矩阵的广义逆
第4章 矩阵的广义逆
例题1 设W是C n 的子空间，证明 存在到W的投影 变换， 使R（）=W。
3、正交投影的性质
定理4.16（P . 104）设W是C n的子空间，x0C n， x 0 W，如果是空间C n向空间W的正交投影， 则
( x0 ) x0 y x0
y W
含义：点（x0）是空间 W 中与点x 0距离最近的点。
讨论：对任何满足式( ¤) 的左逆B，X=Bb都是方程组的
解，如何解释方程组的解是惟一的？
§ 4. 2 广义逆矩阵
思想：用公理来定义广义逆。 一、减号广义逆 定义4 . 2 (P . 95) A C m n ，如果，G C n m使得，
AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的 减号逆集合A{1}={A1–1，A2–1， ， Ak–1} 例题1 A C nn可逆，则A–1 A{1}； A单侧可逆，则A –1LA{1}；A–1RA{1}。 减号逆的求法：定理4.5（P . 95） 减号逆的性质：定理4.6 (P . 96)
• 设A满秩分解A=BC， 则A + =CH （CCH ）–1（BH B）–1BH 。 • （定理4.9）设A奇异值分解 ：
H A U V ，则 0 0
1 0 H A V U 0 0
例题1 求下列特殊矩阵的广义逆；
零矩阵0； 1阶矩阵( 数) a； a1 对角矩阵
4、A + A与AA +的性质 定理4.15（P . 104）
A + A的性质：
• （A + A）2 = A + A，（A + A）H = A + A • C n =R（A + ） N（A） • R （A + ）= N（A）
第4章 矩阵的广义逆
定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在， 使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ， 即有 AA A A ． （5）
A为列满秩
7
推论 设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证 充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 ALபைடு நூலகம்A En
x N ( A)
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方 便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之， 按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆 矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义 推论 1 逆矩阵A , 则
第八章 矩阵的广义逆
第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。
矩阵的广义逆及其应用.ppt
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A
1
1
1
2
(3)(1)3
0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2
0 4 8
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A
0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0
广义逆矩阵
广义逆矩阵矩阵（Matrix）是数学中使用最广泛的数据结构，它包含了数学中许多基本概念，比如向量、空间、线性变换等，矩阵被广泛应用到物理、生物、经济、工程等领域。
广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）是矩阵的基本概念，它的存在及性质的研究是现代矩阵论的一个重要分支，它在科学研究和工程应用中扮演着重要的角色。
一般而言，矩阵逆等价于矩阵乘积为单位矩阵。
矩阵A的逆被称为A的广义逆，它可以被定义为一个或多个矩阵变化，使得结果等于单位矩阵。
矩阵求逆是现代数学中最重要的问题之一，它是线性代数和几何学的基础。
