初二数学 一次函数动点问题含解析
专题2 一次函数动点问题(含解析)
专题2一次函数动点问题一、解答题1．已知一次函数3y kx =+的图象经过点（4，0）．（1）求k 的值；（2）画出该函数的图象；（3）点P 是该函数图象上一个动点，连接OP，则OP 的最小值是．2．已知一次函数与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，A 点的坐标为（-4，0），B 点的坐标为（0，2），D 是x 轴上的一动点，坐标为(),0x ，ABD △的面积为S ．（1）求一次函数的解析式；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）当12S =时，求点D 的坐标．3．如图，正比例函数y=32x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，3），一次函数y=kx+b图象与x轴负半轴交于点B．（1）根据图象回答问题：不等式kx+b＞32x的解为______；（2）若AB=5，求一次函数的表达式；（3）在第（2）问的条件下，若点P是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为______．4．如图，已知一次函数132y x=+的图像分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）若点P是x轴上的动点，且14BOP ABCS S=△△，求符合条件的点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝k 1x+6与x 轴、y 轴分别交于点A、B 两点，与正比例函数y ＝k 2x 交于点D（2，2）（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P（m，m）为直线y＝k 2x 上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数y＝k 1x+6的图象上，PQ ∥y 轴，当PQ＝23OA 时，求m 的值．6．如图，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上一个动点（不包括A 、B 两点），C 是线段OB 上一点，45OPC ∠=︒，若OPC 是等腰三角形，求点P 的坐标．7．如图，一次函数y＝kx+b 的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB+PC 最小时，求点P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数16y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，与正比例函数2y k x=交于点(2,2)D ．（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P 为直线2y k x =上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数16y k x =+的图象上，//PQ y 轴，当23PQ OA =时，求点P 的坐标．9．已知一次函数图象经过点()35A ，和点()49B --，两点，（1）求此一次函数的解析式；（2）若点（a，2）在该函数的图象上，试求a 的值．（3）若此一次函数的图象与x 轴交点C，点()P m n ，是图象上一个动点（不与点C 重合），设△POC 的面积是S，试求S 关于m 的函数关系式．10．已知一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4).（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标.11．如图，一次函数y kx b =+的图像过点()0,3A 和点()2,0B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使90BAC ︒∠=（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标（3）点P 是y 轴上一动点，当PB PC +最小时，求点P 的坐标.12．已知一次函数的图象经过点()()2004A B ，，，.（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标.13．已知：一次函数图象如图，（1）求一次函数的解析式；＝2，求点P的坐标．（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP14．如图，一次函数x轴、y轴交于A、B两点．动点P从A点开始沿折线AO－OB－BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为(长度单位/秒)；动点E从O单位/秒)的速度沿线段OB运动．设P、E两点同时出发，运动时间为t(秒)，当点P沿折线AO－OB－BA运动一周时，动点E和P同时停止运动．过点E作EF∥OA，交AB于点F．（1）求线段AB的长；（2）求证：∠ABO=30°；（3）当t为何值时，点P与点E重合?（4）当t=时，PE=PF．15．如图，已知一次函数b x y +-=21的图象经过点A（2，3），AB⊥x 轴，垂足为B，连接OA．（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x 轴的交点C 的坐标；（2）设点P 为直线b x y +-=21在第一象限内的图像上的一动点，求△OBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的范围；（3）设点M 为坐标轴上一点，且24=∆MAC S ，直接写出所有满足条件的点M 的坐标．16．如图，一次函数y＝kx+b 的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB+PC 最小时，求点P 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点()30A -,与点()0,4B ．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若点M 为此一次函数图象上一点，且△MOB 的面积为12，求点M 的坐标；（3）点P 为x 轴上一动点，且△ABP 是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，点()1,1A ，点()4,2B ，点A 关于x 轴的对称点为A '．（1）点A '的坐标为________；（2）已知一次函数的图象经过点A '与B ，求这个一次函数的解析式；（3）点(),0P x 是x 轴上的一个动点，当x =________时，PAB △的周长最小；（4）点(),0C t ，()2,0D t +是x 轴上的两个动点，当t =________时，四边形ACDB 的周长最小；（5）点(),0M m ，点()0,N n 分别是x 轴和y 轴上的动点，当四边形ANMB 的周长最小时，m n +=________，此时四边形ANMB 的面积为________．1专题2一次函数动点问题1．(1)k=34-;(2)详见解析;(3)125.【分析】(1)将点(4,0)代入一次函数解出k 值即可.(2)根据一次函数图像的性质画出即可.(3)根据点到直线的距离垂线段最短,再通过面积公式求出结果.【详解】(1)将(4,0)代入y=kx+3,解得k=34-.(2)如图所示:(3)过点O 作OC⊥AB,OC则为所求最短距离.根据勾股定理:AB 2=BO 2+AO 25;根据三角形面积公式:1122BO AO AB OC ⋅⋅=⋅⋅1134522OC ⨯⨯=⨯⨯OC=125【点拨】本题考查一次函数的图象的性质,关键在于熟记一次函数的基本性质定义.2．（1）122y x =+；（2）4S x =+；（3）()8,0或()16,0-．【详解】（1）设一次函数解析式为y kx b =+，将()4,0A -、()0,2B 代入解析式得：122y x =+；（2）()1142422S AD OB x x =⋅=--⨯=+；（3）因为12S =，所以412x +=，即412x +=或412x +=-，解得8x =或16x =-，所以D 的坐标为()8,0或()16,0-．3．（1）x＜2；（2）33y x 42=+；（3）65.【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入正比例函数解析式中，求出m，即可得出结论；（2）设出点B 坐标，利用AB=5，求出点B 坐标，最后将点A，B 坐标代入一次函数表达式中，即可求出k，b，即可得出结论；（3）点判断出OP⊥AB 时，OP 最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A（m，3）在正比例函数y=32x 上，∴3=m，∴m=2，∴A（2，3），∴不等式kx+b＞32x 的解为x＜2，故答案为：x＜2；（2）由（1）知，A（2，3），∵点B 在x 轴负半轴上，∴设B（n，0）（n＜0），∵AB=5，∴（n-2）2+9=25，∴n=6（舍）或n=-2，∴B（-2，0），将点A（2，3），B（-2，0）代入y=kx+b 中得，2320,k b k b +=⎧⎨-+=⎩∴3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴一次函数的表达式为3342y x =+.（3）如图由（2）知，直线AB 的解析式为3342y x =+.∴当OP⊥AB 时，OP 最小，由（1）知，A（2，3），由（2）知，B（-2，0），AB=5，∴S △AOC =12OB•|y C |=12AB•OP 最小，∴12×2×3=12×5OP 最小，∴OP 最小=65，故答案为：65．【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，两点间距离公式，求出直线AB 的解析式是解本题的关键．4．（1）132y x =-+；（2）(3,0)-或(3,0)【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，由点C 与点A 关于y 轴对称可得出点C 的坐标，待定系数法求得直线BC 的函数解析式；（2）设点P 的坐标为(,0)m ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【详解】解：（1）当0x =时，132y x =+，∴点B 的坐标为(0,3)；当1302y x =+=时，6x =-，∴点A 的坐标为(6,0)-．点C 与点A 关于y 轴对称，∴点C 的坐标为(6,0)，设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，∴360b k b =⎧⎨+=⎩，∴123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数解析式为132y x =-+；（2）设点P 的坐标为(,0)m ，14BOP ABC S S ∆∆=，∴111||3123242m ⨯⨯=⨯⨯⨯，3m ∴=±，∴点P 的坐标为(3,0)-，(3,0)．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 的坐标是解题的关键．5．（1）一次函数和正比例函数的表达式分别为：y＝﹣2x+6，y＝x；（2）m＝﹣1或m＝1【分析】（1）把（2，2）分别代入y＝k 1x+6与y＝k 2x，解方程即可得到结论；（2）由y＝﹣2x+6，当y＝0时，得x＝3，求得OA＝3，根据点P（m，m），得到Q（m，﹣2m+6），根据PQ＝23OA 列方程即可得到结论．【详解】（1）把（2，2）分别代入y＝k 1x+6与y＝k 2x 得，k 1＝﹣2，k 2＝1，∴一次函数和正比例函数的表达式分别为：y＝﹣2x+6，y＝x；（2）由y＝﹣2x+6，当y＝0时，得x＝3，∴A（3，0），∴OA＝3，∵点P（m，m），∴Q（m，﹣2m+6），当PQ＝23OA 时，PQ＝m﹣（﹣2m+6）＝23×3，或PQ＝﹣2m+6﹣m＝23×3，解得：m＝﹣1或m＝1．【点拨】本题考查了两条直线相交于平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．6．(2，2)或(-【分析】分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，易得△AOB 与△BPO 都是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质解答即可；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，根据AAS 可证PCB OPA ≌△△，进而可得4BP AO ==，进一步即可求出点P 坐标；当OP=OC 时，易得P、A 两点重合，此种情况不合题意，综上可得答案．【详解】解：分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，45COP OPC ∠=∠=︒，∴90OCP ∠=︒，即PC y ⊥轴．又∵一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，∴4y x =-+中，令0x =，则4y =；令0y =，则4x =，∴4AO BO ==，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴45ABO ∠=︒，∴COP CBP ∠=∠，∴OP BP =，∴C 是BO 的中点，∴122CO CP BO ===，∴()2,2P ；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，∵45PBC OPC OAP ∠=∠=∠=︒，∴135PCB BPC OPA BPC ∠+∠=︒=∠+∠，∴PCB OPA ∠=∠．又∵PC OP =，∴()PCB OPA AAS △△≌，∴4BP AO ==，∴在Rt BDP △中，22BD PD ==，∴422OD OB BD =-=-∴(22,422P -．当OP=OC 时，45OCP OPC ∠=∠=︒，则∠POC=90°，此时P、A 两点重合，不合题意；综上所述，若OPC 是等腰三角形，点P 的坐标为（2，2）或(22,422-．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．7．（1）y＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）【解析】【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】（1）设AB 直线的解析式为：y=kx+b，把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b ⎧⎨+⎩＝＝，解得：434k b ＝＝⎧-⎪⎨⎪⎩，（2）如图，作CD⊥y 轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO 与△CAD 中，∵90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．则C 的坐标是（4，7）．（3）如图2中，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交x 轴于P，此时PB+PC的值最小．∵B（3，0），C（4，7）∴B′（﹣3，0），把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n 中，可得：4730m n m n +⎧⎨-+⎩＝＝，解得：13m n ⎧⎨⎩＝＝，∴直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，∴P（0，3）．【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．8．（1）一次函数解析式为26y x =-+，正比例函数的解析式为：y x =；（2）点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）点D（2，2）代入16y k x =+和2y k x =中，求出解析式即可；（2）通过一次函数解析式求出点A 的坐标，设P 点坐标为（m，m），则Q 点坐标为（m，-2m+6），再根据23PQ OA =，解出m 的值，即可求出点P 的坐标.【详解】（1）把点D（2，2）代入16y k x =+中得：1226k =+，解得：12k =-，∴一次函数解析式为26y x =-+，把点D（2，2）代入2y k x =中得：222k =，解得：21k =，∴正比例函数的解析式为：y x =；（2）把y=0代入26y x =-+得：3x =，∴A 点坐标为（3，0），OA=3，设P 点坐标为（m，m），则Q 点坐标为（m，-2m+6），()2636PQ m m m =--+=-，∵23PQ OA =，∴23633m -=⨯，解得：83m =或43m =，∴点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点拨】本题是对一次函数的综合考查，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及一次函数知识是解决本题的关键.9．（1）21y x =-；（2）32a =；（3）1124S m =-（12x >）或1142S m =-（12x <）【分析】（1）利用A、B 两点坐标用待定系数法求得此一次函数解析式；（2）将点（a，2）代入解析式计算即可；（3）根据一次函数解析式求得C 点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用三角形的面积公式得到11121222S n OC m =⋅⋅=⨯-⨯，再分两种情况求解即可.【详解】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，将点()35A ，和点()49B --，的坐标代入，得3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为：21y x =-；（2）∵点（a，2）在该函数的图象上，∴2a-1=2，解得32a =；（3）当y=0时，得到2x-1=0，解得x=12，∴C 点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵P 点在直线上，∴21n m =-，∴11121222S n OC m =⋅⋅=⨯-⨯，当12x >时，1124S m =-，当12x <时，1142S m =-.【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，利用解析式求出点的坐标，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数图象与几何图形.10．（1）一次函数的解析式为y=-2x+4；（2）P（1，2）或P（3，-2）.【解析】（1）根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B 两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；（2）设点P 的坐标为（a，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据△POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.解：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0）∵一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4)，∴204k b b +=⎧⎨=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y=-2x+4（2）∵14,2POA P SOA y =⋅=∴2,P y =∴2,P y =±当2,P y =时，1,P x =即P（1，2），当2,P y =-时，3,P x =即P（3，-2），∴P（1，2）或P（3，-2）.11．