证明矩阵相似的五种方法
相似矩阵的基本知识点
相似矩阵的基本知识点：
首先了解相似矩阵的由来，因为一个线性变换在不同基下矩阵就不同，我们就要考虑它们之间是不是有联系，这就引入了相似矩阵的概念。
定义（定理）：设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,.....,21和n ηηη,.......,21下的矩阵分别为A 和B ，从n εεε,.....,21到n ηηη,.......,21的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=。
我们就称矩阵A 和矩阵B 是相似的。
相似是矩阵间的一种关系，具有三种特性：
1． 反身性：即A 与它自身是相似的。
2． 对称性：即A 与B 相似，则称B 与A 相似。
传递性：即A 与B 相似，B 与C 相似，则称A 与C 相似 练习：
1如何来证相似矩阵有相同的特征多项式？
证明：设A 与B 相似，则有可逆矩阵P ，使得
B AP P =-1 于是A E P A E P AP P E B E -=-=-=---λλλλ11。
这表明线性变换关于不同基的矩阵可以不同。
但这些矩阵有相同的特征多项式)(λf ，故)(λf 是由线性变换确定的。
由此称)(λf 为线性变换的特征多项式。
2相似矩阵有相同的特征多项式
证明：设A B ，即有可逆矩阵X ，使得1B X
A X -=，于是 ()111E
B E X
A X X E a X X E A X E A λλλλλ----=-=-=-=-
3一个线性变换在不同基之下的矩阵相似。
第5章 矩阵的相抵与相似
§5.1 等价关系与集合的划分本节只做简单介绍，考试不考此局部，在以后抽象代数 中还会讲到。
§5.2 矩阵的相抵〔也叫等价〕第一章§1已经证明，任何一个矩阵AJ 。
如果再对J那么能变成什么样的最简单的矩阵？看例子：13213213212101101124601010000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭101011000⎛⎫ ⎪→- ⎪⎪ ⎪⎝⎭〔以上行变换〕； 再经过列变换100010000A ⎛⎫ ⎪→ ⎪⎪⎝⎭。
最后这个矩阵非常简单，把它写成分块矩阵的形式就是：2000I ⎛⎫⎪⎝⎭。
任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都可以化成这种简单形呢？定义1 数域K 上的矩阵A 经过一系列初等行变换和初等 列变换变成矩阵B ，那么称A 与B 是相抵的或等价的，记作AB 相抵，或AB 等价。
矩阵的相抵关系满足 1°反身性：AA 相抵, 即A 与自己相抵；2°对称性：假设A B 相抵，那么B A 相抵;3°传递性：假设A B 相抵，BC 相抵, 那么A C 相抵.因此，矩阵的相抵关系是一种等价关系。
事实1 ⇔A 经过初等行变换和初等列变换变成矩阵B⇔存在K 上的s 阶初等矩阵12,,,t P P P 与n 阶初等矩阵12,,,m Q Q Q , 使得2112tm P P PAQQ Q B =〔1〕定理1 设数域K 上的s n ⨯矩阵A 的秩为r 。
如果0r >,那么A 相抵于下述形式的矩阵000rI ⎛⎫⎪⎝⎭, 〔2〕证明 如果0r >, 那么A 经过一系列初等行变换化成的 简化行阶梯形矩阵J 有r 个非零行：1210000100000100000000000000n n rn c c c J ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再经过适当的两列互换，可以变成下述形式：111212111000010000010000000000r n r n r r rn c c c c J c c +++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，，，。
任意n阶矩阵与三角矩阵相似的证明
任意n阶矩阵与三角矩阵相似的证明一、引言矩阵理论是线性代数的重要组成部分，而相似矩阵是矩阵理论中的一个关键概念。
在矩阵相似性的研究中，一个重要的结论是任意n阶矩阵都可以与一个三角矩阵相似。
本文将从深度和广度上对这一证明进行全面的评估，以便读者能更加深入地理解这一重要的数学概念。
二、相似矩阵的定义在进行证明之前，首先需要了解相似矩阵的定义。
设A和B是n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B成立，那么称矩阵B 是矩阵A的相似矩阵，矩阵P是将A变换为B的相似变换矩阵。
三、证明任意n阶矩阵与三角矩阵相似的过程1.先证明n=1时成立。
当n=1时，矩阵A是一个1阶矩阵，可以写为[a]，其中a是一个数。
而任意1阶矩阵都是三角矩阵，因此成立。
2.再证明n=k时成立，其中k为任意正整数。
设A是一个n阶矩阵，由于复数域上的任意n阶矩阵都有n个特征值（可能重复），所以一定存在至少一个特征值。
设λ是矩阵A的一个特征值，对应的特征向量为v。
则存在一个n维非奇异矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ为一个对角矩阵。
将P写成列向量的形式，得到P=[v1 v2 ... vn]，P^-1=[v1' v2' ... vn']，其中vi为v的第i个分量，v'i为v的第i个分量在P^-1中的表示。
那么有P^-1AP=P^-1[Av1 Av2 ... Avn]=[λv1λv2 ... λvn]=ΛP^-1，这样就得到了相似矩阵关系。
3.证明对于n=k+1时也成立。
设A是一个n+1阶矩阵，由于复数域上的任意n+1阶矩阵都有n+1个特征值（可能重复），所以一定存在至少一个特征值。
设λ是矩阵A的一个特征值，对应的特征向量为v。
由于A是n+1阶矩阵，因此由特征向量的性质可知，存在一个n维非奇异矩阵P1，使得P1^-1AP1=Λ1，其中Λ1为一个对角矩阵。
将P1写成列向量的形式，得到P1=[v1 v2 ... vn v(n+1)]，P1^-1=[v1' v2' ... vn' v(n+1)']，其中vi为v的第i个分量，v'i为v的第i个分量在P1^-1中的表示。
两个不可相似对角化矩阵相似的判定条件
两个不可相似对角化矩阵相似的判定条件上线性代数中，矩阵的相似性是一个重要的概念。
两个矩阵如果相似，它们具有相同的特征多项式、特征根和秩。
而在实际问题中，我们常常需要判定两个给定的矩阵是否相似，特别是对角化矩阵。
本文将从不可相似对角化矩阵相似的判定条件入手，详细探讨两个不可相似对角化矩阵相似的条件及相关定理。
1. 定义我们需要了解什么是矩阵的相似性以及对角化矩阵。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B为对角矩阵，即B 是对角矩阵，则称矩阵A与B相似，P为A到B的相似变换矩阵，B为A的相似标准型，A为B的相似矩阵。
对角化矩阵是指那些与某个对角矩阵相似的矩阵。
2. 矩阵的特征值与特征向量在研究矩阵的相似性时，我们首先需要了解矩阵的特征值和特征向量。
对于一个n阶矩阵A，它的特征值λ是满足方程det(A-λE) = 0的λ值，其中E为单位矩阵。
而对应于特征值λ的特征向量v是指满足方程(A-λE)v = 0的非零向量v。
3. 不可相似对角化矩阵接下来，我们需要了解不可相似对角化矩阵的概念。
如果一个矩阵A不与任何对角矩阵相似，则称A是不可对角化的。
不可对角化矩阵通常是指矩阵A的特征值个数小于n（n为A的阶数），或者A的特征值个数等于n，但A的特征值不是互相不同的。
4. 不可相似对角化矩阵相似的判定条件现在我们将讨论两个不可相似对角化矩阵相似的判定条件。
假设A和B是n阶矩阵，它们的特征值分别为λ1, λ2, …, λn和μ1, μ2, …, μn。
那么A和B相似的充要条件是它们的特征值相同，即λ1=μ1,λ2=μ2, …, λn=μn。
证明如下：充分性：假设A与B的特征值相同，即λ1=μ1, λ2=μ2, …, λn=μn。
那么存在可逆矩阵P，使得P^-1AP = B。
由于A和B的特征值相同，对于A的每个特征值λi，都存在一个对应的特征向量vi，满足Avi =λivi。
P^-1APvi = Bvi = μivi，即APvi = μPvi。
矩阵相关性质
等价：存在可逆矩阵P,Q,使PAQ= B ,则4与B 等价;相似：存在可逆矩阵P,使P-'AP=B,则A 与3相似；合同：存在可逆矩阵c, ^C T AC=B 9则人与3合同.•、相似矩阵的定义及性质 定义1设人3都是〃阶矩阵，若有可逆矩阵P,使P ・'AP=B,则称3是4的相似矩阵，或 说矩阵A 与3相似，记为A~B ・对A 进行运算P'[AP 称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称 为把A 变成B 的相似变换矩阵.注矩阵相似是-种等价关系.(1) 反身性：A~ A.(2) 对称性：若A 〜3,则3〜A.(3) 传递性：若A 〜B, B~C,则A~C.性质1若A 〜3,则(1) A 7 〜M ：(2) A'1 〜A ：(3) |A-/t£| = |B -/lE|：(4) |A| = |B|:(5) R(A) = R(B)・征值.性质2若A = PBE,则A 的多项式0(A) = P0(B)P“ •推论若A 与对角矩阵八相似，则0(血)丿注(1)与单位矩阵相似的只有它本身:（2）有相同特征多项式的矩阵不-定相似.二、 矩阵可对角化的条件对川阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使P~l AP = A 为对角阵，就称为把方阵A 对 角化。
定理1 "阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）O A 有“个线性无关的特征向量。
推论若〃阶矩阵A 与对角矩阵八=相似，则人，兄2,…，血是A 的畀个特0(A) = "(A)” = P 血)推论如果“阶矩阵A的“个特征值互不相等，则A与对角阵相似.（逆命题不成立）注：（1）若A〜A,则A的主对角元素即为A的特征值，如果不计人的扌I#列顺序，则八唯•, 称之为矩阵A的相似标准形。
<2）可逆矩阵P由A的“个线性无关的向量构成。
