专题08 函数的周期性(原卷版)

专题08 函数的周期性
专项突破一 周期函数的定义与求解
1．有下面两个命题：
①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；
②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，
则下列说法中正确的是（ ）．
A ．①②都正确
B ．①正确②错误
C ．①错误②正确
D ．①②都错误
2．若函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则()f x 可以是（ ）
A ．2()(1)f x x =-
B ．()|2|f x x =-
C ．()sin 2f x x π⎫⎛= ⎪⎝⎭
D ．()tan 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭
3．已知定义在R 上的非常数函数()f x 满足：对于每一个实数x ，都有122f x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭则()f x 的周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．32
π 4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x +=且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =的解有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．多于4个
5．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（ ） A ．偶函数，又是周期函数
B ．偶函数，但不是周期函数
C ．奇函数，又是周期函数
D ．奇函数，但不是周期函数
6．已知函数()21f x +的最小正周期为3，则函数()f x 的最小正周期为______．
7．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，则()f x 的周期为__________． 8．若定义在R 上的非零函数()f x ，对任意实数x ，存在常数λ，使得()()f x f x λλ+=恒成立，则称()y f x =是一个“f λ。

函数”，试写出一个“ l f 。

函数”：__________．
专项突破二 利用周期性求函数值(或解析式)
1．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（ ） A ．1716 B ．54 C ．2 D ．1
2．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=.且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，
则()()20132014f f -+的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
3．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e x f x =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
( )
A ．e
B
C ．92e
D ．92
4．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭（ ） A ．-11 B ．-8 C ．3log 4 D ．38log 4-
5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当02x ≤≤时，()()()22log 1,012,12x x f x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨⋅-<≤⎪⎩
，则()()20222023f f +的值为（ ）．
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
6．已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （ ）
A ．19
B ．19-
C ．1727
D ．1727
- 7．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()222f x f x +=-+，且()0f x >，则()2021f =（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
8．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()(2)f x f x =+，当[0x ∈，2]时，f (x )＝e x ，则f (7)=______. 9．已知()f x 是以4为周期的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()1f x x =-，则()21f -=________．
10．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(1)2(10)3f f -=+，则(2021)f =___________. 11．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()()0f x f x +-=；②()(2)f x f x =+；③当01x ≤<时，
()21x f x =-，则135(1)(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
________. 12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数()1y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，()3f x x =，则72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
______．
13．设()f x 是定义在R 上周期为4的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()2()log 1f x x =+，则函数()f x 在[]2,4上的
解析式为__________.
14．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()
20192f x f x +=，且[)02x ∈，时，()3x f x =，则()2022f =__________. 15．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2． （1）求证：f (x )是周期函数；
（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；
（3）计算f (0)＋f （1）＋f （2）＋…＋f (2019)．
16．已知函数()f x 是实数集R 上的函数，且()()3f x f x =-+，当03x ≤<时，()22f x x x =-.
(1)求()f x 的周期.
(2)求912x <≤时，函数()f x 的表达式.
(3)若关于x 的方程()f x ax a =-在区间[)0,6上恰有4个解，求实数a 的取值范围.
专项突破三 抽象函数周期性
1．定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=-，则下列是周期函数的是（ ）
A ．()y f x x =-
B ．()y f x x =+
C ．()2y f x x =-
D ．()2y f x x =+
2．已知函数()21y f x =+的图象关于直线1x =对称，函数()1y f x =+关于点()1,0对称，则下列说法正确的是（ ）
A ．()10f =
B ．()()11f x f x -=+
C ．()f x 的周期为2
D ．()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
3．已知()11y f x =-+是奇函数，则下列等式成立的是（ ）
A ．()()112f x f x -+--=-
B ．()()112f x f x -+--=
C ．()()11f x f x =+-
D ．()()11f x f x +=--
4．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-恒成立，若(1)2f =，则(20)(21)(22)f f f ++的值为（ ） A ．6 B ．4 C ．2 D ．0
5．若定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=
，对任意的x ∈R 恒成立，则()2021f =（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．定义在正整数上的函数满足()()()()21N*f k k f k k ++-∈，则()65f =（ ）
A ．()1f
B ．()3f
C ．()5f
D ．()7f