（1）y kx b =+；（2）C 的坐标是()3,5；（3）()0,2P .【解析】【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】解：()1设直线AB 的解析式为：y kx b =+，把()()0,3,2,0代入可得：320b k b =⎧⎨+=⎩，解得：3,32b k =⎧⎪⎨=⎪⎩所以一次函数的解析式为：332y x =-+；()2如图，作CD y ⊥轴于点D90BAC ︒∠=，90,OAB CAD ︒∴∠+∠=在ABO 与CAD 中90o BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，()ABO CAD AAS ∴≅，2,3,5OB AD OA CD OD OA AD ∴=====+=，则C 的坐标是()3,5；()3如图2中，作点B 关于y 轴的对称点'B ，连接'CB 交x 轴于P ，此时PB PC +的值最小，()()2,0,3,5B C ，()'2,0B ∴-，把()()2,0,3,5-代入y mx n =+中，可得：3520m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，∴直线'CB 的解析式为2y x =+，令0x =，得到2y =，()0,2P ∴.【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，以及轴对称-最短距离，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．（1）一次函数的解析式为2 4.y x =-+（2）()()1,2,3,2.P P ∴-或【解析】试题分析：（1），根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B 两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；对于（2），设点P 的坐标为（a，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据△POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.试题解析：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0）∵一次函数的图象经过点()A 2,0，()B 0,4，∴02{4k b b =+=，解得2{4k b =-=，∴一次函数的解析式为y 2x 4.=-+（2）∵ΔPOA p 1S OA y 42=⋅=，p y 2,∴=p y 2.∴=±当p y 2=时，()p x 1,P 1,2.=∴当p y 2=-时，()p x 3,P 3,2.=∴-∴()()P 1,2,P 3,2.-或13．（1）y＝﹣x+1；（2）P 点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A 点坐标，设P（t，-t+1），根据三角形面积公式得到12×1×|-t+1|=2，然后解绝对值方程求出t 即可得到P 点坐标．【详解】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得2321k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩，所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），因为S△OAP＝2，所以12×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．14．（1）6；（2）详见解析；（3）92；（4）94557或【分析】（1）令y=0，求出x，得出A的坐标及OA的长，令x=0，得出B的坐标及OB的长，利用勾股定理即可求出AB 的长；（2）取AB的中点C，连接OC．证明△OAC是等边三角形，得到∠OAB=60°．根据三角形内角和定理即可得出结论；（3）由于P在OB上与E重合，则E的路程为OE，E所用的时间为t秒，P的路程为OA+OE，P在OA上所用的时间为3秒，在OE上所用的时间为（t-3）秒，根据P在OB上的路程与E的路程相同列方程，求解即可；（4）先求出点P沿折线AO－OB－BA运动一周时所花的时间为9秒．然后分三种情况讨论：①当P在线段AO上时；②当P在线段OB上时；③当P在线段BA上时．【详解】（1）令，∴OA=3．令，∴OB=（2）取AB的中点C，连接OC．∵∠AOB=90°，C为AB的中点，∴OC=BC=CA=3．∵OA=3，∴OC=CA=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠OAB=60°．∵∠AOB=90°，∴∠ABO=30°；33(3)t =-，解得：92t =，所以当92t =时，点P 与点E 重合．（4）P 从A 到O 的时间为t=3÷1=3（秒），P 从O 到B 的时间为333=3（秒），P 从B 到A 的时间为：6÷2=3（秒），故点P 沿折线AO－OB－BA 运动一周时所花的时间为3+3+3=9（秒）．分三种情况讨论：①当P 在线段AO 上时，即0＜t＜3时，由题意知：P（3-t，0），E（0，33）．设F（a，b）．∵EF∥OA，∴b=33t ．∵F 在直线AB 上，∴33333a t +=，解得：a=133t -．∴F（133t -，33）．∵PE=PF，∴P 在EF 的垂直平分线上，∴2（3-t）=133t -，解得：t=95；②当P 在线段OB 上时，即3≤t＜63(3)t -）33），F（133t -33）．3(3)t -－332213(3)[3(3)]33t t t -+--，∴133t -=0，解得：t=9（舍去）；③当P 在线段BA 上时，即6≤t＜933），F（133t -33），BP=2(6)212t t -=-．设P（m，n），则m=12BP=12(6)62t t ⨯-=-．∵PE=PF，∴P 在EF 的垂直平分线上，∴2（t-6）=133t -，解得：t=457．综上所述：t=95或457．【点拨】本题是一次函数综合题．考查了等腰三角形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想．分类讨论是解答本题第（4）问的关键．15．（1）421+-=x y C（8，0）;（2）421+-=x y （80<<x ）;（3）M（-8，0）M（24，0）M（0，12）M（0，-4）【解析】试题分析：（1）把点A（2，3）代入一次函数b x y +-=21可求出b=4，然后令y=0，即可求出点C 的坐标；（2）设点P 的坐标为（x，y），则边OB 上的高为y，利用三角形的面积公式即可计算△OBP 的面积S，然后把421+-=x y 代入化简即可得出S 与x 之间的函数关系式，根据点P 为第一象限内的图像上的一动点，可求出自变量x 的范围；（3）分两种情况讨论：当点M 在x 轴上时，利用24=∆MAC S 求出线段MC=16，然后可求点M 的坐标；当点M 在y 轴上时，利用24=∆MAC S 求出点M 到直线b x y +-=21与y 轴的交点的距离为8，然后可求点M 的坐标．试题解析：（1）把点A（2，3）代入一次函数b x y +-=21得b=4，所以421+-=x y ，令y=0，所以x=8，所以点C 的坐标为（8，0）；（2）因为点A（2，3），AB⊥x 轴，所以点B 的坐标为（2,0），所以OB=2，设点P 的坐标为（x，y），所以△OBP 的面积S=112422y y x ⨯==-+（80<<x ）;（3）当点M 在x 轴上时，因为24=∆MAC S ，所以1132422MC AB MC ⋅=⨯=,所以MC=16，因为C（8，0），所以点M 的坐标为M（-8，0）或M（24，0）；当点M 在y 轴上时，设直线421+-=x y 与y 轴的交点为N,令x=0，则y=4，所以点N 的坐标为（0,4），所以118232422MAC MNC MNA S S S MN MN MN ∆∆∆=-=⨯-⨯==，所以MN=8，因为点N 的坐标为（0,4），所以点M 的坐标为M（0，12）或M（0，-4）；综上所求的点M 的坐标为M（-8，0）、M（24，0）、M（0，12）、M（0，-4）．考点：1．一次函数的性质2．坐标系中图形的面积3．点的坐标．16．（1）y＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】解：（1）设AB 直线的解析式为：y＝kx+b，把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为：y＝﹣43x+4；（2）如图，作CD⊥y 轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO 与△CAD 中，∵90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．∴C 的坐标是（4，7）．（3）如图，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交y 轴于P，此时PB+PC的值最小．∵B（3，0），C（4，7）∴B′（﹣3，0），设直线CB′的解析式为y＝mx+n，把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n 中，可得：4730m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，∴P（0，3）．【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．17．（1）443y x =+；（2）()6,12或()6,4--；（3）点Р()3,0或()8,0-或()2,0或7,06⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设一次函数的表达式为y=kx+b，把点A 和点B 的坐标代入求出k，b 的值即可；（2）点M 的坐标为（a，443a +），根据△MOB 的面积为12，列出关于a 的等式，解之即可；（3）分三种情形讨论即可①当AB=AP 时，②当BA=BP 时，③当PA=PB 时．【详解】解：（1）设这个一次函数的表达式为y kx b =+，依题意得304k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：4,34k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴443y x =+．（2）如图：设点M 的坐标为4,43a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵()0,4B ，∴4OB =∵MOB △的面积为12，14122a ⨯⨯=，∴6a =，∴6a =±，当6a =时，44123a +=；当6a =-时，4443a +=-；∴点M 的坐标为：()6,12或()6,4--．（3）∵点A（-3，0），点B（0，4）．∴OA=3，OB=4，5==，当PA=AB 时，P 的坐标为（-8，0）或（2，0）；当PB=AB 时，P 的坐标为（3，0）；当PA=PB 时，设P 为（m，0），则（m+3）2=m 2+42，解得：7m 6=，∴P 的坐标为（76，0）；综上，点Р的坐标是：()3,0或()8,0-或()2,0或7,06⎛⎫ ⎪⎝⎭【点拨】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18．（1）()1,1-；（2）2y x =-；（3）2；（4）43；（5）1615，2615【分析】（1）根据点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（x，﹣y）解答即可；（2）利用待定系数法求解一次函数解析式即可；（3）根据对称性，求出直线A B '交x 轴的交点P，可使PAB △的周长最小；（4）作A A '''∥x 轴，且A A '''=CD=2，连接BA ''交x 轴于D，在点D 左边取点C，使CD=2，连接AC，此时四边形ACDB 的周长最小，求出直线BA ''的函数解析式，然后求出直线BA ''与x 轴交点D 坐标即可解答；（5）作点A 关于y 轴的对称点A '''，点B 关于x 轴对称点B '，连接B A ''''交x 轴于M，交y 轴于N，连接AN、BM，此时四边形ANMB 的周长最小，求出直线B A ''''的函数解析式，然后求出它与x 轴、y 轴的交点，进而可求出m、n 值和面积．【详解】（1）由于点()1,1A 关于x 轴的对称点为A '（1，﹣1），故答案为：()1,1-；（2）解：设这个一次函数的解析式为y kx b =+，y kx b =+的图象经过点()1,1A '-与()4,2B ，1,4 2.k b k b +=-⎧∴⎨+=⎩解得1,2.k b =⎧⎨=-⎩∴这个一次函数的解析式为2y x =-．（3）∵点A 关于x 轴的对称点为A '，∴直线A B '交x 轴的交点P，可使PAB △的周长最小，当y=0时，由0=x﹣2得：x=2，则P（2，0），故答案为：2；（4）作A A '''∥x 轴，且A A '''=CD=2，则四边形A A DC '''是平行四边形，连接BA ''交x 轴于D，在点D 左边取点C，使CD=2，连接AC，此时四边形ACDB 的周长最小，由作图可知，A ''（3，﹣1），设直线BA ''的函数解析式为y=ax+c，将B、A ''坐标代入，得：2413a c a c =+⎧⎨-=+⎩，解得：310a c =⎧⎨=-⎩，∴直线BA ''的函数解析式为y=3x﹣10，当y=0时，由0=3x﹣10得：x=103，由t+2=103得：t=43，故答案为：43；（5）作点A 关于y 轴的对称点A '''，点B 关于x 轴对称点B '，连接B A ''''交x 轴于M，交y 轴于N，连接AN、BM，此时四边形ANMB的周长最小，，由作图可知，A '''（﹣1，1），B '（4，﹣2），设直线B A ''''的函数解析式为y=px+q，将A '''、B '坐标代入，得：124p q p q =-+⎧⎨-=+⎩，解得：3525p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线B A ''''的函数解析式为3255y x =-+，当x=0时，y=25，∴N（0，25），当y=0时，由32055x =-+得：x=23，∴M（23，0），∴m+n=23+25=1615，此时四边形ANMB 的面积为1121221242(14)11(1)(4)222523523⨯-⨯+⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯-⨯=532108210153----=2615，故答案为：1615，2615．【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式、轴对称-最短路线问题、两点之间线段最短、坐标与图形变换、有理数的混合运算等知识，属于基础综合题型，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻知识间的关联点，利用数形结合思想解决问题．。
中考数学之一次函数中的动点问题与实际问题(解析版)
专题一次函数中的动点问题与实际问题【例题精讲】题型一、角度问题例1. 【2019·莆田市期末】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足√m−6+（n-12）2=0．（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，-2），点P为射线AB上一点，且∠CEP=45°，求点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵√m−6+（n-12）2=0，∴m=6，n=12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y=kx+b，则：b=12，6k+b=0，解得：k=-2，b=12，∴直线AB解析式为y=-2x+12，∵直线AB点C（a，a），∴a=-2a+12，∴a=4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图所示，设直线CD解析式为y=12x+n，边点C（4，4）代入得到n=2，即直线CD解析式为y=12x+2，∴点D坐标（-4，0）．（3）如图，过点C作CF⊥CE交直线EP于点F，∵∠CEF=45°，∴CE=CF，过C 作x 轴垂线l ，分别过F 、E 作FM ⊥l ，EN ⊥l ，则△FMC ≌△CNE ，则FM =CN =6，CM =EN =4，即F 点坐标为（-2,8），由E (0,-2)，得直线EF 的解析式为：52y x =--联立52y x =--，y =-2x +12，得：x =143-，y =643-， 即点P 坐标为：（143-，643-）. 题型二、面积问题例1. 【2019·高密市期末】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （﹣2，6），且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1．（1）求k 、b 的值；（2）请直接写出不等式kx +b ﹣3x ＞0的解集．（3）若点D 在y 轴上，且满足S ⊥BCD ＝2S ⊥BOC ，求点D 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）当x ＝1时，y ＝3x ＝3，⊥点C 的坐标为（1，3）．将A （﹣2，6）、C （1，3）代入y ＝kx +b ，得：263k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩；（2）由kx+b﹣3x＞0，得：kx+b＞3x，⊥点C的横坐标为1，⊥x＜1；（3）在y＝﹣x+4中，当y＝0时，x＝4；x=0时，y=4，⊥点B的坐标为（4，0），直线AB与y轴交点为：F（0,4）.过点C作CE⊥y轴于E，则E(0,3)，⊥S⊥BCD＝2S⊥BOC，⊥S⊥BDF－S⊥CDF=2S⊥BOC，即12×DF×OB－12×DF×CE=2×12×OE×OB，1 2×DF×4－12×DF×1=2×12×3×4，解得：DF=8，⊥F(0,4),⊥D（0，﹣4）或D（0，12）．例2. 【2019·成都市期末】如图，已知直线y=kx+4（k≠0）经过点（-1，3），交x轴于点A，y轴于点B，F 为线段AB的中点，动点C从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动，连接FC，过点F作直线FC的垂线交x轴于点D，设点C的运动时间为t秒．（1）当0＜t＜4时，求证：FC=FD；（2）连接CD，若⊥FDC的面积为S，求出S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，直线CF交x轴的负半轴于点G，11OC OG是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：连接OF，⊥直线y=kx+4经过点（-1，3），⊥-k+4=3，解得：k=1，即直线AB的解析式为：y=x+4，当y=0时，x=-4；当x=0时，y=4；⊥A（-4，0），B（0，4），⊥OA=OB=4，⊥⊥AOB=90°，⊥⊥AOB是等腰直角三角形，⊥CBF=45°，⊥F为线段AB的中点，⊥OF=12AB=BF，OF⊥AB，⊥DOF=12⊥AOB=45°=⊥CBF，⊥⊥OFB=90°，⊥DF ⊥CF ，⊥⊥DFC =90°，⊥⊥OFD =⊥BFC ，⊥⊥BCF ⊥⊥ODF （ASA ），⊥FC =FD ；（2）解：⊥当0＜t ＜4时，连接OF ，由题意得：OC =t ，BC =4-t ，由（1）得：⊥BCF ⊥⊥ODF ，⊥BC =OD =4-t ，⊥CD 2=OD 2+OC 2=（4-t ）2+t 2=2t 2-8t +16，⊥FC =FD ，⊥DFC =90°，⊥⊥FDC 是等腰直角三角形，⊥FC 2=12CD 2，⊥S =12FC 2 =12×12CD 2 =21242t t -+；⊥当t ≥4时，连接OF ，由题意得：OC =t ，BC =t -4，由（1）得：⊥BCF ⊥⊥ODF ，⊥BC =OD =t -4，⊥CD 2=OD 2+OC 2=（t -4）2+t 2=2t 2-8t +16，⊥S =21242t t -+；综上所述，S 与t 的函数关系式为S =21242t t -+；（3）解：11OC OG +为定值12；理由如下：⊥当0＜t ＜4时，当设直线CF 的解析式为：y =mx +t ，⊥A （-4，0），B （0，4），F 为线段AB 的中点，⊥F （-2，2），把点F （-2，2）代入y =mx +t 得：-2m +t =2，解得：m =12（t -2），⊥直线CF的解析式为：y=12（t-2）x+t，当y=0时，x=22tt-，即G（22tt-，0），⊥OG=22tt-，⊥11OC OG+=122tt t-+=12；⊥当t≥4时，同⊥得：11OC OG+=122tt t-+=12；综上所述，11OC OG+为定值12．