把•个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的和似矩阵实对称矩阵是•类特殊的矩阵，它们•定可以对角化.即存在可逆矩阵P，使得P~l AP = A.更可找到正交可逆矩阵7\使和T_1AT = A定理2实对称矩阵的特征值为实数。
证明矩阵相似的五种方法
证明矩阵相似的五种方法矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述的是两个矩阵之间存在某种相似性质，即它们可以通过某种变换相互转换。
在实际应用中，矩阵相似常常用于求解线性方程组、矩阵特征值和特征向量等问题。
本文将介绍五种证明矩阵相似的方法，希望对读者有所帮助。
方法一：矩阵相似的定义矩阵相似的定义是指存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B 满足B=PAP^-1。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是找到一个可逆矩阵P，使得它们满足这个等式。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
假设A的特征值为λ1=0，λ2=4.79，λ3=-0.79，对应的特征向量分别为v1=[-0.82 0.41 0], v2=[0.41 0.82 0], v3=[-0.41 -0.41 1]，则可得到：P = [v1 v2 v3] = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]因此，我们可以验证B=PAP^-1，即：B = PAP^-1 = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1][12 3; 4 5 6; 7 8 9][-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]^-1 = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]因此，A和B是相似的。
方法二：矩阵的特征值和特征向量矩阵相似的另一个重要性质是它们具有相同的特征值和特征向量。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是计算它们的特征值和特征向量，并比较它们是否相同。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
相似矩阵的判定及其应用
相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。
并通过一些具体的例子加以说明。
下面我们首先介绍相关的概念和性质。
定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1X A X，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A A ~⑵对称性：如果B A ~，那么A B ~⑶传递性：如果B A ~，C B ~，那么C A ~在此基础上，定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。
我们从下面的例1来看这个定理的应用。
例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ，a a a 是数域P 上的矩阵，证明A ，B 相似.a a a a a a 证明：设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基，，下的矩阵为A ，（，，）=（，，）a a 即：32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基，下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，a a 由定理1A B 可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=（-1，0，-2），2α=（0，1，2）3α=（1，2，5）变成σ（1α）=（2，0，-1），σ（2α）=（0，0，1），σ（3α）=（0，1，2）求σ在基1β，2β，3β下的矩阵，其中1β=（-1，1，0），2β=（1，0，1），3β=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出σ在基1α，2α，3α下的矩阵A ；（2）求出由基1α，2α，3α到1β，2β，3β的过渡矩阵P ； （3）求出σ在基1β，2β，3β下的矩阵B =1P AP -.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1ε=（1，0，0），2ε=（0，1，0），3ε=（0，0，1）为中介，若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ， N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ（1α，2α，3α）=（1ε，2ε，3ε）M （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）N （1β，2β，3β）=（1ε，2ε，3ε）T ，故σ在基1α，2α，3α下的矩阵1A N M -=，并且由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵1P N T -=，从而σ在基1β，2β，3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ，Ｂ为数域P 上两个n ⨯n 矩阵，它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。
有关矩阵相似与行列式因子
1、证明：多项式矩阵的第一种初等变换可以通过连续施行有限次第二种初等 变换与第三种初等变换来实现。
证明:多项式矩阵的第一种初等变换[ ] j i , ，可以通过继续施行有限次第二种初等变换 ( ) [ ]( ) 0 ¹ a a i 与第三种初等变换 ( ) ( ) [ ] l j j i + 来实现（其中 ( ) l j 为l 的多项式）。
证明：取任意 n m ´ 多项式矩阵 ( ) l A 来证明 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ÷÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷øö çç ç çç ç ç ç ç è æ = l l l l l l l l l l l l l mn m m jn j j in i i n a a a a a a a a a a a aA L M M M M L M M M ML M M M M L 2 1 2 1 2 11 12 11 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ÷÷ ÷÷ ÷ ÷÷ ÷÷øöçç ç ççç ç ççè æ + + + ¾ ¾ ® ¾ +l l l l l l l l l l l l l l l mn m m jn j j jn in j i j i n r r a a a a a a a a a a a a a a a j i LMM M M L M M M M L M M M M L 2 1 2 1 2 2 1 1 1 12 11 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ÷÷ ÷÷÷÷÷ ÷÷øöçç ç ççç ç ççè æ - - - + + + ¾ ¾ ® ¾ - l l l l l l l l l l l l l l l mn m m in i i jn in j i j i n r r a a a a a aa a a a a a a a a ij LMM M M L M M M M L M M M M L 2 1 2 1 2 2 1 1 1 12 11( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ÷÷÷ ÷ ÷ ÷÷÷ ÷øö çç ç çç ç ç ç ç è æ ¾ ¾ ® ¾ - · + l l l l l l l l l l l l mn m m in i i jn j j n r r r a a a a a a a a a a a a j j i L M M M M L M M M ML M M M M L 2 1 2 1 2 1 1 12 11 1 所以命题得以证明。
判断两矩阵合同的方法(一)
判断两矩阵合同的方法(一)判断两矩阵合同介绍在矩阵运算中，判断两个矩阵是否合同（congruent）是一种常见的问题。
合同矩阵是指两个矩阵在尺寸和形状上完全相同，并且存在一种线性变换使得它们完全相等。
本文将介绍几种常见的方法来判断两个矩阵是否合同。
方法一：矩阵的秩通过计算两个矩阵的秩来判断它们是否合同。
如果两个矩阵的秩相等，则它们可能是合同的。
然而，这种方法并不一定准确，因为很多合同矩阵的秩并不相等。
方法二：特征值和特征向量特征值和特征向量也可以用来判断两个矩阵是否合同。
对于两个合同矩阵，它们具有相同的特征值和对应的特征向量。
因此，我们可以通过计算两个矩阵的特征值和特征向量来判断它们是否合同。
方法三：奇异值分解奇异值分解（singular value decomposition）是一种常用的矩阵分解方法，也可以用来判断两个矩阵是否合同。
对于两个合同矩阵，它们具有相同的奇异值。
因此，我们可以通过计算两个矩阵的奇异值来判断它们是否合同。
方法四：正交相似变换正交相似变换是一种保持向量长度和角度不变的线性变换。
对于两个合同矩阵，它们之间存在一种正交相似变换，使得它们完全相等。
因此，我们可以通过计算两个矩阵的正交相似变换来判断它们是否合同。
方法五：矩阵的迹和行列式对于两个合同矩阵，它们具有相同的迹（trace）和行列式（determinant）。
因此，我们可以通过计算两个矩阵的迹和行列式来判断它们是否合同。
