专题08 函数的周期性(原卷版)

专题08 函数的周期性

专项突破一 周期函数的定义与求解

1．有下面两个命题：

①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；

②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，

则下列说法中正确的是（ ）．

A ．①②都正确

B ．①正确②错误

C ．①错误②正确

D ．①②都错误

2．若函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则()f x 可以是（ ）

A ．2()(1)f x x =-

B ．()|2|f x x =-

C ．()sin 2f x x π⎫⎛= ⎪⎝⎭

D ．()tan 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭

3．已知定义在R 上的非常数函数()f x 满足：对于每一个实数x ，都有122f x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭则()f x 的周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．32

π 4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x +=且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =的解有（ ） A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．多于4个

5．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（ ） A ．偶函数，又是周期函数

B ．偶函数，但不是周期函数

C ．奇函数，又是周期函数

D ．奇函数，但不是周期函数

6．已知函数()21f x +的最小正周期为3，则函数()f x 的最小正周期为______．

7．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，则()f x 的周期为__________． 8．若定义在R 上的非零函数()f x ，对任意实数x ，存在常数λ，使得()()f x f x λλ+=恒成立，则称()y f x =是一个“f λ。函数”，试写出一个“ l f 。函数”：__________．

专项突破二 利用周期性求函数值(或解析式)

1．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（ ） A ．1716 B ．54 C ．2 D ．1

2．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=.且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，

则()()20132014f f -+的值为（ ）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

3．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e x f x =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭

( )

A ．e

B

C ．92e

D ．92

4．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝

⎭（ ） A ．-11 B ．-8 C ．3log 4 D ．38log 4-

5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当02x ≤≤时，()()()22log 1,012,12x x f x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨⋅-<≤⎪⎩

，则()()20222023f f +的值为（ ）．

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

6．已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （ ）

A ．19

B ．19-

C ．1727

D ．1727

- 7．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()222f x f x +=-+，且()0f x >，则()2021f =（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

8．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()(2)f x f x =+，当[0x ∈，2]时，f (x )＝e x ，则f (7)=______. 9．已知()f x 是以4为周期的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()1f x x =-，则()21f -=________．

10．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(1)2(10)3f f -=+，则(2021)f =___________. 11．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()()0f x f x +-=；②()(2)f x f x =+；③当01x ≤<时，

()21x f x =-，则135(1)(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

________. 12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数()1y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，()3f x x =，则72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭

______．

13．设()f x 是定义在R 上周期为4的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()2()log 1f x x =+，则函数()f x 在[]2,4上的

解析式为__________.

14．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()

20192f x f x +=，且[)02x ∈，时，()3x f x =，则()2022f =__________. 15．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2． （1）求证：f (x )是周期函数；

（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；

（3）计算f (0)＋f （1）＋f （2）＋…＋f (2019)．

16．已知函数()f x 是实数集R 上的函数，且()()3f x f x =-+，当03x ≤<时，()22f x x x =-.

(1)求()f x 的周期.

(2)求912x <≤时，函数()f x 的表达式.

(3)若关于x 的方程()f x ax a =-在区间[)0,6上恰有4个解，求实数a 的取值范围.

专项突破三 抽象函数周期性

1．定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=-，则下列是周期函数的是（ ）