题型三、复杂实际问题例1. 【2019·泉州市晋江区期中】某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B两处出发，沿轨道到达C处，B在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：（1）填空：乙的速度v2＝米/分；（2）写出d1与t的函数关系式：（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？【答案】（1）40；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）乙的速度v2＝120÷3＝40（米/分），故答案为：40；（2）v1＝1.5v2＝1.5×40＝60（米/分），60÷60＝1（分钟），a＝1，d1＝()() 606001 606013t tt t-+≤<⎧⎨-≤≤⎩；（3）d2＝40t，⊥当0≤t＜1时，d2+d1＞10，即：﹣60t+60+40t＞10，解得：0≤t＜2.5，⊥当0≤t＜1时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；⊥当1≤t≤3时，d2﹣d1＞10，即40t﹣（60t﹣60）＞10，当1≤t<52时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；综上所述：当0≤t＜2.5时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．【刻意练习】1. 【2019·乐亭县期末】如图1，四边形ABCD中，AB⊥CD，⊥B=90°，AC=AD．动点P从点B出发沿折线B-A-D-C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，⊥BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A.5B.√34C.8D.2√3【答案】B.【解析】解：当t=3时，点P到达A处，即AB=3；过点A 作AE ⊥CD 交CD 于点E ，则四边形ABCE 为矩形， ⊥AC =AD ，⊥DE =CE =12CD ， 当S =15时，点P 到达点D 处，则15=12CD •BC ， 15=12（2AB ）•BC 3×BC =15，则BC =5，由勾股定理得AD =AC =√34，故答案为：B ．2. 【2019·卢龙县期末】如图，直线y 1=2x -2的图象与y 轴交于点A ，直线y 2=-2x +6的图象与y 轴交于点B ，两者相交于点C ．（1）方程组{2x −y =2,2x +y =6的解是______； （2）当y 1＞0与y 2＞0同时成立时，x 的取值范围为______；（3）求⊥ABC 的面积；（4）在直线y 1=2x -2的图象上存在异于点C 的另一点P ，使得⊥ABC 与⊥ABP 的面积相等，请求出点P 的坐标．【答案】（1）{x =2y =2 ；（2）1＜x ＜3；（3）（4）见解析.【解析】解：（1）如图所示：方程组{2x −y =2,2x +y =6的解为：{x =2y =2；故答案为：{x =2y =2；（2）如图所示：当y 1＞0与y 2＞0同时成立时， x 取何值范围是：1＜x ＜3； 故答案为：1＜x ＜3；（3）令x =0，则y 1=-2，y 2=6， ⊥A （0，-2），B （0，6）． ⊥AB =8． ⊥S ⊥ABC =12×8×2=8； （4）令P （x 0，2x 0-2），则S ⊥ABP =12×8×|x 0|=8， ⊥x 0=±2． ⊥点P 异于点C ， ⊥x 0=-2，2x 0-2=-6． ⊥P （-2，-6）．3. 【2019·莆田市期末】某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式．（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案．（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）⊥8x+6y+5（20-x-y）=120，⊥y=20-3x，⊥y与x之间的函数关系式为y=20-3x．（2）由x≥3，y=20-3x≥3，即20-3x≥3，可得3≤x≤253，⊥x为正整数，⊥x=3，4，5．故车辆的安排有三种方案，即：方案一：甲种3辆乙种11辆丙种6辆；方案二：甲种4辆乙种8辆丙种8辆；方案三：甲种5辆乙种5辆丙种10辆．（3）设此次销售利润为W百元，W=8x×12+6（20-3x）×16+5[20-x-（20-3x）] ×10=-92x+1920，⊥W随x的增大而减小，x=3，4，5，当x=3时，W最大=1644 百元.4. 【问题情境】已知矩形的面积为一定值1，当该矩形的一组邻边分别为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的一边长为x，周长为L，则L与x的函数表达式为．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y＝x+1x的图象性质．（1）结合问题情境，函数y＝x+1x的自变量x的取值范围是，如表是y与x的几组对应值．x (1)41312123m…y (1)443132122212313144…⊥直接写出m的值；⊥画出该函数图象，结合图象，得出当x＝时，y有最小值，y的最小值为；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．【答案】见解析.【解析】解：【数学模型】L与x的函数表达式为：L＝2（x+1x ）；【探索研究】（1）自变量x的取值范围是：x＞0；⊥当y＝144时，x＝4，⊥m的值为4；⊥当0＜x＜1时，y随x增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；当x＝1时函数y＝x+1x（x＞0）的最小值为2；故答案为：L＝2（x+1x）；x＞0；1，2；（2）当邻边分别为1和1时，它的周长最小，最小值是4．5. 【2018·辽阳市期末】为了开展“足球进校园”活动，某校成立了足球社团，计划购买10个足球和若干件（不少于10件）对抗训练背心．甲、乙两家体育用品商店出售同样的足球和对抗训练背心，足球每个定价120元，对抗训练背心每件15元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一个足球赠送一件对抗训练背心；乙店：按定价的九折优惠．（1）设购买对抗训练背心x件，在甲商店付款为y甲元，在乙商店付款为y乙元，分别写出y甲，y乙与x的关系式；（2）就对抗训练背心的件数讨论去哪家商店买合算？【答案】见解析．【解析】解：（1）y甲＝120×10+15（x﹣10）＝1050+15x（x≥10）；y乙＝120×0.9×10+15×0.9x＝13.5x+1080（x≥10）；（2）y甲＝y乙时，1050+15x＝13.5x+1080，解得x＝20，即当x＝20时，到两店一样合算；y甲＞y乙时，1050+15x＞13.5x+1080，解得x＞20，即当x＞20时，到乙店合算；y甲＜y乙时，1050+15x＜13.5x+1080，x≥4，解得10≤x＜20，即当10≤x＜20时，到甲店合算．6. 【2019·乐亭县期末】小明骑电动车从甲地去乙地，而小刚骑自行车从乙地去甲地，两人同时出发走相同的路线；设小刚行驶的时间为x（h），两人之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，，0）．根据图象进行探究：点B的坐标为（13（1）两地之间的距离为______km；（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求两人的速度分别是每小时多少km？（4）直接写出点C的坐标______．【答案】见解析.【解析】解：（1）实际距离是9千米，故答案为：9；（2）点B表示两人相遇.（3）两人的速度和为：9÷13=27 千米/小时=0.45千米/分钟，小刚的速度为：9÷1=9千米/小时=0.15千米/分钟，小明的速度=0.45-0.15=0.3千米/分钟；（4）两人相遇时用时：9÷（9+18）=13，即B（13，0）BC段用时为：9÷18-13=16，此时两人相距：（9+18）×16=4.5，所以C（12，4.5）．故答案为：（12，4.5）．7. 【2019·宜城市期末】某公司开发处一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系．（1）求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超过1040元的天数共有多少天？（3）若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说理）【答案】见解析. 【解析】解：（1）当1≤x ≤10时，设AB 的解析式为：y =kx +b ， 把A （1，300），B （10，120）代入得： {k +b =30010k +b =120， 解得：{k =−20b =320，即：y =-20x +320（1≤x ≤10），当10＜x ≤30时，同理可得：y =14x -20， 综上所述，y 与x 之间的函数表达式为：()()2032011014201030x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩ （2）当1≤x ≤10时，w =（10-6）（-20x +320）=-80x +1280， -80x +1280≤1040，解得：x ≥3， 即3≤x ≤10，日销售利润不超过1040元的天数一共8天； 当10＜x ≤30时，w =（10-6）（14x -20）=56x -80， 56x -80≤1040， 即10<x ≤20，⊥日销售利润不超过1040元的天数共10天；综上所述，日销售利润不超过1040元的天数共有18天；（3）由（2）知，当5≤x ≤10时，w =-80x +1280，当x =5时，w 取最大值，-80×5+1280=880， 当10＜x ≤17时，w =56x -80，当x =17时，w 取最大值，56×17-80=872， ⊥880>872，⊥第5天的日销售利润最大，最大日销售利润是880元．8. 【2019·成都月考】一手机经销商计划购进某品牌的A 型、B 型、C 型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A 型手机x 部，B 型手机y 部．三款手机的进价和预售价如下表：（1）用含x ，y 的式子表示购进C 型手机的部数； （2）求出y 与x 之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．⊥求出预估利润P （元）与x （部）的函数关系式；（注：预估利润P =预售总额-购机款-各种费用） ⊥求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．【答案】见解析. 【解析】 解：（1）60-x -y ；（2）由题意，得：900x +1200y+1100（60-x -y ）=61000， 即，y =2x -50． （3）⊥由题意，得：P =1200x +1600y +1300（60-x -y ）-61000-1500， 即，P =500x +500．⊥购进C 型手机部数为：60-x -y =110-3x ，根据题意，得：8250811038x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，解得：29≤x≤34，⊥x为整数，k=500＞0，⊥P随x的增大而增大，⊥当x=34时，P有最大值，最大值为17500元，此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部．9. 【2018·北师大附中期中】已知：如图，⊥MON=90°，在⊥ABC中，⊥C=90°，AC=3cm，BC=4cm，将⊥ABC 的两个顶点A、B放在射线OM和ON上移动，作CD⊥ON于点D，记OA=x（当点O与A重合时，x的值为0），CD=y，小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.（1）通过取点、画图、计算、测量等方法，得到了x与y的几组值，如下表（补全表格）（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象。
(完整版)一次函数动点问题
一次函数动点问题1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴ CB= ，C′B=∴ AC+CB=AC+CB′=．在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线AC对称，连结ED 交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是如图⑥，一次函数y=﹣2x+4 的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，点O 为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△ POC的面积是S，试求S关于m 的函数关系式．3．已知函数y=kx+b 的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1 的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b 的图象上（1）求此一次函数的表达式和m 的值？（2）若在x 轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P 的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x 轴的交点，若S△OAP=2，求点P 的坐标．5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1 与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△ BMP为等腰三角形，求M 的坐标．（直接写出答案）6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若点 C 是线段AB 上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△ BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．一次函数动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共 6 小题）1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去 A 营，再到河边饮马，之后再去 B 营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴CB= CB' ，C′B= C'B'∴ AC+CB=AC+CB′=AB' ．在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB 的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与 D 关于直线AC 对称，连结ED交AC于F，则EF+FB 的最小值就是线段DE 的长度，EF+FB的最小值是．如图⑤，已知⊙ O的直径CD为4，∠ AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD 上找一点P，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值是 2 ；如图⑥，一次函数y=﹣2x+4 的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，点O 为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P 点坐标．【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L 上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C，′ ∵直线l 是点B，B′的对称轴，点C，C′在l 上∴ CB=CB，' C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=A．B'在△ AC′B中′，∵ AB′<AC′+C′B，′∴AC+CB<AC′+C′B即′AC+CB 最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）模型应用①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D 关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=9°0 ∵点E是AB 中点，∴AE=1，根据勾股定理得，DE= ，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；②如图⑤，由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB 的最小值就是线A'BE的长度，∴∠ AOD=∠A'OD=60°∵点 B 是的中点，∴∠ AOB=∠BOD= ∠AOD=3°0，∴∠ A'OB=90°∵⊙ O的直径为4，∴OA=OA'=OB=2，在Rt△A'OB中，A'B=2 ，∴ BP+AP的最小值是 2 ．故答案为 2 ，③如图⑥，由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D 的长度，∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y 轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B （0，4），∴C（1，0），D（1，2），∵C与C'关于直径y 轴对称，∴C'（﹣1，0），∴ C'D= =2 ，∴ PC+PD的最小值为 2 ，∵C'（﹣1，0），D（1，2），∴直线C'D 的解析式为y=x+1，∴P（0，1）．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求 a 的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△ POC的面积是S，试求S关于m 的函数关系式．解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得解得，次函数解析式为y=2x﹣1；②将点（a，2）代入y=2x﹣1 中，得2a﹣1=2，③由 y=2x ﹣1，令 y=0得 x= ， ∴C （ 又∵点 P（m ，n ）在直线 y=2x ﹣1 上， ∴ n=2m ﹣1，3．已知函数 y=kx+b 的图象经过点A 43 y=x+1 的图象平行，点 B （ 2， m ）在一次函数 y=kx+b 的图象上1）求此一次函数的表达式和 m 的值？2）若在 x 轴上有一动点 P （x ，0），到定点 A （4，3）、B （2，m ）的距离分别 为 PA 和 PB ，当点 P 的横坐标为多少时， PA+PB 的值最小．