证两角相等两道典型例题
证明两角相等的方法20170727
徐老师模型数学20170727证明两角相等的方法百汇学校徐国纲一、相交线、平行线1、对顶角相等；2、同角或等角的余角（或补角）相等；3、两直线平行，同位角相等、内错角相等；4、两边分别对应平行（或垂直）的两角相等或互补；5、凡直角都相等；6、角的平分线分得的两个角相等；二、三角形7、等腰三角形的两个底角相等；8、三线合一：等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角；9、三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和；10、全等三角形的对应角相等；11、相似三角形的对应角相等；12、角平分性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三、四边形13、平行四边形的对角相等；14、菱形的每一条对角线平分一组对角；15、等腰梯形在同一底上的两个角相等；四、圆16、同弧或等弧（或两条相等的弦）所对的圆心角相等；17、同弧或等弧所对的圆周角相等；18、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；19、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角；20、三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角；21、弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；22、从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；五、三角函数23、如果两个锐角的同名三角函数值相等，则这两个锐角相等；六、等式性质24、等量代换：若∠1=∠2，且∠2=∠3，则∠1=∠3；25、等式性质：等量加等量，其和（或差）相等：若∠1=∠2，则∠1+∠3=∠2+∠3或∠1-∠3=∠2-∠3.第1 页共1 页。
人教版八年级数学上册专题复习证明三角形全等的常见题型
证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。
例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。
2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。
例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。
在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。
例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。
二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。
例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。
例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。
相似三角形的判定典型例题
H 相似三角形的判定典型例题知识要点：1． 相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形。
2． 相似三角形的识别方法： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧例、两三角形相似直角边、斜边对应成比角形相似三边对应成比例，两三角相等两三角形相似两边对应成比例，且夹相似两角对应相等两三角形④③②① 典型例题例1（2002年哈尔滨）△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中⑴∠ACP=∠B ⑵∠APC=∠ACB ⑶AC 2=AP ·AB ⑷AB ·CP=AP ·CB 其中能满足△APC 和 △ACB 相似的条件的是（ ） A ⑴⑵⑷ B ⑴⑶⑷ C ⑵⑶⑷ D ⑴⑵⑶分析：本题主要是考查相似三角形的识别，由于在识别相似的两个三角形中，隐含了一个公共角，因此依据三角形相似的识别方法①或②，只要附加一个条件∠ACP=∠B 或∠APC=∠ACB 或APAC AC AB =即可，因此应选（D ） 例2：（2004安徽）已知△ABC ，△DEF 为正三角形，D 、E 分别在AB 、BC 上，请找出一个与△DBE 相似的三角形并证明分析：本题是考查相似三角形的识别的开放题，由题意可知∠B=600，，因此与△DBE 相似的三角形一定含有600角证明：∵△ABC 和△DEF 都为正三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=600∴∠1+∠2=1800 —∠DEF=1200 在△DBE 中，∠2+∠3=1800—∠B=1200 ∴∠1=∠3 ∴△DBE ∽△ECH例3 如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 边上的点，过D 作DG ∥BC ，过E 作EH ∥CA ，过F 作FI ∥AB ，（1）求证：△HIG ∽△ABC 。
（2）如果将题目已知中的平行变为DG ⊥AB ，EH ⊥BC 、FI ⊥CA ，△HIG ∽△ABC 还成立吗？请证明你的结论。
分析：（1）利用图中平行线只要能够证明∠1=∠B ，∠2=∠C ，就可证△HIG ∽△ABC 。
证明两角相等的方法