只有求出矩阵的逆，才能对矩阵进行变换，从而更好地理解线性变换的意义。
此外，求逆矩阵的过程中存在极大的数学难题和技术挑战，尤其是当矩阵维度较高、矩阵元素灵活变化时，实际问题求解更为困难。
广义逆矩阵不仅仅能够分解矩阵，它还能够用来处理矩阵的特殊情况，比如非方阵、正定矩阵以及秩不足的情况，这些现实中的应用情况都可以有效的利用广义逆矩阵来进行处理。
例如，当求解矩阵的某些特殊情况时，矩阵的逆就可以使用广义逆矩阵：如果矩阵的秩不足，那么将该矩阵的广义逆算出来，就可以求出该矩阵的解析解；同理，当求解矩阵的特征值时，通过广义逆矩阵可以求出所有特征值，而不受矩阵形状限制。
另外，广义逆矩阵在数值计算中也有着巨大的用处，当用有限精度浮点数方式实现函数f(x)时，可以用广义逆矩阵来表示该函数，从而提高计算效率。
从上面可以看出，广义逆矩阵在现代数学和高等数学的研究中扮演着重要的角色，它可以用来求解矩阵的特殊情况，求解一般线性方程，甚至可以应用到数值计算中，极大的提高效率和准确度。
研究广义逆矩阵的方法非常多，主要有矩阵分解法、特征值分解法和最小二乘法等，其中，矩阵分解法是求解广义逆矩阵最常用的方法，它可以利用“矩阵特征分解法”来求得一个矩阵的广义逆，这种方法简单、高效、计算量小，所谓的“矩阵特征分解法”实质上是将n×n矩阵A分解为“固定矩阵M”和“可逆矩阵X”的乘积，即AX=M，可以看出，X就是A的广义逆，也就是说，广义逆矩阵可以通过将一个n×n矩阵分解成M和X两个矩阵得到。
广义逆矩阵
广义逆矩阵许多书籍和期刊文章都提到了广义逆矩阵，或者称之为广义反矩阵。
它是一种强大而又具有广泛应用的数学工具，用于解决复杂的方程组。
广义逆矩阵概念最初源自20世纪30年代，最初是由美国数学家和物理学家约翰芬奇发明的。
他称其为“广义反矩阵”，它和传统的逆矩阵有很多共同点，但也有很多不同之处。
广义逆矩阵是指一个任意维数的方阵，该方阵乘以之前的方阵可以得到一个对角矩阵，称作对角矩阵的逆矩阵。
它也可以描述为一个方阵，该方阵乘以另一个方阵给出一个单位矩阵，称作单位矩阵的逆矩阵。
表达式一般可以写作A^-1=B，其中A是一个任意维数的方阵，B是A的广义逆矩阵。
广义逆矩阵有许多应用，它可以用于求解方程组，而无需解析解的方法。
也可以用于信号处理和图像处理，以及几何建模。
此外，它还可以用于机器学习，深度学习和神经网络。
许多学术期刊上的文章都着重讨论了广义逆矩阵的特性、表示形式和应用。
其中包括《The Journal of Mathematical Analysis and Applications》中的《An Efficient Algorithm for Computing Generalized Inverse Matrices》，该文章探讨了一种计算广义逆矩阵的有效算法；《 Linear Algebra and Its Applications》中的《On Computing the Generalized Inverse Matrix》，则讨论了计算广义逆矩阵的一些经典算法；《Journal of Computational and Applied Mathematics》中的《A Generalized Inverse Matrix Algorithm andIts Application in Image Processing》则探讨了广义逆矩阵在图像处理中的应用。
总之，广义逆矩阵是一种强大的数学工具，它可以用于求解复杂的方程组，可以应用于信号处理、图像处理、机器学习和神经网络等领域。
工程矩阵理论(第6章-矩阵的广义逆)
矩阵的广义逆可以用于求解线性方程组，特别是当系数矩阵奇异或接近奇异时，广义逆提供了有效的 解决方案。
最小二乘解
在最小二乘问题中，广义逆可以找到使得残差平方和最小的解，这在数据分析和统计中非常有用。
在控制论中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，广义逆可以用于分析 系统的稳定性，通过计算系统的极点 来评估系统的动态行为。
04
矩阵的广义逆的存在性条件
存在性条件
矩阵A的秩为n
矩阵A的秩必须等于其维数n，即 $rank(A) = n$，以保证存在一个广义逆 矩阵。
VS
线性方程组有解
矩阵A所对应的线性方程组必须有解，即 系数矩阵A的行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$。
