第十一章三角形知识点详解

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初二上册第11章三角形总结

初二上册第11章三角形知识点总结归纳一、三角形的基本概念与性质三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫做三角形。

这三条线段分别称为三角形的三边，相邻两边所组成的角称为三角形的内角。

三角形的分类：按角的大小分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。

按边的长短分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等）、等边三角形（三边都相等）。

三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

举例：若三角形的三边分别为a、b、c，则必须满足a + b > c, a + c > b, b + c > a，以及|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a。

三角形的内角和：三角形的三个内角之和等于180°。

举例：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。

三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在其三边长度确定后就不会改变。

举例：建筑中的钢架结构、桥梁的支撑结构等常利用三角形的稳定性。

二、等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

举例：在等腰△ABC中，若AB = AC，则∠B = ∠C，且AD（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）重合。

等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。

有两个角相等的三角形是等腰三角形。

举例：若△ABC中，AB = AC或∠B = ∠C，则△ABC是等腰三角形。

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个角都为60°。

等边三角形的三条边都相等。

等边三角形的每条边上的中线、高线和对角的平分线三线合一。

举例：在等边△ABC中，AB = BC = AC，∠A = ∠B = ∠C = 60°，且AD、BE、CF三线合一。

新人教版八年级上数学第十一章三角形知识点考点典型例题含答案

第十一章三角形【学问要点】一．相识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系〔推断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短〕依据公理“两点之间，线段最短〞可得：三角形随意两边之和大于第三边。

三角形随意两边之差小于第三边。

3．及三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线及对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点及对边中点的线段，三角形随意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

留意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②随意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③随意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

〔三角形的三条高〔或三条高所在的直线〕交及一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高〔所在的直线〕的交点在三角形的外部。

〕4．三角形的内角及外角〔1〕三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

〔2〕三角形的外角和：360°〔3〕三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于及它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个及它不相邻的内角。

八年级数学上册“第十一章三角形”必背知识点

八年级数学上册“第十一章三角形”必背知识点一、三角形的定义与基本性质1. 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边、三个内角和三个顶点。

2. 三角形的分类：按边分：不等边三角形、等腰三角形（包括等边三角形，即三边都相等的特殊等腰三角形）。

按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

3. 三角形的主要线段：高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

中线：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段。

三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分。

角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点（内心）。

4. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，具有稳定性。

这一性质在生产生活中应用广泛。

二、三角形的三边关系基本定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

推论：根据三边关系可以判断三条线段是否能组成三角形，或已知两边时确定第三边的取值范围。

三、三角形的内角与外角1. 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。

推论：直角三角形的两个锐角互余。

2. 外角的定义与性质：定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

外角和定理：三角形的外角和为360°。

四、与三角形有关的角的其他性质等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且均为60°。

五、多边形的基本概念与性质多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形的内角与外角：内角：多边形相邻两边组成的角。