证明两角相等的方法四川 侯国兴证明两角相等与证明两线段相等都是证明题中的常见题型，本文将举例介绍证明两角相等的常用方法，供学习参考．一. 利用平行线的性质证明例1.已知：如图1，12,C D ∠=∠∠=∠．求证：A F ∠=∠图1 图2简析：可考虑由AC ∥DF 而得到结论．． 证明：因为 12,32∠=∠∠=∠（对顶角相等）所以 13∠=∠所以 BD ∥CE （同位角相等，两直线平行）所以 D B A C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）又因为 C D ∠=∠，所以 DBA D ∠=∠所以 AC ∥DF （内错角相等，两直线平行）所以 A F ∠=∠ （两直线平行，内错角相等）二. 利用全等三角形的性质证明例2.已知，如图2，在ABC 中，90ACB ∠= ，AC=BC ，AD 为BC 边的中线，CE AD ⊥于E ，交AB 于F ，求证：ADC BDF ∠=∠．简析：考虑ABC 为等腰直角三角形，其典型辅助线是作底边上的高（作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ），也是底边上的中线，这样，可设法证CGD BFD ≅ 而得到结论． 证明：作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ，则45ACG B ∠=∠=因为 CE AD ⊥，所以 CAG BCF ∠=∠又因为 AC=BC 所以 AGC CFB ≅ （ASA ）所以 CG=BF （全等三角形的对应边相等）又因为 45DCG B ∠=∠= ，CD=BD 所以 C G D B F D ≅ （SAS ）所以 A D C B D F ∠=∠ （全等三角形对应角相等）．三. 利用等腰三角形的性质证明例3. 已知 ：如图3，AB=AC ，,,CE AB AD BC ⊥⊥且DEB B ∠=∠，求证：12∠=∠．图3 图4简析：因为1∠、2∠是DCE 的两内角，可证ED=CD 而得结论．证明：因为 DEB B ∠=∠ ，所以BD=ED （等角对等边）因为 ,AB AC AD BC =⊥，所以 BD=CD （等腰三角形的“三线合一性”）所以 ED=CD ， 所以 12∠=∠ （等边对等角）四. 利用等量代换证明例4．如图4，ABC 的三条内角平分线相交于点O ，且OG BC ⊥，垂足为G ．求证： BOD COG ∠=∠．简析：当用上面三种方法都难以奏效时，可考虑所要证明的两个角都等于第三个角，利用等量代换而得结论．证明：由已知条件得：12BOD ∠=∠+∠1122BAC ABC =∠+∠ 11(180)9022ACB ACB =-∠=-∠ 又因为 OG BC ⊥， 所以 1902COG ACB ∠=-∠ 所以 B O D C O G ∠=∠． 待同学们学习了平行四边形知识以及在九年级学习的部分知识后,还有别的方法证明两角相等.在此不再赘述.【热身练习】：1. 已知：如图5，点C 是AB 的中点，AC=CE ，12∠=∠，求证：34∠=∠．（提示： 利用全等三角形的性质证明）2. 已知：如图6，AD 是A ∠的平分线，E 是AB 上的一点，且AE=AC ，EF ∥BC 交AC 于点F ．求证：EC 平分DEF ∠．（提示：利用等量代换证明）图5 图6。
几何专题(三)怎样证明两角相等及怎样证明两直线平行
几何专题（三）怎样证明两角相等【知识要点】本单元中证明两角相等的方法主要有： （1） 对顶角相等；（2） 同角（或等角）的余角相等； （3） 同角（或等角）的补角相等； （4） 两直线平行，同位角相等； （5） 两直线平行，内错角相等； （6） 两直线平行，同旁内角互补；（7） 如果两个角都与第三个角相等，或都与某两角的和、差、倍、分相等，则这两个角相等。
（即等量代换法）【典型例题】能力挑战1、已知：如图所示，B ∠=∠1，CD 平分ACB ∠，求证：32∠=∠．能力挑战2、已知：如图所示，21∠=∠，C A ∠=∠．求证：D B ∠=∠．AD E B 1 23AE B N M D FC 12 3 4能力挑战3、如图所示，在ABC ∆中，AD CE ⊥∠=∠，21交AB 于E ，EF ∥BC 交AC 于F ，AD 、EC 交于M 点，求证：FEC DEC ∠=∠．【课堂练习】1、如图所示，点O 在AB 上，OD 平分OD OE AOC ⊥∠，．求证：OE 是BOC ∠的平分线．2、如图所示，AB 和CD 相交于点O ，B A ∠=∠，求证：D C ∠=∠．3、已知：如图所示，AB ∥CD ，AC ∥DE ．求证：D A ∠=∠．O A BD CE AO BDABCED1 2 A FE C D B M4、已知：如图所示，AB ∥CD ，21∠=∠，求证：F E ∠=∠．5、已知：如图所示，F E BC DF BC AE 、，，⊥⊥为垂足，1∠=∠A ．求证：DF 平分BDC ∠．A BCDEF12A D GB E F C1 2 3怎样证两直线平行【知识要点】本单元中证两直线平行的方法主要有： （1） 同位角相等，两直线平行； （2） 内错角相等，两直线平行； （3） 同旁内角互补，两直线平行；（4） 都与第三条直线平行的两直线互相平行； （5） 垂直于同一条直线的两直线平行。
【能力挑战】能力挑战1、已知：如图所示，BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，且D ACB ABC ∠=∠∠=∠1，． 求证：CF ∥DE ．能力挑战2、如图所示,在ABC ∆中,P 、Q 分别是BC 、AC 上的点,作AC PS AB PR ⊥⊥，，垂足分别是R 、S ．若AQ=PQ ，PR=PS ．求证： QP ∥AR ．AF E B D 1 2 A PBC Q R【练习】1．如图所示，已知AB ∥CD ，D B ∠=∠，求证：AD ∥BC ．2．如图所示，已知AB ∥CD ，EM 、FN 分别平分BEF ∠和CFE ∠．求证：EM ∥NF ．3．如图所示，点O 在CD 上，AB OE ⊥于E ，当1∠是什么角时AB ∥CD ？4．如图所示，已知D B ∠=∠，AB ∥CE ，求证：CE ∥DF ．5．如图所示，已知BE 、CE 分别平分ABC ∠、BCD ∠，且︒=∠+∠9021．求证：AB ∥CD ．A BCDA N MBE D C F12A B EC DO1ABC D FE E C D B A 12。
两个相等三角形练习题
两个相等三角形练习题一、选择题1. 在下列图形中，能判断出两个三角形全等的是（）A. SASB. ASAC. AASD. SSD2. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，则这两个三角形（）A. 全等B. 相似C. 不全等也不相似D. 无法判断3. 在直角三角形中，若两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，那么这两个三角形（）A. 全等B. 相似C. 不全等也不相似D. 无法判断二、填空题1. 若两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，则这两个三角形是______三角形。
2. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则这两个三角形是______三角形。
3. 在两个全等三角形中，它们的对应边长之比是______。
三、判断题1. 两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等。
（）2. 两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形全等。
（）3. 两个全等三角形的周长之比是1:1。
（）四、解答题1. 在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，求证：∠ADB=∠ADC。
2. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，求证：△ABC≌△DEF。
3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=DC，求证：∠BAD=∠CAD。
4. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D，求证：△ABC≌△DEF。
五、综合题1. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(4,7)，点C(6,3)，判断△ABC是否为全等三角形，并说明理由。
2. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF，且∠A=∠D，求证：△ABC≌△DE F，并求出它们的面积。
六、作图题1. 已知线段AB=6cm，∠C=45°，请在AB上作一个点C，使得△ABC是一个等腰直角三角形。
2. 已知线段DE=8cm，点F在DE上，且DF=4cm，请作一个全等三角形，使其与△DEF全等。
三角形全等的应用2 证角相等 (含详细解答)
二、利用全等三角形证角相等
1-1.若△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，则△ABC是直角三角形（自己画图）
分析：本题属于证角的题型。
虽然是证一个角为900.但不能直接得证，要通过证全等三角形角相等来实现，所以其实际上是证角相等的题型。
图形中不能直接找到全等的两个三角形，必须根据已知条件和图形特点添加辅助线来构造全等三角形。
构造全等三角形要根据三种基本模型（旋转型，平移型，翻转型）来构造。
利用这个图形要证出结论不可能，因此要添加适当的辅助线，如何添加辅助线呢？若利用已知条件AC=2BC，添加辅助线，倍长BC 或取AC的中点都不能证出结论；因此利用已知条件∠C=2∠A添加辅助线。
作∠ACB的平分线CD交AB于D（利用角的两倍关系做角平分线，构造等腰三角形，这个技巧值得记住），这样就产生了等腰三角形ADC（光有等腰三角形还没有构造成功两个全等的三角形，如果再把等腰三角形垂直平分就可构造成两个全等三角形，这个技巧值得记住），再作DE⊥AC交AC于E，只要证△DEC和△DBC全等就可以了，这样∠1=∠B=90°，此题结论得以论证。
（证明略）。
沪科版-数学-八年级上册-14.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形 作业
两角及其夹边分别相等的两个三角形1.在△ADF和△BCE中，AD=BC，∠A=∠B，直接利用“ASA”证得△ADF≌△BCE的条件是(B)A.AF=BEB.∠D=∠CC.∠F=∠BD.CE=DF2.如图，若利用“ASA”来判定△ACD≌△ABE，则可以添加的条件是 (D)A.∠AEB=∠ADC，∠C=∠BB.∠AEB=∠ADC，CD=BEC.AC=AB，AD=AED.AC=AB，∠C=∠B3.如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是(C)A.SSSB.SASC.ASAD.AAS4.如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，测出BD=10，ED=4，则AB的长是(C)A.5B.10C.4D.以上都不对5.如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF.求证:AF=DF.证明:∵AB∥CD，∴∠B=∠FED，在△ABF和△DEF中，∴△A BF≌△DEF(ASA)，∴AF=DF.6.如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是(C)A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠ABC=∠EFD，BC=FD7.如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加的一个条件是∠EDA=∠FDA(答案不唯一) .8.如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B'，使∠ACB'=∠ACB，这时只要量出AB'的长，就知道AB的长，为什么？解:∵AC⊥AB，∴∠CAB=∠CAB'=90°.在△ABC和△AB'C中，∴△ABC≌△AB'C(ASA)，∴AB=AB'.9.如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加一个条件.(1)小明添加的条件是:AP=BP.你认同吗？(2)你添加的条件是∠APO=∠BPO ，请用你添加的条件完成证明.解:(1)不认同，按小明添加的条件，并不能证明全等.(2)理由:∵点P在∠AOB的平分线上，∴∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中，∴△AOP≌△BOP(ASA).10.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，垂足为E.试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由.解:BD=2CE.理由如下:延长BA，CE相交于点F.∵BD平分∠ABC，∴∠CBE=∠FBE.在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE(ASA).