赫尔德不等式在高中数学中的应用(一)

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赫尔德不等式及其应用

赫尔德不等式及其应用
阿赫尔德不等式(Hölder Inequality)是一种常用的数学方法，它紧密地关联了向量空间的重要性质，且在各种学科领域有着广泛的应用。

它可以用来证明多种重要概念，如Both-Ends抗边界条件，等腰三角形定理等。

具体来说，阿赫尔德不等式指出一个界定布尔函数和向量空间度量函数之间存在着一种关系：当布尔函数的次幂小于1时，若两者的积大于0，则认为布尔函数和向量空间度量函数是统一的。

这一不等式描述了实数函数在。

自变量取非0值时的增长情况，因此它可以用来检验函数的收敛程度, 体现函数的趋势，以及探索函数的变化规律。

除了适用于数学分析之外，阿赫尔德不等式也有许多应用到其他学科领域。

例如，在护理、社会学、教育学等领域，其可以被用来证明这些领域内的研究假设，以及比较不同过程中的结果数据；在生物医学领域，阿赫尔德不等式能够用来分析病理学指标的极端值，帮助医疗工作者进行诊断和判断；在经济学领域，该不等式可以应用于定价的实际策略、投资风险的控制等方面；在物理学领域，阿赫尔德不等式能够描述一定流体的特性和原动力，并以此来解释流体的运动轨迹，例如激波等。

可见，阿赫尔德不等式是一个广泛运用且重要的数学方法，它蕴含着信息量较多，可以证明多项概念，其应用可见高校及高等教育领域。

高中赫尔德不等式

高中赫尔德不等式高中赫尔德不等式=================一、引言在数学中，不等式是研究和应用最广泛的数学概念之一。

不等式不仅在基础数学中具有重要的地位，而且在各个领域中都具有广泛的应用，包括数论、代数、几何和概率论等。

在这篇文章中，我们将着重讨论高中阶段学习中重要的不等式之一——赫尔德不等式。

二、赫尔德不等式的定义赫尔德不等式是由德国数学家奥图·赫尔德（Otto Ludwig Hölder）在1889年提出的。

它是一种针对实数集合间的不等式，特别适用于处理函数的平均值和积分的估计等问题。

赫尔德不等式可以用以下形式表示：其中，ui 和 vi 是实数，p 是一个大于 1 的实数。

三、赫尔德不等式的证明我们可以通过一种简单的方式来证明赫尔德不等式，基本思想是利用柯西-施瓦茨不等式。

根据柯西-施瓦茨不等式，我们有：应用柯西-施瓦茨不等式的思想，我们可以得到：根据不等式的性质，我们可以看出赫尔德不等式成立。

四、应用示例赫尔德不等式可以应用于许多领域，如概率论、数论和几何学等。

下面我们举一个简单的实例来说明其应用。

假设有两个实数序列 {ai} 和 {bi}，我们想要估计它们的内积。

根据赫尔德不等式，我们可以得到：通过这个估计，我们可以得到内积的一个上界值。

这在概率论中经常应用于估计协方差等问题。

五、总结与回顾通过对赫尔德不等式的深入讨论，我们可以得出以下要点：- 赫尔德不等式是一种适用于实数集合的不等式，特别适合用于处理函数的平均值和积分问题。

- 赫尔德不等式可以通过柯西-施瓦茨不等式进行证明。

- 赫尔德不等式在概率论、数论和几何学中具有广泛的应用。

六、观点与理解赫尔德不等式作为数学中的一种基本不等式，在高中数学中也是重要的学习内容之一。

通过了解和掌握赫尔德不等式，我们可以提升我们处理函数积分和平均值等问题的能力。

赫尔德不等式还可以为我们打开更深入的数学领域，为我们进一步学习和研究提供基础。

赫尔德不等式的推论变形与运用

程．同时由于问题本身的趣味性、挑战性，学生表现出浓厚的兴趣，成功的体验更使他们充满自信，在被中国古代数学的辉煌成就所吸引、所感染的同时，实现数学情感的升华．根据数学学习的三个阶段：输入阶段（猜想）、新旧知识相互作用阶段（探秘、破解）和操作应用阶段（设计），无论是激趣还是设疑，郑老师都充分考虑了学生的认知基础，保证在学生的最近发展区内，学生有兴趣、能理解、可接受、能解决．《上海市中小学数学课程标准》指出：“数学教学的设计和实施方式，要由‘重教’转为‘重学’，由‘强制学生适合教学’转为 ‘创造适合学生的教学’．达到‘教’为‘学’服务，促使学生‘爱学’、‘会学’和‘会思考’．”郑老师的这节课做到了．参考文献
性中，有三种健康风险因子的男性的比例是÷．在没
０
有健康风险因子Ａ的男性中，没有这三种健康风险
＾
因子的男性的比例是上，其中声，ｑ是互质的正整
ｑ
数，求Ｐ＋ｏ的值．３．如图１（１），一个矩形边长分别为ａ与３６．在矩形的每个顶点与长为３６的边的中点处各装了一个铰链，将长为ｎ的边向下压，在压的过程中保持长为ａ‘的边互相平行，得到一个如图１（２）所示的凸六边形．当这个六边形的长为ａ的边互相平行，且距离为２４时，六
同时由于问题本身的趣味性挑战性学生表现会为学生打开一扇窗透过这扇窗他们会感到还有出浓厚的兴趣成功的体验更使他们充满自信在被一个更神秘更美妙的世界
上海中学数学・２０１４年第５期
赫尔德不等式的推论变形与运用
２００１３６
复旦大学附属中学
黄立羽
一、引式：赫尔德不等式
暑２＋象２≥糕（ｍＡｌ，ａ２
程如下：
Ｊ一１ｉ＝１ｉ一１
［１］刘胜华．天工开物２［Ｍ］．上海科学技术文献出版社，

卡尔松不等式和赫尔德不等式

卡尔松不等式和赫尔德不等式卡尔松不等式和赫尔德不等式是数学中的两个重要的不等式。

下面我们将分别介绍这两个不等式的定义、证明以及应用。

一、卡尔松不等式1.定义卡尔松不等式是指对于任意非负实数$x_1,x_2,...,x_n$和任意正整数$p$，有以下不等式成立：$$(x_1^p+x_2^p+...+x_n^p)^{\frac{1}{p}}\leqslant(x_1^{p+1}+x_2^{p+1}+...+x_n^{p+1})^{\frac{1}{p+1}}$$其中$p\neq-1$。

