2019专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行(提高)含答案
【精品】高中必修二数学 空间向量在立体几何中的应用一——用向量讨论垂直与平行 讲义 +练习题 第3讲
1. 知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题；2. 过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法；3. 情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力.【要点梳理】 要点一：直线的方向向量和平面的法向量 1. 直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.要点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量.（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算. 2. 平面的法向量定义：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量.要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量. 已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 3. 平面的法向量确定通常有两种方法：学生/课程 年级 高一年级 学科 授课教师江老师日期8.11时段核心内容空间向量在立体几何中的应用一——用向量讨论垂直与平行（第3讲）（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为n =（x y z ，，）；（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a 1，b 1，c 1），b=（a 2，b 2，c 2）；（iii ）根据法向量的定义建立关于x y z ，，的方程00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩.（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．要点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行. （1）线线平行 向量判定方法：设直线1l ，2l 的方向向量分别是a ，b ，则要证明12//l l ，只需证明//a b ，即()k k =∈R a b . （2）线面平行线面平行的判定方法一般有两种：①判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. ②向量判定：方法一：设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明//l α，只需证明⊥a n ，即0=⋅a n .方法二：根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.方法三：根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.（3）面面平行①判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行. ②向量判定：方法一：由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.方法二：若能求出平面α，β的法向量u ，v ，则要证明//αβ，只需证明//u v .要点三：用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直. （1）线线垂直向量判定方法：设直线1l ，2l 的方向向量分别为a ，b ，则要证明12l l ⊥，只需证明⊥a b ，即0⋅=a b . （2）线面垂直①判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.②向量判定方法一：设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明//a u . 方法二：根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.（3）面面垂直①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ②向量判定：证明两个平面的法向量互相垂直.【典型例题】类型一：求平面的法向量例1． 已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，在BC 、1DD 上是否存在点E F 、，使1B E 成为平面ABF 的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点E F 、满足的条件；若不存在，请说明理由．【思路点拨】由于本题所研究的问题是在正方体这样特殊的几何体中，所以可以用坐标向量求解．【总结升华】求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x ，y ，z ），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x 、y 、. 所满足的两个方程，再令x 为某个特殊值，便可得出y 、z 的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x 、y 、z 的值，但在特殊条件下便可求出．举一反三：【变式1】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，AB =2，点E 为AB 的中点，求平面1CD E 的一个法向量.【变式2】已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA AD =. 求证：MN 是平面PDC 的法向量.类型二：利用向量研究平行问题例2. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 分别是1C C 、11B C 的中点．求证：MN ∥平面1A BD ．【思路点拨】这是证明线面平行问题，可以利用三种方法证明：一是证明MN 与平面A 1BD 的法向量垂直；二是在平面A 1BD 内找一向量与MN 共线；三是证明MN 可以利用平面A 1BD 中的两不共线向量线性表示．【总结升华】要用向量方法证明直线与平面平行，可以用共面定理来证明，即证明直线的方向向量可以用平面内两个向量线性表示；也可证明该直线的方向向量与平面内某直线平行，此时注意说明直线在平面内．本例解法一是建立坐标系，通过坐标运算证明结论，解法二和解法三没有建系，直接通过向量的分解等运算进行证明，当然，在解法二和解法三中也可通过建立坐标系，利用坐标运算来证明．【变式】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为矩形，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，22AD AB ==，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，求证：直线MN ‖平面OCD .例3. 正方体1111ABCD A B C D -的边长为4，M 、N 、E 、F 分别是棱11A D 、11A B 、11D C 、11B C 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【思路点拨】画出图形，建立适当的空间直角坐标系，写出各点坐标，将面面平行问题转化为向量问题进行解决.本题显然MN EF î，AN DE î，从这里入手较简单.【总结升华】本题中证明方法并不唯一，除了利用面面平行的判定定理外，还可以采用向量法，即：要证两个面α、β平行，只需求出平面α、β的法向量u ，v ，再证出//u v 即可.【变式】如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点.求证：平面EGF∥平面ABD.类型三：利用向量研究垂直问题-中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且例4. 已知在四棱锥P ABCD==，点E，F分别是AB与PD的中点.2PA AB求证：⊥；（1）PC AF（2）AF⊥平面PDC；（3）PD⊥平面AEF.【总结升华】要证明线线垂直，只需要证明这两条直线的方向向量垂直即可；要证明线面垂直，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量平行.举一反三：【变式】在正方体1111—ABCD A B C D 中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：1B O ⊥平面PAC .【答案】如图，建立空间直角坐标系，例5. 在正方体1111—ABCD A B C D 中，E 是棱BC 的中点，试在棱1CC 上求一点P ，使得平面11A B P ⊥平面1C DE ．【思路点拨】 若要在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，需建立恰当的空间直角坐标系，并设出点P 的坐标，求出平面A 1B 1P 与平面CDE 的法向量，建立方程求出点P 的坐标，确定点P 的位置．【总结升华】 要用向量方法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再检验它们的数量积是否为零即可．但在求这两个平面的法向量时应小心谨慎，只要一个求错，就会得出错误的结论． 举一反三：【变式】在正三棱锥P ABC -中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E 、F 分别为BC 、PB 上的点，且12BE EC PF FB ==∶∶∶. 求证：平面GEF ⊥平面PBC ．。
浅谈向量在立体几何中的应用
浅谈向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中是一个重要而有效的应用。
在三维几何中，向量是一种抽象
的概念，表示两个点之间的方向与距离；它可以根据加减乘除等四则运算计算出来，从而解决复杂的几何问题。
首先，向量在立体几何中用于表示Google网页上平面上直线、弧和曲线等位
置和方向，可以将它们抽象为向量，然后依据向量的特征完成平面的几何操作。
其次，向量可以用于表示Google网页上立体几何的结构，包括垂足、中线、法向量等。
例如，在研究几何图形的投影及其关系时，可以借助向量表示平面和空间图形之间的关系，从而实现立体几何的计算。
此外，在三维几何中，向量可以用于表示几何图形的平移旋转及其变换。
可以
借助向量的加减乘除等四则运算，实现对三维几何图形的变换，比如旋转、缩放等，从而满足实际应用中的要求。
综上所述，向量在立体几何中的应用十分广泛，不仅在表示平面、立体几何结
构中具有重要作用，而且还可以应用于立体几何图形变换中，从而实现几何模型变形和变换，解决实际工程问题。
空间向量在立体几何中的应用
∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角， ∴∠PAD＝60°. 在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3. ∴P(0，0，2 3)．
O→P＝(0，
22，－2)，O→D＝(－
2， 2
22，－2)．
设平面 OCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由 n·O→P＝0，n·O→D＝0，
得
22y－2z＝0，
－ 22x＋ 22y－2z＝0.
取 z＝ 2，得 n＝(0，4， 2)．
∵M→N·n＝(1－ 42)×0＋ 42×4＋(－1)× 2＝0，∴M→N⊥n.
解 作AP⊥CD于点P,分别以AB,AP,AO所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系A－xyz,如图所示,
则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0， 22，0)，D(－ 22， 22，0)，
O(0，0，2)，M(0，0，1)，N， 42，－1)，
A→M·n＝0.
a2y＋ 2az＝0，
令 y＝2，则 z＝－ 22，x＝0.
∴n＝(0，2，－ 22)．
又B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)，
∴cos〈B→C1，n〉＝B→→C1·n
|BC1||n|
＝
－a－a 3a×
9＝－29 2
6.
设 BC1 与平面 AMC1 所成的角为 θ，
则 sin θ＝|cos〈B→C1，n〉|＝296.
题型三 二面角的求法
例3 12分如图所示,正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中 点,求二面角AA1DB的余弦值．
空间向量在立体几何中的应用和习题含答案
空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴//，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明． 例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行． 解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，=，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aa a a AC =-= 23cos 111==∴AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a aa C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a aa AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A－PB －C 的平面角的余弦值．解法二图解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA∴⋅=>=<33,cos 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．练习一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)θ ＞ϕ，m ＞n (B)θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n(D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______． 7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．4题图 7题图 9题图 8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值． 10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．练习答案一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．548．42三、解答题：9题图 10题图 11题图9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅A A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==4214||||),cos(111C A C A A n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421( 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量． 设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55。
23知识讲解 空间向量在立体几何中的应用一——用向量讨论垂直与平行(基础)
空间向量在立体几何中的应用一——用向量讨论垂直与平行【学习目标】1. 知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题；2. 过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法；3. 情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力.【要点梳理】 要点一：直线的方向向量和平面的法向量 1. 直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.要点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量.（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算. 2. 平面的法向量定义：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量.要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量. 已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 3. 平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为n =()x y z ，，；（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标()()111222a a b c b a b c ==，，，，，；（iii ）根据法向量的定义建立关于x y z ，，的方程0n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩.（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．要点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行. （1）线线平行 向量判定方法：设直线1l ，2l 的方向向量分别是a b ，，则要证明12//l l ，只需证明a b î，即()k k =∈R a b .（2）线面平行线面平行的判定方法一般有两种：①判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. ②向量判定：方法一：设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明//l α，只需证明⊥a n ，即=0⋅a n .方法二：根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.方法三：根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.（3）面面平行①判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行.②向量判定：方法一：由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.方法二：若能求出平面α，β的法向量u ，v ，则要证明//αβ，只需证明//u v .要点三：用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直. （1）线线垂直向量判定方法：设直线1l ，2l 的方向向量分别为a ，b ，则要证明12l l ⊥，只需证明⊥a b ，即0⋅=a b . （2）线面垂直①判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.