方法六：相似矩阵相似矩阵是指通过相似变换（similarity transformation）相互转化的矩阵。
对于两个合同矩阵，它们是相似矩阵。
因此，我们可以通过判断两个矩阵是否相似来判断它们是否合同。
结论判断两个矩阵是否合同是一个重要的问题，在数学和工程领域中有广泛的应用。
本文介绍了几种常见的方法来判断两个矩阵是否合同，包括矩阵的秩、特征值和特征向量、奇异值分解、正交相似变换、矩阵的迹和行列式，以及相似矩阵。
第五章 相似矩阵(2)
i的特征向量。因为 P可逆，得 A的n个特征向量线性无关。
(2) 充分性（命题：已知n阶方阵A有n个线性无关的特征 向量，则A相似于）
14
设A有n个线性无关的特征向量 P , P2 ,...Pn , 它们分别属于 1 A的特征值 1，2， n ..., AP A( P , P2 ,...Pn ) ( AP , AP2 ,...APn ) 1 1 (1 P , 2 P2 ,...n Pn ) 1 1 2 ( P , P2 ,...Pn ) 1 P n P 1 AP A相似于对角矩阵
2 1
T X 1 X 2 0 X 1与X 2正交。
20
定理10：设A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩阵Q，使 1 2 T 1 Q AQ Q AQ ..., , 其中1，2， n为A的特征值
n
1
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;
是A-1的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍 是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值
1
,
A
, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征 值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向 量， 则X1，X2，Xm线性无关。 证明：采用数学归纳法进行证明 （1）当m=1时，∵X10，所以X1线性无关
令P ( X 1 , 2 ,... n ),则P正交， P 1 AP P T AP 1 0 B 0 1 1 T T T T T T 又( P AP ) P A P P AP T B 0 B 0, B T B , 所以B为n 1阶实对称矩阵，由归纳假设 存在n 1阶正交矩阵P1 , 使 P1 BP1 P1 BP1 diag{2 ,...,n }
矩阵相似的若干判别法及应用知识讲解
矩阵相似的若干判别法及应用本科生毕业论文矩阵相似的若干判别法及应用学号： 2011562010姓名：邵坷年级： 2011级本科班系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：由金玲完成日期： 2015 年4月30日承诺书我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任.毕业论文（设计）作者签名：日期：年月日目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (1)第一章基本概念 (2)1.1 矩阵 (2)1.1.1 矩阵的概念 (2)1.1.2 矩阵的性质 (2)1.2 矩阵相似 (3)1.2.1矩阵相似的概念 (3)1.2.2 矩阵相似的性质 (4)第二章矩阵相似的判别 (5)2.1 特征值与特征向量法判定 (5)2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法 ............................................. 错误!未定义书签。
2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (5)2.2用初等变法换判定 (8)2.3 应用分块矩阵相似判定 (11)第三章矩阵相似的应用 (14)3.1 利用相似变换把方阵对角化 (14)3.2 矩阵相似性质的简单应用 (15)3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (15)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)摘要相似矩阵是高等代数课程范围内,一个很重要的基本问题,并且矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系.本文从矩阵的基本理论出发,以定性分析法,以综述的形式总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论.通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、可逆矩阵、矩阵的初等变换和分块矩阵对矩阵相似进行判别,并运用例证对每一种判别法加以说明;另外,还对相似矩阵的一些应用进行了介绍,以便对矩阵的相似有更进一步的了解.关键词：特征值;特征向量;相似矩阵;判别;分块矩阵AbstractThe similarity of matrix is one of the most important problem within the area of the advanced algebra. In addition, the similarity of matrix is an elementary relationship between the matrixes.This paper reviews several important criteria which are used to judge the similarity of matrix. These criteria are generally based on the calculation of the Eigen value and Eigen vector, the diagonalization of matrix, the invertible transformation of matrix, the elementary transformation of matrix, and the partition of the matrix. Further, the examples follow and elucidate the counterpart criteria. At the end, the application of the similarity of matrix is given to deepen the understanding.Keywords: Eigen value;Eigen vector;Similarity of matrix;Distinguish;Partitioned matrix前言在数学中,矩阵就是一个平面上的数阵,矩阵理论的起源可追溯到18世纪,在以后的发展中，又相应的产生了许多理论知识,例如初等矩阵,矩阵的秩,矩阵的特征值与特征向量等.其中，矩阵相似理论也是在矩阵的发展之后才进一步发展和应用的起来的.矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型.相似矩阵间有很多相同的性质,比如秩,矩阵对应的行列式,迹（对角线元素之和）,特征值,特征多项式,初等因子都相同.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值,通过相似变换,可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质.利用矩阵相似的一些性质，可以让我们在解决一些特殊和复杂的问题时更加的简便,而且矩阵相似在实际生活中同样有着巨大的作用.本文主要介绍了矩阵的各种性质和特点,什么是矩阵相似,以及矩阵相似的判断和矩阵相似的一些应用.在第一章中,我们主要介绍了矩阵以及由它延伸出来的相关理论知识,例如矩阵的相似及它的一些简单的性质;在第二章中,着重介绍和总结了矩阵相似的三种判别方法.借助矩阵的特征值与特征向量将矩阵对角化，进而来对矩阵进行相似的判别，是对相似矩阵性质的综合运用，理论及方法都较为简单便于理解和掌握；初等变换法逻辑性强、理论系统；利用分块矩阵判别矩阵的相似，是对特型矩阵相似的一种判别法，较为简洁，但有局限性.第一章 基本概念1.1 矩阵矩阵是现代数学中极其重要、应用非常广泛的一个重要内容.利用这一数学工具,可以把所研究的多数据、多数量关系的问题化成简明的易于理解和分析的形式.1.1.1 矩阵的概念定义1.1 由t ⨯s 个数),2,1,,,2,1(n j m i a ij ==排成的s 行t 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 我们把它称为s 行t 列矩阵,简t s ⨯阵矩,其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素;如果矩阵A 的行数和列数相等,则我们也把矩阵A 叫做方阵A .定义1.2 如果一个矩阵的元素全为零,我们就称之为零矩阵,记为mn O ,我们也可以简单的记为O .定义1.3 如果方阵A 中的元素能够满足条件)(0j i a ij ≠=,则我们就把方阵叫做对角阵.定义1.4 如果一个n n ⨯矩阵除了主对角线上的元素,别的元素都是0,且主对角线是1的元素⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001 我们把它称之为n 级单位矩阵,记作n I ,一般情况下简写为I .1.1.2 矩阵的性质定义1.5 设ms ik a A )(=,sn kj b B )(=,那么矩阵mn ij c C )(=,其中∑==++++=sk kj ik sj is j i j i j i ij b a b a b a b a b a c 1332211 (1-1)我们将其称之为A 与B 的乘积,记为AB C =.注意,在乘法预算中方阵,要求前面方阵的行与后面方阵的列数位相同 定义1.6 由方阵A 中的元素保持其原来相对的位置不变而构成的行列式称为方阵A 的行列式,记作A 或A det .