组合体的形状，判断俯视图的情况即可得到结果．【详解】当几何体的上部是球，下部为圆柱，则俯视图为：①；当几何体的上部是圆柱，下部是正方体，则俯视图是④；当几何体上部是球，下部是正方体，则俯视图为：②．故选：C 3.【答案】B【分析】解方程求,,a b c ，由此可求ab bc ca ++.【详解】因为2a b b c -=-=，所以2,2a b c b =+=-，又22211a b c ++=，所以()()2222211b b b +++-=，所以1b =或1b =-，当1b =时，3,1a c ==-，故1ab bc ca ++=-，当1b =-时，1,3a c ==-，故1ab bc ca ++=-，故选：B.4.【答案】D【分析】根据题意，列举出所有的可能性，从而得到数字之积能被6整除的概率.【详解】由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，共36种情况，所得结果之积为：1,2,3,4,5,6,2,4,6,8,10,12,3,6,9,12,15,18,4,8,12,16,20,24,5,10,15,20,25,30,6,12,18,24,30,36所得之积能被6整除的概率1553612P ==故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用列表法求古典概率，解题的关键是明确题意，列出相应的表格，计算出相应的概率.5.【答案】A【分析】观察图象，可得0,0,012ba c a<<<-<，0,0a b c a b c ++>-+<，由此判断各值的正负，确定正数的个数.【详解】因为函数2y ax bx c =++的图象为开口向下的抛物线，对称轴在0x =和1x =之间，所以a<0，012ba<-<，故02b a <<-因为函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点的纵坐标为负数，所以0c <，由此可得0ab <，0bc <，20a b +<，由图象可得当1x =时，0y >，故0a b c ++>，所以0a b c a b c +->++>，故()22a b c -+>0，当=1x -时，0y <，故<0a b c -+，所以()220a c b +-<，因为a<0，0b <，0a b c +>->所以()()220b a b a b a -=-+>，故()()222222,,2,,,ab bc a b a c b a b c b a ++-+--中正值有22b a -，()22a b c +-，故选：A.6.【答案】B【分析】通过作直线的对称直线，通过找点的对称点将AM MP PN ++转化为一条线段的长，进而结合作图分析，求得该线段的长，即可得答案.【详解】如图，作()111:0l y k x k =>关于()222:0l y k x k =>的对称直线3y k x =，取A 在其对称直线上的对称点为A '，则OA OA '=,作()222:0l y k x k =>关于()111:0l y k x k =>的对称直线4y k x =，连接A P '交2l 为M 点，延长A P '交4y k x =于点N ',设N '在2y k x =上的对称点为N ，则,MA MA PN PN ''==,故AM MP PN A M MP PN A N ''''++=++=,由于A 为定点，则A '也为定点，故当A N ''垂直于4y k x =时，A N ''的长最短，即此时AM MP PN ++取得最小值，因为直线1l 和2l 与x 轴相交所成的锐角分别为60,40 ，所以604020PON ∠=-= ，则20A ON PON ''∠=∠= ,故60A ON ''∠= ，而A 坐标为(，故4OA OA '==,而sin sin 604A N A N A ON OA ''''''∠==='，所以342A N ''=⨯=,即AM MP PN ++长度的最小值为故选：B 7.【答案】D【分析】利用反比例函数的图像与性质，相似三角形的性质，线段之间比例关系的转化，作出辅助线，设出线段比例关系，通过不断转化得出线段等量关系即可求解.【详解】过A 作AF OB ⊥于点F ,交OC 于点E ,如图所示AF BC ∴ ,AED BCD ∴ ，32AE AD BC BD ∴==，EF AF AEBC BC-∴=，设()0AFt t BC=>，则AF tBC =,32EF AF AE tBC AE t BC BC BC --∴===-，又k OF AF OB BC =⨯=⨯,1OF BC OB AF t==∴，又EF BC ∥,OEF OCB ∴ ,OF EFOB BC∴=,312t t ∴-=，解得2t =或12t =-（舍），2,2AF BC OB OF ∴==，又32OA OB =,322OA OF ∴=,3OA OF ∴=.在Rt AOF 中，由勾股定理可得AF =,2OF AF OF BC OB OF∴⋅⋅===.在Rt OBC △中，222OB BC OC +=,即())(2222OF +=，解得OF =或OF =，AF ∴==,k OF AF ∴=⨯=.故选：D.8.【答案】2或23或0【分析】讨论指数式的底数，结合指数运算性质求a 的取值.【详解】因为()2311a a --=，当311a -=，即23a =时，()4233111a a ---==，满足要求，当311a -=-，即0a =时，()()223111a a ---=-=，满足要求，当311a -≠且311a -≠-时，由()2311a a --=可得20a -=，所以2a =，所以a 的取值可能是2或23或0，故答案为：2或23或0.9.【答案】()()212x x ++【分析】通过拆项，结合分组分解法，提公因式法，完全平方公式分解因式即可.【详解】32452x x x +++32442x x x x =++++()2442x x x x =++++()222x x x =+++()()2221x x x =+++()()212x x =++故答案为：()()212x x ++.10.【答案】132【解析】【分析】由条件确定,a b 的范围，结合不等式性质求a b -的最大值.【详解】不等式21x a -<可化为12a x +<，不等式23xb ->可化为23x b >+，由已知可得11224233a b +⎧<≤⎪⎨⎪-≤+<-⎩，所以13732a b <≤⎧⎪⎨-≤<-⎪⎩，所以13732a b <≤⎧⎪⎨<-≤⎪⎩，所以1342a b <-≤，当且仅当73,2a b ==-时等号成立，故a b -的最大值为132.故答案为：132.11.【答案】253或254【分析】设3a b c x ++=，根据数据,,a b c 的方差为()()()222213s a x b x c x ⎡⎤=-+-+-⎣⎦可化简为()()2221)]9([ b a c b c a -+-+-，推出2s 要取到最小值，需2()c a -最小切最小值为11，即可结合二次函数性质确定此时,,a b c 的值，求得答案.【详解】设3a b c x ++=，则数据,,a b c 的方差为()()()222213s a x b x c x ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()22221323a b c x x a b c ⎡⎤=+++-++⎣⎦()22221133a b c a b c ⎡⎤=++-++⎢⎥⎣⎦()()2221)] (9[b a c b c a =-+-+-，显然()()c a c b b a -=-+-且c b a >>，故2s 要取到最小值，需2()c a -最小，最小值为907911-=，设()*N 011,b a t t t -=∈<<，则11c b t -=-，则()22222122224211119999s t t t t ⎡⎤=+-+=-+⎣⎦，当5t =或6t =时，2s 取到最小值，即90,84c b ==或85b =时，2s 取到最小值，故当数据,,a b c 的方差最小时，即79,90,84a c b ===或79,90,85a c b ===，a b c ++的值为253或254，故答案为：253或25412.【答案】6-【分析】由条件证明123450n n n n n n a a a a a a ++++++++++=，利用分组求和法求和即可.【详解】设第n 个数为n a ，1,2,3,,2025n =⋅⋅⋅，由已知12n n n a a a ++=+①，1,2,3,,2023n =⋅⋅⋅，213n n n a a a +++=+②，1,2,3,,2022n =⋅⋅⋅，324n n n a a a +++=+③，1,2,3,,2021n =⋅⋅⋅，435n n n a a a +++=+④，1,2,3,,2020n =⋅⋅⋅，①+②+③，可得240n n n a a a ++++=，1,2,3,,2021n =⋅⋅⋅，②+③+④，可得1350n n n a a a +++++=，1,2,3,,2020n =⋅⋅⋅，所以123450n n n n n n a a a a a a ++++++++++=，所以123420242025a a a a a a ++++⋅⋅⋅++()()123456789202020212022202320242025a a a a a a a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅++++++123a a a =++，又4653a a a +==，1234560a a a a a a +++++=，所以1234202420256a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=-.故答案为：6-.13.【答案】4【分析】以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，根据几何条件，找到DCM CAB ≅△△，由此确定点D 的运动轨迹，再根据三角形面积公式即可得到D 点位置与三角形面积关系得出答案.【详解】以BC 为边作等边BCM ，连接DM .