计算坐标与坐标方位角的基本公式
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二 计算坐标与坐标方位角的基本公式
控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标,控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的.下面介绍计算坐标与坐标方位角的基本公式,这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公式.
一、坐标正算和坐标反算公式
1.坐标正算
根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、边长计算待定点的坐标,这种计算在测量中称为坐标正算。
如图5—5所示,已知A 点的坐标为A x 、A y ,A 到B 的边长和坐标方位角分别为AB S 和AB α,则待定点B 的坐标为
AB A B AB
A B y y y x x x ∆+=∆+= }
(5—1) 式中 AB x ∆ 、AB y ∆——坐标增量。
由图5—5可知
AB AB AB AB AB AB S y S x ααsin cos =∆=∆ }
(5—2)
式中 AB S ——水平边长; AB α-—坐标方位角.
将式(5-2)代入式(5—1),则有
AB AB A B AB
AB A B S y y S x x ααsin cos +=+= }
(5—3)
当A 点的坐标A x 、A y 和边长AB S 及其坐标方位角AB α为已知
时,就可以用上述公式计算出待定点B 的坐标。式(5—2)是计算坐标增量的基本公式,式(5-3)是计算坐标的基本公式,称为坐标正算公式.
从图5—5可以看出AB x ∆是边长AB S 在x 轴上的投影长
度,AB y ∆是边长AB S 在y 轴上的投影长度,边长是有向线段,是
在实地由A 量到B 得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从0°到360°变化,根据三角函数定义,坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种
情况,其正负符号取决于坐标方位角所在的象限,如图5-6所示。从式(5—2)知,由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负,其符号归纳成表5—3.
图5-5 坐标计算图5—6 坐标增量符号
表5—3 坐标增量符号表
坐标方位角
(°)所在象限坐标增量的正
负号
⊿x ⊿y
0~90
90~180
180~270
270~Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
+
-
-
+
+
+
-
-
例1 已知A 点坐标A x =100。00m ,A y =300。10m ;边长AB s =100m,
方位角AB α=330°。求B 点的坐标B x 、B y 。
解:根据公式(5—3)有
m s y y m
s x x AB AB A B AB AB A B 6.249330sin 1001.300sin 1.186330cos 100100cos =︒⋅+=+==︒⋅+=+=αα
2、坐标反算
由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长,这种计算称为坐标反算。
由式(5—1)有
A B AB A B AB y y y x x x -=∆-=∆ } (5-4)
该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图5—5中AB x ∆ 表示由A 点到达B 点的纵坐标之差称纵坐标增量; AB y ∆表示由A 点到B 点的横坐标之差称横坐标增量.坐标增量也有正负两种情况,它们决定于起点和终点坐标值的大小。 在图5—5中如果A 点到B 点的坐标已知,需要计算AB 边的坐标方位角AB α和边长时AB S ,
则有
AB
AB A B A B AB x y x x y y ∆∆=--=αtan
AB
AB AB AB AB y x S ααsin cos ∆=∆= } (5-5) 或 ()()22AB AB AB y x S ∆+∆= 公式(5-5)称为坐标反算公式。应当指出,使用公式(5—5)中第一式计算的角是象限角R,应根据⊿x 、⊿y 的正负号,确定所在象限,再将象限角换算为方位角。因此公式(5—
5)中的第一式还可表示为:
AB AB A B A B AB x y x x y y R ∆∆=--=arctan arctan 例2.已知A x =300m, A y =500m ,B x =500m ,B y =300m,
求A 、B 二点连线的坐标方位角AB α和边长AB S 。 解:由公式(5-5)有
)1arctan(300
500500300arctan arctan -=--=--=A B A B AB x x y y R 因为AB x ∆为正 、AB y ∆为负,直线AB 位于第四象限.所以
︒=45NW R AB
根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得:
︒=︒-︒=31545360AB α
AB 边长为:
m y y x x S A B A B AB 8.282)500300()300500()()(2222=-+-=-+-=
坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的
公式,应用十分广泛。
在测量计算时,由于公式中各元素的数字较多,测量规范对数字取位及计算成果作了规定.例如图根控制点要求边长计算取至毫米;角度计算取至秒;坐标计算取至厘米。
二、坐标方位角的推算公式
由公式(5—2)知,计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角两个要素,其中边长是
在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的,坐标方位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。下面介绍坐标方位角的推算公式。
如图5-7所示,箭头所指的方向为“前进”方向,位于前进方向左侧的观测角称为左观测角,简称左角;位于前进方向右侧的角称为右观测角,简称右角.
1。观测左角时的坐标方位角计算公式
在图5—7与5—8中,已知AB边的方位角为
α,左β为
AB
左观测角,需要求得BC边的方位角
α。左β是外业观测得到
BC
的水平角,从图上可以看出已知方位角
α与左观测角左β之
AB
和有两种情况:即大于180°或小于180°。图5—7中为大于180°的情况,图5—8中为小于180°的情况.