解答】 解：（1）∵函数 y=kx+b 的图象经过点 A （4，3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行，，解得：∴一次函数的表达式为 y=x ﹣1． 当 x=2 时， m=x ﹣1=2﹣ 1=1， ∴m 的值为1．（2）作点 B 关于x 轴的对称点 B ′，连接 AB ′交x 轴于点 P ，此时PA+PB 取最小值， 如图所示． ∵点 B 的坐标为（ 2，1）， ∴点 B ′的坐标为（ 2，﹣ 1）． 设直线 AB ′的表达式为 y=ax+c ， 将（ 2，﹣1）、（4，3）代入 y=ax+c ，，解得：∴直线 AB ′的表达式为 y=2x ﹣5． 当 y=0 时， 2x ﹣ 5=0，，0），∴S= × ×|n|= | （2m ﹣1）|=|m﹣4．已知：一次函数图象如图： 1）求一次函数的解析式；2）若点 P 为该一次函数图象上一动点，且点 A 为该函数图象与 x 轴的交点，若 S △OAP =2，求点 P 的坐标．解答】 解：（1）设一次函数解析式为 y=kx+b ，所以一次函数解析式为 y=﹣x+1；（2）当 y=0时，﹣ x+1=0，解得 x=1，则 A （ 1， 0）， 设 P （t ，﹣ t+1）， 因为 S △OAP =2，所以 ×1×|﹣t+1|=2，解得 t=﹣3或t=5， 所以 P 点坐标为（﹣ 3，4）或（ 5，﹣ 4）．5．阅读下面的材料：在平面几何中， 我们学过两条直线平行的定义． 下面就两个一次函数的图象所确 定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数 y=k 1x+b 1（k 1≠ 0）的图象为把（﹣ 2，3）、（2， 分别代入得，解得PA+PB 的值最小．P 的横坐标为 ﹣1)直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1 与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x 的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2 的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△ BMP为等腰三角形，求M 的坐标．（直接写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l1 平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，∴ A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，∵△ ABC为等腰直角三角形，∴AB= =4 ，且ON 为斜边上的中线，∴ ON= AB=2 ，则l1 和l2 两平行线之间的距离为 2 ；（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB 最小，设直线B′P的解析式为y=mx+n，把B′和P 坐标代入得：，解得：m= ，n= ，∴直线B′P的解析式为y= x+ ，令x=0，得到y= ，即Q（0，）；故答案为：Q（0，）；（4）如图 2 所示，分三种情况考虑：当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；当PM2=BM2时，M2 为线段PB垂直平分线与x轴的交点，∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（ 2.5， 1.5），∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，令y=0，得到x=1，即M 2（1，0）；当PB=M3B= =3 时，OM3=OB+BM3=4+3 ，此时M 3（4﹣3 ，0），M 3（4+3 ，0）．综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣ 3 ，0）或（4+3 ，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠ 0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1?k2=﹣1，我们就称直线l1 与直线l2 相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l 的函数表达式；（2）若点 C 是线段AB 上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△ BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．【解答】解：（1）设直线l 的解析式为y=kx+b，∵直线l 与直线y=﹣x﹣1 互相垂直，∴﹣k=﹣1，解得k=2，∵直线l 的图象过点P（﹣1，4），∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，∴直线l 的解析式为y=2x+6；（2）如图1，过O作OC⊥AB 于点C，在y=2x+6 中，令x=0 可得y=6，令y=0 可求得x=﹣3，∴A（0，6），B（﹣3，0），∴OA=6，OB=3∴ AB= =3 ，∵ AB?OC= OA?OB，∴ 3 OC=3×6，∴ OC= ，即线段OC长度的最小值为；（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G⊥x 轴于点G，则PQ=P″Q，∴PQ+BQ=BQ+QP″，∵点B、Q、P″三点在一条线上，∴ BQ+PQ最小，∵P（﹣1，4），∴P″（1，4），∴ P″G=，4 OG=1，∴BG=BO+OG=4=″P G，∴∠ OBQ=4°5，BP″=4 ，∴ OQ=BO=3，∴ Q点坐标为（0，3），又BP= =2 ，此时△ BPQ的周长=BP+BP″=4 +2 ；（4）由（3）可知∠ OBQ=∠OQB=4°5，∴∠PQA=∠P″QA=45°，∴PQ⊥BQ，如图3，延长PQ到点P′，使PQ=P′Q，则P′即为点P 关于BQ的对称点，过P′作由（3）可知PQ=Q′P = ，∴QH=H′P =1，∴OH=OQ﹣QH=3﹣1=2，∴ S四边形ABO′P=S△AOB+S△AOP′= ×6×3+ × 6× 1=12，四边形△ △即四边形ABOP′的面积为12．。
一次函数中的动点问题
一次函数中的动点问题一次函数是学生在初中阶段学习的第一个函数，它是最基础的函数，是初中数学中的重要内容之一．本文例析一次函数中的动点问题，供同学们学习时参考．一、动点与函数问题例1 正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，点P自点D出发沿D→C→B的路径匀速移动（到点B后就停止）．设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，求y与x的函数关系式．解析由于点P的位置有两种可能，可能在DC边上，也可能在边BC上，故应该分两种情况讨论：如图1，当点P在DC边上（0≤x≤4）时，y＝12．AD．DP＝12×4x＝2x；如图2，当点P在BC边上（当4<x≤8）时，y＝12．AD．PQ＝14×4×4＝8．所以y＝() () 2,04 8,48 x xx⎧≤≤⎪⎨<≤⎪⎩二、动点与距离问题例2 如图3，在平面直角坐标系中，点A为直线y＝2x＋3上的一个动点．问当点A运动到何处时，点A到y轴的距离为1，求出点A的坐标．解析根据点A到y轴的距离为1，可以得到点A的横坐标的绝对值等于1．故点A的横坐标等于1或者－1，即x A＝±1．当x A＝1时，代入y＝2x＋3，得到y＝2x1＋3＝5，故点A的坐标为(1，5)；当x A＝－1时，代入y＝2x＋3，得到y＝2×（－1）＋－3＝1，故点A的坐标为（－1，1）．所以点A的坐标为(1，5)或者（－1，1）．三、动点与最值问题例3 如图4，在平面直角坐标系中，A（－3，2），B(2，3)，点M为x轴上的一个动点，当点M运动到x轴上何处时，MA与MB的和最短．解析点A和点B在x轴的同侧，在x轴上的确定点M的位置，根据最短路径问题的思路，想到利用轴对称知识解决问题，作点A（－3，2）关于x轴的对称点A'（－3，－2），连结A'B交x轴于点M，则有MA＋MB＝MA'＋MB＝A'B，根据两点之间线段最短，可以得到此时的MA与MB的和最短．设经过点A'（－3，－2）、B(2，3)的一次函数的关系式为y＝kx＋b．根据题意，得方程组32 23k bk b-+=-⎧⎨+=⎩解得11kb=⎧⎨=⎩，∴y＝x＋1．把y＝0代入y＝x＋1，得x＝－1，所以点M的坐标为（－1，0）．所以，当点M运动到（－1，0）时，MA与MB的和最短．四、动点与面积问题例4 如图5，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点N是直线y＝－2x＋4上的一动点．若AON的面积等于△AOB面积的二分之一，求点N的坐标．所以点N的坐标为(1，2)，（－1，6）．五、动点与不等式问题例5（2013年河北中考题）如图6，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l:y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒，(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．t＝2时，落在x轴上．六、动点与等腰三角形问题例6（2013龙岩中考题）如图7，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求符合条件的点C的个数．解析如图8，AB的垂直平分线与直线y＝x相交于点C1．∵A(0，2)，B(0，6)，∴AB＝6－2＝4．以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x的交点为C2，C3．∵OB＝6．∴点B到直线y＝x的距离为6=∵，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x没有交点，所以，点C的个数是1＋2＝3．。
一次函数中的动点问题
一次函数中的动点问题一次函数是最基础的函数，也是初中数学中的重要内容之一,是中考中必考内容之一,下面以一次函数动点问题为例进行分析,希望对同学们学习这部分知识有所帮助.一. 动点与最值问题例1 如图1，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y x =-上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为A ．（0，0）B ．（12，－12） C ．（2，－2） D ．（－12，12） 解析:如图2,过点A 向直线y=-x 作垂线段,垂足为点M ，则当点B运动到点M 的位置时,线段AB 最短.再作MN ⊥OA 于点N,正比例函数y=-x 的图象是二、四象限的角平分线，∴△OAM 和△OMN 均为等腰直角三角形.∵OA=1, ∴ON=12,即M 点的横坐标为12，代入y=-x 中，∴y=-12,∴点M 的坐标为(12,-12),∴故选B. 评注：解答本题涉及四个知识点;(1)正比例函数y=-x 的图象是二、四象限夹角平分线；（2）根据“垂线段最短”确定动点B 的位置；（3）利用等腰三角形“三线合一”的性质求得M 点的横坐标；（4）把求得的横坐标代入y=-x 中，求得纵坐标.二. 动点与图形面积例2 如图2，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ） A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 解析:动点从点出发,沿边运动到点的过程中，的值逐渐增大,到达点时,面积最大,当动点在边上由点运动到点时,的值不变,的面积为故选评注:解决本题的关键是找出图象与题中运动过程相对应的阶段,分析对应部分的变化情况,找到解题突破口.同学们在解决此类题中，应培养自己通过特殊点分析函数图象与题中情境的关系的能力.三. 动点与函数图象例3在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A （-1，1），B （-1，-1），C （1，-1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。
一次函数动点综合题(含解析)
一次函数综合题（含解析）一．解答题（共12小题）1．求出将直线y=﹣x+绕点A（2，1）顺时针旋转45度得到的直线表达式．2．如图1，一次函数y=﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B 作线段BC⊥AB且BC=AB，直线AC交x轴于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）求点C的坐标，并直接写出直线AC的函数关系式；（3）若点P是图1中直线AC上的一点，连接OP，得到图2．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择．A．当点P的纵坐标为3时，求△AOP的面积；B．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，求△AOP的面积；（4）若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择A．当以点B，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，直接写出点Q的坐标；B．当以点C，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，直接写出点Q的坐标．3．如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标．4．如图，直线y=4﹣x与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D．（1）当点M在AB上运动时，则四边形OCMD的周长=．（2）当四边形OCMD为正方形时，将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a≤4），在平移过程中，当平移距离a为多少时，正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分？5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B （0，2），P为线段OA上一个动点，Q为第二象限的一个动点，且满足PQ=PA，OQ=OB．（1）求直线AB的函数关系式；（2）若△OPQ为直角三角形，试求点P的坐标，并判断点Q是否在直线AB上．6．矩形ABCD在如图所示的直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），BC=2AB、直线l经过点B，交AD边于点P1，此时直线l的函数表达式是y=2x+1．（1）求BC、AP1的长；（2）沿y轴负方向平移直线l，分别交AD、BC边于点P、E．①当四边形BEPP1，是菱形时，求平移的距离；②设AP=m，当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3：5时，求m的值．7．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．①用含n的代数式表示△ABP的面积；②当S=8时，求点P的坐标；△ABP③在②的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC，求点C的坐标．8．如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F．（1）求直线BD的函数表达式；（2）求线段OF的长；（3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由．9．在直角坐标系xOy中，点A、点B、点C坐标分别为（4，0）、（8，0）、（0，﹣4）．（1）求过B、C两点的一次函数解析式；（2）若直线BC上有一动点P（x，y），以点O、A、P为顶点的三角形面积和以点O、C、P为顶点的三角形面积相等，求P点坐标；（3）若y轴上有一动点Q，使以点Q、A、C为顶点的三角形为等腰三角形，求Q点坐标．10．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B （0，﹣4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．。
中考复习函数专题06 一次函数中的动点问题(学生版)
专题06 一次函数中的动点问题知识对接考点一、怎样解一次函数图象的平移问题1、直线的平移规律（1）直线)0(≠+=k b kx y 可由直线)0(≠=k kx y 向上或向下平移得到，当b>0时，将直线kx y =沿y 轴向上平移b 个单位长度得到直线b kx y +=；当b<0时，将直线kx y =沿y 轴向下平移b 个单位长度得到直线b kx y +=.简而言之，“上加下减”（2）直线)(m x k y +=可由直线kx y =向左或向右平移得到，当m<0时，将直线kx y =沿x 轴向右平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=；当>0时，将直线kx y =沿x 轴向左平移m 个单位长度，可得到直线)(m x k y +=，简而言之，“左加右减”（3）一次函数的图象平移，不会改变图象的形状与大小，平移后的图象与原来的图象平行，直线平移后的解析式中，k 的值不变，只有b 的值发生变化.专项训练一、单选题1．一次函数y ＝kx +b 的图象是由函数y ＝2x 的图象向左平移3个单位长度后得到的，则该一次函数的解析式为（ ）A ．y ＝2x +6B ．y ＝﹣2x +6C ．y ＝2x ﹣6D ．y ＝﹣2x ﹣6 2．若一次函数的y ＝kx +b （k ＜0）图象上有两点A （﹣2，y 1）、B （1，y 2），则下列y 大小关系正确的是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1≤y 2D ．y 1≥y 23．已知一次函数的图象过点(2,0)和点(1,1)-，则这个函数的解析式为（ ）A ．2y x =-B ．2y x =+C ．2y x =--D ．2y x =--4．将一次函数1y x =-+的图象向上平移3个单位，则新的一次函数的解析式为（ ） A ．21y x =+ B ．4y x =-- C ．4y x =-+ D ．41y x =-+5．定义：对于给定的一次函数y ax b =+（a 、b 为常数，且0a ≠，把形如()()00ax b x y ax b x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩的函数称为一次函数y ax b =+的“相依函数”，已知一次函数1y x =+，若点()2,P m -在这个一次函数的“相依函数”图象上，则m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若把一次函数y ＝kx +b 的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A (4，0)和点B (0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（ ）A ．y ＝﹣12x ﹣1B ．y ＝﹣12x +1C ．y ＝12x +1D ．y ＝12x ﹣1 7．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点(3,2)A ，(1,6)B --，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为24y x =-；①该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；①点(2,44)P a a -该函数图象上；①直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．