⸪60DCA MCB ∠=∠=︒，⸫DCM ACB =∠∠，⸪,DC AC MC BC ==，⸫DCM CAB ≅△△（SAS ），⸫2DM AB ==为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 的中垂线与圆的交点时，CB 边上的高取最大值为2+，此时面积为4+.故答案为：4+.14.【答案】7039,x y +=利用完全平方公式以及和的立方公式即可求解.,x y ==则()2222204x y x y x y xy xy ⎧+=⎪⇒+=+-=⎨=⎪⎩，所以()()3662222223320316207040x y x y x y x y +=+-+=-⨯⨯=，即667040+=，又01<<，所以601<<，所以不超过6的最大整数为7039，故答案为：703915.【答案】（1）52；（2）7292x +=．【分析】（1）由条件可得2710m m --=，即17m m -=，22127m m m -+可化为213m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，代入条件可得其值；（2）变形可得4303x x x +-+-=-，再分别在3x <，3x >条件下解方程.【详解】（1）由于2710m m --=，则17m m -=，所以222222*********m m m m m m m m-+=-++=++，所以2221127352m m m m m ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭．（2）由知可得4x ≥-且3x ≠，原方程可变形为4303x x x +-+-=-当43x -≤<时，430,0,03x x x +-<<≥-所以4303x x x +-+-<-故方程无解当3x >时，方程可变形为20-=，=，即3x -=，所以2750x x -+=，解得7292x ±=，由于3x >，所以7292x =，综上方程的解为7292x +=.16.【答案】所以原有队列人数为136或904【分析】设原长方形队列有同学8x 人，根据题意可得2281208120x m x n ⎧+=⎨-=⎩，进而分析可得2012m n m n +=⎧⎨-=⎩或604m n m n +=⎧⎨-=⎩，运算求解即可.【详解】设原长方形队列有同学8x 人，由已知条件知8120x +和8120x -均为完全平方数，于是可设2281208120x m x n⎧+=⎨-=⎩，其中,m n 均为正整数，且m n >。
芜湖一中数学试题及答案
芜湖一中数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. √2C. -1D. i2. 如果函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，那么f(-1)的值是多少？A. -4B. -6C. -8D. -103. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| > 3B. |-3| < 3C. |-3| = 3D. |-3| ≠ 3二、填空题（每题4分，共16分）5. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度是______。
6. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是______。
7. 圆周率π的近似值是______。
8. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。
三、解答题（每题8分，共24分）9. 解方程：2x + 5 = 13。
10. 证明：对于任意实数a和b，(a + b)^2 ≤ 2(a^2 + b^2)。
11. 计算：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1)。
四、综合题（每题10分，共40分）12. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f(x)的极值。
13. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，已知a = 3，b = 4，c = 5，求长方体的表面积和体积。
14. 一个圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d < r时，求圆与直线的位置关系。
答案：一、选择题1. D2. A3. B4. C二、填空题5. 56. 47. 3.141598. -2三、解答题9. 解：2x + 5 = 13，移项得2x = 8，除以2得x = 4。
10. 证明：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ≤ a^2 + a^2 + b^2 +b^2 = 2(a^2 + b^2)。
11. 计算：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1) = 3x + 1（通过多项式长除法）。
芜湖附中自主招生数学试卷2021
芜湖附中自主招生数学试卷20211、20．下列说法正确的是（）[单选题] *A．符号相反的两个数互为相反数B．一个数的相反数一定是正数C．一个数的相反数一定比这个数本身小D．一个数的相反数的相反数等于原数(正确答案)2、一个直二面角内的一点到两个面的距离分别是3cm和4 cm ，求这个点到棱的距离为（）[单选题] *A、25cmB、26cmC、5cm(正确答案)D、12cm3、46．若a+b＝7，ab＝10，则a2+b2的值为（）[单选题] *A．17B．29(正确答案)C．25D．494、6．过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形是（）边形．[单选题]* A．七B．八C．九D．十(正确答案)5、47．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝50，则（x﹣2022）2的值为（）[单选题]* A．24(正确答案)B．23C．22D．无法确定6、二次函数y=3x2-4x+5的常数项是（）。
[单选题] *345(正确答案)17、12．下列说法正确的是（）[单选题] *A．一个数前面加上“–”号这个数就是负数B．非负数就是正数C．0既不是正数，也不是负数(正确答案)D．正数和负数统称为有理数8、已知a+b=3,则代数式(a+b)(a-b)+6b的值是(? ????) [单选题] *A. -3B. 3C. -9D. 9(正确答案)9、260°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限10、23、在直角坐标平面内有点A，B，C，D，那么四边形ABCD的面积等于（）[单选题]A. 1B. 2C. 4(正确答案)D. 2.511、42、如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）[单选题] *A．5对(正确答案)B．6对C．7对D．8对12、23．最接近﹣π的整数是（）[单选题] *A．3B．4C．﹣3(正确答案)D．﹣413、17．已知的x∈R那么x2（x平方）>1是x>1的（）[单选题] *A．充分不必要条件B．必要不充分条件(正确答案)C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14、19．下列两个数互为相反数的是（）[单选题] * A．（﹣）和﹣（﹣）B．﹣5和(正确答案)C．π和﹣14D．+20和﹣（﹣20）15、若sinα＜0,则α角是在（）[单选题] *A、第一、二象限B、第三、四象限(正确答案)C、第一、三象限D、第二、四象限16、7.下列运算正确的是（）[单选题] *A.-2(3X-1)=-6X-1B.-2(3X-1)=-6X+1C.-2(3X-1)=-6X-2D.-2(3X-1)=-6X+2(正确答案)17、下列函数是奇函数的是（）[单选题] *A、f（x）=3x(正确答案)B、f（x）=4xC、f（x）= +2x-1D、f（x）=18、3．下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（）[单选题] *A．1个(正确答案)B．2个C．3个D．5个19、下列说法中，不正确的是[单选题] *A.0是自然数B.0是正数(正确答案)C.0是整数D.0是有理数20、4．点（-3，-5）关于x 轴的对称点的坐标为（）[单选题] *A（-3，5）(正确答案)B（-3，-5）C（3，5）D（3，-5）21、14．平面上有三个点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，则（）[单选题] *A．点C在线段AB上(正确答案)B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．不能确定22、20．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（）[单选题] *21．A．∠COD＝∠AOBB．∠AOD＝∠AOBC．∠BOD＝∠AODD．∠BOC＝∠AOD(正确答案)23、3．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图．小华对小刚说：“如果我的位置用表示，小军的位置用表示，那么你的位置可以表示成（）[单选题] *A．(5,4)B(4,5)C(3,4)D（4，3）(正确答案)24、若m·23＝2?，则m等于[单选题] *A. 2B. 4C. 6D. 8(正确答案)25、5.在数轴上点A，B分别表示数-2，-5，则A，B两点之间的距离可表示为（）[单选题] *A.-2+(-5)B.-2-(-5)(正确答案)C.(-5)+2D(-5)-226、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ27、16．若过多边形的每一个顶点只有6条对角线，则这个多边形是（）[单选题] *A．六边形B．八边形C．九边形(正确答案)D．十边形28、6．下列说法正确的是（）．[单选题] *A．不属于任何象限的点不在坐标轴上就在原点B．横坐标为负数的点在第二、三象限C．横坐标和纵坐标互换后就表示另一个点D．纵坐标为负数的点一定在x轴下方(正确答案)29、10. 如图所示，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清哪条路通往外婆家，那么他一次选对路的概率是(? ? ?)．[单选题] *A．1/2B．1/3(正确答案)C．1/4D．130、5、若关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（）[单选题] *A、1B、-1(正确答案)C 、1或-1D、2。
