中考数学专题复习和训练求阴影部分的面积

求阴影部分的面积
专题透析：
计算平面图形中的面积问题是中考中的常考题型,多以选择题、填空题的形式出现,其中求阴影部分的面积是这类问题的难点.不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形和圆、圆弧等基本图形组合而成,考查内容涉及平移、旋转、相似、扇形面积等相关知识,还常与函数相结合.在解此类问题时,要注意观察和分析图形,会分析和组合图形,常常借助转化化归思想,将阴影部分不规则图形转化为规则的易求的图形求解.
典例精析：
例1.如图,菱形ABCD 的对角线BD AC 、分别为223、
,以B 为圆心的弧与AD DC 、相切于点E F 、,则阴影部分的面积是
A.π-
3233 B.π-3
433
C.π-43
D.π-23 分析：本题的阴影部分是不规则的,要直接求出阴影部分的面积不现实,但我们发现阴影部分是
菱形ABCD 减去扇形ABC 的面积;菱形ABCD 可根据题中条件直接求出,要求扇形扇形ABC 的面积关键是求出圆心角∠ABC 的度数和半径;连结BD BE 、交于点O ,所有这些问题均可以化归在Rt △AOB 或Rt △BOC 中利用三角函数和勾股定理来解决. 选D 师生互动练习：
1. 如图,Rt △ACB 中,C 90AC 15AB 17∠===，，;以点C 为 圆心的⊙C 与AB 相切于D ,与CA CB 、分别交于E F 、两点,则 图中阴影部分的面积为 .
2.如图的阴影部分是一商标图案图中阴影部分,它以正方形ABCD
的顶点A 为圆心,AB 为半径作BD ,再以B 为圆心,BD 为半径作弧, 交BC 的延长线与E ,BD,DE 和DE 就围成了这个图案,若正方形的边
长为4,则这个图案的面积为
A.π4
B.8
C.π3
D.π-38 3.如图,Rt △ABC 中,,C 90A 30∠=∠=,点O 在斜边AB 上,半径
为2,⊙O 过点B 切AC 于D ,交BC 边于点E E,则由线段CD EC 、及DE 围成的阴影部分的面
积为 . 4. 已知直角扇形AOB 的半径OA 2cm =,以OB 为直径在扇形内作半
圆⊙M ,过M 引MP ∥AO 交AB 于P ,求AB 与半圆弧及MP 围成的 阴影部分的面积为 .
例2.如图,⊙O 的圆心在定角()0180
αα∠<<的角平分线上运动,且⊙O 与
α∠的两边相切,图中的阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>变化的函数图象大致是
分析：连结OA OB OC 、、后,本题关键是抓住阴影部分的面积=四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.设阴影部分的面积为y ,⊙O 的半径()x x 0>. ∵⊙O 切AM 于点B ,切AN 于点C , ∴OBA OCA 90,OB OC x,AB AC ∠=∠====,
∴BOC 3609090180αα∠=---=-;∵AO 平分MAN ∠,x
AB AC 1tan 2
α==,且图中阴影部分的面积y =四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.
∴ ()22180x 1x 1180y 2x x 112360360tan tan 22αππαπ
αα
⎛⎫
⎪--=⨯⨯
⨯-=- ⎪ ⎪⎝
⎭
∵x 0> ,且()0180
αα∠<<是定角
∴阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>之间是二次函数关系. 故选C .
师生互动练习：
1.如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E F G H 、、、分别为各边上的点,且AE BF CG ==
DH =；设小正方形EFGH 的面积为S ,AE 为x ,则S 关于x 的函数图象大致为
2.201
3.临沂中考如图,正方形ABCD 中,AB 8cm =,对角线AC 与BD 相交于点O ,点E F 、分别从B C 、两点同时出发,以/1cm s 的速度沿BC CD 、运动,到点C D 、停止运动.设运动时间为()t s ,
OEF 的面积为()
2S cm 与()t s 的函数关系式可用图象表示为
3.201
4.菏泽中考如图在Rt ABC 中,AC BC 2==,正方形CDEF 的顶点D F 、分别是边
AC BC 、的动点,C D 、两点不重合.设CD 的长度为x ,ABC 与正方形CDEF 的重叠部分的面积为y ,则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的是 例3.如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形 的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1,△ABC 的顶点在格点上, 则△ABC 的面积为 . 分析: 延长AB ,然后作出过点C 与格点所在的水平直线,一定交于点E .
则图中的阴影部分 = △AEC 的面积 - △BEC 的面积. 由正六边形的边长为1,根据正多边形形的性质,可以得出过正六边 形中心的对角线长为2,间隔一个顶点的对角线长为3,则CE 4=；若△AEC 和△BEC 都以CE 为求其面积的底边,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢 解：由同学们自我完成解答过程 师生互动练习：
1.如图已知网格中每个小正方形的边长为2,图中阴影部分的 每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为 .