唯一性条件
要点一
矩阵A为非奇异矩阵
矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$，以保证广义逆矩阵的唯一性。
程实际需求。
工程实例三：最优化问题求解
总结词
最优化问题求解是矩阵广义逆的一个重要应用方向。
详细描述
在工程领域中，经常需要解决各种最优化问题，如线 性规划、二次规划、非线性规划等。这些问题的数学 模型通常可以转化为矩阵形式。通过利用矩阵的广义 逆，可以高效地求解这些最优化问题，为工程实践提 供更好的解决方案。
最小二乘法的优点是简单易行，适用于大规模数据的计算。 但是，它只能找到一个近似解，而不是精确解。
迭代法
迭代法是一种通过不断迭代来逼近解的方法。在矩阵的广 义逆中，迭代法可以用来求解线性方程组的迭代解。通过 不断迭代更新解向量，最终逼近方程组的解。
迭代法的优点是适用于大规模数据的计算，且可以找到精 确解。但是，迭代法的收敛速度较慢，需要多次迭代才能 得到满意的结果。
广义逆矩阵
第六章 广义逆广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。
本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵{}1-逆及矩阵Moore-Penrose 逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin 逆的基本性质。
§ 广义逆矩阵的概述广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。
设n C 为复n 维向量空间，m n C ⨯为复m n ⨯矩阵全体。
设矩阵m n A C ⨯∈，考虑线性方程组Ax b = （6-1） 其中，m b C ∈为给定的m 维向量，n x C ∈为待定的n 维向量。
定义1 若存在向量n x C ∈满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。
众所周知，当A 为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1x A b -=，其中1A -是A 的逆矩阵。
当A 为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求n x C ∈，使得()min y R A Ax b y b ∈-=- （6-2）成立，其中代表任意一种向量范数，{}(),m n R A y C y Ax x C =∈=∀∈。
上述两种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x Gb =，其中，G 是某个n m ⨯矩阵？ 这个矩阵G 是通常逆矩阵的推广。
1920年，. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore 的方程过于抽象，并未引起人们的重视。
1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。
定义2 设矩阵m n A C ⨯∈，若存在矩阵n m X C ⨯∈满足下列Penrose 方程（1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）()H AX AX =； （4）()H XA XA =则称X 为A 的Moore-Penrose 逆，记为A +。
第8章广义逆矩阵及其应用
同理可证（2）．
这里要特别指出的是，对于行或列满秩的矩阵 A ， AR1 与 AL1 是不可能同时存在的，当且仅当 A 为满秩矩阵时 AR1 与 AL1 才同时存在，并且都等于逆矩阵 A1 ，另外，由右逆与左逆的定
义不难看出右逆与左逆满足 M-P 方程（8.1.1），（8.1.2），从而有 下面结论．
( AG) H AG ，
（8.1.4）
4 个方程的全部或一部分，则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵，并把上
面 4 个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G 满足