外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角。

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。

第十一章三角形最新人教版初二数学八年级上册考点知识点精讲

第十一章三角形第十一章11.1.1三角形的边知识点1：三角形的概念(1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.在此定义中,要特别注意“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”这三个条件,缺一不可. 如图,在线段AB上取一点(除端点)C,三条线段AC、CB和AB是首尾顺次相接的,但它们却没有构成三角形.(2)组成:如图,三条边,即边AB、边BC、边CA;三个内角,即∠A、∠B、∠C;三个顶点,即点A、点B、点C. 三角形有三个顶点,三个角,三条边.(3)表示法:“三角形”用符号“△”表示,如上图,顶点是A、B、C 的三角形,记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.另外,△ABC的三边,有时也用a,b,c来表示,一般地,∠A对边a,∠B 对边b,∠C对边c.如图上,顶点A所对的边BC用a表示,边AC、边AB 分别用b、c来表示.归纳整理:我们通常数三角形的方法有:(1)按图形的形成过程(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序去数).(2)按照三角形的大小去数.(3)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数.(4)先固定一个顶点,变化另两个顶点来数.注意:通过三角形的定义可知,三角形的特征有:①三条线段;②不在同一条直线上;③首尾顺次相接.这是判断是否是三角形的标准.知识点2：三角形的分类(1)三角形按边分类:三角形(2)三角形按角的大小分类:三角形(3)按边分类中各种三角形的关系:归纳整理:(1)三边都不相等的三角形是不等边三角形,不等边三角形应该是指“三边都不相等”的三角形;有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做等腰三角形的腰;三边都相等的三角形叫做等边三角形.(2)等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.知识点3：三角形的三边关系(1) 三角形任意两边之和大于第三边.(2)三角形任意两边之差小于第三边.归纳整理:(1)三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形.当已知三角形两边长,可以求出第三边的取值范围.并且对于三角形三边关系通常要与等腰三角形的知识连用,结合分类讨论思想求解.(2)三角形三边关系是“两点之间,线段最短”的具体应用.考点1：三角形的数法【例1】如图,图中有几个三角形,哪几个三角形?解:有6个三角形.它们分别是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC.点拨：只要符合有不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接,就是一个三角形.在数三角形的个数的问题上,要注意不重不漏的问题.形如例1这样的三角形的个数也可以根据点E、D把BC分成了三段,所以三角形的个数为3+2+1=6(个).考点2：三角形的分类【例2】设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个选项中,能表示它们之间关系的是( ).解:A.点拨:本题主要考查了三角形的分类以及不同三角形之间的关系,只要正确地理顺三角形之间的关系即可.等腰三角形与直角三角形的公共部分是等腰直角三角形,等腰三角形包括等边三角形和等腰直角三角形,只有选项A符合题意.考点3：三角形边的求法【例3】已知等腰三角形的周长是600px.(1)腰长是底边长的2倍,求腰长;(2)已知其中一边长为150px,求其他两边长.解:(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.根据题意,得x+2x+2x=24.解得x=4.8.故腰长=2x=2×4.8=9.6(cm).(2)因为长为150px的边可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况计算.当长为150px的边为腰时,则底边为24-6×2=12.由6+6=12,两边之和等于第三边,所以150px长为腰不能组成三角形,舍去.当长为150px的边为底边时,则腰长为(24-6)÷2=9.∵150px,225px,225px可以组成三角形,∴三角形其他两边长均为225px.点拨:计算(1)可以通过设未知数来进行计算,得出方程,通过求方程的解从而求出答案,其中体现了方程思想.计算(2)要注意分两种情况考虑,因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边,所以通过其中一边长为150px,求其他两边的长应该分成两种情况考虑:一种是150px长的边为腰,另一种是150px长的边为底,体现了数学中的分类讨论思想.并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和大于第三边.考点4：三角形的三边关系【例4】用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成不同的三角形的个数为.解:能摆成不同形状的三角形的个数为2.点拨:设一根火柴棒的长度为单位1,最短边不能大于2,若最短边大于2,则周长至少是9,不合题意.①当最短边长为1时,另两边长可能为1,5;2,4;3,3;其中当边长为1,1,5;1,2,4时不能构成三角形,只有1,3,3能构成三角形;②当最短边长为2时,另两边长可能为2,3;3,2;边长为2,2,3和2,3,2能构成三角形,但这两种三角形的形状相同.