②向量判定方法一：设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明//a u .方法二：根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.（3）面面垂直①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.②向量判定：证明两个平面的法向量互相垂直.【典型例题】类型一：求平面的法向量例1. 已知点(1,0,1)A -，(3,2,0)B ，(5,5,2)C ，求平面ABC 的一个法向量. 【思路点拨】利用待定系数法，列方程组求面ABC 的法向量. 【解析】(2,2,1)AB =，(4,5,3)AC =设面ABC 的法向量(,,)n x y z =，则n ⊥AB 且n ⊥AC ， 即00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2204530x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解得2,,x z y z =⎧⎨=-⎩，令1x =，则(1,2,2)n =-∴向量(1,2,2)n =-为平面ABC 的一个法向量.【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法. 由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标. 平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量.举一反三：【变式1】在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，如图建立空间直角坐标系，则平面1AB C 的一个法向量为（ ）A ．（1，0，1）B ．（1，―1，0）C ．（1，1，―1）D ．（1，1，―2） 【答案】C分别写出AC 、1AB 的坐标，去验证四个向量中的哪个向量与AC 、1AB 均垂直即可. 【变式2】如图，在长方体1111—ABCD A B C D 中，11AB AA ==，2AB =，点E 为AB 的中点，求平面1CD E 的一个法向量.【答案】如图，建立空间直角坐标系D xyz -，则A （1，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），D 1（0，0，1）， 所以E （1，1，0）所以(1,1,0)CE =-，1(0,2,1)CD =-. 设平面CD 1E 的法向量n =（x ，y ，z ），则：0CE ⋅=n ，10CD ⋅=n .所以020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，所以2x y z y =⎧⎨=⎩.令y=1，则x=1，z=2.所以平面CD 1E 的一个法向量为（1，1，2）.类型二：利用向量研究平行问题例2、如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为矩形，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，22AD AB ==，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，求证：直线MN ‖平面OCD .【思路点拨】证明直线MN 的方向向量和平面OCD 的法向量垂直.【解析】如图，分别以AB ，AD ，AO 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，NA BC DOM则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)M ，(1,1,0)N ，(0,0,2)O ， ∴(1,1,1)MN =-，(1,0,0)DC =，(0,2,2)DO =- 法一：∵12MN DC DO =-，∴MN DC DO 、、共面 又MN ⊂/平面OCD ，DC ⊂平面OCD ，DO ⊂平面OCD ，DC DO=DMN ∴‖平面OCD法二：设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =，则n DO n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即 2200y z x -+=⎧⎨=⎩，取1z =，得(0,1,1)n = (1,1,1)(0,1,1)0MN n ∴=-=，又MN ⊂/平面OCD ，MN ∴‖平面OCD .【总结升华】立体几何中的证明线面平行（//l α），一般先求出平面α的法向量是u ，再证明⊥l u ，即0⋅=l u .举一反三：【变式】在棱长为a 的正方体1111—ABCD A B C D 中，M N 、分别为1A B 和AC 上的点，123A M AN a ==. 求证：MN ∥平面11BB C C .【答案】如图，建立空间直角坐标系， NABCDOM y xz则A 1（a ，a ，0），B （a ，0，a ），C （0，0，a ），A （a ，a ，a ），则21(,,)33M a a a ，22(,,)33N a a a ， 所以2(,0,)33a MN a =-.而平面BB 1C 1C 的一个法向量为(0,1,0)=n . 所以0MN ⋅=n ，所以MN ⊥n . 所以MN ∥平面BB 1C 1C.例3．已知棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，E F M 、、分别是11A C 、1A D 和1B A 上任一点，求证：平面1A EF ∥平面1B MC ．【解析】如图建立空间直角坐标系，则11C A ＝（－1，1，0），C B 1＝（－1，0，－1） D A 1＝（1，0，1）， B 1＝（0，－1，－1）设111C A A λ=，A A 11μ=，B B 11ν=（λ、μ、νR ∈，且均不为0） 设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，由 011=⋅A n 可得 0111=⋅C A n λ 即 0111=⋅C A n011=⋅F A n 011=⋅D A n μ 011=⋅D A n解得：1n ＝（1，1，－1）由 012=⋅M B n 可得 012=⋅A B n ν 即 012=⋅A B n012=⋅B n 012=⋅B n 012=⋅B n解得2n ＝（－1，1，－1），所以1n ＝－2n ， 1n ∥2n ， 所以平面A 1EF ∥平面B 1MC ．【总结升华】证两个面α、β平行，只需求出平面α、β的法向量u ，v ，再证出//u v 即可.举一反三： 【变式】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ABC =90°，BC =2，CC 1=4，点E 在线段BB 1上，且EB 1=1，D F G 、、分别为11111CC C B C A 、、的中点. 求证：平面EGF ∥平面ABD .【答案】如图所示，由条件，知BA ，BC ，BB 1两两互相垂直，以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标.由条件知B （0，0，0）、D （0，2，2），B 1（0，0，4），设BA=a ， 则A （a ，0，0）.所以(,0,0)BA a =，(0,2,2)BD =，1(0,2,2)B D =-.10B D BA ⋅=，10440B D BD ⋅=+-=.所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD. 因此B 1D ⊥平面ABD （1）由E 、F 、G 的定义，知E （0，0，3）、(,1,4)2aG 、F （0，1，4）. 所以(,1,1)2a EG =，(0,1,1)EF =，10220B D EG ⋅=+-=，10220B D EF ⋅=+-=.所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF. 所以B 1D ⊥平面EFG. 结合（1），可知平面EGF ∥平面ABD.类型三：利用向量研究垂直问题【高清课堂：空间向量的直角坐标运算 399111例4】例4. 已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，点E ，F 分别是AB 与PD 的中点. 求证：（1）PC AF ⊥；（2）AF ⊥平面PDC ； （3）PD ⊥平面AEF .【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将几何证明问题转化为向量的代数计算问题.【解析】如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()()()000200020002220100011A B D P C E F ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，（1）()()2,2,20,1,1PC AF =-=，， 则0PC AF ⋅=，故PC AF ⊥.（2）设平面PDC 的法向量为()1x y z =n ，，，则11220220PD y z PC 2x+y z .⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，取()1011=n ，， 由1AF=n ，可知1AF n î， 所以AF ⊥平面PDC .（3）设平面AEF 的法向量为()2x y z =n ，，，则1100AE x AF y+z .⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，取()1011=-n ，， 由()022PD=，，知12PD =n ， 所以1PD n î，即PD ⊥平面AEF .【总结升华】要证明线线垂直，只需要证明这两条直线的方向向量平行即可； 要证明线面垂直，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量平行.举一反三：【变式1】 如右图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD PD DC =，，E 是PC 的中点，作EF 上PB 交PB 于F ，证明： （1）直线PA ∥平面EDB ；（2）直线PB ⊥平面EFD ．【解析】 以DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设PD=DC=2，则得下列各点的坐标D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），P （0，0，2）．（1）∵E 是PC 的中点，∴E （0，1，1），- ∵(2,0,2)AP =-，(0,1,1)DE =，(2,1,1)BE =--，∴AP DE BE =+.又PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB ． （2）∵(2,2,2)BP =--，又(2,2,2)(0,1,1)0BP DE ⋅=--⋅=， ∴BP DE ⊥，∴BP ⊥DE ．又BP ⊥EF ，且EF ∩DE=E ．所以直线PB ⊥平面EFD ．【变式2】在正方体1111—ABCD A B C D 中，E F 、分别为1BB DC 、的中点，求证：1D F ⊥平面ADE .【解析】如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设DA ＝i ，DC ＝j ，1DD ＝k ， 以i 、j 、k 的坐标向量建立空间直角坐标系D —xyz ， 则AD ＝（－１，0，０），F D 1＝(0，21，-1)，AD ·F D 1＝(-1，0，0)·(0，21，-1)＝0，∴AD ⊥D 1F. 又AE ＝(0，1，21)，F D 1＝(0，21，-1)，∴AE ·F D 1＝(0，1，21)·(0，21，-1)＝21-21＝0.∴AE ⊥D 1F ，又AE ∩AD ＝A ， ∴D 1F ⊥平面ADE.例5. 在正方体1111ABCD A B C D -中，AB =2，E F 、分别是1BB CD ，的中点. 求证：平面AED ⊥平面11A D F .【解析】如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(0，2，0)，A 1(0，0，2)，D 1(0，2，2)，E(2，0，1)，F(1，2，0) ∴(2,0,1)AE =，1(1,0,2)D F =-，11(0,2,0)A D =∴121001(2)0AE D F ⋅=⨯+⨯+⨯-=，11 112002100AE A D ⋅=⨯+⨯+⨯=∴1AE D F ⊥，11AE A D ⊥即1AE D F ⊥，11AE A D ⊥ 又∵1111D F A D D =，∴AE ⊥平面11A D F ，∵E A ⊂平面AED ，∴平面AED ⊥平面11A D F .【总结升华】（1）用向量法证明面面垂直，就是证两个面的法向量的数量积为0；设111(,,)x y z =a ，222(,,)x y z =b ，则1212120x x y y z z ⊥⇔++=a b .（2）建立恰当的直角坐标系可以简化向量法解决问题时的计算量.举一反三：【变式】平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,21a AD AF ==G 是EF 的中点，求证:平面AGC ⊥平面BGC ；【答案】如图，以A 为原点建立直角坐标系，则A （0，0，0），B （0，2a ，0），C （0，2a ，2a ），G （a ，a ，0），F （a ，0，0） (,,0),(0,2,2)AG a a AC a a ==，(,,0),(0,0,2)BG a a BC a =-=， 设平面AGC 的法向量为111(,,1)n x y =，1111111010(1,1,1)22010ax ay x AG n n ay a y AC n ⎧+==⋅=⎧⎧⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎩⎪⎩ 设平面BGC 的法向量为222(1,,)n y z =，2222222001(1,1,0)2010BG n a ay y n az z BC n ⎧⋅=-==⎧⎧⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨==-⋅=⎩⎩⎪⎩ ∴120n n ⋅= 即 12n n ⊥ ∴平面AGC ⊥平面BGC.。
立体几何利用空间向量讨论平行与垂直课件理
向量积（叉积）：两个向量的向量积 是一个新的向量，其方向垂直于原有 两个向量所构成的平面，大小等于两 个向量的模长与它们之间夹角的正弦 的乘积。即：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta \mathbf{n}$。向量积可用于判断三 个向量是否共面，若向量积为零向量 ，则三个向量共面。
学生们需要运用所学知识，计算向量的 线性组合，判断两直线的位置关系，并 清晰表述自己的解题思路。
实战演练2：找出与给定直线垂直的平面 方程。
疑难解答与讨论
疑难问题1：如何判断两个空间向量 是否共线？
疑难问题2：怎样运用向量的点积判 断两向量是否垂直？
解答此问题需引导学生理解向量共线 的定义，掌握共线定理，并能熟练运 用向量的线性运算性质进行判断。
空间向量
具有大小和方向，且可以自由平移的量，常用于表示空间中 的点、线、面等元素及其关系。
课程目标与重要性
课程目标
掌握利用空间向量判断线段、平面平行与垂直的方法，并能应用于解题。
重要性
通过空间向量来判断平行与垂直，不仅能提高解题效率，还有助于培养空间思 维和逻辑推理能力。
学习方法建议
01
02
03
解并掌握判断平行和垂直的方法。
空间向量工具
通过空间向量这一工具，课程详细阐述了 如何判断两直线、两平面或直线与平面之 间的平行与垂直关系。
实例解析
结合具体实例，课程详细展示了如何利用 空间向量来解决平行与垂直问题，提高了 学生的实战能力。
拓展学习资源推荐
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教科书与参考书
推荐阅读与课程内容紧密相关的教科书和参考 书，如《立体几何导论》等，帮助学生进一步巩 固基础知识。
高中数学空间向量在立体几何中的应用知识总结
空间向量在立体几何中的应用一、教学目标与要求：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理；4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用；二、基础知识回顾知识点1．基本向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．知识点2．空间位置关系的向量表示知识点3.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．知识点4．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n ·e ||n||e|.知识点5．求二面角的大小(1)如图①，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．知识点6．点到平面的距离的向量求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝|AB ·n ||n |.三、例题讲解例1如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .解：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ， 则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )． ∵F 为CD 的中点， ∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)证明：AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)证明：∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )， ∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0， ∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩DE ＝D ， ∴AF ⊥平面CDE ， 即AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ， ∴平面BCD ⊥平面CDE .例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.(1)求二面角C －DE －C 1的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值．[自主解析] (1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D (0,3,0)、D 1(0,3,2)、E (3,0,0)、F (4,1,0)、C 1(4,3,2)，于是DE ＝(3，－3,0)，EC 1＝(1,3,2)，FD 1＝(－4,2,2)． 设n ＝(x ，y,2)为平面C 1DE 的法向量， 则有⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥DE n ⊥1EC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫3x －3y ＝0x ＋3y ＋2×2＝0⇒x ＝y ＝－1， ∴n ＝(－1，－1,2)，∵向量1AA ＝(0,0,2)与平面CDE 垂直，∴n 与AA 1所成的角θ为二面角C －DE －C 1的平面角或其补角． ∵cos θ＝n ·1AA |n ||1AA |＝－1×0－1×0＋2×21＋1＋4×0＋0＋4＝63，由图知二面角C －DE －C 1的平面角为锐角， ∴tan θ＝22. (2)设EC 1与FD 1所成的角为β，则cos β＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1EC ·1FD |1EC ||1FD | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×(－4)＋3×2＋2×212＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝2114. 