运筹学课件ch5指派问题[全文]

运筹学课件ch5指派问题[全文] 指派问题

assignment problem 运筹学课件

一种特殊的线性规划问题，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。指派问题的许多应

用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。其他的一些应

用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂。指派问题

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指派问题的形式表述:

给定了一系列所要完成的任务(tasks)以及一系列完成任务的被指派者(assignees)，所需

要解决的问题就是要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务。

指派问题模型

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指派问题的假设:

被指派者的数量和任务的数量是相同的每一个被指派者只完成一项任务

每一项任务只能由一个被指派者来完成每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小指派问题模型运筹学课件

指派问题

assignment problem 【例51>.14】人事部门欲安排四人到四个不同的岗位工作，每个岗位一个人(经考核四

人在不同岗位的成绩(百分制)如表5-34所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。

88

80

90

86

丁

90

79

83

82

丙

95

78

87

95

乙

90

73

92

85

甲

D

C

B

A

工作

人员

表5-34

【解】设

1 数学模型

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数学模型为:

甲

乙

丙

丁

A

B

C

D

图5. 3

指派问题

assignment problem

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假设m个人恰好做m项工作，第i个人做第j项工作的效率为cij?0，效率矩阵为[cij](如

表5-34)，如何分配工作使效率最佳(min或max)的数学模型为指派问题

assignment problem

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2 解指派问题的匈牙利算法

匈牙利法的条件是:问题求最小值、人数与工作数相等及效率非负【定理

5.1】如果从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui

(被称为该行的位势)，从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到

一个新的效率矩阵[bij]，其中bij=cij,ui,vj,则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解，这里cij、

bij均非负(

指派问题

assignment problem

【证】

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【定理5.2】若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两部分，则覆盖“0”元素的最少直线

数等于位于不同行不同列的“0”元素(称为独立元素)的最大个数( 如果最少直线数等于m，则存在m个独立的“0”元素，令这些零元素对应的xij等于1，其余变量等于0，这时目标函数值等于零，得到最优解(

两个目标函数相差一个常数 u+v,约束条件不变,因此最优解不变。

指派问题

assignment problem 运筹学课件

匈牙利法

由单纯形法衍生而来

步骤(对min问题):

建立成本表:必须为m*m方阵

简化行:确定每一行最小值，并将该行的每个数字减去该最小值

简化列:确定每一列最小值，并将该列的每个数字减去该最小值

最佳性检验:使用最少的水平或垂直线覆盖所有0。若线条数等于m，则停止，并进行最适

当的指派;否则继续

进一步简化成本表:

在所有未被直线覆盖的数字中，确定其最小值所有未被直线覆盖的数字，减去该最小值所有同时被水平与垂直线画到的数字，加上该最小值返回步骤4 运筹学课件

Which plants should produce which products?

哪个工厂应该生产哪种产品,

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某汽车公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四个工厂的单位产品成本(元/件)如表

5-35所示(求最优生产配置方案( 280

200

55

82

工厂4

250

170

70

65

工厂3

230

150

50

75

工厂2

260

180

69

58

工厂1

产品4

产品3

产品2

产品1

表5-35

【解】问题求最小值。

第一步:找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行中减去最小元素，有指派问题

assignment problem

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第二步:找出矩阵每列的最小元素，再分别从每列中减去，有指派问题

assignment problem

Min 0 0 100 180 运筹学课件

第三步:用最少的直线覆盖所有“0”，得

第四步:这里直线数等于3(等于4时停止运算)，要进行下一轮计算(

从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小数k并且减去k，矩阵中k,5( 直线相交处的元素加上k，被直线覆盖而没有相交的元素不变，得到下列矩阵指派问题

assignment problem

第四步等价于第1、3行减去5，同时第1列加上5得到的结果 -5

-5

+5

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第五步:覆盖所有零最少需要4条直线，表明矩阵中存在4个不同行不同列的零元素(容易

看出4个“0”的位置

( )

×

×

( )

×

( )

( )

或

( )