第十一章11.1.2三角形的高、中线与角平分线知识点1：三角形的中线三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线,如图.表示法:1.AD是△ABC的边BC上的中线.2. BD=DC=BC.注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部,并且三条中线相交于三角形内部一点;③三角形三条中线的交点叫做三角形的重心;④三角形的任一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形.知识点2：三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线,如图.表示法:1. AD是△ABC的∠BAC的平分线.2. ∠1=∠2=∠BAC.注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部;③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;④由三角形的角平分线可以得到角之间的相等关系和2倍关系. 知识点3：三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,如图.表示法:1. AD是△ABC的边BC上的高线.2. AD⊥BC于点D.3. ∠ADB=∠ADC=90°.注意:①三角形的高是线段;②锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部;钝角三角形有两条高落在三角形的外部,一条在三角形内部,三条高所在的直线交于三角形外一点;直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边,另一条在三角形内部,它们交点是直角顶点;③三角形的三条高或其所在的直线相交于一点;④当已知三角形三条高的交点在三角形的内部时,则说明三角形一定是锐角三角形;三条高的交点在三角形的一个顶点处时,则说明三角形一定是直角三角形;当三角形三条高的交点在三角形的外部时,则该三角形一定是钝角三角形.考点1：三角形的高、中线与角平分线的判定【例1】如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,AE=CE,AG⊥BC,垂足为点G,AD与BE相交于点F,试指出AD、AF分别是哪个三角形的角平分线?BE、DE分别是哪个三角形的中线?AG是哪些三角形的高？解:AD、AF分别是△ABC、△ABE的角平分线;BE、DE分别是△ABC、△ADC的中线;AG是△ABC、△ABD、△ACD、△ABG、△ACG、△ADG的高.点拨:首先要抓住特殊线段的数量关系,因为∠BAD=∠CAD,所以AD是∠BAC的平分线,AF是∠BAE的平分线等.其次要抓住特殊线段的位置关系,即它们都过三角形的一个顶点,以及它对边上的一点,这样就能确定是哪个三角形的特殊线段了.考点2：三角形中线的应用【例2】有一块三角形优良品种试验基地,如图所示,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图说明)解:方案1:如答图(1),在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC,连接AE、AD、AF.(1) (2) (3)方案2:如答图(2),分别取AB、BC、CA的中点D、E、F,连接DE、EF、DF.方案3:如答图(3),分别取BC的中点D,CD的中点E,AB的中点F,连接AD、AE、DF.点拨:可根据中线所分的两个三角形的面积相等以及三角形的面积公式的特征,先分为两个面积相等的三角形,然后再依次等分.第十一章11.1.3三角形的稳定性知识点：三角形的稳定性三角形三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有着广泛的应用.比如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它坚固稳定;大桥钢架、输电线支架、索道支架等都采用三角形结构.这都是三角形的稳定性的应用.四边形没有稳定性,也就是说四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小也可以改变,四边形的不稳定性也有广泛的应用,如活动衣架、伸缩尺等.有时为了克服四边形的不稳定性,如在门框未安好之前,先在门框上斜着钉一根木条,使它不变形,如图.考点：三角形稳定性的应用【例】如图所示,建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部都是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?答: .解:三角形的稳定性.点拨:因为塔吊的上部是三角形结构,所以这是运用了三角形的稳定性.故填三角形的稳定性.第十一章11.2.1三角形的内角知识点1：三角形的内角和定理(1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.(2)几何语言表述:如图.在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和是180°).(3)推理过程:①如图(1),作CM∥AB,则∠4=∠1,而∠2+∠3+∠4=180°,即∠A+∠B+∠AC B=180°.(1) (2)②如图(2),作MN∥BC,则∠2=∠B,∠3=∠C,而∠1+∠2+∠3= 180°,即∠BAC+∠B+∠C=180°.知识点2：直角三角形角的关系(1)直角三角形的两锐角互余.如图所示,直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC.几何语言表示:在Rt△ABC中,若∠C=90°,则∠A+∠B=90°.