例3在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示，求点B 到平面CMN 的距离．[自主解答] 取AC 的中点O ，连接OS 、OB . ∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO .∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，又∵BO ⊂平面ABC ，∴SO ⊥BO . 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ， 则B (0,23，0)，C (－2,0,0)，S (0,0,22)， M (1，3，0)，N (0，3，2)．∴CM ＝(3，3，0)，MN ＝(－1,0，2)，MB ＝(－1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧CM ·n ＝3x ＋3y ＝0，MN ·n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1)． ∴点B 到平面CMN 的距离 d ＝|n ·MB ||n |＝423.例4 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2.求点B 到平面EFG 的距离．解：如图所示，以C 为原点，CB 、CD 、CG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .由题意知B (4,0,0)，E (4,2,0)，F (2,4,0)，G (0,0,2)，BE ＝(0,2,0)，GE ＝(4,2，－2)，EF ＝(－2,2,0)．设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·GE ＝0，n ·EF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝3， ∴n ＝(1,1,3)．点B 到平面GEF 的距离为 d ＝|||BE |·cos 〈BE ，n 〉＝|BE ·n ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(0，2，0)·(1，1，3)11＝21111.归纳反思2种方法——用向量证平行与垂直的方法 (1)用向量证平行的方法①线线平行：证明两直线的方向向量共线．②线面平行：a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； b ．证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． ③面面平行：a.证明两平面的法向量为共线向量； b ．转化为线面平行、线线平行问题． (2)用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． ②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 3种角——利用向量法求三种角的问题在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角．(1)求两异面直线a 、b 的夹角θ，须求出它们的方向向量a ，b 的夹角，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.(2)求直线l 与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n 与直线l 的方向向量a 的夹角．则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|. (3)求二面角α-l -β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n 1，n 2所成的角，则θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．1个易错点——利用平面法向量求二面角的易错点利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点.四、典型练习1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形．且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为,PB PD 的中点．（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）若2PA AB ==，求CN 与平面PBD 所成角的正弦值．2．如图，三棱锥P ABC -的底面ABC 和侧面PAB 都是边长为4的等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABC ，点E 为线段PA 中点，点F 为AB 上的动点．（1）若平面CEF ⊥平面ABC ，求线段AF 的长； （2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,23,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒．（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；（2）设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值．4．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC⊥平面,90,//,90ABCD PBC AD BC ABC ∠∠==，2222AB AD CD BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为22B PC D --的正切值．5．已知等腰直角SAB ，4SA AB ==，点C ，D 分别为边SB ，SA 的中点，沿CD 将SCD 折起，得到四棱锥S ABCD -，平面SCD ⊥平面ABCD ．（1）过点D 的平面//α平面SBC ，平面α与棱锥S ABCD -的面相交，在图中画出交线；设平面α与棱SA 交于点M ，写出SMMA的值（不必说出画法和求值理由）； （2）求证：平面SBA ⊥平面SBC ．6．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA AD =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 为PB 的两个三等分点．（1）证明：//DE 平面ACF ； （2）求二面角B AC F --的余弦值．7．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，244AD EF DE ===，3AF =．（1）判断平面ABF 与平面CDE 的交线l 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）求平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是侧棱1AA 上一点，且1BE EC ⊥．（1）求证：平面BCE ⊥平面11B C E ；（2）若E 是棱1AA 的中点，且2AB =，求平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小．9．如图，多面体PQABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，==2AB PA ，0=60ABC ∠，22QC QD ==，(0)PQ a a =>．（1）设点F 为棱CD 的中点，求证：对任意的正数a ，四边形PQFA 为平面四边形； （2）当14a =时，求直线PQ 与平面PBC 所成角的正弦值． 参考答案：1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形．且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为,PB PD 的中点．（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）若2PA AB ==，求CN 与平面PBD 所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）23． 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明//MN BD ；（2）首先建立空间直角坐标系，求平面PBD 的法向量，利用线面角的向量公式求解． 【解析】（1）连结BD ，,M N 分别是,PB PD 的中点，//MN BD ∴，MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ；（2）如图，以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，()002P ,,，()2,0,0B ，()0,2,0D ()2,2,0C ，()0,1,1N ， ()2,0,2PB =-，()2,2,0PD =-，()2,1,1CN =--，设平面PBD 的法向量(),,n x y z =，则00PB n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1,1y z ==，∴平面PBD 的法向量()1,1,1n =，则2111112sin cos ,363CN n CN n CN nθ⋅-⨯-⨯+⨯=<>===⨯， 所以CN 与平面PBD 所成角的正弦值是23． 2．如图，三棱锥P ABC -的底面ABC 和侧面PAB 都是边长为4的等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABC ，点E 为线段PA 中点，点F 为AB 上的动点．（1）若平面CEF ⊥平面ABC ，求线段AF 的长； （2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）1；（2）1510． 【分析】（1）方法一通过建空间直角坐标系来利用面面垂直，从而求出线段长度；方法二通过线面、面面关系的性质求得EF ⊥平面ABC ，进而解得长度． （2）建系后，通过直线与面的法向量的夹角来求得线面夹角． 【解析】解（1）(法一)取AB 中点O ，连接PO ，CO ．因为ABC 与PAB △都是正三角形，所以PO AB ⊥，CO AB ⊥ 又已知平面ABC ⊥平面PAB ，所以PO ⊥平面ABC ．如图所示，以O 为坐标原点，分别以OA ，OC ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为PAB △，ABC 边长为4，E 为AP 中点，()2,0,0A ，()0,23,0C ，(3E ，()2,0,0B -设AF t =，则()2,0,0F t -，()2,23,0CF t =--，(1,0,3EF t =--． 设平面CEF 的法向()1111,,n x y z =．由()()11112230130t x t x z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，令13x =11121t y z t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以13,1,12t n t ⎛⎫=-- ⎪⎭．设平面ABC 的法向量()0,0,1n =． 因为平面CEF ⊥平面ABC ，所以10n n ⋅=，即10t -=，解得1t =， 故线段AF 的长为1时，则平面CEF ⊥平面ABC ．(法二：同一法)取AB 中点O ，AO 中点G ，连接EG ，PO ．因为PAB △为正三角形，E 为PA 的中点，所以PO AB ⊥． 因为//EG PO ，所以EG AB ⊥．又平面PAB ⊥平面ABC ，所以EG ⊥平面ABC ． 在平面EFC 中，作EF FC '⊥于点F '．因为平面EFC ⊥平面ABC ，平面EFC ⋂平面ABC FC =， 所以EF '⊥平面ABC ．因为过平面外一点有且仅有一条直线垂直于已知平面， 所以点F '与G 重合，即为所求点F 即当1AF=时，平面CEF ⊥平面ABC ．（2）由（1）图所示， 则易知()0,0,0O，()0,23,0C ，(3E ，(0,0,23P ，()2,0,0B -，所以(1,23,3CE =-，设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =，又(2,0,23BP =，()2,23,0BC =则111122302230x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令13x =()3,1,1m =--．设直线CE 与平面PBC 所成的角为α，则323315sin cos ,1045CE m CE m CE mα⋅+-====⨯． 故直线CE 与平面PBC 15【名师点睛】建立空间直角坐标系的难点在于点坐标的准确求取，然后按照向量间的关系，转化为面面，线面关系．3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,23,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒．（1）证明：BC ⊥平面11ACC A ；（2）设点D 为1CC 的中点，求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）33． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理可知1BC A C ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可知结果． （2）解法1通过作辅助线，找到直线1A D 与平面11ABB A 所成角，然后根据三角函数的知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面11ABB A 的一个法向量，然后按公式计算即可． 【解析】（1） 证明：如图，连接1A B由11,60AB AA A AB =∠=︒，所以1ABA △为等边三角形 因为112324AC BC A B ===，，， 所以22211A B A C BC =+，所以1BC A C ⊥，又11BC AC AC AC C AC AC ⊥⋂=⊂，，，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ．（2）解法1：如图，设E 为1BB 的中点，连结1A E DE ，，作1DF A E ⊥于F ．因为BC ⊥平面11ACC A ，//DE BC ，所以DE ⊥平面11ACC A ， 又1CC ⊂平面11ACC A ，所以1DE CC ⊥．在11ACC △中，111AC A C =，D 为1CC 的中点，所以11A D CC ⊥，又1A D DE D ⋂=，所以1CC ⊥平面1A DE ． 因为11//BB CC ，所以1BB ⊥平面1A DE ，所以1BB DF ⊥，因为11111,DF A E BB A E E BB A E ⊥⋂=⊂，，平面11ABB A ，所以DF ⊥平面11ABB A ， 所以直线1A D 与平面11ABB A 所成角为1DA E ∠． 在1DA E 中，221112222A D DE A D AC DE BC ⊥=-===，，， 所以221123A E A D DE =+=113sin 3DE DA E A E ∠==． 因此，直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33． 解法2：如图，以C 为原点，以射线CA CB ，分别为x ，y 轴正半轴，建立空间直角坐标系C xyz -，则()()()123460,0,0,23,0,0,0,2,0,C A B A ⎝⎭143462326,C D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，因此14326A D ⎛= ⎝⎭，()1434623,2,0,,0,33AB AA ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面11ABB A 的法向量为,,n x y z =（），由100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3020x y x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，可取()2,6,1n =．设直线1A D 与平面11ABB A 所成角为θ， 则1113sin cos ,3A D n A D n A D nθ⋅===⋅． 因此，直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值是33． 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC⊥平面,90,//,90ABCD PBC AD BC ABC ∠∠==，2222AB AD CD BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为22B PC D --的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）52． 【分析】（1）分别证明CD DB ⊥，PB CD ⊥即可证得CD ⊥平面PBD ．（2）建立空间直角坐标系，由线面夹角求得PB 的值，由平面的法向量求得二面角的正切值． 【解析】（1）在四边形ABCD 中，//,90,222AD BC ABC AB AD CD BC ∠====，所以,ABD BCD 都为等腰直角三角形，即CD DB ⊥， 因为平面PBC ⊥平面,90ABCD PBC ∠=，平面PBC 平面,ABCD BC =所以直线PB ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD 所以PB CD ⊥，又PB BD B ⋂=，所以CD ⊥平面PBD ．（2）以B 为原点，,,BC BP BA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，2,BC =则,1,2,AB CD BD ===因为直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为2，所以在Rt PBD △中，tan 2242PB PDB PB BD ∠===∴= 设平面PBC 和平面PDC 法向量分为为,,m n →→易知可取()0,0,1,m →= 因为(2,4,0),(1,0,1)PC CD →→=-=-， 所以0,0PC n CD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2400x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2z =，解得(2,1,2)n →=设所求二面角为,θ所以2cos 3414m nm nθ→→→→⋅===++，5tan 2θ∴=【名师点睛】（1）在平面上找到两条相交的直线与给定直线垂直可以证明线面垂直． （2）建立空间直角坐标系，用向量的方法解决二面角问题．5．