下列函数关系式：（1）y x =-；（2）1y x =-；（3）1y x =；（4）2y x ，其中一次函数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在等腰Rt ABC ∆中，2AB AC cm ==，动点Q 从点C 出发沿C A B →→路径以1/cm s的速度运动，设点Q 运动时间为()t s ，BCQ ∆的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 10．如图，点A 的坐标为（0，1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰Rt①ABC ，使①BAC=90°，设点B 的横坐标为x ，设点C 的纵坐标为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．若一次函数(0)y kx b k =+≠的图象可以由2y x =的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为_________．12．若一个一次函数的图象经过点()02，，则这个一次函数的解析式可以是（写出一个即可）__________．13．若一次函数y kx b =+（b 为常数）的图象过点()5,4，且与y x =的图象平行，这个一次函数的解析式为_______．14．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．15．如图①，在梯形ABCD 中，AD①BC ，①A=60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止.已知①PAD 的面积S （单位：）与点P 移动的时间t （单位：s ）的函数关系式如图①所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了_________秒（结果保留根号）．三、解答题16．如图，在平面直角坐标系中，点()1,1A ，点()4,2B ，点A 关于x 轴的对称点为A '．（1）点A '的坐标为________；（2）已知一次函数的图象经过点A '与B ，求这个一次函数的解析式；（3）点(),0P x 是x 轴上的一个动点，当x =________时，PAB △的周长最小；（4）点(),0C t ，()2,0D t +是x 轴上的两个动点，当t =________时，四边形ACDB 的周长最小；（5）点(),0M m ，点()0,N n 分别是x 轴和y 轴上的动点，当四边形ANMB 的周长最小时，m n +=________，此时四边形ANMB 的面积为________．17．已知：一次函数y ＝kx +b 的图象经过M (0，2)，N (1，3)两点．（1）求一次函数的解析式，画出此一次函数的图象并利用图象回答：当x 取何值时，函数值y ＞0；（2）将该函数图象平移，使它过点(﹣2，﹣2)，求平移后直线的解析式．18．已知一次函数的图象经过点A （3，5）与点B （﹣4，﹣9）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）将该函数图像向下平移3个单位，求平移后图像的函数表达式．19．在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b （k ≠ 0）的图象由函数 y=x 的图象平移得到， 且经过点 A （1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象．若此图象与 x 轴交于点 B ，则①ABO 的面积为 ．（3）当 x >1 时，对于每一个 x 的值，函数 y=mx （m ≠ 0）的值都大于一次函数 y=kx+b 的值，请你直接写出 m 的取值范围： ．20．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象是由函数y ＝2x 的图象平移得到，且经过点（1，3）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x ＞1时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的值，直接写出m 的取值范围．21．如图，一次函数y ＝（m ﹣3）x ﹣m ＋1图象分别与x 轴正半轴、y 轴负半轴相交于点A 、B ．（1）求m 的取值范围；（2）若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的解析式．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过(2,0)A -，()1,3B 两点． （1）求这个一次函数的解析式；。
苏科版八年级数学上册第6章 一次函数的应用——动点问题(解析版)
一次函数的应用——动点问题一、单选题1.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=﹣34x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C （0，n）是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（）A. （0，3）B. （0，43） C. （0，83） D. （0，73）【答案】C【解析】【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=﹣34x+6，当x=0，得y=6；当y=0，x=8，∴A（8，0），B（0，6），即OA=8，OB=6，∴AB=10，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=6﹣n，∴DA=OA=8，∴DB=10﹣8=2，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+22=（6﹣n）2，解得n= 83，∴点C的坐标为（0，83）．故答案为：C．2.如图，函数y=mx﹣4m（m是常数，且m≠0）的图象分别交x轴、y轴于点M，N，线段MN上两点A，B（点B在点A的右侧），作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴，且垂足分别为A1，B1，若OA1+OB1＞4，则△OA1A的面积S1与△OB1B的面积S2的大小关系是（）A. S1＞S2B. S1=S2C. S1＜S2D. 不确定的【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得，m＜0，设A（a，ma﹣4m），B（b，mb﹣4m），a＜b，∵S1= 12a×（ma﹣4m），S2= 12b（mb﹣4m）∴S1﹣S2= 12（ma2﹣mb2）﹣124m（a﹣b）=（a﹣b）{ 12m（a+b）﹣124m}．又∵OA1+OB1＞4，∴12m（a+b）﹣124m= 12m（a+b﹣4）＜0，∴S1﹣S2＞0，故选A．3.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【解答】解：①当点P由点A向点D运动时，y的值为0；②当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大；③当点p 在CB 上运动时，y=AB•AD ，y 不变； ④当点P 在BA 上运动时，y 随x 的增大而减小． 故选B ．二、填空题4.如图，直线y=﹣ 12 x+3与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线y=x 交于点C ，线段OA 上的点Q 以每秒1个长度单位的速度从点O 出发向点A 作匀速运动，运动时间为t 秒，连接CQ ．若△OQC 是等腰直角三角形，则t 的值为________．【答案】2或4【解析】【解答】∵由 {y =−12x +3y =x，得 {x =2y =2 ， ∴C （2，2）；如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ ，∵C （2，2）， ∴OQ=CQ=2， ∴t=2；如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ ， 过C 作CM ⊥OA 于M ，∵C （2，2）， ∴CM=OM=2， ∴QM=OM=2， ∴t=2+2=4，即t的值为2或4，故答案为：2或4.5.如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移√2个单位，则平移后直线的解析式为________。
一次函数中的动点运动问题
一次函数中的动点运动问题一次函数中的动点问题一直是难点。
其难度在于:①直线或点的旋转、平移、翻折运动；②因动直线或动点产生的面积问题；③因动点产生的三角形存在性问题。
解法分析：本题的第1问是点的平移，点的平移运动遵循“上加下减，左减右加”；本题的第2问是直线的左右平移，尽管是新的背景，但是直线的平移就是直线上点的平移运动，只要找准直线上的一个点进行平移运动，代入即可；本题的第3问是点的旋转运动，经过的路径长就是以O为圆心，AO为半径，圆心角为90°的弧长；本题的第4问是直线的旋转运动，只要求出直线上的任意两点(一般选与坐标轴的两交点)绕旋转中心旋转后的对应点，即可求出型的直线表达式。
(旋转后构造“一线三直角模型”，即可求出旋转后对应点的坐标)对于直线的左右平移按照以下方法进行：①从直线上任意取一点进行左右平移，得到平移后的点的坐标；②设出平移后的直线表达式；③将平移后的点代入平移后的表达式中，即可求出b，得到新的表达式。
对于平面直角坐标系中点的旋转运动，往往可以通过构造一线三直角模型，借助全等三角形找到对应的等边。
解法分析：本题的第1问和第2问是手拉手旋转型模型，难度不大，围绕旋转角相等，证明▲AOE'≌▲BOF'，即可得到AE'=BF'，AE'⊥BF'。
本题的第3问是求P纵坐标的最大值，这是本题的难点，从动态的角度来看，当P与D'重合时，可以求得点P的纵坐标的最大值。
通过画出图形，进行分析，可以得到此时∠A为30°，以此通过30°-60°-90°直角三角形的性质得到点P的纵坐标。
因动点产生的三角形存在性问题有以下几类：①等腰三角形的存在性问题(设点、利用距离公式，线段相等即可求出点的坐标)；②直角三角形的存在性问题(设点，利用距离公式和勾股定理求出点的坐标)；③等腰直角三角形的存在性问题(根据题意画出图形，利用等腰直角三角形的性质求出点的坐标)。
一次函数之动点问题(含解析)
一次函数之动点问题一、 框架套路和标准动作动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为背景图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息．二、 例题解析（1）读题标注，整合信息（即研究背景图形）由直线AB 的表达式y +()(400A B -，，， 即4OA OB ==，8AB =，∠BAC =60°．又由∠ABC =60°， 可得△ABC 是等边三角形，且AB =BC =AC =8，OA =OC =4． 如图：（2）分析特征，有序思考，设计方案（分析运动过程）： 分析运动过程，核心是运动过程的四要素：①起点、终点、速度；②时间范围；③状态转折点；④目标．具体操作：①起点、终点、速度；动点P 从点A 沿AC 向点C 运动，可以确定点P 的起点（点A ）、终点（点C ），速度为1/s ；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，可以确定点Q 的起点（点C ）、终点（点A ），速度为2/s ，图示如下：AQ :BC (2/s)(1/s)A P :②时间范围根据路程、时间和速度的公式s =vt ，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间．例如：动点P 的速度是1/s ，AC =8，故动点P 由A 到C 共经过8s ；动点Q 的速度是2/s ，CB =BA =8，故每段各走4s ，共8s ，综上0≤t ≤8．图示如下：AQ :B C4s(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P :③状态转折点状态转折点即点的运动发生变化的点，常常为动点的运动方向发生改变、或者是动点的速度发生改变．例如：动点P 从点A 到点C ，速度和方向均未变化，故点P 没有状态转折点；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，在点B 处运动方向发生了变化，故点B 为状态转折点，由状态转折点可对运动过程进行分段．图示如下：4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P :④确定目标确定目标是正确高效解题的保证，是有序操作的重要一环．本题求S 与t 之间的函数关系式，即用t 来表示△APQ 的面积S ．图示如下：△APQ S (t )4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P : （3）根据方案作出图形、有序操作（分段作图，求解）作图需要充分借助动点的运动路线图，利用运动路线图可以确定每段时间范围内点的位置． 例如：①当04t ≤≤时，点P 在AO 上，点Q 在CB 上，连接AQ ，PQ ；要求△APQ 的面积，先从表达开始，可以表达动点的已走路程，得到AP =t ，CQ =2t 。
初二数学 一次函数动点问题含解析
一次函数动点问题1、如图，正方形ABCD 的边长为6cm，动点P 从A 点出发，在正方形的边上由A→B→C→D 运动，设运动的时间为t（s），△ APD的面积为S（cm2），S与t 的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P 在AB 上运动时间为s，在CD 上运动的速度为cm/s，△APD 的面积S 的最大值为cm2；（2）求出点P 在CD 上运动时S 与t 的函数解析式；（3）当t 为s 时，△APD 的面积为10cm2．2、如图1，等边△ ABC 中，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x 秒．（图2、图3 备用）（1）填空：B Q= ，P B= （用含x 的代数式表示）；（2）当x 为何值时，PQ∥AC？（3）当x 为何值时，△ PBQ 为直角三角形？3、如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动，设点P 移动的路线为x，△ PAD 的面积为y．（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4 和x=18 时的函数值．（3）当x 取何值时，y=20，并说明此时点P 在矩形的哪条边上．4、如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B→C→D→A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a秒后变为每秒2 个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2 所示．（1）求矩形ABCD 的长和宽；（2）求m、a、b 的值5、如图1 所示，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A 运动．设点P 运动的路程为x，△ ABP 的面积为y．把y 看作x 的函数，函数的图象如图2 所示，试求当0≤x≤9 时y 与x 的函数关系式．6、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 从A 点出发，沿A→ B→C→D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D→C→B→A 运动，到A 点停止．若点P、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm，点Q 的速度为每秒2cm，a 秒时点P、点Q 同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2 是点P出发x秒后△ APD 的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3 是点Q 出发x 秒后△ AQD 的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求a、b、c 的值；（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2 与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值．动点答案1、解：（1）点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s，当点P 运动到点B 时，△APD 的面积S 最大，最大值是×6×6=18cm2；（2）PD=6﹣2（t﹣12）=30﹣2t，S= AD•PD= ×6×（30﹣2t）=90﹣6t；（3）当0≤t≤6 时，S=3t，12≤t≤15 时，90﹣6t=10，t=，所以当t 为（s）、（s）时，△APD的面积为10c△ APD 的面积为10cm2，即S=10 时，3t=10，t= ，当m2．2、解：（1）根据题意，B Q=x，P B=6﹣2x；（2）若PQ∥AC，有，即，解之得：x=2；（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，∴x=2（6﹣2x），解之得：x= ，当∠BQP=90°时，2BQ=BP，即6﹣2x=x，解之得：x= ．3、解：（1）当点P在线段AB上时，此时AP=x，AD=8，根据三角形的面积公式可得：y= •AD•AP= ×8×x=4x，当点P 在线段BC 上运动时，面积不变；当点P 在线段CD 上，运动时，DP=6+8+6﹣x=20﹣x，AD=8根据三角形的面积公式可得：y= •AD•DP=×8×（20﹣x）=80﹣4x，∴y 与x 之间的函数关系式为y=（2）当x=4 时，y=4x=4×4=16，当x=18 时，y=80﹣4×18=8；（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P 在线段AB 上，当y=80﹣4x=20，解得x=15，此时点P 在线段CD 上．4、解：（1）从图象可知，当6≤t≤8 时，△ A B P面积不变即6≤t≤8 时，点P 从点C 运动到点D，且这时速度为每秒2 个单位∴CD=2（8﹣6）=4∴AB=CD=4（2 分）当t=6 时（点P运动到点C），S△ABP=16∴AB•BC=16∴×4×BC=16∴BC=8（4 分）∴长方形的长为8，宽为4．（2）当t=a 时，S△ABP=8=×16即点P 此时在BC 的中点处∴PC= BC= ×8=4∴2（6﹣a）=4∴a=4（6 分）∵BP=PC=4∴m=BP÷a=4÷4=1，当t=b 时，S△ABP=AB•AP=4∴ ×4×AP=4，AP=2∴b=13﹣2=11（9 分）；5、解：由题意知：BC=4，DC=9﹣4=5，AD=5…（3 分）…（5 分）当0≤x≤4 时，…（8 分）当4＜x≤9 时，…（9 分）6、解：（1）观察图象得，S△APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24，解得a=8（秒）b= =2（厘米/秒）（22﹣8）c=（12×2+6）﹣2×8解得c=1（厘米/秒）（2）依题意得：y1=1×8+2（x﹣8），即：y1=2x﹣8（x＞8），y2=（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）=22﹣x（x＞8）又据题意，当y1=y2 时，P 与Q 相遇，即2x﹣8=22﹣x，解得x=10（秒）∴出发10 秒时，P 与Q 相遇．。
8年级数学专题10 一次函数中动点坐标与面积之间的问题
将点 和点 的坐标代入，得
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为： ；
（2）∵点（a，2）在该函数的图象上，
∴2a-1=2，
解得 ；
（3）当y=0时，得到2x-1=0，解得x= ，
∴C点坐标为 ，
∵P点在直线上，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， .