7．函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数()y f x =的图象关于原点对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()10f =，()5.52f =，()()()1g x x f x =-.若()1g x +是偶函数，则()0.5g -=（ ）
A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．3
9．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()0f x f x ，(5)(5)f x f x -=+，且(1)2022f =，则(2020)(2021)f f -=（ ）
A ．2026
B ．4044
C ．2022-
D ．4044-
10．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x -为偶函数，()41f x +为奇函数，则下列等式不一定．．．
成立的是（ ）
A ．()10f -=
B ．()10f =
C ．()20f =
D ．()30f =
11．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为偶函数，(2)f x +为奇函数，则(2022)f =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
12．已知函数()f x 对x R ∀∈满足：()()2f x f x +=-，()()()12f x f x f x +=⋅+，且()0f x >，若()14f =，则()()20192020f f +=（ ）
A ．34
B ．2
C ．52
D ．4
13．已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则下列命题正确的个数是（ ） ①()()16f x f x =-；②()110f =；③()()20220f f =-；④()()20213f f =-.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
14．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，则（ ）
A ．()()11f x f x --=-+
B ．()()4f x f x +=-
C ．()f x 为偶函数
D ．()3f x -为奇函数
15．已知()f x 是R 上的奇函数，()2f x +是R 上的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()22f x x x =+，则下列说法
正确的是（ ）
A ．()f x 最小正周期为4
B ．()33f -=-
C ．()20200f =
D ．()20213f =-
16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()60f x f x ++=，且函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，则()2022f =___________.
17．定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(2)2f x +=(2021)f =____________. 18．已知定义在Z 上的函数()f x ，对任意,x y Z ∈，都有()()4()()f x y f x y f x f y ++-=且1(1)4f =，则(0)(1)(2)(2017)f f f f +++⋅⋅⋅+的值为_________
19．已知y =f (x )满足对一切x ，y ∈R 都有f (x +2y )=f (x )+2f (y ).
(1)判断y =f (x )的奇偶性并证明;
(2)若f (1)=2，求f (-13)+f (-3)+f (22)+f (53)的值.
20．已知f (x )是定义在R 上的函数，满足1()(1)1()
f x f x f x -+=
+． （1）若122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）证明：函数f (x )的周期是2；
（3）当[0,1)x ∈时，f (x )＝2x ，求f (x )在[1,0)x ∈-时的解析式，并写出f (x )在[21,21)()x k k k ∈-+∈Z 时的解析式．
专项突破四 函数周期性的应用
1．已知在R 上的函数f x （）满足对于任意实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，(7)(7)f x f x +=-，且在区间[0,7]
上只有1x =和3x =两个零点，则()0f x =在区间[0,2022]上根的个数为（）
A ．404
B ．405
C ．406
D ．203
2．定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()12
f x ≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．()134,422k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z
D ．()132,222k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣
⎦Z 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，()22x f x =-，则()f x 在区间(0,8)上零点的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，满足f （x ＋2）＝f （﹣x ），当x ∈[0，1]时()2sin f x x π=，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
5．辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即为“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以此纪年法恰好六十年一循环.那么下列干支纪年法纪年错误项是 （ ）
A ．庚子年
B ．丙卯年
C ．癸亥年
D ．戊申年
6．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当(0,3)x ∈，()e =x f x x ，则下面结论正确的是（ ）
A ．19(ln 3)(e)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
B ．19(e)(ln 3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
C ．19(e)(ln 3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
D ．19(ln 3)(e)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
7．定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有
()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（ ） A ．()()()202120232022f f f >>
B ．()()()202120222023f f f >>
C ．()()()202320222021f f f >>
D ．()()()202220212023f f f >>
8．已知f （x ）是定义在R 上周期为2的偶函数，若当[]0,1x ∈时，()πsin
2x f x =，则函数()()e x
g x f x -=-在区间[2021,2022]-上零点的个数为（ ）
A ．2021
B ．2020
C ．4043
D ．4044
9．已知函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，对x ∀∈R ，都有()()31f x f x -=+恒成立，当[]0,2x ∈时，()212
f x x =，当0k >时，若函数()f x 的图象和直线()4y k x =+有5个交点，则k 的取值范围为（ ） A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有()()11f x f x -=-+，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（ ）
A ．()f x 是以2为周期的周期函数
B ．点()3,0-是函数()f x 的一个对称中心
C ．()()202120222f f +=-
D ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点
11．周期为4的函数()f x 满足()()4f x f x =-，且当[]0,2x ∈时()31f x x =-，则不等式()0f x ≤在[]22-,
上的解集为______；
12．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，则方程1()=01
f x x +
-在[]2,4-上的所有根之和为____.。