(2)有两个角互余的三角形是直角三角形.如图所示,若∠A+∠B=90°,则△ABC是直角三角形.注意:如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形.这两个命题的结论和题设是相反的.前者是直角三角形的性质,而后者则是直角三角形的判定方法.归纳总结:(1)证明三角形内角和定理的思路很多,其基本思想都是将分散的三个角全部或适当地集中起来,利用平角概念或两直线平行,同旁内角互补来证明.(2)应用内角和定理可解决已知两个角求第三个角的问题,或已知三个角的关系,求三个角的问题.考点1：求直角三角形中角的度数【例1】如图,直线a∥b,EF⊥CD于点F,∠2=65°,则∠1的度数是 .答案:25°点拨:因为a∥b,所以∠FDE=∠2.在直角三角形DEF中,∠1=90°-∠FDE=90°-65°=25°.考点2：三角形内角和的实际应用【例2】一块模板如图所示,按规定AB、CD的延长线应相交成85°的角,因为交点不在模板上,不便测量,所以工人师傅连接AC,测量出∠BAC的度数为32°,∠DCA的度数为64°,这时工人师傅就判定,AB、CD的延长线相交所成的角不符合规定,你认为工人师傅的判断正确吗?为什么?解:工人师傅的判断正确. 说明如下:作AB、CD的延长线,两线相交于点M.在△ACM中,因为∠MAC+∠MCA+∠M=180°,所以∠M=180°-∠MAC-∠MCA=180°-32°-64°=84°≠85°.所以此模板不合格,工人师傅的判断是正确的.点拨:要判断是否合格,关键在于利用三角形的内角和求解AB、CD 的延长线相交的角度.第十一章11.2.2三角形的外角知识点1：三角形的外角(1)三角形外角的定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图,∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角,且∠ACD=∠BCE.所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了.(2)三角形的外角有三个特征:①顶点在三角形的一个顶点上;②一条边是三角形的一边;③另一边是三角形另一条边的延长线.注意：三角形每个顶点处有两个外角,它们是对顶角,所以三角形共有六个外角,通常每个顶点处取一个外角.因为三角形的每个外角与相邻的内角是邻补角,由三角形的内角和是180°,可以推出三角形的三个外角的和是360°.知识点2：三角形的外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.几何语言表述:如图所示,∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和).归纳整理:(1)三角形的外角性质反映的是外角与它不相邻的内角之间的关系,在应用三角形外角的性质及内角和定理时,一定要注意外角与和它相邻的内角是互补关系.(2)三角形的外角性质的应用:可以用来计算角的大小,也可以用来判断相关角的不等关系.(3)三角形的外角和是360°.(4)三角形的外角与相邻的内角之间的关系:①当三角形的外角大于与它相邻的内角时,则该三角形可能锐角三角形、直角三角形或钝角三角形;②当三角形的外角等于与它相邻的内角时,则该三角形一定是直角三角形;③当三角形的外角小于与它相邻的内角时,则该三角形一定是钝角三角形.考点1：三角形外角的应用【例1】已知某零件的形状如图所示,按规定∠BAC=90°,∠B=18°,∠C=25°,检测工人测得∠BDC=135°,就断定此零件不合格.你能说明理由吗?解:如图,连接AD并延长到点E,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠CDE=∠C+∠CAE,∠BDE=∠B+∠BAE.所以∠BDC=∠C+∠B+∠CAB.若零件合格,则有∠BDC=90°+18°+25°=133°,而量得∠B DC=135°,所以这个零件不合格.点拨:这是一个有关三角形知识在实际问题中的应用的题目,其关键是如何将实际问题转化为相应的有关三角形的角的知识来解决. 考点2：三角形内角和外角的综合应用【例2】如图(1),在△ABC中,∠1=∠2,∠C>∠B,E为AD上一点,且EF⊥BC,垂足为F.(1)试探索∠DEF与∠B、∠C的大小关系;(2)如图(2),当点E在AD的延长线上时,其他条件都不变,你在(1)中探索得到的结论是否还成立?并说明理由.(1) (2)解:(1)∵∠1=∠2,∴∠1=∠BAC.∵∠BAC=180°-(∠B+∠C),∴∠1=[180°-(∠B+∠C)]=90°- (∠B+∠C).∴∠EDF=∠B+∠1=∠B+90°-(∠B+∠C)=90°+(∠B-∠C).又EF⊥BC,∴∠EFD=90°.∴∠DEF=90°-∠EDF=90°-=(∠C-∠B).(2)当点E在AD的延长线上时,其余条件都不变,(1)中探索所得的结论仍成立,理由同(1).点拨:本题的关键是寻找∠DEF与∠B、∠C之间的联系,由三角形的内角和定理及外角性质,可通过∠1(或∠2)、∠EDF搭桥解决.第十一章11.3.1多边形知识点1：多边形(1)多边形的定义:在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.(2)多边形的分类:多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形. 其中,三角形是最简单的多边形.如图所示的多边形记作五边形ABCDE.(3)多边形的边:所连接的线段叫做多边形的边. 如图中的AB、BC、CD、DE、EA都是五边形ABCDE的边.(4)多边形的角:①内角:多边形相邻的两边所组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠EAB、∠ABC、∠BCD、∠CDE、∠DEA都是五边形ABCDE的内角;n边形共有n个内角.