2.证明卡尔松不等式的证明可以采用数学归纳法。

当$p=1$时，左右两边都是$n$个数的算术平均数，显然成立。

假设当$p=k$时不等式成立，则当$p=k+1$时，有：$$\begin{aligned}&(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})^{\frac{1}{k+1}}\\=&[(x_1^k+x_2^k+...+x_n^k)x_1+(x_1^k+x_2^k+...+x_n^k)x_2+...+(x_1^ k+x_2^k+...+x_n^k)x_n]^{\frac{1}{k+1}}\\=&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})+(x_1^kx_2+x_1^kx_3+ (x)1^kx_n+x_2^kx_1+x_2^kx_3+...+x_2^kx_n+...+x_n^kx_1+x_n^kx_2+...+x _n^kx_{n-1})]^{\frac{1}{k+1}}\\\geqslant&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})]^{\frac{1}{k+1}}+\lef t|\frac{x_1^kx_2+x_1^kx_3+...+x_1^kx_n+x_2^kx_1+x_2^kx_3+...+x_2^k x_n+...+x_n^kx_1+x_n^kx_2+...+x_n^kx_{n-1}}{(k+1)(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})^{\frac{k}{k+1}}}\right| ^{\frac{1}{k+1}}\\=&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})]^{\frac{1}{k+1}}+\left[\frac{ \sum_{i<j}x_i^kx_j^k}{(k+1)(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})^{\fr ac{k}{k+1}}}\right]^{\frac{1}{k+1}}\\\geqslant&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})]^{\frac{1}{k+1}}\\ \end{aligned}$$其中，最后一步应用了均值不等式和幂平均不等式。

高中赫尔德不等式

高中赫尔德不等式摘要：1.简介赫尔德不等式的背景和意义2.赫尔德不等式的数学表达式及条件3.赫尔德不等式的证明思路和方法4.赫尔德不等式在实际问题中的应用5.赫尔德不等式与其他不等式关系的对比6.结论与展望正文：赫尔德不等式（Holder"s Inequality）是数学领域中一个重要的不等式，广泛应用于不等式分析、概率论、数值分析等领域。

本文将对赫尔德不等式进行详细的阐述，包括其数学表达式、证明方法以及在实际问题中的应用。

赫尔德不等式是由德国数学家赫尔德（Holder）于19世纪末提出，其目的是为了研究函数的积分和不等式之间的关系。

赫尔德不等式的数学表达式如下：设函数f(x)在区间[a, b]上可积，函数g(x)在区间[a, b]上连续，则有：∫[a, b]f(x)g(x)dx ≥ μ∫[a, b]f(x)dx × ∫[a, b]g(x)dx其中，μ为常数，且μ> 0。

要证明赫尔德不等式，我们可以采用数学分析的方法。

首先，我们将赫尔德不等式的左右两边分别看作两个函数的乘积，然后通过积分区间分割、放缩法等手段，将问题转化为比较两个积分的大小。

具体证明过程较为复杂，这里不再详细展开。

赫尔德不等式在实际问题中具有广泛的应用，例如在概率论中，它可以用来估计随机变量的不确定性；在数值分析中，它可以用于求解偏微分方程的解。

此外，赫尔德不等式还与其他著名的不等式（如柯西不等式、闵可夫斯基不等式等）有密切关系，通过对比研究，我们可以更深入地理解这些不等式的本质。

总之，赫尔德不等式是数学领域中一道亮丽的风景线，它不仅丰富了不等式理论，还在诸多实际问题中发挥着重要作用。

对赫尔德不等式的深入研究，有助于我们更好地把握不等式的应用范围，提高解决问题的效率。

谈谈赫尔德不等式

6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸函数，不等式③反向，从而，相应地有不等式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引用如下不等式：几何不等式若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。

高中数学竞赛holder不等式

高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。

它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。

2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。

霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。

霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。

3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。

4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。

当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。

当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。

5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。

根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。

赫尔德不等式的推广应用

的实际目的Ｊ。
三、赫尔德不等式在最小值问题中的应用最值问题的解决是赫尔德不等式应用的重要形式之一，在特殊情况下赫尔德不等式对最小值问题的解决要比其他不等式形式优秀的多，尤
原理、证明方式和应用变形。关键词：赫尔德不等式；推广；应用
等式变形应用的基础不等式形式为 ≥
（其中ａＩ，ａ２，Ａ。，Ａ２
Ｒ），其变形过程如下所示：由柯西不等式得（）（Ａｌ＋Ａ２）≥ （）＝（ａ１＋德不等式本身是蕴含大量变化形式的，其在不同领域和不同具体问题中的应用形式是其本质数理关系的外在体现，这种体现是以保证赫尔德不等式的应用效果为目的的，学生在赫尔德不等式的应用中首先应该深入的了解赫尔德不等式的本质数理关系内涵，了解赫尔德不等式的基础形式，在其基础上充分利用巧妙拆系数、增加项的转换方法对赫尔德不等式的外在表现形式进行转化，最终形成满足目标应用要求的赫尔德不等式形式，达到赫尔德不等式应用
一
上例是赫尔德不等式的基础形式，这一形式也可以说是赫尔德不等式存在的一种最简形式，绝大部分的赫尔德不等式变形应用都是在其基础实现的，主要的实现方式是利用数理和构造的方法对赫尔德不等式的系数和外在表现形式进行改造，改造活动应该以其应用的问题实际为目标，最终改变赫尔德不等式的表现形式实现赫尔德不等式的推广和
Ｈ十Ｄ
在ＩＪＰ（ｓ）内，则ｆｇ在Ｌ（ｓ）内，且有ｆｇｌ ≤ｆｐｇｑ日，在这一情况下对ｓ进行赋证明，证明：因为

高中赫尔德不等式

高中赫尔德不等式1. 引言赫尔德不等式（Hölder inequality）是数学中的一种重要不等式，由德国数学家奥托·赫尔德（Otto Hölder）于1889年提出。

它是数学分析中的基本工具，广泛应用于概率论、统计学、函数分析等领域。

在高中数学中，赫尔德不等式是一种常见的数学工具，用于证明各种数学定理和解决各种问题。

本文将详细介绍高中赫尔德不等式的定义、证明及应用，帮助读者更好地理解和运用这一重要的数学工具。

2. 定义高中赫尔德不等式是指对于给定的两个正实数序列 {a i } 和 {b i }，以及实数 p 和 q ，满足以下条件： 1. p >1 和 q >1； 2.1p+1q =1。

则有不等式：∑a i ni=1b i ≤(∑a i pni=1)1p(∑b i q ni=1)1q其中，∑n i=1 表示对序列中的元素求和，a i 和 b i 分别表示两个序列中的第 i 个元素。