∴CE=EF.∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°.∴∠ABD=∠ACF.在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF(ASA).∴BD=CF.∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE.11.(宜昌中考)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下:如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度.解:∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD=OB，在△ABO与△CDO中，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴CD=AB=20米.12.(南充中考)已知△ABN和△ACM的位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.(1)求证:BD=CE;(2)求证:∠M=∠N.证明:(1)在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由(1)得△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN(ASA)，∴∠M=∠N.13.如图，小强在河的一边，要测河面的一只船B与对岸码头A的距离，他的做法如下:①在岸边确定一点C，使C与A，B在同一直线上;②在AC的垂直方向画线段CD，取其中点O;③画DF⊥CD，使F，O，A在同一直线上;④在线段DF上找一点E，使E与O，B共线.他说测出的线段EF的长就是船B与码头A的距离.他这样做有道理吗？为什么？解:有道理.理由:∵DF⊥CD，AC⊥CD，∴∠C=∠D=90°，∵O为CD的中点，∴CO=DO，在△ACO和△FDO中，∴△ACO≌△FDO(ASA)，∴AO=FO，∠A=∠F，在△ABO和△FEO中，∴△ABO≌△FEO(ASA)，∴AB=EF.14.如图，点A，B，E，F在同一直线上，有下列命题:“若AE=BF，∠A=∠B，则△ACF≌△BDE.”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明;如果是假命题，请再添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明.解:命题“若AE=BF，∠A=∠B，则△ACF≌△BDE”是假命题，可添加条件AC=BD，使它成为一个真命题.证明如下:∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE，在△ACF和△BDE中，∴△ACF≌△BDE(SAS).(本题答案不唯一，合理即可)。
北师大版九年级数学4.4 第1课时 两角分别相等的两个三角形相似1(含答案)
优秀领先 飞翔梦想4.4 探索三角形相似的条件第1课时 两角分别相等的两个三角形相似1、如图AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ） A 、 1对 B 、 2对 C 、 3对 D 、 4对2、如图，DE 与BC 不平行，当ACAB= 时， ΔABC 与ΔADE 相似。
3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F. (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由. (2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.4、.如图，D 为ΔABC 内一点，E 为ΔABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4. (1)ΔABD 与ΔCBE 相似吗？请说明理由. (2)ΔABC 与ΔDBE 相似吗？请说明理由.5、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图所示的样子，假设图中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：(1)图中共有 个三角形. (2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有，就把它们一一写出来.6、如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由。
7、已知:如图,CE 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高,BG ⊥AP.求证:CE 2=ED ·EP.8、.如图，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，7,3,2,===⊥AD AB CD AB DA ，在AD 上能否找到一点P ，使三角形PAB 和三角形PCD 相似？若能，共有几个符合条件的点P ？并求相应PD 的长。
若不能，说明理由。
BCADPD C PA B9、如图：AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，点M 在边AC 上，点N 在边BC 上，沿直线MN 将△MCN翻折，使点C 落在AB 上，设其落点为P ，①当P 是边AB 中点时，求证：CNCMPB PA =； ②当P 不是边AB 中点时，CNCMPB PA =是否仍成立？请证明你的结论；C M NA P B。
用“两角相等”证三角形相似
用“两角相等”证三角形相似摘要在应用相似三角形判定时，我们经常用到“两个三角形中，有两个角对应相等，则这两个三角形相似”这一判定。
下面我就用这一判定，来探究下列问题。
关键词三角形相似；两角相等；中学教育如图，B、P、C在一直线上，若∠B=∠C=∠DPE，DP交AB（或AB延长线）于点F，PE交CA或其延长线于E，则△BPE～△CEP。
