02 第二节 可分离变量的微分方程.

第二节可分离变量的微分方程

微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.

分布图示

★可分离变量微分方程

★例2 ★例6

★逻辑斯谛方程★齐次方程

★例1

★例4 ★例5 ★例8 ★例10

★例13 ★例14

★例17 ★例18

★例3 ★例7 ★例9

★例11 ★例12

★可化为齐次方程的微分方程★例15 ★内容小结★习题7—2

★例16

★课堂练习★返回

内容要点

一、可分离变量的微分方程

设有一阶微分方程

dydx

=F(x,y),

如果其右端函数能分解成F(x,y)=f(x)g(x)，即有

dydx

=f(x)g(y). (2.1)

则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(x)都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如

dy

⎛y⎫

=f ⎪ (2.8) dx⎝x⎭

的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..

三、可化为齐次方程的微分方程：对于形如

dy

⎛a1x+b1y+c1=f ax+by+cdx22⎝2

⎫

⎪⎪⎭

的方程，先求出两条直线

a1x+b1y+c1=0,

a2x+b2y+c2=0

的交点(x0,y0)，然后作平移变换

⎧X=x-x0⎨⎩Y=y-y0 即⎨⎧x=X+x0⎩y=Y+y0 这时，dy

dx=dY

dX，于是，原方程就化为齐次方程

⎛a1X+b1Y=f aX+bYdX2⎝2dY⎫⎪,⎪⎭

例题选讲

可分离变量的微分方程

例1（E01）求微分方程

解分离变量得

从而y=±ex

例2（E02）求微分方程dx+xydy=y2dx+ydy的通解.

解先合并dx及dy的各项,得y(x-1)dy=(y2-1)dx

设y2-1≠0,x-1≠0,分离变量得

两端积分⎰y

y-122dydx=2xy的通解. dyy=dyy=2xdxx2两端积分得⎰⎰2

xdxln|y|=x2+C1 2+C1=±eC1⋅e,记C=±eC1,则得到题设方程的通解 y=Cex. yy-

12dy=21x-1dx dy=⎰x-11dx得 1

2ln|y-1|=ln|x-1|+ln|C1|

于是 y2-1=±C12(x-1)2记C=±C12,则得到题设方程的通解 y2-1=C(x-1)2.

注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定g(y)≠0的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使g(y)=0的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C≠0，但这样方程就失去特解y=±1，而如果允许C=0，则y=±1仍包含在通解y-1=C(x-1)22中.

例3 已知 f'(sin2x)=cos2x+tan2x, 当0

解设y=sin2x,则cos2x=1-2sin2x=1-2y,

sin

cos22tan2x=xx=sin2x

21-sinx=y

1-y.

所以原方程变为f'(y)=1-2y+

⎛

⎝1y1-y,即f'(y)=-2y+11-y. 所以 f(y)= -2y+⎫2⎪dy=-y-ln1(-y)+C, 1-y⎪⎭

故 f(x)=-[x2+ln(1-x)]+C(0

例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律.

解设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t),在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:

⎧dT(1)⎪=-k(T-20) ⎨dt(2)⎪T|t=0=100⎩

其中k(k>0)为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得

两边积分⎰1

T-20=dTT-20=-kdt; ⎰-kdt,得ln|T-20|=-kt+C

11(其中C1为任意常数)， 1即 T-20=±e-kt+C=±eCe-kt=Ce-kt(其中C=±eC). 1

从而T=20+Ce-kt,再将条件(2)代入,得C=100-20=80,

于是，所求规律为T=20+80e-kt.

注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.

例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37 C按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为35 C，并且假定周围空气的温度保持20 C 不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是30 C，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？

解根据物体冷却的数学模型，有

⎧dT⎪=-k(T-20),⎨dt⎪⎩T(0)=37k>0,.

其中k>0是常数．分离变量并求解得

T-20=Ce-kt，

为求出k值，根据两个小时后尸体温度为35 C这一条件，有

35=20+17e-k⋅2，

求得k≈0.063，于是温度函数为

T=20+17e-0.063t，

将T=30代入上式求解t，有

10

17=e-0.063t，即得t≈8.4(小时)．