②外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角,如图中的∠D CF是五边形ABCDE的一个外角.n边形共有2n个外角,其中每个顶点处有两个相等的外角,这两个外角是对顶角.(5)多边形的对角线:多边形不相邻的两个顶点的连线组成的线段叫做多边形的对角线. 如图中,AC、AD是五边形A BCDE的两条对角线.n边形从一个顶点可以引(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形,n边形内对角线的条数为.(6)凸多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线,整个多边形都在这条直线的同一侧,这样的多边形叫做凸多边形.归纳整理:1. 理解多边形的定义时要注意两点:(1)若干条不在同一直线上的线段;(2)首尾相连形成封闭图形.两者缺一不可.2. 多边形分为凸多边形和凹多边形,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,如图(1)所示.(1) (2)画出图形所在的直线CD,整个图形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形,如图(2)所示.3. 多边形的外角和是指n个外角的和,即一个顶点处只有一个外角. 知识点2：正多边形的概念各边都相等,各角都相等的多边形叫做正多边形.如图所示:正三角形、正方形、正五边形、正六边形等都是正多边形.正n边形有n个内角,并且这n个角都相等;正n边形有2n个外角,并且这2n个外角也相等.注意：判断一个多边形是否是正多边形时,关键要抓住两点:(1)各个角都相等;(2)各条边都相等.这两个条件缺一不可.如长方形就不是正多边形,由于长方形的四个角虽相等,但长方形的四条边不相等,故长方形不是正多边形.考点1：凹、凸多边形的判定【例1】如图,是凸多边形的是( ).A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④答案:C.点拨:根据凸多边形与凹多边形的判定方法,①②是凹多边形,③④是凸多边形.考点2：多边形对角线的求法【例2】若过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形,求这个多边形所有对角线的条数.解:设多边形的边数为n,则有n-2=8,所以n=10.再由n边形的所有对角线的条数为得对角线的总数为35条.点拨:若求这个多边形的所有对角线的条数,只需求出多边形的边数.由于过多边形一个顶点可以把多边形分成n-2个三角形,因此可以求出边数,进而由求出多边形所有对角线的条数.考点3：多边形的判定【例3】下列说法错误的是( ).A. 正多边形的各条边都相等B. 正多边形的各个角都相等C. 各个角都相等的多边形不一定是正多边形D. 各条边都相等的多边形一定是正多边形答案:D.点拨:正多边形必须具备“各个角都相等,各条边都相等”,故D错误,如菱形的四条边都相等,但菱形不是正多边形.第十一章11.3.2多边形的内角和知识点1：多边形的内角和(1)多边形的内角和:n边形内角和等于(n-2)×180°.(2)多边形的内角和的推导方法有很多,但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的,即利用多边形对角线或对角线的一部分,可以把多边形分割成若干个小三角形,再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和. 这种转化是化归思想的体现,也是解决多边形问题的基本思想.下面提供三种方法:(1) (2) (3)方法一:教材中所提供的方法如图(1)所示,以多边形的某一个顶点为端点,与其他顶点相连接构成多边形的对角线,把多边形分割成(n-2)个小三角形.方法二:如图(2)所示,在n边形中,取某边上一点(非顶点)为端点,与其他顶点相连,把多边形分割成(n-1)个小三角形.方法三:如图(3)所示,在n边形的内部任取一点,与多边形的各顶点相连,把多边形分割成n个小三角形.关键提醒:多边形的内角和与边数有关,边数每增加一条,则内角和就增加180°.知识点2：多边形的外角和(1)多边形的外角和:任意多边形的外角和都等于360°.(2)多边形外角和定理的证明:多边形每个内角与它相邻的外角都是邻补角,所以n边形的内角和加外角和为n·180°,外角和等于n·180°-(n-2)180°=360°.归纳整理:1. 多边形外角和都等于360°,与边数多少无关.2. 外角和定理的作用:(1)已知各相等外角度数求多边形边数;(2)已知多边形边数求各相等的外角度数.(3)通常与正多边形的知识连用求其内角度数或者外角的度数. 正n边形其外角和为360°,所以正n边形外角度数都相等且为,与外角相邻的内角的度数为180°- .考点1：多边形内角和的计算【例1】两个正多边形的边数之比为1∶2,内角和之比为3∶8,求这两个多边形的边数、内角和.解:设这两个正多边形的边数分别为n和2n条.根据多边形的内角和公式,得两多边形的内角和分别为(n-2)·180°和(2n-2)·180°.由于两内角和度数之比为3∶8,因此=,解得n=5.(n-2)·180°=540°,(2n-2)·180°=1440°.因此这两个多边形分别是五边形和十边形,内角和分别为540°和1440°.点拨:由于正多边形的每一个内角都相等,从而可建立方程.考点2：多边形内角和的应用【例2】小华想:2010年世博会在上海举行,设计一个内角和是2010°的多边形图案多有意义,她的想法能实现吗?说说理由.解:小华的想法不能实现.因为多边形的内角和为(n-2)·180°,一定是180°的整数倍,而2010不能被180整除,所以不可能有内角和为2010°的多边形,因此她的想法是不能实现的.点拨:观察多边形的内角和公式(n-2)·180°,发现多边形的内角和一定是180°的整数倍.考点3：多边形外角和的应用【例2】正多边形的一个外角等于30°,则这个多边形的边数为( ).A. 6B. 9C. 12D. 15答案:C.点拨:根据多边形的外角和为360°,正多边形的每一外角都相等,用360÷30即可求出边数﹒。