已知等腰直角SAB ，4SA AB ==，点C ，D 分别为边SB ，SA 的中点，沿CD 将SCD 折起，得到四棱锥S ABCD -，平面SCD ⊥平面ABCD ．（1）过点D 的平面//α平面SBC ，平面α与棱锥S ABCD -的面相交，在图中画出交线；设平面α与棱SA 交于点M ，写出SMMA的值（不必说出画法和求值理由）； （2）求证：平面SBA ⊥平面SBC ．【答案】（1）图形见解析，1；（2）证明见解析．【分析】（1）过D 作//DE BC 交AB 于E ，由中位线性质证BCDE 为平行四边形即可知E 为AB 的中点，由平面//α平面SBC ，过E 作//EM SB 交SA 于M ，即知M 为SA 的中点，即可得SMMA．（2）由题设易证DA ，DC ，DS 两两互相垂直，构建以D 为原点，分别以射线DA ，DC 、DS 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，并确定SB ，AB ，CB ，进而求面SAB ，面SBC 的法向量，根据法向量的夹角即可证面SBA ⊥面SBC ．【解析】（1）过D 作//DE BC 交AB 于E ，由C ，D 分别为边SB ，SA 的中点，即//CD AB ， 所以BCDE 为平行四边形，则E 为AB 的中点，再过E 作//EM SB 交SA 于M ， 所以在△ABS 中，EM 为中位线，即M 为SA 的中点，所得平面α即为平面DEM ，如下图示，所以由上，知1MSMA=． （2）由题设知//CD AB ，CD SD ⊥ 面SCD ⊥面ABCD ，面SCD面ABCD CD =，SD CD ⊥，SD ⊂面SCD ，SD ∴⊥面ABCD ，又CD ，AD ⊂面ABCD ， SD CD ∴⊥，SD AD ⊥，又CD AD ⊥，DA ∴，DC ，DS 三条棱两两互相垂直．以D 为原点，分别以射线DA ，DC 、DS 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)S ，(2,4,0)B ，(2,4,2)SB ∴=-，(0,4,0)AB =，(2,2,0)CB =，设平面SAB ，平面SBC 的法向量分别为()111,,u x y z =，()222,,v x y z =，00u AB u SB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111020y x y z =⎧⎨+-=⎩，取11x =，则(1,0,1)u =， 00v SB v CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222200x y z x y +-=⎧⎨+=⎩，取21x =，则(1,1,1)v =--， cos ,02113u v u v u v⨯+⋅∴===⋅，∴平面SBA ⊥平面SBC ．【名师点睛】第二问，根据面面垂直的性质证线面垂直，进而确定线线垂直，进而构建空间直角坐标系，求出所证平面的法向量，根据法向量的夹角判断平面的关系．6．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA AD =，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 为PB 的两个三等分点．（1）证明：//DE 平面ACF ； （2）求二面角B AC F --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）63． 【分析】（1）根据线面平行的判断性质，在平面AFC 上找到一条与DE 平行的直线即可． （2）建立空间直角坐标系，通过法向量的夹角求得二面角的余弦值． 【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，则O 为BD 的中点， 因为E ，F 为PB 的两个三等分点，所以F 为BE 的中点，所以//OF DE ， 又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ，所以//DE 平面ACF ．（2）设正方形ABCD 的边长为3，以点A 为原点，以AD ，AB ，AP 所在的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则(0,0,0)A ，(3,3,0)C ，(0,3,0)B ，(0,2,1)F ， 则()3,3,0AC =，()0,2,1AF =，()0,3,0AB =．设平面ACF 的法向量为(,,)n x y z =．由()()()(),,3,3,00,,0,2,10n AC x y z n AF x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩，得33020x y y z +=⎧⎨+=⎩，得2x y z y =-⎧⎨=-⎩， 令1y =，得平面ACF 的一个法向量为(1,1,2)n =--；显然平面ACB 的一个法向量为(0,0,1)m =； 则cos ,||||n m n m n m ⋅〈〉==(1,1,2)(0,0,1)6361--⋅=-⨯， 即二面角B AC F --的余弦值为63．7．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，244AD EF DE ===，3AF =．（1）判断平面ABF 与平面CDE 的交线l 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）求平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小．【答案】（1）//l AB ；答案见解析；（2）90︒．【分析】（1）//l AB ，证明见解析；（2）先证明90APD ∠=︒，再利用向量法求解即可．【解析】（1）由//EF AD ，2AD EF =，可知延长AF ，DE 交于一点设为P ．过P 点作AB 的平行线即为l ，//l AB ，理由如下：由题意可知//AB CD ，AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，则//AB 平面CDE ． 又AB 平面ABF ，平面ABF 平面CDE l =，则//l AB ．（2）由//EF AD ，2AD EF =，1DE =，3AF =得2DP =，3AP =又4=AD ，则222AD DP AP =+，所以90APD ∠=︒，由题意可知，P 点向平面ABCD 引垂线，垂足落在AD 上，设为O ，则1OD =． 以O 为原点，以OD →，OP →的方向分别为y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．(0,3,0)A -，(4,3,0)B -，3)P ，则(4,0,0)AB →=，3)AP →=，设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z →=， 由0AB m →→⋅=，0AP m →→⋅=得40,330x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取(0,1,3)m →=-， (0,1,0)D ，(4,1,0)C ，则(4,0,0)DC →=，(0,3)DP →=-，设平面PCD 的法向量为n (x,y,z)→=，同理可得3,1)n →=，因为0m n →→=，所以平面PAB ⊥平面PCD ，即平面ABF ⊥平面CDE ，所以，平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小为90︒．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是侧棱1AA 上一点，且1BE EC ⊥．（1）求证：平面BCE ⊥平面11B C E ；（2）若E 是棱1AA 的中点，且2AB =，求平面11B C E 与平面11C D E所成的锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π． 【分析】（1）由线面垂直的性质定理得11B C BE ⊥，再根据已知条件，结合线面垂直的判定定理证明BE ⊥平面11B C E ，接着利用面面垂直的判定定理证明即可．（2）首先根据E 是棱1AA 的中点，且2AB =，求得侧棱的长，再利用空间向量法求平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小．【解析】（1）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，易知11B C ⊥侧面11AA B B ，且BE ⊂平面11AA B B ，可得11B C BE ⊥，又1BE EC ⊥，且1EC 与11B C 是平面11B C E 内两相交直线，所以得BE ⊥平面11B C E ，因为BE ⊂平面BCE ，故得平面BCE ⊥平面11B C E ．（2）设平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小为θ．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，由于DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，则以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示．因为E 是棱1AA 的中点，且2AB =，从而知正四棱柱的上、下底面是边长为2的正方形，设1AE EA t ==；由（1）知BE ⊥平面11B C E ，则得1BE EB ⊥， 且214BE EB t ==+12BB t =，由勾股定理得22211BE EB BB +=，即得()2224(2)t t +=， 解得2t =（取正），即侧棱长14BB =．于是可得1(0,0,4)D ，(2,0,2)E ，1(2,2,4)B ，1(0,2,4)C ，(2,2,0)B ；设平面11B C E 的法向量为1(,,)n x y z →=，由第（1）问可知向量BE →为平面11B C E 的一个法向量，故1(0,2,2)n BE →→==-； 设平面11C D E 的法向量为2(,,)n a b c →=，而11(0,2,0)D C →=，1(2,2,2)EC →=- 则由21121202220n D C b n EC a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得0b =，令1a =，得1c =，所以2(1,0,1)n →=． 于是由212112cos cos ,n n n n n n θ→→→→→→⋅=<>=12222==⨯，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3πθ=，即平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小为3π． 【名师点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解．9．如图，多面体PQABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，==2AB PA ，0=60ABC ∠，22QC QD ==，(0)PQ a a =>．（1）设点F 为棱CD 的中点，求证：对任意的正数a ，四边形PQFA 为平面四边形； （2）当14a =时，求直线PQ 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2526- 【分析】（1）法一：设Q 在平面内的射影为E ，可证明点E 在CD 的垂直平分线上，又AE 也为CD 的垂直平分线，AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ，有PA ⊥平面ABCD ，QE ⊥平面ABCD ，PA//QE ，可证明PQFA 为平面四边形．法二：证明CD ⊥平面AFQ ，再证明CD ⊥平面PAF ，有公共点F ，可证明结论．（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，求出PQ 以及平面PBC 的一个法向量，计算可求出夹角的正弦值．【解析】（1）方法1：设Q 在平面内的射影为E ，由QC =QD 可得EC =ED ，所以点E 在CD 的垂直平分线上由ABCD 是菱形，且0=60ABC ∠，故直线AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ．因为PA ⊥平面ABCD ，QE ⊥平面ABCD ，所以PA//QE ，从而PA ，QE 共面，因此PQ ，FA 共面，所以PQFA 为平面四边形．方法2：取棱CD 的中点F ，则有AF CD ⊥，QF CD ⊥，又AFQF F =，所以CD ⊥平面AFQ ，在菱形ABCD 中，60ADC ABC ∠==，所以AF CD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以有PA CD ⊥，AF PA A =，所以CD ⊥平面PAF ．由AFQ 与平面PAF 均过点A 可得平面AFQ 与平面PAF 重合．即P 、Q 、F 、A 共面，所以PQFA 为平面四边形．（2）分别以AB 、AF 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，3,0),3,0),(0,0,2)C F P 当14a =7,7PF QF ==222PF QF PQ +=，设Q 在平面ABCD 内的射影为E ，则有QFE △相似于FPA ，即3QE =2FE = 所以Q 的坐标为(02+33)，，，()0,23,32PQ = 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，()2,0,2PB =-，()3,0BC =- 则有·0·0n BC n PB ⎧=⎨=⎩，即22030x z x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，有(3,1,3)n =． 设直线PQ 与平面PBC 所成角为θ，则526sin cos ,n PQ θ-=<>=， 从而直线PQ 与平面PBC 526- 【名师点睛】（1）证明点共面：可证四点中两条线段平行，或平面外一条直线垂直有公共点的两个平面，则这两个平面重合．（2）求线面角的正弦即为直线与法向量夹角的余弦的绝对值．。
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用摘要：立体几何是数学中的一个重要分支，研究物体在三维空间中的形状、位置、方向和相互关系等问题。
空间向量是解决立体几何问题的重要工具之一，在立体几何中具有广泛的应用。
本文将介绍空间向量的基本概念和性质，并探讨它在立体几何中的应用。
一、介绍立体几何是研究三维空间中的图形和物体的数学分支。
空间向量是一个可以在三维空间中表示方向和长度的量，它具有大小和方向两个基本特性。
空间向量可以用来表示直线、平面、空间角等，在立体几何中有着广泛的应用。
二、空间向量的基本概念和性质1. 空间向量的表示空间向量可以用有序的三元组表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
向量的表示中可以使用坐标系和线段表示法等方法。
2. 向量的模和方向向量的模表示向量的长度或大小，用∥AB∥表示向量AB→的模。
向量的方向用有向线段或角度表示，可以通过单位向量来表示。
3. 向量的加法和减法空间中的两个向量可以进行加法和减法运算。
两个向量的加法运算的结果是一个新的向量，它的起点和第一个向量的起点相同，终点和第二个向量的终点相同。
减法运算可看作加法的逆运算。
4. 向量的数量积和向量积向量的数量积又称点积，表示两个向量之间的乘积。
向量的数量积满足交换律、分配律和结合律等性质，可以用来求解夹角、判定共线等问题。
向量的向量积又称叉积，表示两个向量的乘积，结果是一个新的向量，垂直于原来两个向量所在的平面。
三、空间向量在立体几何中的应用1. 直线与平面的关系空间向量可以用来判断直线与平面之间的位置关系，如直线与平面是否相交、直线是否在平面内等。
利用向量的数量积可以求直线与平面之间的夹角，从而判断它们的位置关系。
2. 点与直线的关系通过计算向量的数量积可以判断点与直线之间的位置关系，如点到直线的距离、点是否在线段上等。
利用向量的叉积可以求点到直线的垂直距离，从而判断它们的位置关系。
3. 直线与直线的关系空间向量可以用来判断直线与直线之间的位置关系，如直线是否平行、直线是否相交等。
用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系
用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系学习目标：1．理解直线的方向向量与平面的法向量.2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。
重点：空间向量共线与垂直的充要条件；空间向量的运算及其坐标表示；用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。
难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题.学习策略：直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置，因此用向量讨论立体几何中的平行和垂直问题，关键就是利用直线的方向向量和平面的法向量，讨论这些向量之间的平行垂直关系，从而得出空间直线、平面间的平行垂直关系。
知识要点梳理知识点一：基本定理线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
面面平行判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行。
线面垂直判定定理：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。
面面垂直判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
知识点二：空间向量平行和垂直的充要条件若，，则①，，②知识点三：直线的方向向量和平面的法向量1．直线的方向向量：若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。
2．平面的法向量：如果直线垂直于平面,那么直线的方向向量就叫做平面的法向量；设平面的法向量为，A、P为平面内任意两点，则。
知识点四：用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系.设空间直线、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为、，则：①线线平行：或与重合即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
②线线垂直：即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
③线面平行：且在平面外即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外。
空间向量的应用平行,垂直
,
解
得
x 2a 3
y 2 a, 3
za
N
(
2a 3
,
2a 3
,
a)
B
C
z
同理：M(a, 2a , a ) 33
MN ( a ,0, 2a ) 33
(1)ED ( a ,0, a) 2
C1
x B1
MN 2 ED MN // ED，即MN // ED 3
D N
A
M
D1
Ey
A1
(2)设面BB1C1C的一个法向量为n
A
D1
E
C1
N
B1 F
D
C
B
练2习：
C'
B'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
C
B
A
练2习：
C'
B'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
设底面边长为2,高为h,
如图建立空间直角坐标系. C
B
A( 3,0,0), B(0,1,0),C(0,1,0).
