初二讲义：勾股定理

初二数学讲义
勾股定理
一．知识归纳
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：
方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2
ab b a c ⨯+-=，化简可证． （方法一）（方法二）（方法三）a b c
c
b a E D
C B A
方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422
S ab c ab c =⨯+=+
大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以
A B
方法三：，2112S 222
ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
5.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：
221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 例题解析
题型一：直接考查勾股定理
例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．
⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长
分析：直接应用勾股定理222a b c +=
考点一、已知两边求第三边
例．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．
练习一
1．已知直角三角形的两边长为
3、2，则另一条边长________________．
2.（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°， 90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段 楼梯所铺地毯的长度应为 ．
3．在数轴上作出表示10的点．
4．三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为
⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜B C
A 30
C
B A D
E F 边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解
例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长 例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
考点二、利用列方程求线段的长
例．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？ 练习二 如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
m
题型四：与展开图有关的计算
例4、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm
题型五：勾股定理的实际应用 用勾股定理求两点之间的距离问题
例、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°
A D
E B C
A B C D E 第7题
F E D C
B A 第9题 方向走了
到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地C
点。

（1）求A 、C 两点之间的距离。

（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向。

练习.如图8，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =300，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
勾股定理提高训练（一）
1、在Rt △ABC 中,若直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为
_____________．
2、已知直角三角形的两边长为
3、2，则另一条边长是________________．
3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为( ).
A ．4cm
B ．4cm 或cm 34
C ．cm 34
D ．不存在
4、在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
5、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
6、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”， 在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路
（假设2步为1米），却踩伤了花草． 7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是_____________. 8、把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．
9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与 “路”4m
3m
第6题图8
B A 6cm 3cm 1cm 第10题
A 点重合，则E
B 的长是（ ）．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．5
10、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．
①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，
那么所用细线最短需要__________cm ；
②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ，
那么所用细线最短需要__________cm ．
11、在数轴上作出表示10的点． 12、如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校 A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．
13、如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面
上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .
B A C
D .
第12题图。