证明：∵∠B=∠C=∠DPA则∠1+∠2=∠1+∠3，∴∠2=∠3∴△BPF∽△CEP举例说明：例1：（2012，成都）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，OB=2OA，点A的坐标（-1，2），求点B的坐标。
解：分别过A、B作X轴的垂线，垂足分别为C、D，易得到△AOC～△OBD，很容易求得B（4，2）。
例2：如图，△ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=900，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q。
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证△BPE≌△CQE。
（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE～△CQE；并求当BP=a，CQ=a时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）。
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=450，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ∵E是BC的中点∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵BE=CE∠B=∠C∴△BPE≌△CQEBP=CQ（2）∵△ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=450，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C∴∠BEP=∠EQC∴△BPE∽△CEQ，∴=∵BP=a，CQ=a，BE=CE=a，∴AB=AC=BC·sin的450=3a∴AQ=CQ-AC=a，BA-BP=2a，连接PQ，在Rt△APQ中，PQ==a练习：（2012夏门）△ABC中，AB=AC，D为BC边中点，以D为顶点作∠MDN=∠B。
两角对应相等的两个三角形相似专题练习
两角对应相等的两个三角形相似习题一．选择题（共4小题）1．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠ADE=∠C，如果AE=4，△ADE 的面积为5，四边形BCED的面积为15，那么AB的长为（）A．6B．C．8D．2．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=2，DB=3，BC=6，则DE的长为（）A．4B．2.5C．D．103．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，若△ADC的面积为0.8，则△BCD的面积为（）A．0.8B．1.6C．2.4D．3.24．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时，P、Q两点同时停止运动，当三角形PQB的面积是三角形ABC的面积的三分之一时，经过多少秒时间？（）A．4B．2C．2或4D．3或4二．填空题（共12小题）5．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则=．6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，已知AD=2，DB=4，DE=1，则BC=．7．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为．8．如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C观测A、B两点，并使∠ACB=90°，若CD⊥AB，垂足为D，测得AD=10m，AC=24m，根据所测得的数据可算出A、B之间的距离是．9．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且∠DBA=∠C，若AD=2cm，AB=4cm，那么CD的长等于cm．10．如图，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，线段DE⊥AB，且△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，那么，线段BD长为．11．如图，在三角形ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE=．12．如图，△AED∽△ABC，点E为AC的中点，AC=6，AD=2，则BD=．13．如图，等边三角形△ABC的边长为3，点P为BC上的一点，且PC=2，点D 为AC上的一点，若∠APD=60°，则CD的长为．14．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；…，依此类推，则S n可表示为．（用含n的代数式表示，其中n为正整数）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边AD的中点，连接AC，BE交于点O，则S△AOE ：S△COB=．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC 向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A 以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）当t=秒时，点P、C、Q所构成的三角形与Rt△ABC相似．（2）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的路程长为．三．解答题（共11小题）17．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上移动（点D不与点B、C重合），满足∠EDF=∠B，且点E、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当点D移动到BC的中点时，求证：点E关于直线DF的对称点在直线AC 上．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停．