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，利用解析式求出点的坐标，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数图象与几何图形.
5.已知A( ， )，B( ， )，点C与点A关于坐标原点对称，经过点C的直线与y轴交于点D，与直线AB交于点E，且E点在第二象限。
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点D(0，1)，过点B作 于F，连接BC，求 的度数及 的面积；
（3）若点G(G不与C重合)是动直线CD上一点，且 ，试探究 与 之间满足的等量关系，并加以证明．
3.如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2；
（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式；
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积．
专题10一次函数中动点坐标与面积之间的问题
【专题说明】
此类问题 两个难点：
一、根据已知直线的解析式表示动点坐标；
二、用动点及已知点的坐标来表示所需线段的长度；
三、根据动点所处不同位置进行分类讨论．
另外，需要注意自变量 取值范围．
1.已知四条直线 ， ，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值．
(完整版)八年级《一次函数动点问题》
一次函数动点问题的典例分析1、已知如图，直线与x 轴相交于点A ，与直线相交于点P 。
（1）求点P 的坐标； （2）求的值；（3）动点E 从原点O 出发，沿着O-P-A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B 。
设运动t 秒时，F 的坐标为（a ，0），矩形EBOF 与重叠部分的面积为S 。
求S 与a 之间的函数关系式。
OyxB FE A POyxB FEA P2、如图，在平面直角坐标系内，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点。
（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标。
3、如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60︒,E为CD边的中点，点P从点A开始沿AC方向2cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点以每秒3P到达点C时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为x秒。
当点P在线段AO上运动时，（1）请用含x的代数式表示OP的长度；（2）若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。
4、如图，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与原点重合，对角线BD 所在直线的函数关系式为x y 43=，AD=8，矩形ABCD 沿DB 方向以每秒1个单位长度运动，同时点P 从点A 出发做匀速运动，沿矩形ABCD 的边经过点B 到达点C ，用了14（1）求矩形ABCD 的周长；（2）如图所示，图形运动到第5秒时，求点D 的坐标；（3）设矩形运动的时间为t ，当60≤≤t 时，点P 所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。
5、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 从A 点出发，沿A —B —C —D 的路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D —C —B —A 运动，到A 点停止。
专题09 一次函数动点及实际应用知识讲义(解析版)
专题09 一次函数动点及实际应用知识讲义典例解析【动点及其图象】【例1】（2021·山东枣庄期中）如图①，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，ABP△的面积为y，如果y与x之间的图象如图②所示，则长方形ABCD的面积是（）A．10B．16C．20D．36【答案】C.【解析】解：由题意知，当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，x=4时，y开始不变，即BC=4，x=9时，y接着变化，即CD=9-4=5，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=5，BC=4，∴长方形ABCD的面积是：4×5=20．故答案为：C．【例2】（2021·江苏南通市）如图，点P是边长为2cm的正方形ABCD的边上一动点，O是对角线的交点，当点P由A→D→C运动时，设P点运动的路程为xcm，则POD的面积y （cm2）随x（cm）变化的关系图象为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】解：由题意知，点O到AD、CD的距离为1cm，当P由点A移动到D时，y=11(2)11(02) 22x x x-⨯=-<；当P由点D移动到C时，y=11(2)11(24) 22x x x-⨯=-<；故答案为：C．【例3】（2021·山西晋中市期末）如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A 出发，沿AB BC →的路径运动，到点C 止，过点P 作//PQ BD ，PO 与边AD （或边CD ）交于点Q ，PQ 的长度()cm y 与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图②所示，当点P 运动2.5秒时，PQ 的长度是（ ）cm ．A ．2B ．3C D ．【答案】D .【解析】解：由题意可得：点P 运动2.5秒时，P 点运动了5cm ， 此时，点P 在BC 上，如图，∴CP =8-5=3cm ，Rt △PCQ 中，由勾股定理，得PQ ==cm ， 故答案为：D ．【例4】（2021·浙江月考）如图1，在平面直角坐标系中，ABCD 在第一象限，且//BC x 轴，直线y x =从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图像如图2所示，那么ABCD 的面积为（ ）A．3 B ．6C ．D ．【答案】C .【解析】解：存在两种情况：如图，过B 作BM ⊥AD 于点M ，分别过B ，D 作直线y =x 的平行线，交AD 于E ，由图象和题意可得，AE =6-4=2，DE =7-6=1，BE =2， ∴AD =2+1=3，∵直线BE 平行直线y =x ，∴BM =EM∴平行四边形ABCD 的面积是：AD •BM =3=故答案为：C ．【例5】（2021·江西模拟）如图1，A ，C 是平面内的两个定点，，P 为射线AB 上一动点，过点P 作PC 的垂线交直线AC 于点D ．设APC ∠的度数为x ︒，PD C ∠的度数为︒y ．小贤对x 与y 之间满足的等量关系进行了探究．下面是小贤的探究过程，请补充完整：（1）如图2，当x 35=时，依题意补全图形；（2）按照下表中x 的值进行取点、画图、计算，分别得到了y 与x 的几组对应值，补全表格；（3）如图3所示的是平面直角坐标系xOy ；①通过描出表中各组数值所对应的点(,)x y ，画出y 与x 的函数图象； ②结合①中的图象填空，当50y =时，x 的值为 ；（4）y 关于x 的函数表达式为 （需写出自变量x 的取值范围）．【答案】（1）见解析；（2）30，20，20，30；（3）①见解析；②10或110；（4）y ＝． 【解析】解：（1）依题意补全的图形如图：（2）设∠APC =x °，∠PDC =y °， 当x ＝30时，即∠APC ＝30°，∵∠BAC =30°，∴∠PCD ＝∠P AD ＋∠APC ＝60°， 则∠PDC ＝90°−60°＝30°＝y ， 同理可得：x ＝40时，y ＝20； 如图，x ＝80时，∠PCD =70° ∵∠DPC =90°∴y =∠PDC ＝90°−70°=20° 同理x ＝90时，y ＝30，故答案为：30，20，20，30； （3）①描点连线绘出函数图象如下：②当y =50时，x ＝10或110， 故答案为：10或110；（4）当x ＞60时，设函数的表达式为y ＝kx ＋b ， 将（70，10）、（80，20）代入得： 解得：，函数的表达式为y ＝x −60；当x ＜60时，同理可得：函数的表达式为y ＝−x ＋60， 故答案为：y ＝．【动点与最值】【例6】（2021·西安铁一中模拟）如图，四边形OABC 是边长为6的正方形，D 点坐标为（4，－1），16BE OB =，直线l 过A 、C 两点，P 是l 上一动点，当EP DP -的值最大时，P 点的坐标为______．【答案】（13，-7）.【解析】解：∠四边形OABC 是边长为6的正方形， ∴AC 垂直平分OB ，直线l 解析式为y =-x +6 ∠E 关于直线l 的对称点E ’在OB 上， 由题意知，B （6,6），E ’（1,1）连接DE ’，与直线l 的交点即为P 点，此时EP DP -的值最大，由待定系数法，得直线PD 解析式为：2533y x =-+， 联立，，得， ∴P （13，-7）， 故答案为：（13，-7）．【例7】（2021·江苏苏州期末）在ABC ∆中，,AB AC =点P 为ABC ∆边上的动点，速度为1/cm s ．（1）如图1，点D 为AB 边上一点，1AD cm =，动点Р从点D 出发，在ABC ∆的边上沿D B C →→的路径匀速运动，当到达点C 时停止运动．设APC ∆的面积为()21,S cm BPC ∆的面积为()22S cm ，点P 运动的时间为与t 之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：①在图1中，AB = ,cm BC = cm ；②在图2中，求EF 和MN 的交点H 的坐标；（2）在（1）的条件下，如图3，若点P ，点Q 同时从点出发，在ABC ∆的边上沿A B C →→的路径匀速运动，点Q 运动的速度为，当点Р到达点C 时，点P 与点Q 同时停止运动．求t 为何值时，BP BQ -最大？最大值为多少？【答案】（1）①5、6，②；（2）t =11， 5.5cm .【解析】解：（1）①根据图象可知当t =4时，∠BPC 的面积为0，此时点P 与点B 重合， ∴AB =4cm ，当t =10时∠APC 的面积为0，此时点P 与点C 重合， ∴BC =6cm ， 故答案为：5、6； ②过点A 作AI ∠BC 于I ， ∵AB =AC ，根据三线合一可得BI =CI =3, ，由勾股定理得：AI =4， ∴S ∠ABC =12cm 2，根据图象可知，∠BPC 与∠APC 的面积相等， ∴AP =BP ，即t +1=2.5， 解得t =1.5，此时点H 的纵坐标为：6， ∴；（2）①当0≤t ＜5时，P 、Q 均在AB 上 ∴当t =5时，BP BQ -最大=2.5 cm ②当5≤t ≤10时，P 在AB 上，Q 在BC 上∴当t =10时，最大值为5cm ③当10＜t ≤11时，P 、Q 在BC 上当t =11时，最大值为5.5 cm故，当t =11时，BP BQ -最大=5.5cm ．【例8】（2021·北京月考）已知点(1,1)A ，(3,5)B ，在x 轴上的点C ，使得AC BC +最小，则点C 的横坐标为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】A .【解析】解：如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A ’，连接A ’B ，与x 轴的交点即为点C ， 连接AC ，此时AC +BC 的最小值等于A ’B 的长，由对称性知，A ’（1，-1）， 得直线A ’B 解析式为y =3x -4 当0y =时，43x =， 点C 的横坐标为43， 故答案为：A ．【例9】（2021·福建省惠安月考）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，4），B （m ，m －4），则AB ＋OB 的最小值是（ ）A ．B ．8C ．D ．4【解析】解：由B （m ，m -4）知，点B 在直线y =x -4上， 作点O 关于直线y =x -4的对称点O ’（4，-4）， 连接O ’A 交直线y =x -4于B ，此时AB ＋OB 有最小值，最小值为O ’A 的长由勾股定理得：O ’A 故答案为：A ．【例10】（2020·浙江期中）如图所示，直线:24AB y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点,B x 轴上有一点为y 轴上一动点，把线段BD 绕B 点按逆时针方向旋转90︒得到线段BE ，连结,CE CD ，则当CE 长度最小时，线段CD 的长为（ ）A B C ．5D ．【答案】A .【解析】解：过点E 作EH ⊥x 轴于H ，如图所示：∵∠DBE =90°， ∴∠DBC +∠CBE =90°. ∵∠BHE =90°， ∴∠BEH +∠CBE =90°， ∴∠DBC =∠BEH ，∵∠BOD =∠BHE =90°，BD =BE ， ∴△DBO ≌△BEH （AAS ）， ∴HE =OB ，HB =OD ， 当y =0时，x =2， ∴HE =OB =2，∴点E 的运动轨迹是直线m ：y =-2，B (2，0)，∴当CE ’⊥m 时，CE 最短，如图所示，此时点C 与点H 重合，点E ’的坐标为(-1，-2)， ∵C (-1，0)，B (2，0)，∴OD =3，∴CD 故答案为：A ．【动点与面积】【例11】（2021·陕西模拟）平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，过点A （1，2）的直线y ＝kx +b 与x 轴交于点B ，且S △AOB ＝4，则k 的值是（ ） A ．25B ．23-C ．25或23- D ．25-或23【答案】C .【解析】解：把y =0代入直线y ＝kx +b 得kx +b =0，解得：bx k=- ∴(,0)b B k-把A （1,2）代入y =kx +b 得：k +b =2， ∵S △AOB ＝4， ∴1242bk -⨯= 即24kk-= 解得：25k =或23k =-，经检验：22,53k k ==-是原方程的根，符合题意， 故答案为：C ．【例12】（2021·江苏南通市模拟）如图，直线y ＝﹣12x +3与坐标轴分别交于点A ，B ，与直线y ＝x 交于点C ，Q 为线段OA 上的一个动点，连接CQ ． （1）点C 的坐标为 ；（2）当S △ACQ ：S 四边形CQOB ＝2：7时，求直线CQ 对应的函数关系式．【答案】（1）（2，2）；（2）y =-x +4. 【解析】解：（1）由题意得： ，解得， ∴C 的坐标为（2，2）， （2）在y ＝﹣12x +3中，当y ＝﹣12x +3＝0，解得x ＝6，当x ＝0，则y ＝3， 故点A （6，0），点B （0，3），则OA ＝6，OB ＝3， ∴S △AOB ＝9∵S △ACQ ：S 四边形CQOB ＝2：7 ∴S △ACQ ＝2∵点C 的坐标为（2，2） ∴AQ =2 ∴点Q （4，0）设直线CQ 的解析式为y =kx +b ，将C 、Q 坐标代入得： 解得： ∴y =-x +4.