A
uAuu'ur( 3,0, h), B'(0uu,1uu,rh),C'(0,1, h). uuuur
AB ' ( 3,1, h), A'C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h)
高二数学 用空间向量解决立体几何中的平行与垂直问题课件
面面平行
①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题
考点例析
高考在线 知识梳理 考点例析 小结作业
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为
45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA=
1
BC＝2AD＝1，点 E 是棱 PD 中点，证明 CE∥平面 PAB？
又因为CE ⊄平面PAB ， ∴ CE∥平面PAB.
考点例析
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考点二 利用空间向量证明垂直问题
例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点. 求证：AB1⊥平面A1BD.
证明 如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC. 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
知识梳理
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直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的 非零 向量a， 叫做直线l的一个方向向量
平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 方向向量n ， 叫做平面α的法向量
知识梳理
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平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)找出(求出)平面内的两个 不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
知识讲解-空间向量在立体几何中的应用(提高)
空间向量在立体几何中的应用[考纲要求]1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理与其意义,掌握空间向量的正交分解与其坐标表示.2. 掌握空间向量的线性运算与其坐标表示.3. 掌握空间向量的数量积与其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.5. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理.6.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用. [知识网络] [考点梳理]要点一、空间向量 1.空间向量的概念在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量. 要点诠释：⑴ 空间的一个平移就是一个向量.⑵ 向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.相等向量只考虑其定义要素：方向,大小.⑶ 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示. 2.共线向量〔1〕定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线〔或a //b 〕时,表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线．〔2〕共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0 〕,a //b的充要条件是存在实数λ,使a＝λb .3.向量的数量积〔1〕定义：已知向量,a b ,则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积,记作a b ⋅,即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>.〔2〕空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅=； ③2||a a a =⋅．〔3〕空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； ②a b b a ⋅=⋅〔交换律〕；③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅〔分配律〕. 4.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++.若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 5.空间直角坐标系：〔1〕若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示；〔2〕在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ,以点O 为原点,分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -,点O 叫原点,向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面；6.空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使OA xi yj zk =++,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标．7.空间向量的直角坐标运算律：〔1〕若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.〔2〕若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++, 112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,112233a b a b a b a b ⋅=++,112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈, 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=；21||a a a a =⋅=+,21||b b b b =⋅=+夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+． 〔3〕两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则或,A B d =要点二、空间向量在立体几何中的应用1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明． 对于垂直问题,一般是利用0a b a b ⊥⇔⋅=进行证明；对于平行问题,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2.利用向量求夹角<线线夹角、线面夹角、面面夹角>有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角,而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式cos ||||a ba b θ⋅=⋅.要点诠释：平面的法向量的求法：设n =<x,y,z>,利用n 与平面内的两个不共线的向a ,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解,即得到平面α的一个法向量〔如图〕.线线角的求法：设直线AB 、CD 对应的方向向量分别为a 、b ,则直线AB 与CD 所成的角为||arccos ||||a b a b ⋅⋅.〔注意：线线角的X 围[00,900]〕线面角的求法：设n 是平面α的法向量,AB →是直线l 的方向向量,则直线l 与平面α所成的角为||arcsin||||AB n AB n ⋅⋅〔如图〕.二面角的求法：设n 1,n 2分别是二面角l αβ--的两个面α,β的法向量,则121212,arccos ||||n n n n n n ⋅〈〉=⋅就是二面角的平面角或其补角的大小〔如图〕3.用向量法求距离的公式设n 是平面α的法向量,AB 是平面α的一条斜线,则点B 到平面α的距离为||||AB n n ⋅〔如图〕. 要点诠释：⑴ 点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=,其中B α∈,n 是平面α的法向量.⑵ 直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=,其中,A a B α∈∈,n 是平面α的法向量.⑶ 两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=,其中,A B αβ∈∈,n 是平面α的法向量.[典型例题]类型一、空间向量的运算[例1]已知AB =〔2,2,1〕,AC =〔4,5,3〕,求平面ABC 的单位法向量. [答案]单位法向量0||n n n ==±〔31,－32,32〕.[解析]设面ABC 的法向量(,,)n x y z =,则n ⊥AB 且n ⊥AC ,即0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2204530x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩,解得2,,x z y z =⎧⎨=-⎩, 令1x =±,则(1,2,2)n =±- ∴单位法向量0||n n n ==±〔31,－32,32〕.[总结升华]一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,可把n 的某个坐标设为1,再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量,所以本题的单位法向量应有两解.举一反三：[变式]若a ＝<1,5,－1>,b ＝<－2,3,5>〔1〕若()()//3ka b a b +-,##数k 的值； 〔2〕若()()3ka b a b +⊥-,##数k 的值；〔3〕若a k +取得最小值,##数k 的值. [答案]<1>()()//3ka b a b +-()3ka b a b λ∴+=-设,即(2,53,5)(7,4,16)k k k λλλ-+-+=--由27534516k k k λλλ-=⎧⎪+=-⎨⎪-+=-⎩,解得13k =-；<2>()()3ka b a b +⊥-,()()30ka b a b ∴+⋅-=(2,53,5)(7,4,16)0k k k ∴-+-+⋅--=,即31060k -=,解得1063k =； <3>ka b+==当827k =-时,ka b +取得最小值. 类型二：向量法证明平行或垂直[例2]如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为1的菱形,4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点〔Ⅰ〕证明：直线MN OCD平面‖；〔Ⅱ〕求异面直线AB 与MD 所成角的大小； 〔Ⅲ〕求点B 到平面OCD 的距离.[解析]作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N ,<1>2222(1,,1),(0,,2),(,2)44222MN OP OD =--=-=-- 设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0n OP n OD ⋅=⋅=即 2202222022y z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取2z =,解得(0,4,2)n =<2>设AB 与MD 所成的角为θ,1cos ,23AB MDAB MD πθθ⋅===⋅∴∴ ,AB 与MD 所成角的大小为3π<3>设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量(0,4,2)n =上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得23OB n d n ⋅==. 所以点B 到平面OCD 的距离为23[总结升华]1. 用向量证明线面平行的方法有： <1>证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； <2>证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；<3>证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示． 2. 用向量法证垂直问题：<1>证明线线垂直,只需证明两直线的方向向量数量积为0；<2>证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；<3>证明面面垂直,只需证明两平面的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．举一反三：[变式]如图,已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC ＝90°,且AB ＝AA 1,D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：<1>DE ∥平面ABC ； <2>B 1F ⊥平面AEF.[解析]如图建立空间直角坐标系A －xyz,令AB ＝AA 1＝4,则A<0,0,0>,E<0,4,2>,F<2,2,0>,B<4,0,0>,B 1<4,0,4>． <1>取AB 中点为N,则N<2,0,0>,C<0,4,0>,D<2,0,2>,∴错误!＝<－2,4,0>,错误!＝<－2,4,0>, ∴错误!＝错误!.∴DE ∥NC,又NC 在平面ABC 内,DE 不在平面ABC 内,故DE∥平面ABC. <2>错误!＝<－2,2,－4>,错误!＝<2,－2,－2>, 错误!＝<2,2,0>,错误!·错误!＝<－2>×2＋2×<－2>＋<－4>×<－2>＝0, 则错误!⊥错误!,∴B 1F ⊥EF,∵错误!·错误!＝<－2>×2＋2×2＋<－4>×0＝0. ∴错误!⊥错误!,即B 1F ⊥AF, 又∵AF∩FE＝F,∴B 1F ⊥平面AEF.类型三：异面直线所成的角[例3]正方体ABCD-EFGH 的棱长为a,点P 在AC 上,Q 在BG 上,且AP=BQ=a, 求直线PQ 与AD 所成的角[答案]90°[解析]建立空间直角坐标系如图,则(,0,0)A a ,(,,0)D a a22(0,,)22Q a a ,22(,0)22P a a - ∴22(,0,)22QP a a =--,(0,,0)AD a =, ∴0QP AD ⋅=∴QP 与AD 所成的角为90°.[总结升华]建立坐标系后,求出||||PQ AD PQ AD ⋅及，， 可由cos ||||PQ ADPQ AD θ⋅=-求解.举一反三：[变式]如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面是边长为1的菱形,侧棱长为2 〔1〕11B D 与1A D 能否垂直？请证明你的判断； 〔2〕当111A B C ∠在[,]32ππ上变化时,求异面直线1AC 与11A B 所成角的取值X 围. [答案]∵菱形1111A B C D 中,1111A C B D ⊥于1O ,设ACBD O =,分别以11111,,O B O C O O 所在直线为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,设2211(,0,0),(0,,0)(1)B a C b a b +=,则11(,0,0),(0,,0),(,0,2)D a A b D a ---〔1〕∵11(2,0,0),(,,2)DB a A D a b ==-,∴21120D B A D a ⋅=-≠,∴11B D 与1A D 不能垂直. 〔2〕∵111A B C ∠∈[,]32ππ,∴13ba ≤≤,∵(0,,2)Ab - ∴1(0,2,2),AC b =-211111(,,0),2A B a b AC A B b =∴⋅=,22111||21,||1AC b A B a =+==,2111cos ,AC A B ∴<>=∵221a b +=,∴设cos ,sin a b αα==,又13b a ≤≤,∴tan 1,364ππαα≤≤∴≤≤ ∵22csc 4α≤≤,∴111cos ,[10ACA B <>∈ ∴直线1AC 与11A B 所成角的取值X 围是. 类型四：直线与平面所成的角[例4]如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P是侧棱1CC 上的一点,CP m =.试确定m ,使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为[解析]建立如图所示的空间直角坐标系,则A<1,0,0>,B<1,1,0>,P<0,1,ｍ>,C<0,1,0>,D<0,0,0>,B 1<1,1,1>,D 1<0,0,1>. 