M-P 的 4 个方程式，则称 G 为 A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为
G A{1,2,3,4} ，一般地，如果 G 满足 4 个 M-P 方程式中的第
在，使（8.1.1）与（8.1.2）都成立，即
AGA A GAG G
则称 G 为 A 的一个{1,2}-广义逆，记为 G A{1, 2} 或 G A{1,2} ，也称 G
为 A 的一个自反减号广义逆，记为 G Ar ，即有
AAr A A ， Ar AAr Ar ．
（8.1.10）
显 然 ， 自 反 减 号 逆 Ar 是 一 种 特 殊 的 减 号 逆 A ， 它 满 足 自 反 性
P C mm , Q C nn 使得
PA
Q
Er 0
00 ，
则 A 的减号逆矩阵存在，且可表示为
（8.1.7）
A
Q
Er G21
G12 G22
P
，
（8.1.8）
其中 G12,G21,G22 分别是 r (m r) ，(n r) r ，(n r) (m r) 的任意
矩阵．
广义逆的四个定义 -回复
广义逆的四个定义-回复1. 广义逆的第一个定义是矩阵理论中的概念。
一个矩阵的广义逆是它的伪逆矩阵。
在代数运算中，矩阵的逆是指它与自身的乘积等于单位矩阵，而伪逆则是在矩阵不可逆的情况下，用来近似求解逆矩阵的方法。
2. 广义逆的第二个定义是函数的概念。
在数学分析中，函数的广义逆是指将函数的无法求逆的部分进行拟合或近似求解，以使函数在定义域上有尽可能好的逆。
例如，在有些函数的定义域上，函数不是单射（不是一对一映射），即存在不同的自变量映射到相同的因变量。
在这种情况下，我们可以通过剔除一些自变量值，使函数变成一对一映射，从而得到它的广义逆。
3. 广义逆的第三个定义是概率统计中的概念。
在概率统计领域，广义逆是指通过最小化误差函数来拟合无法求解的概率分布函数（或密度函数）。
广义逆可以用于估计未知参数或进行模型校准等。
例如，在回归分析中，如果我们的观测数据无法完全满足线性回归模型的假设条件（如误差项的正态性、同方差性等），我们可以通过最小二乘法求解广义逆，从而得到拟合的参数估计。
4. 广义逆的第四个定义是最优化问题中的概念。
在最优化理论中，广义逆可以用于求解无法求解闭合解的问题。
当目标函数无法求导或求导困难时，通过使用广义逆可以将原问题转化为等价的最优化问题，并通过优化技术求解。
例如，在非线性规划中，如果目标函数或约束条件的导数不可求或计算复杂，我们可以通过广义逆来重新参数化问题，并应用数值优化算法来获得数值解。
综上所述，广义逆在不同的数学和统计学领域中具有不同的定义和应用。
无论是矩阵理论、函数逆、概率统计还是最优化，广义逆都是一种用于近似求解无法求逆或求解困难问题的方法。
通过合适的定义和应用，广义逆可以帮助我们在实际问题中找到最佳的逼近解或最优解。
广义逆矩阵
1 0 0
10 0
1 0
0
0 1
0 1 0
0 0
0 1
把 y1 0,0,1,0T , y2 0,0,0,1T 扩充为R4 的一组标准正交基得：
y3 1,0,0,0T , y4 0,1,0,0T 再令 U y1, y2 , y3, y4 ,
设r 0,由满秩分解定理知，存在B Crmr ,C Crrn , 使得A BC
令X C H (CC H )1(BH B)1 BH
可以验证X满足广义逆矩阵方程
对于矩阵方程
几类弱逆
AXA A
(P1)
XAX X
AX H AX
(P2 ) ( P3 )
XAH XA (P4 )
则有唯一解 x A1b; 但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解
不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。
2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的
解，即 min x , 其中 为欧氏范数，可以证明满足此条件 Axb
的解是唯一的，称为极小范数解。
3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际 问题中，需要求出这样的解：
Al --最小二乘广义逆
A{1,4},它的形式记为
Am 最小范数广义逆
广义逆A-