【例13】（2021·南京模拟）如图，在直角坐标系中，OABC 的边OC 落在x 轴的正半轴上，且点C （8，0），B （12，4），直线21y x =+以每秒2个单位的速度向右平移，经过_____秒该直线可将OABC 的面积平分．【答案】2.75.【解析】解：如图，连接OB 、AC 交于E ，直线y =2x +1与x 轴交于D ，当直线过E 时，将OABC 的面积平分，E （6，2）设直线EF 解析式为y =2x +b ， 将E （6，2）代入可得：b =-10， ∴直线EF 解析式为y =2x -10 令y =0得x =5， ∴F （5，0）， ∴DF =5.5．故移动所需移动时间是5.52 2.75()s ÷=．故答案为：2.75．【例14】（2021·河北唐山市模拟）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝－5与x轴交于点D，直线33988y x=--与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E．点B，E关于x轴对称，连接AB．（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；（2）设面积的和S＝S△CDE＋S四边形ABDO，求S的值；（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB 与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．【答案】（1）C（－13，0）；E（－5，－3）；255y x=+；（2）32；（3）见解析．【解析】解：（1）把y＝0代入33988y x=--，得x＝－13，∴C（－13，0）．把x＝－5代入33988y x=--，得y＝－3，∴E（－5，－3）．∵点B，E关于x轴对称，∴B（－5，3）．设直线AB的解析式为y kx b=+，则，解得，∴直线AB的解析式为255y x=+；（2）∵CD＝8，DE＝DB＝3，OA＝OD＝5，∴S△CDB＝12×8×3＝12，S四边形ABDO＝12×（3＋5）×5＝20，∴S＝S△CDB+S四边形ABDO =12+20=32；（3）当x＝－13时，255y x=+＝－0.2≠0，∴点C不在直线AB上，即A，B，C三点不共线．∴他的想法错在将△CDB与四边形ABDO拼接后看成了△AOC．【例15】（2021·辽宁沈阳市模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点，点A 的坐标为（﹣30，0），点B 的坐标为（﹣30，30），△CDE 是位于y 轴的左侧且边长为DE 垂直于x 轴，△CDE 从点C 与点O 重合的位置开始，以每秒2个单位长的速度先沿点O 到点A 的方向向左平移，当DE 边与直线AB 重合时，继续以同样的速度沿点A 到点B 的方向向上平移，当点D 与点B 重合时，△CDE 停止移动． （1）求直线OB 的函数表达式；（2）当△CDE 移动3秒时，请直接写出此时点C 的坐标为 ；（3）在△CDE 的平移过程中，连接AE ，AC ，当△ACE 的面积为时点E 的坐标为 ．【答案】（1）y =-x ；（2）（-6,0）；（3）(24,--或(-． 【解析】解：（1）由题意，设直线OB 的函数表达式为y =kx ， 将点B （-30,30）代入得：-30k =30，解得k =-1， 则直线OB 的函数表达式为y =-x ； （2）如图，设DE 与x 轴的交点为点F ，∵△CDE 是边长为DE ∠x 轴，∴12DF DE ==12OF ==， ∴AF =OA -OF =18当DE 边与直线AB 重合时，∠CDE 移动的时间为9（秒），当∠CDE 移动3秒时，点C 的运动路程为6个单位长度，且点C 在x 轴的负半轴上， 此时点C 的坐标为(-6,0)；（3）由题意得： 分以下两种情况： ①当△CDE 向左平移时，如图，设DE 与x 轴的交点为点G ，由题意知，12DG EG DE ===，12CG ==， 12EG AC ⋅=12⨯=解得AC =18， ∴OG =OC +CG =24，即E (24,--； ②当∠CDE 向上平移时， 如图，过点C 作CH ∠AB 于H ，12CH AE ⋅=1122AE ⨯=解得AE = 此时点E 位于第二象限，即E (-；综上，点E 的坐标为(24,--或(-． 【例16】（2020·浙江期中）如图，直线1:12AB y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，点B ，直线:CD y x b =+分别与x 轴，y 轴交于点C ，点D ．直线AB 与CD 相交于点P ，已知4ABD S ∆=，则点P 的坐标是（ ）A ．5(3,)2B ．(8,5)C ．(4,3)D ．1(2，5)4【答案】B . 【解析】解：∵y =12x +1分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ， 令x =0，则y =1；令y =0，则x =-2，∴点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（0，1）， ∴OA =2，OB =1， ∵S △ABD =12BD •OA =12×BD ×2=4， ∴BD =4，∴OD =BD -OB =4-1=3， ∴点D 的坐标为（0，-3），∵点D 在直线y =x +b 上， ∴b =-3，∴直线CD 的解析式为：y =x -3， ∵直线AB 与CD 相交于点P ， 联立可得：， 解得，即P 的坐标是（8,5）． 故答案为：B ．【图形存在性】【例17】（2021·重庆月考）如图1，已知直线1:5l y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线l 2与y 轴交于点(0,1)C -，与直线l 1交于点D （2，t ）．（1）求直线l 2的解析式；（2）如图2，若点P 在直线l 1上，过点P 作//PQ y 轴交l 2于点Q ，交x 轴于点G ，使2PCG QCG S S ∆∆=，求此时P 点的坐标；（3）将直线1:5l y x =-+向左平移10个单位得到直线l 3交x 轴于点E ，点F 是点C 关于原点的对称点，过点F 作直线4//l x 轴．在直线l 4上是否存在动点M ，使得MCE 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y =2x -1；（2）（-4,9）；（3）见解析. 【解析】解：（1）∵D （2，t ）在直线y =-x +5上 ∴t =3， ∴D （2，3）设直线l 2的解析式为y =kx +b ， 将点C ，D 代入得， 解得，所以，l 2的解析式为y =2x -1. （2）设P （a ，5-a ） ∵PQ //x 轴，∴G (a ,0)，Q (a ，2a -1) ∵1||2PCG S PG a ∆=，1||2QCG S OQ a ∆=，2PCG QCG S S ∆∆=∴PG =2QG ∠5|21|a a -=-解得，a =-4，a =2（舍去） ∠P （-4,9）（3）存在，理由如下：由题意知A （5,0），B （0,5），E （-5,0），N （0，-5） 如图， ∠l 3∠l 1 ∠l 3：y =-x -5 设M （a ，1）则当∠MCE 为等腰三角形，有：∠ME =CM =解得，115a =-，即11(,1)5M -∠CE =CM解得：a =a =即M ，(M∠ME =CE =解得，a =0或a =-10（舍） 即M （0,1）综上，点M 的坐标为：11(,1)5-或，或(0,1)． 【例18】（2021·江苏省江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，直线y ＝2x －6经过线段OA 的中点D ，与y 轴交于点G ，E 是线段CG 上一点，作点E 关于直线DG 的对称点F ，连接BE ，BF ，FG ．设点E 的坐标为（0，m ）．（1）写出点B 的坐标是（ ， ）； （2）当43OABC BEGF S S =正方形四边形时，求点E 的坐标； （3）在点E 的整个运动过程中，∠当四边形BEGF 为菱形时，求点E 的坐标；∠若N 为平面内一点，当以B ，E ，F ，N 为顶点的四边形为矩形时，m 的值为 ．（请直接写出答案）【答案】（1）（6，6）；（2）E （0，2）； （3）∠ E （0，32）； ∠ 4. 【解析】解：（1）对于y ＝2x −6，令y ＝0，即2x −6＝0，得x ＝3， ∠D 的坐标分别为（3，0），∠线段OA 的中点D ，正方形OABC 的边OA ， ∠A （6，0）， B （6，6）， 故答案为：6；6；（2）对于y ＝2x −6，令x ＝0，即y ＝−6， ∠ G （0，﹣6），∠点E 关于直线DG 的对称点F ， ∠BGEBGFSS=，∠1222BGFBEGF S SEG CB ==⨯⨯⨯四边形设点E 的坐标为（0，m ）． ∠EG ＝m +6， ∠43OABC BEGF S S =正方形四边形， B （6，6）， ∠=66=36OABC S ⨯正方形， ∠()1422663623BGFB BEGF S S EG x m ==⨯⨯⨯=⨯+=⨯四边形，解得m ＝2， ∠E （0，2）；（3）∠若四边形BEGF 为菱形，则EG //BF ，∠ BF ∠x 轴，即BF 在BA 的延长线上， 根据菱形的性质知：BE ＝GF ＝BF ＝EG ， ∠点E 的坐标为（0，m ）， ∠BE 2＝EG 2，BE 2＝BC 2 +CE 2 ∠()()2226+66m m -=+， 解得：32m =， ∠E （0，32）； ∠当B ，E ，F ，N 四点构成的四边形为矩形时， ∠BE ＝BF ，矩形为正方形，则∠EBF 为直角， 过点F 作x 轴的平行线交BA 的延长线于点T ，∠∠CBE ＋∠EBA ＝90°，∠EBA ＋∠FBA ＝90°， ∠∠CBE ＝∠FBA ，∠∠BCE ＝∠BTF ＝90°，BE ＝BF ， ∠∠BCE ∠∠BTF ，∠CE ＝TF ＝6−m ，BT ＝BC ，点A 、T 重合，则点F 在x 轴上，则AF ＝CE ＝6−m ， 点F （12−m ，0）， ∠GE ＝GF ，∠GE 2＝GF 2，GE 2＝（m ＋6）2，GF 2＝（12−m ）2＋（−6）2 ∠（m ＋6）2＝（12−m ）2＋（−6）2， 解得：m ＝4． 故答案为：4.【例19】（2021·福建省福州期中）在平面直角坐标系中，点()2,A a ，，，且． （1）点A 的坐标为______，点B 的坐标为______；（2）将线段AB 平移至EF ，点A 和点E 为对应点，点B 和点F 为对应点，当点E 和点F 分别落在两条坐标轴上时，求点E 的坐标；（3）若点在第一象限，且在直线AB 上，点C 关于x 轴的对称点为点D ．若DAB 的面积为8，求点D 的坐标．【答案】（1），；（2）（0，3）或（-2，0）；（3） 【解析】解：（1）∠ ∠，解得：6a =，4b = ∠()2,6A ， 故答案为：，（2）由平移性质可得：将线段AB 平移至EF ，点A 和点E 为对应点，点B 和点F 为对应点，当点E 和点F 分别落在两条坐标轴上时，此时点E 的坐标为（0，3）或（-2，0）（3）由题意可得：点且点C 关于x 轴的对称点为点D ∠点，即CD =2n设直线AB 的解析式为y kx b =+，将()2,6A ，代入 可得：，解得：∠直线AB 的解析式为：392y x =-+ ∠点C 在直线AB 上， ∠392n m =-+ ∠CD =2318n m =-+ ∠1231882ABD S CD m =⨯=-+=△，解得：10=3m ∠3109=423n =-⨯+ ∠C 点坐标为，即D 点坐标为【例20】（2020·浙江期中）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线3:64AB y x =+与,x y 轴分别相交于点A B BC ，，平分ABO ∠交x 轴于点C ．（1）求点,A B的坐标和线段AB的长；（2）求线段OC的长，并写出点C的坐标；（3）若过原点的直线l平行于直线AB，动点P在直线l上运动，当12OBP OBA∠=∠时，求点P的坐标．【答案】（1）10；（2）OC＝3，C(-3，0)；（3）（245-，185-）或（，）【解析】解：（1）由直线3:64AB y x=+，令y＝0得到x＝−8，即A（−8，0），令x＝0得到y＝6，即B（0，6），∠OA＝8，OB＝6，根据勾股定理得：AB10；（2）过C作CD∠AB于点D，如图所示：∠BC平分∠ABO，CD∠AB，CO∠BO，∠∠CBO=∠CBD，∠COB=∠CDB，∠BC=BC，∠∠CBO∠∠CBD∠CD＝CO，BD=BO=6，∠AD=10-6=4，设CO＝x，在Rt∠ADC中，根据勾股定理得：x2＋42＝（8−x）2，解得：x＝3，即OC＝3，∠C(-3，0)；（3）设BC与直线l的交点为E，∠点P在OB的左侧时，点P即为BC延长线与直线l的交点，将B（0，6），C（−3，0）代入y＝kx＋b得：，解得：k＝2，b＝6，即直线BC解析式为：y＝2x＋6，∠直线l 平行于直线AB ， ∠直线l 解析式为y =34x ， 联立得：，解得：， 即P （245-，185-）；∠点P 在OB 右侧时，∠1＝∠2， ∠C （−3，0），∠C 点关于y 轴的对称点C ’（3，0）， ∠直线BC ’解析式为y ＝−2x ＋6， 联立：，解得：，即P （，）． 综上，P 的坐标为（245-，185-）或（，）．【例21】（2020·浙江金华市期中）已知直线a ：24y x =+分别与x 、y 轴交于点A ，C ．将直线a 竖直向下平移7个单位后得到直线b ，直线b 交直线:2AD y x =+于点E ．已知点M 是第一象限直线a 上的任意一点，过点M 作直线c x ⊥轴，交直线b 于点N ，H 为直线AD 上任意一点，是否存在点M ，使得MNH △成为等腰直角三角形？若存在，请求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（12，14）或（，）. 【解析】解：存在．理由如下：∠直线y ＝2x ＋4竖直向下平移7个单位后得到直线b ， ∠直线b 的解析式为y ＝2x −3， 由，解得：， ∠E （5，7），当点N 与E （5，7）重合时，作MH ∠x 轴交直线y ＝x ＋2于H ，此时∠MNH 是等腰直角三角形，取EH 的中点H ′，连接MH ′，此时∠MNH ′也是等腰直角三角形， 此时，M （5，14），MH ∠x 轴， ∠H （12，14），∠E （5，7），EH ′＝HH ′， ∠H ′（，）．综上所述，满足条件的点H 的坐标为（12，14）或（，）．【例22】（2021·盐城市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线1,3l y x =-+、直线21,12l y x =+与x 轴分别交于点,A B ，与y 轴分别交于点，两直线12,l l 相交于点P ．（1）求交点P 的坐标： （2）求PAD △的面积：（3）点M 在直线1l 上，//MN y 轴，交直线2l 于点N ，若12MN AB =，直接写出点M 的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）()3,0M 或. 【解析】解：（1）联立直线l 1与l 2得，， 解得， ∠；（2）当x =0时，y =3，D (0，3)，当y =0时，-x +3=0，x =3；112x +=0，x =-2， A (-2，0)，B （3，0）， AB =5，OD =3， S ∠ABD =1115AB OD=53=222⨯⨯⨯， S ∠ABP =，S ∠P AD = S ∠ABD - S ∠ABP =；（3）设M （x ，-x +3）， MN =13-31222x x x +--=-+，∠1=252 MN AB=，∠352=22x-+，解得13x=-或3x=，，x=3时，y=0，∠M或（3，0）．