定义1.7 对于数域P 上的n 阶方阵A ,如果满足0≠A ,则我们称其为非退化的;反之我们称它为退化的.定义1.8 对于n 级方阵A ,如果有一个n 级方阵B ,使得I BA AB == (1-2)成立,我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.定义1.9 如果有n 级方阵B 适合（1-2）,那么我们就把方阵B 叫做方阵A 的逆矩阵,记作1-A .引理1.1 0≠A 是n 阶方阵可逆的充要条件.定义1.10 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 中元素ij a 的代数余子式,则矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111* 就是矩阵A 的伴随矩阵.定理1.1 如果A 方阵是非退化的,那么它是可逆的;反之方阵A 可逆,则它也一定是非退化的有 *11A dA =- (0≠=A d ). (1-3)定义1.11 矩阵的行秩是指以矩阵每一行的元素作为行向量而构成的行向量组的秩;矩阵的列秩是指以矩阵每一列的元素作为列向量而构成的列向量组的秩.定理1.2 矩阵的行秩和列秩相等.因为矩阵的行秩和列秩相等,所以我们将行秩和列秩统称为矩阵的秩,矩阵A 的秩记为)(A R .1.2 矩阵相似相似的矩阵有很多共同的性质,所以只要从与A 相似的矩阵中找到一个特别简单的矩阵,只需通过对这个简单矩阵性质的研究就可以知道A 的性质.1.2.1 矩阵相似的概念定义1.12[1] 有A ,B 方阵在数域F 上,若是F 上有n 阶可逆方阵T 使等式：AT T B 1-=成立,那么就说B 与A 相似,并且写作.~B A定义1.13[1] 设)(λij a )...,2,1,,...,2,1(n j m i ==是数域F 上的多项式,以)(λij a 为元素的n m ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(...)()(............)(...)()()(...)()()(212222111211λλλλλλλλλλmn m m n n a a a a a a a a a A称为λ矩阵.记[]()(n m P A ⨯∈λλ[]nm P ⨯λ表示数域∈P 的λ矩阵的全体）.定义1.14 方阵上的相似关系~与数域K 上的n 阶方阵之间的关系是互推的,对任何n n K A ⨯∈,存在集合[]{}B A K B B A n n ~,|~⨯∈=则我们可称矩阵A 形成的相似(~)等价类. 1.2.2 矩阵相似的性质性质1.1 反身性：由于AI I A 1-=所以每一个n 级方阵都是和自己相似的.即A A ~.性质1.2 对称性：如果B A ~,那么 A B ~ ;如果B A ~ ,那么 有X ,使TX X B 1-=令1-=X Y就有BY Y XBX A 11--==所以A B ~.性质1.3 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.事实上,由AT T B 1-=和BU U C 1-=得)()(111TU A TU ATU T U C ---== （2-1） 由等式AT T B 1-=可知,对于n 维向量空间上的两个线性变换的基它们相似.矩阵相似还有具有如下一些性质.（1）相似矩阵的行列式相等;（2）相似矩阵有相同的秩;（3）相似矩阵有相同的可逆性,且它们可逆时,它们的逆矩阵也相似;（4）相似矩阵的幂仍相似;（5）相似矩阵有相同的特征值.第二章 矩阵相似的判别研究矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似变换可以让任何一个矩阵变为若当标准型.若当标准型是尽可能最简单的一种矩阵,这种矩阵在运算上有许多方便之处.另一种好处是矩阵相似有许多相同的属性,这样可以将对形式复杂矩阵的研究转化为对简单形式矩阵的研究.本章给出三种判别矩阵相似的方法.2.1 特征值与特征向量法判定矩阵的特征值与特征向量作为一个极为重要的数学概念,它在数学中有着最为广泛的应用.应用特征值与特征向量将矩阵对角化,进而做矩阵相似的判断,是较为常用的、基本的判别矩阵相似的方法.2.1.1 特征值和特征向量定义及求法矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基本概念,是判定矩阵相似的工具之一.定义2.1[1] 我们假设A 为n 阶方阵,如果有复数λ及n 维非零列向量，x 得x Ax λ= (1-1) 或者0)(=-x A E λ(1-2)那么把λ看作是A 的特征向量,而x 则是λ的特征向量.求n 阶矩阵A 的特征值与特征向量有一般如下步骤：第一步：我们应先求出矩阵的特征多项式||E A λ-;第二步： 那么接下来我们应需要知道||A E -λ0=的所有根值n λλλ,,,21 并且n λλλ,,,21 便是矩阵的所有特征值;假如i λ是特征方程的单根,则称i λ为A 的单特征值;若是j λ是特征方程的k 重根,那么A 的k 重特征值是j λ,并且j λ的重数是k .第三步：对A 的相异特征值中的每个特征值i λ,再求得齐次线性方程组0)(=-A E i λ(1-3)的一个基础解系j ik i i ξξξ,,,21 ,则有j ik i i ξξξ,,,21 即为对应于特征值i λ的特征空间的一个基,则有A 的属于i λ的全部特征向量为j j ik k i i c c c x ξξξ+++= 2211其中j k c c c ,,,21 是不全部为零的任意常数.2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定性质2.1 设n n ij a A ⨯=)(的全部特征值为n λλλ,,,21 ,则存在着||,21121A a n ni ii n ==+++∑=λλλλλλ在这里咱们可以利用性质1.3.1去简化特征值的问题的一些相关的运算. 性质2.2 如果λ是方阵A 的特征值,x 是相应的特征向量矩阵,然后任意正整数k ,有x 是k A 的特征值的特征向量且特征值为k λ.性质2.3 假使λ是可逆矩阵A 的一个特征值,若λλ1,0≠为1-A 的一个特征值,且λ||A 为*A 的一个特征值.性质2.4 如果有i x ),,2,1(m i =是方阵A 的相互存在差别的特征值m λλλ,,,21 的特征向量,那么存在着线性无关的向量组m x x x ,,,21 .并且,如果i λ的线性无关特征向量为i ik i i x x x ,,,21 ),,2,1(m i =,那么向量组,,,,11211i k x x x m mk m m k x x x x x x ,,,,,,,,21222212为线性无关.性质2.5 假使0λ是方阵A 的k 重特征值,那么0λ有不多过k 的个数的性无关的特征向量.定理2.1[6] 设存在着两个n 阶的方阵A 与B ,它们有n 个互不相同的特征值,并且它们两个的特征值是完全一样的,那么则矩阵A 与矩阵B 相似.证明 假使n λλλ，，， 21是A 的n 个互不相同的特征值,那么存在着可逆的 方阵1P ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n AP P λλλ 21111 又因为方阵B 的特征值也是n λλλ，，， 21,那么则会有2P 可逆矩阵,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n BP P λλλ 21212 所以212111BP P AP P --=.而()()1211121121112-----=P P A P P P AP P P ,即存在可逆矩阵P P P =-121,使得B AP P =-1,而矩阵A 与矩阵B 相似.定理2.2 存在着n 阶方阵A ,且它的每一个i S 重特征值i λ,能使得秩()i i S n A E -=-λ那么A 相似于对角矩阵,否则不相似.例2.1 证明矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122212221A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=30241112065B 相似.解 A 的特征多项式为()()()311122212221--+=------=-λλλλλλλA E所以A 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλA 的属于特征值3,1,1-的全部特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1112α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103α.若令(123,,)P ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300011001,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011AP P ,而B 的特征值为 ()()()311--==-λλλλB E所以B 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλB 的属于特征值3,1,1-的特征向量为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1222β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1433β 令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1114232321Q ,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011BQ Q .显然 BQ Q AP P 11--=,()()11111-----==QP B QP BQP PQ A 记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1011111231QP U ,有BU U A 1-=,所以A 与B 相似.