中考数学几何模型专题专题十—经典模型

专题十经典模型

模型53 “胡不归”模型

模型故事

从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”

而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?

模型展现

基础模型

怎么用?

1．找模型

直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求kAP+BP的最小值

2.用模型

构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得

到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可 模型分析

如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，

该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下: 一找:找带有系数k 的线段kAP ;

二构:在点B 异侧,构造以线段AP 为斜边的直角三角形; ①以定点A 为顶点作①CAP ,使得sin ①P AC =h ; ①过动点P 作垂线构造Rt ①P AC ; 三转化:化折为直,将kAP 转化为PC ;

四求解:使得hAP +BP =PC +BP ,利用“垂线段最短”转化为求BD 的长度.

拓展延伸

熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP +BP 中系数k 发生变化时,所构造的直角三角形也会

发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：01

sin 30 =

2，

0sin 60，0sin 45 =

2，03

sin 37

5，

04sin 53 5

例1如图， 在①ABC 中，AC =6，①A =30°，点D 是AB 边上一动点，（点拨：两定点A 、C ，动点D ，含特殊角30°）则

1

2

AD CD 的最小值为_________（点拨：线段数量关系的最小值,

考虑“胡不归”）

考什么?

直角三角形的性质,30°,60°角的锐角三角函数值,垂线段最短.

思路点拨

哪条线段带有系数,就以它为斜边构造直角三角形,使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等.例2如图, 在平行四边形ABCD中,①DAB=45°，（点拨：特殊角）AB=6，BC=2，P为CD边

上的一动点，则

2

2

PB PD（点拨：线段数量关系出现，且0＜k＜1，模型出现）的最小值

为_____________

考什么?

平行四边形的性质,直角三角形的性质,45°角的锐角三角函数值,垂线段最短。

实战实演

1、如图,在OABC中,AB=AC=8,tan4=/3 ,BELAC于点E,点D是线段BE上的一个动点，则

1

2

CD BD的最小值是（）

A. 4

B.

C.243

D. 8

2、如图,在等腰Rt①ABC中，①BAC=90°，BC=10，AD①BC于点D，点M是AD上一点，则

3

BM AM的最小值为__________

5

3、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-1，0，B(3，0)，与y轴交于点C(0，-3) ，D为抛物线的顶点.

(1)抛物线的解析式为_____________，顶点D的坐标为________________;

(2)点M为y轴上的一个动点,连接AM,AM的最小值。

模型54 “阿氏圆”模型

模型故事

阿氏圆(阿波罗尼斯圆)

阿波罗尼斯( Apollonius，约公元前262-190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆

尽，几乎使后人没有插足的余地。如图，已知平面上两定点A、B，则所有满足PA

k PB

（k>0且k≠1）的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

模型展现

基础模型：

怎么用?

1.找模型平面上两点A，B，点P在圆上，求“kAP+BP"的最小值或“AP-kBP"的最大值，即考虑“阿氏圆”模型

2.用模型

截取线段构造一组相似三角形，利用线段比例关系转化线段，再根据线段最短问题求最值。

模型分析：

如图，点P 是半径为r 的①0上一动点，点A ，B 为圆外的定点，且r =k ·0A （0

一找：找带有系数的线段AP ; 二构：在线段OA 上取一点C ,构造ΔPCO~ΔAPO ;

①在线段OA 上截取OC ,使得OC=k·r ; ①连接PC,OP ,证明ΔPCO~ΔAPO ;

三转化：通过相似三角形的对应边成比例，将kAP 转化为PC ;

四求解：使得kAP+BP=PC+BP ,连接BC ,利用“两点之间线段最短”转化为求BC 的长. 【满分技法】

阿氏圆模型，初中阶段不要求证明，但需要掌握的是，学会运用构造相似三角形的方法，确定P 点的位置，求形如“kAP+BP ”线段长度的最值，不仅在选填中考查，而且在几何、面数综合题中也考查，因此提炼模型特点，掌握应对方法很重要. 模型拓展

思考“胡不归”“阿氏圆”之间的关系：

【满分技法】

若遇到形如k ,PB +k ,P A 的问法，只需将其中一个系数化为1.就化为标准模型了，对于“

阿