知识讲解_简单的逻辑联结词

1简单的逻辑联结词

编稿：张希勇审稿：李霞

【学习目标】

1. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;

2.会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判

断命题的真假.

【要点梳理】

要点一、逻辑联结词“且”

般地，用逻辑联结词“且”把命题P和q联结起来得到一个新命题，记作: P A q，

读作：“ P且q ”。

规定：当P , q两命题有一个命题是假命题时，pAq是假命题;

当P , q两命题都是真命题时，P八q是真命题。

要点诠释:

P八q的真假判定的理解:

(1)与物理中的电路类比

我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。

若开关P, q的闭合与断开分别对应命题P, q的真与假，则整个电路的接通与断开分别

对应命题pA q的真与假。

(2)与集合中的交集类比

交集AnB={x|x迂AaX迂B}中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念。

要点二、逻辑联结词“或”

般地，用逻辑联结词“或”把命题P和q联结起来得到一个新命题，记作：pvq ,

读作：“ P或q ”。

规定：当P , q两命题有一个命题是真命题时，pvq是真命题;

当P , q两命题都是假命题时，pvq是假命题。

要点诠释:

pvq的真假判定的理解:

(1)与物理中的电路类比

我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。

若开关P，q的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的pV q的真与假。

(2)与集合中的并集类比

并集AUB={X|X迂A或X迂B}中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念。

(3)“或”有三层含义，以“ P或q”为例:

①P成立且q不成立;

②P不成立但q成立;

③P成立且q也成立。

要点三、逻辑联结词“非”

般地，对一个命题P全盘否定得到一个新命题，记作：「P，读作：“非P或P的否

定”。

规定：当P是真命题时，「P必定是假命题; 当P是假命题时，「P必定是真命题。

要点诠释:

(1)逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论

“非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究。

(2)下面是一些常用词的否定:

是等于属于有都是至少一

个

至多一

个

一定X=1 或x=2 x> 1 且X< 3

不是不等于不属于没有不都是一个

都没有至少两

个

一定不XM1且X丰2 xw 1 或X> 3

(3)否命题与命题的否定之间的区别:

否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题(否定二次)；命题的否定

是只对原命题的结论做否定(否定一次) ，即「P.如:

P 的否命题：若X 或1，则(x-1)(x +1)或0 •

P 的否定即一^p :若 x=1，贝y (x-1)(x +1)：：^0 •

“P 或q ”的否定

“P 且q ”的否定

要点四、简单命题与复合命题

(1)定义:

简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题。

复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或” 、“且”、“非”构成的命题叫做复合命题。

(2)复合命题的构成形式:

② P 且q ;记作：P A q

③ 非P (即命题P 的否定)；记作：「P (3) 复合命题的真假判断

要点诠释: 同时为假时，“P 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真” ； 同时为真时，“P 且q ”为真，其它情况时为假，

可简称为“一假必假” 。

【典型例题】

类型一：复合命题的构成

例1 •指出下列复合命题的结构，写出构成其的简单命题.

(1) 菱形的对角线互相垂直平分; (2) 42不是无理数; (3) 6是12或18的约数.

命题 p ：若 X =1，则(x-1)(x+1)=o •

(4) “或”、

“且” 联结的命题的否定形式:

命题 命题 ① 当P 、q ② 当P 、q

③ “非P ”与P 的真假相反.

【解析】

(1) P 且q 的形式，其中P :菱形的对角线互相垂直， q :菱形对角线互相平分;

(2)非p 的形式，其中P : J 2是无理数;

(3) P 或q 的形式，其中P : 6是12的约数，q : 6是18的约数.

【总结升华】正确理解逻辑联结词 或”、’且”、’非”的含义是解题的关键。根据上述 各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式。

举一反三:

【变式1】判断下列复合命题的形式，写出构成其的简单命题

(1) 1是奇数或偶数; (2)梯形不是平行四边形; (3)2是偶数也是质数.

【答案】

例2.判断下列命题中是否含有逻辑联结词

或”、且”、非”，若含有，请指出其中

q 的基本命题.

(1) 正方形的对角线垂直相等;

2是4和6的约数;

不等式X 2

—5x +6 >0的解集为｛xx >3或x c 2｝。

【解析】(1)是“ P 且q ”形式的命题，其中 P ：正方形的对角线互相垂直； q ：正方

形的对角线相等.

面上看它是否含有 或”、且”、非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结 词联结两个命题.

举一反三:

【高清课堂：简单的逻辑联结词 XXXXXX 例1】 【变式1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题:

平行四边形的对角线互相平分,

平行四边形的对角线相等; 集合A 是材B 的子集， 集合A 是AUB 的子集；

X 2

+1

，

(1) P 或q 的形式，其中 (2) 非P 的形式，其中P P : 1是奇数，q ： 1是偶

数; :梯形是平行四边形；

(3) P 且q 的形式，其中

P : 2是偶数，q : 2是质数。

P 、

(2)是“ P 且q ”形式的命题, 其中 P ： 2是4的约数；q : 2是6的约数.

(3)是简单命题，而不是用“或” 联结的复合命题

【总结升华】对于用逻辑联结词 或”、且”、非”联结的新命题的结构特点不能仅从字