高中数学《函数的零点》说课稿

说课稿《函数的零点》说课稿课题：函数的零点我说课的内容是高三第二轮复习《函数》的一个专题《函数的零点》，我将从教材分析、教学目的、教学重点、难点、教法、学法、教学过程、教学评价六个方面来陈述我对本节课的设计方案。

一、教材分析：教材的地位和作用函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，从近几年高考的形势来看，十分注重对“函数的零点”的考察，如2007年文科21题、理科20题，2009年文科21题、理科20题。

而结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及解决函数零点存在问题、方程的根的问题、两个函数交点问题是培养学生“等价转化思想”、“数形结合思想”、“方程与函数思想”的优质载体，本节课就是在教师的引导下，让学生自主探究解决有关函数零点的问题。

二、教法分析：1、学情分析备课不只是对知识和教学内容的准备，也包括对学生、学情的分析和掌握。

我这节课是第二轮的一个专题复习，而我担任的是高三的两个文科班，高三经过第一轮的复习，学生已经具备一定的分析问题、探索问题的能力，较多的同学对数学有较浓厚的兴趣，但知识迁移和综合运用能力还比较薄弱，这节课通过研究函数零点问题的分析和处理，提高学生的自主探索、分析问题的能力，加强函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想、化归思想的应用。

2、教学方法教法上，以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积极主动地进行探索，在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力；同时向学生渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题的能力。

采用“提出问题⇒引导探究⇒交流讨论⇒得出结论⇒回顾反思”的教与学模式.3、教学手段：采用多媒体辅助教学，同时给学生印发学案。

三、教学目标（一）知识目标：1、理解函数的零点与方程的根的联系，并能利用零点存在定理处理函数的零点等有关问题。

2、在探究函数的零点问题时渗透函数与方程思想、数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想（二）能力目标:通过函数零点问题的探究，培养学生自主发现、探究实践的能力。

（三）情感目标：通过对问题的自主探究，培养学生的对立意识和独立思考能力；小组交流中，学会合作意识；在解决问题的难点时，培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的探索精神，树立科学的人生观和价值观。

四、教学重点、难点教学重点：函数零点问题的分析与处理．教学难点:函数零点问题的处理方法。

五、教学过程1、复习引入：在第一轮复习时，在研究函数的时候，一般是从函数的单调性、极值、最值、图像来进行研究，这节课我们运用函数的综合知识来探讨一下有关函数的零点的问题，先看一个简单的例题。

引例：方程lg x +x =3的解所在区间为（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)设计意图：（1）这是基础题，主要是复习函数零点存在定理，渗透函数与方程思想、数形结合思想，为本节课重点难点创设情境。

（2）本题可以有2种解法思路，一是方程lg x +x =3的解即为函数3lg )(-+=x x x f 的零点，再利用0)3()2(<f f 判断解的区间就在（2，3）；二是可以通过数形结合，构造函数x y lg =与y =-x +3，通过函数的图像来判断交点的位置。

这里可以借助课件来直观演示，引导学生学会等价转化问题。

解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lg x 与y =-x +3的图象(如图)。

它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D 至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。

实际上这是要比较0x 与2的大小。

当x =2时，lg x =lg2，3-x =1。

由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C 。

2、自主探究在新的教学理念下，要勇于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新精神。

例题： （2007年广东文21）．已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．设计意图:（1）激发兴趣，提供平台。

学生碰到有关二次函数问题时，一不觉得陌生；二情景比较简单，很多学生都会跃跃欲试，有些同学根据题1只是考虑到0)1()1(≤-f f 从而求出51≤≤a ，但是之后会发现还有可能有2个零点或者一个零点时也并非一定0)1()1(≤-f f ，于是更加激发他们强烈的探求欲望，然后通过小组的交流讨论，让小组长发言总结分类方法，其他同学质疑、补充，从而掀起本节课的第一次高潮，给学生搭建起一个动手探究、实践的平台。

（2）培养学生分类讨论思想、等价转化思想、数形结合思想。

学生最容易考虑到的就是利用分类讨论思想结合函数的图像直接寻找函数存在零点的条件，分类方法会出现两种情况： （Ⅰ）分0,0,0<=>a a a 三种情况，再就00<>a a 和分为有一个零点和两个零点讨论；0>a 时，有0<a 时，有解一：即0=a 时，零点为23，不符合题意 0>a 时，函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则551012110)1(0)1(0)1()1(≥≤≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆≤-≤-≥-≥≤-a a a f f f f 或或， 即1≥a 0<a 时，函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则273012110)1(0)1(0)1()1(+-≤⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆≤-≤-≤-≤≤-a af f f f 或 所以实数a 的取值范围是),1[]273,(+∞+--∞ （Ⅱ）分为在区间[-1,1]内有一个零点和二个零点。