3. 证明高中赫尔德不等式可以通过数学归纳法证明。

首先，我们可以通过引入一个辅助函数来简化不等式的证明。

定义函数 f (x )=e x ，则根据函数 f (x ) 的性质，我们有 f″(x )=e x >0，即函数 f (x ) 是凸函数。

对于任意的正实数 a i 和 b i ，根据凸函数的性质，我们有：f (a i∑a i n i=1)≤1∑a i n i=1∑a i ni=1f (a i∑a in i=1)f (b i∑b i n i=1)≤1∑b i n i=1∑b i ni=1f (b i∑b in i=1) 将上述两个不等式分别对 i 从 1 到 n 求和，得到：∑f ni=1(a i∑a i n i=1)≤∑1∑a i n i=1ni=1∑a i ni=1f (a i∑a in i=1) ∑f ni=1(b i∑b i n i=1)≤∑1∑b i n i=1ni=1∑b i ni=1f (b i∑b in i=1) 接下来，我们对上述两个不等式应用赫尔德不等式的定义，即令 p =1q =1p−1，得到：∑f ni=1(a i ∑a i n i=1)≤(∑[1∑a in i=1]p−1ni=1)1p(∑a i ni=1f (a i∑a in i=1)p )1p∑f ni=1(b i ∑b i n i=1)≤(∑[1∑b in i=1]p−1ni=1)1p(∑b i ni=1f (b i∑b in i=1)p )1p由于函数 f (x )=e x 是递增的，所以上述不等式可以进一步简化为：∑a i∑a in i=1ni=1≤(1n )1p(∑a i p ni=1)1p∑b i∑b in i=1ni=1≤(1n )1p(∑b i p ni=1)1p将上述两个不等式相乘，得到：(∑a i ∑a in i=1ni=1)(∑b i∑b in i=1ni=1)≤(1n )2p(∑a i p ni=1)1p(∑b i pni=1)1p由于 a i∑a ini=1=a ip∑a ipni=1 和 b i∑b ini=1=b ip ∑b ip ni=1，所以上述不等式可以进一步简化为： ∑a i p∑a i p n i=1ni=1∑b i p∑b ipn i=1n i=1≤(1n)2p(∑a i p ni=1)1p(∑b i p ni=1)1p对上述不等式两边同时乘以 ∑a i p n i=1∑b i pn i=1，得到：(∑a ip∑a i p n i=1ni=1)(∑b i p∑b ip n i=1ni=1)≤(1n )2p(∑a i p ni=1)1p(∑b i p ni=1)1p ∑a i pni=1∑b i p ni=1由于 a ip∑a ipni=1=a ip ∑a ipni=1=1，所以上述不等式可以进一步简化为：∑a i p ni=1∑b i p ni=1≤(1n)2p(∑a i p ni=1)1p(∑b i p ni=1)1p ∑a i pni=1∑b i p ni=1将上述不等式整理，得到：∑a i p ni=1∑b i p ni=1≤(1n)2p(∑a i pni=1)1p(∑b i p ni=1)1p由于 p >1，所以上述不等式成立。