2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷及答案解析
2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷一．选择题（共6小题，满分36分，每小题6分）1．（6分）若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7B．0C．9D．182．（6分）由函数y＝|x2﹣x﹣2|和y＝|x2﹣x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有（）个．A．2个B．4个C．6个D．8个3．（6分）据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433﹣1，这个质数的末尾数字是（）A．1B．3C．7D．94．（6分）在△ABC中，∠A是钝角，H是垂心，AH＝BC，则∠BHC＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：16．（6分）如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交y=12x2的图象于点A i，交直线y=−12x于点B i．则1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n的值为（）A．2nn+1B．2C．2n(n+1)D．2n+1二．填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）7．（7分）函数y=√x2+4x+5+√x2−4x+8的最小值是．8．（7分）甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A和B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲的速度与乙的速度之比为．9．（7分）设函数y＝x﹣3与y=2x的图象的两个交点的横坐标为a、b，则1a+1b=．10．（7分）如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为．11．（7分）一个长，宽，高分别为28为厘米，19厘米，16厘米的长方体，先从此长方体中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么剩下部分的体积是立方厘米．12．（7分）对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如果[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，那么[x+y﹣z]的值等于．三．解答题（共5小题，满分72分）13．（14分）试求实数a、b使得抛物线y＝x2+ax+b，y＝x2+bx+a与x轴有4个交点，且相邻两点之间的距离相等．14．（15分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=245．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．15．（14分）如图，AB是半圆圆O的直径，C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，CH⊥BM，垂足为H．求证：CH2＝AH•OH．16．（14分）甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．17．（15分）如图①，在长方形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1 cm，a秒时点P的速度变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象：（1）根据图②中提供的信息，a＝，b＝，c＝．（2）点P出发后几秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的四分之一？2021年安徽省芜湖一中自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分36分，每小题6分）1．（6分）若正实数a、b满足ab＝a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A．﹣7B．0C．9D．18【解答】解：设a+b＝m，则ab＝m+3，a、b可看作关于x的方程x2﹣mx+m+3＝0的两根，a、b为实数，则△＝（﹣m）2﹣4（m+3）≥0，解得m≤﹣2或m≥6，而a、b为正实数，∴a+b＝m＞0，只有m≥6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝m2﹣2（m+3）＝（m﹣1）2﹣7，可知当m≥1时，a2+b2随m的增大而增大，∴当m＝6时，a2+b2的值最小，为18．故选：D．2．（6分）由函数y＝|x2﹣x﹣2|和y＝|x2﹣x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有（）个．A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：如图所示：由函数y＝|x2﹣x﹣2|和y＝|x2﹣x|的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有：（0，2），（0，1），（0，0），（1，0），（1，1），（1，2）一共有6个点．故选：C．3．（6分）据报道目前用超级计算机找到的最大质数是2859433﹣1，这个质数的末尾数字是（ ） A ．1B ．3C ．7D ．9【解答】解：∵859433＝214858×4+1， ∴2859433的末尾数与21的末尾数相同，都为2， ∴2859433﹣1的末尾数是1． 故选：A ．4．（6分）在△ABC 中，∠A 是钝角，H 是垂心，AH ＝BC ，则∠BHC ＝（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解答】解：如图，AD 、CE 、BF 为△ABC 的高，H 点为三条高线的交点，即H 是垂心， ∵AD 、CE 为△ABC 的高， ∴∠AEH ＝90°，∠ADB ＝90°， ∴∠1＝∠2，∵在△HAE 和△BCE 中 {∠1=∠2∠AEH =∠CEB AH =BC， ∴△HAE ≌△BCE （AAS ）， ∴HE ＝BE ，∴△HEB 为等腰直角三角形， ∴∠BHC ＝45°． 故选：B ．5．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC ＝3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BF A，∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝3：4，∴DE：AB＝3：4，∴S△DFE：S△BF A＝9：16．故选：B．6．（6分）如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交y=12x2的图象于点A i，交直线y=−12x于点B i．则1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n的值为（）A．2nn+1B．2C．2n(n+1)D．2n+1【解答】解：根据题意得：A i B i=12x2﹣（−12x）=12x（x+1），∴1A iB i =2x(x+1)=2（1x−1x+1），∴1A1B1+1A2B2+⋯+1A nB n=2（1−12+12−13+⋯+1n−1n+1）=2nn+1．故选：A．二．填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）7．（7分）函数y =√x 2+4x +5+√x 2−4x +8的最小值是 5 ． 【解答】解：∵x 2+4x +5＝（x +2）2+1，x 2﹣4x +8＝（x ﹣2）2+4， ∴即抛物线的顶点坐标分别为：（﹣2，1），（2，4），即相当于求x 轴上一点到（﹣2，1）和（2，2）的和的最小值，等价于（﹣2，﹣1）到（2，2）距离，故如图所示：A ′B =√32+42=5，即原式的最小值为5． 故答案为：5．8．（7分）甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A 和B ，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ，甲的速度与乙的速度之比为34．【解答】解：设甲的速度为v 1千米/时，乙的速度为v 2千米/时，根据题意知，从出发地点到A 的路程为v 1千米，到B 的路程为v 2千米，从而有方程：v 2v 1−v 1v 2=3560，化简得：12（v 1v 2）2+7（v 1v 2）﹣12＝0， 解得：v 1v 2=34或v 1v 2=−43（不合题意舍去）．