专题：函数的奇偶性讲义(教师用)

函数的奇偶性

一、函数奇偶性

设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数．

设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数．

奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形． 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形． 二、方法归纳

1.函数的定义域D 是关于原点的对称点集（即对x ∈D 就有－x ∈D ），是其具有奇偶性的必要条件．

2.在公共定义域：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数．

3.判断函数的奇偶性应把握：

① 若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域D 的对称性和变换中的等价性． ② 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性．

4.定义在关于原点的对称点集D 上的任意函数)(x f ，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 即)(x f ＝)(x F ＋)(x G ，其中)(x F ＝

2)()(x f x f -+为偶函数， )(x G ＝2

)

()(x f x f --为奇函数．

5.奇（偶）函数性质的推广：

若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-； 三、典型例题精讲

［例1］（1）函数)(x f ＝1

1112

2+++-++x x x x 的图象( )

A ．关于x 轴对称

B ．关于y 轴对称

C ．关于原点对称

D ．关于直线x ＝1对称

解析：由=-)(x f 111

122

+-+--+x x x x ， ∴ =-)(x f ＝1

111

11

22

+++-++x

x x

x ＝)1(1)1(122x x x x +++++- ＝－)(x f

∴ )(x f 是奇函数，图象关于原点对称． 答案：C

【技巧提示】 用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数． （2）分段函数奇偶性的判定

又例：函数⎩⎨⎧>-+-<++=0

,320

,32)(2

2x x x x x x x f 的奇偶性． 解析：当0>x 时，0<-x

3)(2)()(2+-+-=-x x x f ＝322+-x x ＝)(x f -；

当0-x

3)(2)()(2--+--=-x x x f ＝322---x x ＝)(x f -

∴

)(x f 是奇函数．

［例2］已知)(x f 是偶函数而且在(0，＋∞)上是减函数，判断)(x f 在(－∞，0)上的增减性并加以证明． 解析：函数)(x f 在(－∞，0）上是增函数．

设x 1＜x 2＜0，因为)(x f 是偶函数，所以)(1x f -＝)(1x f ，)(2x f -＝)(2x f ，

由假设可知－x 1＞－x 2＞0，又已知)(x f 在(0，＋∞)上是减函数，于是有)(1x f -＜)(2x f -， 即)(1x f ＜)(2x f ，由此可知，函数)(x f 在(－∞，0)上是增函数．

【技巧提示】 具有奇偶性的函数，其定义域D 关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间的单调性具有对应性．“偶函数半增半减，奇函数一增全增”．

［例3］定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：

（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )； （2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； （3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )； （4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )． 其中成立的是（ ）

A ． (1)与(4)

B ． (2)与(3)

C ． (1)与(3)

D ． (2)与(4) 解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )； （2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )； （3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )； （4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．

再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．

【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间的单调性，因而往往与不等式联系紧密．

又例：偶函数)(x f 在定义域为R ，且在（－∞，0]上单调递减，求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合． 解析：偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增．

根据图象的对称性，)3(+x f ＞)1(-x f 等价于

|3|+x ＞|1|-x ．

解之，1->x ，

∴ 满足条件的x 的集合为（－1，＋∞）．

［例4］设)(x f 是(－∞，＋∞)上的奇函数，)2(+x f ＝－)(x f ，当0≤x ≤1时，)(x f ＝x ，x 则)5.7(f 等于( )

A ．0.5

B ． －0.5

C ． 1.5

D ． －1.5

解析：)5.7(f ＝)25.5(+f ＝－)5.5(f ＝－)25.3(+f ＝)5.3(f ＝)25.1(+f ＝－

)5.1(f ＝－)25.0(+-f ＝)5.0(-f ＝－)5.0(f ＝－0.5．

答案：B

【技巧提示】 这里反复利用了)(x f ＝－)(x f 和)2(+x f ＝－)(x f ，后 面的学习我们会知道这样的函数具有周期性．

又例：如果函数)(x f 在R 上为奇函数，且在(－1，0)上是增函数，试比较)31

(f ，)3

2(f ，)1(f 的大小关系_________． 解析：∵)(x f 为R 上的奇函数，

∴ )31(f ＝－)31(-f ，)32(f ＝－)3

2(-f ，)1(f ＝－)1(-f ，又)(x f 在(－1，0)上是增函数且－

31＞－3

2

＞－1． ∴ )31

(-f ＞)3

2

(-f ＞)1(-f ，∴ )31(f ＜)3

2(f ＜)1(f ．

答案：)3

1(f ＜)32

(f ＜)1(f ．

［例5］函数)(x f 的定义域为D ＝{}

0≠∈x R x ，且满足对于任意D x x ∈21,，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+ （1）求(1)f 的值； （2）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；

解：（1）令121x x ==，得()10f =；

（2）令121x x ==-，得()10f -=，令121,x x x =-=，得()()()1f x f f x -=-+

∴ ()()f x f x -=，即)(x f 为偶函数．

【技巧提示】 赋值法是解决抽象函数问题的切入点．常赋值有0，1，―1，2，―2，等等．