所以1(1,1,0),(0,0,1),BD BB =--=又由10,0AC BD AC BB AC ⋅=⋅=11知为平面BB D D 的一个法向量. 设AP 与11BDD B 面 所成的角为θ, 则||sin cos()2||||2AP AC AP AC πθθ⋅=-==⋅=解得13m =.故当13m =时,直线AP 11与平面BDD B 举一反三：[变式]如图,三棱锥P-ABC 中,∠ABC=︒90,PA=1,AB=3,AC=2,PA ⊥面ABC ． <1>求直线AB 和直线PC 所成角的余弦值； <2>求PC 和面ABC 所成角的正弦值； [答案]<1>以A 为坐标原点,分别以AB 、AP 所在直线为y 轴、z 轴,以过A 点且平行于BC 直线为x 轴建立空间直角坐标系.在直角△ABC 中,∵AB=3,AC=2,∴BC=1 A<0,0,0>,B<0,3,0>,C<1,3,0>,P<0,0,1>.=AB <0,3,0>,=PC <1,3,1->,cos<AB ,PC |PC ||AB |⋅=131030030++⋅++++=515 ∴直线AB 与直线PC 所成的角余弦为515. <2>取平面ABC 的一个法向量AP =<0,0,1>, 设PC 和面ABC 所成的角为θ,则 sin θ=|cos<PC ,AP |AP ||PC |AP PC ⋅=55100131|100|=++⋅++-+. ∴PC 和面ABC 所成的角的正弦值为55． 类型五：二面角[例5]如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,H 是正方形AA 1B 1B 的中心,AA 1＝2错误!,C 1H ⊥平面AA 1B 1B ,且C 1H ＝错误!.<1>求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；<2>求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；<3>设N 为棱B 1C 1的中点,点M 在平面AA 1B 1B 内,且MN ⊥平面A 1B 1C 1,求线段BM 的长．[解析]如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点,依题意得A<2错误!,0,0>,B<0,0,0>,C<错误!,－错误!,错误!>,A1<2错误!,2错误!,0>,B1<0,2错误!,0>,C1<错误!,错误!,错误!>．<1>易得错误!＝<－错误!,－错误!,错误!>,错误!＝<－2错误!,0,0>,于是cos〈错误!,错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!,所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为错误!.<2>易知错误!＝<0,2错误!,0>,错误!＝<－错误!,－错误!,错误!>．设平面AA1C1的一个法向量m＝<x,y,z>,则错误!即错误!不妨令x＝错误!,可得m＝<错误!,0,错误!>．设平面A1B1C1的一个法向量n＝<x,y,z>,则错误!即错误!不妨令y＝错误!,可得n＝<0,错误!,错误!>．则cos〈m,n〉＝错误!＝错误!＝错误!,从而sin〈m,n〉＝错误!,所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为错误!.<3>由N为棱B1C1的中点,得N<错误!,错误!,错误!>．设M<a,b,0>,则错误!＝<错误!－a,错误!－b,错误!>．因为MN⊥平面A1B1C1,由<2>知平面A1B1C1的一个法向量为n＝<0,错误!,错误!>,所以错误!∥n,所以错误!－a＝0,错误!＝错误!,解得错误!.故M<错误!,错误!,0>．因此错误!＝<错误!,错误!,0>,所以线段BM的长|错误! |＝错误!.[总结升华]求两异面直线所成的角,用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角,但需注意二者X围的区别．同样地,利用向量法求二面角的大小,就是求两个半平面的法向量的夹角<或夹角的补角>,在具体求解中应适当选取或求解直线的方向向量与平面的法向量．在空间直角坐标系中,常采用待定系数法求平面的法向量．举一反三：[变式]如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°,AD=EF=2.〔Ⅰ〕求证：AE∥平面DCF；〔Ⅱ〕当AB的长为何值时,二面角A—EF—C的大小为60°？，和CD分别作为x轴,y轴和z轴,建立空间直角[解析]如图,以点C为坐标原点,以CB CF-．坐标系C xyz设AB a BE b CF c ===，，,则(000)C ，，,(30)A a ，，,(300)B ，，,(30)E b ，，,(00)F c ，，． 〔Ⅰ〕证明：(0)AE b a =-，，,(300)CB =，，,(00)BE b =，，, 所以0CB CE ⋅=,0CB BE ⋅=,从而CB AE ⊥,CB BE ⊥, 所以CB ⊥平面ABE ．因为CB ⊥平面DCF ,所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．〔Ⅱ〕解：因为(30)EF c b =--，，,(30)CE b =，，, 所以0EF CE ⋅=,||2EF =,从而23()03()2b c b c b -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，， 解得34b c ==，．所以(330)E ，，,(040)F ，，．设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直,则0n AE ⋅=,0n EF ⋅=,解得33(13)n a=，，． 又因为BA ⊥平面BEFC ,(00)BA a =，，, 所以2||331|cos |2||||427BA n a n BA BA n a a ⋅<>===⋅+，,得到92a =．所以当AB 为92时,二面角A EF C --的大小为60． 类型六：空间距离[例5]如图,△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB ⊥平面BCD,AB ＝2DABEFCyz x错误!.求点A 到平面MBC 的距离． [解析]取CD 中点O,连接OB,OM, 则OB⊥CD ,OM ⊥CD. 又平面MCD⊥平面BCD, 所以MO⊥平面BCD.取O 为原点,直线OC 、BO 、OM 为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图．OB ＝OM ＝错误!,则各点坐标分别为C<1,0,0>,M<0,0,错误!>,B<0,－错误!,0>,A<0,－错误!,2错误!>． <1>设()n x y z =，，是平面MBC 的法向量,则 错误!＝<1,错误!,0>,错误!＝<0,错误!,错误!>． 由n ⊥错误!得n ·错误!＝0即x ＋错误!y ＝0； 由n ⊥错误!得n ·错误!＝0即错误!y ＋错误!z ＝0. 取n ＝<错误!,－1,1>,错误!＝<0,0,2错误!>, 则d ＝|||||BA n n ⋅＝错误!＝错误!.故点A 到平面MBC 的距离为错误!. 法二：<1>取CD 中点O,连OB,OM, 则OB ＝OM ＝错误!,OB ⊥CD,M O⊥CD , 又平面MCD⊥平面BCD, 则MO⊥平面BCD,所以MO∥AB ,所以MO∥平面ABC, 故M,O 到平面ABC 的距离相等． 作OH⊥BC 于H,连MH,则MH⊥BC. 求得OH ＝OC·sin60°＝错误!, MH ＝错误! ＝错误!.设点A 到平面MBC 的距离为d, 由V A －MBC ＝V M －ABC 得错误!·S △MBC ·d ＝错误!·S △ABC ·OH.即错误!×错误!×2×错误!d ＝错误!×错误!×2×2错误!×错误!, 解得d ＝错误!.[总结升华]利用向量法求点到平面的距离的步骤如下：<1>求出该平面的一个法向量n ；<2>找出以该点与平面内的某点为端点的线段对应的向量a ；<3>利用公式d ＝||||n a n 求距离．举一反三：[变式]如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,2CA CB CD BD====,AB AD ==求点E 到平面ACD 的距离.[答案]以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则(1,0,0),(1,0,0),B D-1(0,0,1),(2C A E 设平面ACD 的法向量为(,,),n x yz =则0,0.x z z +=⎧⎪∴-=,令1,y =得(3,1,n =-是平面ACD的一个法向量. 又1(2EC =-∴点E 到平面ACD的距离.377EC n h n===类型七、利用空间向量解决立体几何中的探索问题[例6]在四棱锥P ABCD中,AB //CD ,AB AD ,4,22,2AB AD CD ,PA平面ABCD ,4PA. 〔Ⅰ〕设平面PAB 平面PCD m =,求证：CD //m ； 〔Ⅱ〕求证：BD ⊥平面PAC ；〔Ⅲ〕设点Q 为线段PB 上一点,且直线QC 与平面PAC ,求PQ PB的值．[证明]〔Ⅰ〕因为AB //CD ,CD ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,所以CD //平面PAB . 因为CD ⊂平面PCD ,平面PAB平面PCD m =,所以CD //m . 〔Ⅱ〕：因为AP平面ABCD ,ABAD ,所以以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,PDCBA则(4,0,0)B ,(0,0,4)P ,(0,22,0)D ,(2,22,0)C . 所以 (4,22,0)BD =-,(2,22,0)AC =,(0,0,4)AP =,所以(4)22222000BD AC ⋅=-⨯+⨯+⨯=,(4)0220040BD AP ⋅=-⨯+⨯+⨯=.所以 BD AC ⊥,BD AP ⊥. 因为 APAC A =,AC ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,所以 BD ⊥平面PAC . 〔Ⅲ〕解：设PQ PBλ〔其中01λ〕,(,,)Q x y z ,直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQPB λ.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ.所以 4,0,44,xyzλλ即(4,0,44)Q λλ.所以 (42,22,44)CQλλ.由〔Ⅱ〕知平面PAC 的一个法向量为(4,22,0)BD =-.因为 sin cos ,CQ BD CQ BDCQ BDθ,所以2234(42)826(42)8(44)λλλ---=⋅-++-+. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB .[总结升华]空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.在解题过程上中,往往把"是否存在〞问题,转化为zyxPD CB A"点的坐标是否有解,是否有规定X 围的解〞等,所以使问题的解决更简单、有效,在立体几何二轮复习中,我们要善于运用这一方法. 举一反三： [变式]在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,=90ABD ∠︒,EB ⊥平面ABCD ,EF//AB ,=2AB,==1EB EF,=BC 且M 是BD 的中点.〔Ⅰ〕求证：EM//平面ADF ；〔Ⅱ〕求二面角D-AF-B 的大小；〔Ⅲ〕在线段EB 上是否存在一点P ,使得CP 与AF 所成的角为30︒？若存在,求出BP 的长度；若不存在,请说明理由.[解析]〔Ⅰ〕取AD 的中点N ,连接MN,NF .在△DAB 中,M 是BD 的中点,N 是AD 的中点,所以1=2MN//AB,MN AB ,又因为1=2EF//AB,EF AB ,所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形, 所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ,⊄EM 平面ADF , 故EM//平面ADF .解法二：因为EB ⊥平面ABD ,AB BD ⊥,故以B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……1分由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M 〔Ⅰ〕3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM ,AD=, 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =.由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3,则n =.又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅,CA FEBM D NCAF EBMD所以EM n ⊥,又EM ⊄平面ADF ,所以//EM 平面ADF . 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知平面ADF的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ,所以EB BD ⊥. 又因为AB BD ⊥,所以BD ⊥平面EBAF . 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 所以1cos <=2BD BD,BD n n n⋅>=⋅,又二面角D-AF -B 为锐角, 故二面角D-AF -B 的大小为60︒.〔Ⅲ〕假设在线段EB 上存在一点P ,使得CP 与AF 所成的角为30︒. 不妨设(0,0,t)P〔0t ≤≤,则=(3,-2,-),=PC AF t .所以2cos <2PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅,=, 化简得35-=, 解得0t =<.所以在线段EB 上不存在点P ,使得CP 与AF 所成的角为30︒.。
利用空间向量解决立体几何平行与垂直
即24xx
2y 5y
z0 ,
3z 0
取z
1，得
x
1 2
y 1
n (1 , 1,1),
2
三、简单应用
练习1：设直 线l，m的方向向量分别 为 a，b ，根据下列条件判断
l，m的位置关系 ： (1)a (2,1,2), b (6,3,6)
(2)a (1,2,2), b (2,3,2)
设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),
z D!
A!
A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
MN
1 (
2
,
0,
1 )
2
D
设平面A1BD的法向量是 n
(x, y, z)
x z
A
x
0
则 n DA1 0且n DB 0, 得
x
y
0
取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ n (1,1,1)
易证：PDA=450,∴PA=AD, P
设AB=2a, PA=AD=2b,则
M(a,0,0), C(2a,2b,0),
AN D
D(0,2b,0),P(0,0,2b)
BM
C
N(a,b,b)
练习：如图所示，PA 矩形ABCD所在平
面，M, N分别是AB, PC的中点。
(3)当AD:AP为何值时，MN 面PDC,
叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
高中数学空间向量与立体几何立体几何中的向量方法利用向量解决平行垂直问题课后
则D→N＝D→C＋→CN＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ)＝(0，2a(1－λ)，aλ)，
M→N＝→DN－D→M＝－34a，a－2aλ，aλ. 又D→C是平面 ADD1A1 的一个法向量， ∴M→N⊥D→C，则 2a(a－2aλ)＝0，λ＝12.
又 MN⊄平面 ADD1A1，故存在 N 为 CD1 的中点使 MN∥平面 ADD1A1.
得
B(0,0,0)，C
23a，
23a，0，D(0，
3a，0)，E
43a，
43a，a2，F0，
23a，a2，
故A→B＝(0,0，－a)，→BC＝
23a，
23a，0.
12/12/2021
第二十八页，共三十五页。
答案
设平面 ABC 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，
则nn11··AB→→BC＝＝00，， 即－ x1＋azy11＝＝00，，
又平面 BB1C1C 的一个法向量为 n＝(0,1,0)，
∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴M→N⊥n.∴MN∥平面 BB1C1C.故选 B.
12/12/2021
第六页，共三十五页。
解析
4．如图所示，在空间直角坐标系中 BC＝2，原点 O 是 BC 的中点，点 D
在平面 yOz 上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则向量O→D的坐标为( )
①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q； ③A1M∥平面 DCC1D1； ④A M∥平面 12/12/2021 1 D1PQB1.