第十一章三角形知识归纳

第十一章三角形知识归纳基础知识归纳一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形四、三角形的三条重要线段线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC于点D ．标示图形符号语言 1．AD 是△ABC 的高． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．(或∠ADC ＝∠ADB ＝90°) 1．AD 是△ABC 的中线． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线． 3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点． 1．AD 是△ABC 的角平分线． 2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．推理语言因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝90°) 因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝12BC ．因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝12∠BAC ．用途举例1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内． —与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．(3)2n n -(2)180n n-°360n°凸多边形凹多边形。

八年级上册数学第十一章笔记

八年级上册数学第十一章笔记八年级上册数学第十一章三角形一、三角形的概念1. 定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边、三个顶点和三个角。

2. 表示方法三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

二、三角形的分类1. 按角分类锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

直角三角形：有一个角是直角的三角形。

直角三角形可以用“Rt△”表示，直角所对的边称为斜边，夹直角的两条边称为直角边。

钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

2. 按边分类不等边三角形：三边都不相等的三角形。

等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

三、三角形的三边关系1. 定理三角形两边的和大于第三边。

三角形两边的差小于第三边。

2. 应用判断三条线段能否组成三角形：只需判断较短的两条线段之和是否大于最长的线段。

已知三角形两边的长度，求第三边的取值范围：设三角形的两边长分别为a、b （a>b），则第三边c的取值范围是a b < c < a + b。

四、三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

性质：三角形的三条高所在的直线相交于一点。

锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边是它的两条高，另一条高在三角形内部；钝角三角形的高，一条在三角形内部，另外两条在三角形外部。

2. 三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。

三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，因为等底同高的三角形面积相等。

八上数学十一单元三角形知识点总结

第十一章三角形（八年级下册）1．与三角形有关的线段⑴三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形⑵三角形按角分类：分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形⑶三角形按边分类：⑷三角形三边关系：三角形两边的和大于第三边三角形两边的差小于第三边（依据：两点之间，线段最短）练习：三角形的两条边分别是7、2，则第三边的c 的取值范围是：5＜c ＜9（知道5、9是如何得来的）2．三角形的高、中线和角平分线⑴∵AD 是△ABC 的高∴AD ⊥BC ∠ADC=∠ADB=90°⑵∵AD 是△ABC 的中线∴BD=DC=12BC BC=2BD=2DC 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形。

能分成面积相等的三部分吗？四部分呢？…… 分得的两个三角形面积和两个三角形底边的比是什么关系?⑶∵BD 是△ABC 的角平分线三角形三边都不相等的三角形等腰三角形等边三角形底边和不相等三角形∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC ∠ABC=2∠DBC=2∠ABD⑷三角形的重心：三角形的三条中线的交点。

⑸钝角三角形三条高的画法：3．三角形的稳定性除三角形具有稳定性，四边形等多边形都没有这种性质；4．与三角形有关的角⑴三角形内角和是180°；⑵直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；有一个角是90°⑶直角三角形的符号是Rt△；⑷判定三角形为直角三角形的方法：1有两个角互余的三角形是直角三角形；2有一个角等于90°。

5．三角形的外角三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

∠1=∠2+∠36．多边形的对角线条数：n n2（—3） (n为多边形的边数)。

从一个顶点出发的对角线的条数是（n-3）条。

7．多边形的内角和⑴多边形的内角和等于（n-2）×180°⑵多边形的外角和等于360°(3)正多边形的边相等，角相等。

第十一章三角形知识点总结

第十一章三角形知识点总结许磊1、三角形{ 定义：由不在同一条直线上的三条线段顺次相接分类：{ 三边都不相等的三角形等腰△{ 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形腰：在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。

顶角：两腰的夹角叫做顶角底角：腰和底边的夹角叫做底角等边△：三边都相等的三角形叫做等边三角形2、△的三边关系{三角形两边的和大于第三边三角形两边的差小于第三边锐角 ∆ 直角 ∆ 钝角 ∆AD 、CF 、BE 都在△的一条CF 在△的内部，另外两条AC 、一条BE 在内部，另外两条画∠A 的平分线AD,交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的角平分线内部4、三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

5、△的角{三角形的内角{△内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1：Rt△的两个锐角互余Rt△判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形三角形的外角{定义：△的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角推论2：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和6、多边形{定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形内角{定义:多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角内角和公式：n边形内角和等于(n−2)×180°外角{定义：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角外角和：多边形的外角和等于360°对角线{定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线1、从n边形的一个顶点出发可以引(n−3)条对角线(n≥3)；它将n边形分成(n−2)个△2、n边形(n≥3)共有n(n−3)2条对角线多边形分类{凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形凹多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凹多边形正多边形：各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形。

