2022版高考数学一轮复习第九章算法初步统计统计案例第四讲变量间的相关关系统计案例学案含解析新人教版

第四讲变量间的相关关系、统计案例知识梳理·双基自测知识梳理知识点一回归分析(1)相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．与函数关系不同，相关关系是一种__非确定性关系__．(2)散点图：表示具有__相关__关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图，它可直观地判断两变量的关系是否可以用线性关系表示．若这些散点有y随x增大而增大的趋势，则称两个变量__正相关__；若这些散点有y随x增大而减小的趋势，则称两个变量__负相关__．(3)回归方程：y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1x i y i－n x－y－∑ni＝1x2i－n x2，a^＝__y－－b^x__，它主要用来估计和预测取值，从而获得对这两个变量之间整体关系的了解．(4)相关系数：r＝∑ni＝1x i y i－n x－y－∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2它主要用于相关量的显著性检验，以衡量它们之间的线性相关程度．当r＞0时表示两个变量正相关，当r＜0时表示两个变量负相关．|r|越接近1，表明两个变量的线性相关性__越强__；当|r|接近0时，表明两个变量间几乎不存在相关关系，相关性__越弱__．知识点二独立性检验(1)2×2列联表设X，Y为两个分类变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：y1y2总计x1 a b a＋bx2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d(2)独立性检验利用随机变量K2(也可表示为X2)＝n ad－bc2n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变a＋b c＋d a＋c b＋d(其中量有关系”的方法称为独立性检验．(3)独立性检验的一般步骤①根据样本数据列出2×2列联表；②计算随机变量K2的观测值k，查表确定临界值k0：③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系\”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关\”．归纳拓展1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性分布时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．2．独立性检验是对两个变量的关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，并用来指导科研和实际生活．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √)(2)两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0．( ×)(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √)(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程y^＝－2.352x＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出143杯热饮．( ×)(5)事件x，y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．( √)(6)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( ×)题组二走进教材2．(P97T2)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( C )A．回归分析B．均值与方差C．独立性检验D．概率[解析]“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．3．(P81例1)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y^＝0.67x＋54.9．零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__68__．[解析]由x－＝30，得y－＝0.67×30＋54.9＝75．设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68．题组三走向高考4．(2017·某某高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^，已知∑10i＝1x i＝225，∑10i＝1y i＝1 600，b^＝4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( C )A ．160B ．163C ．166D ．170[解析]由题意知y ^＝4x ＋a ^又x ＝22.5，y ＝160，因此160＝22.5×4＋a ^，∴a ^＝70，因此y ^＝4x ＋70，当x ＝24时，y ^＝4×24＋70＝166，故选C ．5．(2019·高考全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d．P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828[解析](1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为3050＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．(2)由题可得K 2＝100×40×20－30×10250×50×70×30≈4.762．由于4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．考点突破·互动探究考点一 相关关系的判断——自主练透例1 (1)(2021·某某资阳模拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( B )A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%(2)对四组数据进行统计，获得以下关于其相关系数的比较，正确的是( A )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3[解析](1)观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%，故选B．(2)由相关系数的定义及散点图所表达的含义，可知r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选A．名师点拨判断两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．(3)线性回归直线方程中：b^＞0时，正相关；b^＜0时负相关．考点二线性回归分析——师生共研例2 (1)(2021·湖湘名校教育联合体联考)2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：价格x 99.51010.511销售量y 111086 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是：y＝－3.2x＋a，相关系数|r|＝0.986，则下列说的是( D )法不正确．．．A．变量x，y线性负相关且相关性较强B．a^＝40C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8D．相应于点(10.5,6)的残差约为0.4(2)(2020·全国Ⅱ)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑i ＝120xi ＝60，∑i ＝120y i ＝1 200，i ＝120(x i －x －)2＝80，i ＝120(y i －y －)2＝9 000，i ＝120(x i －x －)(y i －y －)＝800．①求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；②求样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；③根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r ＝i ＝1nx i －x－y i －y－i ＝1nx i －x－2i ＝1ny i －y－2，2≈1.414．[解析](1)对A ，由表可知y 随x 增大而减少，可认为变量x ，y 线性负相关，且相关性强，故A 正确．对B ，价格平均x －＝15(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，销售量y －＝15(11＋10＋8＋6＋5)＝8．故回归直线恒过定点(10,8)，故8＝－3.2×10＋a ^⇒a ^＝40，故B 正确．对C ，当x ＝8.5时，y ^＝－3.2×8.5＋40＝12.8，故C 正确．对D ，相应于点(10,8)的残差约为e ^＝6－(－3.2×10.5＋40)＝－0.4，故D 不正确．故选D ．(2)①样区野生动物平均数为 120∑i ＝120y i ＝120×1 200＝60，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为200×60＝12 000． ②样本(x i ，y i )的相关系数为r＝i＝120x i－x－y i－y－i＝120x i－x－2i＝120y i－y－2＝80080×9 000＝223≈0.94．