2022版高考数学一轮复习第九章算法初步统计统计案例第四讲变量间的相关关系统计案例学案含解析新人教版

第四讲变量间的相关关系、统计案例

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一回归分析

(1)相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．与函数关系不同，相关关系是一种__非确定性关系__．

(2)散点图：表示具有__相关__关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图，它可直观地判断两变量的关系是否可以用线性关系表示．若这些散点有y随x增大而增大的趋势，则称两个变量__正相关__；若这些散点有y随x增大而减小的趋势，则称两个变量__负相关__．

(3)回归方程：y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑n

i＝1

x i y i－n x－y－

∑n

i＝1

x2i－n x2

，a^＝__y－－b^x__，它主要用来估计

和预测取值，从而获得对这两个变量之间整体关系的了解．

(4)相关系数：r＝

∑n

i＝1

x i y i－n x－y－

∑n

i＝1

x2i－n x2∑n

i＝1

y2i－n y2

它主要用于相关量的显著性检验，以衡量它们之间的线性相关程度．当r＞0时表示两个变量正相关，当r＜0时表示两个变量负相关．|r|越接近1，表明两个变量的线性相关性__越强__；当|r|接近0时，表明两个变量间几乎不存在相关关系，相关性__越弱__．知识点二独立性检验

(1)2×2列联表

设X，Y为两个分类变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：

y1y2总计x1 a b a＋b

x2 c d c＋d

总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d

(2)独立性检验

利用随机变量K2(也可表示为X2)＝

n ad－bc2

n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变a＋b c＋d a＋c b＋d(其中

量有关系”的方法称为独立性检验．

(3)独立性检验的一般步骤

①根据样本数据列出2×2列联表；

②计算随机变量K2的观测值k，查表确定临界值k0：

③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系\”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关\”．

归纳拓展

1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线

性分布时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据

回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．

2．独立性检验是对两个变量的关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．根

据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，并用来指导科研和实际生活．

双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √)

(2)两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0．( ×)

(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √)

(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程y^＝－2.352x＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出143杯热饮．( ×)

(5)事件x，y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．( √)

(6)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( ×)

题组二走进教材

2．(P97T2)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( C )

A．回归分析B．均值与方差

C．独立性检验D．概率

[解析]“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．

3．(P81例1)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y^＝0.67x＋54.9．零件数x(个)1020304050

加工时间y(min)62758189

现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__68__．

[解析]由x－＝30，得y－＝0.67×30＋54.9＝75．

设表中的“模糊数字”为a，

则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68．

题组三走向高考

4．(2017·某某高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设

其回归直线方程为y^＝b^x＋a^，已知∑10

i＝1x i＝225，∑10

i＝1

y i＝1 600，b^＝4．该班某学生的脚长为

24，据此估计其身高为( C )

A ．160

B ．163

C ．166

D ．170

[解析]由题意知y ^＝4x ＋a ^

又x ＝22.5，y ＝160，因此160＝22.5×4＋a ^，∴a ^＝70，因此y ^

＝4x ＋70，当x ＝24时，y ^

＝4×24＋70＝166，故选C ．

5．(2019·高考全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客

30

20

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2＝

n ad －bc

2

a ＋b

c ＋d

a ＋c

b ＋d

．

P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

[解析](1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40

50＝0.8，

因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为30

50＝0.6，

因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．