期末复习知识点(一)十一章三角形

花城中学期末复习知识点(一)十一章三角形的多边形叫正多边形;10、n 边形内角和等于= ，多边形的外角和等于=1、、知识点三角形三边关系：三角形两边的和第三边，三角形两边的差第三边; 2、三角形的高、中线与角平分线; 4、三角形具有性; 5、三角形内角和定理：三角形内角和等于 6、直角三角形的两个锐角互 ;有两个角互余的三角形是三角形;9、n 边形从一个顶点出发，可以作条对角线，它们将n 边形分为—个三角形二、典型例题1、长为10, 7, 5, 3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么?2、用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形 .(1) 如果腰长是底边长的 2倍，那么这个三角形腰的长是多少? (2) 能围成一边是4cm 的等腰三角形吗？为什么？ 3、如图，已知△ ABC 中，BC=5, AC=8.(1)画出△ ABC 的BC 边上的高 AD(2)若AD=4则^ ABC 的面积为 (3)若BE 是AC 边上的高，贝y BE 的长为 4、在^ ABC 中，已知①/ A ：/ B :/ C = 1 : 1 : 2,则此三角形是三角形; ② / A -/ B =/ C,则此三角形是_③ / A = 2 / B = 3/ C,则此三角形是.三角形；—三角形; 正多边形的概念:5、一个多边形的内角和与外角和的比为 9:2，求这个多边形的边数。

三、巩固练习：填空题5、如图，点 D B 、C 、E 在同一直线上,/ A=68°,/ ABD=120° ,则/ ACE 的度数为7、已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC=10cm,D 为AC 边上一点,且BD=AD ^BCD 的周长为15cm,则底边BC 的长为 _____________ .8、若三角形的两边长分别是 2和7,则第三边长c 的取值范围是第三边长为 ________ ；当周长是5的倍数时，第三边长为 9、如图，AD 是/ CAE 的平分线，/ B=40°,/ DAE=80则/ ACD 的度数为 ■10、已知△ ABC 的三个内角/ A 、/ B 、/ C 满足关系式/ B=/ C^ / A ,则/ A 的度数1、若等腰三角形的两边长分别为7和9, 则它的周长是 2、如图，/ A=32° , / B=45° , / C=38° ,则/ DFE 等于（）110°D 、105° 3、如图，若/ B :/ 1 :/ 2 = 1 :2 : 3,则/ 1的度数 4、已知△ ABC 的三个内角/ A 、/ B 、/ C 满足关系式/ B+/ C=3/ A,则/ A 的度数为 6、多边形每个内角都相等，且内角和为 720°,则这个图形是边形. ;当周长为偶数时，11、若等腰三角形的腰长为4,则它的底边长a的取值范围是;若等腰三角形的底4边长为4,则它的腰长b的取值范围是解答题:2 . .12.已知a,b,c 为^ ABC的三边长，且满足（b-2） + I c-3 I =0 , I a-4 I =2求^ ABC的周13、如图，△ ABC中，/ B=/ C=/ BAD / CAD=/ CDA.求^ ABC各内角的度数.14、如图，/ A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F 度数.11、若等腰三角形的腰长为4,则它的底边长a的取值范围是;若等腰三角形的底15、如图，在四边形ABCD中,/ A=/ C=90° BE平分/ ABC DF平分/ ADC贝U BE与DF有何位置关系？试说明理由。

人教版八年级上册第十一章三角形知识点复习及习题练习

第十一章三角形知识框架【三角形的概念】1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相连。

2、基本概念：三角形有三条边，三个内角，三个顶点。

边：组成三角形的线段，表示方法：AB(c)、BC(a)、AC(b)内角：相邻两边所组成的角，表示方法：∠A、∠B、∠C顶点：相邻两边的公共端点，表示方法：A、B、C三角形ABC用符号表示为△ABC。

夹边、夹角、对边、对角3、数三角形个数技巧1）按组成三角形的图形个数来数（如单个三角形、由2个图形组成的三角形……最后求和）2）从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另外两条边；3）先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组。

练：1、下列说法中正确的是（）A、由三个角组成的图形叫三角形B、由三条直线组成图形叫三角形C、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形D、由三条线段组成的图形叫三角形2、右图中三角形的个数是（）A、6B、7C、8D、93、如右图所示：（1）图中有几个三角形？把它们一一写出来。

（2）写出△ABD的三个内角。

（3）以∠C为内角的三角形有哪些？（4）以AB为边的三角形有哪些？【分类】在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