例题2.2 证明下方矩阵是否相似于对角矩阵.(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=16-3-05-3-064A (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130013B解 （1）由于()()()212+-=λλλA f ,所以A 的特征值是11=λ（重数1S 2=),22-=λ(重数12=S ).又由()1231S n A E r -=-==-,()==--22A E r 113S n -=-可知矩阵A 相似于对角矩阵.（2）因为()()33-=λλB f ,所以B 的特征值是3=λ（重数3=S ）,又由于()03323=-=-≠==-S n r A E r ,故B 不相似于对角阵.2.2 用初等变换法判定引理2.1 如果)(λA 是数域P 上的一个λ方阵,那么有数域P 上的可逆λ方阵)(λV ,使得)(λA )(λV 为上三角方阵.引理2.2 如果A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么A 与B 相似的充要条件是数域P 上会有两个可逆的λ方阵)(),(λλV U ,能让A E VB E U -=-λλλλ)())(( （1-1）并且A 与B 相似时有B AT T =-1,使得)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值. 定理2.3[12] 假使A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么方阵A 与B 相似的充要条件是在数域P 上有可逆的λ矩阵)(),(),(21λλλV V U ,成立12()()()()()U E B V E A V λλλλλ-=- （1-2）有方阵A 与B 相似时有B AT T =-1,并且)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值. 证明 充分性：当存在)(),(),(21λλλV V U ,可逆,我们把（1-2）式两端同时都在右边乘上12)(-λV 有,)()())((121A E V V B E U -=--λλλλλ令121)()()(-=λλλV V V ,那么)(λV 可逆,且A E VB E U -=-λλλλ)())((,由引理2.2可知,A 与B 相似.必要性：可在（1-1）式中让E V V V ==)(),()(21λλλ那么可得（1-2）式.在A 与B 相似时,我们可以通过引理2.2得出B AT T =-1,那么)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值.定理2.4[6] 如果有两个n 阶矩阵A ,B 存在于数域P 上,则存在可逆的λ方阵)(),(),(),(2121λλλλV V U U 在数域P 上,他们是矩阵A 与B 相似的充分必要条件 可以使得：)())(()())((2211λλλλλλV A E U V B E U -=- （1-3）当方阵A 与B 相似时会有有B AT T =-1,同时有)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.证明 充分性：假使)(),(),()(2121λλλλV V U U 可逆,当我们把（1-3）式两端同时左乘上12)(-λU 得到)()()())(()(21112λλλλλλV A E V B E U U -=--令)()()(112λλλU U U -=则)(λU 可逆,并且有)()()())((21λλλλλV A E V B E U -=-由定理2.3得A 与B 相似.必要性: 可以在(1-2)式中让E U U U ==)(),()(21λλλ那么可得(1-3)式.在A 与B 相似时,通过引理2.2得B AT T =-1,那么)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.例题2.3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011121111,211111110B A .判断A 与B 两个方阵是否相似,并且当相似时求可逆矩阵P ,使得B AP P =-1.解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=--++-+++10011023133001101231330011123100*********112121111111223223)](23[2)]1(32[2)](31[)]2(31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-+-+-+1000010112212001111000010101110011110011010121001111)|(22)]1(12[2)](31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλE B E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+--+--+-−−−−→−--++-++-+10010011111012243423133100001111011122434133231000010110111224341332310000101101012243413323222223222232)]1(2[222232)]1(32[222232)]12(31[)]24(21[22λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以,A 与B 相似.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+-=000111122434)(222λλλλλλλU则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100111123000000244000000111)(2λλλU 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==011111101100111123000000244211111110000000111423212322100111123000000244000000111)(2A A A U P l 则 ⎢⎢⎢⎣⎡-011111101 ⎥⎥⎥⎦⎤100010001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--101011001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--110011001 ⎢⎢⎢⎣⎡→100010001⎥⎥⎥⎦⎤----110211111 故 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1102111111P 所以B AP P =-12.3 分块矩阵相似判定在上一节我们通过利用矩阵的特征值与特征向量定理研究了矩阵的相似,那么这一小节我们来了解矩阵中的分块矩阵是否相似,现有两个分块矩阵着⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00,在著名的Roth （罗斯）定理中表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似的一个充要条件是方阵方程C XB AX =- (1-1) 有解．定理2.5[10] 如果已知有A ,B 两个矩阵,并且有2A A =与B B =2,那么B AC +C C =则是分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似的充分必要条件.证明 必要性 已知分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00,要是它中的A 和B 两个方阵都幂等的,那么它也必然为幂等的方阵.所以如果⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似,那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0也是幂等方阵的,也就是20⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0 把两边矩阵分别展开得到C CB AC =+.充分性 已知A 和B 这两个幂等方阵,因此它们可以分解为11000,000--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q IQ Q B P IP P A (1-2) 把它们代入（1-1）式中,得知PCQ IQ PXQ PXQ IP =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡000000 (1-3)我们让⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321Y Y Y Y PXQ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321F F F F PCQ (1-4)通过（1-4）式可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321323121000000F F F F Y Y Y Y Y Y (1-5)那么01=F 和04=F 是方程有解的充要条件,我们通过（1-2）,（1-4）,则可明确的知道等价于0=ACB 和0)()(=--B I C A I n m所以这两个方程也等价于C CB AC =+.由此可知,在C CB AC =+条件下,方程（1-1）有解,所以两个分块方阵0A C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似,证明完毕. 