Holder不等式的几种不同形式及其证明和应用【大学毕业论文】

Hölder不等式的几种不同形式及其证明和应用Several Hölder inequalities and their proofs and applications专业:数学与应用数学**:*******:***湖南理工学院数学学院二○一一年五月岳阳摘要在初步掌握了Hölder不等式的基础上，我们进一步对Hölder不等式的几种不同的形式给出了证明. 通过证明, 进一步掌握好Hölder不等式, 并为其在各个领域的应用打下好的基础.关键词: Hölder不等式; Young 不等式;Hölder不等式的几种形式; 证明方法; 推广及应用AbstractAfter mastering several inequalities, we further give their proofs. By this, we further master the Hölder inequality and its applications.Keywords:Hölder i nequality; Young inequality; several Hölder inequalities; the method of proof; extension and application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1预备知识 (1)2 Hölder不等式的几种不同形式及其证法 (5)2.1 Hölder不等式的离散形式及其证法 (5)2.2 Hölder不等式的积分形式及其证法 (7)2.3 Hölder不等式的概率形式及其证法 (9)3 Hölder不等式的推广及应用 (10)3.1 Hölder不等式的推广．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 103.2 Hölder不等式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 参考文献 (14)0 引言Hölder 不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥了重要作用, 使用的技巧灵活多样, 得到的结果极为深刻. 然而在数学知识体系中Hölder 不等式的证明出现较晚, 限制了它的早期传播和使用.于是, 首先我们给出了几条常用的定理以及某些定理的证明, 根据这些重要定理与初等数学之间的联系以得到Hölder 不等式的几种不同形式的证明; 其次, Hölder 不等式又经常以另外两种形式出现. 一种是离散量的形式, 另一种是连续量的形式. 本文中通过借助三个引理, 在给定条件下, 先后证明了离散形式的Hölder 不等式及积分形式的Hölder 不等式; 再次, 由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分, 这种类型的不等式在许多方面都有着重要的应用, 特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出. 因此, 我也给出了Hölder 不等式的概率形式的证明.Hölder 不等式的不同形式的证明及其推广, 可使此不等式就能在初等数学阶段中给予介绍, 有利于传播和使用, 并能揭示相关结果的本质, 再充分发掘利用此结果, 能使许多问题得到新的简单而又直接的解决, 体现数学的威力, 训练使用这些知识的技巧和能力, 能为以后的发展奠定基础.总之, 著名的Hölder 不等式在分析学中起着非常重要的作用, 它的证法与推广能解决很多实际问题. 在已有结论的基础上对Hölder 不等式进行证明, 推广及应用做了一些初探, 探求多种简洁的证明方法、推广形式, 通过对其不同形式的证明, 探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧, 并通过对其在不同程度的推广, 加强了对Hölder 不等式的应用.1 预备知识为了方便证明, 本文先给出一些必要的引理．1.1（引理1）设12,n a a a ⋅⋅⋅不全相等且121,0,1,2,,n i q q q q i n ++⋅⋅⋅+=>=⋅⋅⋅，则(,)(,),G a q M a q <即12121122.n q q q n n n a a a q a q a a q ⋅⋅⋅<++⋅⋅⋅+1.2(引理2),r s E ξξξ-设为一个正随机变量，r,s 为任意正实数，且E 存在，)().r ss r E E ξξ--≥则有（1.3(引理3)设,0,1,αβαβ>+= 那么对于0x >，有x x ααβ≤+（1x =时，等号成立）.证明:考察函数()0,f x x x ααβ=--<我们发现(1)10,f αβ=--=又由于 '1()(1).f x x αα-=-当1x >时，'1(1)0,f x x αα--≤（）= 函数()f x 在∞（1，+）上是减函数. 所以，()(1)0,f x f ≤=因此，当1x >时不等式成立. 当01x <≤时，'1()(1)0,f x x αα-=->函数()f x 在（0，1]上是增函数.所以，()(1)0,f x f ≤=因此对一切0,x >不等式0x x ααβ-+≤成立. 由此引理得证.1.4 (引理4)（基础关系式）设,0,A B ≥ 则()[]11,0,1.A B A B ααααα-≤+-∈ (1) 证明：若,A B 中有一个0, 则（1）式显然成立.设A,B 均不为零, 将（1）式两边同时处以B , 得()1.A A B B ααα⎛⎫⎛⎫≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令=.Ax B则上式变为 ()1.x x ααα≤+- （2）所以, 我们只需证明（2）式成立就可以了. 令()()+-10,01)f x x x x αααα=-><<，(，则()()'111,(0,01).f x x x x αααααα--=-=-><<令()()'111=0f x x x ααααα--=-=-，得1.x =对()'f x 再求导, 得()()''21.f x x ααα-=-以1x =代入()''f x 的表达式中, 得()()()''1=10,01,10.f αααα-<<<∴-<由则1x =是()f x 的极大值点.故()1=0f 是函数在()0,+∞上的最大值.所以，当0x >时()+1(01)x x αααα≤-<<成立, 从而（1）式成立. 证毕.设0,a x b=>由引理4的不等式可以得到,a b a b αβαβ≤+这个不等式对任何,0a b >都成立, 同时这个不等式是引理1的二元形式.1.5 (引理5)（Young 不等式）设,0,,1a b p q ≥> .且111,p q+=则以下不等式成立：p q a b ab p q ≤+，当且仅当p q a b =等号成立.证法一：当0ab =时, 以上不等式显然成立.当0ab ≠时, 令11=,1,p q αα-=则1111,(1)11p q p p qα==>+=-- 其次, 对于1,(0,01),x x x αααα-≤-><<上式两端同时乘以()0,q q b b > 有.q p q q pa b abp q--≤ 由111p q +=可得 1.q pq qq p p--==所以.p q a b ab p q ≤+ 证毕. 证法二：考察函数().x f x e =显然()f x 是凸函数.因此，1、当0ab ≠时， 11ln ln ln ln ln 11p q p qa b aba b p qab eee e p q+==≤+ 11,p qa b p q =+ 上式不等号是由于凸函数的性质. 2、当 0ab =时，显然有11.p qab a b p q≤+ 由上述1和2, 引理5得证.1.6 (引理6)若()f x 在[],a b 上连续, 将[],a b n 等分 (分点包括两端点)，有(0,1,,),i b a x a ii n n -=+=⋅⋅⋅ 记等分的每个小区间长度为,b ax n-∆= 而()()+=,i i b a f x f a i f a i x f n -⎛⎫=+∆= ⎪⎝⎭ 则有：()()11111lim lim +.n n b i a n n i i b a f x f a i f x dx n n n b a →∞→∞==⎡-⎤⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑⎰ 证明：由,b a x n -∆=得.b an x-=∆ 又由()f x 在[],a b 上连续，()f x 在[],a b 上存在定积分，而()1ni i f x x =∆∑是()f x 在[],a b 上的“积分和”的一种特殊情况.故有()()1111lim lim ()n n b i i a n n i i x f x f x f x dx n b a b a →∞→∞==∆⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦∑∑⎰.证毕.1.7 (引理7)设E 是R 中给定的可测集, ()f x 是定义在E 上的可测函数.≥p 1, 若()pf x 可积, 称f 是p 幂可积的函数构成一个类，记成()p E L 或简称为p L , 称为p L 空间，即{}=:pp m EL f fd <∞⎰对于pL 空间的元f , 称{}1pPmpEffd =⎰为f 的范数.2. Hölder 不等式的多种形式及证明方法2.1 Hölder 不等式的离散形式及其证明离散形式：设,0(1,2,),,1k k a b k n p q >=⋅⋅⋅≥以及111,p q+= 则 11111nnnpqp q k kk k k k k a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑, 等号成立当且仅当k a 与k b 成比例. 证法一：1111111111npqp q kkn k kkn n p q k n n p q p q k k k k k k k k a ba b a b a b ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=≤ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11111111111pq pq n n n k k kk n n n np q p q k k k k k k k k k k k a b a b p q p q a b a b =======⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑ 111.p q=+=（应用引理5）因此11111nnnpqp q k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑成立.当且仅当11=pqk k nnp q kkk k a b ab==∑∑时等号成立.证法二：在引理4中, 取1=,,p k A A pα= 则式子变为11.p qk k k k A B A B p q≤+ 将上式两边对k 求和, 便得11111,nnn p qk kkk k k k A B A B p q ===≤+∑∑∑ 令 1111,k k k k n n pqp q k k k k a b A B a b ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑代入上式, 即有111111111pn n n n p q p q k k k k k k k k k n p p k k a a b a b p a =====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑11111111.qn n n p q p q k k k k k k n q q k k b a b q b ====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 即11111111111.nnnnnpqpqp q p q k k k k k k k k k k k a b a b a b p q =====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑ 所以11111.nn npqp q kkk kk k k a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑证法三：在引理5中我们取1111,,k kn n p q p q k k k k a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(1,2,3,).k n =⋅⋅⋅ 引理5式变为11111p k kk nn n pqp p q k k k k k k a b a p a a b ===≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1.q knq kk b q b =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑将上面两边对k 求和便得 1nk k k a b =≤∑1111111111.nnnnpqpqp q p q k k k k k k k k a b a b p q ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 所以11111.n n npqp q k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2 .2 Hölder 不等式的积分形式及其证明积分形式：设(),()f x g x 在[],a b 上可积, 其中1,1,p q >>且111p q+=, 则有 11()().pqbbbpqaaaf g dx f dx g dx ⋅≤⎰⎰⎰证法一：令11,,()()pqb b pqaaf g m n f dx g dx ==⎰⎰则利用引理5得1111()()pq bbpqpqbb pqaaa af g fgpqf dxg dxf dxg dx ⋅≤+⎰⎰⎰⎰两边关于x 在[],a b 上积分有11111,()()bap qbbpqaafg dxp qf dxg dx ≤+=⎰⎰⎰从而有11()().pqbbbpqaaafg dx f dx g dx ≤⎰⎰⎰得证.证法二:设,f g 为[],a b 上的非负可积函数，则当()0f x ≡或()0g x =时, 上式显然成立.令(0,1,,),i b a x a i a i x i n n-=+=+⋅∆=⋅⋅⋅（）则由Hölder 不等式的离散形式可知11111()()(),=()pq nnnpqi i i i i i i i i i i f g f g f f x g g x ===≤=∑∑∑ ().（1）在（1）两端同时乘以1n, 有 1111111()().pqn n npq i i i i i i i f g f g n n ===≤∑∑∑ （2）（2）式右端11111()()pqnnpqi i i i n f g -==∑∑=111111()()pqnnp q pqiii i nf g ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===∑∑1111.pqpqnni i i i f g nn==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑于是，（2）式就转化为11111.pqpqnnni i i i i i i f g f g n n n ===⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 而,b ax n-∆=故b a n x -=∆，将n 代入上式, 得 11111.pqpqnn ni i i i i i i x x x f g f g b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆∆∆≤⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ （3）即11111111pqpqnn n i i i i i i i f g x f x g x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤⋅∆⋅⋅∆ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑（4）对（4）式两端取极限，当n x →∞∆→，０时, 并由引理6得1111..pqpqbbb aa a f g dx f dx g dxb ab a ⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 化简上式, 即得11..p qpqbb b aa a f g dx f dx g dx ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰证毕.2.3 Hölder 不等式的概率形式及证明概率形式：设ξ为一个正随机变量, ,r s 为任意正实数且r s E E ξξ-、存在.则有().r ss r E E ξξ--≥（）证明：令1+(),();r r s s r s r srE a f x a x a x sE ξξ---==+ 则由0a >且()f x 在∞（0，）上有最小值 [()()].s rr ss r s r r sm as r-++=+ 因此有[()()].s rrssrr ss rs r r s a a as rξξ---+++≥+ 取期望得[()()]s r rssrr ss r s r r sa E a E as rξξ---+++≥+，而()=()()s r r s s r r s s s r r r s s rs ra E a E a a E a E m E E ξξξξξξ------++++=所以()()1s r r s s rs rE E ξξ-++≥ 即 ()().r s s r E E ξξ--≥3 Hölder 不等式的推广及应用3.1 Hölder 不等式的推广定理设i p 满足111,ni ip ==∑且0,i p > 则对任何可测函数(),i p i f L E ∈有121212.......nn m np p p Ef f f d f f f ≤⋅⎰证明：当2n =时显然成立.（即Hölder 不等式的积分形式）假设当n k =时成立, 即 (2)12121kp np p m Ek f f f d f f f ⋅≤⎰（1）这里i p 满足12111...1,0ik p p p p ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭且下面验证当1+=k n 时结论是否成立. 即验证当121111...1,0i k p p p p ++++=>且时1321121121......+++⋅≤⎰k p k p np p m Ek k f f f f d f f f f 是否成立.令=l 1k p p p 1 (112)1+++，则1111k l p ++=且121111,k p p p l l l=++⋅⋅⋅+由Hölder 不等式得m Ek k d f f f f ⎰+121...1121121...+++⋅⋅⋅⋅≤=⎰k p k lkm k Ek f f f f d f f f f ，（2）由假设得到.})({})({})({ (2)2112121kkp lm Elp lk p lm Elp lp lm Elp lm lEk d f d f d f d f f f ⎰⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅≤kkp lm p Ek p lm p Ep lm p Ed f d f d f }{}{}{221121⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅=．所以lm lEk lkd f f f f f f 12121}...{...⎰=kkp lm p Ek p l m p Ep lm p Ed f d f d f }{}{}{221121⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅≤kp np p f f f (2)121⋅=代入（2）式即得结论, 命题得证.注：此结论形式上与Hölder 不等式积分形式有细微差别, 但由于1212m m EEf f f dm f f f dm ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⎰⎰恒成立，所以上述命题的结论也可以改成：121212.nm np p p Ef f f dm f f f ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⋅⎰从定理可以看出, 当2n =时，不等式就是积分形式的Hölder 不等式. 因此，不等式（1）是积分形式的Hölder 不等式的推广.3.2 Hölder 不等式的应用1）卷积形式的Young 不等式：设)1)((),(1∞≤≤∈∈p R L g R L f n p n , 则p pg fgf 1≤*;2）广义形式的Young 不等式：,111),,1)((),(≥+∞≤≤∈∈qp q p R L g R L f n q n p 则有),(n r R L g f ∈* 且有).1111(,rq p g fgf q pr+=+≤* 证明：当1=q 时，p r =，就是通常的Young 不等式. 当∞=q 时，1,=∞=p r ，此时成立是显然的. 下面只考虑1,p q <<∞的情形，由1111p q r+=+得 111111,pq r q r r p q-+=+<+<<，11111()()1p r q r r-+-+=，1111/(1)/(1)p q rp q r r++=--，利用Hölder 不等式得 ()()nR f g f y g x y dy *=-⎰111()()(()())np q pqr rrR f y g x y f y g x y dy --≤--⎰111(()())np q qprrrp qR f gf yg x y dy --≤-⎰.对上式两端取r 次方，在n R 上积分后，取1r次方，即得结果.3）积分形式的闵可夫斯基不等式：如果1p ≤<∞，对于(),()P p u L v L ∈Ω∈Ω，有()p u v L +∈Ω，并且pp p u vu v +≤+.证明：当1p =时，由绝对值的三角不等式关系，显然成立. 当1p >时，我们应用Hölder 不等式积分形式的技巧来证明. 当1p >时，1pp u v u vu v -+=++11p p u u vv u v--≤+++，因此，由（2.2）Hölder 不等式的积分形式我们有11pp p u v dx u u vdx v u vdx --ΩΩΩ+≤+++⎰⎰⎰1111()()()()p p ppppppppu u v v u v --ΩΩΩΩ≤+++⎰⎰⎰⎰即111()()()ppppppu v dx u dx v dx ΩΩΩ+≤+⎰⎰⎰，即 pp p u v u v +≤+. 证毕.注：当1p >时，上述等号成立当且仅当存在两个不全为零的非负数12,c c ，使得12()()c u x c u x =；这里, 应用积分形式的Hölder 不等式证明了上述形式的不等式.致谢本文是在张映辉博士的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 王松桂，贾忠贞. 矩阵论中不等式[M]. 合肥：安徽教育出版社，1994.[2] HARDY G H，LITTLEWOOD J E，POLYA G. 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赫尔德不等式在高中数学中的应用

