一类微分方程模型稳定的数值模拟毕业论文

一类微分方程模型稳定性的数值模拟
摘要：数值模拟也叫计算机模拟。当前对于数值模拟的研究成果已经应用于诸多领域，如一类微分方程模型稳定性的数值模拟更是因为它能直观和准确地反映和解决问题而受到广泛的注意。而本文通过搜集数据和种群模型，一方面借助MATLAB编写程序从而实现对种群关系问题的直观表述，验证理论结果，另一方面尽可能地分析模型之间的联系，理解和分析问题的实质。
关键词：数值模拟稳定性平衡点微分方程
1 前言
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，微分方程稳定性的应用也越来越广泛。尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间或空间而演变的过程,分析它的变化规律，预测它的未来形态时，就要研究微分方程模型的稳定性。但是在理论上研究微分方程的稳定性并不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。由于理论本身的抽象性致使这种动态变化的过程不能形象地表述。而微分方程稳定性的数值模拟则弥补了这样的不足，它可以借助matlab等数学软件对方程解的集合进行几何描述，同时根据几何图形间接判断微分方程的稳定性。这是一个从抽象的稳定解的概念到形象的图形表示的过程，它能够直观地通过方程的解模拟图形，从而很好地帮助分析方程的稳定性。
鉴于微分方程稳定性数值模拟的特点，本文主要从以下几个方面准备：首先，对本文的研究背景和主要工作进行简单的论述；其次，对本文需要的知识点再进行简单的介绍；接着，从一类关于种群的微分方程模型入手，对这些方程进行数值模拟，同时尝试利用数值模拟的结果说明在一定范围内图形所具有的稳定性。利用微分方程平衡点稳定性结合图形，对两种生物种群的模型进行讨论分析。着重讨论微分方程的稳定性，突出数值模拟的优越性和微分方程平衡点稳定性在实际问题中的重要应用；最后对这些工作进行简单的总结。
1.1研究背景
数值模拟是对具体对象抽取数学模型，然后用数值分析方法，通过计算机求解。经过几十年的发展，开发了许多不同的科学方法，其中有：（1）差分法法；（2）有限元法；（3）数值积分法；（4）蒙特卡洛法等。而数值模拟分析方法则是从结构化矩阵分析发展而来, 逐Байду номын сангаас推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析。
（3）、 ：单位数量乙（相对于 而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对于 而言）消耗的供养甲的食物量的 倍。 表示的意义与之相反。
（4）、 可解释为相对于 而言单位数量的甲消耗的供养甲的食物量（设食物总量为1）。 可做类似解释。
2、模型的建立:
3、稳定性分析：利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两种群的变化趋势。分析结果列入表2。
(7)
系数矩阵记作：
特征方程系数： , 。显然， 点对于方程（7）的稳定性由表1或准则A1、A2决定，而且已经证明了如下结论:
若方程（7）的特征根不为零或实部不为零，则 点对于方程（1）的稳定性与对于近似方程（7）的稳定性相同。这样， 点对于方程（1）的稳定性也由准则A1、A2决定。
2.2微分方程与极限环及其稳定性
基于这些事实可知在以计算机为基础的其他技术带动下，数值模拟技术必将发生更大的变化，并对微分方程理论证明方向的研究起到相当大的推动作用。而在众多关于微分方程稳定性模型中，以种群模型为代表的一类微分方程稳定性模型作为数值模拟研究的典型之一，它必将会得到更多的关注。
1.2本文的主要工作
本文主要以种群模型为例对一类微分方程稳定性模型进行数值模拟的研究。首先针对相互竞争和相互依存两种种群模型，对种群的演变过程进行数值模拟，验证理论结果；接着再对食饵-捕食者模型进行分析并进行数值模拟，最后尝试改进模型并运用数值模拟验证结论的可行性。对模型进行改进时，主要考虑的内容如下：因为种群模型有相互竞争模型、相互依存及Volterra食饵捕食模型三种，所以可以从以下几个方面阐述。（1）首先，从两种群的竞争关系入手建立微分方程模型，并从理论上对模型的动力学性质进行分析，揭示两种竞争种群之间的数量变化关系。同时，结合生物学对模型作出相应的解释，并运用数值模拟验证结论的可行性；（2）其次，基于前两种种群模型是目前研究和引用较广的模型，改进和完善的空间不是很大，而Volterra食饵捕食者模型相对而言具有比较多的局限性，所以可以改进的空间比较大。（3）最后，对微分方程结构以及部分参数进行修改，达到改进和完善“食饵和捕食者”模型的目的，使之可以与前两种模型比较并运用极限环把周期性变化的结构体现出来，同时通过数值模拟直观和准确地揭示问题的实质，验证理论讨论的正确性。