例题2.4 设存在两矩阵C 和D ,并且D C ~其中B A ~,求证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A 00~00. 证 因为B A ~,且矩阵.~D C 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--C A Y X Y E E X C O A E X Y E 00000000000001111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-D B YCY AX X Y X 0000001又由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----Y E E X Y E E X E X Y E 0000000000001111111 故.00~00⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A第三章 矩阵相似的应用3.1 利用相似变换把方阵对角化定义3.1 相对应n 阶方阵A ,假使存在可逆矩阵P ,让B AP P =-1变为对角矩阵,那么我们就称矩阵A 可对角化，且可对角化为B . 定理3.1 如果n 阶矩阵A 可对角化,那么它对角矩阵相似. ⇔A 中存在着n 个线性无关的特征向量.推论3.1 如果n 阶矩阵A 存在n 个不同的特征值,那么矩阵A 与对角矩阵相似.例题3.1 利用相似变换将矩阵A 对角化..2-4242-2-22-1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A解λλλλ-------=-242422221E A()()0722=+--=λλ得.7,2321-===λλλ当221==λλ时,齐次线性方程组()20A E X -=的基础解系为121,0P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2201P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当37λ=-时,齐次线性方程组()70A E X +=的基础解系为3122P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭因为，02-10201122-≠所以321,,P P P 线性无关,即A 有3个线性无关的特征向量,所以,利用线性变换221102012P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,可将矩阵A 对角化为200020007⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭,即矩阵A 与矩阵Λ相似.3.2 矩阵相似性质的简单应用应用矩阵相似的简单性质我们可以在方阵乘法的运算中可以简化运算的过程,大量的节省时间,极大的方便了我们.例3.2 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1-1-2-020021A ,求证100A .解（1）先算出A 方阵特征值与特征向量.由)2)(1)(1(112020021)(-+-=+---=-=λλλλλλλA E A f A所以,A 的3个互异特征值为,2,1,1321==-=λλλ故A 可以对角化,对每个(),3,2,1=i i λ求得分别属于211-321===λλλ，，的特征向量为.35121-01100321⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα，，（2） 令=P 1(α,2α,,3511100210)3⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α 有.2000100011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-AP P （3） 因为11001100100100()010002P A P P AP --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭所以100110010011110001210030100010101100025002010113A P P -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10110113100100100100012111220002120020.501051120(12)033-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.3 矩阵相似在实际生活中的应用矩阵相似有许多相同的属性,如秩矩阵,行列式,微量（对角）,特征值,特征多项式,主要因素是相同的.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值.通过相似变换的性质特点,可以使复杂运算变成更加简单的求值计算.例 3.3 一实验生产线每年二月为熟练和非熟练工人的数量统计,然后把61熟练工人支持其他生产部门,招募新的非熟练工人完成的空缺.旧的和新的非熟练工人通过培训和时间,年终考核将有52成为熟练的工人.假使过了n 年在二月份的一次统计中熟练工人与非熟练工人在总人数中为百分之n x 与百分之n y ,我们把它写为向量.⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x（1）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x 的关系式并写成方阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x .⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n y x A （2）求证A 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11-1421ηη，这两个不相关的特征向量,然后在分别算出他们的特征值;解 （1）根据上述已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++n n n n n n n y x y y x x x 615361526511 化简得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++n n n n n n y x y y x x 531015210911对其用矩阵表示即为,531015210911⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n y x y x 于是 .5310152109⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A （2） 令，），（⎥⎦⎤⎢⎣⎡==111-421ηηP 则由05≠=P 知,21ηη，这两个特征向量线性无关.因.1411ηη=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A 所以这个特征向量1η属于矩阵A .并且相应的11=λ为特征值. 因22212121ηη=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--A 故2η为A 的特征向量,且相应的特征值.212=λ结论本文以矩阵及矩阵的性质和矩阵相似的一些相关的性质为主要理论依据,从矩阵和矩阵相似的相关性质与应用处着手,主要论述了矩阵相似的几个判别方法,并在第三章中将矩阵相似的一些应用展示给了大家,通过将矩阵和矩阵相似的一些相关理论进行整理分析，找出了它们之间的转化关系.同时,在研究过程中,培养了应用数学的意识和能力.运用矩阵相似的性质和判别法,解决了几类较为基本的矩阵相似的应用问题.参考文献[1] 张禾瑞,郝鈵新,张禾瑞郝鈵新编.高等代数[M].北京:高等代数出版社,2007:327-328.[2] 冯天祥,李世宏.矩阵的QR分解[J].西南民族学院学报,20:4(2001),418-421.[3] 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Linear Algebra［J］.USA:Create Space.2008,（124-205）.致谢四年的大学生活即将结束,回头望去,百感交集.四年里,陪伴我的是敬爱的老师、亲爱的同学,所以,我要感谢母校黑河学院,您是养育我的土壤;我要感谢我的老师,是你们让我有了实现自我的能力和勇气;我要感谢我的同学们,是你们给了我家一样的感觉.另外,我要感谢我的指导老师由金玲老师,由于她的悉心指导,使我能够圆满地完成论文的撰写.在这段时间里,我深深的体会到由金玲老师的耐心与细致，以及她严谨的治学态度,这一切都将成为我今后生活、工作的榜样.再次由衷的感谢我的指导老师,您辛苦了！。
实对称矩阵正交相似于对角矩阵的证明
为了证明实对称矩阵正交相似于对角矩阵，我们可以按照以下步骤进行推导：
第一步，我们首先需要了解实对称矩阵的定义，即实对称矩阵A 的所有特征值都是实数，并且对于任意的实数x，都有Ax=xA。
第二步，我们设实对称矩阵A的n个特征值为λ1,λ2,...,λn，并且设P为可逆矩阵，使得P-1AP为对角矩阵。
第三步，我们设P-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)，根据对角矩阵的定义，我们可以得到方程组P-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)，即
AP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)。
第四步，我们根据矩阵乘法的性质，将AP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)两边同时转置，得到APT=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)T，即ATP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)。