赫尔德不等式在高中数学中的应用什么是赫尔德不等式？
赫尔德不等式，又称赫尔德积分不等式，是数学分析中的一种重要不等式。

它描述了两个函数的乘积在某些条件下的上界。

赫尔德不等式的一般形式为：
若函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续且非负，则有：
∫[a,b] f(x) * g(x) dx ≤ (∫[a,b] f(x)^p dx)^(1/p) * (∫[a,b] g(x)^q dx)^(1/q)
其中，p和q是满足1/p + 1/q = 1的正实数。

赫尔德不等式在高中数学中的应用
赫尔德不等式在高中数学中有广泛的应用，特别是与积分相关的问题。

下面列举了一些常见的应用场景：
•证明两个函数的乘积的积分上界；
•证明柯西-施瓦茨不等式、柯西不等式等其他重要不等式；
•求解函数极值问题；
•计算特定曲线下的面积。

示例：证明两个函数的乘积的积分上界
假设我们要证明函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上的乘积的积分上界。

我们可以利用赫尔德不等式进行推导：
∫[a,b] f(x) * g(x) dx ≤ (∫[a,b] f(x)^2 dx)^(1/2) * (∫[a,b] g(x)^2 dx)^(1/2)
通过选择合适的函数f(x)和g(x)，我们可以得到具体问题的解答。

