中考数学专题复习和训练求阴影部分的面积

求阴影部分的面积

专题透析：

计算平面图形中的面积问题是中考中的常考题型,多以选择题、填空题的形式出现,其中求阴影部分的面积是这类问题的难点.不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形和圆、圆弧等基本图形组合而成,考查内容涉及平移、旋转、相似、扇形面积等相关知识,还常与函数相结合.在解此类问题时,要注意观察和分析图形,会分析和组合图形,常常借助转化化归思想,将阴影部分不规则图形转化为规则的易求的图形求解.

典例精析：

例1.如图,菱形ABCD 的对角线BD AC 、分别为223、

,以B 为圆心的弧与AD DC 、相切于点E F 、,则阴影部分的面积是

A.π-

3233 B.π-3

433

C.π-43

D.π-23 分析：本题的阴影部分是不规则的,要直接求出阴影部分的面积不现实,但我们发现阴影部分是

菱形ABCD 减去扇形ABC 的面积;菱形ABCD 可根据题中条件直接求出,要求扇形扇形ABC 的面积关键是求出圆心角∠ABC 的度数和半径;连结BD BE 、交于点O ,所有这些问题均可以化归在Rt △AOB 或Rt △BOC 中利用三角函数和勾股定理来解决. 选D 师生互动练习：

1. 如图,Rt △ACB 中,C 90AC 15AB 17∠===，，;以点C 为 圆心的⊙C 与AB 相切于D ,与CA CB 、分别交于E F 、两点,则 图中阴影部分的面积为 .

2.如图的阴影部分是一商标图案图中阴影部分,它以正方形ABCD

的顶点A 为圆心,AB 为半径作BD ,再以B 为圆心,BD 为半径作弧, 交BC 的延长线与E ,BD,DE 和DE 就围成了这个图案,若正方形的边

长为4,则这个图案的面积为

A.π4

B.8

C.π3

D.π-38 3.如图,Rt △ABC 中,,C 90A 30∠=∠=,点O 在斜边AB 上,半径

为2,⊙O 过点B 切AC 于D ,交BC 边于点E E,则由线段CD EC 、及DE 围成的阴影部分的面

积为 . 4. 已知直角扇形AOB 的半径OA 2cm =,以OB 为直径在扇形内作半

圆⊙M ,过M 引MP ∥AO 交AB 于P ,求AB 与半圆弧及MP 围成的 阴影部分的面积为 .

例2.如图,⊙O 的圆心在定角()0180

αα∠<<的角平分线上运动,且⊙O 与

α∠的两边相切,图中的阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>变化的函数图象大致是

分析：连结OA OB OC 、、后,本题关键是抓住阴影部分的面积=四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.设阴影部分的面积为y ,⊙O 的半径()x x 0>. ∵⊙O 切AM 于点B ,切AN 于点C , ∴OBA OCA 90,OB OC x,AB AC ∠=∠====,

∴BOC 3609090180αα∠=---=-;∵AO 平分MAN ∠,x

AB AC 1tan 2

α==,且图中阴影部分的面积y =四边形ACOB 的面积-扇形BOC 的面积.

∴ ()22180x 1x 1180y 2x x 112360360tan tan 22αππαπ

αα

⎛⎫

⎪--=⨯⨯

⨯-=- ⎪ ⎪⎝

⎭

∵x 0> ,且()0180

αα∠<<是定角

∴阴影部分的面积y 关于⊙O 的半径()x x 0>之间是二次函数关系. 故选C .

师生互动练习：

1.如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E F G H 、、、分别为各边上的点,且AE BF CG ==

DH =；设小正方形EFGH 的面积为S ,AE 为x ,则S 关于x 的函数图象大致为

2.201

3.临沂中考如图,正方形ABCD 中,AB 8cm =,对角线AC 与BD 相交于点O ,点E F 、分别从B C 、两点同时出发,以/1cm s 的速度沿BC CD 、运动,到点C D 、停止运动.设运动时间为()t s ,

OEF 的面积为()

2S cm 与()t s 的函数关系式可用图象表示为

3.201

4.菏泽中考如图在Rt ABC 中,AC BC 2==,正方形CDEF 的顶点D F 、分别是边

AC BC 、的动点,C D 、两点不重合.设CD 的长度为x ,ABC 与正方形CDEF 的重叠部分的面积为y ,则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的是 例3.如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形 的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1,△ABC 的顶点在格点上, 则△ABC 的面积为 . 分析: 延长AB ,然后作出过点C 与格点所在的水平直线,一定交于点E .

则图中的阴影部分 = △AEC 的面积 - △BEC 的面积. 由正六边形的边长为1,根据正多边形形的性质,可以得出过正六边 形中心的对角线长为2,间隔一个顶点的对角线长为3,则CE 4=；若△AEC 和△BEC 都以CE 为求其面积的底边,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢 解：由同学们自我完成解答过程 师生互动练习：

1.如图已知网格中每个小正方形的边长为2,图中阴影部分的 每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为 .

2.如图,已知下面三个图形中网格中的每个正方形的边长都设为1.结果均保留π

⑴.图①中的阴影图案是由两段以格点为圆心,分别以小正方形的边长和对角线长为半径的圆弧和网格的边围成．,图中阴影部分的面积为 ；

⑵.图②中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分别为1和2的圆弧围成.图②中阴影部分的面积是 ；

⑶.图③中在AB 的上方,分别以△ABC 的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分的面积之和为 .

3.如图为一张方格纸,纸上有一灰色三角形,其顶点均位于某两网格线的

F

E

B

D O A C

E

C D A

B

D

E O

B

A C P

N

M

B

O A E F D B

A C E D

B C

A F x y 1212O A x y 123412

34

5O C x y 121

2O D B αC

B

A

O M

N

x

y O

A x

y O

B x

y O

C x

y O

D

C E A B ②①③

C

C