2019专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行(提高)含答案

专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行

【学习目标】

1. 知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题；

2. 过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法；

3. 情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力.

【要点梳理】 要点一：直线的方向向量和平面的法向量 1. 直线的方向向量：

若A 、B 是直线l 上的任意两点，则为直线l 的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.

要点诠释：

（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量. （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算.

2. 平面的法向量定义：

已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量.

要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量. 已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 3. 平面的法向量确定通常有两种方法：

（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i ）设出平面的法向量为n =（x y z ，，）；

（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a 1，b 1，c 1），b=（a 2，b 2，c 2）；

（iii ）根据法向量的定义建立关于x y z ，，的方程.

AB AB αl α⊥l a α⊥a a

α0

n a n b ⋅=⎧⎨

⋅=⎩

（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解

中取一个最简单的作为平面的法向量．

要点二：用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行. （1）线线平行 向量判定方法：

设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即. （2）线面平行

线面平行的判定方法一般有两种：

①判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. ②向量判定：

方法一：设直线的方向向量是a ，平面的法向量是n ，则要证明，只需证明⊥a n ，即0=⋅a n . 方法二：根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.

方法三：根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.

（3）面面平行

①判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行. ②向量判定：

方法一：由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可. 方法二：若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明.

1l 2l a b 12//l l //a b ()k k =∈R a b l α//l

ααβu v //αβ//u v

要点三：用向量方法判定空间的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直. （1）线线垂直

向量判定方法：设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即. （2）线面垂直

①判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. ②向量判定

方法一：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明. 方法二：根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.

（3）面面垂直

①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ②向量判定：证明两个平面的法向量互相垂直.

1l 2l a b 12l l ⊥⊥a b 0⋅=a b l a αu l α⊥//a

u

【典型例题】

类型一：求平面的法向量

例1． 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在BC 、1DD 上是否存在点E F 、，使成为平面ABF 的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点E F 、满足的条件；若不存在，请说明理由． 举一反三：

【变式1】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，AB =2，点E 为AB 的中点，求平面1CD E 的一个法向量.

【变式2】已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA AD =. 求证：

MN 是平面PDC 的法向量.

类型二：利用向量研究平行问题

例2. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1C C 、11B C 的中点．求证：MN ∥平面

1A BD ．

【思路点拨】这是证明线面平行问题，可以利用三种方法证明：一是证明与平面A 1BD 的法向量垂直；二是在平面A 1BD 内找一向量与共线；三是证明可以利用平面A 1BD 中的两不共线向量线性表示．

举一反三：

【变式】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，

，为的中点，为的中点，求证：直线平面.

1B

E MN MN

MN O ABCD -ABCD OA ⊥ABCD 2OA =22AD AB ==M OA N BC MN ‖OCD