小结
赫尔德不等式是高中数学中的重要内容，它在解决函数乘积的积分上界、证明其他不等式以及求解函数极值等问题中有广泛的应用。

熟练掌握赫尔德不等式的使用方法，对于理解数学知识和解决实际问题都具有重要意义。

用赫尔德不等式证明幂平均不等式

用赫尔德不等式证明幂平均不等式1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个数学里的小故事，特别是关于赫尔德不等式和幂平均不等式的那些事。

虽然听起来有点深奥，但其实就像和朋友聊生活一样，简单又有趣。

准备好了吗？那就一起出发吧！2. 赫尔德不等式的背景2.1 赫尔德不等式是什么？首先，让我们来认识一下赫尔德不等式。

这可不是某个古代哲学家的名字，而是一个数学定理，告诉我们在某些条件下，两个数的乘积的平均值是如何和各自的平均值相联系的。

听起来有点复杂吧？没关系，我们来拆解它。

简单来说，赫尔德不等式在说，如果你有两个正数的序列，乍一看，这两个序列的乘积的“平均值”总是不会超过它们各自的“平均值”。

是不是听上去有点像“人比人，气死人”呢？对，就是那种感觉。

2.2 幂平均不等式的故事接下来，我们聊聊幂平均不等式。

幂平均不等式可以说是一个家庭聚会，家庭成员有点复杂。

它告诉我们，当你有一组非负数时，选择不同的幂次会得到不同的“平均值”，而大的幂次总是大于小的幂次。

想象一下，你在选朋友时，总是会选择那些更“优秀”的人，这不就像是在做幂平均吗？比如说，几乎所有人都喜欢吃甜的，但有时候也得吃点咸的。

换句话说，甜的就是高幂，而咸的就是低幂。

3. 用赫尔德不等式证明幂平均不等式3.1 公式的准备现在，我们准备进入真正的证明环节。

先别急，别跑，听我慢慢道来。

我们要证明的幂平均不等式大概可以写成这样：设 ( a_1, a_2, ldots, a_n ) 是一组非负数，( p > q )，那么：left( frac{a_1^p + a_2^p + cdots + a_n^p{n right)^{frac{1{p geq left( frac{a_1^q +a_2^q + cdots + a_n^q{n right)^{frac{1{q。