③由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样，先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样方法抽取样本即可．名师点拨线性回归分析问题的类型及解题方法(1)求线性回归方程：①利用公式，求出回归系数b^，a^．②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．(2)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是系数b^．〔变式训练1〕(2021·某某六校教育研究会素质测试)某商场近5个月的销售额和利润额如表所示：销售额x/千万元35679利润额y/百万元1334 5(1)画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；(2)求出利润额y关于销售额x的回归直线方程；(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该商场的利润额(百万元)．b^＝∑i＝1nx i y i－n x－y－∑i＝1nx2i－n x－2＝i＝1n x i－x－y i－y－i＝1n x i－x－2，a^＝y－－b x－．[解析](1)散点图如图所示：两个变量正相关，且具有线性相关关系．(2)易求x－＝6，y－＝3.2，由公式有b^＝3×2.2＋1×0.2＋0＋1×0.8＋3×1.832＋12＋12＋32＝1320＝0.65，且a^＝3.2－0.65×6＝－0.7，则线性回归方程为y^＝0.65x－0.7，(3)当x＝4时，由(1)可求得y^＝1.9，即利润额约为1.9百万元．考点三,独立性检验——师生共研例3 (1)(2020·新高考Ⅰ，19)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]3218 4(35,75]6812(75,115]3710①估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；②根据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]③根据②中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生(男生与女生的人数之比为3∶2)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意，其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．①估计100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表)②结合频率分布直方图，请完成以下2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；态度性别满意 不满意 合计男生 女生 10合计100K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中P (K 2＝k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 02.7063.8415.0246.6357.879n ＝a ＋b ＋c ＋d ．[解析](1)①根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的概率的估计值为64100＝0.64．②根据抽查数据，可得2×2列联表：SO 2PM2.5[0,150] (150,475][0,75] 64 16 (75,115]1010K 2＝100×64×10－16×10280×20×74×26≈7.484．由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关．(2)①由已知得(0.015＋b ＋0.03)×10＝0.85， 解得b ＝0.04，又(0.005＋a )×10＝1－0.85，解得a ＝0.01， 评分的平均值为55×0.05＋65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.15＝80． ②完成2×2列联表如下表：态度性别满意 不满意 合计男生 25 35 60 女生 30 10 40 合计5545100K 2＝100×10×25－35×3055×45×60×40≈10.774＞6.635，∴有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．名师点拨解独立性检验的应用问题的关注点(1)两个明确：①明确两类主体．②明确研究的两个问题． (2)两个关键：①准确列出2×2列联表：②准确理解K 2．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k 值与求得的K 2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p ，所以其有关联的可能性为1－p ．〔变式训练2〕(2021·某某某某、崇左质检)某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来的报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如下：使用寿命年数4年5年6年7年总计A型出租车(辆)10204525100B型出租车(辆)153********(1)填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？使用寿命不高于5年使用寿命不低于6年总计A型B型总计(2)司机师傅小李准备在一辆开了3年的A型车和一辆开了3年的B型车中选择，为了尽最大可能实现3年内(含3年)不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参加公式：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d．参考数据：P(K2≥k0)0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.828[解析](1)根据题目所给数据得到如下2×2的列联考：使用寿命不高于5年使用寿命不低于6年总计A型3070100B型5050100总计80 120 200由列联表可知：K 2＝200×30×50－70×502100×100×80×120≈8.33＞6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关；(2)记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内(含3年)换车， 由表知P (A 1)＝10＋20＋45100＝0.75，P (A 2)＝15＋35＋40100＝0.9，因为P (A 1)＜P (A 2)，所以小李应选择A 型出租车．名师讲坛·素养提升非线性回归问题例4 (2020·某某乌兰察布等五市调研)一个调查学生记忆的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t (分钟)和答对人数y 的统计表格如下： 时间t (分钟) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 答对人数y 98 70 52 36 30 20 15 11 5 5 lg y1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7附：∑n ＝110t 2i ＝38 500，∑n ＝110y i ＝342，∑n ＝110lg y i ＝13.5，∑n ＝110t i y i ＝10 960，∑n ＝110t i lg y i ＝620.9，对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑i ＝1nu i v i －n u －v －∑i ＝1n u 2i －n u －2，α^＝v －－β^u －．请根据表格数据回答下列问题：(1)根据散点图判断，y ＝at ＋b 与lg y ＝ct ＋d ，哪个更适宜作为线性回归类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果，建立y 与t 的回归方程；(数据保留3位有效数字)(3)根据(2)请估算要想记住75%的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)[解析](1)由图象可知，lg y ＝ct ＋d 更适宜作为线性回归类型； (2)设lg y ＝ct ＋d ，根据最小二乘法得c ＝∑i ＝110t i lg y i －10t －lg y ∑i ＝110t 2i －10t －2＝620.9－10×55×1.3538 500－10×552≈－0.014 7，d ＝lg y －c t －≈2.16，所以lg y ＝－0.014 7t ＋2.16， 因此y ＝10－0.014 7t ＋2.16；(3)由题意知y ＝10－0.014 7t ＋2.16≥75，即－0.014 7t＋2.16≥2＋lg 3－2lg 2≈1.88，解得t≤19.05，即至多19.05分钟，就需要重新复习一遍．名师点拨非线性相关问题一般通过换元法转化为线性相关(线性回归分析)问题解决．〔变式训练3〕(2020.课标Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i，y i)(i＝1,2， (20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( D )A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋b e x D．y＝a＋b ln x[解析]观察题中散点图可知，散点图用光滑曲线连接起来比较接近对数型函数的图象，故选D．。