3一类微分方程模型稳定性的数值模拟
3.1模型:相互竞争的种群模型
1、模型假设及说明:
（1）、假设有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic规律，记 , 是两个种群的数量， ， 是它们的固有增长率， , 是它们的最大容量。
（2）、当甲、乙两个种群在同一自然环境中生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比；甲对乙有同样的作用。
（图形：4）
5、结果解释
根据数值模拟的结果。（1）当 ， 时，如图1所示。 意味着在供养的资源的竞争中乙弱于甲， 意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙，于是种群乙终将灭绝，种群甲趋于最大容量，即 、 趋向平衡点 。（2）当 ， 时，如图2所示。在竞争甲的资源中乙较强，而在竞争乙的资源中甲较强。随着时间的推移，有可能甲占优势，乙趋于灭亡。但也有可能乙占优势，而甲灭亡。究竟趋于哪个平衡点，由初始时刻两群生物的总数决定。（3）当 ， 时，如图3所示。这种情况和（1）刚好相反。（4）当 ， 时，如图4所示。因为在竞争甲的资源中乙较弱，而在竞争乙的资源中甲较弱，于是可达到一个双方共存的稳定的平衡状态 ，这是种群竞争中很少出现的情况。显然数值模拟的结果可以很好地解释和说明理论结果。
2 预备知识
2.1 二阶微分方程的平衡点和稳定性
在这里，我们以二阶微分方程为例，简要叙述微分方程的稳定性理论。下面讨论以下形式的微分方程：
（1）
右端不显含t，代数方程组
（2）
的实根 称为方程（1）的平衡点，记为 。如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解 都满足
（3）
则称平衡点 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P0是不稳定的（不渐近稳定）。为了用直接法讨论方法方程（1）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程：
a1=0.5;a2=1.6;r1=2.5;r2=1.8;N1=1.6;N2=1;
dx=[r1*x(1).*(1-x(1)./N1-a1*x(2)./N2);r2*x(2).*(1-x(2)./N2-a2*x(1)./N1)];
（2）其次，建立主程序Untitled1.m如下：[t,x]=ode45('shier1',[0 30],[0.1 0.1]);subplot(2,2,1)
（4）
系数矩阵记作：
并假定A的行列式 。于是原点 是方程（4）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程： 的根 （特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：
（5）
将特征根记作 ，则： （6）
方程（4）的解一般有形式 （ ）或 （ ）， 为任意实数。由定义（3），当 全为负数或有负的实部时 是稳定的平衡点，反之，当 有一个为正数或有正的实部时 是不稳定的平衡点。微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根 或相应的 取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（3）式得下列关于稳定性的结论。
设系统
（8）
具有闭轨线C。假如在C充分小邻域中，除C之外，轨线全不是闭轨线，且这些非闭轨线当t→＋∞或t→－∞时趋近于闭轨线C，则说闭轨线C是孤立的，并称之为(15)的一个极限环.极限环C将相平面分成两个区域：内域和外域。
如果极限环C的内域的靠近C的轨线当t→+∞(-∞)时盘旋地趋近于C，则称C是内稳定(内不稳定的)；如果在极限环C的外域的靠近C的轨线当t→+∞(－∞)时盘旋地趋近于C，侧称C是外稳定的(外不稳定的)；如果当t→＋∞(－∞)时，C的内部及外部靠近C的轨线都盘旋地趋近于C，则称C是稳定的(不稳定的),如果当t→＋∞(－∞)时，C的内外部的稳定性相反，则称C为半稳定的。