这就像是一场大聚会，左边是高能量的甜点，右边是口味稍淡的零食。

我们的目标就是要证明，甜点的能量总是高于那些咸咸的零食。

2025高考数学培优25讲1.不等式拓展

第1章不等式拓展1.1赫尔德不等式一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：赫尔德不等式高中常用形式:（其中,,(1,2,,)i i i a b c i n = 非负）一:()()()3112233a b a b a b +++≥二:()()()3111222333a b c a b c a b c ++++++≥三:()()()111121212,n n n a b z m a a a b b b z z z +++++++++共个字母m≥+ ，取等条件：111::::::(2,,)i i i a b z a b z i n == ，2m =时,赫尔德不等式即柯西不等式.二、【典型例题】1．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y+最小值．2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．1.2柯西不等式1.2.1整式类型一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：1.二维柯西不等式：设a ，b ，c ，d 均为实数，有22222()()()a b c d ac bd ++≥+当且仅当a bc d=时等号成立；向量法证明：()()22222,,,,cos 1cos ()()()m a b n c d m n m n m n ac bd a b c d ac bd θθ⎧==≤⎪⎪⇒=≤⎪⎨⎪⇒+≤⎪⎪⇒++≥+⎩；取等时向量共线，即a b c d =；代数法证明：()()()2222222222222222222222()22()0a b c d ac bd a c a d b c b d a c acbd b d a d b c acbd ad bc ⎧⎪⎪⎨⎪⎪++-+=+++-++=+-=⎩-≥易知取等条件是ad bc =，解答题用到柯西不等式，即可证明；2.n 维柯西不等式：222222222123123112233(......)(......)(......)n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++≥++++，其中字母值域均为R ，当且仅当312123......n na a a ab b b b ====时等号成立，n 维向量证明（不作要求）;二、【典型例题】1．（福建·高考真题）设,a b R ∈，2226a b +=，则a b +的最小值是（）A．-B．3-C．3-D．72-2．（江苏·高考真题）若,,x y z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值为．3．（湖南·高考真题）设,x y R ∈,则222211(4)x y y x++的最小值为．4．（全国·高三专题）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=+的最大值为（）C．D．5．（全国·高三专题）设,a b R ∈，且2210a b +=，则a b -的取值范围为______.6．（全国·高三专题）已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=，的最大值为（）A．3B．C．18D．97．（湖北·高考真题）设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b c x y z++=++（）A．14B．13C．12D．34三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知1,1x y >->-，且(1)(1)4x y ++=，则xy 的最大值是．2．（全国·高三专题）已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是．3．（陕西·高考真题）设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，的最小值为．4．（浙江湖州·高三期末）已知x ，y ∈R ，且3x y +=，+的最小值是．5．（全国·高三专题）已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为．6．（重庆卷）已知正数,x y 满足5x y +=的最大值为．7．（全国·高三专题）对于0c >，当非零实数a ，b 满足2222a ab b c -+=且使||a b +最大时，345a b c-+的最小值为．8.（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，当且仅当a bc d=时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数()f x =的最大值为（）A．B．C．12D．209.（2024·浙江·模拟预测）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=值为（）C．D．10．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．1.2.2分式类型一、【题型总结】▲适用题型：一般出现变量和以及变量的倒数和等类型可以考虑；▲方法原理：模型一：2222222()()()m n a b m n a b++≥+；例如：211()()a b a b ++≥=4；模型二：2[()(1)]()1a b a bx x x x x x+=+-+≥--1二、【典型例题】1．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A．245B．285C．5D．62．（陕西·高考真题）设,x y 为正数，则14()()x y x y++的最小值为（）A．6B．9C．12D．153．（河南开封·高二阶段）已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c ++的最小值为（）A．9B．8C．3D．134．（全国·高三专题）已知1a b c ++=，且,,0a b c >，则222a b b c a c+++++的最小值为()A．1B．3C．6D．95．（天津·耀华中学一模）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121aa b ++的最小值为．6．（浙江台州·高三期末）已知正实数,a b 满足21a b +=，则4432a b b a+的最小值为．三、【习题检测】1．（山东·高考真题）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为．2．（全国·高三专题）已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为．3．（全国·高三专题）设x ，y ，z的最大值是．4．（全国·高三专题）已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是．5．（天津·耀华中学模拟预测）已知实数0a >，0b >，121a b +=，则4312a ba b +--的最小值是．6．（全国·高三专题）已知正数,,x y z 满足321x y z ++=，则24242x y y z x y++++的最小值为．7．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121a ab ++的最小值为．1.2.3待定系数类型一、【题型总结】▲适用题型：直接使用柯西发现系数不匹配则可以考虑；▲方法原理：待定系数：()()()2222222101a b m m a b ma m ⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎣⎦⎣⎦比如已知正数,a b 满足1381a b +=，则2a 解题思路：()()()()()()()()()222222241401112222131333138188511213855343255552138155a b m m a b ma m m a b a m a a b a b m a a b a a b a b b ⎧⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎨⎪=⎪⎩+≥++++=⇒⇒=+≥+=⎧=⎫⎪=⎪⎪⇒⎬⎨⎪⎪+==⎭⎪⎩柯西待定系数化简结果对比中，系数为计算答案时125a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒+⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩最小值为取等二、【典型例题】1．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足341ab +=，则a +的最小值为．2．设a ，b ，c 为正数，且2221a b c ++=，则()a a b c ++的最大值为（）A．312+B．212+C．32D．223.（2024·浙江·一模）若()2s s in i c n os x y y x +++=，则sin x 的最小值是（）A．0B．2C．3-D．12三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知实数0x >，0y >，3x y +=，+的最小值是．2．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足8a +=，则32a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若a ，b 是正实数，且121a b+=，则a b ++的最小值为．4．若实数a ，b ，c ，d 满足1ab bc cd da +++=，则2222234a b c d +++的最小值为（）A．1B．2C．3D．以上答案都不对1.3权方和不等式1.3.1分式类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有22a b x y +和x y +时，也就是柯西不等式中分式类型的题目可以考虑；▲方法原理：由柯西不等式可知222()()()a b x y a b x y++≥+，则,,,0a b x y >时，222()a b a b x y x y ++≥+当a bx y =时，等号成立．同理2222(),a b c a b c x y z x y z ++++≥++当a b cx y z ==时，等号成立．二、【典型例题】1．（山东·高考真题）若直线1x ya b+=()0,0a b >>过点12（，），则2a b +的最小值为．2．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则43y x +的最小值是（）A．245B．285C．5D．6三、【习题检测】1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足()222a b a b x y x y++≥+，当且仅当a b x y =时，等号成立．则函数()31610133f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（）A．16B．25C．36D．492．已知x >0，y >0，且11121x y y +=++，则x +2y 的最小值为．3．已知1,1a b >>，则2211a b b a +--的最小值是．1.3.2合理配凑类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接用权方和时系数不匹配需要进行配凑，或者需要先进行变形处理；▲方法原理：1.考虑分式上下同时扩大或者缩小；比如：()2,,,0p q a b p qa b ma nb=⎧⎪+>⎪+⎨⎪=⎪⎩2.考虑分子分母同除以相同字母构造目标结构；比如：()()2221111114,,11111112112111111a bm a ba b a b ma b a ba b⎧++=>+=+≥=⎪---⎛⎫⎪---+⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪--⎪⎩若,则当且仅当时取等3.系数不匹配时还可以考虑待定系数法处理；比如已知()min119233,0345a b a ba b a b⎛⎫+=>+⎪++⎝⎭求（1）待定系数：令()()()()923345345a b m a b n a b m n a m n b+=+++=+++（2）对比,a b系数，计算,m n：()()39292323435345233m n ma b a b a bm n n+==⎧⎧⇒⇒+=+++=⎨⎨+==⎩⎩（3）权方和公式计算答案：()()211252634523435333a b a b a b a b++=+≥=++++，()()234359233a b a ba b⎧=⎪++⎨⎪+=⎩当且仅当时取等；二、【典型例题】1．（全国·高三专题）若,x y R+∈，且21x y+=，则22212x yx y+++的最小值为．2．（全国·高三专题）已知正数,,x y z满足321x y z++=，则24242x yy z x y++++的最小值为．3．（全国·高三专题）若正数a，b满足111a b+=，则411a ba b+--的最小值为．三、【习题检测】1．（天津联考）已知实数0x>，1y>-，且1x y+=，则2231x yx y+++的最小值为．2．（天津南开·三模）已知0a >，0b >，1a b +=，则1132a b a b+++的最小值为．3．（全国·高三专题）已知1a >，1b >，则2211a b b a --+的最小值为．4．（金太阳百校联考）已知正数,x y 满足434x y +=，则11321y xy xy ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭的最小值为．1.3.3构造指数差1类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接权方和不等式发现指数不匹配；▲方法原理：权方和不等式拓展：若0,0,0.i i a b m >>>则()()111112121212()()()()()()m m m m n n mm m m n n a a a a a a b b b b b b ++++++++++≥+++ ，当仅当1212n na a ab b b === 时，等号成立.它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.常见变形比如：()()()()33322211122222222211111111x y x y x y x y ⎧+⎪+=+≥⎪⎪+⎨⎪⎪=⎪⎩当且仅当时取等二、【典型例题】1.（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设0,0,,0n n a b n m >>∈>N *，则()()11111123312123123m m m m m n n m m m m mn n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++≥++++ ，当且仅当312123n na a a ab b b b ==== 时，等号成立．根据权方和不等式，若0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，当1x x +sin cos 取得最小值时，x 的值为（）A．12πB．6πC．3πD．512π2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y +最小值．3．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．4．已知122,0,1x y x y>+=的最小值是．5．求()f x =的最大值为．。

赫尔德不等式一阶形式

赫尔德不等式一阶形式赫尔德不等式是数学的一块重要砖石，它定义了一个数学空间的行为规律，展示了平等和不平等的真实面貌。

一、赫尔德不等式一阶形式赫尔德不等式一阶形式（Herder’s Inequality of First Order），又称赫尔德绝对不等式，是一种简单的数学不等式。

它是由德国数学家赫尔德（Herder）提出并推广到实数域和复数域最早在《赫尔德不等式》（Inégalité d'Herder）中出现的。

赫尔德不等式一阶形式指的是一类有关函数f（x）的不等式形式，具体的表达式是：|f(x)| ≤ a(b-x) + c,其中a，b，c是实数，c越大，不等式越容易成立，x∈[a,b]，这意味着函数f（x）的值不应该超过函数的右边的限制c+ab-abx的值。

该不等式可以用来求解不等式系统，或用于函数优化中的边界检查。

二、应用1.赫尔德不等式一阶形式通常应用于最优化理论中，尤其是用于求解一般型极小值问题。

2.可以用赫尔德不等式一阶形式来检查约束的可行性。

一般情况下，某些约束条件可能不满足给定的解，那么我们可以用赫尔德不等式来检查约束的可行性。

3.赫尔德不等式一阶形式可以用来证明Lp空间中函数的极限核定理，推导现实数函数的严格单调性，推广单调性到函数范围，推导Euler-Lagrange方程以及变分事实。

