均值不等式讲义

均值不等式

均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。

1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+

(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且

仅当b a =时取“=”）

2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）

(3)若*,R b a ∈，则2

2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则22112

2

2b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。

（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）

一、 基本技巧

技巧1：凑项

例 已知54x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

技巧2：分离配凑

例 求2710(1)1

x x y x x ++=>-+的值域。

技巧3：利用函数单调性

例 求函数2

y =

的值域。

技巧4：整体代换

例 已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。

典型例题

1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是

2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd

b a 2

+的最小值是( )

A.0

B.1

C.2

D. 4

3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )

A.[)+∞,0

B.[)+∞-,4

C.[)+∞-,5

D.[]4,4-

4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b

1的最小值是( )

A.1

B.5

C.42

D.3+2

2

5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .

6. 已知,x y R +∈，且满足134x

y +=，则xy 的最大值为 .

7. 设0,0.a b >>1133a b a b

+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14

8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285

C.5

D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．

①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；

⑤112a b

+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()

211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

11.下列命题中正确的是

A 、1y x

x

=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2

C 、4

23(0)y x x x =-->的最大值是2-

D 、423(0)y x x x =-->的最小

值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______