第五步，由于实对称矩阵A的所有特征值都是实数，因此我们可以将diag(λ1,λ2,...,λn)替换为diag(λ1,λ2,...,λn)T，得到
ATP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)T，即ATPAP=diag(λ1,λ2,...,λn)。
第六步，我们根据对角矩阵的定义，可以发现ATPAP实际上是一个对角矩阵，因此我们证明了实对称矩阵A正交相似于对角矩阵
diag(λ1,λ2,...,λn)。
综上所述，我们证明了实对称矩阵正交相似于对角矩阵。
任意n阶矩阵与三角矩阵相似的证明
任意n阶矩阵与三角矩阵相似的证明【主题：任意n阶矩阵与三角矩阵相似的证明】引言：在线性代数中，相似矩阵是非常重要的概念之一。
相似矩阵之间的关系可以帮助我们简化矩阵的计算和理解线性变换。
本文将探讨任意n 阶矩阵与三角矩阵相似的证明，这个证明是线性代数中的一个重要命题。
1. 相似矩阵的定义与性质我们需要明确相似矩阵的定义。
若存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B满足A = PBP^(-1)，则称矩阵A与B相似。
相似矩阵有以下几个性质：1.1 性质1：相似关系是等价关系相似矩阵之间的关系满足自反性、对称性和传递性。
具体来说，任意矩阵A与自身相似，即A与A相似；如果矩阵A与B相似，则B与A相似；如果矩阵A与B相似，且矩阵B与C相似，则矩阵A与C 相似。
1.2 性质2：相似关系保持矩阵的特征值相似矩阵具有相同的特征值。
如果矩阵A与B相似，则它们具有相同的特征值。
1.3 性质3：相似关系保持矩阵的迹相似矩阵具有相同的迹。
迹是矩阵的主对角线上的元素之和。
如果矩阵A与B相似，则它们的迹相等。
2. 三角矩阵与相似性接下来，我们将证明任意n阶矩阵与三角矩阵相似。
我们首先需要了解三角矩阵的定义和性质。
2.1 什么是三角矩阵？一个n阶矩阵A称为上三角矩阵，如果它的下三角（即矩阵下对角线上的元素）全为0。
类似地，一个n阶矩阵B称为下三角矩阵，如果它的上三角全为0。
2.2 三角矩阵的相似性证明对于任意n阶矩阵A，我们可以通过相似变换将其转化为一个上三角矩阵。
证明过程如下：步骤1：寻找A的特征值与特征向量特征值方程为|A-λI| = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
通过求解特征值方程，我们可以得到A的特征值λ1, λ2, ..., λn。
步骤2：求解A的特征向量对于每个特征值λi，我们可以通过求解方程组(A-λiI)x = 0来获得相应的特征向量。
步骤3：构建相似变换矩阵将A的特征向量按列组成一个矩阵P，其中每一列对应一个特征向量。
怎么证明两个矩阵合同
怎么证明两个矩阵合同
在线性代数中，矩阵合同是一个重要的概念。
两个矩阵合同意味着它们在某种意义上是相似的，因此证明两个矩阵合同是一个有趣且具有挑战性的问题。
在本文中，我们将讨论如何证明两个矩阵合同的方法。
首先，让我们回顾一下矩阵合同的定义。
给定两个n×n的矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A = P^TBP，那么我们称A和B是合同的。
换句话说，两个矩阵合同意味着它们可以通过一个相似变换相互转换。
要证明两个矩阵合同，我们可以采用以下方法之一：
1. 计算特征值和特征向量，首先，我们可以计算矩阵A和B的特征值和特征向量。
如果它们的特征值相同，并且对应的特征向量可以通过相似变换相互转换，那么这两个矩阵是合同的。
2. 使用矩阵的秩，我们可以计算矩阵A和B的秩。
如果它们的秩相同，并且它们的秩等于它们的行数或列数，那么这两个矩阵是合同的。
3. 利用相似矩阵的性质，我们可以利用相似矩阵的性质来证明两个矩阵合同。
例如，我们可以证明如果A和B是合同的，那么它们的转置矩阵也是合同的。
无论采用哪种方法，证明两个矩阵合同都需要一定的数学技巧和推理能力。
通过深入研究矩阵合同的定义和性质，我们可以更好地理解线性代数中的重要概念，并且在实际问题中应用它们。
总之，证明两个矩阵合同是一个重要且有挑战性的问题，需要我们充分理解矩阵的性质和相似变换的概念。
希望本文可以帮助读者更好地理解如何证明两个矩阵合同，并且在实际问题中应用这一概念。
线性代数 相似矩阵
方 法二： 因为A 的所有 征 特 值为
λ1 =1,λ2 = −1, λ3 = 2,故 A =1× (−1) × 2 = −2.
又 = A3 − 5A2 = A2 ( A − 5E),∴ B =| A|2 A − 5E , B 但 B = −288,∴ A − 5E = | B | | A|
λ − 3 −2 f (λ) = λE − A = −2 λ
−4 全部 特征值 .
−4 −2 = (λ − 8)(λ +1)2.
−2 λ − 3
第二 步，求出 特征多项 f (λ) 的 式 全部根即A , 的
令 f (λ) = 0,解 之得λ1 = 8,λ2 = λ3 = −1,求 A 的 全 部特征 . 值 A 第三 步：求出 的全 部特征向 量 当 1 = 8,求对应线 性方程组 λ1E − A)x = 0 ( λ 5x1 − 2x2 − 4x3 = 0 的 一组基础 解系。即 −2x1 + 8x2 − 2x3 = 0 −4x − 2x + 5x = 0 2 3 1 化简 求得此方 程组的一 组基础解 系
n
六、关于特征值的其它问题
1. 用特 征根 计算 方阵 A 的行 列式 A 例 设 A 是 阶矩 6. 3 阵， 它的 3 个特 征值 λ1 =1, 为 = −1, λ3 = 2,设 B = A3 − 5A2,求 B ; A − 5E λ2 解 利用A 的行 ： 列式 与特 值的 征 重要关 系 A = λ1λ2Lλn来计 A 。 算 令 f (x) = x3 − 5x2, 因 λ1,λ2, λ3是 A 的全 为 部特 征值 ；所 f (λi)(1 ≤ i ≤ 3)是 f ( A) = A3 − 5A2 的 以 全 部特 征值。 故
矩阵相似及其应用
就仅涉及上述性质的问题而言，相似的矩阵可以相互 替换，这就决定了相似概念在线性代数中的重要性。不 过，除了某些联系于Ｊｏｒｄａｎ标准形（包括对角标准形）的 问题之外，在高等代数课程中涉及相似性的问题不是很 多。
例１：证明：任何方阵Ａ与其转置方阵 相似。 证明：因为λＥ－Ａ与λＥ－ 互为转置矩阵，它们对应 ｋ阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的 各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故λ Ｅ－Ａ与λＥ－ 等价，从而Ａ与 相似。 例２：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。 证法一：设Ａ与Ｂ相似，即可存在可逆矩阵Ｑ，使Ｂ＝Ｑ－１ＡＱ， 又设Ａ与Ｂ的最小多项式分别为ｇ１（λ），ｇ２（λ），于是： ｇ１（Ｂ）＝ｇ２（Ｑ－１ＡＱ）＝Ｑ－１ｇ１（Ａ）Ｑ＝０ 但是，Ｂ的最小多项式整除任何以Ｂ为根的多项式，故 ｇ１（λ）＝ｇ２（λ）。 证法二：设Ａ与Ｂ相似，则λ Ｅ－Ａ和λ Ｅ－Ｂ等价，从而有 完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项 式，故Ａ与Ｂ有相同的最小的多项式。 例３：对于ｎ级方阵，如果使Ａｍ＝０成立最小整数为ｍ，则 称Ａ是ｍ次幂零矩阵。证明所有ｎ级ｎ－１次幂零矩阵彼此相 似。 证明：假如ｎ级方阵Ａ满足Ａｎ－１＝０，Ａｋ＝０（１≦ｋ≦ｎ－２）， 则Ａ的最小多项式为ｍＡ（λ）＝λｎ－１，从而Ａ的第ｎ个不变因子 ｄｎ（λ）＝λｎ－１，由于ｄ１（λ）ｄ２（λ）……ｄｎ（λ）＝ 是ｎ次多项式，且ｄｉ（λ）／ｄｉ＋１（λ）（ｉ＝１，２，……，ｎ－ １），所以ｄ１（λ ） ＝……ｄｎ－２（λ ）λ ＝１，ｄｎ－１（λ ）＝λ ， ｄｎ（λ）＝λｎ－１，故所有ｎ级ｎ－１次幂零矩阵彼此相似。 ４ 相似矩阵与矩阵的对角化 矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色， 因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独 立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。
山东大学管理学院线性代数42相似矩阵
2
J2
31
3 1
3
结束
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加强做责任心，责任到人，责任到位 才是长 久的发 展。20.11.620.11.6Fri day, November 06, 2020
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弄虚作假要不得，踏实肯干第一名。07:47:1507:47:1507:4711/6/2020 7:47:15 AM
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安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.11.607:47:1507:47Nov-206-N ov-20
P－1AP＝Λ
可得 AP＝PΛ
设
P＝(X1X2…Xn) 其中,Xi为P的第i列,
由于P可逆，显然X1X2…Xn线性无关。
下证Xi为特征向量
再设
1
2
n
1
P X1, X2 ,
,
X
n
2
1
X1,
2
X
2
,
n
, n X n
又 AP = A (X1X2…Xn) = （AX1 AX2 …AXn） 由AP = PΛ得：（AX1 AX2 …AXn）=（λ1X1 λ2X2 …λnXn） 进而可得：AXi = λiXi ( i = 1,2, …, n) 所以X1X2…Xn是A的n个线性无关的特征向量。
所以 x、y 应满足的条件为 :
例 5 设 3 阶矩阵 A 的特征值为
对应的特征向量依次为
求 A 和 A100 .