【方案选择】【例23】（2021·湖北恩施）为更好践行党史学习活动，某学校计划租用汽车送部分团员学生和党员教师共206人到革命英雄纪念馆开展党史学习教育，其中团员的人数比党员人数的13倍还多10人．现在甲、乙两种客车（不能超员），它们的载客量和租金如下表所示：为确保安全，学校规定：每辆车上至少要有2名教师．如果学校预算此次活动的租金总费用不超过2000元，请解答下列问题：（1）参加此次活动的团员和党员各多少人？（2）设租用x辆甲种客车，租车总费用为y元．∠学校共有哪几种租车方案？∠写出y与x的函数关系式，并求租车总费用y的最小值．【答案】见解析.【解析】解：（1）设参加此次活动的党员有a人，团员有b人．得：解得：答：参加此次活动的党员有14人，团员有192人．（2）保证206名师生都有车坐，汽车总数不能小于7；只有14名教师，要使每辆汽车上至少要有2名教师，汽车总数不能大于7；综上可知：共需租7辆汽车；∠依题意，租乙种客车（7-x ）辆，得， 解得52611x ≤≤， ∠x 为正整数，∠x =5或6，即共有2种租车方案：方案一：租甲种客车5辆、乙种客车2辆；方案二：租甲种客车6辆、乙种客车1辆；∠由题意，得y =300x +200（7-x ）=100x +1400，∠100>0，∠y 随x 的增大而增大，当x =5时，y 取得最小值，最小值为1900．【例24】（2021·天津）2020年新冠肺炎疫情席卷而来，为了员工的健康安全，某公司欲购进一批口罩，在甲药店不管一次购买多少包，每包价格为70元，在乙药店购买同样的口罩，一次购数量不超过30包时，每包售价为80元，一次购买数量超过30包时，超过部分价格打八折．设在同一家药店一次购买这种口罩的包数为x （x 为非负整数）（∠）根据题意填写下表：（∠）设在甲药店购买这种口罩的金额为1y 元，在乙药店购买这种口罩的金额为2y 元，分别写出1y 、2y 关于x 的函数关系式；（∠）根据题意填空：∠若该公司在甲药店和乙药店一次购买口罩的数量相同，且花费相同，则该公司在同一家药店一次购买口罩的数量为__________包；∠若该公司在同一家药店一次购买口罩的数量为120包，则该公司在甲、乙两家药店中的_________药店购买花费少；∠若该公司在同一家药店一次购买口罩花费了4200元，则该公司在甲、乙两家店中的_________药店购买数量多．【答案】（∠）1400；7000；1600；6880；（∠）170(0)y x x =>；280(030)64480(30)x x y x x <≤⎧=⎨+>⎩；（∠）∠80；∠乙；∠甲．【解析】解：（∠）答案为：1400；7000；1600；6880；（∠）设在同一家药店一次购买这种口罩的包数为x （x 为非负整数）在甲药店购买这种口罩的金额为170y x =在乙药店购买这种口罩的金额为当30x ≤时，当30x >时，2y =综上所述，（∠）∠依题意得70x =64x +480解得：x =80∠若该公司在同一家药店一次购买口罩的数量为120包，在甲药店购买这种口罩的金额为8400（元），在乙药店购买这种口罩的金额为8160（元）在乙店购买花费少；∠当y =4200时，代入y 1得：x =60代入y 2得：x =58.125故甲药店购买数量多，故答案为：∠80；∠乙；∠甲．【行程问题】【例25】（2021·吉林长春市）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8:00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后, 继续按原速前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12:00准时到达乙地．设汽车离甲地的路程为y （千米），汽车出发时间为x （时），图中折线OCDE 表示接到通知前y 与x 之间的函数图象． （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/时． （2）求线段DE 所表示的y 与x 之间的函数关系式．（3）汽车要想12:00准时到达乙地，求汽车接到通知后需匀速行驶的速度．【答案】（1）80；（2）8040(1.5 3.5)y x x =-≤≤；（3）100千米/时【解析】解：（1）80．（2）根据（1），可设线段DE 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y =80x +b ． 将(1.5，80)代入上式，得8080 1.5b =⨯+，解得b =-40．即y =80x -40，当y =240时，得x =3.5．∠线段DE 所表示的y 与x 之间的函数关系式为：8040(1.5 3.5)y x x =-≤≤． （3）由（2）可知接到通知时已经行驶了3.5h ，12:00-8:00=4h ，4-3.5=0.5h ，290-240=50km ，50÷0.5=100km /h ．∠汽车接到通知后需匀速行驶的速度为100千米/时．【例26】（2021·辽宁大连）甲、乙两车先后从A 城出发前往B 城，乙到达B 城后立即以原速度返回A 城，在整个行程中，甲、乙两车离开A 城的距离y （单位：km ）与甲车的行驶时间t （单位：h ）的函数图象如图所示．（1）甲车的速度为 km/h ；（2）求甲出发后多长时间与乙车再次相遇．【答案】（1）60；（2）小时.【解析】解：（1）∠甲车出发5小时行驶了300km ，∠甲车速度为300÷5=60（km /h ），故答案为：60；（2）设甲车的函数关系式为：y=kx（k≠0），将（5，300）代入得：5k=300，解得：k=60，∠y=60k（0≤x≤5），将x=2.5代入得：y=60×2.5=150，设乙车到B城的函数关系式为：y1=k1x+b1（k1≠0），将（1，0），（2.5，150）代入得：，解得：，∠y1=100x-100，将y1=300代入得：100x-100=300，解得：x=4，∠乙车从A城到B城用了4-1=3（h），∠乙车从B城回到A城的时间为1+3+3=7（h），设乙车返回A城的函数关系式为：y2=k2x+b2（k2≠0），将（4，300），（7，0）代入得：，解得：，∠y2=-100x+700（4＜x＜7），甲、乙两车再次相遇时，60x=-100x+700，解得：x=，故甲车出发h时，与乙车再次相遇．。
一次函数之动点问题 (讲义及答案)
一次函数之动点问题（讲义）➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC=P 从点A 出发，沿折线AC -CB个单位长度的速度向终点B 运动，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ．设点P 运动的时间为t 秒，请用含t 的式子表达线段PQ 的长．C BA PQ思路分析：2s 2ss P A C B −−→−−→）:（0≤t ≤4）①当0≤t ≤2时，AP =_________，PQ =__________； ②当2＜t ≤4时，BP =_________，PQ =__________．➢ 知识点睛1. 动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．2. 动点问题的处理思路： （1）研究背景图形．（2）分析运动过程，分段、定范围． 借助线段图分析运动过程时，要关注四要素： ①起点、终点——明确运动路径； ②速度——确定时间范围； ③状态转折点——确定分段； ④所求目标——明确思考方向． （3）分段画图、表达、求解、验证．分段画图，表达相关线段长，列方程求解，结合范围验证结果． 3. 解决具体问题时会涉及表达线段长，需要注意两点：①路程即线段长，根据s =vt 直接表达________或_________；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合________________．➢ 精讲精练以每秒2个单位长度的速度沿D →C →B →A 的路线向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒．（1）设△ADP的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）当t =________时，△ADP 是等腰三角形．（2）当t =_______时，△OPQ 与△AOB 全等．【参考答案】➢课前预习1.，t；②+，-t+4．➢知识点睛3.①已走路程，未走路程；②背景图形信息．➢精讲精练1.（1）401221342035t tS t tt t<<⎧⎪=+<⎨⎪-+<⎩≤≤（）（）（）；（2）2或3或114．2.（1）134t=；（2）1或4．3.（1）43；（2）83；（3）2202424t tSt t t⎧<<⎪=⎨-+<⎪⎩≤（）（）．4.（1）22110122122221t t tS tt⎧-+<⎪=-<⎩≤≤≤≤（）））；（2）存在，t的值为223或12．。
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一次函数动点问题
1、如图，正方形ABCD 的边长为6cm，动点P 从A 点出发，在正方形的边上由A→B→C→D 运动，设运动的时间为t（s），△ APD的面积为S（cm2），S与t 的函数图象如图所示，请回答下列问题：
（1）点P 在AB 上运动时间为s，在CD 上运动的速度为cm/s，△APD 的面积S 的最大值为cm2；
（2）求出点P 在CD 上运动时S 与t 的函数解析式；
（3）当t 为s 时，△APD 的面积为10cm2．
2、如图1，等边△ ABC 中，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ，设动点运动时间为x 秒．（图2、图3 备用）（1）填空：B Q= ，P B= （用含x 的代数式表示）；
（2）当x 为何值时，PQ∥AC？
（3）当x 为何值时，△ PBQ 为直角三角形？
3、如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 从A 出发沿A→B→C→D 的路线移动，设点P 移动的路线为x，△ PAD 的面积为y．
（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．
（2）求当x=4 和x=18 时的函数值．
（3）当x 取何值时，y=20，并说明此时点P 在矩形的哪条边上．
4、如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B→C→D→A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a秒后变为每秒2 个单位匀速运动，b秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2 所示．
（1）求矩形ABCD 的长和宽；
（2）求m、a、b 的值
5、如图1 所示，在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B→C→D→A 运动．设点P 运动的路程为x，△ ABP 的面积为y．把y 看作x 的函数，
函数的图象如图2 所示，试求当0≤x≤9 时y 与x 的函数关系式．
6、如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 从A 点出发，沿A→ B→C→D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D→C→B→A 运动，到A 点停止．若点P、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm，点Q 的速度为每秒2cm，a 秒时点P、点Q 同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2 是点P出发x
秒后△ APD 的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3 是点Q 出发x 秒后△ AQD 的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：
（1）求a、b、c 的值；
（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2 与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值．
动点答案
1、解：（1）点P在AB上运动的速度为6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为6÷3=2cm/s，当点P 运动到点B 时，△APD 的面积S 最大，最大值是×6×6=18cm2；
（2）PD=6﹣2（t﹣12）=30﹣2t，
S= AD•PD= ×6×（30﹣2t）=90﹣6t；
（3）当0≤t≤6 时，S=3t，12≤t≤15 时，90﹣6t=10，t=，
所以当t 为（s）、（s）时，△APD的面积为10c
△ APD 的面积为10cm2，即S=10 时，
3t=10，t= ，
当m2．
2、解：（1）根据题意，B Q=x，P B=6﹣2x；
（2）若PQ∥AC，有，
即，
解之得：x=2；
（3）当∠BPQ=90°时，根据三角函数关系，可知BQ=2BP，
∴x=2（6﹣2x），
解之得：x= ，
当∠BQP=90°时，2BQ=BP，
即6﹣2x=x，
解之得：x= ．
3、解：（1）当点P在线段AB上时，
此时AP=x，AD=8，
根据三角形的面积公式可得：y= •AD•AP= ×8×x=4x，
当点P 在线段BC 上运动时，面积不变；
当点P 在线段CD 上，
运动时，
DP=6+8+6﹣x=20﹣x，AD=8
根据三角形的面积公式可得：y= •AD•DP=×8×（20﹣x）=80﹣4x，∴y 与x 之间的函数关系式为y=
（2）当x=4 时，y=4x=4×4=16，
当x=18 时，y=80﹣4×18=8；
（3）当y=4x=20，解得x=5，此时点P 在线段AB 上，
当y=80﹣4x=20，解得x=15，此时点P 在线段CD 上．
4、解：（1）从图象可知，当6≤t≤8 时，△ A B P面积不变
即6≤t≤8 时，点P 从点C 运动到点D，且这时速度为每秒2 个单位∴CD=2（8﹣6）=4
∴AB=CD=4（2 分）
当t=6 时（点P运动到点C），S△ABP=16
∴AB•BC=16
∴×4×BC=16
∴BC=8（4 分）
∴长方形的长为8，宽为4．
（2）当t=a 时，S△ABP=8=×16
即点P 此时在BC 的中点处
∴PC= BC= ×8=4
∴2（6﹣a）=4
∴a=4（6 分）
∵BP=PC=4
∴m=BP÷a=4÷4=1，
当t=b 时，S△ABP=AB•AP=4
∴ ×4×AP=4，AP=2
∴b=13﹣2=11（9 分）；
5、解：由题意知：BC=4，DC=9﹣4=5，AD=5…（3 分）
…（5 分）
当0≤x≤4 时，…（8 分）
当4＜x≤9 时，…（9 分）
6、解：（1）观察图象得，S△APQ=PA•AD=×（1×a）×6=24，解得a=8（秒）
b= =2（厘米/秒）
（22﹣8）c=（12×2+6）﹣2×8
解得c=1（厘米/秒）
（2）依题意得：y1=1×8+2（x﹣8），
即：y1=2x﹣8（x＞8），y2=（30﹣
2×8）﹣1×（x﹣8）
=22﹣x（x＞8）
又据题意，当y1=y2 时，P 与Q 相遇，即
2x﹣8=22﹣x，
解得x=10（秒）
∴出发10 秒时，P 与Q 相遇．。