故答案为：34．9．（7分）设函数y ＝x ﹣3与y =2x 的图象的两个交点的横坐标为a 、b ，则1a +1b= ﹣1.5 ．【解答】解：联立{y =x −3y =2x 消掉y 得，x 2﹣3x ﹣2＝0， ∵两个交点的横坐标为a 、b ，∴a +b =−−31=3，ab ＝﹣2， ∴1a +1b=a+b ab=3−2=−1.5．故答案为：﹣1.5．10．（7分）如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为14．【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积=14S 四边形， ∴针头扎在阴影区域内的概率为14；故答案为：14．11．（7分）一个长，宽，高分别为28为厘米，19厘米，16厘米的长方体，先从此长方体中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么剩下部分的体积是 2688 立方厘米．【解答】解：如图①∵长方体的长、宽、高分别为28cm 、19cm 、16cm ，∴第一次切下的正方形的边长为16cm ，则其体积为163＝4096（cm 3）， ∴可以认为还有一个长、宽、高分别为19cm 、16cm 、12cm 的长方体存在； 如图②：∴第二次切下的正方形的边长为12cm ，则其体积为123＝1728（cm 3），∴剩下部分的体积是：28×19×16﹣4096﹣1728＝8512﹣4096﹣1728＝2688（cm3）．故答案为：2688．12．（7分）对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如果[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，那么[x+y﹣z]的值等于2或3或4．【解答】解：∵[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，∴3＜x＜4，1＜y＜2，1＜z＜2，∴2＜x+y﹣z＜5，故可得出[x+y﹣z]＝2，3，4．故答案为：2或3或4．三．解答题（共5小题，满分72分）13．（14分）试求实数a、b使得抛物线y＝x2+ax+b，y＝x2+bx+a与x轴有4个交点，且相邻两点之间的距离相等．【解答】解：设函数y＝x2+ax+b与x轴的两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）且x1＜x2，函数y＝x2+bx+a与x轴的两个交点坐标分别为C（x3，0），D（x4，0），且x3＜x4，则x1+x2＝﹣a≤0，x1x2＝b＜0，则x1＜0，x2＞0，同理x3+x4＝﹣b＞0，x3x4＝a≥0，则x3≥0，x4＞0，则A、B、C、D在x轴上的左右顺序为A，B，C，D或A，C，B，D或A，C，D，B，若按A，C，D，B的顺序排列，则AC＝CD＝DB，则有x3﹣x1＝x4﹣x2，即x1+x2＝x3+x4，即﹣a＝﹣b，与假设（a≥0＞b）矛盾，此不可能．若按A、B、C、D的顺序排列，则x2﹣x1＝x4﹣x3＝x3﹣x2，由于x1，2=−a±√a2−4b2，x3，4=−b±√b2−4a2，则√a2−4b=√b2−4a，∴（a﹣b）（a+b+4）＝0，而a＞b，∴a+b+4＝0，又2x3＝x2+x4，则2×−b−√b2−4a2=−a+√a2−4b2+−b+√b2−4a2，化简得：a+b＝3√b2−4a+√a2−4b，即3√b2−4a+√a2−4b=−4，此不可能．若按A、C、B、D的顺序排列，则x3﹣x1＝x2﹣x3＝x4﹣x2，则有x2﹣x1＝x4﹣x3，且2x3＝x1+x2，因此√a2−4b，∴（a﹣b）（a+b+4）＝0，而a＞b，∴a+b+4＝0，又2x3＝x2+x1，则2×−b−√b2−4a2=−a，解之得a＝0或a＝﹣4．而a≥0，∴a＝0，b＝﹣4，经经验，a＝0，b＝﹣4满足题设要求．故a＝0，b＝﹣4为所求．14．（15分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=245．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=12∠ADC，∠ABF=12∠ABC，∴∠ADE+∠ABF=12×180°＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x＝0，得y＝12，∴DE＝12，令y＝0，得x＝10，∴MN＝10，把y=245代入y=−65x+12，解得：x＝6，即NQ＝6，∴QM＝10﹣6＝4，∵Q是BF中点，∴FQ＝QB，∵BM＝2FN，∴FN+6＝4+2FN，解得：FN＝2，∴BM＝4，∴BF＝FN+MN+MB＝16；（3）①连接EM 并延长交BC 于点H ，如图2所示：∵FM ＝2+10＝12＝DE ，DE ∥BF ，∴四边形DFME 是平行四边形，∴DF ＝EM ，EH ∥CD ，∴∠MHB ＝∠C ＝90°，∵AD ＝6，DE ＝12，∠A ＝90°，∴∠DEA ＝30°，∴∠DEA ＝∠FBE ＝∠FBC ＝30°，∴∠ADE ＝60°，∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠FME ＝60°，∴∠DFM ＝∠DEM ＝120°，∴∠MEB ＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠MEB ＝∠FBE ＝30°，∴∠EHB ＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF ＝EM ＝BM ＝4，∴MH =12BM ＝2，∴EH ＝4+2＝6，由勾股定理得：HB =√BM 2−MH 2=√42−22=2√3，∴BE =√EH 2+HB 2=√62+(2√3)2=4√3，当DP ＝DF 时，−65x +12＝4，解得：x =203，∴BQ ＝14﹣x ＝14−203=223， ∵223＞4√3，∴BQ ＞BE ；②（Ⅰ）当PQ 经过点D 时，如图3所示：y ＝0，则x ＝10；（Ⅱ）当PQ 经过点C 时，如图4所示：∵BF ＝16，∠FCB ＝90°，∠CBF ＝30°，∴CF =12BF ＝8，∴CD ＝8+4＝12，∵FQ ∥DP ，∴△CFQ ∽△CDP ，∴FQ DP =CF CD ， ∴2+x−65x+12=812，解得：x =103；（Ⅲ）当PQ 经过点A 时，如图5所示：∵PE ∥BQ ，∴△APE ∽△AQB ，∴PE BQ =AE AB ，由勾股定理得：AE =√DE 2−AD 2=√122−62=6√3，∴AB ＝6√3+4√3=10√3，∴12−(−65x+12)14−x=√310√3， 解得：x =143，由图可知，PQ 不可能过点B ；综上所述，当x ＝10或x =103或x =143时，PQ 所在的直线经过四边形ABCD 的一个顶点．15．（14分）如图，AB是半圆圆O的直径，C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，CH⊥BM，垂足为H．求证：CH2＝AH•OH．【解答】解：连接OC 、BC ，∵C 是弧AB 的中点，M 是弦AC 的中点，∴∠BOC ＝∠BHC ＝90°，则点O 、B 、C 、H 四点共圆，∴∠OHB ＝∠OCB ＝45°，∵∠BCM ＝90°，CH ⊥BM ，M 为AC 的中点，∴AM 2＝CM 2＝MH •MB ，即HM AM =AM BM ，∴△AMH ∽△BMA ，则∠MAH ＝∠MBA ，∠AHM ＝∠BAM ＝45°，∴∠AHM ＝∠BHO ，∴△AMH ∽△BOH ，∴AH BH =MH OH ，则AH •OH ＝MH •BH ，∵CH 2＝MH •HB ，∴CH 2＝AH •OH ．16．（14分）甲、乙两条轮船同时从港口A 出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C 处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A 与小岛C 之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．【解答】解：（1）作BD ⊥AC 于点D ，如图所示：由题意可知：AB ＝30×1＝30海里，∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，在Rt △ABD 中，∵AB ＝30海里，∠BAC ＝30°，∴BD ＝15海里，AD ＝AB cos30°＝15√3海里，在Rt △BCD 中，∵BD ＝15海里，∠BCD ＝45°，∴CD ＝15海里，BC ＝15√2海里，∴AC ＝AD +CD ＝15√3+15海里，即A 、C 间的距离为（15√3+15）海里．（2）∵AC ＝15√3+15（海里），轮船乙从A 到C 的时间为15√3+1515=√3+1，由B 到C 的时间为√3+1﹣1=√3，∵BC ＝15√2海里，∴轮船甲从B 到C 的速度为√2√3=5√6（海里/小时）．17．（15分）如图①，在长方形ABCD 中，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从A 出发，沿A 、B 、C 、D 路线运动，到D 停止，点P 的速度为每秒1 cm ，a 秒时点P 的速度变为每秒bcm ，图②是点P 出发x 秒后，△APD 的面积S 1（cm 2）与x （秒）的函数关系图象：（1）根据图②中提供的信息，a ＝ 6 ，b ＝ 2 ，c ＝ 17 ．（2）点P 出发后几秒，△APD 的面积S 1是长方形ABCD 面积的四分之一？【解答】解：（1）依函数图象可知：当0≤x ≤a 时，S 1=12×8a ＝24 即：a ＝6当a ＜x ≤8时，S 1=12×8×[6×1+b （8﹣6）]＝40 即：b ＝2 当8＜x ≤c 时，①当点P 从B 点运动到C 点三角形APD 的面积S 1=12×8×10＝40（cm 2）一定，所需时间是：8÷2＝4（秒）②当点P 从C 点运动到D 点：所需时间是：10÷2＝5（秒） 所以c ＝8+4+5＝17（秒）故答案为：a ＝6，b ＝2，c ＝17．（2）∵长方形ABCD 面积是：10×8＝80（cm 2）∴当0≤x ≤a 时，12×8x ＝80×14即：x ＝5； 当12≤x ≤17时，12×8×2（17﹣x ）＝80×14即：x ＝14.5． ∴点P 出发后5秒或14.5秒，△APD 的面积S 1是长方形ABCD 面积的四分之一。