第十一页，共三十五页。
这四个结论中正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵A→1M＝A→1A＋A→M＝A→1A＋12→ AB，D→1P＝D→1D＋D→P＝A→1A＋12→ AB，∴A→1M∥D→1P，
用向量解决立体几何的垂直问题
z
C1
A1
M
B1
C
N
A
x
B
y
练习4
如图所示，已知PA 正方形ABCD所在平面，点M 、N 分别
2 在AB、PC上，AM AB，PC 3NC 3 （）求证：面 1 PAD 面PCD；
（2）若PA AB，求二面角N DM C的大小。
z P
N
D A
O
C
M B y
小结：
利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是 近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明” 转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几 何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们 以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)， 大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系 及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展 趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主 要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体 几何的基础。
P
D N
C
A
M
B
. 已 知 PA 垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 N 分 别 是 AB 、PC 的 中 点 , 并 且 面, M、 PA AD ,求证: MN 平面 PDC
可设 DA i , AB j , AP k , PA 1 P N 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系A xyz D
A ' F (1,1, 2), DB (2, 2,0), DE (0, 2,1) A ' F DB (1,1, 2) (2, 2,0) 0
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行 不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系
不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题关于空间向量在几何体中的应用,同学们在学习中注重的往往是两用空间向量解决求角球距离的问题,却忽视了利用空间向量处理垂直与平行关系问题.这样的做法往往导致了一旦遇到几何体中的垂直与平行关系问题要处理,而几何方法又无法解决时,可能就会束手无策,坐以待毙了.而实际上,利用空间向量处理垂直与平行关系问题同样会带来直观、运算量小、减少空间想象的力度等优点. 一. 利用空间向量处理垂直关系问题例1.ABC-C 11B A 是各棱长均相等的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点. 求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1 .[分析]:线与线、线与面、面与面的垂直平行关系是历年高考命题的热点，请注意各种关系的相互转化并最终转化到平面问题或比较简单、具体的问题而加以解决。
若用空间向量法则证明垂直问题主要是用好平面的法向量。
[解法一]取AB 1的中点M ，AB 中点N ，连结DM ，MN ，CN MN ∥21BB 1∥CD 且MN =21BB 1=CD DMA1B1BNACC 1∴ DM ∥CN 且 DM=CN由已知可得 CN ⊥AA 1,且CN ⊥AB ∴CN ⊥面AB B 1A 1, DM ⊥面AB B 1A 1,且 DM ⊂面AB 1D,∴面AB 1D ⊥面AB B 1A 1[回顾]面面垂直的判定定理“l ⊥α , l ⊂α ⇒ α ⊥β ”中，首先，L 应是β内垂直于交线的直线。
将一个向量表示成几个便于计算的向量相加（首尾相接）在证线与线垂直中常用。
于是有下面的证法二。
[证法二] DM ·1AA =(DC +CA +211AB )·1AA =(DC +CA +211AA +2111B A )·1AA =-21a 2+0+21a 2+0 (a 为棱长) 同样 DM ·AB =·AB +CA ·AB +211AA ·AB +2111B A ·AB =0-21a 2+0+21a 2=0 ∴DM ⊥相交直线AB. AA 1, ∴DM ⊥平面AB B 1A 1 且 DM 平面AB 1D ∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.本题也可以建立直角坐标系,利用向量坐标证明或证明面AB 1D 与面ABC 的法向量数量积为0.[证法三]以AB 的中点O 为原点，射线OB ，OC ，OM （M 是AB 1的中点）分别为x 轴,y 轴、z 轴正向建立空间直角坐标系.如图，设所有的棱长均为2，则A （-1，0，0），B （1，0，0）D （0,3 ,1）, B(1,0,2) xy设平面AB 1D 的法向量为=（x,y,z ）由·=（x,y,z ）（1，3，1）=x+3y+z=0和·1AB =（x,y,z ）（2，0，2）=2x+2z=0 ,取n =（-1,0,1）.而平面AB B 1A 1的法向量为OC =（0, 3,0）·=（-1,0,1）·（0, 3,0）=0+0+0=0 ∴⊥∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1.[回顾]:向量坐标法解题时注意；（1）点坐标，向量坐标，向量关系三大步的运算要准确，（2）将题意转化为相应的向量计算。
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专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行【学习目标】1. 知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题；2. 过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法；3. 情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力.【要点梳理】 要点一：直线的方向向量和平面的法向量 1. 直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则为直线l 的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.要点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量. （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算.2. 平面的法向量定义：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量.要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量. 已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 3. 平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i ）设出平面的法向量为n =（x y z ，，）；（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a 1，b 1，c 1），b=（a 2，b 2，c 2）；（iii ）根据法向量的定义建立关于x y z ，，的方程.AB AB αl α⊥l a α⊥a aα0n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．要点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行. （1）线线平行 向量判定方法：设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即. （2）线面平行线面平行的判定方法一般有两种：①判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. ②向量判定：方法一：设直线的方向向量是a ，平面的法向量是n ，则要证明，只需证明⊥a n ，即0=⋅a n . 方法二：根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.方法三：根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.（3）面面平行①判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行. ②向量判定：方法一：由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可. 方法二：若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明.1l 2l a b 12//l l //a b ()k k =∈R a b l α//lααβu v //αβ//u v要点三：用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直. （1）线线垂直向量判定方法：设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即. （2）线面垂直①判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. ②向量判定方法一：设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明. 方法二：根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.（3）面面垂直①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ②向量判定：证明两个平面的法向量互相垂直.1l 2l a b 12l l ⊥⊥a b 0⋅=a b l a αu l α⊥//au【典型例题】类型一：求平面的法向量例1． 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在BC 、1DD 上是否存在点E F 、，使成为平面ABF 的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点E F 、满足的条件；若不存在，请说明理由． 举一反三：【变式1】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，AB =2，点E 为AB 的中点，求平面1CD E 的一个法向量.【变式2】已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA AD =. 求证：MN 是平面PDC 的法向量.类型二：利用向量研究平行问题例2. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1C C 、11B C 的中点．求证：MN ∥平面1A BD ．【思路点拨】这是证明线面平行问题，可以利用三种方法证明：一是证明与平面A 1BD 的法向量垂直；二是在平面A 1BD 内找一向量与共线；三是证明可以利用平面A 1BD 中的两不共线向量线性表示．举一反三：【变式】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面.1BE MN MNMN O ABCD -ABCD OA ⊥ABCD 2OA =22AD AB ==M OA N BC MN ‖OCD例3. 正方体1111ABCD A B C D -的边长为4，M 、N 、E 、F 分别是棱11A D 、11A B 、11D C 、11B C 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFBD ． 举一反三：【变式】如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，BC=2，CC 1=4，点E 在线段BB 1上，且EB 1=1，D 、F 、G 分别为CC 1、C 1B 1、C 1A 1的中点. 求证：平面EGF∥平面ABD. 类型三：利用向量研究垂直问题例4. 已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，点E ，F 分别是AB 与PD 的中点. 求证：（1）PC AF ⊥；（2）AF ⊥平面PDC ； （3）PD ⊥平面AEF .举一反三：【变式】在正方体1111—ABCD A B C D 中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：1B O ⊥平面PAC . 例5. 在正方体1111—ABCD A B C D 中，E 是棱BC 的中点，试在棱1CC 上求一点P ，使得平面11A B P ⊥平面1C DE ．举一反三：【变式】在正三棱锥P ABC -中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E 、F 分别为BC 、PB 上的点，且12BE EC PF FB ==∶∶∶. 求证：平面GEF ⊥平面PBC ． 【巩固练习】 一、选择题1. 若直线l 的方向向量1(,0,1)2=a ，平面β的法向量为(1,0,2)=--b ，则（ ）A ．l βîB ．l β⊥C ．l β⊂D ．l 与β斜交2. 已知平面α内有一个点A （2，－1，2），α的一个法向量为n =（3，1，2），则下列点P 中，在平面α内的是（ ）A ．（1，－1，1）B ．（1，3，32） C ．（1，－3，32） D ．（－1，3，32-） 3. 已知A (2，1，1)，B (-2，7，0)，C (6，4，-1)，则平面ABC 的法向量可能是（ ） A. (3,4,12) B. (1,2,4) C. (4,3,12) D. (-3,-4,12)4. 设A B C D 、、、是空间不共面的四点，且满足0,0,0AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=，则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定5. 在三棱柱'''ABC A B C -中，底面是正三角形，'AA ⊥平面ABC ，''A C AB ⊥，则与'BC 垂直的直线为（ ） A. 'B C B. AB C. 'BB D. 'AB 二、填空题6. 已知32,2,a i j k b i j k =+-=-+，则5a 与3b 的数量积等于________.7. 已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a +b 与2-a b 互相垂直，则k 的值是________. 8. 已知向量a =(λ+1，0，2λ)，b =(6，2μ-1，2)，若a ∥b ，则λ与μ的值分别是 ． 9. 在正方体1AC 中，E 为1DD 的中点，则1DB 与平面11A C E 的位置关系是________.10. 已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =，则点C 的坐标是__________.三、解答题11. 如图，矩形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，//BE CF ，BCF ∠=90︒. 求证：AE //平面DCF .12. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥，垂足为F . 证明PB ⊥平面EFD ．13. 如图，在三棱柱111—ABC A B C 中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC =2，BB 1=3，D 为11A C 的中点. 在线段1AA 上是否存在点E ，使CE ⊥平面1B DE ?若存在，求出AE 的长;若不存在，请说明理由.14. P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，且()2,1,4,AB =--()4,2,0,AD =()1,2,1AP =--. （1）求证：PA ⊥平面ABCD .（2）对于向量111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，定义一种运算：()a b c ⨯⋅=123231x y z x y z ++312132213321x y z x y z x y z x y z ---.试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值，说明其与几何体P ABCD -的体积关系，并由此猜想向量这种运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义（几何体P ABCD -叫四棱锥，锥体体积公式：V=13⨯底面积⨯高）.专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行参考答案【典型例题】类型一：求平面的法向量例1．【思路点拨】由于本题所研究的问题是在正方体这样特殊的几何体中，所以可以用坐标向量求解． 【解析】如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，1），B （1，1，1），B1（1，1，0）． 设F （0，0，h ），E （m ，1，1），则，，．∵，∴AB⊥B1E．若是平面ABF 的法向量，则，∴h=m．即E 、F 满足D 1F=CE 时，是平面ABF 的法向量．故存在，且E 、F 满足D 1F=CE ．