A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若
AA-1A=A, 则记 A A{1}
说明： 1)利用初等行变换，可以求得A-
2）A的减号逆A-不唯一。
例：设
A
1 1
0 0,
1 0
第七章 广义逆矩阵
广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切 联系。给定一个线性方程组 Ax=b，当矩阵A可逆时，线性 方程组的解可表示为x=A-1 b
广义逆矩阵的性质及其求解
广义逆矩阵的性质及其求解在线性代数中，广义逆矩阵是指在非方形矩阵的逆不存在的情况下，可被用来解出线性方程组的伪逆矩阵。
与逆矩阵相似，广义逆矩阵同样有着许多重要的性质。
本文将介绍广义逆矩阵的定义、性质以及其求解方法。
定义设非方形$m\\times n$矩阵A，则A的广义逆矩阵A+是满足下列条件的矩阵：1.AA+A=A2.A+AA+=A+3.(AA+)H=AA+4.(A+A)H=A+A其中，A H表示矩阵A的共轭转置，A+也称为Moore-Penrose逆。
性质广义逆矩阵A+拥有以下重要性质：1.AA+A和A+AA+都是对称矩阵。
2.如果A是列满秩的，则A+=A T(AA T)−1。
3.如果A是行满秩的，则A+=(A T A)−1A T。
4.(A+)+=A。
5.如果Ax=b有解，则x=A+b是Ax=b的解。
如果b在A的列空间内，则x是Ax=b的最小范数解。
6.如果Ax=b有多个解，那么最小范数解为x=A+b+(I−A+A)z，其中z为任意向量。
除此之外，广义逆矩阵还拥有一些其他的性质和应用，如计算矩阵的秩、估计多元回归系数、解决最小二乘问题等。
但需要注意的是，广义逆矩阵不是唯一的。
不同的求解方法可能得到不同的结果，因此在实际应用中需要谨慎处理。
求解方法现在我们来介绍一些求解广义逆矩阵的方法：SVD分解最常用的方法是奇异值分解（SVD）。
一个非零矩阵A可以被分解为$A=U\\Sigma V^H$，其中U和V都是酉矩阵，$\\Sigma$是对角矩阵。
$\\Sigma$ 的对角线上的元素称为A的奇异值。
根据SVD，$A^+=V\\Sigma^{-1}U^H$，可以直接求得广义逆矩阵。
QR分解QR分解是另一种求解广义逆矩阵的方法。
假设非方形矩阵A可以分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。
则A+= (QR)+=(R T Q T)+=(R+Q T)，其中R+是矩阵R的广义逆矩阵。
伪逆矩阵的定义式对于$m\\times n$的矩阵A来说，其广义逆矩阵的定义式是：$$ A^+ = \\lim_{\\epsilon\\rightarrow 0}(A^TA+\\epsilon I)^{-1}A^T $$这里$\\epsilon$是任意小的正数，I是单位矩阵。
矩阵理论课件-第三章 矩阵的广义逆
注2：由定理2知
A In
I
m
初等变换
PAQ Q
P
Ir 0 Q
0 0
P
1 0 -1 1
例：设A=
0
2
2
2 ，求A{1}.
-1 4 5 3
解：由
A I4
I3 0
初等变换
I2 0 Q
0 0
P ，这里
0
1 0 1 1
1 0
P=
0
1/ 2
1 2
0 0 1
,
这里只是给出了A{1}的一个构造性描述,在使用上并不直接， 因为还要求出一个A(1).
推论2：方程组(1)相容的充要条件是AA(1)b b,且其通解为 x=A(1)b+(I-A(1)A) y, y Cn任意.
证明：定理1中，取D=b Cm,B=1即得.
注1:因为A+ A{1},故Ax=b相容时，通解为 x=A+b+(I-A+A) y, y Cn.
证明：由A的奇异值分解(r(A)=r),有A=V
Sr 0
0 0
U
H，其中
Sr diag{1, , r},i 0,U和V是酉阵.
令G=U
Sr1 0
AGA=V
Sr 0
0 0
VH
,
可以验证G满足方程1）-4）.如第1)3)方程
0 0
U
H
U
Sr1 0
0 0
VH
V
Sr 0
X=A(1) DB(1) +Y-A(1)AYBB(1).(2) 其中Y Cnq为任意.
证明：：若AA(1)DB(1)B D,令X=A(1)DB(1)则满足AXB=D. :若AXB=D有解,则D=AXB=AA(1) AXBB(1) B=AA(1) DB(1) B.