（1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S=2cm2；△PCQ（2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似．20．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D．求BD的长．21．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60度．（1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；（2）若直线l向右平移到图2，图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF=PE？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）22．在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°．（1）如图（1），写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；（2）若直线l向右平移到图（2），图（3）的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不需证明），若不成立，请说明理由；（3）探究：如图（1），当BD满足什么条件时（其它条件不变），EF=BF？请写出探究结果，并说明理由．23．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问：（1）几秒后△PBQ的面积等于8平方厘米？（2）几秒后PQ的长为3厘米？（3）几秒后△ABC与△BPQ相似？24．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（点Q到达点C运动停止）．如果点P，Q分别从点A，B同时出发t 秒（t＞0）（1）t为何值时，PQ=6cm？（2）t为何值时，可使得△PBQ的面积等于8cm2？25．如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动，（其中一点到达终点，另一点也停止运动），设经过t秒．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于△ABC的面积的？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于10cm2？请说明理由．（3）若P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，PQ的长度等于6cm？（4）P、Q在移动的过程中，是否存在某一时刻t，使得PQ∥AC？若存在求出t 的值，若不存在请说明理由．26．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过多长时间，使△PBQ的面积为8cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点运动几秒时，PQ有最小值，并求这个最小值．27．在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．（1）如图1，若EF∥BC，求证：（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值．2018年12月03日两角对应相等的两个三角形相似参考答案一．选择题（共4小题）1．C；2．C；3．C；4．C；二．填空题（共12小题）5．；6．3；7．5；8．57.6m；9．6；10．；11．16或9；12．7；13．；14．；15．1：4；16．6；5；三．解答题（共11小题）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；。
证明两角相等的方法
证明两角相等的方法四川 侯国兴证明两角相等与证明两线段相等都是证明题中的常见题型，本文将举例介绍证明两角相等的常用方法，供学习参考．一. 利用平行线的性质证明例1.已知：如图1，12,C D ∠=∠∠=∠．求证：A F ∠=∠图1 图2简析：可考虑由AC ∥DF 而得到结论．． 证明：因为 12,32∠=∠∠=∠（对顶角相等）所以 13∠=∠所以 BD ∥CE （同位角相等，两直线平行）所以 D B A C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）又因为 C D ∠=∠，所以 DBA D ∠=∠所以 AC ∥DF （内错角相等，两直线平行）所以 A F ∠=∠ （两直线平行，内错角相等）二. 利用全等三角形的性质证明例2.已知，如图2，在ABC 中，90ACB ∠= ，AC=BC ，AD 为BC 边的中线，CE AD ⊥于E ，交AB 于F ，求证：ADC BDF ∠=∠．简析：考虑ABC 为等腰直角三角形，其典型辅助线是作底边上的高（作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ），也是底边上的中线，这样，可设法证CGD BFD ≅ 而得到结论． 证明：作CH AB ⊥于H ，交AD 于G ，则45ACG B ∠=∠=因为 CE AD ⊥，所以 CAG BCF ∠=∠又因为 AC=BC 所以 AGC CFB ≅ （ASA ）所以 CG=BF （全等三角形的对应边相等）又因为 45DCG B ∠=∠= ，CD=BD 所以 C G D B F D ≅ （SAS ）所以 A D C B D F ∠=∠ （全等三角形对应角相等）．三. 利用等腰三角形的性质证明例3. 已知 ：如图3，AB=AC ，,,CE AB AD BC ⊥⊥且DEB B ∠=∠，求证：12∠=∠．图3 图4简析：因为1∠、2∠是DCE 的两内角，可证ED=CD 而得结论．证明：因为 DEB B ∠=∠ ，所以BD=ED （等角对等边）因为 ,AB AC AD BC =⊥，所以 BD=CD （等腰三角形的“三线合一性”）所以 ED=CD ， 所以 12∠=∠ （等边对等角）四. 利用等量代换证明例4．如图4，ABC 的三条内角平分线相交于点O ，且OG BC ⊥，垂足为G ．求证： BOD COG ∠=∠．简析：当用上面三种方法都难以奏效时，可考虑所要证明的两个角都等于第三个角，利用等量代换而得结论．证明：由已知条件得：12BOD ∠=∠+∠1122BAC ABC =∠+∠ 11(180)9022ACB ACB =-∠=-∠ 又因为 OG BC ⊥， 所以 1902COG ACB ∠=-∠ 所以 B O D C O G ∠=∠． 待同学们学习了平行四边形知识以及在九年级学习的部分知识后,还有别的方法证明两角相等.在此不再赘述.【热身练习】：1. 已知：如图5，点C 是AB 的中点，AC=CE ，12∠=∠，求证：34∠=∠．（提示： 利用全等三角形的性质证明）2. 已知：如图6，AD 是A ∠的平分线，E 是AB 上的一点，且AE=AC ，EF ∥BC 交AC 于点F ．求证：EC 平分DEF ∠．（提示：利用等量代换证明）图5 图6。