2020-2021学年安徽省芜湖一中高一(上)第二次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年安徽省芜湖一中高一（上）第二次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（3a）3＝9a3C．D．（﹣2a2）3＝﹣8a62．下列角中，与角终边相同的角是（）A．B．C．D．3．函数y＝的定义域为（）A．（1，）B．[1，）C．（1，2]D．（1，2）4．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．已知a＞0，a≠1，函数y＝a x，y＝log a（﹣x）的图象大致是下面的（）A．B．C．D．6．已知log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，那么式子log abc x＝（）A．1B．0C．36D．7．已知函数f（x）＝5x+2x﹣a在（1，2）上存在零点，则a的取值范围为（）A．（7，29）B．（7，+∞）C．（1，29）D．（7，14）8．定义运算a⊕b＝，若函数f（x）＝2x⊕2﹣x，则f（x）的值域是（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1]D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分.）9．若角α＝3rad（rad为弧度制单位），则下列说法正确的是（）A．sinα＞cosαB．α是第三象限角C．sinα＞0D．tanα＞010．对于函数f（x）＝lg（|x﹣1|+1），下列判断正确的是（）A．f（x+1）是偶函数B．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增C．f（x）有两个零点D．f（x）的值域为[0，+∞）11．已知实数a，b满足等式，则下列关系式中可能成立的是（）A．0＜b＜a B．a＜b＜0C．a＝b D．b＜a＜0 12．已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，b＞a＞1且f（a）＝f（b），则（）A．1＜a＜2B．a+b＝abC．ab的最小值为D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若实数x、y满足log3x+log3y＝1，则+的最小值为．14．已知a＜0，角α的终边上有一点P（3a，﹣4a），则sinα＝．15．已知f（x）＝，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是．16．当时，4x＜log a x，则a的取值范围．四、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．计算：（1）；（2）lg5•（lg8+lg1000）+3lg22．18．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的单调增区间和单调减区间；（3）求函数f（x）的值域．19．（1）已知一扇形的周长为20cm，求它的半径取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？（2）已知，求sin2α﹣sinαcosα．20．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）．（1）判断并证明函数f（x）奇偶性；（2）用定义法证明f（x）在定义域上是增函数；（3）求不等式f（2x﹣5）+f（2﹣x）＜0的解集．21．已知函数f（x）＝ax2﹣4x+6．（1）若函数y＝log2f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数y＝log a f（x）在区间（1，3]上严格增，求实数a的取值范围．22．已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）是否存在实数k，使得函数f（x）在区间[m，n]上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（3a）3＝9a3C．D．（﹣2a2）3＝﹣8a6【分析】直接利用幂的运算和根式的运算判定A、B、C、D的结论．解：对于A：a2•a3＝a5，故A错误；对于B：（3a）3＝27a3，故B错误；对于C：＝，故C错误；对于D：（﹣2a2）3＝﹣8a6，故D正确．故选：D．2．下列角中，与角终边相同的角是（）A．B．C．D．【分析】先推导出＝﹣2π+是第二象限角，由此能求出与角终边相同的角．解：∵＝﹣2π+是第二象限角，是第一象限角，是第一象限角，是第二象限角，是第三象限角，∴与角终边相同的角是．故选：C．3．函数y＝的定义域为（）A．（1，）B．[1，）C．（1，2]D．（1，2）【分析】根据函数y的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式，再利用对数函数的真数大于0，求出x的取值范围．解：∵函数y＝，∴（x﹣1）≥0，即0＜x﹣1≤1；解得1＜x≤2，∴函数y的定义域为（1，2]．故选：C．4．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【分析】由a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1，0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，知b＞c＞a．解：∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1，0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a．故选：C．5．已知a＞0，a≠1，函数y＝a x，y＝log a（﹣x）的图象大致是下面的（）A．B．C．D．【分析】先根据y＝log a（﹣x）的定义域可排除AD再验证BC中的增减性即可得到答案．解：∵y＝log a（﹣x）的定义域为{x|x＜0}故排除选项ADC中y＝a x单调递增故0＜a＜1，此时y＝log a（﹣x）应该单调递增和图中图象矛盾排除故选：B．6．已知log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，那么式子log abc x＝（）A．1B．0C．36D．【分析】由换底公式可得，，，再利用对数的运算性质即可求出结果．解：∵log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，∴，，，∴＝1，∴abc＝x，∴log abc x＝1，故选：A．7．已知函数f（x）＝5x+2x﹣a在（1，2）上存在零点，则a的取值范围为（）A．（7，29）B．（7，+∞）C．（1，29）D．（7，14）【分析】由题意结合函数的单调性得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围．解：因为f（x）在（1，2）上单调递增，所以有：f（1）＝7﹣a＜0，f（2）＝29﹣a＞0，解得：7＜a＜29．故选：A．8．定义运算a⊕b＝，若函数f（x）＝2x⊕2﹣x，则f（x）的值域是（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1]D．【分析】作出f（x）＝2x⊕2﹣x的图象，结合图象能求出函数f（x）的值域解：f（x）＝2x⊕2﹣x＝，其图象为，由图可知f（x）的值域为（0，1]．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分.）9．若角α＝3rad（rad为弧度制单位），则下列说法正确的是（）A．sinα＞cosαB．α是第三象限角C．sinα＞0D．tanα＞0【分析】先将弧度转化为角度，判断所在的象限，由三角函数在各个象限的符号的判定依次判断即可．解：角α＝3rad≈171.888°，因为α为第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，则sinα＞cosα，所以选项A正确，选项B错误，选项C正确，选项D错误．故选：AC．10．对于函数f（x）＝lg（|x﹣1|+1），下列判断正确的是（）A．f（x+1）是偶函数B．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增C．f（x）有两个零点D．f（x）的值域为[0，+∞）【分析】利用偶函数的定义即可判断选项A，利用图象变换作出函数f（x）的图象，由图象即可判断选项B，C，D．解：对于A，因为函数f（x）＝lg（|x﹣1|+1），所以f（x+1）＝lg（|x|+1），其定义域为R，关于原点对称，又lg（|﹣x|+1）＝lg（|x|+1），故函数f（x+1）为偶函数，故选项A正确；函数f（x）＝lg（|x﹣1|+1）的图象如图所示，由图象可得，f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故选项B正确；对于C，函数f（x）的图象与x轴只有一个交点，所以f（x）只有一个零点，故选项C错误；对于D，由函数的图象可知，函数f（x）的值域为[0，+∞），故选项D正确．