练：1、如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A、锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断2、若△ABC三边长分别为m，n，p，且| m - n |+( n - p)2= 0 ，则这个三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形3、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形4、根据下列所给条件，判断△ABC的形状（若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断）（1）∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；（2）∠C=90°；（3）∠C=120°；（4）AB=BC=4，AC=5.【三边的关系】①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。

新人教版八年级上数学第十一章-三角形-知识点+考点+典型例题(含答案)

第十一章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

第十一章三角形知识点整理

第十一章三角形知识点整理
第十一章三角形知识点整理：
1、三角形的定义：三角形是由三条相交的直线所组成的多边形，它有两个内角加上一个外角，两边加起来等于另外一边。

2、直角三角形：直角三角形是指其中的一个内角是90度的三角形，它的三边长等于斜边的平方，斜边的计算公式是
“a^2=b^2+c^2”。

3、等腰三角形：等腰三角形是指其中两条边等长，其它一边为斜边的三角形，其它两边等于斜边的一半，斜边等于其它两边的平方和。

4、等边三角形：等边三角形是指三边都是等长的三角形，其三个内角都是60度，正三角形就是这种类型的三角形，边长可以通过“a=√3s/2”公式求出。

5、旋转三角形：旋转三角形是指三角形中某一边可以旋转形成另一种新的三角形，其计算公式是“a^2+b^2=2abcos(α)”。

6、三角形的周长和面积：三角形的周长是指三角形三条边之和，其计算公式是“P=a+b+c”，三角形的面积则可以通过海伦公式求出，其计算公式是“S=√p(p-a)(p-b)(p-c)”。

第十一章三角形（知识点+题型分类练习）

第⼗⼀章三⾓形（知识点+题型分类练习）三⾓形必背知识点⼀、三⾓形基本概念1. 三⾓形的概念由不在同⼀条直线上的三条线段⾸尾依次相接所组成的图形叫做三⾓形。

2.3. 三⾓形三边的关系（重点）三⾓形的任意两边之和⼤于第三边。

三⾓形的任意两边之差⼩于第三边。

（这两个条件满⾜其中⼀个即可）⽤数学表达式表达就是：记三⾓形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

已知三⾓形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b解题⽅法：①数三⾓形的个数⽅法：分类，不要重复或者多余。

②给出三条线段的长度或者三条线段的⽐值，要求判断这三条线段能否组成三⾓形⽅法：最⼩边＋较⼩边＞最⼤边不⽤⽐较三遍，只需⽐较⼀遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三⾓形⽅法：从所给线段的最⼤边⼊⼿，依次寻找较⼩边和最⼩边；直到找完为⽌，注意不要找重，也不要漏掉。

④已知三⾓形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围⽅法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b⑤给出等腰三⾓形的两边长度，要求等腰三⾓形的底边和腰的长⽅法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上⾯讨论的结果做个总结。

⼆、三⾓形的⾼、中线与⾓平分线1. 三⾓形的⾼从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂⾜为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的⾼。

三⾓形的三条⾼的交于⼀点，这⼀点叫做“三⾓形的垂⼼”。

2. 三⾓形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

三⾓形三条中线的交于⼀点，这⼀点叫做“三⾓形的重⼼”。

三⾓形的中线可以将三⾓形分为⾯积相等的两个⼩三⾓形。

3. 三⾓形的⾓平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三⾓形的⾓平分线。

要区分三⾓形的“⾓平分线”与“⾓的平分线”，其区别是：三⾓形的⾓平分线是条线段；⾓的平分线是条射线。

八年级上册第十一章-三角形测知识梳理

八年级数学第十一章--三角形知识梳理知识点一：三角形1、由不在同一条直线上的三条线段收尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、顶点是A,B,C,的三角形，记作: △ABC ，读作“三角形ABC”。

3、三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形4、按角分，可以将三角形分为：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形。

5、按边分，可以将三角形分为：不等边三角形；等腰三角形和等边三角形6、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等边三角形是特殊的等腰三角形。

7、三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，8、从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。

所有的三角形都有三条高。

锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的两条高在两直角边上，斜边上的高在三角形的内部；钝角三角形的一条高在三角形的内部，另外两条高在三角形的外部。

9、连接三角形的一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

10、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

11、三角形的高、中线和角平分线都有三条，都是线段。

角的平分线是一条射线。

12、三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。

13、三角形的内角和等于180°。

14、直角三角形的两个锐角互余。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

15、三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

16、三角形的一个外角与跟它相邻的内角互补；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

17、三角形的外角和等于360°。

知识点二：多边形及其内角和18、在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

19、如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。

第十一章 三角形知识点详解