一个零点时，有在区间[-1,1]是单调函数和有重根的情况，如图两个零点，有解二：0=a 时，函数为32)(-=x x f ，则零点0],1,1[23≠∴-∉=a x ①)(x f y =在区间[]11-，上有一个零点，则27351121100)1()1(+-=≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-=∆≤-a a a f f 或或 ②)(x f y =在区间[]11-，上有二个零点，则2735012110)1(0)1(0+-<≥⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>∆<-<-≥≥->a a a af af a 或 综合①②，实数a 的取值范围是),1[]273,(+∞+--∞ （二）通过函数的零点与方程的根的联系，利用等价转化思想转化为方程的解来解决问题。

由于函数的零点就是方程的根，所以求函数2()223f x ax x a =+--在[-1,1]有零点等价于方程03222=--+a x ax 在[-1,1]有解xx a 231212--=⇔在[-1,1]有解，接下来只需要求出函数x x x g 2312)(2--=在[-1,1]的值域就是a1的范围（这里可以通过几何画板的动画演示来说明），接下来解不等式即可。

这种解法可以免去分类讨论的麻烦，也是解决这类问题的常用方法。

解三：a=0时，不符合题意，所以a ≠0∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解212132x a x-⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x -=-[-1，1]上的值域；令xx x g 2312)(2--=2222')23()162(2)23()2)(12()23(4x x x x x x x y -+--=-----=，列表如下：所以函数)(x g y =在区间)273,1(--上是减函数，在)1,273(-上是增函数，且g(-1)<g(1) 则函数)(x g y =的最大值为1)1(=g ，最小值为37)273(-=-g∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解1a∈3,1]1a ⇔≥或a ≤。

所以实数a 的取值范围是),1[]273,(+∞+--∞ 总结：在处理含参数的零点问题时，常用的方法有1、通过研究函数的图像、性质，结合分类讨论来解决；2、通过变量分离，转化成一个定函数和一个常函数的交点问题，然后通过研究函数的性质、结合图像来解决。

3、能力提升前面我们在引例和例题中都运用了通过两个函数图像的交点来解决函数的零点问题，反过来，我们也可以通过函数的零点问题来解决两个函数的交点问题。

例：已知函数2()8,()6ln f x x x g x x m =-+=+,是否存在实数m ,使得函数)(x f y =与)(x g y =的图像有3个不同的交点?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.设计意图：(1)提高学生的自主探究、分析问题和综合运用的能力，渗透转化化归思想、数形结合思想 （2）直接作出两个函数的图像来求m 的取值范围是有一定的难度的，所以把函数)(x f y =与)(x g y =有3个不同的交点⇔方程()()f x g x =有3个不等的实数解⇔函数)()()(x f x g x h -=有3个零点。

通过数形结合的数学思想将“形”转化为“数”，转化为求函数m x x x x f x g x h ++-=-=ln 68)()()(2有3个零点，或者)(x h y =有零点即是方程0)(=x h 有3个不相等的实数根，通过变量分离转化为x x x m ln 682-+-=有3个实数根，即函数)(x F y m y ==与的图像有3个交点。

即解一：函数)(x f y =与)(x g y =的图像有3个不同的交点，即m x x x x f x g x h ++-=-=ln 68)()()(2有3个零点，则xx x x x x h )3)(1(2682)('--=+-= 定义域为{x|x>0}， 由310)(,310)(''<<⇒<><⇒>x x h x x x h 或， 所以函数)(x h y =在),3()1,(+∞-∞和上是增函数，在（1，3）上是减函数所以函数在1=x 时取得极大值7)1(-=m h ，在3=x 时取得极小值153ln 6)3(-+=m h 函数)(x h y =有3个零点，当且仅当⎩⎨⎧<-+=>-=0153ln 6)3(07)1(m h m h ，即3ln 6157-<<m 解二：函数)(x f y =与)(x g y =的图像有3个不同的交点，即0ln 68)()(2=++-=-m x x x x f x g 有3个不相等的实数根由⇒=++-=-0ln 68)()(2m x x x x f x g x x x m ln 682-+-=设函数x x x x F ln 68)(2-+-=，则xx x x x x F )1)(3(2682)('---=-+-=，定义域).0(∞+ 由310)(,310)(''><⇒<<<⇒>x x x F x x F 或所以)(x F y =在（0，1）和（3，+∞）是减函数，在（1，3）是增函数，所以函数)(x F y =在1=x 时取得极小值7，在3=x 时取得极大值3ln 615-，且+∞→→y x ,0m x x x =-+-ln 682有3个不相等的实数根⇔函数)(x F y m y ==与有三个不同的交点（如图）所以实数m 的取值范围是)3ln 615,7(-（3）通过一题多解，发散学生的思维，启发学生多思考，寻找适合自己的解题方法（4）学生对于这种开放性的题型比较重视，觉得有些难度，但是经过努力后又可以攻克，因此将满足学生追求真理，乐于创新的情感需求和喝求知识的强烈愿望，此处将掀起本节课的第二次高潮。