广义逆矩阵及其应用
广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵是指矩阵A的伪逆矩阵，一般记作A⁺。
矩阵的伪逆是指对于任意的非零向量b，使得b = A⁺bA的最小范数解存在。
伪逆矩阵是在求解线性方程组时非常有用的工具，在各种应用领域有着广泛的应用。
广义逆矩阵的定义在数学中，矩阵A的伪逆矩阵A⁺是这样一个矩阵，它满足下列条件：1. A⁺A = AA⁺ = I2. (AA⁺)⁺ = AA⁺3. (A⁺A)⁺ = A⁺A其中I是单位矩阵。
矩阵的伪逆是矩阵理论中非常重要的一个概念，它实际上是求解线性方程组Ax = b的一个很好的工具。
当方程组中b不完全在A的列空间中时，方程组是不唯一解或无解的。
这时，我们就需要引入广义逆矩阵，求解最小范数解。
广义逆矩阵的计算广义逆矩阵的计算可以使用三种方法：求导法、奇异值分解法和QR分解法。
1. 求导法如果矩阵A是可逆矩阵，则广义逆矩阵A⁺等于A的逆矩阵。
但是，如果矩阵A是非可逆矩阵，则不一定存在逆矩阵，此时我们需要使用求导法来计算广义逆矩阵。
求解广义逆矩阵的过程中，我们需要使用矩阵微积分中的求导技巧，通过求解矩阵的导数来计算其广义逆矩阵。
这种方法虽然可以保证计算出来的广义逆矩阵满足广义逆矩阵的特性，但计算量较大，所以一般用于小规模的矩阵。
2. 奇异值分解法通过奇异值分解，可以很容易地计算出矩阵的广义逆，这是一种非常快速且广泛使用的方法。
同时这种方法也可以使用化简版本的奇异值分解，虽然计算效率较低，但是精度更高，能够更好地比较微弱的值。
3. QR分解法QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵与上三角矩阵的方法，可以用于计算矩阵A的广义逆。
使用QR分解计算广义逆矩阵需要先进行QR分解，然后将因QR分解产生的下三角矩阵H逆序，并将结果中的非零行提出来，得到矩阵的伪逆矩阵。
广义逆矩阵的应用广义逆矩阵在各种应用领域中有着广泛的应用，下面列举一些常用的应用：1. 求解无解或非唯一解的线性方程组当线性方程组Ax = b无解或非唯一解时，我们就需要使用广义逆矩阵。
2-2广义逆矩阵
- -可§2 矩阵的广义逆一、广义逆矩阵的概念定义1 设任意一个矩阵n m R A ⨯∈，假设存在矩阵m n R X ⨯∈，满足 AXA =A 〔1〕 XAX =X 〔2〕(AX )T =AX 〔3〕(XA )T =XA 〔4〕这四个方程中的一个、两个、三个或全部，那么称X 为A 的广义逆矩阵。
由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中之多。
本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。
定义2 对矩阵n m R A ⨯∈，一切满足方程组A AXA =的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。
记为-A 。
例如，⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001B ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001C 都是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010101A 的减号逆。
下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。
定理1(秩分解) 设A 为n m ⨯矩阵，()rank A r =，假设Q O O O I P A r ⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--O O O I AQ P r 11- -可这里P ,Q 分别为n n m m ⨯⨯,的可逆阵，那么12221121---⎪⎭⎫ ⎝⎛=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。
证明 设X 为A 的广义逆，那么有Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔O O O I O O O I QXP O O O I r r r假设记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211G G G G QXP 那么上式，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔00000011r I G r I G =⇔11 于是， 12221121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇔=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕.定理1不但说明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。
第4章--矩阵的广义逆
Er 0
0 0
mn
，则
A
Er G21
Er 0
0 0
Er G21
G12 G22
nm
，
其中 G12 , G21, G22 是任意给定的．
G12 G22
nm
，
即
证明 因为对任意的
Er G21
G12 G22
，都有
nm
AL1
1 0
2 1
00
9
例2
设矩阵A为
A
1 0
2 1
21
求A的一个右逆矩阵AR1.
解
1 2 1
A E3
0 1 0
1 0 1
2
0
0
0
0
1
1 0 0
0 1 2
1
2
则称G为A的广义逆矩阵,记为G A .