故选：ABD．11．已知实数a，b满足等式，则下列关系式中可能成立的是（）A．0＜b＜a B．a＜b＜0C．a＝b D．b＜a＜0【分析】作函数y＝与y＝的简图，结合图象求解即可．解：作函数y＝与y＝的图象如右图，结合图象可知，当＞1时，a＜b＜0，当＝1时，a＝b＝0，当＜1时，a＞b＞0，故选：ABC．12．已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，b＞a＞1且f（a）＝f（b），则（）A．1＜a＜2B．a+b＝abC．ab的最小值为D．【分析】先画出函数f（x）的图象，根据图象可得a，b的范围，再由f（a）＝f（b）可得a，b的关系式，进而可以判断四个选项是否正确．解：函数f（x）的图象如图所示：因为b＞a＞1，则由图知1＜a＜2＜b，A正确，且由f（a）＝f（b）可得：lg（b﹣1）＝﹣lg（a﹣1），则（a﹣1）（b﹣1）＝1，故a+b＝ab，B正确，所以≥2＝2，又因为a＜2，所以“＝”不能取，故，D正确，故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若实数x、y满足log3x+log3y＝1，则+的最小值为．【分析】实数x、y满足log3x+log3y＝1，可得xy＝3（x，y＞0）．利用基本不等式的性质即可得出．解：实数x、y满足log3x+log3y＝1，∴xy＝3（x，y＞0）．则+≥2＝，当且仅当x＝y＝时取等号．故答案为：．14．已知a＜0，角α的终边上有一点P（3a，﹣4a），则sinα＝．【分析】根据三角函数的定义进行计算即可．解：由三角函数的定义可知sinα＝＝，当a＜0时，sinα＝．故答案为：．15．已知f（x）＝，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是[4，8）．【分析】由题意可得，函数f（x）为R上的单调增函数，由此可得关于a的不等式组求解．解：由题意，可知f（x）＝为R上的增函数，则，解得4≤a＜8．∴实数a的取值范围是[4，8）．故答案为：[4，8）．16．当时，4x＜log a x，则a的取值范围．【分析】若当时，不等式4x＜log a x恒成立，则在时，y＝log a x的图象恒在y＝4x的图象的上方，在同一坐标系中，分析画出指数和对数函数的图象，分析可得答案．解：当时，函数y＝4x的图象如下图所示若不等式4x＜log a x恒成立，则y＝log a x的图象恒在y＝4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y＝log a x的图象与y＝4x的图象交于（，2）点时，a＝故虚线所示的y＝log a x的图象对应的底数a应满足＜a＜1故答案为：（，1）四、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．计算：（1）；（2）lg5•（lg8+lg1000）+3lg22．【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．（2）利用对数的运算性质求解．解：（1）原式＝2﹣1+＝1+＝．（2）原式＝lg5•（3lg2+3）+3lg22＝3lg5•lg2+3lg5+3lg22＝3lg2（lg5+lg2）+3lg5＝3lg2+3lg5＝3．18．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的单调增区间和单调减区间；（3）求函数f（x）的值域．【分析】（1）由指数函数的定义域可得所求；（2）运用换元法和二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，可得所求；（3）由二次函数的值域，结合指数函数的单调性，可得所求值域．解：（1）函数的定义域为R；（2）设t＝﹣x2+6x﹣5，则y＝（）t，由y＝（）t在R上递减，t＝﹣x2+6x﹣5在（﹣∞，3）递增，（3，+∞）上递减，结合复合函数的单调性：同增异减，可得函数f（x）的单调增区间为（3，+∞），单调减区间为（﹣∞，3）；（3）由t＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4≤4，当x＝3时，t取得最大值4，所以f（x）取得最小值（）4＝，即f（x）的值域为[，+∞）．19．（1）已知一扇形的周长为20cm，求它的半径取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？（2）已知，求sin2α﹣sinαcosα．【分析】（1）设扇形的半径、圆心角分别为r、θ，可得2r+rθ＝20，可得θ＝，利用扇形的面积计算公式及其基本不等式即可得出结论．（2）由，利用弦化切即可得出tanα，进而得出sin2α﹣sinαcosα．解：（1）设扇形的半径、圆心角分别为r、θ，则2r+rθ＝20，可得θ＝，扇形的面积S＝r2θ＝r2×＝r（10﹣r）≤＝25，当且仅当r＝5时取等号．扇形最大面积是25．（2）∵，∴＝5，解得tanα＝2．则sin2α﹣sinαcosα＝＝＝＝．20．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）．（1）判断并证明函数f（x）奇偶性；（2）用定义法证明f（x）在定义域上是增函数；（3）求不等式f（2x﹣5）+f（2﹣x）＜0的解集．【分析】（1）先求函数定义域，然后检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断，（2）先设﹣1＜x1＜x2＜1，然后判断t（x）＝的单调性，再根据复合函数的单调性即可，（3）由f（2x﹣5）+f（2﹣x）＜0得f（2x﹣5）＜﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2），然后结合单调性可求．解：（1）f（x）为奇函数，利用如下：f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）＝ln，定义域（﹣1，1），f（﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）＝﹣f（x）．故f（x）为奇函数，（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，令t（x）＝＝﹣1﹣，则t（x1）﹣t（x2）＝＝＜0，所以t（x1）＜t（x2），t（x）在（﹣1，1）上单调递增，根据复合函数的单调性知f（x）＝ln在（﹣1，1）上是增函数，（3）由f（2x﹣5）+f（2﹣x）＜0得f（2x﹣5）＜﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2），所以，解得，2＜x＜3，故不等式的解集（2，3）．21．已知函数f（x）＝ax2﹣4x+6．（1）若函数y＝log2f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数y＝log a f（x）在区间（1，3]上严格增，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝0时，判断说法满足题意，当a≠0时，要使得y＝log2f（x）的值域为R，转化列出不等式组求解即可．（2）当a＞1时，当0＜a＜1时，利用复合函数的单调性，列出不等式组求解即可．解：（1）当a＝0时，y＝log2（﹣4x+6）满足题意；当a≠0时，要使得y＝log2f（x）的值域为R，只需要满足，解得，综上．（2），当a＞1时，外层函数为严格增，所以只需满足；当0＜a＜1时，外层函数为严格减，所以只需满足，此时不存在，舍去；综上a∈[2，+∞）．22．已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）是否存在实数k，使得函数f（x）在区间[m，n]上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝＝0，解可得a＝1，验证即可得答案，（2）根据题意，分析函数的单调性，可得，即，据此分析可得方程有两个不等的实根，令4x＝t＞0，原问题等价于方程t2﹣（1+k）t﹣k＝0有两个不等的正根，结合二次函数性质分析可得答案．解：（1）根据题意，是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝＝0，则a＝1，故f（x）＝，满足f（﹣x）+f（x）＝0，符合题意，故a＝1，（2）假设存在实数k，使之满足题意，f（x）＝＝1﹣，易得函数f（x）在[m，n]上单调递增，则有，即，则m，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，令4x＝t＞0，即方程t2﹣（1+k）t﹣k＝0有两个不等的正根，则有，解可得，则存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是，并且实数k的取值范围是．。
安徽省芜湖市第一中学2020-2021学年高一第三次月考数学答案(PDF版)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
DBABADDCADBB
1.D【解析】A={x|lg（x-2）＜1}={x|lg（x-2）＜lg10}={x|2＜x＜ 12}，B={x| ＜2x＜8}={x|2-1＜2x＜23}={x|-1＜x＜3}，
∴A∩B={x|2＜x＜3}故选 D．
11．B【解析】因为 f x 是奇函数， g x 是偶函数， 故 f x g x f x g x 3x x3 ，
又 f (x) g(x) 3x x3 ，解方程可得： g x 3x 3x , f x 3x 3x 2 x3
2
2
故 f 1 g 2 31 3 2 32 9 38 .故选：B.