【总结升华】求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x ，y ，z ），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x 、y 、. 所满足的两个方程，再令x 为某个特殊值，便可得出y 、z 的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x 、y 、z 的值，但在特殊条件下便可求出． 举一反三： 【变式1】【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz ，则A （1，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），D 1（0，0，1）， 所以E （1，1，0）(0,1,0)AB =1(1,0,1)B E m =-(1,0,1)FA h =-10AB B E ⋅=1B E 1110B E FA m h m h ⋅=-+-=-=1BE所以，. 设平面CD 1E 的法向量=（x ，y ，z ），则：，.所以，所以.令y=1，则x=1，z=2.所以平面CD 1E 的一个法向量为（1，1，2）. 【变式2】【解析】如图，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），P （0，0，1） ∴，∴， ∴，即⊥平面PCD ， 所以为平面PCD 的法向量. 类型二：利用向量研究平行问题例2.【思路点拨】这是证明线面平行问题，可以利用三种方法证明：一是证明与平面A 1BD 的法向量垂直；二是在平面A 1BD 内找一向量与共线；三是证明可以利用平面A 1BD 中的两不共线向量线性表示．【解析】(1,1,0)CE =-1(0,2,1)CD =-n 0CE ⋅=n 10CD ⋅=n 020x y y z -=⎧⎨-+=⎩2x y z y =⎧⎨=⎩A xyz-1(,0,0)2M 111(,,)222N 11(0,,)22MN =(1,1,1),(1,0,0)PC DC =--=-110(1)(1)1022MN PC ⋅=⨯-+⨯-+⨯=110(1)00022MN DC ⋅=⨯-+⨯+⨯=,D MN PC MN C ⊥⊥MN MN MN MNMN解法一：如图以D 为原点，DA 、DC 、DD ，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则、、D （0，0，0）、A 1（1，0，1）、B （1，1，0）， 于是. 设平面A 1BD 的法向量是n=（x ，y ，z ），则，且，得．取x=1，得y=－1，z=－1．∴n=（1，－1，－1）．又，∴． MN∥平面A 1BD ．解法二：∵， ∴，∴MN∥平面A 1BD ．解法三：∵ ． 即可用与线性表示，且与不共线，故与、是共面向量， ∴∥平面A 1BD ，即MN∥平面A 1BD ．10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭11,0,22MN ⎛⎫=⎪⎝⎭10n DA ⋅=0n BD ⋅=00x z x y +=⎧⎨+=⎩11,0,(1,1,1)022MN n ⎛⎫⋅=⋅--=⎪⎝⎭MN n ⊥1111111111111()2222MN C N C M C B C C D A D D DA =-=-=-=1//MN DA 111111122MN C N C M D A D D =-=-11111()()22DB BA D A A D =+-+11111112222DB BA D A A D =+--1111()222DB DA BA DA =++-11111102222DB DA BD DA DB =++=+⋅MN 1DA DB 1DA DB MN 1DA DB MN【总结升华】要用向量方法证明直线与平面平行，可以用共面定理来证明，即证明直线的方向向量可以用平面内两个向量线性表示；也可证明该直线的方向向量与平面内某直线平行，此时注意说明直线在平面内．本例解法一是建立坐标系，通过坐标运算证明结论，解法二和解法三没有建系，直接通过向量的分解等运算进行证明，当然，在解法二和解法三中也可通过建立坐标系，利用坐标运算来证明． 举一反三：【变式】【解析】如图，分别以AB ，AD ，AO 所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴，，法一：∵，∴共面 又平面，平面，平面，平面法二：设平面的法向量为，则，即 ，取，得 ，又平面，平面.例3.,,x y z A xyz-(0,0,0)A (1,0,0)B (1,2,0)C (0,2,0)D (0,0,1)M (1,1,0)N (0,0,2)O (1,1,1)MN =-(1,0,0)DC =(0,2,2)DO =-12MN DC DO =-MN DC DO 、、MN ⊂/OCD DC ⊂OCD DO ⊂OCD DCDO=D MN ∴‖OCD OCD (,,)n x y z =0n DO n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩2200y z x -+=⎧⎨=⎩1z =(0,1,1)n =(1,1,1)(0,1,1)0MN n ∴=-=MN ⊂/OCD MN ∴‖OCD【思路点拨】画出图形，建立适当的空间直角坐标系，写出各点坐标，将面面平行问题转化为向量问题进行解决.本题显然MN EF î，AN DE î，从这里入手较简单. 【解析】如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()()400204424000440A M N D B ，，，，，，，，，，，，，，，()()024244E F ，，，，，．∴，，()024AN=,,，()024DE=,,．可见，AN=DE ， ∴MN EF î，AN DE î，∴MN ∥平面EFBD ，AN ∥平面EFBD ． 又MNAG G =，∴平面AMN ∥平面EFBD ．【总结升华】本题中证明方法并不唯一，除了利用面面平行的判定定理外，还可以采用向量法，即：要证两个面、平行，只需求出平面、的法向量，，再证出即可.举一反三：【变式】【答案】如图所示，由条件，知BA ，BC ，BB 1两两互相垂直，以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标.由条件知B （0，0，0）、D （0，2，2），B 1（0，0，4），设BA=a ， 则A （a ，0，0）.所以，，.，.所以B 1D⊥BA，B 1D⊥BD. 因此B 1D⊥平面ABD （1）由E 、F 、G 的定义，知E （0，0，3）、、F （0，1，4）. 所以，，，.所以B 1D⊥EG，B 1D⊥EF. 所以B 1D⊥平面EFG.结合（1），可知平面EGF∥平面ABD. 类型三：利用向量研究垂直问题(2,2,0)MN =(2,2,0)EF =MN EF =αβαβu v //u v (,0,0)BA a =(0,2,2)BD =1(0,2,2)B D =-10B D BA ⋅=10440B D BD ⋅=+-=(,1,4)2aG (,1,1)2a EG =(0,1,1)EF =10220B D EG ⋅=+-=10220B D EF ⋅=+-=例4.【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将几何证明问题转化为向量的代数计算问题. 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()()()000200020002220100011A B D P C E F ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， （1）()()2,2,20,1,1PC AF =-=，， 则0PC AF ⋅=，故PC AF ⊥.（2）设平面PDC 的法向量为()1x y z =n ，，，则 11220220PD y z PC 2x+y z .⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，取()1011=n ，， 由1AF=n ，可知1AF n î， 所以AF ⊥平面PDC .（3）设平面AEF 的法向量为()2x y z =n ，，，则 1100AE x AF y+z .⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，取()1011=-n ，， 由()022PD=，，知12PD =n ， 所以1PD n î，即PD ⊥平面AEF .【总结升华】要证明线线垂直，只需要证明这两条直线的方向向量垂直即可；要证明线面垂直，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量平行.举一反三： 【变式】【答案】如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，则A （2，0，0），P （0，0，1），C （0，2，0），B 1（2，2，2），O （1，1，0）.则，， ∵， 所以OB 1⊥AC，OB 1⊥AP. 所以OB 1⊥平面PAC. 例5.【思路点拨】 若要在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P⊥平面C 1DE ，需建立恰当的空间直角坐标系，并设出点P 的坐标，求出平面A 1B 1P 与平面CDE 的法向量，建立方程求出点P 的坐标，确定点P 的位置．【解析】如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），E （，1，0）， C 1（0，1，1），设P 的坐标为（0，1，a ）．∴，，，. 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1=（x ，y ，z ），则．令z=1，则得x=a －1，所以平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1=（a －1，0，1）． 设平面C 1DE 的一个法向量为n 2=（x ，y ，z ），则，令y=1，则得x=－2，z=－1， 所以平面C 1DE 的一个法向量为n 2=（－2，1，－1）．要使平面A 1B 1P⊥平面C 1DE ，则n 1·n 2=0－2(a －1)－1=0，解得， 1(1,1,2)OB =(2,2,0)AC =-(2,0,1)AP =-1220OB AC ⋅=-+=1220OB AP ⋅=-+=1211(0,1,0)A B =1(1,1,1)A P a =--1,1,02DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭1(0,1,1)DC =1111100(1)00n A B y x y a z n A P ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨-++-=⋅=⎩⎪⎩221100200n DE x y n DC y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩⇒12a =所以当P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P⊥平面C 1DE ．【总结升华】 要用向量方法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再检验它们的数量积是否为零即可．但在求这两个平面的法向量时应小心谨慎，只要一个求错，就会得出错误的结论． 举一反三： 【变式】 【答案】如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA 、PB 、PC 所在直线分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令PA=PB=PC=3，则A （3，0，0）、B （0，3，0）、C （0，0，3）、E （0，2，1）、F （0，1，0）、G （1，1，0）、P （0，0，0）．于是，，故，∴PA∥FG． 而PA⊥平面PBC ，∴FG⊥平面PBC ．又FG 平面EFG ，∴平面EFG⊥平面PBC ． 【巩固练习】 【答案与解析】1．【答案】A【解析】由于2=-b a ，所以l βî. 2. 【答案】B【解析】 要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA 与平面的法向量n 是否垂直，即PA n ⋅是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验.对于选项A ，(1,0,1)PA =，则(1,0,1)(3,1,2)50PA n ⋅=⋅=≠，故排除A ； 对于选项B ，11,4,2PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11,4,(3,1,2)02PA n ⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭，故B 正确，同理可排除C 、D. 故选B.3.【答案】A【解析】平面ABC 的法向量为:(,,)n x y z =.(3,0,0)PA =(1,0,0)FG =3PA FG =⊂由题意，(4,6,1),(4,3,2)AB AC =--=-. 由n AB 0n AC 0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得4604320x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩，即43z x z y =⎧⎨=⎩12z =令(3,4,12)n =得故选A.4. 【答案】C【解析】∵BC ·BD ＝(AC －AB )·(AD －AB )＝AC ·AD －AB ·AD －AC ·AB ＋2AB >0， 同理CB ·CD >0，DB ·DC >0，故△BCD 为锐角三角形．因此选C.5. 【答案】D 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设三棱柱的底面边长为2，高为h .(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0).'(3,0,),'(0,1,),'(0,1,).A B C A h B h C h --'(3,1,),'(3,1,),'(0,2,)AB h A C h BC h =-=---=-2220=''=31,=2.''=02=0.AB A C h h AB BC h ⋅--⋅+-∴''BC AB ⊥6. 【答案】-15【解析】()()()2225315322153-2-2-15a b=i j k b i j k i j k ⋅+-⋅=-+==.7. 【答案】75【解析】由k a +b 与2-a b 垂直，可知()k a +b ()2=0⋅-a b ，即5-70k =，得k=75. 8. 【答案】15，12【解析】由a ∥b 得，12622-10.λλμ+⎧=⎪⎨⎪=⎩， 解得1152λμ==，.9. 【答案】平行【解析】如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体的边长为2，则1(2,0,2)A ，1(0,2,2)C ，(0,0,1)E .于是1111(2,2,0),(2,0,1),(1,1,1).AC A E DB =-=--= 设平面11A E C 的法向量为(,,)n x y z =，则 11100.A C n A E n ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，即22020.x y x z -+=⎧⎨--=⎩，取(1,1,2)n =-.111120,,DB n DB n •=+-=∴⊥ ∴1DB //平面11A C E .10.【答案】107(,1,)33-【解析】由题意可知，=3AB AC .设点C 的坐标为()x y z ，，，则()()()342316332x y z .-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，， 解得107,1,.33x y z ==-=11.【证明】如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 、y 和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -．设C BE AB a B b c ===，，，则(000)C ，，，(b0,)A a ,，(b 00)B ，，，(b c,0)E ,． ∴(0c )AE a =-，，，(b 00)CB =，，， 因为CB ⊥平面DCF ，所以CB 是平面DCF 的法向量 因为0CB AE =，且AE ⊄平面DCF ， 故AE ∥平面DCF ．12. 【证明】如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点. 设.DC a =依题意得(,0,0)A a ，(,,0)B a a ，(0,0,)P a ，(0,,)22a a E .故(,,)PB a a a =-，(0,,)22a aDE =，于是220022a a PB DE ⋅=+-=，∴PB DE ⊥， 又∵EF PB ⊥，且,EF DE E =∴PB ⊥平面EFD.13. 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系B —xyz ，则B(0，0，0)，E(22，0，32)，A1(0， 2，3)，C(2，0，0).假设存在点F ，使CF⊥平面B 1DF. ∵B 1D⊥平面AA 1C 1C ，CF 平面AA 1C 1C ， ∴B 1D⊥CF.设|AF|=b ，则F(0，2，b ，)，B 1(0，0，3). ∴CF =(-2，2，b)，1B F =(0，2，b-3). 由CF ·1B F =0，得2+b(b-3)=0， 解得b=1或b=2.因此，当b=1或b=2时，CF⊥B 1F ，BD⊥CF，即在线段AA 1上存在两点F ，使CF⊥平面B 1DF ， 此时AF 的长为1或2.14. 【解析】（1）(2,1,4)(1,2,1)2(2)40AP AB ⋅=--⋅--=-+-+=，∴AP AB ⊥，即AP AB ⊥.∵(1,2,1)(4,2,0)4400AP AD ⋅=--⋅=-++=DA BEFCyz x∴AP AD ⊥即AP AD ⊥， 又∵ABAD A =，AD ABCD ⊥面（2）()48,AB AD AP AB AD ⨯⋅=⋅=又c o s V ＝1sin 163AB AD AB AD AP ⋅⋅⋅⋅= 猜测：()AB AD AP ⨯⋅在几何上可表示以AB ，AD ，AP 为棱的平等六面体的体积（或以AB ，AD ，AP 为棱的四棱柱的体积）。