表1 ：由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性
平衡点类型
稳定性
稳定结点
稳定
不稳定结点
不稳定
鞍点
不稳定
稳定退化结点
稳定
不稳定退化结点
不稳定
稳定焦点
稳定
不稳定焦点
不稳定
中心
不稳定
由上表可以看出，根据特征方程的系数 的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若A1： 则平衡点稳定。若A2： 则平衡点不稳定。以上是对线性方程（4）的平衡点 稳定性的结论，对于一般的非线性方程（1），可以用近似线性方法判断其平衡点 的稳定性，在 点将 和 作泰勒展开，只取一次项，得（1）的近似线性方程
近年来数值模拟方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流等求解计算, 最近又发展到求解几个交叉学科的问题。究其原因主要是数值模拟存在以下特点：首先体现在它的理论意义上。它可以通过对复杂或不可观察的现象进行定量分析和对极端情况下尚不知的规则的推测和预测，实现对复杂现象的模拟，以助于认清现象的本质，弄清整个过程内含的规律。其次则是体现在数值模拟的现实意义上。它可以根据对研究现象和过程的数值模拟，优化结构设计或者工艺设计，从而减少试验工作量，提高产品或研究成果的质量。可以说, 继理论分析和科学试验之后, 数值模拟已成为科学技术发展的主要手段之一。
subplot(2,2,3);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2),'r');xlabel('时间t');ylabel('种群密度x');
gtext('x1(t)');gtext('x2(t)');grid on;title('当初值分别为1,2时');
subplot(2,2,4);plot(x(:,1),x(:,2),'r'); grid on;title('相轨(x1(t),x2(t))');
20世纪八十年代以来，国际数值模拟研究就取得显著发展，它已不仅是一种现代化的实验手段，而且已发展为具有独立特征的学科分支。而随着计算数学理论和方法的迅速发展和各种高级计算机语言的出现，使国内数值模拟技术更是得到更好的发展和应用。
国内与国外的研究存在一个共同点,即对微分方程模型稳定性的数值模拟及它在各个领域中相关研究和应用的关注。然而,在这一现象之下却存在着差异。国外是建立在微分方程稳定性研究发展比较充分的基础上具有较大的开拓性和灵活性,而国内数值模拟的应用领域在很大程度上受国外研究方向和方式的影响。国内现在的研究一方面介绍微分方程稳定性理论在数值模拟方面的扩展应用及国外研究近况,另一方面是探讨微分方程稳定性数值模拟在实践中的运用。
plot(t,x(:,1),t,x(:,2),'r');xlabel('时间t');ylabel('种群密度x');
gtext('x1(t)');gtext('x2(t)');grid on;title('当初值分别为0.1,0.1时');subplot(2,2,2);plot(x(:,1),x(:,2),'r'); grid on;title(’相轨线(x1(t),x2(t)');[t,x]=ode45('model1',[0 30],[1 2]);
（图形：1）
探究2：设已知 =1.5， =1.6， =2.5， =1.8， =1.6， =1，初始条件1： ， ；初始条件2： ， 。
（图形：2）
探究3：设已知 =1.5， =0.6， =2.5， =1.8， =1.6， =1，初始条件1： ， ；初始条件2： ， 。
（图形：3）
探究4：设已知 =0.5， =0.6， =2.5， =1.8， =1.6， =1，初始条件1： ， ；初始条件2： ， 。
表2：种群竞争模型的平衡点及稳定性
平衡点
p
q
稳定条件
，
，
，
不稳定
根据相轨迹的性质，相关文献中对于 ， 的不同取值范围的情况已经进行了详尽的分析，概括如下：（1）、 ， 。由表2知对于 有 >0, >0。 稳定；（2） ， 。类似的分析可知 稳定；（3） ， 。在 点 >0, >0，故 稳定；（4） ， 。由表2可知在 点， <0,故 不稳定（鞍点）。
4、数值模拟
根据表2中的稳定条件，探究 ， 在不同的取值范围内的情况。通过数值模拟验证其理论结果。
探究1：设已知 =0.5， =1.6， =2.5， =1.8， =1.6， =1，初始条件1： ， ；初始条件2： ， 。
(1) 首先，建立m-文件model1.m如下：
function dx=model1(t,x)