a
b
3 a
2 b
5
3b a
2a b
5
2
3b 2a 5 2 ab
6，
当且仅当 2a2 3b2 时，等号成立，即 ab的最小值为 5 2 6 .故答案为：
52 6 .
14.【答案】 , 2.
【解析】函数 f x 是奇函数，所以 f 1 m f 2m 1 f 2m 1 .
因为
y
ex
是
R
分 2 种情况讨论：
①、当 A=∅时，有 m-1＞2m+3，解可得 m＜-4，
②、当 A≠∅时，
若有 A⊆B，必有
，解可得-1＜m＜ ，
综上可得：m 的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1， ）
20.（1）奇函数，证明见解析；（2） 0 m 15
【解析】（1）因为
x x
1 1
0
，解得
x
1或
x
1
，
上的增函数，y
芜湖一中2022年高一自主招生考试数学试题及参考答案
芜湖一中2022年高一自主招生考试数学试卷（满分：150分）一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中）1.方程xΙxΙ-5ΙxΙ+4=0的实数根的个数是（）A1B2C3D42.依次将正整数1，2，3，……的平方数排成一串：149162536496481100121144……，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第898个位置的数字是（）A1B4C5D93.设抛物线y=x2+x-4与x轴的两个交点的坐标为（x1，0）和（x2，0），则x13-5x22+10=（）A-19B-9C16D-274.若直角坐标系内两点M､N满足条件①M､N都在函数y的图象上②M､N关于原点对称,则称点对(M,N)是函数y的一个“共生点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一个”共生点对”),已知函数,则函数y的“共生点对”有()个A0B1C2D35.如图(1)，E，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD 于点G，连接BE 交AG 于点H．若正方形的边长为4，则线段DH 长度的最小值是()．A252-B5C 3D 3.56.如图(2)，一个边长分别是6,8,10的直角三角形的一个顶点与正方形的点A 重合，另两个顶点在正方形的两边BC,CD 上，则正方形的面积是（）图（1）图（2）图（3）7.如图（3）O 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，OE ⟂OD,∠OED=45°，E 在AB 上，结论：①∠AOD=∠AED；②AD:OD=AF:EF；③OA OF OE ⋅=2；④若AB=6,BE=4,则OD=52,其中正确结论的个数是（）A 1B 2C 3D 4二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）.9.若有四个不同的正整数a,b,c,d,满足（2022-a)(2022-b)(2022-c)(2022-d)=6，则a+b+c+d=.10.已知实数m≠n 且满足（m+2)2=3-3(m+2),(n+2)2=3-3(n+2),则.=+nm m n11.如图4，∠C ＝90°，BC ＝6，tanB ＝，点M 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度在BA 上向点A 运动，点N 同时从点A 出发向点C 运动，其速度是每秒2个单位长度，当一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为秒时，△MNA 为等腰三角形．12.如图（5），点P 为函数xy 36=（x ＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P 半径为2，A （4，0），B （8，0），点Q 是⊙P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最小值是．13.如图图6，在∆ABC 中，AB=AC,以AB 为直径的圆交BC 于点D,连接AD ，点P 是AD 上一点，过点C 作CF ∥AB,延长BP 交AC 于E,交CF 于F,若PE=4,EF=5则BP=图（4）图（5）图（6）14.设自然数m,n,m>n,且(m+n)+(m-n)+mn+n m=75,则m+n=三、解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤）15.（1）（本题6分）解方程82)1()344=+++x x （（2）（本题7分）对于函数f （x ）＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0）,若存在实数x 0，使f （x 0）＝x 0成立，则称x 0为f （x ）的固定点．①当a ＝2，b ＝﹣4时，求f （x ）的固定点；②若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个不相同的固定点，求a 的取值范围．16.（本题12分）某校开展研学旅行活动，决定租几辆客车，要求每辆车乘坐相同的人数，每辆车至多乘坐32人。
安徽省芜湖市县第一中学2020-2021学年高一数学理联考试卷含解析
安徽省芜湖市县第一中学2020-2021学年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：A 6EB 7C C 5FD B0参考答案：A略2. 若集合S={a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D.等腰三角形参考答案：D略3. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（）参考答案：D4. 如图所示,已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF AB，则EF与CD所成的角为（）Ａ、９００Ｂ、４５０Ｃ、６００Ｄ、３００参考答案：D略5. 方程表示双曲线，则k的取值范围是（）A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0D．k＞1或k＜﹣1参考答案：D【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需k+1与1﹣k只需异号即可，则解不等式（k+1）（1﹣k）＜0即可求解．【解答】解：由题意知（k+1）（1﹣k）＜0，即（k+1）（k﹣1）＞0解得k＞1或k＜﹣1．故选D．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，属基础题，解答的关键是根据双曲线的标准方程建立不等关系．6. 要得到函数y=f（2x+π）的图象，只须将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】先把函数y=f（x）的图象向左平移π个单位得到函数y=f（x+π）的图象，再由y=f（x+π）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，即可得到函数y=f（2x+π）的图象．【解答】解：要得到函数y=f（2x+π）的图象要将函数y=f（x）的图象分两步走：先把函数y=f（x）的图象向左平移π个单位得到函数y=f（x+π）的图象，再由y=f（x+π）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，即可得到函数y=f（2x+π）的图象．故选C．7. 函数y=ln（1﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1] D．[0，1]参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项【解答】解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选B8. 函数y=的值域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）参考答案：D 【分析】根据2x＞0，则2x﹣1＞﹣1且不等于0，用观察分析法求值域即可．【解答】解：∵2x＞0，∴2x﹣1＞﹣1∴＜﹣1或＞0∴y∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）故选：D【点评】本题考查函数的值域问题，属基本题型、基本方法的考查．9. 在区间上随机取一个数，使的值介于0到之间的概率为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C10. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交参考答案：D【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交．