定理1设 A C m n , 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C m n , 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在G C nm , 使其满足 AGA A
按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆
矩阵共有 15 类，即
C41
C
2 4
C43
C
4 4
15
．
但应用较多的是以下 5 类：
A{1}， A{1, 2}， A{1, 3}， A{1, 4}， A{1, 2, 3, 4}．
矩阵的广义逆与伪逆
矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
而矩阵的广义逆和伪逆则是矩阵理论中的两个重要概念。
广义逆和伪逆提供了解决线性方程组无解、矩阵非满秩等问题的方法，对于矩阵求逆计算和最小二乘法等问题都具有重要的意义。
首先，我们来讨论矩阵的广义逆。
对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵A+，使得AA+A=A+AA=A，那么A+就是A的广义逆。
广义逆的存在性是有条件的，对于满秩矩阵而言，它的广义逆就是它的逆矩阵；而对于非满秩矩阵，它不存在逆矩阵，但仍然可能存在广义逆。
广义逆的计算方法有很多种，例如Moore-Penrose广义逆、Drazin广义逆等。
广义逆的应用非常广泛，例如在最小二乘法中，求解具有多个解的线性方程组，求解线性回归等问题都可以通过广义逆得到解析解。
接下来，我们来讨论矩阵的伪逆。
对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵A+，使得AA+A=A+AA=A，并且A+A+A+=A+，那么A+就是A的伪逆。
伪逆与广义逆的定义是有所区别的，伪逆要求除了满足广义逆的条件外，还要求伪逆自身也是广义逆。
伪逆的计算方法与广义逆类似，但是计算过程中要额外考虑伪逆自身的广义逆性质。
伪逆的应用非常多样化，它可以用于在矩阵不可逆的情况下解决线性方程组的问题，还可以用于用最小二乘法拟合非线性关系等。
对于机器学习和人工智能等领域来说，矩阵的伪逆是一个重要的工具，能够帮助我们处理各种复杂问题。
矩阵的广义逆和伪逆在实际问题中发挥了重要作用，它们能够帮助我们解决线性方程组无解、矩阵非满秩等问题。
广义逆的存在性是有条件的，对于满秩矩阵而言，它的广义逆就是它的逆矩阵；而对于非满秩矩阵，它不存在逆矩阵，但仍然可能存在广义逆。
广义逆的计算方法有很多种，例如Moore-Penrose广义逆、Drazin广义逆等。
通过广义逆，我们可以得到线性方程组的解析解，也可以用于最小二乘法的计算等。
而伪逆则是广义逆的更严格的要求，除了满足广义逆的条件外，它还要求伪逆自身也是广义逆。
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矩阵的广义逆
矩阵的广义逆，也称为矩阵的伪逆或摩尔-彭若斯广义逆，是指对于任意一个矩阵A，存在一个矩阵A+，使得满足AA+A = A和A+AA+ = A+。
有时也会写作A†来表示矩阵A的广义逆。
对于一个非方阵矩阵，它的伪逆可以分为两种情况：
1. 如果矩阵 A 的行数小于列数，那么 A 的伪逆定义为满足 A A+ A = A 的矩阵 A+。
而对于方阵矩阵，它的伪逆和逆矩阵可以等价。
即 A A-1 A = A。
矩阵的广义逆具有以下的性质：
1. A+ 也是广义逆矩阵。
即 A++ = A+。
2. A+ 的列空间就是 A 的列空间的伪逆。
即Col(A+) = Col(A)⊥。
其中⊥ 表示正
交补。
6. 若 A 是满秩的，则其广义逆 A+ 就是其逆 A-1。
广义逆的应用相当广泛，其中一个典型的例子就是矩阵最小二乘问题。
在最小二乘问
题中，我们需要求解一个线性方程组 Ax = b，其中矩阵 A 不一定满秩。
在这种情况下，
我们可以使用广义逆来求解这个问题。
具体方法是通过求解矩阵 (ATA)+ ATb 来得到线性方程组的近似解。
由于经过广义逆
变换后的矩阵 A+ 可以在秩不足的情况下仍然存在，因此我们可以使用广义逆来获得一个
较好的近似解。
同时，广义逆还可以用于求解线性回归、广义线性回归和主成分分析等问题。
总之，矩阵的广义逆是线性代数中一个非常常用的概念，具有广泛应用和重要的数学
意义。
通过理解和掌握广义逆的性质和应用，可以帮助我们更好地处理线性方程组等问题，从而有效提高数据分析和科学计算的效率和准确性。