解 因 3 阶方阵 A 的三个特征值互不相
等, 所以 A 可对角化, 即存在可逆方阵 P , 使
则
A = PP-1.
令
单击这里开始求逆
则
且
P-1AP =
所以
相似矩阵对角线之和相等证明
相似矩阵对角线之和相等证明1. 引言大家好，今天咱们聊聊一个看似复杂，但其实挺有趣的数学话题——相似矩阵的对角线之和相等。
听起来有点高大上对吧？不过别担心，我会尽量把它说得简单明了，咱们就像在喝茶聊天一样轻松！首先，什么是相似矩阵呢？简单来说，两个矩阵如果可以通过某种方式“互换”，那它们就是相似的。
想象一下，你和朋友们在玩换衣服的游戏，虽然衣服不一样，但大家的风格依然可以互相对应。
1.1 相似矩阵的定义那么，相似矩阵到底是什么呢？实际上，假设你有一个矩阵A，然后找到一个可逆的矩阵P，满足P的逆矩阵乘上A再乘上P，得到了另一个矩阵B，那就可以说A和B 是相似的。
是不是很酷？就像你把一件T恤换成了衬衫，但本质上你依然是你！这就是相似的力量。
1.2 对角线之和说到对角线之和，咱们可以把它看成是一个矩阵中，左上到右下这条线上的数加起来的结果。
这就像在你的口袋里摸索找零钱一样，看看能凑出多少。
咱们要证明的是，如果两个矩阵相似，它们的对角线之和也一定相等。
这个结论听起来有点让人惊讶，但其实逻辑上是自然而然的。
2. 证明过程现在，让我们进入证明的环节！先来看看矩阵A和B。
如果矩阵A是一个n x n的矩阵，它的对角线之和就是A的对角线元素相加的结果。
可以写成这样的公式：tr(A) = a_{11 + a_{22 + ldots + a_{nn 。
这里的tr(A)代表矩阵A的迹，也就是对角线之和。
2.1 相似关系的代入既然A和B是相似的，根据定义，我们可以写出这个等式：B = P^{1AP这就像你和你的朋友们在不同场合下打扮一样，各自的“外形”虽然变了，但内在的风格其实没变。
接下来，我们要计算B的对角线之和tr(B)。
利用迹的性质，可以得出：tr(B) = tr(P^{1AP)这里你可能会想，P的逆矩阵难道会影响对角线的和吗？这正是我们要探讨的关键。
2.2 迹的性质而数学的美妙之处就在于，矩阵的迹具有这样的性质：对任何可逆矩阵P，都有：tr(P^{1AP) = tr(A)这就好比说，尽管我们换了衣服，但内在的个性始终如一。
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证明矩阵相似的五种方法
矩阵是线性代数中重要的概念之一，相似矩阵则是矩阵理论中的一个重要概念。
相似矩阵是指两个矩阵之间可以通过一定的变换关系相互转化，具有相同的特征值和特征向量。
在实际应用中，相似矩阵具有很多重要的应用，如矩阵对角化、线性变换等。
本文将介绍证明矩阵相似的五种方法。
一、定义法
定义法是最基础的证明方法。
根据相似矩阵的定义，如果矩阵A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1。
证明矩阵A 和B相似，只需要找到一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1即可。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[5 6; 7 8]。
首先，求出矩阵A的特征值和特征向量，得到λ1=5，λ2=-1，v1=[2; 1]，v2=[-1; 3]。
由于矩阵A有两个不同的特征值，因此A可以对角化为A=PDP^-1，其中D是A的特征值构成的对角矩阵，P是由A的特征向量组成的矩阵。
令P=[v1 v2]，则P^-1=[1/5 -1/15; -2/5 1/15]。
将A和P代入A=PDP^-1中，得到B=P^-1AP=D=[5 0; 0 -1]。
因此，A和B相似。
二、特征值法
特征值法是证明矩阵相似的另一种常用方法。
根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则它们有相同的特征值。
因此，可以通过
求解两个矩阵的特征值来证明它们相似。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。
求解矩阵A和B的特征值，得到A的特征值为λ1=5，λ2=-1，B的特征值为λ1'=5，λ2'=-1。
由于A和B具有相同的特征值，因此它们相似。
三、特征向量法
特征向量法是证明矩阵相似的另一种常用方法。
根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则它们有相同的特征向量。
因此，可以通过求解两个矩阵的特征向量来证明它们相似。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。
求解矩阵A和B的特征向量，得到A的特征向量为v1=[2; 1]，v2=[-1; 3]，B的特征向量为v1'=[1; 2]，v2'=[-2; 1]。
由于A和B具有相同的特征向量，因此它们相似。
四、可逆矩阵法
可逆矩阵法是证明矩阵相似的另一种常用方法。
根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1。
因此，可以通过构造一个可逆矩阵P来证明两个矩阵相似。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。
构造一个可逆矩阵P=[1/2 -1/2; 1 1]，则P^-1=[1/2 1/2; -
1/2 1/2]。
将A和P代入A=PBP^-1中，得到B=P^-1AP=[2 1; 4
3]。
因此，A和B相似。
五、相似矩阵的性质法
相似矩阵具有一些特殊的性质，可以通过这些性质来证明矩阵相似。
例如，相似矩阵具有相同的迹、行列式、秩等性质。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。
计算矩阵A和B的迹、行列式和秩，得到tr(A)=5，tr(B)=5，det(A)=-2，det(B)=-2，rank(A)=2，rank(B)=2。
由于A和B具有相同的迹、行列式和秩，因此它们相似。
总结
本文介绍了证明矩阵相似的五种方法，包括定义法、特征值法、特征向量法、可逆矩阵法和相似矩阵的性质法。
在实际应用中，不同的证明方法可以互相补充，选择合适的方法可以更加方便地证明矩阵相似。