【解答】解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}的前n项和为S n，，且（），记（），若对恒成立，则的最小值为__．参考答案：, 即为首项为，公差为等差数列，，，，由得，因为或时，有最大值，，即的最小值为，故答案为. 【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.12. 计算+lg﹣lg25=．参考答案：﹣【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算法则和指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：原式=﹣lg4﹣lg25=﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了对数的运算法则和指数幂的运算性质，属于基础题．13. 函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝________．参考答案：4【分析】由函数f（x）=在[1，b]（b＞1）上递减，可得f（b）最小，解方程可得b．【详解】函数f（x）=在[1，b]（b＞1）上递减，即有f（b）=最小，且为．解得b=4，故答案为4．【点睛】本题考查反比例函数的最值求法，注意单调性的运用，属于基础题．14. 若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ．参考答案：﹣【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变换得出y=sin（3x+φ），根据对称轴得出φ的值，再利用sinφ=﹣得出a的值．【解答】解：y=sin（3x+φ），其中，sinφ=，cosφ=，∵函数图象关于x=﹣对称，∴﹣+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z．∵cosφ=＞0，∴φ=﹣+2kπ，∴sinφ=﹣，∴=﹣，解得a=﹣．故答案为：．15. 过点P(3,5)引圆的切线，则切线长为▲．参考答案：4由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y﹣1）2=4，得到圆心A坐标（1，1），半径r=|AB|=2，又点P（3，5）与A（1，1）的距离|AP|==，由直线PB为圆A的切线，得到△ABP为直角三角形，根据勾股定理得：|PB|===．则切线长为4．16. 已知向量，，且与垂直，则x的值为______.参考答案：【分析】根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．【详解】；；．故答案为：．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．17. 在△ABC中，已知CA=2，CB=3，∠ACB=60°，CH为AB边上的高．设其中m，n∈R，则等于____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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芜湖一中高一自主招生考试
数 学 试 卷
一、选取题（每小题6分，共42分） 1．方程
3
01
x y x +-=+整数解共有（ ）组 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．当1,2,3,
,2015n =时，二次函数22()(21)1y n n x n x =+-++图象与x 轴所截得线段长度
之和为（ ） A ．
2016
2017 B ．
2015
2016
C ．20142015
D ．20132014
3．某几何体三视图如图所示，则该几何体体积为（ ） A ．168π+ B ．88π+
C ．1616π+
D ．816π+
4．已知直角
ABC 面积为
13，斜边BC 长为14，则22
11AB AC +=（ ） A ．
14
13
B ．
1413
C ．
1314
D ．
1314
5．已知关于x 不等式组25
53
32
x x x t x +⎧->-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩只有五个整数解，则t 取值范畴是（ ）
A ．1162
t -<<-
B ．1162
t -≤<-
C ．1162
t -<≤-
D ．1162
t -≤≤-
6．已知a b >，2a b +=，则22
a b a b
+-最小值为（ ）
A ．22
B ．2
C ．2
D ．1
第3题
7．如图，正方形ABCD 边长为4个单位，一动点P 从点A 出发，沿正方形边界按顺时针A→B→C→D→A 方向运动，以每迈进5个单位后退3个单位方式移动。
已知点P 每秒迈进或后退1个单位，设n x 表达第n 秒点P 与A 距离，则2019x 为（ ） A ．17
B ．25
C ．5
D ．42
二、填空题（每小题6分，共54分）
8．已知a 是方程2
310x x -+=根，则分式543226213a a a a a
-+--值是 。
9．在
ABC 中，AC=2，3BC =，则A ∠取值范畴是 。
10．已知关于x 不等式2x x k +-≥有实数解，则实数k 取值范畴是 。
11．如图所示，在A ，B 间有四个焊接点1、2、3、4，若焊接点脱落导致
断路，则电路不通。
今发现A ，B 之间电路不通，则焊接点脱落不同状况有 种。
12．由23x y x -=-表达曲线所围成几何图形面积是 。
13．方程2
2
2
2
2
2
(20112012)(220152014)(342)x x x x x x +-+-+=-+所有实数根和为 。
14．甲、乙、丙三位同窗被问到与否去过A 、B 、C 三个都市时，甲说：我去过都市比乙多，但
没去过B 都市；乙说：我没去过C 都市；丙说：咱们三个人去过同一都市。
由此可判断乙去过都市为 。
15．已知直线12y x =
与抛物线21
64
y x =-+交于A 、B 两点，点P 在直线AB 上方，且在该抛物线上运动，当PAB 面积最大时，点P 坐标是 。
16．如图，在“镖形”ABCD 中，43AB =，BC=8，30A B C ∠=∠=∠=︒，
则点D到AB距离为。
芜湖一中高一自主招生考试
数学答题卷
一、选取题（每小题6分，共42分）
二、填空题（每小题6分，共54分）
8．9．10．11．12．13．14．15．16．
三、解答题
17．（本题8分）盒子内装有10张卡片，分别写有1~1010个整数，从盒子中任取1张卡片，记下它读数x，然后放回盒子内，第二次再从盒子中任取一张卡片，记下它读数y。
试求：
+是10倍数概率；
（1）x y
（2）x y⋅是3倍数概率。
18．（本题11分）如图，在半径长为2扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AB 上一种动点（不
与点A 、B 重叠），OD BC ⊥，OE AC ⊥，垂足分别为D 、E 。
（1）在DOE 中，与否存在长度保持不变边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，
请阐明理由；
（2）设BD x =，DOE 面积为y ，求y 关于x 函数解析式，并写出它定义域。
19．（本题11分）提高过江大桥车辆通行能力可改进整个都市交通状况，在普通状况下，大桥上
车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）函数，当桥上车流密度达到200辆/千米时，导致堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。
研究表白：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 一次函数。
（1）当0200x ≤≤时，求v 关于x 函数表达式()v x ；
（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点车辆数，单位：辆/小时）
y x =⋅()v x 可以达到最大，并求出最大值。
（精准到1辆/小时）
20．（本题12分）如图，H 是锐角
ABC 垂心，O 为ABC 外心，过O 作OD BC ⊥，垂足为
D 。
（1）求证：AH=2OD ；
（2）若AO=AH ，求BAC ∠度数。
21．（本题12分）如图，已知抛物线2
1 8 ()
2
y ax bx a
=++>过点D（5，3），与x轴交于B（
1
x，
0），C（
2
x，0）两点，且BCD面积是3，过点D作直线l垂直于CD与y轴交于点A，与x轴交于点P。
（1）求抛物线解析式及PD PA
⋅值；
（2）设BD与AC交于点Q，求AQ
QC
值。