2.如图,已知下面三个图形中网格中的每个正方形的边长都设为1.结果均保留π
⑴.图①中的阴影图案是由两段以格点为圆心,分别以小正方形的边长和对角线长为半径的圆弧和网格的边围成．,图中阴影部分的面积为 ；
⑵.图②中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分别为1和2的圆弧围成.图②中阴影部分的面积是 ；
⑶.图③中在AB 的上方,分别以△ABC 的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分的面积之和为 .
3.如图为一张方格纸,纸上有一灰色三角形,其顶点均位于某两网格线的
F
E
B
D O A C
E
C D A
B
D
E O
B
A C P
N
M
B
O A E F D B
A C E D
B C
A F x y 1212O A x y 123412
34
5O C x y 121
2O D B αC
B
A
O M
N
x
y O
A x
y O
B x
y O
C x
y O
D
C E A B ②①③
C
C
交点上,若灰色三角形面积为21
4
,则方格纸的面积为．
附专题总结：求含圆图形中不规则阴影部分面积的几个技巧
一.旋转、翻折为特殊图形：
图①的第一个图是直角扇形OAB和直角扇形OCD搭建的,其中OA=9,OB=4,要求阴影部分的面积,可以将△ODB旋转至△OAC来求扇环BDCA的面积更简便见图①的第二个图.
图②的第一个图中是直角扇形OAB和正方形OFED以及矩形OACD,其中OF=1,要求阴影部分的面积,可以将半弓形ODB沿正方形对角线翻折至EFA来求矩形ACEF的面积更简便见图②的第二个图
二.
图①的第一个图大圆⊙O 的弦并与小圆⊙
圆⊙O O图①这样来求圆环的面积更容易；虽
三.
如图第一个图是以等腰Rt
△AOB的直角顶点O为圆心画出的直角扇形OAB和以OA、OB为直径
画出的两个半圆组成的图形,
要求第一个图形阴影,可以按如图所示路径割补成一个弓形见第二
个图中的标示更容易求出阴影图形的面积；如果OA=10,求出第一个图形阴影部分的面积
略解：
S阴影=2
B0A
11
S S AOB1010102550
42
ππ
-=⨯⨯-⨯⨯=-
扇形
点评：
解决.
割补法在很多涉及到几何图形的题中都有运用.
四.差法求叠合图中形的阴影
例1.图①是教材114页的第3题,可以用四个半圆的面积之和减去正方形
的面积得到阴影部分的面积；
例2.图②自贡市中考题△ABC中,AB=BC=6,AC=10,分别以AB,BC为直
径作半圆
,则图中阴影部分的面积为．
略解：△ABC的底边AC
==
=
2
ABC
1161
S2S S2159
2222
ππ
⎛⎫
⨯⨯-=
⨯⨯⨯-⨯=-
⎪
⎝⎭
影
点评：本题的图形结构可以看成是三个图形叠合在一起两个半圆和一个等腰三角形端点相接的
叠合,具有这种图形结构题其实并不是我们想象那么抽象艰深.比如：本题的阴影部分恰好是两
个半圆和一个等腰三角形端点相接的叠合后,两个半圆覆盖等腰三角形后多出来的部分；那么下
面的这个题就的计算也就不那么复杂了.举一反三,“难题”不难
师生互动练习：：见上学期圆单元训练和专题复习的相应部分.
迎考精炼：
1.如图,AB 是⊙O的直径,
弦CD AB,CD
⊥=,则S阴影 =
A.π
B.2π D.
2
3
π
2. 如图
,⊙A、⊙B、⊙C两两不相交,且半径均为,则
图中的三个阴影部分的面积之和为
A.
12
π
B.
8
π
C.
6
π
D.
4
π
3.如图,⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中的
阴影部分的面积为
2
π2
3
π
C.
2
π
D.
2
3
π
4.如图,在Rt△ABC中,C90,AC8BC4
∠===
， ,分别以
AC BC
、为直径画半圆,则图中的阴影部分的面积之和为
A.2016
π- B.1032
π- C.1016
π- D.20132
π-
5. 如图,四边形ABCD是正方形, AE垂直于BE于E,且AE3,BE4
==,
则阴影部分的面积是
6. 如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形
'''
AB C D,图中的阴影部分的面积为
A.1 C.1 D.
1
2
7.如图,ABCD沿对角线AC平移,使A点至AC的中点
''''
A B C D,新的正方形与原正方形的重叠部分图中的阴影部分的面积是
B.