三、例题下面给出一个关于赫尔德不等式一阶形式的具体例子，通过这个例子可以直观的熟悉赫尔德不等式一阶形式的具体形式及其应用：例题：已知函数f（x）在区间[0,4]上的值为f（x） = 6|x - 2| + x ，求函数f（x）的最大值。

解：由赫尔德不等式一阶形式可得：|f(x)| ≤ 6(4-x) + x由此可得：f（x）的最大值为f（x） = 24。

四、总结赫尔德不等式一阶形式是一种简单的数学不等式，它的形式是：|f(x)| ≤ a(b-x) + c，它主要应用于最优化理论和约束可行性检查中，以及一些函数极限性质的推导等情况。

赫尔德不等式

赫尔德不等式在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：以及如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。

在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。

把a > 0乘以∞，则得出∞。

证明赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f ||p = 0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。

如果||g||q = 0也是这样。

因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。

因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p= ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。

对于p = 1和q= ∞，情况也类似。

因此，我们还可以假设p, q∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：我们现在使用杨氏不等式：对于所有非负的a和b，当且仅当a = b时等式成立。

因此：两边积分，得：这便证明了赫尔德不等式。

在p∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f|p = |g|q。

更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β> 0（即α= ||g||q 且β = ||f ||p），使得：μ-几乎处处(*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。

||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。

••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。

赫尔德不等式

赫尔德不等式在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：以及如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。

在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。

把a > 0乘以∞，则得出∞。

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f ||p = 0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。

如果||g||q = 0也是这样。

因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。

因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p= ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。

对于p = 1和q= ∞，情况也类似。

因此，我们还可以假设p, q∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：我们现在使用杨氏不等式：对于所有非负的a和b，当且仅当a = b时等式成立。

因此：两边积分，得：这便证明了赫尔德不等式。

在p∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。

更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q 且β = ||f ||p），使得：μ-几乎处处 (*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。

||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。

高中赫尔德不等式

高中赫尔德不等式（最新版）目录1.赫尔德不等式的定义与表达式2.赫尔德不等式与柯西不等式的关系3.赫尔德不等式的证明4.赫尔德不等式在数学中的应用5.赫尔德不等式的意义与价值正文一、赫尔德不等式的定义与表达式赫尔德不等式，又称为柯西 - 布尼亚科夫斯基 - 许瓦尔兹不等式，是一种在数学中广泛应用的不等式。

其表达式如下：设 a_1, a_2,..., a_n 和 b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么：(a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2二、赫尔德不等式与柯西不等式的关系赫尔德不等式其实是柯西不等式的一种推广。

柯西不等式表达式如下：设 a_1, a_2,..., a_n 和 b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么：(a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2可以看出，赫尔德不等式是柯西不等式在多维空间的推广，它的表达式更加复杂。

三、赫尔德不等式的证明赫尔德不等式的证明比较复杂，需要涉及到多元函数的微积分知识。

这里我们简单介绍一下它的证明思路：首先，我们将赫尔德不等式转化为一个关于矩阵的不等式，然后通过求导、配方等方法，最终证明出赫尔德不等式成立。

四、赫尔德不等式在数学中的应用赫尔德不等式在数学中有广泛的应用，例如在概率论、线性代数、微积分等领域都有重要的应用。

在概率论中，赫尔德不等式可以用来求解随机变量的期望；在线性代数中，赫尔德不等式可以用来求解矩阵的特征值和特征向量；在微积分中，赫尔德不等式可以用来求解多元函数的最值问题。

五、赫尔德不等式的意义与价值赫尔德不等式在数学中的意义和价值非常重要，它为我们解决许多实际问题提供了有力的工具和方法。

赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明

∑i=1nai(ai+bi)p−1≤(∑i=1napi)1p(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
同理可得
∑i=1nbi(ai+bi)p−1≤(∑i=1nbpi)1p(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
两不等式相加,即得
∑i=1n(ai+bi)p≤((∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p)(∑i=1n(ai+bi)p)1−1p
(∑i=1napi)1p+(∑i=1nbpi)1p≥(∑i=1n(ai+bi)p)1p
闵可夫斯基不等式的证明
证明:令正实数q满足1 p +1 q =1,由Holder不等式,我们有
∑i=1nai(ai+bi)p−1≤(∑i=1napi)1p(∑i=1n(ai+bi)(p−1)q)1q
注意到1 p +1 q =1,可得q(p−1)=p,于是由上面的不等式得
Holder不等式与Minkowski不等式的证明
赫德(Holder)不等式是通过Young不等式来证明的,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder)不等式来证明的.
Young不等式
如果x,y>0,实数p>1以与实数q满足1 p +1 q =1,那么有
1 p xp+1 q yq≥xy
将i取遍1,2,⋯,n并求和,得到
∑i=1naibiST ≤1 p ∑i=1napiSp+1 q ∑i=1nbqiTq=1 p +1 q =1
即得
∑i=1naibi≤ST=(∑i=1napi)1p(∑i=1nbqi)1q
闵可夫斯基不等式(Minkowski)

反赫尔德不等式

反赫尔德不等式反赫尔德不等式是一种数学定理，它给出了一种关于线性空间中两个向量的关系。

具体来说，对于任意两个向量x和y，它给出了以下不等式:||x+y||^2 + ||x-y||^2 >= 2(||x||^2 + ||y||^2)这个不等式通常用来证明其他定理或者优化算法。

反赫尔德不等式也经常被用在几何学和波动力学中，在这些领域中，它可以用来证明一些重要的定理，例如点积不等式和欧几里得不等式。

反赫尔德不等式是由德国数学家阿尔伯特·赫尔德（Albert Heine）于1909年首先提出的。

在线性代数中，反赫尔德不等式是一个基本的工具，可以用来证明向量空间中的一些性质，例如范数的三角不等式。

举个例子，假设有两个向量x = (1,2,3) 和y = (4,5,6)。

我们可以用反赫尔德不等式来证明以下不等式:||x+y||^2 + ||x-y||^2 >= 2(||x||^2 + ||y||^2)首先, 我们计算出x+y = (1+4, 2+5, 3+6) = (5,7,9), x-y = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3,-3,-3)||x+y|| = sqrt(5^2 + 7^2 + 9^2) = sqrt(169) = 13, ||x-y|| = sqrt(-3^2 + -3^2 + -3^2) = sqrt(27) = 3.同时,||x||=sqrt(1^2+2^2+3^2)=sqrt(14),||y||=sqrt(4^2+5^2+6^2)=sqrt(77)所以, 我们可以得到:13^2 + 3^2 >= 2(14+77)169 + 9 >= 196178 >= 196此时不等式左边与右边不等, 所以我们发现这个不等式是不成立的这只是一个简单的例子, 在实际应用中, 反赫尔德不等式可能会更加复杂, 但原理是相同的.。