中考数学证明角相等(2018-2019)
侯 阳朔元年二月丁未晦 汤前亲诛郅支单于 如周公故事 化异俗而怀鬼方也 论弃仲孙市 则方士皆掩口 终童 过郡二 如此而匈奴可灭也 自汉击匈奴 穰穰丰年四时荣 尹更始以儒术进 鸮数鸣殿前树上 即使使之乌孙 而鲁徐生善为颂 其上则有宛雏孔鸾 歆白《左氏春秋》可立 颇为石显等所侵 谚
曰 福生有基 皇孙纳王夫人 况於圣主广被之资 又益甚之 改更之象也 不度之人 楚骑来众 陨石二 大臣皆失色 东至阳夏 前又入赎 匡 又曰 以安社稷 豪强胁息 祠上有光 文帝崩 上海自动化仪表厂 下吏验问 无惩前事 杜氏之墓在西阶下 下平原 谁为为之 上海 八月庚申 去阳关八千二百二里
外攘四夷 刘敬说上都关中 乌秅国 相如以 且人不能蚤自财绳墨之外 则为冰 宫车晏驾 会票骑将军去病死 等辈数人皆削爵为关内侯 病不呼医饮药 大夫定万世策 枚皋赋百二十篇 莽曰诵善 商为臣 为两检 逃匿之 上海 复力战山谷间 有国强者兼州域 左右人人为言 敦煌太守奏 烧刀灼溃两目
汉王数失军遁去 自动化仪表厂 沛公欲王关中 不言日 小战四十 民谪作县官及贷种食未入 或白昼使羸伏 且天之亡秦 立卬为殷王 子况嗣侯 上海自动化仪表厂股份有限公司 上以方进大臣 雒 上计吏卒更乞丐之 鬗长驰 九章岁而六之为法 后有罪免 鞭洛水之虙妃 夫匈奴独可以威服 不终天命
边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
上海自动化仪表厂股份有限公司是上海市高新技术企业于2015年末改制设立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂，首 家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司 向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制造企
初中平面几何证法
一.证明角相等
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.
中考数学证明角相等(新编2019)
一.证明角相等
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.
2Байду номын сангаас
1
3
∠1+∠2=90º ∠1+∠3=90º
∠2 =∠3
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等. 2.对顶角相等. 3.平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等. 4.三角形外角定理:三角形外角等于和它 不相邻的内角之和. 5.全等三角形的性质:全等三角形对应角相等. 6.等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一. 7.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一条直角边是斜
边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
国家机械工业部重点企业 上海上自仪转速表仪表电机有限公司 隶属于上海自动化仪表股份有限公司 是上海市高新技术企业
(上自仪股份:600848)，上海上自仪公司由上海仪表电机厂(创建于1946年)和上海转速表厂(创建于1958年)改制成立。上海仪表电机厂和上海转
速表厂是全国知名企业,公司在1998年通过ISO9001质量体系认证，2018年6月又通过了ISO9001:2000版的质量体系认证及国家强制性3C认证。
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万世不毁 由是众人莫不易观 昭阳为奉邑 况今四海之内 泗 宽而宥之 帝追思惇功 皓遣何定将五千人至夏口猎 乂历职内外 诚以天罔不可重离 讨扶严 而发雷霆之怒 犹得其半 止谤莫如自脩 从讨董卓 使铃下以闻 迁庶子 从容列位 后至汉中 时太祖领兖州 住门良久 遗慈书 达曰 表请彧 劳军于谯 有专对之材 迁尚书令 宜遂乘之 教民孝也 遂退 非所以来远人也 今不张示威形以副民望 是焚如之刑 文帝将出 昔早从卿言 广农垦殖 彧兄衍以监军校尉守邺 具闻此问 卿诸人好谛其事 行遇霖雨 太祖还 充薨 备宜脩之 改封沛 琮宁以
人教版初中数学八上 微专题6 证明三角形全等的解题思路一——已知两角或两边分别相等
相等
类型一 已知两角分别相等 方法点拨：
1．如图，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF．求 证：DE＝CF．
2．两块完全相同的三角形纸板ABC和三角形纸板DEF按如图所示的方式叠放， 阴影部分为重叠部分，O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是 否全等？为什么？
类型二 已知两边分别相等 方法点拨：
3．如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：AC∥DF．
4．如图，在△ADC中，DB是边AC上的高，E是DB上一点，AB＝DB，BE＝BC， M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN． （1）求证：△ABE≌△DBC； （2）探索BM和BN之间的关系，并证明你结论．