1
2
C.1
4
8.将n个边长都为4cm的正方形按如图所示的方法摆放,点,,,
1n
A A风别是正方形对角线的
交点,则n个正方形重叠部分的面积的和为
A.2
1
cm
4
B.2
n1
cm
4
-
C.()2
4n1cm
- D.
n
2
1
cm
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭
9. 两张宽均为5cm的纸带相交成α角,则这两张带重叠部分图中阴影的面积为
A.()2
25
cm
sinα
B.()2
25
cm
cosα
C.()2
50sin cm
α D.()2
25sin cm
α
10. 如图,△ABC是等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,线段AB被截成相等的三部分,则
图中的阴影部分的面积是△ABC面积的
A.
1
9
B.
2
9
C.
1
3
D.
4
9
11.AB是⊙O的直径,以AB为一边作等边△ABC,交⊙O于点E F
、,2
=,则
图中的阴影部分的面积为
A.
4
3
π
- B.
2
3
π
C.
3
π
D.
3
π
12.如图;三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积
O
C
图①
C
D D
B
图②
B
A2
A1
C
'
C
结果保留π
13. 如图①,等边△ABD 和等边△CBD 的边长均为1,将
△ABD 沿AC 方向平移得到△'''A B D 的置,得到图 形②,则阴影部分的周长为 .
14.如图,△ABC 的边AB 3AC 2==，,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB AC BC 、、为边的正方形,则图中三个阴影部分的面积之和的最大值为 . 15.若图中正方形F 以上的正方形均是以直角三角形向外作的正方形：
①.若正方形A B C D 、、、的边长分别是a b c d 、、、,则正方形F 的面积如何用含a b c d 、、、的式子表示出来为 ；
②.如果正方形F 的边长16cm ,那么正方形A B C D 、、、的面积之和是 .
16.如图,边长为3的正方形ABCD 绕点按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG 交AD 于点H ,S 四边形HFCD = .
17.如图, 已知AD DE EF 、、分别是ABC 、ABD 、AED 的中线,若2ABC 24cm S =,则阴影部分DFE 的面积为 .
18.如图,在正方形ABCD 内有一折线,其中AE EF EF FC ⊥⊥、,并且AE 6=,EF 8=, AF 10=则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 . 19.如图把⊙O 向右平移8个单位长度得到⊙O 2,两圆相交于 A 、B,且O 1 A 、O 2 A 分别与⊙O 2、⊙O 1相切,切点均为A 点, 则图中阴影部分的面积为 . 20.如图,矩形ABCD 中,BC 4DC 2==，,以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ,则图中的
阴影部分的面积是 结果保留π
21.在Rt △ABC 中,A 90AB AC 2∠===，,以AB 为直径作圆交BC 于点D ,则图中阴影部分的面积是 .
22.如图,在△ABC 中,,AB 5cm AC 2cm ==,将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△11A B C 的位置,则线段AB 扫过的区域图中阴影部分的面积为 2cm .
23.如图,半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于O ,其直径CD EF 、和x 轴垂直,以O 为顶点的两条抛物线分别经过C E 、和点D F 、,则图中的阴影部分的面积是 .
24.如图,抛物线21y x 2=-+向右平移1个单位得到抛物线2y ,则抛物线2y 的顶点坐标为 ；阴影部分的面积S = . 25.如图在边长为2的菱形ABCD ,B 45∠=,
AE 为BC 边上的 高,将△ABE 沿AE AE 在直线翻折得
△'AB E ,求△'AB E 与四边形 AECD 重叠阴影部分的面积. 26.如图,矩形OBCD 按如右图所示放置在平面直角坐标系中坐标 原点为O ,连结AC 点A C 、的坐标见图示交OB 于点E ；求阴影 部分的四边形OECD 的面积
27.如图,在△ABC 中,=90A ∠, O 是BC 边上的一点以O 为圆 心的半圆分别与AB AC 、边相切于点D E 、,连接OD 已知. 求：⑴.tan C ∠.
⑵.求图中的阴影部分的面积之和.
28.如图,⊙O 的直径AB 为10cm 1,弦AC 为6cm ,ACB ∠的平分线 交⊙O 于点D .
⑴.求弦CD 的长； ⑵.求阴影部分的面积;
29.如图, 在平面直角坐标系中,以(),10为圆心的⊙P 与y 轴 相切于原点O ,过点(),A 10-的直线AB 于⊙P 相切于点B . ⑴.求AB 的长；
⑵.求AB OA 、与OB 围成的阴影部分面积不取近似值； ⑶.求直线AB 上是否存在点M ,使OM PM +的值最小 如果存在,请求出点M 的坐标；如果不存在,请说明理由.
F
B'
E
D
A B
C x
y
(4,2)
(0,-1)
E B
D
C A O B
D C A ①B'D 'A'B D C ②F
E D A B C 17题H G E
F D A B C 16题15题Ⅲ
ⅡⅠG F M E B C A 14题18题1086B D C F E A x
y –1
–212
3
–1–2
1
2
O
24题
A 1
C A
B 22题D
B 21题O D
A E
B
C 20题23题x
y 1
-1B
A O。